《高等数学一》期末复习题及答案_26011462418282891
《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1、极限)x x →∞的结果是 （ ）（A ）0 （B ） ∞ （C ）12（D ）不存在2、方程3310xx -+=在区间(0,1)内 （ ）（A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 3、)(x f 是连续函数, 则 ⎰dxx f )(是)(x f 的 （）（A ）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数； 4、由曲线)0(sin π<<=x x y 和直线0=y 所围的面积是 （）（A ）2/1 (B) 1 (C) 2 (D) π 5、微分方程2x y ='满足初始条件2|0==x y 的特解是 ( )（A ）3x （B ）331x + （C ）23+x （D ）2313+x 6、下列变量中，是无穷小量的为（ ） (A) )1(ln→x x (B) )0(1ln+→x x (C) cos (0)x x → (D) )2(422→--x x x 7、极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是（ ） （A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在8、函数arctan x y e x =+在区间[]1,1-上 （ ）（A ）单调增加 （B ）单调减小 （C ）无最大值 （D ）无最小值 9、不定积分⎰+dx x x12= （）(A)2arctan xC + (B)2ln(1)x C ++ (C)1arctan 2x C + (D) 21ln(1)2x C ++10、由曲线)10(<<=x e y x 和直线0=y 所围的面积是 （ ）（A ）1-e (B) 1 (C) 2 (D) e11、微分方程dyxy dx=的通解为 （ ） （A ）2xy Ce= （B ）212x y Ce= （C ）Cx y e = （D ）2xy Ce=12、下列函数中哪一个是微分方程032=-'x y 的解( )（A ）2x y = （B ） 3x y -= （C ）23x y -= （D ）3x y =13、 函数1cos sin ++=x x y 是 （ ）(A) 奇函数； (B) 偶函数； (C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数. 14、当0→x时， 下列是无穷小量的是 （ ）（A ） 1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x15、当x →∞时，下列函数中有极限的是 （ ） （A ）211x x +- (B) cos x (C)1xe (D)arctan x16、方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 （ ）（A ）零个 （B ）一个 （C ）二个 （D ）三个17、21()1dx x '=+⎰（ ） （A ）211x + （B ）211C x ++ （C ） arctan x （D ） arctan x c +18、定积分()baf x dx ⎰是 （ ）（A ）一个函数族 （B ）()f x 的的一个原函数 （C ）一个常数 （D ）一个非负常数19、 函数(ln y x =+是（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ） 非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 20、设函数()f x 在区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，且()0f x '>，则( )(A)()00f < (B) ()()10f f > (C) ()10f > (D)()()10f f <21、设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ ） (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 22、(cos sin )x x dx -=⎰( )（A ） sin cos x x C -++ （B ）sin cos x x C -+（C ） sin cos x x C --+ （D ）sin cos x x C ++23、数列})1({nn n-+的极限为（ ） （A ）1(B) 1-(C) 0(D) 不存在24、下列命题中正确的是（ ）（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C ）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D ）两无穷大量的差为零25、若()()f x g x ''=，则下列式子一定成立的有（ ）(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰(C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰ (D)()()1f x g x =+26、下列曲线有斜渐近线的是 ( )(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+(C)1siny x x =+ (D)21sin y x x=+二、填空题 1、 201cos lim x xx→-= 2、 若2)(2+=x e x f ，则=)0('f3、 131(cos 51)x x x dx --+=⎰4、=⎰dx e t5、微分方程0y y '-=满足初始条件0|2x y ==的特解为6、224lim 3x x x →-=+ 7、 极限 =---→42lim 222x x x x8、设sin 1,y x x =+则()2f π'=9、11(cos 1)x x dx -+=⎰10、231dx x =+⎰11、微分方程ydy xdx =的通解为12、1415x dx -=⎰13、 sin 2limx x xx→∞+=14、设2cos y x =，则dy = 15、设cos 3,y x x =-则()f π'=16、不定积分⎰=x x de e 17、微分方程2x y e -'=的通解为22222222222111120,201122x x x xx xx dy y y e y e dy e dx dx ydy e dx e C y y x y C e y e y -'=⇒=⇒==⇒-=+==-=-==-⎰⎰代入上式可得到所求的特解为或者18、微分方程x y ='ln的通解是19、xx x3)21(lim -∞→＝ 20、,x y x y '==设函数则21、)21(lim 222nn n n n +++∞→ 的值是 22、3(1)(2)lim23x x x x x x →∞++=+-23、,x y x dy ==设函数则24、 20231lim 4x x x x →-+=+25、若2()sin6x f x e π=-，则=)0('f26、25(1sin )a ax dx π++=⎰().a 为任意实数27、设ln(1)x y e =-，则微分dy =________________.28、3222(cos )d 1x x x x ππ-+=-⎰.三、解答题1、（本题满分9分）求函数y =的定义域。
2、（本题满分10分）设()(1)(2)(2014)f x x x x x =---，求(0)f '。
3、（本题满分10分）设曲线方程为16213123+++=x x x y ,求曲线在点)1,0(处的切线方程。
4、（本题满分10分）求由直线x y =及抛物线2x y =所围成的平面区域的面积。
5、（本题满分10分）讨论函数2 1()3 1x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩ 在 1x = 处的连续性。
6、（本题满分10分）求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=+==3321x y x dx dy|的特解。
7、（本题满分9分）求函数 24cos 5y x x =-+- 的定义域。
8、（本题满分10分）设()(1)(2)()(2)f x x x x x n n =+++≥，求(0)f '。
9、（本题满分10分）设平面曲线方程为33222=+-y xy x ，求曲线在点（2，1）处的切线方程。
10、（本题满分10分）求由曲线x y e =及直线1=y 和1=x 所围成的平面图形的面积（如下图）．11、（本题满分10分）讨论函数() 1 0xx x f x e x <⎧=⎨-≥⎩ 在 0x = 处的连续性。
12、（本题满分10分）求方程0)1()1(22=+-+dy x dx y 的通解。
13、（本题满分10分）证明方程475=-x x 在区间)2,1(内至少有一个实根。
14、（本题满分10分）设()(1)(2)(2015)f x x x x x =+++，求(0)f '。
15、（本题满分10分）求曲线e xy e y=+在点（0，1）处的法线方程。
16、（本题满分10分）求曲线cos y x =与直线2,2y x π==及y 轴所围成平面图形的面积。
17、（本题满分10分）讨论函数cos 0() 1 0x x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩ 在 0x = 处的连续性。
18、（本题满分10分）求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=-+-==1|1022x y xyy x dxdy 的特解。
19、（本题满分20分）22(01)1A B (),,.,.A B A B a y x a A x V B y V a V V =<<+曲线将边长为的正方形分成、两部分如图所示，其中绕轴旋转一周得到一旋转体记其体积为，绕轴旋转一周得到另一旋转体记其体积为问当取何值时的值最小20、（本题满分20分） 假定足球门的宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：该球员应在离底线多少米处射门才能获得最大的射门张角θ若球员以5.2米每秒的速度沿垂直于底线的方向向球门前进，求在距离底线2米处，射门张角的变化率。
21、（本题满分10分）设1ln(1)()(0)xt f x dt x t +=>⎰，求1()()f x f x+. 22、证明题（本题满分10分）设函数()f x 在[]03,上连续,在()03,内可导, (0)(1)(2)3f f f ++=，(3)1f =。
试证必存在一点()03,ξ∈，使得()0f ξ'=.23、（本题满分20分）一火箭发射升空后沿竖直方向运动，在距离发射台4000m 处装有摄像机，摄像机对准火箭。
用h 表示高度，假设在时刻0t ，火箭高度h =3000m ，运动速度等于300m/s,（1） 用L 表示火箭与摄像机的距离，求在0t 时刻L 的增加速度. （2） 用α表示摄像机跟踪火箭的仰角（弧度），求在0t 时刻α的增加速度.《高等数学（一）》期末复习题答案一、选择题1、C 解答：第一步，先分子有理化；第二步，分子利用平方差公式，第三步，分子分母同时除以x ；第四步化简即可。
大学一年级高数期末考试题附标准答案
第一学期高等数学期末考试试卷答案一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分），1．求极限()xx x xx 30sin 2cos 1lim -+→．解：()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim xx x x x x x x x x x x x x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+→→→ 20302cos 1ln 032cos 1ln 02cos 1lnlim 2cos 1lnlim2cos 1ln1lim1limxxx x x x x ex ex x x x x x x x +=+⋅+-=-=→→⎪⎭⎫ ⎝⎛+→⎪⎭⎫⎝⎛+→ ()412cos 1sin lim0-=+-=→x x x x ．2．设0→x 时，()x f 与22x 是等价无穷小，()⎰3xdt t f 与kAx等价无穷小，求常数k 与A ．解：由于当0→x 时，()⎰3xdt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim3=⎰→kxx Axdtt f ．而()()()10132320132323230132300061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3-→--→-→-→→=⋅=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅=⋅⋅=⎰k x k x k x k x k xx Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，61,1==A k ．3．如果不定积分()()⎰++++dx x x bax x 22211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足地条件．解：将()()22211xx bax x ++++化为部分分式，有()()()2222211111xDCx x B x A x x bax x ++++++=++++， 因此不定积分()()⎰++++dx x x bax x 22211中不含有对数函数地充分必要条件是上式中地待定系数0==C A ．即()()()()()()()22222222211111111x x x D x B x D x B x x bax x +++++=+++=++++． 所以，有()()()()D B Dx x D B x D x B b ax x ++++=+++=++2112222．比较上式两端地系数，有D B b D a D B +==+=,2,1．所以，得1=b ．5．计算定积分{}⎰-2502,1min dx x ．解：{}⎩⎨⎧>-≤--=-1211222,1min x x x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤≤-<=3132221211x x x x x x ．所以，{}()()8132212,1min 252211025=-+-+=-⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx dx x ． 5．设曲线C 地极坐标方程为3sin 3θa r =，求曲线C 地全长．解： 曲线3sin3θa r =一周地定义域为πθ≤≤30，即πθ30≤≤．因此曲线C 地全长为()()()()a d a d a a d r r s πθθθθθθθθθπππ233sin 3cos3sin3sin30230242623022==+='+=⎰⎰⎰．二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），6．求出函数()()()n n x x x f 221sin lim +=+∞→π地所有间断点，并指出这些间断点地类型．解：()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>-=-=<=+=+∞→2102121212121sin 21sin lim 2x x x x x x x x f n n ππ．因此211-=x 与212=x 是函数()x f 地间断点． ()00lim lim 2121==---→-→x x x f ，()()1sin lim lim 2121-==++-→-→x x f x x π，因此21-=x 是函数()x f 地第一类可去型间断点．()()1sin lim lim 2121==---→-→x x f x x π，()00lim lim 2121==++-→→x x x f ，因此21=x 是函数()x f 地第一类可去型间断点．7．设ξ是函数()x x f arcsin =在区间[]b ,0上使用Lagrange （拉格朗日）中值定理中地“中值”，求极限bb ξlim→．解：()x x f arcsin =在区间[]b ,0上应用Lagrange 中值定理，知存在()b ,0∈ξ，使得()0110arcsin arcsin 2--=-b b ξ．所以，22arcsin 1⎪⎭⎫⎝⎛-=b b ξ．因此，()()22220220220arcsin arcsin lim arcsin 1lim lim b b b b b b b b b b b -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→→→ξ 令b t arcsin =，则有422022220220sin lim sin sin lim lim ttt t t t t b t t b -=-=→→→ξ 3122sin 2lim 612cos 1lim 61122cos 22lim 42sin 2lim0202030==-=-=-=→→→→t t t t t t t t t t t t t所以，31lim=→bb ξ． 8．设()()⎰--=xy y dy ex f 102，求()⎰1dx x f ．解：()()()⎰⎰'-=11010dx x f x x xf dx x f在方程()()⎰--=xy y dy ex f 102中，令1=x ，得()()()010021102===⎰⎰---dy e dy ef y y y y ．再在方程()()⎰--=xy y dy ex f 102两端对x 求导，得()21x ex f --='，因此，()()()()⎰⎰⎰'-='-=11101dx x f x dx x f x x xf dx x f()1212110111222-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅===---⎰⎰e e e dx xe e dx xe x xx ．9．研究方程2x a e x =()0>a 在区间()∞+∞-,内实根地个数．解：设函数()12-=-xeax x f ，()()x x x e x ax e ax axe x f ----=-='222．令()0='x f ，得函数()x f 地驻点2,021==x x ．由于0>a ，所以()()+∞=-=--∞→-∞→1lim lim 2x x x e ax x f ，()()112lim 12lim 1lim 1lim lim 22-=-=-=-=-=+∞→+∞→+∞→-+∞→+∞→x x x x x x xx x ea e x a e x a eax x f ．因此，得函数()x f 地性态⑴ 若0142>--ae ，即42e a >时，函数()12-=-xe ax xf 在()0,∞-、()2,0、()∞+,2内各有一个零点，即方程2x a e x=在()∞+∞-,内有3个实根．⑵ 若0142=--ae ，即42e a =时，函数()12-=-xe ax xf 在()0,∞-、()∞+,0内各有一个零点，即方程2x a e x=在()∞+∞-,内有2个实根．⑶ 若0142<--ae ，即42e a <时，函数()12-=-x e ax x f 在()0,∞-有一个零点，即方程2x a e x =在()∞+∞-,内有1个实根．10．设函数()x f 可导，且满足()()()1-'=-'x f x x f ，()00=f ．试求函数()x f 地极值． 解：在方程()()()1-'=-'x f x x f 中令x t -=，得()()()1--'-='t f t t f ，即()()()1--'-='x f x x f ．在方程组()()()()⎩⎨⎧-=-'+'-=-'+'xx f x f x xx f x x f 中消去()x f -'，得()221x x x x f ++='．积分，注意()00=f ，得()()⎰++=-xdt t t t f x f 02210．即()()x x x dt t t t x f xarctan 1ln 2112022-++=++=⎰． 由()221x x x x f ++='得函数()x f 地驻点1,021-==x x ．而()()222121xx x x f +-+=''．所以，()010>=''f ，()0211<-=-''f ．所以，()00=f 是函数()x f 极小值；()42ln 2111π-+-=-f 是函数()x f 极大值． 三．应用题与证明题（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分），11．求曲线x y =地一条切线，使得该曲线与切线l 及直线0=x 和2=x 所围成地图形绕x 轴旋转地旋转体地体积为最小． 解：设切点坐标为()t t ,，由ty 21=，可知曲线x y =在()t t ,处地切线方程为()t x tt y -=-21，或()t x ty +=21．因此所求旋转体地体积为()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰t t dx x t x tV 24384212022ππ所以，023842=⎪⎭⎫⎝⎛+-=t dt dV π．得驻点32±=t ，舍去32-=t ．由于 031643223222>⋅===t t t dt V d π，因而函数V 在32=t 处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切线方程为2143+=x y ． 12．设函数()x f 在闭区间[]10，上连续，在开区间()10，内可导，且()21arctan 2=⎰πxdx e x f ，()01=f ．证明：至少存在一点()10，∈ξ，使得()()ξξξarctan 112+-='f ．解：因为()x f 在闭区间[]1,0上连续，所以由积分中值定理，知存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πη2,0，使得 ()()ηπηπarctan 2arctan 2f x f e xdx e =⎰．由于()21arctan 2=⎰πxdx ex f ，所以，()21arctan 2=ηπηf e ．再由()01=f ，得 ()()1arctan 4arctan 1f f e e ==πηη．作函数()()x ex g x f arctan =，则函数在区间[][]1,01,⊂η上连续，在区间()1,η内可导．所以由Rolle 中值定理，存在()()1,01,⊂∈ηξ，使得()0='ξg ．而()()()()21arctan xe x xf ex g x f x f ++'='． 所以存在()()1,01,⊂∈ηξ，使得()()()01arctan 2=++'ξξξξξf f e f e．由于()0≠ξf e ，所以()011arctan 2=++'ξξξf ，即()()ξξξarctan 112+-='f ．版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.b5E2R。
大一高等数学期末测试卷及答案
大学一年级《高等数学》期末测试卷一、选择题（每题4分，共16分）1．101lim(1)lim sinxx x x x x -→→∞++=（ ）。
A 、e ；B 、1e -；C 、1e +；D 、11e -+2．设()ln f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x =（ ）。
A 、0；B 、e ；C 、1；D 、2e 。
3．若sin 2x 是()f x 的一个原函数，则()xf x dx =⎰（ ）。
A 、sin 2cos2x x x C ++；B 、sin 2cos2x x xC -+；C 、1sin 2cos 22x x x C -+；D 、1sin 2cos 22x x x C++。
4．已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-，则（ ）。
A 、3,0a b =-=且1x =为函数()f x 的极小值点；B 、0,3a b ==-且1x =为函数()f x 的极小值点；C 、3,0a b =-=且1x =为函数()f x 的极大值点；D 、0,3a b ==-且1x =为函数()f x 的极大值点。
二、填空题（每题5分，共20分）1． 0limx xx xe e -→=- 。
2．x =⎰。
3．3222sin (cos )1x x dx x ππ-+=+⎰ 。
4．设,,,αβδγ为向量，k 为实数。
若||||1,||||1αβ==，α⊥β，2,k γαβδαβ=+=+，γ⊥δ，则k = 。
三、计算下列各题（每题9分，共45分）1．求极限0lim xx x →+。
2．函数()y y x =由方程0x y e e xy --=确定，求202|x d ydx =。
3．求定积分1dx。
4．求过点(3,1,2)且与平面21x z +=和32y z -=平行的直线方程。
5．设1sin , 0()20, x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，求0()()xx f t dt Φ=⎰。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
(大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.…4. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
5.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）6. ,7. =+→xx x sin 20)31(lim .8.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.9.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .10. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）11. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .12. .d )1(177x x x x ⎰+-求13. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x14. *15. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.16. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）17. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）18. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .>六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）19. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.20. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）:解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. ；6. 6e . 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 - 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：133()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一上学期高等数学期末试题及解答
Q( x) sin x , x
y
e
1 x
dx
s
in x
x
e
1 x
dx
dx
C
eln x sin x eln x dx C
x
1 x
sin x x
x dx
C
1 cos x C .
x
把y( ) 1代入通解，得 C 1.
故特解为
y 1 ( cos x 1).
x
四、计算题（每小题9分，共36分）
则f (ln x)定义域是 [1, e] .
知识点：复合函数的定义域
分析 0 ln x 1, 1 x e
一、 填空题（每小题3分，共15分） 2. 已知y x x ,则y _______ .
知识点：对数求导法
解 ln y x ln x , y =lnx 1, y
y xx (ln x 1).
( A) p 1,q 2; (B) p 2,q 3;
(C) p 2,q 1; (D) p 3,q 2 .
解： 特征方程为：r2 pr q 0 , 把特征根 r1 1 , r2 2 1 p q 0 分别代入特征方程，得 4 2 p q 0
解得
p 3,q 2 .
4. 求曲线y e x ( x 0)与y 0, x 0围成的
右边无限伸展的图形绕轴旋转一周所得立体的体积.
知识点： 反常积分，定积分的应用，旋转体的体积，
解 V + πy2dx + πe2xdx
0
0
π e2x 2
|0+
π. 2
五、解答题（每小题10分，共20分）
1. 在抛物线y x2 (0 x 1)上找一点P，使经过P的
大一高数期末考试复习题及标准答案
大一高数期末考试复习题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．21lim()xx x e x →-=.2．()()1200511xx x x e e dx --+-=⎰.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==.4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *=;（C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *=+; （D ）x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）.（A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b af x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0x t f t dt⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ ）.(A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分2230x x e dx-⎰.2．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .本页满分36分 本页得分本页满分 12分 本页得分3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 4. 设20()cos()xF x x t dt=-⎰，求)(x F '.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1(Λ+++=，求n n x∞→lim .四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ' 一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1． 21lim()x x x e x →-=21e .2．()()1200511xxx xe e dx --+-=⎰e 4.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==1-e .4. 设()x f 可导，且1()()x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 221x e.5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为xe x C C y 221)(-+=.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：本页满分 12分 本页得分本页满分15分 本页得分本页满分18分 本页得分本页满分7分 本页得分1．设常数0>k ，则函数ke x x xf +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *=； （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *=+； （D ）x A y 2sin *= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）(A) (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤bad cdx x f dx x f ;(B) (B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;(C) (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) (D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰-2032dxe x x .解：⎰⎰⎰----===20202322121,2t t x tde dt te dx e x t x 则设 -------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 2223210221----=--=ee e t --------22．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3 C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424 -----------33．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 解：切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)cos 1(sin π=-=t t a t a 1= -------2切线方程为 )12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=. -------24. 设⎰-=xdtt x x F 02)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---. 5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1(Λ+++=，求nn x ∞→lim .解：)1ln(1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2 ⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x n i n n n --------------2=12ln 211)1ln(101-=+-+⎰dx x xx x ------------2 故 n n x∞→lim =e e 412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为),00y x （，则过原点的切线方程为xx y 2210-=，由于点),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3过原点和点)2,4(的切线方程为22xy =-----------------------------3面积dyy y s )222(22⎰-+==322-------------------3或322)2221(2212042=--+=⎰⎰dx x x xdx s2．设平面图形D由222x y x+≤与y x≥所确定，试求D绕直线2=x旋转一周所生成的旋转体的体积.解：法一：21VVV-=[][]⎰⎰⎰---=-----=12212122)1(12)2()11(2dyyydyydyyπππ-------6)314(21)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy--------3法二：V=⎰---12)2)(2(2dxxxxxπ⎰⎰----=1122)2(22)2(2dxxxdxxxxππ------------------ 5[]⎰--+--=12234222)22(ππdxxxxxxππππππππ32213421323414121)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=xx------------- 43. 设1,a>atatf t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为().t a问a为何值时)(at最小? 并求最小值.解:.lnlnln1)(ln)(aaataaatf t-==-='得由--------------- 3)(ln1lnln)(2eeaaaaat==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当ateaateaatea eee=<'<>'>-----2 故.11ln1)(,)(eeeetatea ee-=-==最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1[1]2，上()F x 用零点定理， 根据11(1)()=-022F F <，--------------- 2可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3。
《高等数学(一)》期末复习题(答案)
《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1. 极限)x x →∞的结果是 （ C ）.（A ）0 （B ） ∞ （C ） 12（D ）不存在 2. 设()xxx f +-=11ln，则)(x f 是 ( A ). （A ）奇函数 （B) 偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既奇又偶函数 3. 极限21lim sinx x x→= ( A ) . （A ）0 （B) 1 （C ）+∞ （D ）-∞ 4. 方程3310x x -+=在区间(0,1)内（ B ）.（A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 5. 设()()ln 1f x x =+，g (x )=x ，则当0x →时，()f x 是()g x 的( A ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小（C ）高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 6. 下列变量中，是无穷小量的为（ A ）.（A ）)1(ln →x x （B ）)0(1ln +→x x （C ）cos (0)x x → （D ）)2(422→--x x x 7. 极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是（ C ）.（A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在8. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）()2,[0,1]f x x x =-∈ （B) 3(),[0,1]f x x x =∈ （C ）(),[1,1]f x x x =∈- （D)4(),[1,1]f x x x =∈-9. 函数1cos sin ++=x x y 是（ C ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 10. 当0→x 时， 下列是无穷小量的是（ B ）.（A ）1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x11. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ A ）.（A ）211x x +- (B) cos x (C) 1xe(D)arctan x 12. 方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 （ B ）.（A ）零个 （B ）一个 （C ）二个 （D ）三个 13.21()1dx x '=+⎰（ B ）.（A ）211x + （B ）211C x++ （C ） arctan x （D ） arctan x c + 14. 定积分()f x dx ⎰是（ A ）.（A ）一个函数族 （B ）()f x 的的一个原函数 （C ）一个常数 （D ）一个非负常数15.函数(ln y x =+是（ A ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ） 非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 16. 设函数在区间上连续，在开区间内可导，且，则( B ).(A) (B) (C) (D) 17. 设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ C ）. (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 18. 设是的一个原函数，则等式（ D ）成立.（A ）（B) （C ） （D)19. 设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=dx x f )(1（ B ）. （A ）C x +--32)1(43 （B ）C x +--32)1(31 （C ）C x +-322)1(43 （D ）C x +-322)1(32()f x []0,1()0,1()0f x '>()00f <()()10f f >()10f >()()10f f <F x ()f x ()dd d x f x x F x (())()⎰='=+⎰F x x f x c()()d '=⎰F x x F x ()()d dd d xf x x f x (())()⎰=20. 数列})1({nn n-+的极限为（ A ）.（A ）1(B) 1-(C) 0(D) 不存在21. 下列命题中正确的是（ B ）.（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C ）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D ）两无穷大量的差为零 22. 若()()f x g x ''=，则下列式子一定成立的有（ C ）.(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰(C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰(D)()()1f x g x =+ 23. 下列曲线有斜渐近线的是 ( C ).(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1siny x x =+ (D)21sin y x x=+ 24. 函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f x x （ B ）.（A ）是奇函数 （B ）是偶函数（C ）既奇函数又是偶函数 （D ）是非奇非偶函数 25. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）]1,0[,1)(∈-=x x x f （B)]1,0[,)(2∈=x x x f （C ）()sin ,[1,1]f x x x =∈- （D)]1,1[,)(2-∈=x x x f26. 若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （ B ）. （A ）2x （B ）22-x （C ）2)1(-x （D ）12-x 27. 设函数,ln )(x x x f =则下面关于)(x f 的说法正确的是( A ).（A ）在（0，e 1）内单调递减 （B)在（+∞,1e）内单调递减 （C ）在（0，+∞）内单调递减 （D)（0，+∞）在内单调递增28. 设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ D ）．（A ）x （B ）x + 1 （C ）x + 2 （D ）x + 329. 已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ C ）.（A ）1,1==b a , （B ）1,1=-=b a （C ）1,1-==b a （D ）1,1-=-=b a 30. 下列函数在指定的变化过程中，（ B ）是无穷小量.（A ） （B ）（C ） （D ）31. 设函数(),2x xe ef x -+=则下面关于)(x f 的说法正确的是( B ) .（A ）在(0,)+∞内单调递减 （B)在(,0)-∞内单调递减 （C ）在(,0)-∞内单调递增 （D)在(,)-∞+∞内单调递增32. 下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ C ）.（A ）)(1sin∞→=x xx y （B ）())(1∞→=-n n y n （C ）)0(ln +→=x x y （D ）)0(1cos 1→=x xx y33. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,1sin )(x x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ B ）. （A ）连续且可导（B ）连续但不可导 （C ）不连续但可导（D ）既不连续又不可导34. 在下列等式中，正确的是( C ).（A ）()()f x dx f x '=⎰ （B) ()()df x f x =⎰（C ）()()df x dx f x dx=⎰ （D)[()]()d f x dx f x =⎰ 35. 曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线是（ A ）．（A ）22-=x y（B ）22+-=x ye 1xx ,()→∞sin ,()xxx →∞ln(),()11+→x x x xx +-→110,()（C ）22+=x y（D ）22--=x y36. 已知441x y =，则y ''=（ B ）． （A ） 3x （B ）23x （C ）x 6 （D ） 6 37. 若x xf =)1(，则=')(x f （ D ）.（A ）x 1 （B ）21x （C ）x 1- （D ）21x-38. 下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 39. 函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ B ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）240. 曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 41. 设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 42. 设()f x 可微，则0()(2)limh f x f x h h→--=（ D ）.(A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C ）2()f x '- （D)2()f x '43. 点0x =是函数4y x =的（ D ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 44. 曲线1||y x =的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线45.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ D ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭46.x x dxe e -+⎰的结果是（ A ）.（A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++47. 下列各组函数中,是相同函数的是( C ).(A) ()f x x =和()g x =()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =48. 设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ D ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在49. 设函数22456x y x x -=-+，则2x =是函数的( A ).(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 50. 设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为（ C ）. (A) 0 (B)2π(C)锐角 (D)钝角 51. 曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( D ).(A) 12,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭52. 函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( B ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的 53. 以下结论正确的是( C ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.54. 设函数22132x y x x -=-+，则1x =是函数的( A ).（A ）可去间断点 （B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 55. 设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( A ).(A) ()121x x e - (B)12xx e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe56. 若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( D ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+57. 函数21,0e ,0xx x y x ⎧+<=⎨≥⎩在点0x =处( D ).（A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 58. 函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ C ）.（A ） []1,2- （B ） [)1,2- （C ）(]1,2- （D ）()1,2- 59. 极限x x e ∞→lim 的值是（ D ）.（A ）∞+ （B ） 0 （C ）∞- （D ）不存在 60. =--→211)1sin(limx x x （ C ）.（A ）1 （B ） 0 （C ）21-（D ）2161. 曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ B ）.（A ） )1(2-=x y （B ）)1(4-=x y （C ）14-=x y （D ）)1(3-=x y62. 函数, 0,0xx x y e x <⎧=⎨≥⎩在点0x =处( B ). （A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 63. 下列各微分式正确的是（ C ）.（A ）)(2x d xdx = （B ）)2(sin 2cos x d xdx = （C ）)5(x d dx --= （D ）22)()(dx x d = 64. 设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ B ）. （A ）2sin x （B ） 2sin x - （C ）C x +2sin （D ）2sin 2x-65. 设()f x 可微，则0(2)()limh f x h f x h→+-=（ D ）.（A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C)2()f x '- （D)2()f x ' 66.⎰=+dx x xln 2（ B ）.（A ）Cx x ++-22ln 212 （B ）C x ++2)ln 2(21（C ）C x ++ln 2ln （D ）C xx++-2ln 1 67. 函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ B ）.（A ）()()+∞--,01,2 （B ）()),0(0,1+∞- （C ）),0()0,1(+∞- （D ）),1(+∞-68. 设0tan 4()lim6sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）24 69. 下列各式中，极限存在的是（ A ）.（A ） x x cos lim 0→ （B ）x x arctan lim ∞→ （C ）x x sin lim ∞→ （D ）x x 2lim +∞→70. =+∞→xx xx )1(lim （ D ）. （A ）e （B ）2e （C ）1 （D ）e1 71. 设0sin 4()lim5sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）0 （B ）1 （C ）5 （D ）2572. 曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ C ）.（A ）x y = （B ）)1)(1(ln --=x x y （C ）1-=x y （D ）)1(+-=x y73. 已知x x y 3sin = ，则=dy （ B ）.（A ）dx x x )3sin 33cos (+- （B ）dx x x x )3cos 33(sin + （C ）dx x x )3sin 3(cos + （D ）dx x x x )3cos 3(sin + 74. 下列等式成立的是（ C ）.（A ）⎰++=-C x dx x 111ααα （B ）⎰+=C x a dx a x x ln （C ）⎰+=C x xdx sin cos （D ）⎰++=C xxdx 211tan 75. 极限01lim sinx x x→= ( A ) . （A ） 0 （B) 1 （C ）+∞ （D) -∞ 76. 设()1cos f x x =-，()2g x x =，则当0x →时，()f x 是()g x 的( D ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小 （C ） 高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 77. 计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ D ）.（A ）C e x +sin （B ）C x e x +cos sin （C ）C x e x +sin sin （D ）C x e x +-)1(sin sin78. 5lg 1)(-=x x f 的定义域是（ D ）.（A ）()),5(5,+∞∞- （B ）()),6(6,+∞∞-（C ）()),4(4,+∞∞- （D ）())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞79. 如果函数f (x )的定义域为[1，2]，则函数f (x )+f (x 2)的定义域是（ B ）.（A ）[1，2] （B ）[1，2] （C ）]2,2[- （D ）]2,1[]1,2[ --80. 函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ).（A ）是奇函数，非偶函数 （B ）是偶函数，非奇函数 （C ）既非奇函数，又非偶函数 （D ）既是奇函数，又是偶函数 81. 设()sin f x x x =，则)(x f 是( C ).（A ）非奇非偶函数 （B) 奇函数 （C)偶函数 （D) 既奇又偶函数 82. 函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1x f（ C ）.（A ）21x - （B ）21x --（C ）)01(12≤≤--x x （D ）)01(12≤≤---x x 83. 下列数列收敛的是（ C ）.（A ）1)1()(1+-=+n n n f n （B ）⎪⎩⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n nn n n f ,11,11)(（C ）⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1)( （D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n n n f nn n n ,221,221)(84. 设1111.0个n n y =，则当∞→n 时，该数列（ C ）.（A ）收敛于0.1 （B ）收敛于0.2 （C ）收敛于91（D ）发散 85. 下列极限存在的是（ A ）.（A ）2)1(lim x x x x +∞→ （B ）121lim -∞→x x （C ）x x e 10lim → （D ）x x x 1lim 2++∞→ 86. xx xx x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ）.（A ）21（B ）2 （C ）0 （D ）不存在 87. =--→1)1sin(lim 21x x x （ B ）.（A ）1 （B ）2 （C ）21（D ）0 88. 下列极限中结果等于e 的是（ B ）.（A ）xx x x x sin 0)sin 1(lim +→ （B ）x xx x x sin )sin 1(lim +∞→ （C ）xxx xxsin )sin 1(lim -∞→- （D ）xxx xxsin 0)sin 1(lim +→89. 函数||ln 1x y =的间断点有（ C ）个. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 90. 下列结论错误的是（ A ）.（A ）如果函数f (x )在点x =x 0处连续，则f (x )在点x =x 0处可导； （B ）如果函数f (x )在点x =x 0处不连续，则f (x )在点x =x 0处不可导； （C ）如果函数f (x )在点x =x 0处可导，则f (x )在点x =x 0处连续； （D ）如果函数f (x )在点x =x 0处不可导，则f (x )在点x =x 0处也可能连续。
《高等数学一》期末复习题及答案
《高等数学（一）》期末复习题 一、选择题 1、极限2lim()xxxx 的结果是 （ C ） （A）0 （B） （C） 12 （D）不存在 2、方程3310xx在区间(0,1)内 （ B ） （A）无实根 （B）有唯一实根 （C）有两个实根 （D）有三个实根 3、)(xf是连续函数, 则 dxxf)(是)(xf的 （ C ） （A）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数； 4、由曲线)0(sinxxy和直线0y所围的面积是 （ C ） （A）2/1 (B) 1 (C) 2 (D) 5、微分方程2xy满足初始条件2|0xy的特解是 ( D ) （A）3x （B）331x （C）23x （D）2313x 6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ） (A) )1(lnxx (B) )0(1lnxx (C) cos (0)xx (D) )2(422xxx 7、极限011lim(sinsin)xxxxx 的结果是（ C ） （A）0 （B） 1 （C） 1 （D）不存在 8、函数arctanxyex在区间1,1上 （ A ） （A）单调增加 （B）单调减小 （C）无最大值 （D）无最小值 9、不定积分 dxxx12= （ D ） (A)2arctanxC (B)2ln(1)xC (C)1arctan2xC (D) 21ln(1)2xC 10、由曲线)10(xeyx和直线0y所围的面积是 （ A ） （A）1e (B) 1 (C) 2 (D) e
8、设sin1,yxx则()2f 1 9、 11(cos1)xxdx 2 10、 231dxx 3arctanxC 11、微分方程ydyxdx的通解为 22yxC 12、1415xdx 2 13、 sin2limxxxx 1 14、设2cosyx，则dy 22sinxxdx 15、设cos3,yxx则()f -1 16、不定积分xxdee Cx2e21 17、微分方程2xye的通解为 212xyeC 22222222222111120,201122xxxxxxxdyyyeyedyedxdxydyedxeCyyxyCeyey代入上式可得到所求的特解为或者 18、微分方程xyln的通解是 xyeC 19、xxx3)21(lim＝ 6e 20、,xyxy设函数则(ln1)xxx 21、)21(lim222nnnnn的值是 12
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《 高等数学(一) 》复习资料一、选择题1. 若23lim53x x x kx →-+=-，则k =（ ） A. 3- B.4- C.5- D.6-2. 若21lim21x x kx →-=-，则k =（ ） A. 1 B.2 C.3 D.43. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.132y x =-+5. 211limsin x x x→-=( ) A.0 B.3 C.4 D.56.设函数0()(1)(2)xf x t t dt =+-⎰，则(3)f '=（ ）A 1B 2C 3D 47. 求函数43242y x x =-+的拐点有（ ）个。
A 1 B 2 C 4 D 08. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ ）。
A. sin xB. 1x eC. 211x x +- D. arctan x9.已知'(3)=2f ，0(3)(3)lim2h f h f h→--=( ) 。
A. 32 B. 32- C. 1 D. -110. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（ ）。
A. 极小值B. 极大值C. 最小值D. 最大值11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( )A.至少有两个零点B. 有且只有一个零点C. 没有零点D. 零点个数不能确定 12.[()'()]f x xf x dx +=⎰( ).A.()f x C +B. '()f x C +C. ()xf x C +D. 2()f x C +13. 已知22(ln )y f x =，则y '=( C )A.2222(ln )(ln )f x f x x 'B. 24(ln )f x x 'C. 224(ln )(ln )f x f x x' D. 222(ln )()f x f x x '14. ()d f x ⎰=( B)A.'()f x C +B.()f xC.()f x 'D.()f x C +15.2ln xdx x =⎰( D )A.2ln x x C +B.ln xC x+ C.2ln x C + D.()2ln x C + 16. 211limln x x x→-=( ) A.2 B.3 C.4 D.517. 设函数0()(1)(2)xf x t t dt =-+⎰，则(2)f '-=（ ）A 1B 0C 2-D 2 18. 曲线3y x =的拐点坐标是( )A.(0,0)B.( 1,1)C.(2,2)D.(3,3)19. 已知(ln )y f x =，则y '=( A )A.(ln )f x x ' B.(ln )f x ' C.(ln )f x D.(ln )f x x20. ()d df x =⎰( A)A.()df xB.()f xC.()df x 'D.()f x C +21. ln xdx =⎰( A )A.ln x x x C -+B.ln x x C -+C.ln x x -D.ln x二、求积分（每题8分，共80分）1．求cos ⎰．2. 求dx x⎰． 3. 求arctan xdx ⎰．4. 求⎰5. 求2356x dx x x +-+⎰．6. 求定积分8⎰7. 计算20cos x xdx π⎰．8. 求2128dx x x +-⎰．9. 求11. 求2212x xe dx -⎰12. 求3x⎰13. 求21ln exdx x⎰14.求⎰三、解答题1. 若(1lim 36x x →∞=,求a2.讨论函数321()2333f x x x x =-+-的单调性并求其单调区间3. 求函数22()2x x f x x --=-的间断点并确定其类型4. 设2sin ,.xy xy x e y '+=求5.求y =6. 求由方程cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩ 确定的导数x y '.7. 函数1,0()1,0tan ,0xe xf x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处是否连续？8. 函数1,0()1,0tan ,0xe xf x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处是否可导？9. 求抛物线2y x =与直线y x =所围成图形D 的面积A .10. 计算由抛物线22y x =与直线4y x =-围成的图形D 的面积A .11. 设y 是由方程sin yy y xe =+确定的函数，求y '12.求证： ln 1,1x x x <->13. 设y 是由方程1yy xe =+确定的函数，求y '14. 讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调性并求其单调区间15.求证： 21,x e x >-16. 求函数3(1)()x x f x x x -=-的间断点并确定其类型五、解方程1. 求方程0)(22=-+dy xy x dx y 的通解.2.求方程20yy y '''+=的通解.3. 求方程22y y y x '''-+=的一个特解. 4. 求方程3595xy y y xe -'''-+=的通解.高数一复习资料参考答案一、选择题 1-5： DABAA 6-10：DBCDD 11-15： BCCBD 16-21：ABAAAA二、求积分1．求cos ⎰．解：322cos (sin )sin 3x x C C ==+=⎰2. 求．解：13(43ln )(ln )x d x x =+⎰⎰131(43ln )(43ln )3x d x =+⋅+⎰ 431(43ln )4x C =++． 3. 求arctan xdx ⎰．解：设arctan u x =，dv dx =，即v x =，则arctan arctan (arctan )xdx x x xd x =-⎰⎰2arctan 1xx x dx x =-+⎰ 21arctan ln(1)2x x x C =-++．4. 求⎰解：32222e 33e 3e 3e 23e 6e t t t t t t x t t dt t dt t tdt t t dt ===-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰223e 6e 6e 3e 6e 6e t t t t t t t t dt t t C =-+=-++⎰2)C=+．5. 求2356xdxx x+-+⎰．解：由上述可知23565623xx x x x+-=+-+--，所以2356()5623xdx dxx x x x+-=+-+--⎰⎰115623dx dxx x=-+--⎰⎰5ln26ln3x x C=--+-+．6.求定积分8⎰解t=，即3x t=，则23dx t dt=，且当0x=时，0t=；当8x=时，2t=，于是28222000313ln(1)3ln312t dtt t tt⎡⎤==-++=⎢⎥+⎣⎦⎰⎰．7. 计算2cosx xdxπ⎰．解：令2u x=，cosdv xdx=，则2du xdx=，sinv x=，于是2220000cos sin(sin)2sin2sinx xdx x d x x x x xdx x xdxπππππ==-=-⎰⎰⎰⎰．再用分部积分公式，得2000cos2cos2(cos)cosx xdx xd x x x xdxππππ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰002(cos)sin2x x xπππ⎡⎤=-=-⎣⎦．8. 求2128dxx x+-⎰．解：221113(1)(1)ln28(1)963(1)xdx d x Cx x x x-+=+=++-+-++⎰⎰12ln64xCx-=++．9.求解：令u=32x u=-，23dx u du=，从而有22311311u udu duu u-+==++⎰⎰213(1)3(ln1)12uu du u u Cu=-+=-++++⎰11. 求2212xxe dx-⎰解：2222222411112x x xxe dx e dx e e e-----===-⎰⎰12.求3x⎰解：333223(3)(3)3x x x C=--=--+⎰13. 求21lne x dxx⎰解：22111ln111ln(ln)ln ln333ee exdx xd x x ex====⎰⎰14.求⎰解：3322222121(3)(3)(3)233x x C x C=--=-⋅-+=--+⎰三、解答题1.若(1lim36xx→∞=,求a解：因为223x=，所以9a=否则极限不存在。
《高等数学一》期末复习题与答案_26011462418282891
《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1、极限)x x →∞的结果是 （ ）（A ）0 （B ） ∞ （C ） 12（D ）不存在2、方程3310xx -+=在区间(0,1)内 （ ）（A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 3、)(x f 是连续函数, 则 ⎰dxx f )(是)(x f 的 （）（A ）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数； 4、由曲线)0(sin π<<=x x y 和直线0=y 所围的面积是 （）（A ）2/1 (B) 1 (C) 2 (D) π 5、微分方程2x y ='满足初始条件2|0==x y 的特解是 ( )（A ）3x （B ）331x + （C ）23+x （D ）2313+x 6、下列变量中，是无穷小量的为（ ） (A) )1(ln→x x (B) )0(1ln+→x x (C) cos (0)x x → (D) )2(422→--x x x 7、极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是（ ） （A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在 8、函数arctan x y e x =+在区间[]1,1-上 （ ）（A ）单调增加 （B ）单调减小 （C ）无最大值 （D ）无最小值 9、不定积分⎰+dx x x12= （）(A)2arctan xC + (B)2ln(1)x C ++ (C)1arctan 2x C + (D) 21ln(1)2x C ++10、由曲线)10(<<=x e y x 和直线0=y 所围的面积是 （ ）（A ）1-e (B) 1 (C) 2 (D) e11、微分方程dyxy dx=的通解为 （ ） （A ）2xy Ce= （B ）212x y Ce= （C ）Cxy e= （D ）2x y Ce=12、下列函数中哪一个是微分方程032=-'x y 的解( )（A ）2x y = （B ） 3x y -= （C ）23x y -= （D ）3x y =13、 函数1cos sin ++=x x y 是 （ ）(A) 奇函数； (B) 偶函数； (C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数. 14、当0→x时， 下列是无穷小量的是 （ ）（A ） 1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x15、当x →∞时，下列函数中有极限的是 （ ） （A ）211x x +- (B) cos x (C)1xe (D)arctan x16、方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 （ ）（A ）零个 （B ）一个 （C ）二个 （D ）三个17、21()1dx x '=+⎰（ ） （A ）211x + （B ）211C x++ （C ） arctan x （D ） arctan x c + 18、定积分()baf x dx ⎰是 （ ）（A ）一个函数族 （B ）()f x 的的一个原函数 （C ）一个常数 （D ）一个非负常数19、 函数(ln y x =+是（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ） 非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 20、设函数()f x 在区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，且()0f x '>，则( )(A)()00f < (B) ()()10f f > (C) ()10f > (D)()()10f f <21、设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ ） (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 22、(cos sin )x x dx -=⎰( )（A ） sin cos x x C -++ （B ）sin cos x x C -+（C ） sin cos x x C --+ （D ）sin cos x x C ++23、数列})1({nn n-+的极限为（ ）（A ）1(B) 1-(C) 0(D) 不存在24、下列命题中正确的是（ ）（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C ）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D ）两无穷大量的差为零 25、若()()f x g x ''=，则下列式子一定成立的有（ ）(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰(C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰ (D)()()1f x g x =+26、下列曲线有斜渐近线的是 ( )(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+(C)1siny x x =+ (D)21sin y x x=+二、填空题 1、 201cos lim x xx→-= 2、 若2)(2+=x e x f ，则=)0('f 3、 131(cos 51)x x x dx --+=⎰4、=⎰dx e t5、微分方程0y y '-=满足初始条件0|2x y ==的特解为6、224lim 3x x x →-=+ 7、 极限 =---→42lim222x x x x8、设sin 1,y x x =+则()2f π'=9、11(cos 1)x x dx -+=⎰10、231dx x =+⎰11、微分方程ydy xdx =的通解为12、1415x dx -=⎰13、 sin 2limx x xx→∞+=14、设2cos y x =，则dy = 15、设cos 3,y x x =-则()f π'=16、不定积分⎰=x x de e 17、微分方程2x y e -'=的通解为22222222222111120,201122x x x xx xx dy y y e y e dy e dx dx ydy e dx e C y y x y C e y e y -'=⇒=⇒==⇒-=+==-=-==-⎰⎰代入上式可得到所求的特解为或者18、微分方程x y ='ln的通解是19、xx x3)21(lim -∞→＝ 20、,x y x y '==设函数则21、)21(lim 222n nn n n +++∞→Λ的值是 22、3(1)(2)lim23x x x x x x →∞++=+-23、,x y x dy ==设函数则24、 20231lim 4x x x x →-+=+25、若2()sin6x f x e π=-，则=)0('f26、25(1sin )a ax dx π++=⎰().a 为任意实数27、设ln(1)x y e =-，则微分dy =________________.28、 3222(cos )d 1x x x xππ-+=-⎰.三、解答题1、（本题满分9分）求函数162y x x=-+-的定义域。
大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解
大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）1.（3分）若/3= 2XXV0,为连续函数,则d的值为（）.a+ x,x>0（A）I （B） 2 （C）3 （D）-I2.（3分）已知厂⑶=2,则Ii y "7⑶的值为（）.λ→0 2hOOl （B） 3 （C）-I （D）I23.（3分）定积分∫>Λ∕1-COS23Xdx的值为（）•■⑷ 0 （B）-2 （C）I （D） 24.（3分）若/⑴在“勺处不连续,则/3在该点处（）・（A）必不可导（B）—定可导（C）可能可导（D）必无极限二、填空题（共12分）1.（3分）平面上过点（0,1）,且在任意一点（Λ∙,y）处的切线斜率为3疋的曲线方程为_________________________ .2.（ 3 分）∫ ι（x2+x4 Sin XyIX = _______ 1-3.（3 分）IilnX2 Sin丄= ・.r→υX4.（3分）y = 2√ -3√的极大值为________________ —2 （6分）设尸冕,求*JT + 1三、计算题（共42分）1.（6 分）求Iim史S.∙*→υ Sin 3x^3.（6分）求不定积分JXIn（I+十）厶.x .v<ι4.（6 分）求J /（X-1）JΛ∖其中/（x）= < l + cosχ,e' +l,x> 1.5.（6分）设函数y = f（x）由方程JO e,M + ［cos∕d∕ = 0所确定,求dy.6.（ 6 分）设 f f{x）dx = Sin + C,求j + 3）dx.7.（6 分）求极限IinJI÷-Γn→30k 2/7 7四、解答题（共28分）1.（7 分）设,Γ（lnx） = l+x,且/（0） = 1,求32.（7分）求由曲线y = cosx［-^-<x<^及X轴所围成图形绕着X轴旋I 2 2）转一周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线y = x3-3√÷24x-19在拐点处的切线方程•4.（7分）求函数y = x + √∏7在［-5,1］上的最小值和最大值.五、证明题（6分）设厂（X）在区间［“］上连续,证明i a f^dx = ¥ ［/（“） + f（b）］+1 ［（X - a）（x - b）fj）dx.（二）一、填空题（每小题3分，共18分）1.设函数/（χ）= 2χ2~1 ,则"1是心）的第_________ 类间断点.X -3x + 23.=∙v→∞V X)4・ 曲线 V 在点(扣)处的切线方程 为 ・5 .函数J = 2X 3-3X 2在［-1,4］上的最大值 _________________ ,最小值 __________ .二、 单项选择题(每小题4分，共20分)1.数列&”｝有界是它收敛的( )•(A)必要但非充分条件； (C)充分必要条件； 2.下列各式正确的是((B)充分但非必要条件; (D)无关条件.)・(A) je-χdx=e"x+C i(B) J In X(IX = _ + C ; (C)JI 2∕x=2hl (l 2x)+C ；(D) f —5—JX = Inlllx+ C ・' ,J XInX3-设/(x)在RM 上，广(x)>O 且厂(x)>0,则曲线y = f(x)在［“问上•6.∣∙arctanx J l +x 2(IX(小沿X轴正向上升且为凹(B)沿兀轴正向下降且为凹的；的；(D)沿X轴正向下降且为凸(C)沿兀轴正向上升且为凸的；的.则/(x)在兀=0处的导? :( )•4. 设/(*)=XInX ’⑷等于1;（C）等于O ；（D）不存在•5.已知Ihn/（x）= 2,以下结论正确的是（）•G）函数在工=1处有定义且/（1）=2 ; （B）函数在；V = I处的某去心邻域内有定义；（C）函数在2 1处的左侧某邻域内有定义；（D）函数在21处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每小题6分，共36分）1.求极限:HlnX2 sinx→0X2.已知y = ln（l + χ2）,求几3.求函数J = >0）的导数.5.J X COS XdX ・丄 16.方程y x =X y确定函数y = f（x）f求八四、（H）分）已知/为/（X）的一个原函数，求∫x2∕（x}∕x.五、（6分）求曲线,=壮7的拐点及凹凸区间.六、（10 分）设J广（√∑）/X = X（e、' +1）+C ,求/（X）・（三）填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）・±J_(1)⅛(COSX)r = ________ 石________ .(2)曲线A = Xlnx上及直线X-y + l= °平行的切线方程为y =x-∖(3 )已知f f(e x) = xe~x,且/(D = O ,则大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解/(X)= _________ /Cv)= 2(In X)________ .X 211(4)曲线V =3777的斜渐近线方程为 _______ V= 3Λ^9,二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分)・(1)下列积分结果正确的是(D )(2)函数/W 在［恥］内有定义，其导数广⑴的图形如图1-1所示, 则(D ) •(A)刁宀都是极值点.⑻ g ，/3))，(£，/(£))都是拐点.(C) F 是极值点.，U 是拐点. (D) WJy))是拐点，勺是极值点.(3) 函数y = qe v ÷C 2e-÷A -e'满足的一个微分方程是(D ).(A) /-y-2>∙ = 3xe t . (B) /-y-2y = 3e v . (C) / + y-2y = 3Λ∙e c .(D) / + y~2y = 3e r .lim∕(⅞)-∕(⅞~z0 (4) 设/W 在％处可导，则I h 为(A ) •⑷ 广仇). (B) -f ,M.(C) O. (D)不存在.(5)下列等式中正确的结果是((A) (J* /(x)"∙χ)'Z=/W-(C) 町 /(χ)"χ]=/W -) 微分方程= (V+1)-的通解为三、计算J (本 共4小题，每小题6分，共24分).y =3 _5 "3 O(或令 √Γ+χ = r)四、解答题（本题共4小题，共29分）•1. （本题6分）解微分方程r-5∕÷6j = xe -.解：特征方程r 2-5r + 6 = 0 ------------- 1分 特征解斤=2,r 2 =3. ------------ 1分 3x大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解 恤（丄—丄）1∙求极限j X-I In —X 11. xlnx-x+1Iim (—— _ ——)IIm ---------In XIUn I XTl x-1 I---- + In xh ∖x Iim x →,X -1 + xln1.1 + In X 1 IUn -------- =— j 1 + In X +1 2Λ = In Sin t2.方程尸COSWSinf 确定V 为X 的函数,dy y ,(f)-=-一 =∕sm∕, 解 JX 十⑴求dx 及Jx 2 .（3分） (6分)arctan JX3. 4.计算不定积分J石(1+『. arctanA∕√7—— (i + χ)=21 arctan √7t∕ arctan y ∕x ——解 Hatan 仇=2 J √x(l + x)=(arctan2+C ——「一 dx4.计算定积分如+曲.'3χ(l -VTTX) 0解 分）oT7⅛7_ V dx = 一J(：(I-、/i+x)〃X（6分）LL i∖l4/1 «\ ? r V 八2.(本题7分)一个横放着的圆柱形水桶(如图4-1),桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ,水的比重为乙计算桶的一端面上所受的压力.解：建立坐标系如图3.(本题8分)设/B在S】上有连续的导数，f(u) = f(b) = θ9且∫O∕2(X)JΛ =1^试求∫>∕ω∕解:J：Xf(X)f∖x)dx = £ Xf(X)df(x) 2 分= -∫n^^W ------------ 2 分=IV 2(Λ-)⅛-|£72(X)厶一一2 分4.(本题8分)过坐标原点作曲线＞, = h^的切线，该切线及曲线y =lnx及X轴围成平面图形D.⑴(3) 求D的面积A;⑵(4) 求D绕直线X = e旋转一周所得旋转体的体积V.解:(1)设切点的横坐标为"，则曲线y = In Λ在点(⅞Jn ⅞)处的切线方程y = Inx0 + —(X-X0).氐__I分由该切线过原点知山心-1 = 0,从而心=匕所以该切线的方程为1y = -X.平面图形D的面积1V = -X(2)切线"及X轴及直线Xe所围成的三角形绕直线Xe旋转V I = -7te1所得的圆锥体积为,3 2分曲线尸IZ及X轴及直线所围成的图形绕直线Xe旋转所得的旋转体体积为V2=(oπ(e-e>)2dy9】分因此所求旋转体的体积为V=V l-V2=-^2-e y)2dy = -(5e2-∖2e + 3).五、证明题(本题共1小题，共7分)•1.证明对于任意的实数Y , eJl + x.e x = l + x + —Λ2≥l + x2解法二设fM = e x-x~^则/(0) = 0.因为f f M = e x-∖. 1 分当Xno时，f,M≥o.f(χ)单调增加，/(χ)≥∕(θ)=o.当x≤0时，∕,ω≤0.∕(Λ∙)单调增加，/(X)≥/(0) =0. 所以对于任意的实数X, ∕3≥°∙即e'≥l + I 解法三：由微分中值定理得，R -1 = “ -60 =^(X-O) = ^Xt 其中§位于0 到X 之一1分2分A = V -ey)dy = ~e~^∙解法一:2分2分1分2分间。