北师大版八年级数学上册易错题整理
1、一支蜡烛长20厘米,．点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n (厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是（ ）
A B C D
2、已知正比例函数kx y =（0≠k ）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数k x y +=的图象大致是（ ）
A B C D
3、甲、乙两人同时沿着一条笔直的公路朝同一方向前行，开始时，乙在甲前2千米处，
甲、乙两人行走的路程S （千米）与时间t （时）的函数图象（如图所示），下列说法正
确的是（ ）
A 、乙的速度为4千米/时
B 、经过1小时，甲追上乙
C 、经过0.5小时，乙行走的路程约为2千米
D 、经过1.5小时，乙在甲的前面 4、当14+a 的值为最小值时，a 的取值为（ ）
A 、－1
B 、0
C 、4
1
- D 、1
5、若错误!未找到引用源。
是169的算术平方根，错误!未找到引用源。
是121的负的平方根，则（错误!未找到引用源。
＋错误!未找到引用源。
）2的平方根为（ ）
A. 2
B. 4
C.±2
D. ±4 6、满足－3＜x ＜5的整数x 是（ ）
A 、－2,－1,0,1,2,3
B 、－1,0,1,2,3
C 、－2,－1,0,1,2
D 、－1,0,1,2 7、如图，有一圆柱，它的高等于8cm ，底面直径等于4cm (π=3)．在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约等于 （ ）
A ．10cm
B ．12 cm
C ．19cm
D ．20cm 8、直线y kx b =+经过点(1,)A m -，(,1)B m (1)m >，则必有（ ） A. 0,0k b >> .0,0B k b >< .0,0C k b <> .0,0D k b << 9、如果0ab >，
0a c <，则直线a c
y x b b
=-+不通过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
10、如图，两直线1y kx b =+和2y bx k =+在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）
x y
x
y
x y x y O O O
O S(千米)
1 2 3 4
0.5 1 乙 甲 O
t (时)
11、某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图所示的
一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ） A. 20kg B. 25kg C. 28kg D. 30kg
12、.如图，在t R ABC ∆中，90C ∠=，∠A =30°，DE =2，且DE 是线段AB 的垂直平
分线，交AB 于D ，交AC 于E ，则CE 的长是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4
13、某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是 .
14、在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=（ ）. A. 4 B.
6 C. 5 D. 6
二、填空
15、正方形边长为3，若边长增加x 则面积增加 y ，求y 随x 变化的函数关系式为 。
16、计算：34
3
1+= .
17、小明从邮局买了面值50分的邮票和面值80分的邮票共12枚，用去8.1元。
小明买两种邮票各
多少枚？若设小明买了面值50分的邮票x 枚，面值80分的邮票y 枚，请列出关于x ，y 的二元一次方程 .
18、随着海拔高度的升高，空气中的含氧量含氧量3
(g /m )y 与大气压强(kPa)x 成正比例函数关系．当36(kPa)x =时，3108(g /m )y =，请写出y 与x 的函数关系式 ．
19、如图，有一圆柱体，它的高为20cm ，底面半径为7cm ．在圆柱的下底面A 点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是 cm （结果用带根号和π的式子表示）．
20、如图，直线L 是一次函数b kx y +=的图象，
则_______,==k b ，当______x 时，0>y ；
21、汽车开始行驶时，油箱中有油30升，如果每小时耗油4升，那么油箱中的剩余油量y(升)和工作时间x （时）之间的函数关系式是 ；
O
30
50
300900x
(kg)y
(元)
x y O 2-3E
C
B D
A
①216
3)1526(-⨯- ②3
1
1548412712-++
③()(
)
2551-+ ④
25
520-+
⑤⎩⎨⎧=-+=-+0519203637y x y x ⑥⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+0
1834
3
121y x y x (用代入法)
23、阅读下列解题过程：1
21+=21(21)(21)
-+-=
21-
132+=32(32)(32)
-+-=32-
143+=43(43)(43)
-+-=43-；…… 则： (1)
1109
+= ； 110099
+=
(2)观察上面的解题过程，请直接写出式子
=--
1
1n n ；
(3)利用这一规律计算：
（121
+＋132+＋143+＋…＋200820091+）（12009+）的值。
24、某种汽车的油箱可储油40L ，加满油并开始工作后，•油箱中的余油量y （L ）与工作时间x （h ）之间为一次函数关系，如图8所示．
（1）求y 与x 的函数解析式．
（2）一箱油可供该汽车工作几小时？。
北师大版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解易错题(Word版 含答案)
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）1．利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式：()()()12222222a b c ab bc ac a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦． 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． （1）请你展开右边检验这个等式的正确性；（2）利用上面的式子计算：222201820192020201820192019202020182020++-⨯-⨯-⨯．【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简，从而可以得出结论；（2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值．【详解】解：（1）12[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2] =12（a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2+a 2-2ac+c 2） =12×（2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac ） =a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ，故a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=12[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2]正确； （2）20182+20192+20202-2018×2019-2019×2020-2018×2020 =12×[（2018-2019）2+（2019-2020）2+（2020-2018）2] =12×（1+1+4） =12×6 =3．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用．2．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC 的最大边c的值；（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．【答案】(1)9；（2）△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.【解析】试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．试题解析：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，∴x﹣y=0，y+3=0，∴x=﹣3，y=﹣3，∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，即xy的值是9．（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，∴a﹣5=0，b﹣6=0，∴a=5，b=6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，∴a﹣4=0，c﹣8=0，∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，∴a+b+c=4﹣4+8=8，即a+b+c的值是8．3．观察下列各式:()()2-+=-111,x x x()()23x x x x-++=-111,()()324-+++=-x x x x x111,()()4325 1 11,x x x x x x -++++=-······()1根据规律()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=(其中n 为正整数) ;()()3029282(51)5555251-+++++()3计算：201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-++-+--++ 【答案】（1）1n x -；（2）311-5；（3）2020213-- 【解析】【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果；（2）根据一般性结果，将n=31，x=5代入（1）中即可；（3）将代数式适当变形为（1）的形式，根据前面总结的规律即可计算出结果.【详解】（1）根据上述规律可得()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=1n x -，故填：1n x -；（2）由（1）可知()3029282(51)555551-+++++=311-5()3 201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+⋅+-+-+-+ =201920182011732[(2)1](2)(2)(2)(2)(2)(2)13⎡⎤---+-+-+⋯+-+--+⎣⎦-+ =2020(2)13--- =2020213-- 【点睛】本题考查整式的乘法，能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键，（3）中能对整式适当变形是解题关键，但需注意变形时要为等量变形.4．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b ）（a+b ）=a 2+3ab+2b 2（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c 的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）45；（3）20．【解析】【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD 的面积求解．【详解】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a2+b2+c2 =（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；（3）∵a+b=10，ab=20，∴S阴影=a2+b2﹣12（a+b）•b﹣12a2=12a2+12b2﹣12ab=12（a+b）2﹣32ab=12×102﹣32×20=50﹣30=20．【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积.5．若一个正整数x 能表示成22a b -(,a b 是正整数，且a b >)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解. 例如：因为22532=-，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：22222222()M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 是正整数)，所以M 也是“明礼崇德数”，()x y +与y 是M 的一个平方差分解.(1)判断：9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”)；(2)已知2246N x y x y k =-+-+(,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+)，要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由；(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若m 既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出m 的所有平方差分解.【答案】（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，222794845=-，222792011=-.【解析】【分析】(1)根据9=52-42，确定9是“明礼崇德数”；(2)根据题意分析N 应是两个完全平方式的差，得到k=-5，将k=-5代入计算即可将N 平方差分解，得到答案；(3)确定“七喜数”m 的值，分别将其平方差分解即可.【详解】(1)∵9=52-42，∴9是“明礼崇德数”，故答案为：是；(2)当k=-5时，N 是“明礼崇德数”，∵当k=-5时，22465N x y x y =-+--，=224649x y x y -+-+-，=22(44)(69)x x y y ++-++，=22(2)(3)x y +-+，=(23)(23)x y x y ++++--=(5)(1)x y x y ++--.∵,x y 是正整数，且1x y >+，∴N 是正整数，符合题意，∴当k=-5时，N 是“明礼崇德数”；(3)由题意得：“七喜数”m=178或279，设m=22a b -=（a+b ）（a-b ），当m=178时，∵178=2⨯89，∴892a b a b +=⎧⎨-=⎩，得45.543.5a b =⎧⎨=⎩（不合题意，舍去）； 当m=279时，∵279=3⨯93=9⨯31，∴①933a b a b +=⎧⎨-=⎩，得4845a b =⎧⎨=⎩，∴222794845=-， ②319a b a b +=⎧⎨-=⎩，得2011a b =⎧⎨=⎩，∴222792011=-， ∴既是“七喜数”又是“明礼崇德数”的m 是279，222794845=-，222792011=-.【点睛】此题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提，(3)是此题的难点，解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据，再根据“明礼崇德数”的要求进行平方差分解.6．若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22521=+.再如，()222222M x xy y x y y =++=++（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”. （1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；（2）已知224412S x y x y k =++-+（x ，y 是整数，是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个2200-0=值，并说明理由.（3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．.【答案】（1）8、29是完美数（2）S 是完美数（3）mn 是完美数【解析】【分析】（1）利用“完美数”的定义可得；（2）利用配方法，将S 配成完美数，可求k 的值（3）根据完全平方公式，可证明mn 是“完美数”；【详解】(1) 22228,8+=∴是完美数；222925,29=+∴是完美数 (2) ()222)2313S x y k =++-+-（ 13.k S ∴=当时，是完美数(3) 2222,m a b n c d 设=+=+,则()()()()222222mn a bc d ac bd ad bc =++=++- 即mn 也是完美数.【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．7．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：方法2：（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．；（3）根据（2）题中的等量关系，解决：已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b）2的值；【答案】（1）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（2）（m-n）2=（m+n）2-4mn；（3）1.【解析】【分析】（1）方法1：表示出阴影部分的边长，然后利用正方形的面积公式列式；方法2：利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；（2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答；（3）根据（2）的结论整体代入进行计算即可得解．【详解】解：（1）方法1：∵阴影部分的四条边长都是m-n,是正方形，∴阴影部分的面积=（m-n）2方法2：∵阴影部分的面积=大正方形的面积减去四周四个矩形的面积∴阴影部分的面积=（m+n）2-4mn；（2）根据（1）中两种计算阴影部分的面积方法可知（m-n）2=（m+n）2-4mn；（3）由（2）可知（a+b）2=（a-b）2+4ab，∵a-b=5，ab=-6，∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=52+4×（-6）=25-24=1.【点睛】本题考查几何图形与完全平方公式，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．8．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么形如a+bi （a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）=5﹣3i．（1）填空：i3=，2i4=；（2）计算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i ）2；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+3y ）+3i=（1﹣x ）﹣yi ，（x ，y 为实数），求x ，y 的值．（4）试一试：请你参照i 2=﹣1这一知识点，将m 2+25（m 为实数）因式分解成两个复数的积．【答案】（1）i ；2（2）①5②3+4i （3）x=5，y=﹣3（4）m 2+25=（m+5i ）（m ﹣5i ）【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则及2i 的概念直接运算；（2）利用平方差、完全平方公式把原式展开，根据21i =-计算即可；（3）根据虚数定义得出方程组，解方程组即可；（4）根据21i =- 将25转化为2（-5）i ，再利用平方差公式进行因式分解即可。
北师大版八年级数学上册期末知识点及常见题目类型解法易错题归类整理
1981-8-1期末知识点及常见题目类型解法复习一．勾股定理1.定义：直角三角形--222c b a =+；锐角三角形--222c b a +；钝角三角形--222c b a +2.验证方法：拼图法 面积法3.逆定理及勾股数 勾股数的整数倍还是勾股数4.直角三角形中的等积式：ab=ch5.应用：（1）最短线路问题（立体图形→平面图形） （2）四边形问题→三角形问题（求面积）（3）已知三角形两边和第三边上的高求三角形面积或周长，分类讨论（锐角三角形或钝角三角形）（4）利用勾股定理列方程（常用于折叠问题）（5）方位角 （6）勾股树 （7）长方体中的最长线段222c b a ++ 二．实数 1.实数的两种分类2.实数与数轴上的点一一对应3.在数轴上表示无理数，在网格中画出长为无理数的线段的方法4.相关概念:有理数，无理数，零指数，负指数，平方根，算术平方根，立方根，实数大小比较。
5.二次根式的双重非负性，各种性质二次根式的性质： =⋅b a （ ）=ba（ ） (√a)2= (a ≥0) √a 2= 6.最简二次根式7.同类二次根式 8.分母有理化9.估算：平方根估算；立方根估算；整数部分；小数部分10.二次根式的计算：二次根式的系数写成假分数；运算结果为最简根式或整式。
11.规律题三．平面直角坐标系1.各象限内点的坐标特征；坐标轴上点的坐标特征；2.对称点的坐标特征3.点到x 轴，y 轴，原点的距离4.平行于x 轴的直线上点的坐标特征；5.平行于y 轴的直线上点的坐标特征；6.坐标轴上两点间的距离7.中点坐标公式8.建立适当的坐标系：怎样才算适当？9.求点的坐标的方法：（1）已知函数关系式和一个坐标，求另一个坐标，用代入法。
（2）已知点的位置，过这个点向坐标轴作垂线，找出表示坐标的线段，求线段长。
点的坐标线段的长度（3）两个一次函数的关系式组成的方程组的解就是两直线交点坐标。
四．一次函数1.一次函数关系式，图象，性质，k,b在图象中的意义，k,b在实际问题中的意义；|k|越大，直线越陡.2.求一次函数关系式的方法：待定系数法；列方程法；找规律。
北师大版数学八年级上册 分式解答题易错题(Word版 含答案)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：（1）方程+=+的解；（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．【答案】（1）x=4；（2）x=．【解析】通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：，化简可得：，整理可得：2x=15﹣8，解得：x=，这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]；解方程﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：，化简可得：，解得：x=，这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差．（1）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣，由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8，分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2，所以方程的解为x ==4；（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd ﹣ab ，分母为（a +b ）﹣（c +d ）， 所以方程的解为x =．2．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S 米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．（2）若甲工程队每天可以改造a 米道路，乙工程队每天可以改造b 米道路，（其中a b ）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前12S 米的道路由甲工程队改造，后12S 米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少【解析】【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，则甲工程队每天道路的长度为()30x +米， 根据题意，得：36030030x x=+， 解得：150x =，检验，当150x =时，()300x x +≠，∴原分式方程的解为：150x =，30180x +=，答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米； （2）设方案一所用时间为：111()222s s a b s t a b ab+=+=， 方案二所用时间为2t ，则221122t a t b s +=，22s t a b =+， ∴22()22()a b a b S S S ab a b ab a b +--=++，∵a b ，00a b >>，，∴()20a b ->， ∴202a b S S ab a b+->+，即：12t t >， ∴方案二所用的时间少．【点睛】 本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．3．小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m 倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n 分钟．①当3m =，6n =时，求小强跑了多少分钟？②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m n ，的式子表示）．【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为3分；②1000(1)m mn-． 【解析】【分析】 （1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案；（2）①设小明的速度为y 米/分，由m ＝3，n ＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案.【详解】（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分， 根据题意得：1200x ＝4500220x +． 解得：x ＝80．经检验，x ＝80是原方程的根，且符合题意．∴x+220＝300．答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分．（2）①设小明的速度为y 米/分，∵m ＝3，n ＝6，∴1000100063y y -=，解之得10009y =. 经检验，10009y =是原方程的解，且符合题意， ∴小强跑的时间为：10001000(3)39÷⨯=（分） ②小强跑的时间：1n m -分钟，小明跑的时间：11n mn n m m +=--分钟， 小明的跑步速度为： 1000(1)10001mn m m mn -÷=-分． 故答案为：1000(1)m mn-． 【点睛】 此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.4．已知11x a b c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11y b a c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11z c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）当1a =，1b =，2c =时，求1111x y +--的值； （2）当0ab bc ac ++≠时,求111111x y z +++++的值． 【答案】（1）4；（2）1【解析】【分析】（1）分别对x 、y 进行化简，然后求值即可；(2)分别求出1x ＋、1y ＋、和z 1＋值，然后代入化简即可.【详解】 （1）,,ac ab bc ab bc ac x y z bc ac ab+++===， 当1,1,2a b c ===时， 1211111=;122x ⨯+⨯∴-=-⨯ 1211111=122y ⨯+⨯∴-=-⨯1111=4111122x y ∴+=+-- （2）11ac ab ac ab bc x bc bc ++++=+=， 11bc ab bc ab ac y ac ac ++++=+=， 11bc ac bc ac ab z ab ab++++=+=， ∵+0ab bc ac +≠， ∴111111;+++x y z bc ac ab ab bc ac ab bc ac ab bc ac+++++=+++++ ++ab bc ac ab bc ac+=+ =1.【点睛】 本题考查了整式的化简求值问题，解题的关键是仔细认真的进行整式的化简.5．小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合做需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由．【答案】从节约开支角度考虑，应选乙公司单独完成【解析】试题分析：需先算出甲乙两公司独做完成的周数．等量关系为：甲6周的工作量+乙6周的工作量=1；甲4周的工作量+乙9周的工作量=1；还需算出甲乙两公司独做需付的费用．等量关系为：甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2；甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8．试题解析：解：设甲公司单独完成需x 周，需要工钱a 万元，乙公司单独完成需y 周，需要工钱b 万元．依题意得：661491x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1015x y =⎧⎨=⎩． 经检验：1015x y =⎧⎨=⎩是方程组的根，且符合题意．又6() 5.2101549 4.81015a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯=⎪⎩，解得：64a b =⎧⎨=⎩． 即甲公司单独完成需工钱6万元，乙公司单独完成需工钱4万元．答：从节约开支角度考虑，应选乙公司单独完成．点睛：本题主要考查分式的方程的应用，根据题干所给的等量关系求出两公司单独完成所需时间和工钱，然后比较应选择哪个公司．6．阅读下面的解题过程： 已知2112x x =+，求241x x +的值。
【精选】北师大版八年级数学上册 分式解答题易错题(Word版 含答案)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：（1）方程+=+的解；（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．【答案】（1）x=4；（2）x=．【解析】通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：，化简可得：，整理可得：2x=15﹣8，解得：x=，这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]；解方程﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：，化简可得：，解得：x=，这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差．（1）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣，由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8，分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2，所以方程的解为x==4；（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd﹣ab，分母为（a+b）﹣（c+d），所以方程的解为x=．2．某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析．【解析】【分析】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20，由等量关系列出方程求解．（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．【详解】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，则：解得：x＝16经检验，x＝16 是原分式方程的解∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元方案二：乙工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷24＝40 天需要的总费用为：40×（120+15）＝5400 元方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则16a+24a＝960∴a＝24∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5 160 元综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列 出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．3．阅读下面材料并解答问题材料：将分式322231x x x x --++-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为21x -+，可设()322231()x x x x x a b --++=-+++， 则323223x x x x ax x a b --++=--+++ ∵对任意x 上述等式均成立， ∴2a =且3a b +=，∴2a =，1b = ∴()2322221(2)12312111xx x xx x x x x -+++--++==++-+-+-+这样，分式322231x x x x --++-+被拆分成了一个整式2x +与一个分式211x -+的和 解答：（1）将分式371x x +-拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式 （2）求出422681x x x --+-+的最小值． 【答案】（1）3+101x -；（2）8 【解析】 【分析】（1）直接把分子变形为3(x-1)+10解答即可；（2）由分母为-x 2+1，可设-x 4-6x 2+8=(-x 2+1)(x 2+a)+b ，按照题意，求出a 和b 的值，即可把分式422681x x x --+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 【详解】解：（1）371x x +-=33101x x -+- =()31101x x -+-=3+101x -； （2）由分母为21x -+，可设4268x x --+()()221x x a b =-+++，则4268x x --+()()221x x a b =-+++ 422x ax x a b =--+++42(1)()x a x a b =---++．∵对于任意的x ，上述等式均成立， ∴168a a b -=⎧⎨+=⎩解得71a b =⎧⎨=⎩∴422681x x x --+-+ ()()2221711x x x -+++=-+()()222217111x x x x -++=+-+-+22171x x =++-+．∴当x=0时，22171x x ++-+取得最小值8，即 422681x x x --+-+的最小值是8．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答本题的关键是理解阅读材料中的方法，并能加以正确应用．4．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：76112333+==+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.例如：像33x x -+，23x x -，…这样的分式是假分式；像23x -，23x x -，…这样的分式是真分式. 类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式.例如：将分式2253x x x +-+拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式.方法一：解：由分母为3x +，可设225(3)()x x x x a b +-=+++则由22225(3)()33(3)(3)x x x x a b x ax x a b x a x a b +-=+++=++++=++++对于任意x ，上述等式均成立， ∴3235a a b +=⎧⎨+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩∴225(3)(1)2(3)(1)22133333x x x x x x x x x x x x +-+--+-==-=--+++++ 这样，分式2253x x x +-+就被拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式.方法二：解：2225332(3)(3)2(3)32213333333x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+---+-+-++===--=--+++++++ 这样，分式2253x x x +-+就拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式.（1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法将分式2731x x x ---拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；（2）已知整数x 使分式225112x x x +-+的值为整数，求出满足条件的所有整数x 的值.【答案】（1）961x x ---；（2）x=-1或-3或11或-15. 【解析】 【分析】（1）先变形2731x x x ---=26691x x x x --+--，由“真分式”的定义，仿照例题即可得出结论；（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定整数x 的值． 【详解】解：（1）2731x x x ---=26691x x x x --+--=(1)6(1)91x x x x -----=961x x ---； （2）225112x x x +-+= 2242132x x x x +++-+=2(2)(2)132x x x x +++-+=13212x x +-+，∵x 是整数，225112x x x +-+也是整数，∴x+2=1或x+2=-1或x+2=13或x+2=-13， ∴x=-1或-3或11或-15. 【点睛】本题考查了逆用整式和分式的加减法对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义对分子进行拆分．5．有甲、乙两名采购员去同一家公司分别购买两次饲料，两次购买的饲料价格分别为m 元/千克和n 元/千克，且m≠n ，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少千克的饲料。
2024年北师大版八年级上册数学期末复习专题八 一次函数的常见错误
专题
＝ − ，
−＋ = ，
所以ቊ
解得ቊ
＝ − .
＝ − ，
所以直线 BC 的表达式为 y ＝－3 x －1.
因为点 A 和点 B 在直线 y ＝ kx －1的两侧，所以－3＜
k ＜－ .
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专题
易错点4
忽视分类讨论或分类不全而出错
11. 已知直线 y ＝ kx －4与两坐标轴所围成的三角形面积等于
所以 k －2≠0且 k2－4＝0.所以 k ＝－2.
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专题
−
3. 已知 y ＝( m －3)
＋ m ＋1是一次函数，求该函数的
表达式.
【解】由一次函数的定义可知 m2－8＝1， m －3≠0，
所以 m ＝－3.
所以该函数的表达式为 y ＝－6 x －2.
1
+ ( ≤ ),
6. [2024天津月考]若函数 y ＝൝
则当 y ＝20时，
( > ),
自变量 x 的值是( D )
A. ±
C. ± 或4
【点拨】
B. 4
D. 4或－
当x＞3时，由y＝20得5x＝20，解得x＝4，当x≤3
时，由y＝20得x2＋6＝20，解得x＝± .
取值范围.
【解】设直线 AC 的表达式为 y ＝
ax ＋ b ( a ≠0)，
−＋ = ，
＝ − ，
北师大版数学八年级上册 轴对称解答题易错题(Word版 含答案)
北师大版数学八年级上册 轴对称解答题易错题（Word 版 含答案）一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积． 【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）1769或32 【解析】 【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可． 【详解】（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H∵∠C=45°，DH ⊥BC ∴△DHC 是等腰直角三角形 ∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90° ∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8 ∴BH=BC －HC=6 ∴AD=6（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC ∴∠EFP=∠C=45° ∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形 ∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x ∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x ∵EB=QR∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10∵y ＞0，∴x ＜103当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1 ∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10 则当y=2时，x=4，即AE=4 ∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．2．如图，在ABC △中，已知AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于点F ，求证：AF EF =．【答案】证明见解析 【解析】 【分析】延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ，结合D 是BC 的中点，易证△ADC 和△GDB 全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF. 【详解】如图，延长AD到点G，延长AD到点G，使得AD DG=，连接BG ．∵AD是BC边上的中线，∴DC DB=．在ADC和GDB△中，AD DGADC GDBDC DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等），∴ADC≌GDB△（SAS）．∴CAD G∠=∠，BG AC=．又BE AC=，∴BE BG=．∴BED G∠=∠．∵BED AEF∠=∠∴AEF CAD∠=∠，即AEF FAE∠=∠∴AF EF=．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键. 3．如图，在等腰直角ABC△中，AB AC=，90BAC∠=︒，点D是ABC△内一点，连接AD，AE AD⊥且AE AD=，连接BD、CE交于点F.（1）如图 1，求BFC∠的度数；（2）如图 2，连接ED交BC于点G，连接AG，若AG平分BAD∠，求证：2EAC EDF∠=∠；（3）如图 3，在（2）的条件下，BF交AG、AC分别于点M、N，DH AM⊥，连接HN，若ADN∆的面积与DHN的面积差为 6，6DF=，求四边形AMFE的面积.【答案】（1）∠BFC =90°；（2）见解析；（3）20AMFE S =四边形. 【解析】 【分析】（1）根据SAS 证明ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以90BFC BAC ∠=∠=︒.（2）根据题意先求出180ABG ADG ∠+∠=︒，在AB 上截取AK AD =，连接KG ，由AKG ADG ≌，180BKG AKG ∠+∠=︒，可证得BKG KBG ∠=∠，GB GK DG ==，所以DBG BDG EDF α∠=∠=∠=， 因为2CAE BAD α∠=∠=，所以2CAE EDF ∠=∠．（3）根据题意和（2）中结论先证明AD AN AE ==，过 A 作BF 、CE 垂线，垂足分别为R 、T ， 连接AF ，证明ANR AET ≌，所以AR AT =，然后根据等腰三角形的性质可得出DM FN =，过点H 作HP FM ⊥，垂足为P ，所以HP PM DP ==，设DP x =，DR y =，所以ADN DHN S S ∆∆-=1122DN AR DN HP ⋅⋅-⋅ ()6y x y =+=，226DF x y =+=，求出x ，y ，不难得到AEF ANF ADM S S S ∆∆∆===4，然后可得20AMFE S =四边形. 【详解】（1）因为ABC 是等腰直角三角形，所以AB AC =，90BAC DAE ∠=︒=∠， 所以BAD CAE ∠=∠，因为AD AE =，所以ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以90BFC BAC ∠=∠=︒.（2）因为AD AE =，90DAE ∠=︒，所以45AED ACG ∠=︒=∠，所以CAE CGE ∠=∠，由（1）知：BAD CAE ∠=∠，所以BAD CGD ∠=∠，设2BAD CGD α∠==∠， 所以1802BGD α∠=︒-，所以180BAD BGD ∠+∠=︒， 所以180ABG ADG ∠+∠=︒， 因为AG 平分BAD ∠，所以BAG DAG α∠=∠=，在AB 上截取AK AD =，连接KG ，因为AG AG =，所以AKG ADG ≌，所以AKG ADG ∠=∠，DG KG =， 因为180BKG AKG ∠+∠=︒，所以BKG KBG ∠=∠，所以GB GK DG ==，所以DBG BDG EDF α∠=∠=∠=， 因为2CAE BAD α∠=∠=，所以2CAE EDF ∠=∠．（3）由（2）知：BAG DBG α∠=∠=，因为90BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，所以45ABN α∠=︒-，因为2BAD α∠=，所以45ADN α∠=︒+，因为902DAN α∠=︒-，所以45AND ADN α∠=︒+=∠，所以AD AN =，因为AD AE =，所以AE AN =， 过 A 作BF 、CE 垂线，垂足分别为R 、T ， 连接AF ，因为45ACE ABD α∠=∠=︒-，2CAE α∠=，所以45AET ANR α∠=︒+=∠， 因为AE AN =，所以ANR AET ≌，所以AR AT =，所以FA 平分BFT ∠， 所以45AFN AFE ∠=∠=︒，因为45AMN ∠=︒，所以AFM AMF ∠=∠，所以AF AM =，所以FR MR =，因为DR RN =，所以DM FN =，过点H 作HP FM ⊥，垂足为P ， 因为45AMN ∠=︒，90DHM ∠=︒，所以45MHP DHP HDP ∠=∠=∠=︒，所以HP PM DP ==，设DP x =，所以2DM FN x ==，设DR y =，所以2DN y =，所以2MR x y =+，因为45MAR ∠=︒，所以2AR MR x y ==+，所以ADN DHN S S ∆∆-=1122DN AR DN HP ⋅⋅-⋅ ()6y x y =+=，因为226DF x y =+=，所以3x y +=，所以2y =，1x =，因为AF AF =，ANF AEF ∠=∠，所以AEF ANF ≌，所以FN EF =，因为AR AT =，所以AEF ANF ADM S S S ∆∆∆==，因为142ADM S DM AR ∆=⋅⋅=， 所以20ADM ADN ANF AEF AMFE S S S S S ∆∆∆∆=+++=四边形.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识点，解题的难点在于学会添加常用辅助线，构造三角形全等解决问题，属于中考压轴题.4．再读教材:宽与长的比是5-12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图③中所示的AD处，第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形，问题解决:（1）图③中AB=________(保留根号);（2）如图③,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由;（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.（4）结合图④.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.【答案】（15(2)见解析;(3)见解析; (4) 见解析.【解析】分析：（1）由勾股定理计算即可；（2）根据菱形的判定方法即可判断；（3）根据黄金矩形的定义即可判断；（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．详解：（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB=22AC BC+=2212+=5．故答案为5．（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下：如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．∵AD=5．AN=AC=1，CD=AD﹣AC=5﹣1．∵BC=2，∴CDBC=512-，∴矩形BCDE是黄金矩形．∵MNDN=15+=51-，∴矩形MNDE是黄金矩形．（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．长GH51，宽HE=35点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．5．如图，在等边ABC∆中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE CD=，BD 交CE于点P．（1）如图1，求证120BPC︒∠=；（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM．①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是；②若点A，P，M三点不共线，如图3，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明过程见详解；（2）①2AP PM=；②结论成立，证明见详解【解析】【分析】（1）先证明()AEC CDB SAS≌，得出对应角相等，然后利用四边形的内角和和对顶角相等即可得出结论；（2）①2AP PM=；由等边三角形的性质和已知条件得出AM⊥BC，∠CAP＝30°，可得PB＝PC，由∠BPC＝120°和等腰三角形的性质可得∠PCB＝30°，进而可得AP＝PC，由30°角的直角三角形的性质可得PC＝2PM，于是可得结论；②延长BP至D，使PD＝PC，连接AD、CD，根据SAS可证△ACD≌△BCP，得出AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，然后延长PM至N，使MN＝MP，连接CN，易证△CMN≌△BMP （SAS），可得CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，最后再根据SAS证明△ADP≌△NCP，即可证得结论．【详解】（1）证明：因为△ABC为等边三角形，所以60A ACB∠=∠=︒∵AC BCA ACBAE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEC CDB SAS≌，∴AEC CDB∠=∠，在四边形AEPD中，∵360AEC EPD PDA A∠+∠+∠+∠=︒，∴18060360AEC EPD CDB∠+∠+︒-∠+︒=︒，∴120EPD∠=︒，∴120BPC∠=︒；（2）①如图2，∵△ABC是等边三角形，点M是边BC的中点，∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AM ⊥BC ，∠CAP ＝12∠BAC ＝30°，∴PB ＝PC ， ∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＝∠PCB ＝30°， ∴PC ＝2PM ，∠ACP ＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP ， ∴AP ＝PC ，∴AP ＝2PM ； 故答案为：2AP PM ；②AP ＝2PM 成立，理由如下：延长BP 至D ，使PD ＝PC ，连接AD 、CD ，如图4所示：则∠CPD ＝180°﹣∠BPC ＝60°， ∴△PCD 是等边三角形，∴CD ＝PD ＝PC ，∠PDC ＝∠PCD ＝60°，∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ，∠ACB ＝60°＝∠PCD ， ∴∠BCP ＝∠ACD ， ∴△ACD ≌△BCP （SAS ）， ∴AD ＝BP ，∠ADC ＝∠BPC ＝120°， ∴∠ADP ＝120°﹣60°＝60°，延长PM 至N ，使MN ＝MP ，连接CN ， ∵点M 是边BC 的中点，∴CM ＝BM ， ∴△CMN ≌△BMP （SAS ）， ∴CN ＝BP ＝AD ，∠NCM ＝∠PBM ， ∴CN ∥BP ，∴∠NCP +∠BPC ＝180°， ∴∠NCP ＝60°＝∠ADP ，在△ADP 和△NCP 中，∵AD=NC ，∠ADP =∠NCP ，PD=PC ， ∴△ADP ≌△NCP （SAS ）， ∴AP ＝PN ＝2CM ；【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．6．已知：等边ABC ∆中．（1）如图1，点M 是BC 的中点，点N 在AB 边上，满足60AMN ∠=︒，求AN BN的值． （2）如图2，点M 在AB 边上（M 为非中点，不与A 、B 重合），点N 在CB 的延长线上且MNB MCB ∠=∠，求证：AM BN =．（3）如图3，点P 为AC 边的中点，点E 在AB 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，满足AEP PFC ∠=∠，求BF BE BC-的值． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）32． 【解析】【分析】（1）先证明AMB ∆，MBN ∆与MAN ∆均为直角三角形，再根据直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半，证明BM=2BN ，AB=2BM ，最后转化结论可得出BN 与AN 之间的数量关系即得；（2）过点M 作ME ∥BC 交AC 于E ，先证明AM=ME ，再证明MEC ∆与NBM ∆全等，最后转化边即得；（3）过点P 作PM ∥BC 交AB 于M ，先证明M 是AB 的中点，再证明EMP ∆与FCP ∆全等，最后转化边即得．【详解】（1）∵ABC∆为等边三角形，点M是BC的中点∴AM平分∠BAC，AM BC⊥，60B BAC∠=∠=︒∴30BAM∠=︒，90AMB∠=︒∵60AMN∠=︒∴90AMNBAM∠+=︒∠，30∠=︒BMN∴90ANM∠=︒∴18090BNM ANM=︒-=︒∠∠∴在Rt BNM∆中，2BM BN=在Rt ABM∆中，2AB BM=∴24AB AN BN BM BN=+==∴3AN BN=即3ANBN=．（2）如下图：过点M作ME∥BC交AC于E∴∠CME=∠MCB，∠AEM=∠ACB∵ABC∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒∴60AEM ACB∠=∠=︒，120MBN=︒∠∴120CEM MBN∠==︒∠，60AEM A∠=∠=︒∴AM=ME∵MNB MCB∠=∠∴∠CME=∠MNB，MN=MC∴在MEC∆与NBM∆中CME MNBCEM MBNMC MN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()MEC NBM AAS∆∆≌∴ME BN=∴AM BN=（3）如下图：过点P 作PM ∥BC 交AB 于M∴AMP ABC =∠∠∵ABC ∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒，AB AC BC ==∴60AMP A ==︒∠∠∴AP MP =，180120EMP AMP =︒-=︒∠∠，180120FCP ACB =︒-=︒∠∠ ∴AMP ∆是等边三角形，120EMP FCP ==︒∠∠∴AP MP AM ==∵P 点是AC 的中点 ∴111222AP PC MP AM AC AB BC ====== ∴12AM MB AB == 在EMP ∆与FCP ∆中EMP FCP AEP PFC MP PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EMP FCP AAS ∆∆≌∴ME FC = ∴1322BF BE FC BC BE ME BC BE MB BC BC BC BC -=+-=+-=+=+= ∴3322BC BF BE BC BC -==． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定，通过作等边三角形第三边的平行线构造等边三角形和全等三角形是解题关键，将多个量转化为同一个量是求比值的常用方法．7．已知如图1，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点，直线BF 垂直于直线CE 于点F ，交CD 于点G .（1）求证：AE CG =.（2）如图2，直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M，求证：BE CM=.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．【详解】（1）∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG．又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°．又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG．在△AEC和△CGB中，∵CAE BCGAC BCACE CBG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG；（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC．在△BCE和△CAM中，BEC CMAACM CBEBC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．8．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点 B是 y轴正半轴上一动点，点C、D在 x 正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长_____．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接 QD并延长，交 y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 PD＝23DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在 y轴上运动时，求OP的最小值．【答案】（1）6；（2）C的坐标为（12，0）；（3）3 2 .【解析】【分析】（1）作∠DCH＝10°，CH 交BD 的延长线于H，分别证明△OBD≌△HCD 和△AOB≌△FHC，根据全等三角形的对应边相等解答；（2）证明△CBA≌△QBD，根据全等三角形的性质得到∠BDQ＝∠BAC＝60°，求出CD，得到答案；（3）以OA 为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP 交x 轴于点F．证明点P 在直线EF 上运动，根据垂线段最短解答．【详解】解：（1）作∠DCH＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB ＝DC ，在△OBD 和△HCD 中，==OBD HCD DB DC ODC HDC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△OBD ≌△HCD （ASA ），∴OB ＝HC ，在△AOB 和△FHC 中，==ABO FCH OB HC AOB FHC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△AOB ≌△FHC （ASA ），∴CF=AB=6，故答案为6；（2）∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形，∴∠ABD ＝∠CBQ ＝60°，∴∠ABC ＝∠DBQ ，在△CBA 和△QBD 中，BA BD ABC DBQ BC BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBA ≌△QBD （SAS ），∴∠BDQ ＝∠BAC ＝60°，∴∠PDO ＝60°，∴PD ＝2DO ＝6，∵PD ＝23DC ， ∴DC ＝9，即 OC ＝OD+CD ＝12，∴点 C 的坐标为（12，0）；（3）如图3，以 OA 为对称轴作等边△ADE ，连接 EP ，并延长 EP 交 x 轴于点F ．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在直线 EF上运动，当 OP⊥EF时，OP最小，∴OP＝12OF＝32则OP的最小值为32．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=α（0°<α<60°），点A关于射线CP 的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE.（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；（2）在α（0°<α<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明.【答案】（1）∠DBC60α=︒-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，证明见解析.【解析】【分析】（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=602α︒+，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出∠BEC60=︒，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系.【详解】解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD=602α︒+，BC=DC，∴∠DBC=∠BDC()1806021806022BCDαα︒-︒+︒-∠===︒-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°.理由：设AC、BD相交于点H，如图2，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，AE=DE，又∵CE=CE，∴△ACE≌△DCE（SSS），∴∠CAE=∠CDE，∵∠DBC=∠BDC，∴∠DBC=∠CAE，又∵∠BHC=∠AHE，∴∠AEB=∠BCA=60°，即∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）AE，BD，CE之间的数量关系是：BD=2AE+CE.证明：如图3，在BD 上取一点M ，使得CM=CE ，∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα︒-+=︒， ∴△CME 是等边三角形，∴∠MCE =60°，ME=CE ，∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=︒+-︒-=，∴∠BCM =∠DCE ，又∵BC=DC ，CM=CE ，∴△BCM ≌△DCE （SAS ），∴BM=DE ， ∵AE=DE ，∴BD=BM+ME+DE =2DE+ME =2AE+CE .【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.10．数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC 中，110A ∠=，求B 的度数.（答案：35）例2 等腰三角形ABC 中，40A ∠=，求B 的度数.（答案：40或70或100） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题：变式1: 等腰三角形ABC 中，∠A=100°，求B 的度数.变式2: 等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ，求B 的度数.（1）请你解答以上两道变式题.（2）解（1）后，小敏发现，A ∠的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，当B 只有一个度数时，请你探索x 的取值范围.【答案】（1）变式1: 40°；变式2: 90°或67.5°或45°；（2）90°≤＜180°或x=60°【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分类讨论，即可得到答案；(2)在等腰三角形ABC 中，当B 只有一个度数时，A ∠只能作为顶角时，或∠A=60°，进而可得到答案.【详解】变式1:∵等腰三角形ABC 中，∠A=100°，∴∠A 为顶角，∠B 为底角，∴∠B=1801002-=40°；变式2: ∵等腰三角形ABC中，∠A= 45°，∴当AB=BC 时，∠B =90°，当AB=AC 时，∠B =67.5°，当BC=AC时∠B =45°；（2）等腰三角形ABC中，设A x∠=，当90°≤x＜180°，∠A为顶角，此时，B只有一个度数，当x=60°时，三角形ABC是等边三角形，此时，B只有一个度数，综上所述：90°≤x＜180°或x=60°【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论思想的应用，是解题的关键.。
北师大版数学八年级上册 三角形解答题易错题(Word版 含答案)
北师大版数学八年级上册三角形解答题易错题（Word版含答案）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；②设AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．(2)如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.【答案】（1）①△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；②∠1=180°−2x,∠2=180°−2y；③∠A=12（∠1+∠2）；（2）变化，∠A=12（∠2-∠1），见详解【解析】【分析】（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90-12∠1，y=90-12∠2，再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A=12（∠1+∠2）；（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】（1）①根据翻折的性质知△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；②）∵∠AED=x，∠ADE=y，∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，∴∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；③∠A=12（∠1+∠2）；∵∠1=180°-2x ，∠2=180°-2y ，∴x=90-12∠1，y=90-12∠2， ∴∠A=180°-x-y=190-（90-12∠1）-（90-12∠2）=12（∠1+∠2）．（2））∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到， ∴∠A′=∠A，又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1， ∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°， 整理得，2∠A=∠2-∠1．∴∠A=12（∠2-∠1）． 【点睛】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．2．如图①所示，在三角形纸片ABC 中，70C ∠=︒，65B ∠=︒，将纸片的一角折叠，使点A 落在ABC 内的点A '处. （1）若140∠=︒，2∠=________.（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，直接写出结论.②当点A 落在四边形BCDE 外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，A ∠，1∠，2∠之间又存在什么关系？请说明．（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的123456∠+∠+∠+∠+∠+∠和是________. 【答案】(1)50°；(2)①见解析;②见解析;(3)360°. 【解析】 【分析】（1）根据题意，已知70C ∠=︒，65B ∠=︒，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解；（2）①先根据折叠得：∠ADE=∠A ′DE ，∠AED=∠A ′ED ，由两个平角∠AEB 和∠ADC 得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果； ②利用两次外角定理得出结论；（3）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'GF+∠B'FG）以及（∠C'DE+∠C'ED）和（∠A'HL+∠A'LH），再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：（1）∵70C ∠=︒，65B ∠=︒， ∴∠A ′=∠A=180°-（65°+70°）=45°， ∴∠A ′ED+∠A ′DE =180°-∠A ′=135°，∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A ′ED+∠A ′DE ）=360°-310°=50°； （2）①122A ∠+∠=∠,理由如下由折叠得：∠ADE=∠A ′DE ，∠AED=∠A ′ED ， ∵∠AEB+∠ADC=360°，∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A ′DE-∠AED-∠A ′ED=360°-2∠ADE-2∠AED ， ∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED ）=2∠A ； ②221A ∠=∠+∠，理由如下：∵2∠是ADF 的一个外角 ∴2A AFD ∠=∠+∠. ∵AFD ∠是A EF '△的一个外角 ∴1AFD A '∠=∠+∠ 又∵A A '∠=∠ ∴221A ∠=∠+∠ （3）如图由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠B'GF+∠B'FG）-（∠C'DE+∠C'ED）-（∠A'HL+∠A'LH）=720°-（180°-∠B'）-（180°-C'）-（180°-A'）=180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'， ∠A+∠B+∠C=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°． 【点睛】题主要考查了折叠变换、三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．3．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：.【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【解析】试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°，故答案为140；（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，设DP与BE的交点为M，∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.（4）如图④，设PE与AC的交点为F，∵∠PFD＝∠EFC，∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α.故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.4．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.【解析】【分析】（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.【详解】（1）如图1,延长AD交BC于E，在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如图2，∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3∴∠A+∠1=∠P+∠3∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠A+∠2=∠P+∠4由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A－∠C=2∠P（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如图3,同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠A+∠C=2∠P【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．5．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ（其中∠X=90°）放置在△ABC上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY，XZ分别经过B，C两点，且直角顶点X在△ABC内部．①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= °；∠XBC+∠XCB= °；②试判断∠A与∠XBA+∠XCA之间存在怎样数量关系？并写出证明过程．（2）如图2，如果直角顶点X在△ABC外部，试判断∠A、∠XBA、∠XCA之间又存在怎样的数量关系？（只写出答案，无需证明）．【答案】（1）①140，90；②∠A+∠XBA+∠XCA=90°，证明见解析；（2）∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°【解析】试题分析：（1）①根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∠XBC+∠XCB=180°﹣∠XBC=90°，进而可求出∠ABX+∠ACX 的度数；②根据三角形内角和定义有90°+（∠ABX+∠ACX）+∠A=180°，则可得出结论．（2）由②的解题思路可得：∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°．（1）①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= 140 °；∠XBC+∠XCB= 90 °；②∠A+∠XBA+∠XCA=90°（或等式的变形也可以）证明：∵∠X=90°∴∠XBC+∠XCB=180°－∠X=90°∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+（∠XBA+∠XCA）+（∠XBC+∠XCB）=180°，∴∠A+（∠XBA+∠XCA）=180°－90°=90°，∴∠A=90°－（∠XBA+∠XCA）（2）∠A+（∠XBA－∠XCA） =90°．点睛：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°以及沟通外角和内角的关系．6．(1)如图①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；(2)如图②，设x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，运用(1)中的结论填空．x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；(3)如图③，一个六角星，其中∠BOD＝70°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.【答案】（1）证明见解析. (2)180；180；180；(3)140【解析】【分析】（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根据∠BDC=∠A+∠B，判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．（2）a、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．b、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．（3）根据∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，据此求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．【详解】(1)证明：如图，延长BO交AC于点D，则∠BOC＝∠BDC＋∠C，又∵∠BDC＝∠A＋∠B，∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.(2)180；180；180(3)140【点睛】（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．7．如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于D点．(1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由；(2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由．①②【答案】(1)∠EFD＝12∠C－12∠B.（）成立，理由见解析.【解析】【分析】先根据AE平分∠BAC推出∠BAE=12∠BAC=12[180°-（∠B+∠C）]，再根据外角的定义求出∠FED=∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性质求出∠EFD=90°-∠FED．【详解】解：(1)∠EFD＝12∠C－12∠B.理由如下：由AE是∠BAC的平分线知∠BAE＝12∠BAC.由三角形外角的性质知∠FED＝∠B＋12∠BAC，故∠B＋12∠BAC＋∠EFD＝90°①.在△ABC中，由三角形内角和定理得∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即12∠C＋12∠B＋12∠BAC＝90°②.②－①，得∠EFD＝12∠C－12∠B.(2)成立．理由如下：由对顶角相等和三角形的外角性质知：∠FED＝∠AEC＝∠B＋12∠BAC，故∠B＋12∠BAC＋∠EFD＝90°①.在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即12∠B＋12∠BAC＋12∠C＝90°②.②－①，得∠EFD＝12∠C－12∠B.【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．8．操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为 .拓展延伸：（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为．（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为 .【答案】解决问题：6；拓展延伸：（1）S1=2S2（2）10.5【解析】试题分析：解决问题：连接AE，根据操作示例得到S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC，从而得到结论；拓展延伸：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，从而得到△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积，由此即可得到结论；（2）连接AO．则可得到△BOD的面积=△BOC的面积，△AOC的面积=△AOD的面积，△EOC的面积=△BOC的面积的一半，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，求出a、b的值，即可得到结论．试题解析：解：解决问题连接AE．∵点D、E分别是边AB、BC的中点，∴S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC．∵S△BDE=2，∴S△ADE =2，∴S△ABE=S△AEC=4，∴四边形ADEC的面积=2+4=6．拓展延伸：解：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积= S2，∴S1=2S2．（2）连接AO．∵CO=DO，∴△BOD的面积=△BOC的面积=3，△AOC的面积=△AOD的面积．∵BO=2EO，∴△EOC的面积=△BOC的面积的一半=1.5，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，解得：a=6，b=4.5，∴四边形ADOE的面积为=a+b=6+4.5=10.5．9．已知:△ABC中∠A=64°，角平分线BP、CP相交于点P．1若BP 、CP 是两内角的平分线，则∠BPC=_____(直接填数值) 求证:01902BPC A ∠=+∠. 2若BP 、CP 是两外角的平分线，则∠BPC=_____(直接填数值)3若BP 、CP 是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=_______(直接填数值)4 由①②③的数值计算可知：∠BPC 与∠A 有着密切的数量关系，请就第②③写出你的发现【答案】（1）122°；（2）58°；（3）32°．(4).若BP 、CP 是两外角的平分线，则∠BPC=90°-12∠A ； 若BP 、CP 是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=12∠A ． 【解析】【分析】①根据三角形角平分线的性质可得，∠BPC +∠PCB =90°-12∠A ，根据三角形内角和定理可得∠BPC =90°+12∠A ； ②根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP =12（∠A +∠ABC ）、∠PBC =12（∠A +∠ACB ）；根据三角形内角和定理可得∠BPC =90°-12∠A ； ③根据BP 为∠ABC 的角平分线，CP 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，可知，∠A =180°-∠1-∠3，∠P =180°-∠4=∠5=180°-∠3-12（∠A +2∠1），两式联立可得2∠P =∠A ． ④根据前面的情况直接写出∠BPC 与∠A 的数量关系，【详解】 解：（1）证明：∵在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，∠A 为x ° ∴∠PBC +∠PCB =12（180°-∠A ）=12×（180°-x °）=90°-12∠A故∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°-12∠A）=90°+12∠A；则∠BPC=122°；（2）理由如下：∵BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°∴∠BCP=12（∠A+∠ABC）、∠PBC=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，=180°-12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，=180°-12（∠A+180°），=90°-12∠A；则∠BPC=58°；（3）如图：∵BP为∠ABC的内角平分线，CP为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点P，∴∠1=∠2，∠5=12（∠A+2∠1），∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A----①在△CPE中，∠P=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12（∠A+2∠1），即2∠P=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A----②，把①代入②得2∠P=∠A．则∠BPC=32°；（4）若BP、CP是两外角的平分线，则∠BPC=90°-12∠A；若BP、CP是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=12∠A．故填为：（1）122°；（2）58°；（3）32°．【点睛】此类题目考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．10．（问题背景）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；（简单应用）（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；（问题探究）（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．（拓展延伸）（4）在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： ______ （用α、β表示∠P,不必证明）【答案】（1）证明见解析；（2）26°；（3）26°；（4）∠P=23α+13β.【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明．（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；（4）列出方程组即可解决问题．【详解】（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；(2) 如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠2+∠B=∠3+∠P，∠1+∠P=∠4+∠D，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）=12×（36°+16°）=26°；(3)如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）=12×（36°+16°）=26°；(4)∠P=23α+13β.。
2024八年级数学上册期末复习1勾股定理2易错专项训练习题课件新版北师大版
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m.
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易错点4 没有明确直角顶点，考虑不全面出错
4. 同一平面内有 A ， B ， C 三点， A ， B 两点之间的距离为
5 cm，点 C 到直线 AB 的距离为2 cm，且△ ABC 为直角三
角形，则满足上述条件的点 C 有
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个.
易错点5 不证明直角直接应用其性质缺少步骤出错
5. 如图，在△ ABC 中， D 是△ ABC 内一点，连接 AD ，
BD ，且 AD ⊥ BD . 已知 AD ＝4， BD ＝3， AC ＝13，
BC ＝12.求图中阴影部分的面积.
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解：因为 AD ⊥ BD ，
所以 AB2＝ AD2＋ BD2，
因为 AD ＝4， BD ＝3，
所以 AB ＝5.
BD － DC ＝4. 综上所述， BC 的长为14或4.
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易错点3 求立体图形中两点之间的最短距离时无法找到正确
的展开方式出错
3. 【新考法·展开法】如图是一个长8 m，宽7 m，高5 m的
仓库，在其内的点 A 处有一只壁虎， B 处有一只蚊子，已
知 CA ＝2 m， PB ＝4 m，则壁虎沿仓库内爬到蚊子处的
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在Rt△ ABD 中， AB ＝15， AD ＝12，由勾股定理得 BD2
＝ AB2－ AD2＝81，所以 BD ＝9.
在Rt△ ADC 中， AC ＝13， AD ＝12，由勾股定理得 DC2
＝ AC2－ AD2＝25，所以 DC ＝5.所以 BC ＝ BD ＋ DC ＝
(完整版)北师大版八年级数学上册易错题整理
北师大版八年级数学上册易错题整理1、一支蜡烛长20厘米,．点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n (厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是（ ）A B C D2、已知正比例函数kx y =（0≠k ）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数k x y +=的图象大致是（ ）A B C D3、甲、乙两人同时沿着一条笔直的公路朝同一方向前行，开始时， 乙在甲前2千米处，甲、乙两人行走的路程S （千米）与时间t （时） 的函数图象（如图所示），下列说法正确的是（ ）A 、乙的速度为4千米/时B 、经过1小时，甲追上乙C 、经过0.5小时，乙行走的路程约为2千米D 、经过1.5小时，乙在甲的前面 4、当14+a 的值为最小值时，a 的取值为（ ）A 、－1B 、0C 、41- D 、15、若错误!未找到引用源。
是169的算术平方根，错误!未找到引用源。
是121的负的平方根，则（错误!未找到引用源。
＋错误!未找到引用源。
）2的平方根为（ ）A. 2B. 4C.±2D. ±4 6、满足－3＜x ＜5的整数x 是（ ）A 、－2,－1,0,1,2,3B 、－1,0,1,2,3C 、－2,－1,0,1,2D 、－1,0,1,2 7、如图，有一圆柱，它的高等于8cm ，底面直径等于4cm (π=3)． 在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的 B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约等于 （ ） A ．10cm B ．12 cm C ．19cm D ．20cm 8、直线y kx b =+经过点(1,)A m -，(,1)B m (1)m >，则必有（ ） A. 0,0k b >> .0,0B k b >< .0,0C k b <> .0,0D k b <<x yxyx y x y O O OO S(千米) 1 2 3 4 0.5 1 乙甲Ot (时)9、如果0ab >，0a c <，则直线a cy x b b=-+不通过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10、如图，两直线1y kx b =+和2y bx k =+在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）11、某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅 客可携带的免费行李的最大质量为（ ）A. 20kgB. 25kgC. 28kgD. 30kg12、.如图，在t R ABC ∆中，90C ∠=，∠A =30°，DE =2，且DE是线段AB 的垂直平分线，交AB 于D ，交AC 于E ，则CE 的长是（ ）A. 1 B .2 C .3 D. 413、某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人 员没有销售时的收入是 .A.800元B.1300元C.300元D.500元14、在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=（ ）. A. 4 B.6C. 5D. 6二、填空15、正方形边长为3，若边长增加x 则面积增加 y ，求y 随x 变化的函数关系式为 。
北师大版数学八年级上册 三角形解答题易错题(Word版 含答案)
北师大版数学八年级上册 三角形解答题易错题（Word 版 含答案）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．（问题探究）将三角形ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处.（1）如图，当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时，直接写出A ∠与1∠之间的数量关系；（2）如图，当点A 落在四边形BCDE 的内部时，求证：122A ∠+∠=∠；（3）如图，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，探索1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，并加以证明；（拓展延伸）（4）如图，若把四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、D 落在四边形BCFE 的内部点A '、D 的位置，请你探索此时1∠，2∠，A ∠，D ∠之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由.【答案】【问题探究】（1）∠1=2∠A ；（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）()212360A D ∠+∠=∠+∠+︒.【解析】 【分析】（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题， （2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题， （3）运用三角形的外角性质即可解决问题，（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：（1）如图，∠1=2∠A ．理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A ； ∵∠1=∠A+∠EA′D ，∴∠1=2∠A ．（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°， ∴∠A′+∠A=∠1+∠2， 由折叠知识可得∠A=∠A′， ∴2∠A=∠1+∠2．（3）如图，∠1=2∠A+∠2理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A ，∠EFA=∠A′+∠2， ∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，（4）如图，根据翻折的性质，()3181201∠=-∠，()4181202∠=-∠， ∵34360A D ∠+∠+∠+∠=︒，∴()()180118023601122A D ∠+∠+-∠+-∠=︒， 整理得，()212360A D ∠+∠=∠+∠+︒． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．2．（1）如图1．在△ABC 中，∠B =60°，∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，则∠O = °，（2）如图2，若∠B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小； （3）如图3，若∠B =α，11,PAC DAC PCA E n nAC ∠=∠∠=∠，则∠P = （用含α的代数式表示）．【答案】（1）∠O =60°；（2）90°－12α；（3）11(1)180P n nα∠=-⨯- 【解析】 【分析】（1）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；（2）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等量关系，用含α的代数式表示∠O 的大小；（3）利用（2）的条件可知n=2时，∠P=111-18022α︒⨯-（），再将2替换成n 即可分析求解. 【详解】解：（1）因为∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，且∠B=60°， 所以18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=， 有∠O=180120οο-=60°.（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180° ∵∠ACE 是△ABC 的外角， ∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β ∵CO 平分∠ACE11()22ACO ACE αβ∴∠=∠=+ 同理可得：1()2CAO αγ∠=+ ∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，∴11180180()()22O ACO CAO αβαγ︒︒∠=-∠-∠=-+-+ 1180()2αβαγ︒=-+++111180()1809090222αβααα︒︒︒︒=-++=--=-；（3）∵∠B=α，11,PAC DAC PCA E n nAC ∠=∠∠=∠， 由（2）可知n=2时，有∠P=1180902α︒︒--=111-18022α︒⨯-（），将2替换成n 即可， ∴11(1)180P n nα∠=-⨯-. 【点睛】本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.3．如图四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，∠BAD 的平分线AG 交BC 于点G ．（1）求证：∠BAG=∠BGA ；（2）如图2，∠BCD 的平分线CE 交AD 于点E ，与射线GA 相交于点F ，∠B=50°． ①若点E 在线段AD 上，求∠AFC 的度数；②若点E 在DA 的延长线上，直接写出∠AFC 的度数；（3）如图3，点P 在线段AG 上，∠ABP=2∠PBG ，CH ∥AG ，在直线AG 上取一点M ，使∠PBM=∠DCH ，请直接写出∠ABM ：∠PBM 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①20°；②160°；（3）13或73【解析】 【分析】（1）根据AD//BC 可知∠GAD=∠BGA ，由AG 平分∠BAD 可知∠BAG=∠GAD ，即可得答案.（2）①根据CF 平分∠BCD ，∠BCD=90°，可求出∠GCF 的度数，由AD//BC 可求出∠AEF 和∠DAB 的度数，根据三角形外角的性质求出∠AFC 的度数即可；②根据三角形外角性质求出即可；（3）根据M 点在BP 的上面和下面两种情况讨论，分别求出∠PBM 和∠ABM 的值即可.【详解】（1）∵AD∥BC，∴∠GAD=∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD，∴∠BAG=∠BGA；（2）①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，∴∠GCF=45°，∵AD∥BC，∠ABC=50°，∴∠AEF=∠GCF=45°；∠DAB=180°﹣50°=130°，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD=65°，∴∠AFC=65°﹣45°=20°；②如图：∵∠AGB=65°，∠BCF=45°，∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°；（3）有两种情况：①当M在BC的下方时，如图：∵∠ABC=50°，∠ABP=2∠PBG，∴∠ABP=（1003）°，∠PBG=（503）°，∵AG∥CH，∴∠BCH=∠AGB=65°，∵∠BCD=90°，∴∠DCH=∠PBM=90°﹣65°=25°，∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=（1003+25）°=（1753）°，∴∠ABM：∠PBM=（1753）°：25°=73；②当M在BC的上方时，如图：同理得：∠ABM=∠ABP﹣∠PBM=（1003﹣25）°=（253）°，∴∠ABM：∠PBM=（253）°：25°=13；综上，∠ABM：∠PBM的值是13或73．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，熟练掌握平行线性质是解题关键.4．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线．（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=，∠BQC=；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC的度数．【答案】(1) 70°，125°；(2)∠BAC=60° (3) 45°【解析】分析：（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC=12∠PBC，∠QCB=12∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC 的度数.详解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，∴∠CBP+∠BCP=12（∠DBC+∠BCE）=110°，∴∠BPC=180°﹣110°=70°，∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，∴∠QBC=12∠PBC，∠QCB=12∠PCB，∴∠QBC+∠QCB=55°，∴∠BQC=180°﹣55°=125°；（2）∵BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB=180°，∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∴34（∠DBC+∠BCE）=180°，即34（180°+∠BAC）=180°，解得∠BAC=60°；（3）∵∠BAC=120°，∴∠MBC+∠NCB=34（∠DBC+∠BCE）=34（180°+α）=225°，∴∠BOC=225°﹣180°=45°．点睛：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．5．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．（1）∠E= °；（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．①依题意在图1中补全图形；②求∠AFC的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．【答案】（1）45；（2）67.5°；（3）m=2，n=﹣3．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，根据已知可推导得出x﹣y=45，再根据三角形外角的性质即可求得答案；（2）①根据角平分线的尺规作图的方法作出图形即可；②如图2，由CF平分∠ECB可得∠ECF=12y，再根据∠E+∠EAF=∠F+∠ECF以及∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，可推导得出45°+452y+=∠F+12y，由此即可求得答案；（3）如图3，设∠FAH=α，根据AF平分∠EAB可得∠FAH=∠EAF=α，根据已知可推导得出∠FCH=α﹣22.5①，α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH②，由此可得∠FPH=22.53α+，再根据∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，即可求得答案.【详解】（1）如图1，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，∵∠B=90°，∴∠ACB+∠BAC=90°，∴2y+180﹣2x=90，x﹣y=45，∵∠CAF=∠E+∠ACE，∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，故答案为：45；（2）①如图2所示，②如图2，∵CF平分∠ECB，∴∠ECF=12 y，∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，∴45°+∠EAF=∠F+12y ①，同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF=90°+y，∴∠EAF=452y+②，把②代入①得：45°+452y+=∠F+12y，∴∠F=67.5°，即∠AFC=67.5°；（3）如图3，设∠FAH=α，∵AF平分∠EAB，∴∠FAH=∠EAF=α，∵∠AFM=13∠AFC=13×67.5°=22.5°，∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，∴45+α=67.5+∠FCH，∴∠FCH=α﹣22.5①，∵∠AHN=13∠AHC=13（∠B+∠BCH）=13（90+2∠FCH）=30+23∠FCH，∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，∴α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH，②把①代入②得：∠FPH=22.53α+，∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，α﹣22.5=mα+n22.5·3α+，解得：m=2，n=﹣3．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、基本作图——角平分线等，熟练掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质、结合图形进行求解是关键.6．在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上（不与点A、B、C重合），点P是直线AB上的任意一点（不与点A、B重合）．设∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n．（1）如图，当点P在线段AB上运动，且n=90°时①若PD∥BC，PE∥AC，则m=_____；②若m=50°，求x+y的值．（2）当点P在直线AB上运动时，直接写出x、y、m、n之间的数量关系．【答案】（1）①90°，②140°；（2）详见解析.【解析】分析：（1）①证明四边形DPEC为平行四边形可得结论；②根据四边形内角和为360°，列等式求出x+y的值；（2）根据P、D、E位置的不同，分五种情况：①y-x=m+n，如图2，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；②x-y=m-n，如图3，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；③x+y=m+n，如图4，点P在线段BA上时，根据四边形的内角和为360°列等式，化简后得出结论；④x-y=m+n，如图5，同理得出结论；⑤y-x=m-n，如图6，同理得出结论．详解：（1）①如图1，∵PD∥BC，PE∥AC，∴四边形DPEC为平行四边形，∴∠DPE=∠C，∵∠DPE=m，∠C=n=90°，∴m=90°；②∵∠ADP=x，∠PEB=y，∴∠CDP=180°-x，∠CEP=180°-y，∵∠C+∠CDP+∠DPE+∠CEP=360°，∠C=90°，∠DPE=50°，∴90°+180°-x+50°+180°-y=360°，∴x+y=140°；（2）分五种情况：①y﹣x=m+n，如图2，理由是：∵∠DFP=n+∠FEC，∠FEC=180°﹣y，∴∠DFP=n+180°﹣y，∵x+m+∠DFP=180°，∴x+m+n+180°﹣y=180°，∴y﹣x=m+n；②x﹣y=m﹣n，如图3，理由是：同理得：m+180°﹣x=n+180°﹣y，∴x﹣y=m﹣n；③x+y=m+n，如图4，理由是：由四边形内角和为360°得：180°﹣x+m+180°﹣y+n=360°，∴x+y=m+n；④x﹣y=m+n，如图5，理由是：同理得：180°=m+n+y+180°﹣x，∴x﹣y=m+n；⑤y﹣x=m﹣n，如图6，理由是：同理得：n+180°﹣x=m+180°﹣y，∴y﹣x=m﹣n．点睛：本题考查了三角形综合、平行四边形的判定.7．已知:如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:_____________________；(2)在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数(写出解答过程)；(3)如果图2中，∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系(直接写出结论即可).【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C ；（2）35°；（3）2∠P=∠B+∠D【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°，易得∠A+∠D=∠B+∠C ；（2）仔细观察图2，得到两个关系式∠1+∠D=∠3+∠P ，∠2+∠P=∠4+∠B ，再由角平分线的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，两式相减，即可得结论．（3）参照（2）的解题思路.【详解】解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C ；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P ，∠2+∠P=∠4+∠B ，∴∠1-∠3=∠P-∠D ，∠2-∠4=∠B-∠P ，又∵AP 、CP 分别平分∠DAB 和∠BCD ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P-∠D=∠B-∠P ，即2∠P=∠B+∠D ，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）由（2）的解题步骤可知，∠P 与∠D 、∠B 之间的数量关系为：2∠P=∠B+∠D ．【点睛】考查三角形内角和定理, 角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理是解题的关键.8．如图①．ABC 中，AB AC =，P 为底边BC 上一点，PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，垂足分别为E 、F 、H .易证PE PF CH +=.证明过程如下：如图①，连接AP .∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴12ABP S AB PE =⋅，12ACP S AC PF =⋅，12ABC S AB CH =⋅ 又∵ABP ACP ABC S S S +=，∴AB PE AC PF AB CH ⋅+⋅=⋅∵AB AC =，∴PE PF CH +=．如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【答案】PE PF CH -=【解析】【分析】参考题设的证明过程，主要思路就是等面积法：ABP ACP ABC SS S +=，同样，P 为BC 延长线上的点时，也可以用类似的等面积法：ABP ACP ABC SS S =-，即可得出结论． 【详解】∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴12ABP S AB PE =⋅，12ACP S AC PF =⋅，12ABC S AB CH =⋅ 又∵ABP ACP ABC S S S =-，∴AB PE AC PF AB CH ⋅-⋅=⋅∵AB AC =，∴PE PF CH -=．故答案为：PE PF CH -=．【点睛】本题考查几何图形中等面积法的应用，读懂题目，灵活运用题设条件是解题的关键．9．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ．(1)若∠B ＝72°，∠C ＝30°，①求∠BAE 的度数；②求∠DAE 的度数；(2)探究：如果只知道∠B ＝∠C ＋42°，也能求出∠DAE 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．【答案】（1）①39°；②21°；（2）21°.【解析】【分析】()1①先根据三角形内角和定理计算出BAC 78∠=，然后根据角平分线定义得到1BAE BAC 392∠∠==；②根据垂直定义得到ADB 90∠=，则利用互余可计算出BAD 90B 18∠∠=-=，然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可；()2由B C BAC 180∠∠∠++=，B C 42∠∠=+可消去C ∠得到BAC 2222B ∠∠=-，则根据角平分线定义得到BAE 111B ∠∠=-，接着在ABD 中利用互余得BAD 90B ∠∠=-，然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可得到DAE 21∠=．【详解】解：()1B C BAC 180∠∠∠++=①，BAC 180723078∠∴=--=， AE 平分BAC ∠，1BAE BAC 392∠∠∴==； AD BC ⊥②，ADB 90∠∴=，BAD 90B 18∠∠∴=-=，DAE BAE BAD 391821∠∠∠∴=-=-=；()2能．B C BAC 180∠∠∠++=，B C 42∠∠=+，C B 42∠∠∴=-，2B BAC 222∠∠∴+=，BAC 2222B ∠∠∴=-， AE 平分BAC ∠，BAE 111B ∠∠∴=-，在ABD 中，BAD 90B ∠∠=-，()()DAE BAE BAD 111B 90B 21∠∠∠∠∠∴=-=---=．【点睛】本题考查三角形内角和定理：三角形内角和是180.掌握角平分线和高的定义，熟练进行角度的运算．10．已知：如图，等边三角形ABD 与等边三角形ACE 具有公共顶点A ，连接CD ，BE ，交于点P .（1）观察度量，BPC ∠的度数为＿＿＿＿.（直接写出结果）（2）若绕点A 将△ACE 旋转，使得180BAC ∠=︒，请你画出变化后的图形.（示意图）（3）在（2）的条件下，求出BPC ∠的度数.【答案】（1）120°;（2）作图见解析；（3）∠BPC =120°．【解析】分析：（1）∠BPC 的度数为120°，理由为：由△ABD 与△ACE 都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB ，AC=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形DAC 与三角形BAE 全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ADC=∠ABE ，利用外角性质，等量代换即可得到所求；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）解法同（1），求出∠BPC 的度数即可．本题解析：（1）∠BPC 的度数为120°，理由为：证明：∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形，∴∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB ，AC=AE ，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC 与△BAE 中，{AD ABDAC BAE AC AE=∠=∠=，∴△DAC≌△BAE（SAS ），∴∠ADC=∠A BE ，∵∠ADC+∠CDB=60°，∴∠ABE+∠CDB=60°，∴∠BPC=∠DBP+∠PDB=∠ABE+∠CDB+∠ABC=120°；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形，∴∠ADB=∠BAD=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB ，AC=AE ，∴∠DAB+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠DAC=∠BAE，在△DAC 与△BAE 中，{AD ABDAC BAC AC AE=∠=∠=，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ABE+∠DBP=60°，∴∠ADC+∠DBP=60°，∴∠BPC=∠BDP+∠PBD=∠ADC+∠DBP+∠ADB=120°．点睛：本题考查了等边三角形的性质，外角性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.。