江苏省镇江市2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)
2018-2019学年江苏省镇江市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40分）1.已知，3，，则 A ={3,4}={1,5}A ∪B =()A. B. 4， C. 2，3，4， D. 3，4，{3}{1,5}{1,5}{1,5}【答案】D【解析】解：，3，，∵A ={3,4}B ={1,5}3，4，，∴A ∪B ={1,5}故选：D ．由已知直接利用并集运算得答案．本题考查并集及其运算，是基础题．2.下列各组选项中，表示相同函数的是 ()A. 与B. 与y =x y =x 2y =x y =x 2xC. 与D. 与y =x 2s =t2y =x +1x ‒1y =x 2‒1【答案】C【解析】解：，，解析式不同，两函数不相同；A.y =x y =x 2=|x|B .的定义域为R ，的定义域为，定义域不同，两函数不相同；y =x y =x 2{x|x≠0}C .，的定义域都是R ，且解析式相同，两函数相同；y =x 2s =t 2D .的定义域为，的定义域为，或，定义域不同，两函y =x +1x ‒1{x|x ≥1}y =x 2‒1{x|x ≤‒1x ≥1}数不相同．故选：C ．通过化简得出选项A 的两函数解析式不同，从而两函数不相同，而通过求定义域得出选项B ，D 的两函数不相同，从而选C ．考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看这两函数的定义域和解析式是否都相同．3.若函数的定义域为R ，则“”是“函数为偶函数”的 条件．f(x)f(‒2)=f(2)f(x)()A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】解：的定义域为R ，f(x)推不出函数为偶函数，∵f(‒2)=f(2)f(x)而函数为偶函数，f(x)⇒f(‒2)=f(2)是函数为偶函数的必要不充分条件．∴f(‒2)=f(2)f(x)故选：B ．由偶函数的定义可作出判断．本题考查了充要条件的判定方法、三角函数的奇偶性，考查了推理能力，属于基础题．4.若a ，b ，，，则下列不等式成立的是 c ∈R a <b ()A. B.C. D. ac2+1<b c 2+11a>1ba 2<b2a|c|<b|c|【答案】A【解析】解：对于B ：或，关系式没有意义故错误．a =0b =0.对于C ：当时，不等式不成立．a <b <0对于D ：当时，不等式不成立．c =0对于选项A ：由于，且，a <bc 2+1>0则：，ac 2+1<b c 2+1故正确．故选：A ．直接利用不等式的性质求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.不等式的解集为 x 2‒2x ‒3≥0()A. B. C. D. [‒1,3][‒3,1](‒∞,‒3]∪[1,+∞)(‒∞,‒1]∪[3,+∞)【答案】D【解析】解：不等式化为，x 2‒2x ‒3≥0(x +1)(x ‒3)≥0解得或，x ≤‒1x ≥3不等式的解集为．∴(‒∞,‒1]∪[3,+∞)故选：D ．不等式化为，求出解集即可．(x +1)(x ‒3)≥0本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．6.函数，且恒过定点，其定点坐标是 y =ax +1+2(a >0a ≠1)()A. B. C. D. (0,1)(‒1,2)(‒1,1)(‒1,3)【答案】D第2页，共5页【解析】解：令，解得：，x +1=0x =‒1此时 y =1+2=3故函数恒过定点，(‒1,3)故选：D ．根据，求出对应的x ，y 的值即可．a 0=1(a ≠0)本题考查了指数幂的性质，考查函数恒过定点问题，是一道基础题．7.函数的定义域为，则值域为 f(x)=x 2+2x +3[‒2,1]()A. B. C. D. [2,6][3,6][2,+∞][3,+∞]【答案】A【解析】解：，f(x)=x 2+2x +3=(x +1)2+2，f(x )max =f(1)=6，f(x )min =f(‒1)=2值域为．∴f(x)[2,6]故选：A ．利用配方法求函数的值域．本题考查了二次函数值域，利用配方法求函数的值域，本题难度不大，属于基础题．8.已知函数，对于定义域中任意，，给出如下结论：f(x)=2xf(x)x 1x 2；①f(x 1⋅x 2)=f(x 1)+f(x 2)；②f(x 1+x 2)=f(x 1)f(x 2)当时，；③x 1≠x 2(x 1‒x 2)[f(x 1)‒f(x 2)]>0当时，④x 1≠x 2f(3x 1)+f(3x 2)>f(2x 1+x 2)+f(x 1+2x 2).其中结论正确的序号是 ()A. B. C. D. ①③④②③④②③②④【答案】C【解析】解：函数，对于定义域中任意，，f(x)=2xf(x)x 1x 2对于，；；所以不成立．①f(x 1⋅x 2)=2x 1x 2f(x 1)+f(x 2)=2x 1+2x 2f(x 1,x 2)≠f(x 1)+f(x 2)①，；所以；所以正确．②f(x 1+x 2)=2x 1+x 2f(x 1)f(x 2)=2x 1⋅2x 2=2x 1+x 2f(x 1+x 2)=f(x 1)f(x 2)②函数，是增函数，所以当时，；正确；③f(x)=2x x 1≠x 2(x 1‒x 2)[f(x 1)‒f(x 2)]>0当时，，④x 1≠x 2f(3x 1)+f(3x 2)=23x 1+23x 2=(2x 1+2x2)(22x 1+22x 2‒2x 1x 2)，f(2x 1+x 2)+f(x 1+2x 2)=22x 1+x 2+2x 1+2x 2=2x 1x 2(2x 1+2x2)=(2x 1+2x2)(2x 1+2x2)所以f(3x 1)+f(3x 2)<f(2x 1+x 2)+f(x 1+2x 2).其中结论正确的序号是．②③故选：C ．利用指数函数的性质判断的正误；指数函数的单调性判断的正误；利用指数的运算法则以及不等①②③式判断的正误．④本题考查命题的真假的判断指数函数的单调性以及指数的运算法则的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.用区间表示函数的定义域______．f(x)=x +1+1x ‒1【答案】．[‒1,1)∪(1,+∞)【解析】解：要使函数有意义需须，{x +1≥0x ‒1≠0解得且．x ≥‒1x ≠1故答案为：．[‒1,1)∪(1,+∞)令被开方数大于等于0且分母不为0，求出x 的范围，即为定义域．本题主要考查函数的定义域及其求法求函数的定义域遇到开偶次方根时，要保证被开方数大于等于定义.0.域的形式一定是集合或区间．10.已知函数，那么______．f(x)={x ‒3x +2,x >04,x =02x +1,x <0f(f(0))=【答案】16【解析】解：函数，∵f(x)={x ‒3x +2,x >04,x =02x +1,x <0，∴f(0)=4．f(f(0))=f(4)=4‒34+2=16故答案为：．16推导出，从而，由此能求出结果．f(0)=4f(f(0))=f(4)本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.求值：______．log 98⋅log 23=【答案】32【解析】解：原式，=log 38log 39⋅log 23=3log 322⋅log 23=32故答案为：．32根据对数的运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数k 的取值范围f(x)=kx +2x +3k ‒1x ∈{‒4,1}f(x)≤0是______．【答案】[‒9,‒14]【解析】解：对于任意，不等式恒成立，f(x)=kx +2x +3k ‒1=(k +2)x +3k ‒1.x ∈{‒4,1}f(x)≤0可得，解得．{‒4k ‒8+3k ‒1≤0k +2+3k ‒1≤0‒9≤k ≤‒14的取值范围是；∴k [‒9,‒14]故答案为：[‒9,‒14]由已知可得，求解不等式组得答案．{f(‒4)≤0f(1)≤0本题考查函数恒成立问题，考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，是基本知识的考查．13.列举法表示方程的解集为______．x 2‒(2a +3)x +a 2+3a +2=0【答案】{a +1,a +2}【解析】解：根据题意，方程变形可得，x 2‒(2a +3)x +a 2+3a +2=0[x ‒(a +1)][x ‒(a +2)]=0有2个解：，，x 1=a +1x 2=a +2则其解集为；{a +1,a +2}故答案为：．{a +1,a +2}根据题意，求出方程的解，用集合表示即可得答案．本题考查集合的表示方法，关键是求出方程的解，属于基础题．14.函数在区间上是增函数，则实数a 的取值范围是______．f(x)=x +ax +3(‒3,+∞)【答案】(‒∞,3)【解析】解：根据题意，函数，其导数，f(x)=x +ax +3=1+a ‒3x +3f'(x)=3‒a (x +3)2若其在区间上是增函数，则在上恒成立，且不恒成立，(‒3,+∞)f'(x)=3‒a (x +3)2≥0(‒3,+∞)f'(x)=0必有，3‒a >0解可得：，a <3即a 的取值范围为；(‒∞,3)故答案为：．(‒∞,3)根据题意，求出函数的导数，由导数与函数单调性的关系分析可得在f'(x)=3‒a(x +3)2f'(x)=3‒a (x +3)2≥0上恒成立，且不恒成立，分析可得a 的取值范围，即可得答案．(‒3,+∞)f'(x)=0本题考查利用导数分析函数的单调性，注意正确计算函数的导数．15.如图所示，有一批材料可以建成长为30m 的围墙，如果用该材料在墙角的地方围成一个矩形场地，中间用同样的材料隔成3个面积相等的矩形，则围成的矩形场地面积的最大值是______．m 2【答案】75【解析】解：设每个小矩形长为x ，宽为y ，则，即 3x +3y =30x +y =10，S =3xy =3x(10‒x)=‒3(x 2‒10x)=‒3(x ‒5)2+75时，，∴x =5S max =75(m 2)故答案为：75设每个小矩形长为x ，宽为y ，则依题意可知，代入矩形的面积公式，根据二次函数的单调性3x +3y =30求得围城矩形面积的最大值．本题考查函数的最值在实际生产生活中的应用，将实际问题转化为函数模型是解答本题的关键，属基础题．16.已知常数k ，，，函数为偶函数，且则______．a ∈R a 2‒3a +1=0f(x)=a k +ka ‒xf(3)=【答案】1【解析】解：为偶函数，∵f(x)=a k +ka ‒x，又∴a k +ka x =a k +ka‒x∵a =3±52，，∴k =0∴f(x)=1．∴f(3)=1故答案为：1．根据偶函数的定义，求出k 的值，进而求出，得．f(x)=1f(3)本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性的定义求出k 值，是解决该类问题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知全集，集合，U =R A =[2,6]B ={x|‒1≤x ≤5}；(1)A ∩(∁U B)已知集合，且，求实数a 的取值范围．(2)C ={x||x ‒a|≤3}A ⊆C第4页，共5页【答案】解：全集，集合，，(1)U =R A =[2,6]B ={x|‒1≤x ≤5}=[‒1,5]，∴∁U B =(‒∞,‒1)∪(5,+∞)；∴A ∩(∁U B)=(5,6]集合，(2)∴C ={x||x ‒a|≤3}={x|a ‒3≤x ≤a +3}又，，A ⊆C ∴{a ‒3≤2a +3≥6解得，3≤a ≤5实数a 的取值范围是．∴3≤a ≤5【解析】根据补集与交集的定义，计算即可；(1)根据集合间的包含关系，列不等式组求出a 的取值范围．(2)本题考查了集合间的基本运算问题，是基础题．18.；(1)36 12‒(1649) ‒12‒(614) 32‒(‒1,5)0(2)lg 25+2lg 2log 26‒log 23+10lg 1008ln e【答案】解：(1)36 12‒(1649) ‒12‒(614) 32‒(‒1,5)0．=6‒74‒1258‒1=‒998．(2)lg 25+2lg 2log 26‒log 23+10lg 1008ln e =lg 100log 22+100812=2+2016=2018【解析】利用指数性质、运算法则直接求解．(1)利用对数性质、运算法则直接求解．(2)本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.已知，a ∈R f(x)=x 2‒2x +1‒a2当时，在所绘出的坐标系内作函数的图象，(1)a =‒2y =|f(x)|并写出函数的增区间；y =|f(x)|解关于x 的不等式．(2)f(x)≤0【答案】解：时，，(I)a =‒2f(x)=x 2‒2x +1‒a 2=x 2‒2x ‒3=(x ‒1)2‒4其图象如图所示，结合图象可知，函数的增区间，，y =|f(x)|[‒1,1][3,+∞)由可得，(2)f(x)=x 2‒2x +1‒a 2≤0[x ‒(1‒a)][x ‒(1+a)]≤0当时，，不等式的解集为；①a >01‒a <1+a [1‒a,1+a]当时，，不等式的解集为；②a <01‒a >1+a [1+a,1‒a]当时，，不等式的解集为．③a =01‒a =1+a {1}【解析】把代入，结合二次函数的图象即可作出图象，然后结合图象可求函数的单调递增区(I)a =‒2f(x)间；由可得，，结合二次不等式的求解进行分类讨论即可．(2)f(x)≤0[x ‒(1‒a)][x ‒(1+a)]≤0本题主要考查了函数图象的变换及根据函数的图象求解函数的单调区间，二次不等式的求解，要注意分类讨论及数形结合思想的应用．20.某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间th 之间的关系为Pmg/L 其中表示初始废气中污染物数量，e 是自然对数底数经过5个小时后，经测试，消除P =P 0e ‒kt (P 0).了的污染物．20%问：15小时后还剩百分之几的污染物？(1)污染物减少需要花多长时间．(2)36%【答案】解：由题意得，(1)，P =P 0e ‒5k =(1‒20%)P 0则，e‒5k=0.8故当时，t =15．P =P 0e ‒15k =P 0(e ‒5k )3=(80%)3P 0=51.2%P0故15个小时后还剩的污染物；51.2%由题意，，(2)P 0e‒kt≤64%P 0即，(e‒5k) t 5≤0.64即，0.8 t ≤0.64，即，t 5≥2t ≥10故污染物减少需要花10小时．36%【解析】由题意得，从而可得，代入即可；(1)P =P 0e‒5k=P 0(1‒20%)e ‒5k =80%t =15由题意得，利用从而解得t ．(2)P 0e‒kt≤P 064%(1)本题考查了函数在实际问题中应用，同时考查了运算能力，属于中档题．21.已知函数．f(x)=x ‒1x若，，请比较与的大小，并证明；(1)x 1x 2∈(0,+∞)f(x 1+x 22)f(x 1)+f(x 2)x若的定义域为，求函数的最大值．(2)g(x)=x 2+1x2‒2kf(x)+2[12,2]g(x)【答案】解：，(1)f(x 1+x 22)>f(x 1)+f(x 2)2由的导数为，f(x)=x ‒1x f'(x)=1+1x 2，可得在为凸函数，f″(x)=‒2x 3<0f(x)x >0即有；f(x 1+x 22)>f(x 1)+f(x 2)2令，可得t 在递增，(2)t =x ‒1x[12,2]可得，‒32≤t ≤32，g(x)=x 2+1x 2‒2kf(x)+2可令，ℎ(t)=t 2‒2kt +4当时，在递减，k ≥3ℎ(t)‒3≤t ≤3可得最大值为；ℎ(‒32)=254+3k当时，在递增，k ≤‒32ℎ(t)‒32≤t ≤32可得最大值为；ℎ(32)=254‒3k当时，在递减，递增，‒32<k <32ℎ(t)‒32≤t <kk <t ≤32可得最大值为和中较大的，ℎ(32)ℎ(‒32)由时，可得的最大值为；k ≥0g(x)254+3k时，可得的最大值为．k <0g(x)254‒3k 【解析】运用导数判断的单调性和凹凸性，即可得到结论；(1)f(x)运用换元法和二次函数的最值求法，可得所求最大值．(2)本题考查函数的最值求法，注意分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．22.已知a ，，且，函数是奇函数．b ∈R a >0f(x)=4x +b4x ‒a 求a ，b 的值；(1)如果函数的定义域为，求函数的值域；(2)f(x)[1,2]f(x)对任意，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．(3)x ∈(0,+∞)mf(x)‒f(x2)>0【答案】解：因为是奇函数，所以，(1)f(x)f(‒x)=‒f(x)即恒成立，2‒2a +(b ‒a)(4x +4‒x)=0，解得；∴{b ‒a =02‒2a =0a =b =1由知在上递减，(2)(1)f(x)=4x +14x ‒1=1+24x‒1[1,2]所以，f(2)≤f(x)≤f(1)即，1715≤f(x)≤53所以函数的值域为；f(x)[1715,53]不等式(3)mf(x)‒f(x2)>0对任意恒成立，⇔m(1+24x ‒1)‒(1+24x 2‒1)>0x ∈(0,+∞)令，2x=t(t >1)则对恒成立，m >t +1t ‒1t2+1t ‒1=(t +1)2t 2+1=t 2+1+2t t 2+1=1+2t t 2+1=2t +1t >1 在时，递减，所以，∵2t +1tt >12t +1t<1．m ≥1【解析】利用恒成立可得；(1)f(‒x)=‒f(x)分离常数后，判断单调性，利用单调性求值域；(2)换元令，构造函数用基本不等式求最值．(3)2x =t 本题考查了函数奇偶性、单调性、不等式恒成立属中档题．.。
江苏省镇江市2018-2019学年高一下期中质量检测数学试题
镇江市2018-2019学年度第二学期高一年级期中质量检测数学试题一、选择题1.在平行四边形ABCD 中,AD AB +等于 A. B. C.BD D.DB2.复数i z 23-=(i 是虚数单位)的虚部是A.i 2-B.i 2C.2-D.33.在△ABC 中,AC=3,AB=1,∠A=120°,则BC 的长度为 A.7 B.10 C.13 D.44.下列四个命题中,错误的是A.若，＜，＞d c b a 则d b c a --＜B.若，＜＜，＞＞00d c b a 则bd ac ＜C.若，＞b a 则33b a ＜D.若，＞b a 则b a ＞5.已知，＞1-x 则14++x x 的最小值是 A.1 B.3 C.4 D.56.已知向量()()，，，，3102-==则向量与的夹角为 A.6π B.3π C.32π D.65π 7.不等式62＜x x -的解集为A.RB.()32，- C.()23，- D.()61，-8.如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30方向，且与B 相距，km 1360一架飞机从城市D 出发以360km/h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有_______kmA.120B.660C.560D.360二、填空题9.已知A(6,2)，B(-2,-4)，且=则点C 的坐标是________.10.命题“022=+∈∃x R x ，”的否定是_______.11.已知复数()()i m m 123-+-(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于第四象限,则实数m 的取值范围是__________.12.在△ABC 中，，，π123==a A 则=++++CB A c b a sin sin sin _________. 13.与向量()86，=方向相同的单位向量的坐标是________.14.已知()，92+-=tx x x f 若对任意[]，，51∈x 不等式()0≥x f 恒成立,则实数t 的最大值为________.15.已知向量b a 、满足()，，13-=+=-==________. 16.已知向量a 表示“向正东方向走10米”，向量b 表示“向东偏南45°方向走5米”，向量c 表示“向正北方向走20米”，用向量表示向量=________.三、解答题17.已知复数z 满足()i i z 3421+=+(i 是虚数单位).求:(1)；z (2).2z z -18. 如图,在直角坐标系xOy 中，A(-1,4)，B(-4,1)，点C 在直线1=x 上。
江苏省镇江市2018-2019学年高一下学期期中数学试题及答案word
高一数学注意事项：1. 本试卷由选择题、填空题和解答题三部分组成，满分150分，考试时间为120分钟.2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔已填写在答题卡上规定的地方.3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上用2B 铅笔把正确答案的字母按要求涂黑.1.在平行四边形ABCD 中，AB AD +u u u r u u u r等于（ ）A. AC u u u rB. CA u u u rC. BD u u u rD. DB uuu r2.复数32z i =-（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A. 2i -B. 2iC. -2D. 33.在ABC ∆中，3AC =，1AB =，120A ∠=︒，则BC 的长度为（ ）A.B. C. D. 44.下列四个命题中，错误的是（ ） A. 若a b >，c d <，则a c b d ->-； B. 若0a b >>，0c d <<，则ac bd <；C. 若a b >；D. 若a b >，则a b >.5.已知1x >-，则41x x ++的最小值是（ ） A. 1B. 3C. 4D. 56.已知向量()2,0AB =uu u r ，(AC =-u u u r ，则向量BC u u u r 与AC u u u r 夹角为（ ）A.6πB.3π C.23π D.56π 7.不等式26x x -<的解集为（ ） A. RB. ()2,3-C. ()3,2-D. ()1,6-8.如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A. 120kmB. 606kmC. 605kmD. 603km二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置横线上.9.已知()6,2A ，()2,4B --，若AC CB =u u u ru u u r，则点C 的坐标为______. 10.命题“x R ∃∈，320x +=”的否定是______.11.已知复数()()321m m i -+-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是______. 12.在ABC ∆中，3A π=，12a =，则sin sin sin a b cA B C++=++______.13.与向量()6,8a =r方向相同的单位向量的坐标是______.14.已知()29f x x tx =-+，若对任意[]1,5x ∈，不等式()0f x ≥恒成立，则实数t 的最大值为______.15.已知向量a r ，b r满足1a =r ，6a b -=r r ，)3,1a b +=-r r ，则b =r______.16.已知向量a r表示“向正东方向走10米”，向量b r表示“向东偏南45︒方向走5米”，向量c r表示“向正北方向走20米”，用向量a r ，b r 表示向量c =r______.三、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数z 满足()1243i z i +=+（i 是虚数单位）. 求：（1）z ； （2）2z z -.18.如图，在直角坐标系xOy 中，()1,4A -，()4,1B -，点C 在直线1x =上.（1）求向量AB u u u r的坐标；（2）若A ，B ，C 三点共线，求C 点的坐标； （3）若四边形ABCD 是矩形，求C 点和D 点的坐标.19.（1）已知,x y R ∈，证明：()()244222x y x y+≥+；（2）已知正实数x ，y 满足1x y +=，求2228x y x y+++的最小值. 20.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，5CD =，53AC =.（1）若30ACD ∠=︒，求AD 的长； （2）若120BCA ∠=︒，且ABC ∆的面积是34，求ACD ∠的大小； （3）若CD BC ⊥，2BD AD =，求AB 的长.21.如图，在平面四边形ABCD 中，AB 与DC 不平行，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点.（1）已知EF DC AB λμ=+u u u r u u u r u u u r，求实数λ，μ的值；（2）已知4AB =，6CD =，24EF DC ⋅=u u u r u u u r，求线段EF的长度.22.某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米.为迎接“五一”观光游，欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM ，PN ，其中M ，N 分别在边界AB ，AC 上，小径PM ，PN 与边界BC 的夹角都为60︒.区域PMB 和区域PNC 内种植郁金香，区域AMPN 内种植月季花.（1）探究：观赏小径PM 与PN 的长度之和是否为定值？请说明理由；（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN ，当P 点在何处时，三条小径(),,PM PN MN 的长度和最小？（3）求郁金香区域面积和的最小值.高一数学注意事项：1. 本试卷由选择题、填空题和解答题三部分组成，满分150分，考试时间为120分钟.2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔已填写在答题卡上规定的地方.3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上用2B 铅笔把正确答案的字母按要求涂黑.1.在平行四边形ABCD 中，AB AD +u u u r u u u r 等于（ ）A. AC u u u rB. CA u u u rC. BD u u u rD. DB uuu r【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的平行四边形法则求解即可.【详解】因为ABCD 为平行四边形,故AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r.故选：A【点睛】本题主要考查了向量的平行四边形法则.属于基础题. 2.复数32z i =-（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A. 2i - B. 2iC. -2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据虚部的定义直接判定即可.【详解】根据虚部的概念可知复数32z i =-的虚部是2-. 故选：C【点睛】本题主要考查了虚部的概念,属于基础题.3.在ABC ∆中，3AC =，1AB =，120A ∠=︒，则BC 的长度为（ ）A.B. C. D. 4【答案】C 【解析】根据余弦定理求解即可.【详解】根据余弦定理有22212cos 9123132BC AC AB AC AB A ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭.故BC 故选：C【点睛】本题主要考查了余弦定理的运用,属于基础题. 4.下列四个命题中，错误的是（ ） A. 若a b >，c d <，则a c b d ->-； B. 若0a b >>，0c d <<，则ac bd <；C. 若a b >；D. 若a b >，则a b >.【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判定或举反例即可.【详解】对A,因为a b >,c d <,故c d ->-,故a c b d ->-成立.故A 正确.对B,因为0a b >>,0c d <<,故0c d ->->,故ac bd ->-,故ac bd <成立.故B 正确.对C,因为y =,故若a b >,成立.故C 正确.对D,举出反例,当1,2a b ==-时满足a b >,但a b >不成立.故D 错误. 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质,属于基础题. 5.已知1x >-，则41x x ++的最小值是（ ） A. 1 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】配凑出基本不等式求解即可.【详解】因为1x >-,故10x +>,故44111311+=++-≥=++x x x x . 当且仅当411x x +=+,即1x =时取最小值3. 故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用,属于基础题.6.已知向量()2,0AB =uu u r ，(AC =-u u u r ，则向量BC u u u r 与AC u u ur 的夹角为（ ）A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式求解即可.【详解】因为(BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r .故向量BC u u u r 与AC u u u r 的夹角θ满足cos BC A C C C A B θ==⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .又[]0,θπ∈,故6πθ=.故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量坐标求解向量夹角的问题,属于基础题. 7.不等式26x x -<的解集为（ ） A. R B. ()2,3- C. ()3,2- D. ()1,6-【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义求解即可.【详解】26x x -<即266x x -<-<,故()()223206060x x x x x Rx x ⎧⎧-+<--<⇒⎨⎨∈-+>⎩⎩,解得()2,3x ∈-故选：B【点睛】本题主要考查了绝对值不等式与二次不等式的求解.属于基础题.8.如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A. 120kmB. 606kmC. 605kmD. 603km【答案】D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF .【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =,又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o , 在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o ,所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=,所以BD =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o ,所以240CD ===km ,所以cos 2404BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,222222cos 902904BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯g 10800=,所以BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B有. 故选D .【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置横线上.9.已知()6,2A ，()2,4B --，若AC CB =u u u r u u u r，则点C 的坐标为______. 【答案】()2,1- 【解析】 【分析】设(),C x y 再根据AC CB =u u u r u u u r计算即可.【详解】设(),C x y ,因为AC CB =u u u r u u u r,故()()6,22,4x y x y --=----, 故622241x x x y y y -=--=⎧⎧⇒⎨⎨-=--=-⎩⎩ ,即()2,1C -.故答案为：()2,1-【点睛】本题主要考查了利用向量求解点的坐标,属于基础题. 10.命题“x R ∃∈，320x +=”的否定是______. 【答案】3,20x x R ∀+∈≠ 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题写出即可.【详解】命题“x R ∃∈,320x +=”的否定是“3,20x x R ∀+∈≠”.故答案为：3,20x x R ∀+∈≠【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,属于基础题.11.已知复数()()321m m i -+-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是______.【答案】2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据复数的几何意义以及对应的点的坐标列式求解即可.【详解】因为复数()()321m m i -+-在复平面内对应的点位于第四象限,故32010m m ->⎧⎨-<⎩.解得213m <<. 故答案为：2,13⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了复数的几何意义,属于基础题. 12.在ABC ∆中，3A π=，12a =，则sin sin sin a b cA B C++=++______.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求解即可.【详解】设ABC ∆外接圆半径为R ,则根据正弦定理有()2sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin R A B C a b cR A B C A B C++++==++++1212πsin sin 3a A ===?.故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用,属于基础题.13.与向量()6,8a =r方向相同的单位向量的坐标是______.【答案】34,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】先求解向量()6,8a =r的模长,再根据同向单位向量的公式求解即可.【详解】因为10a ==r ,故与向量()6,8a =r 方向相同的单位向量坐标是34,55a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭rr .故答案为：34,55⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了同向单位向量的求解,属于基础题.14.已知()29f x x tx =-+，若对任意[]1,5x ∈，不等式()0f x ≥恒成立，则实数t 的最大值为______.【答案】6 【解析】 【分析】参变分离可得9t x x ≤+,再根据基本不等式求9x x+在区间[]1,5x ∈上的最小值即可. 【详解】因为()0f x ≥恒成立,即2990x tx t x x -+≥⇒≤+,又[]1,5x ∈,故96x x +≥=当且仅当9x x=,即3x =时等号成立.故6t ≤,所以实数t 的最大值为6. 故答案为：6【点睛】本题主要考查了函数恒成立中求解参数最值的问题,需要参变分离用基本不等式求解.属于基础题.15.已知向量a r ，b r满足1a =r，a b -=r r，)1a b +=-r r ，则b =r______.【答案】2 【解析】 【分析】将a b -=r r 两边平方,再求)1a b +=-r r平方,消去a b ⋅r r的项再代入1a =r 即可.【详解】因a b -=r r 所以2226a a b b -⋅+=r r r r …①,又)1a b +=-r r ,所以()222+2+14a a b b ⋅+=-=r r rr …②.①+②有2222210514a b b +=⇒=-=r r r ,故2b =r .故答案为：2【点睛】本题主要考查了平面向量数量积与模长的计算等.在遇到有和差等的模长时,经常平方模长进行运算,属于基础题.16.已知向量a r 表示“向正东方向走10米”，向量b r表示“向东偏南45︒方向走5米”，向量c r 表示“向正北方向走20米”，用向量a r ，b r 表示向量c=r______. 【答案】2a -r 【解析】 【分析】画图根据向量的运算法则求解即可.【详解】如图,过c r 的终点A 作a r的平行线AB 交b r的反向延长线OB 于B ,易得OAB ∆为直角三角形.且20,OA AB ==OB =故c OB BA =+r u u u r u u u r. 又5b =r ,故OB =-u u u r ,10a =r ,故2BA a =u u u r r .故2c OB BA a =+=-r u u u r u u u r r .故答案为：242a b -r【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算方法,需要画图利用几何知识构造三角形进行求解.属于基础题.三、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数z 满足()1243i z i +=+（i 是虚数单位）. 求：（1）z ； （2）2z z -.【答案】(1) 2i -；(2) 26【解析】 【分析】 (1)易得4312iz i+=+,再利用复数的除法运算即可. (2)由(1)分别求得2,z z 再计算2z z -求模长即可.【详解】(1)由题()()()()43124310521212125i i i iz i i i i +-+-====-++-.即2z i =- (2)由(1)2z i =-,故()()222215z z i i i -=--+=-,故()2221526z z -=+-=即226z z -=【点睛】本题主要考查了复数的四则运算与模长的计算等.属于基础题. 18.如图，在直角坐标系xOy 中，()1,4A -，()4,1B -，点C 在直线1x =上.（1）求向量AB u u u r的坐标；（2）若A ，B ，C 三点共线，求C 点的坐标； （3）若四边形ABCD 是矩形，求C 点和D 点的坐标. 【答案】(1)()3,3--;(2) ()1,6C ;(3) ()1,4C -,()4,1D - 【解析】 【分析】(1)根据向量坐标的计算求解即可.(2)设()1,C c 再根据三点共线列式求解即可.(3)根据四边形ABCD 是矩形可知AB BC ⊥,即可求得C .再设(),D x y 根据BA CD =u u u r u u u r求解即可.【详解】(1) 因为()1,4A -,()4,1B -,故()()()41,143,3AB =----=--u u u r.(2) 设()1,C c ,因为A ,B ,C 三点共线,故,AB AC R λλ=∈u u u r u u u r,即()()3,32,4c λ--=-,故()3232436c c λλλ⎧=-⎧=-⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩,故()1,6C(3) 设()1,C c ,因为四边形ABCD 是矩形,故AB BC ⊥u u u r u u u r,即()()3,35,10c --⋅-=,解得4c =-,故()1,4C -.设(),D x y ,则因为BA CD =u u u r u u u r,所以()()3,31,4x y =-+,解得4,1x y ==-.故()4,1D -. 所以()1,4C -,()4,1D -【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,属于基础题.19.（1）已知,x y R ∈，证明：()()244222x y x y+≥+；（2）已知正实数x ，y 满足1x y +=，求2228x y x y+++的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2)19 【解析】 【分析】(1)利用作差法证明即可.(2)化简2228x y x y+++利用1x y +=构造基本不等式证明即可. 【详解】(1)证明：因为()()()224422442222220x y x y x y x y x y ==+---+≥+.故()()244222x y x y +≥+(2) 因为1x y +=,所以()222828281x y x y x y x y x y x y ⎛⎫+++=+++=+++ ⎪⎝⎭28281111219y x y xx y x y=++≥+⋅=,当且仅当28y x x y = 即2y x =,12,33x y ==时等号成立. 故2228x y x y+++的最小值为19. 【点睛】本题主要考查了利用作差法证明不等式以及基本不等式中“1的变换”方法.属于中档题. 20.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，5CD =，53AC =.（1）若30ACD ∠=︒，求AD 的长； （2）若120BCA ∠=︒，且ABC ∆的面积是34，求ACD ∠的大小； （3）若CD BC ⊥，2BD AD =，求AB 的长.【答案】(1) 5AD =；(2) 90ACD ∠=︒或30°；(3) 15AB =【解析】 【分析】(1)在ADC ∆中利用余弦定理求解即可.(2)根据ABC ∆的面积是4即可求得BC =可得ABC ∆为等腰三角形,故30A ∠=︒,再在ADC ∆中利用正弦定理求解ADC ∠,再求ACD ∠即可.(3) 设22BD AD x ==,再根据CD BC ⊥可知5cos 2CDB x ∠=,5cos 2CDA x∠=-, 再在ADC ∆中利用余弦定理求解x 即可.【详解】(1) 在ADC ∆中, 2222cos AD CA CD CA CD ACD =+-⋅∠,即27525252AD =+-=,解得5AD =.(2)因为ABC ∆,故11sin 22AC BC BCA BC ⋅⋅∠=⇒⋅=解得BC =又AC BC ==120BCA ∠=︒.故180120302A ︒-︒∠==︒.在ADC ∆中有sin sin sin sin AC CD AC CAD ADC ADC CAD CD ⋅∠=⇒∠==∠∠. 又()0,180ADC ∠∈︒︒,故60ADC ∠=︒或120ADC =∠︒. 当60ADC ∠=︒时, 180306090ACD ∠=︒-︒-︒=︒, 当120ADC =∠︒时, 1803012030ACD ∠=︒-︒-︒=︒. 故90ACD ∠=︒或30ACD ∠=︒.(3)设22BD AD x ==,因为CD BC ⊥,故5cos 2CDB x ∠=,所以5cos 2CDA x∠=-, 在ADC ∆中有2222cos AC AD CD DA CD ADC =+-⋅∠,即225752510252x x x x ⎛⎫=+-⋅-⇒= ⎪⎝⎭,即5x =.故315AB x ==【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题意分析边角关系,进而利用公式进行求解.属于中档题.21.如图，在平面四边形ABCD 中，AB 与DC 不平行，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点.（1）已知EF DC AB λμ=+u u u r u u u r u u u r，求实数λ，μ的值；（2）已知4AB =，6CD =，24EF DC ⋅=u u u r u u u r，求线段EF 的长度. 【答案】(1) 11,22λμ==；(2) 19【解析】 【分析】(1)根据E ,F 分别是边AD ,BC 的中点有ED EA =-u u u r u u u r ,FC FB =-u u u r u u u r,再用上下两个四边形的向量关系表达EF u u u r相加即可.(2)由(1)有1122EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r ,再将24EF DC ⋅=u u u r u u u r 利用,DC AB u u u r u u u r 表达,进而得出12AB DC ⋅=u u u r u u u r ,再平方1122EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r 代入12AB DC ⋅=u u u r u u u r与4AB =,6CD =求解即可.【详解】(1)因为E ,F 分别是边AD ,BC 的中点,故ED EA =-u u u r u u u r ,FC FB =-u u ur u u u r .又EF ED DC CF =++u u u r u u u r u u u r u u u r …①, EF EA AB BF =++u u u r u u u r u u u r u u u r…②,①+②可得2EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r ,故1122EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r .故11,22λμ==.(2) 由(1)有1122EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r ,故24EF DC ⋅=u u u r u u u r 有112422DC AB DC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r ,故2112448 22DC ABDC DC AB DC⎛⎫+⋅=⇒+⋅=⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,又6CD=,故12AB DC⋅=u u u r u u u r.又1122EF DC AB=+u u u r u u u r u u u r,故()()222211244EF DC AB DC DC AB AB=+=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r即()213621216=194EF=+⋅+u u u r,故EF长为19.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,包括基底向量的用法以及向量数量积与模长的综合运用,属于中档题.22.某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米.为迎接“五一”观光游，欲在边界BC上选择一点P，修建观赏小径PM，PN，其中M，N分别在边界AB，AC上，小径PM，PN 与边界BC的夹角都为60︒.区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花.（1）探究：观赏小径PM与PN的长度之和是否为定值？请说明理由；（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径(),,PM PN MN的长度和最小？（3）求郁金香区域面积和的最小值.【答案】(1)PM与PN的长度之和为定值)40031；(2)当P点MN的中点位置时,三条小径(),,PM PN MN的长度和最小为)60031；(3) (2000033【解析】【分析】(1)在BPM∆和CPN∆中分别利用正弦定理即可求得PM与PN的长度之和.(2)在PMN∆中利用MN边的余弦定理,再根据两边的积与和的基本不等式求解即可.(3)根据(1)可得)1PM PB =,)1PN PC =,进而表达出BPM S ∆与CPN S ∆,并利用PB PC BC+=为定值,利用基本不等式求解即可.【详解】(1) 在BPM ∆中,易得180456075BMP ∠=︒-︒-︒=︒,故由正弦定理可得sin sin PM PBB BMP=∠∠,即)sin 451sin 75PB PM PB PB ︒⋅===︒.同理)1PN PC =.故)()1PM PN PC PB +=+))14001BC ==为定值.(2) 在PMN ∆中,由余弦定理可得2222cos60MN PM PN PM PN =+-⋅︒ 即()()()2222334PM PN MN PM PN PM PN PM PN +=+-⋅≥+-⨯,所以()224PM PN MN +≥,2PM PNMN +≥.又由(1)有)4001PM PN +=,故)2001MN ≥,当且仅当)2001PM PN ==时等号成立.故当P 点MN 的中点位置时,三条小径(),,PM PN MN的长度和最小为)6001.(3)由(1)有)1PM PB =,故)21sin 6012BPM S PB PM PB ∆=⋅⋅⋅︒=.同理)214CPN S PC ∆=.故)()()22231++244BPM CPN S S PB PC PB PC PB PC ∆∆⎡⎤+=⋅=-⋅⎣⎦()())2222++2+4PB PC PB PC PB PC BC ⎤≥-⋅==⎥⎢⎥⎣⎦(200003=-.当且仅当200PB PC ==时取得最小值(200003【点睛】本题主要考查了解三角形中的面积公式运用,同时也考查了基本不等式在解三角形中的应用,需要根据题意利用边长表达所求的量,再分析和与积的关系选用合适的基本不等式进行求解.属于难题.。
江苏省徐州市2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
江苏省徐州市2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，则为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：,故选D.考点：集合的运算.2.若log2（lgx）=0，则x的值为（）A. 0B. 1C. 10D. 100【答案】C【解析】【分析】由，可得，即可求解，得到答案．【详解】由，可得，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，其中解答中熟记对数的基本运算性质是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】由同一函数的概念，根据函数的对应法则和函数的定义域是否相同，逐一判定，即可得到答案．【详解】对于A，由于，两个函数的对应法则不相同，故不是同一个函数；对于B，，两个函数对应法则相同，定义域相同，故是同一函数；对于C，，两个函数的定义域不同，故不是同一个函数；对于D，的定义域不相同，故不是同一个函数．故选：B．【点睛】本题主要考查了同一函数的概念及判定，当两个函数的定义域相同，且它们的对应法则也相同时，两个函数是同一个函数．由此对各个选项分别加以判断，比较其中两个函数的定义域和对应法则，不难得到正确答案．本题给出几组函数，要我们找到同一函数的一组，着重考查了函数的定义域、对应法则等函数的基本概念等知识，属于基础题．4.函数f（x）＝2x＋3x的零点所在的一个区间是（）A. （－2，－1）B. （－1，0）C. （0，1）D. （1，2）【答案】B【解析】试题分析：，则，由零点存在定理即可得到．考点：零点存在定理．5.下列所示的图形中，可以作为函数的图像是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】作直线与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，∴是的函数，那么直线移动中始终与曲线只有一个交点，于是可排除，，，．只有符合．故选．6.下列函数中,既是偶函数又在区间上递增的函数为A. B. C. D.【答案】C【解析】由偶函数排除A,B;由函数在区间上递增排除D,故答案为C.7.已知，则的大小关系为A. B. C. D.【答案】C【解析】∵∴．又∵，∴．故选：C．8.已知函数的值域为，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】，由题意，得，，，，∴，．故选．9.已知函数f(x)＝ (a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝( )A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意，函数的解析式，可得，进而求解的值，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，函数，则，则，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理选择相应的对应法则求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.若函数f（x）=在x∈（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据分段函数的单调性的判定方法，列出相应的不等式组，即可求解．【详解】由题意，函数在x∈（-∞，+∞）上单调递增，∴，解得，故选：D．【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，其中解答中正确理解分段的单调性，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．11.已知函数是定义在区间上的偶函数,当时,是减函数,如果不等式成立,则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由已知可得，故选A．考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、函数与不等式．12.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是 ( )．A. B. [－1,0] C. (－∞，－2] D.【答案】A【解析】f(x)＝x2－3x＋4为开口向上的抛物线，g(x)＝2x＋m是斜率k＝2的直线，可先求出g(x)＝2x＋m与f(x)＝x2－3x＋4相切时的m值．由f′(x)＝2x－3＝2得切点为，此时m＝－，因此f(x)＝x2－3x＋4的图象与g(x)＝2x＋m的图象有两个交点只需将g(x)＝2x－向上平移即可．再考虑区间[0,3]，可得点(3,4)为f(x)＝x2－3x＋4图象上最右边的点，此时m＝－2，所以m∈二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域是__________．【答案】【解析】，解得．故答案为：.点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．14.已知幂函数的图像经过点，则函数的解析式为__________．【答案】【解析】幂函数的图象经过点，所以，解得：，所以函数．故答案为：．15.若，（x≠0），那么______．【答案】15【解析】令，解得，当时，，所以．故答案为：15.16.某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论：①等式对恒成立；②函数的值域为；③若，则一定有；④函数在上有三个零点。
江苏省镇江市2019届高三上学期期中考试 数学 Word版含答案
镇江市2018秋高三期中考试试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2018．11一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A ＝{x |x 是小于4的偶数}，B ＝{－3，1，2，4}，则A ∩B ＝________．2. 命题“∀x ＞0，x 2≥0”的否定为______________．3. 若复数z ＝1＋a i2－i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则a ＝________．4. 函数y ＝log 7(x 2－4x ＋3)的定义域为________．5. (文)点M (－3，4)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为________． (理)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且A ＝45°，C ＝75°，a ＝1，则b ＝________．6. (文)经过点P (1，2)，且与直线3x ＋4y －100＝0垂直的直线的方程是________．(理)已知函数f (x )＝a ＋14x ＋1是奇函数，则f (－1)＋f (0)＝________．7. (文)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋4在(－1，＋∞)上是增函数，则f (2)的取值范围是________． (理)已知e 为自然对数的底数，函数y ＝e x －ln x 在[1，e]上的最小值为________． 8. (文)已知向量a 与b ，满足|a|＝1，|b|＝2，a ⊥(a －b )，则向量a 与b 的夹角为________． (理)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋4在(－1，＋∞)上是增函数，则f (2)的取值范围是________． 9. (文)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，其前n 项和为S n .若a 1＋a 4＋a 7＝0，则S 6a 6的值为________．(理)将函数y ＝5sin(2x ＋π4)的图象向左平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度后，所得函数图象关于直线x ＝π4对称，则φ＝________．10. 在△ABC 中，已知(tan A ＋1)(tan B ＋1)＝2，则cos C ＝________． 11. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，则1x ＋4y ＋1的最小值为________．12. 已知函数f (x )＝x (2x －2－x )，则不等式f (－2)＜f (lg x )的解集为________．13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A ，则cos C 的最小值为________．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝2f 2(x )＋3mf (x )＋1－2m 有6个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2C c ＝sin Bb .(1) 求角C 的值；(2) 若sin(B －π3)＝35，求cos A 的值．16. (本小题满分14分)已知k ∈R ，函数f (x )＝x 2＋(1－k )x ＋2－k . (1) 解关于x 的不等式f (x )＜2；(2) 对任意x ∈(－1，2)，f (x )≥1恒成立，求实数k 的取值范围．(文)如图，已知点A (1，1)，B (－1，1)，过点A 作直线l ，使得直线l 与y 轴正半轴交于点C ，与射线BO 交于点D .(1) 若直线l 的斜率为－3，① 求OA →·BC →的值；② 若OD →＝λOA →＋μOC →，求实数λ－μ的值； (2) 求△OCD 面积的最小值及此时直线l 的方程．(理)已知函数f (x )＝log a x ＋log 4x (a ＞0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数． (1) 求实数a 的取值范围；(2) 当a ＝4时，是否存在正实数m ，n (m ＜n )，使得函数f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为⎣⎡⎦⎤m 2，n 2？如果存在，求出所有的m ，n ；如果不存在，请说明理由．如图，郊外有一边长为200 m的菱形池塘ABCD，塘边AB与AD的夹角为60°.拟架设三条网隔BE，BF，EF，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE与BF相互垂直，E，F两点分别在塘边AD和DC上，区域BEF为荷花种植区域．记∠ABE＝θ，荷花种植区域的面积为S m2.(1) 求S关于θ的函数关系式；(2) 求S的最小值．(文)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n ，n ∈N *，记b n ＝a n ＋3. (1) 求证：数列{b n }为等比数列；(2) 设数列{b 2n }的前n 项和为T n ，求证：S 2n ＋6nT n为定值； (3) 判断数列{2n －a n }中是否存在三项成等差数列，并说明你的结论．(1) 若函数f (x )为奇函数，求实数a 的值；(2) 若对任意的a ∈[－1，1]，不等式f (x )＜m 在x ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 若f (x )在x ＝x 0处取得极小值，且x 0∈(0，3)，求实数a 的取值范围．已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝mx 2，m ∈R ，e 为自然对数的底数．(1) 如果函数h (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增，求m 的取值范围； (2) 若直线y ＝kx ＋1是函数y ＝f (x )图象的一条切线，求实数k 的值；(3) 设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，求证：f （x 1）＋f （x 2）2＞f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.2018秋高三期中考试试卷(一)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)求曲线y ＝ln(x 2－2x )在x ＝3处的切线方程．22.(本小题满分10分)已知n 为自然数，当n ≥4时，用数学归纳法证明：2n＞n 2＋3n ＋22.23. (本小题满分10分)已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.(1) 当m＝2 018，n＝2 019时，试求f(x)展开式中x的偶次幂项的系数之和；(2) 若f(x)的展开式中x的系数为11，试求x2的系数取最小值时n的值．24.(本小题满分10分)高三年级成立语文、数学、英语兴趣小组，学生是否参加哪个兴趣小组互不影响．已知某同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12，至少参加一个兴趣小组的概率为0.88.若该学生参加的兴趣小组数为a，没有参加的兴趣小组数为b，记ξ＝2a－b.(1) 求该同学参加数学兴趣小组的概率；(2) 求ξ的分布列和数学期望．2018秋高三期中考试试卷(一)(镇江)数学参考答案及评分标准1. {2}2. ∃x ＞0，x 2＜03. 24. (－∞，1)∪(3，＋∞)5. (文)22 (理)626. (文)4x －3y ＋2＝0 (理)3107. (文)[12，＋∞) (理)e8. (文)π4 (理)[12，＋∞)9. (文)－32 (理)3π8 10. －22 11. 92 12. (0，1100)∪(100，＋∞) 13. 78 14. m ＜－315. 解：(1) 在△ABC 中，因为sin 2C c ＝sin B b ，由b sin B ＝csin C 得(1分)2sin C cos C sin C ＝sin Bsin B ，(2分)所以cos C ＝12.(4分)又C ∈(0，π)，(5分) 所以C ＝π3.(6分)(2) 因为C ＝π3，B ∈(0，2π3)，B －π3∈(－π3，π3)，则cos(B －π3)＞0.(8分)又sin(B －π3)＝35，则cos(B －π3)＝1－sin 2（B －π3）＝1－（35）2＝45.(10分)又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以cos A ＝cos(2π3－B )＝cos ⎣⎡⎦⎤π3－（B －π3）(12分) ＝cos π3·cos(B －π3)＋sin π3·sin(B －π3)＝12×45＋32×35＝4＋3310.(14分)16. 解：(1) 由f (x )＜2得不等式可变形为(x －k )(x ＋1)＜0，(1分) ① 若k ＝－1，则(x ＋1)2＜0，解集为∅；(3分) ② 若k ＞－1，解集为(－1，k )；(5分) ③ 若k ＜－1，解集为(k ，－1)．(7分)(2) 由对任意x ∈(－1，2)，f (x )≥1恒成立，即x 2＋(1－k )x ＋1－k ≥0恒成立， 即x 2＋x ＋1≥k (x ＋1)，对任意x ∈(－1，2)恒成立，(8分) k ≤（x ＋1）2－（x ＋1）＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1.(10分)因为(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2（x ＋1）·1x ＋1－1＝2－1＝1.(12分)当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0∈(－1，2)时，(13分)⎣⎡⎦⎤（x ＋1）＋1x ＋1－1min ＝1，故实数k 的取值范围是(－∞，1]．(14分)17. (文)解：(1) 因为直线l 过A (1，1)，且斜率为－3，所以直线l ：y －1＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋4.(1分) 令x ＝0得C (0，4)；令y ＝－x 得D (2，－2)．(2分)① 因为OA →＝(1，1)，BC →＝(1，3)，所以OA →·BC →＝1×1＋1×3＝4.(4分) ② 因为OD →＝λOA →＋μOC →，则(2，2)＝λ(1，1)＋μ(0，4)，(5分)即2＝λ，－2＝λ＋4μ，则λ＝2，μ＝－1，(6分) 所以λ－μ＝3.(7分)(2) 由图中两直线相交位置可得，直线l 的斜率k 存在，且k ＜－1，(8分) 设直线l ：y －1＝k (x －1)．令x ＝0得C (0，1－k )；令y ＝－x 得D (k －1k ＋1，1－kk ＋1)．(9分)则S △OCD ＝12OC ·|x D |＝12·（1－k ）2－1－k(10分)＝12⎣⎡⎦⎤（－k －1）＋4－k －1＋4≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（－k －1）·4（－k －1）＋4＝4，(13分)当且仅当－k －1＝4－k －1，即k ＝－3∈(－∞，－1)时，(S △OCD )min ＝4.此时直线l ：y ＝－3x ＋4.(14分)(理)解：(1) (解法1)因为f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则f ′(x )＝1x ln a ＋1x ln 4＝1x (1ln a ＋1ln 4)≥0在(0，＋∞)上恒成立．(2分)则1ln a ＋1ln 4≥0，ln 4a ln a ·ln 4≤0，解得a ＞1或0＜a ≤14.(4分) 又当a ＝14时，f (x )＝0为常数函数，不合题意．(5分)所以a ＞1或0＜a ＜14.(6分)(解法2)因为f (x )＝log a x ＋log 4x ＝log 4x log 4a ＋log 4x ＝log 4x (1log 4a ＋1)，(2分)又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1log 4a ＋1＞0，即1＋log 4a log 4a ＞0，所以log 4a ＜－1或log 4a ＞0，(4分) 即a ＞1或0＜a ＜14.(6分)(2) 当a ＝4时，f (x )＝2log 4x 在(0，＋∞)上为增函数．(7分) 因为函数f (x )在定义域为[m ，n ]，值域为⎣⎡⎦⎤m 2，n 2， 则有f (m )＝2log 4m ＝m 2，f (n )＝2log 4n ＝n 2，所以m ，n 为方程log 2x ＝x2在(0，＋∞)上的两个不等的实数解．(9分)显然m ＝2，n ＝4符合方程．(11分)令h (x )＝log 2x －x 2，由h ′(x )＝1x ln 2－12＝2－x ln 22x ln 2＝0，得x ＝2ln 2.(12分) 当x ∈(0，2ln 2)时，h ′(x )＞0，h (x )为增函数，在(0，2ln 2)上至多有一个零点； 当x ∈(2ln 2，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )为减函数，在(2ln 2，＋∞)上至多有一个零点． 所以h (x )＝log 2x －x 2至多只有两个实数解．(13分) 故存在唯一正实数m ＝2，n ＝4符合题意．(14分)18. 解：(1) 在△ABE 中，∠ABE ＝θ，∠A ＝π3，则∠AEB ＝2π3－θ. 由AB sin ∠AEB ＝BE sin A ，得BE ＝1003sin （2π3－θ）.(2分) 在△BCF 中∠C ＝π3，∠CBF ＝π6－θ，则∠BCF ＝π2＋θ. 同理可得，BF ＝1003cos θ.(4分) 则S ＝12BE ·BF ＝15 000cos θsin （2π3－θ）.(7分) (2) 设f (θ)＝cos θ·sin(2π3－θ)＝cos θ·(sin 2π3cos θ－cos 2π3sin θ) ＝32cos 2θ＋12sin θcos θ＝32·1＋cos 2θ2＋14sin 2θ＝34＋12sin(2θ＋π3)．(11分) 因为π2＋θ＜2π3，所以θ∈(0，π6)．(12分) 则当θ＝π12时，f (θ)max ＝2＋34，则S min ＝15 0002＋34＝60 000(2－3)．(14分) 答：(1) 函数关系式为S ＝30 00032＋sin （2θ＋π3）；(2) 当θ＝π12时，面积S 的最小值为60 000(2－3)m 2.(16分) 19. (文)(1) 证明：因为S n ＝2a n －3n ①，当n ＝1时，a 1＝2a 1－3，则a 1＝3. 当n ≥2时，有S n －1＝2a n －1－3(n －1) ②，①－②得a n ＝2a n －2a n －1－3n ＋3(n －1)，即a n ＝2a n －1＋3，(2分)则a n ＋3＝2(a n －1＋3)，即b n ＝2b n －1，又b 1＝a 1＋3＝6≠0，(3分)所以数列{b n }是以6为首项，2为公比的等比数列．(4分)(2) 证明：由(1)知b n ＝6×2n －1＝3×2n ，a n ＋3＝b n ＝3×2n ，则有a n ＝3×2n －3.同时b 2n ＝9×4n ，即数列{b 2n }是以3为首项，4为公比的等比数列，(5分)得T n ＝36（1－4n ）1－4＝12(4n －1)．(6分)因为S n ＝2a n －3n ，所以S 2n ＝2a 2n －6n ＝6(4n －1)－6n ，(8分)则S 2n ＋6n T n ＝6×（4n －1）12（4n －1）＝12为定值．(10分) (3) 解：令c n ＝2n －a n ＝3－2n ，若存在m ＜p ＜n ，使得c m ，c p ，c n 成等差数列， 则c p －c m ＝c n －c p ，2c p ＝c m ＋c n ，即2·2n ＝2m ＋2p (*)．(12分)等式两边同时除以2m 得2n ＋1－m ＝1＋2p －m .因为m ＜p ＜n ，所以n ＋1－m ，p －m 均为正整数，(14分)故(*)式左边为偶数，而右边为奇数，所以(*)式不能成立．故数列{2n －a n }中不存在三项成等差数列．(16分)(理)解：(1) (解法1)因为函数f (x )为奇函数，则f (x )＝－f (－x )对一切实数恒成立， 即x 3＋3ax 2＋(3－6a )x ＋12a ＝－[(－x )3＋3a (－x )2＋(3－6a )(－x )＋12a ]， 即6a (x 2＋4)＝0对一切实数x 恒成立，(2分)所以a ＝0.(3分)(解法2)因为函数f (x )为奇函数，且函数的定义域为R ，所以f (0)＝0，得a ＝0.(1分)此时f (x )＝x 3＋3x ，f (－x )＝(－x )3＋3(－x )＝－x 3－3x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，故a ＝0.(3分)(2) f (x )＝x 3＋3ax 2＋(3－6a )x ＋12a ＝a (3x 2－6x ＋12)＋x 3＋3x .设函数g (a )＝(3x 2－6x ＋12)a ＋x 3＋3x ，因为3x 2－6x ＋12＝3(x －1)2＋9＞0，所以函数g (a )在[－1，1]上单调递增． 令h (x )＝g (a )max ＝g (1)＝x 3＋3x 2－3x ＋12，(5分)由h ′(x )＝3x 2＋6x －3＝3[x ＋(1＋2)][x －(2－1)]，令h ′(x )＝0得x ＝2－1. 当x ∈(－1，2－1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )为减函数；当x ∈(2－1，1)时，h ′(x )＞0，函数g (x )为增函数．(7分)而h (1)＝13，h (－1)＝17，所以h (x )max ＝17，则m ＞17.(8分)(3) 因为f (x )在x ＝x 0∈(0，3)处取得极小值 (*)，则令f ′(x )＝3[x 2＋2ax ＋(1－2a )]＝0，令s (x )＝x 2＋2ax ＋(1－2a ) ①.则方程①有两个不相等的实根x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，所以Δ＝4a 2－4(1－2a )＞0，解得a ＞－1＋2或a ＜－1－2 ②.(9分)设s (x )＝(x －x 1)(x －x 2)，则f ′(x )＝3(x －x 1)(x －x 2)．当x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数；当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，所以f (x )的极小值在较大根x 2处取得，令x 2＝x 0∈(0，3)．(10分)(解法1)1° 当x 1＜0，x 0∈(0，3)时，因为x 1＜0＜x 0＜3，则s (0)＝x 1x 0＝1－2a ＜0，s (3)＝(3－x 1)(3－x 0)＝10＋4a ＞0，解得a ＞12.(11分) 反之，当a ＞12时，Δ＝4a 2－4(1－2a )＞0，方程①有两个实根x 1，x 0； 且满足s (0)＝1－2a ＜0，s (3)＝10＋4a ＞0，则方程在区间(0，3)上必有一根x 0； 又s (0)＝x 1x 0＝1－2a ＜0，而x 0＞0，所以x 1＜0.所以满足条件(*)．此时a ＞12③.(12分)2° 当x 1，x 0∈(0，3)时，s (x )的对称轴为x ＝－a ＝x 0＋x 12∈(0，3) ④， s (x )在(0，－a )上为减函数，在(－a ，3)上为增函数．因为0＜x 1＜－a ＜x 0＜3，所以s (0)＝1－2a ＞s (x 1)＝0，s (3)＝10＋4a ＞s (x 0)＝0.结合②④，解得－52＜a ＜－1－ 2.(13分) 反之，当－52＜a ＜－1－2时，Δ＞0，方程①必有两不相等的根x 1，x 0. 又1＋2＜－a ＜52，所以对称轴x ＝－a ∈(0，3)，而函数s (x )min ＝s (－a )＜0， 因为s (x )在(0，－a )上为减函数，且s (0)＝1－2a ＞0，则s (x )在(0，－a )上必有一根x 1； s (x )在(－a ，3)上为增函数，且s (3)＝10＋4a ＞0，则s (x )在(－a ，3)上必有一根x 0，显然x 1＜x 0.所以满足条件(*)．此时－52＜a ＜－1－2 ⑤.(14分) 3° 当方程有一根分别为0时，此时s (x )的两根分别为－1，0，不合题意．(15分)综上，由③⑤得－52＜a ＜－1－2或a ＞12.(16分) (解法2)此时方程s (x )＝0有两个实根x 1，x 0，x 1＜x 0，则x 1＝－a －a 2＋2a －1＜x 0＝－a ＋a 2＋2a －1，(12分)则0＜－a ＋a 2＋2a －1＜3，即a ＜a 2＋2a －1＜3＋a ⑥.1° 当a ＞－1＋2时，⑥平方得a 2＜a 2＋2a －1＜(3＋a )2，解得a ＞12.(13分) 2° 当a ＜－1－2时，a ＜a 2＋2a －1恒成立．由a 2＋2a －1＜3＋a ，平方解得－52＜a ＜－1－ 2.(15分) 综上，由1°，2°可得a ＞12或－52＜a ＜－1－ 2.(16分) 20. (1) 解：因为h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －mx 2在(0，＋∞)上为增函数，则h ′(x )＝e x－2mx ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m ≤e xx 恒成立．(2分) 设函数k (x )＝e xx ，x ∈(0，＋∞)，则k ′(x )＝e x （x －1）x 2＝0，得x ＝1.所以k (x )min ＝k (1)＝e ，所以m ≤e 2.(4分) (2) 解：设切点为(x 0，e x 0)．因为f ′(x )＝e x ，所以e x 0＝k ，e x 0＝kx 0＋1，(6分) 所以e x 0(x 0－1)＋1＝0.令l (x )＝e x (x －1)＋1，l ′(x )＝e x ·x ＝0，得x ＝0.所以l (x )min ＝l (0)＝0，所以x 0＝0，所以k ＝1.(8分)(3) 证明：因为f (x )＝e x 在(－∞，＋∞)上单调递增，且x 2－x 1＞0，e x 2－e x 1＞0，(9分)所以f （x 1）＋f （x 2）2＞f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1⇔e x 1＋e x 22＞e x 2－e x 1x 2－x 1⇔x 2－x 12＞e x 2－e x 1e x 2＋e x 1⇔12(x 2－x 1)＞e x 2－x 1－1e x 2－x 1＋1⇔12(x 2－x 1)＞1－2e x 2－x 1＋1(*)．(12分) 令x 2－x 1＝t ＞0，F (t )＝t 2＋2e t ＋1－1，F ′(t )＝12－2e t（e t ＋1）2＝（e t －1）22（e t ＋1）2.(14分) 因为t ＞0，所以F ′(t )＞0，所以F (t )在(0，＋∞)上单调递增，所以F (t )＞F (0)＝0，(*)式成立，则f （x 1）＋f （x 2）2＞f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.(16分)2018秋高三期中考试试卷(一)(镇江)数学附加题参考答案及评分标准21. 解：y ′＝1x 2－2x (x 2－2x )′＝2x －2x 2－2x，(4分) 则切线在x ＝3处的斜率k ＝2×3－232－2×3＝43.(6分) 当x ＝3时，y ＝ln 3，(8分)则切线方程为y －ln 3＝43(x －3)，即4x －3y －12＋3ln 3＝0.(10分) 22. 证明：① 当n ＝4时，24＝16＞42＋3×4＋22＝15，则结论成立．(2分) ② 假设当n ＝k (k ≥4)时，满足2k＞k 2＋3k ＋22，(4分) 则当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k＞2×k 2＋3k ＋22＝2k 2＋6k ＋42.(6分) 因为k ≥4， 则2k 2＋6k ＋42－（k ＋1）2＋3（k ＋1）＋22＝k 2＋k －22＞0， 所以2k 2＋6k ＋42＞（k ＋1）2＋3（k ＋1）＋22.(8分) 即当n ＝k ＋1时，有2n＞n 2＋3n ＋22成立．(9分) 综合①②，当n ≥4，n ∈N 时，有2n＞n 2＋3n ＋22.(10分) 23. 解：(1) 记f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 019x 2 019.令x ＝－1，得f (－1)＝a 0＋a 1(－1)＋a 2(－1)2＋…＋a 2 019(－1)2 019＝－1， 即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 018－a 2 019＝－1 ①.(2分)令x ＝1，得f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 019＝22 018＋32 019，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 019＝22 018＋32 019 ②.(4分)由①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 2 018)＝－1＋22 018＋32 019，则a 0＋a 2＋…＋a 2 018＝12(22 018＋32 019－1)．(6分) (2) 根据题意得C 1m ＋2C 1n ＝11，则m ＋2n ＝11，(7分)则x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m （m －1）2＋2n (n －1)(8分) ＝m 2－m 2＋(11－m )(11－m 2－1)＝(m －214)2＋35116.(9分) 因为m ∈N *，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3.(10分)24. 解：(1) 设该同学参加了语文、数学、英语兴趣小组的事件分别为A ，B ，C ， 对应的概率分别为P (A )＝x ，P (B )＝y ，P (C )＝z .(1分)因为该同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，则P (AB C )＝P (A )P (B )P (C )＝x (1－y )(1－z )＝0.08 ①；(2分)因为该同学只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12，则P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝xy(1－z)＝0.12②；(3分)因为该同学至少参加一个兴趣小组的概率是0.88，则P(A＋B＋C)＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－(1－x)(1－y)(1－z)＝0.88③.(4分)由①②③，解得x＝0.4，y＝0.6，z＝0.5.答：该同学参加数学兴趣小组的概率为0.6.(5分)(2) 依题意知ξ的所有可能取值为－3，0，3，6，(6分)P(ξ＝－3)＝(1－x)(1－y)(1－z)＝0.12，P(ξ＝0)＝x(1－y)(1－z)＋(1－x)y(1－z)＋(1－x)(1－y)z＝0.38，P(ξ＝3)＝xy(1－z)＋x(1－y)z＋(1－x)yz＝0.38，P(ξ＝6)＝xyz＝0.12.(8分)ξ的分布列为(9分)数学期望E(ξ)＝－3×0.12＋0×0.38＋3×0.38＋6×0.12＝1.5.(10分)。
江苏省镇江市2018-2019学年高一上学期期末数学试题(解析版)
高一数学第Ⅰ卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与角终边相同的最小正角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将依次加求得终边相同的最小正角【详解】.依题意，，故选D.【点睛】本小题主要考查终边相同的角，考查正角的概念，属于基础题.2.函数的零点是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，解方程求得的值，也即是零点.【详解】令，即，故选A.【点睛】本小题主要考查函数零点的求法，考查指数式和对数式互化，属于基础题.3.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】将转化为，由此得出正确选项.【详解】即，故只需将向左平移个单位得到，故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查变换前后解析式的关系，属于基础题.4.已知角，是中的两个内角，则“”是“”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 既不充分又不必要D. 充要【答案】D【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推出的情况判断正确选项.【详解】当“”时，由于，在上为减函数，故“”.当“”时，由于,在上为减函数，可得到“”.故为充要条件.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查余弦函数的单调性，属于基础题.5.已知函数的零点，则整数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理，验证，由此判断整数的值.【详解】函数的增函数，且，，根据零点存在性定理可知，函数零点位于区间，故，故选C.【点睛】本小题主要考查零点的存在性定理，考查函数的单调性，属于基础题.6.一个单摆如图所示，以为始边，为终边的角与时间的函数满足：，则单摆完成次完整摆动所花的时间为（）.A. B. C. D. ．【答案】D【解析】【分析】求得函数的最小正周期，然后乘以得出正确选项.【详解】函数的周期为，个周期即，故选D.【点睛】本小题主要考查的周期性，考查单摆的知识，属于基础题.7.已知若角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得的值，然后求得的值，进而求得的值.【详解】由于终边经过点，则，所以，.故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查符合函数函数值的计算，考查分段函数求值，属于中档题.如果一个角的终边经过点，令，则，，这就是三角函数的定义.要求有多个函数复合而成的函数值，要先从最里面的函数值开始求起，然后逐步求到最外面的函数值.8.已知函数，，则方程的解的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由得到，分别画出和的图像，根据两个函数图像交点的个数，得出解得个数.【详解】由得到，，画出和的图像如下图所示，由图可知，解得个数为，故选C.【点睛】本小题主要考查函数零点问题的求解策略，考查对数函数和含有分式的函数图像的画法，考查含有绝对值函数图像的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.要判断一个方程有几个解，可以将方程转化为两个函数，然后利用两个函数图像交点个数来判断.二、填空题（将答案填在答题纸上）9.已知圆心角为的扇形，其半径为，则该扇形的面积为___．【答案】【解析】【分析】现将转化为弧度制，然后利用扇形面积公式计算扇形面积.【详解】转化为弧度制是，故扇形的面积为.【点睛】本小题主要考查弧度制和角度制的相互转化，考查扇形的面积公式，属于基础题.10.若点，均在幂函数的图象上，则实数_____．【答案】9【解析】【分析】设出幂函数的解析式，代入点坐标求得这个解析式，然后令求得的值.【详解】设幂函数为，将代入得，所以，令，求得.【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数上点的坐标，属于基础题.11.已知，则____．【答案】3【解析】【分析】对原方程分子分母同时除以，转化为的形式，解方程求得的值.【详解】依题意，解得.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程，属于基础题.12.计算：_____．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果.【详解】依题意，原式.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号.13.已知函数，若对任意都有恒成立，则实数的取值范围为____．【答案】【解析】【分析】先根据的取值范围，求得的取值范围，对分成两类，结合不等式，求得的取值范围.【详解】由得.当时，由得.当时，，由得.综上所述，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查三角函数值域的求法，考查不等式的性质，考查恒成立问题的求解策略.属于中档题.14.求值：_____．【答案】4【解析】试题分析：由题意得考点：三角函数两角和公式、二倍角公式.15.已知，，则_____．【答案】【解析】【分析】将已知和联立，解方程求得的值，用二倍角公式求得的值.【详解】由于，由，解得，所以.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查解二元二次方程的方法，考查二倍角公式的应用求证，属于中档题.已知这三者其中的一个，都可以通过结合以及终边所在的位置，求出另外两个.二倍角的余弦有三个公式，要注意选择合适的公式来计算.16.某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数.若汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过．．．，则速度的取值范围为___．【答案】【解析】【分析】先利用时的油耗，计算出的值，然后根据题意“油耗不超过”列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】由于“汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为”，所以，解得，故每小时油耗为，依题意，解得，依题意，故.所以速度的取值范围为.【点睛】本小题主要考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，考查实际应用问题，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设全集，集合，.（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）当时，解对数不等式求得集合，解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.（2）根据得到是的子集，解对数不等式求得集合，根据集合是集合的子集列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1）当时，由于，即，所以.由于，即，所以.所以.（2）因为，所以.由于，则所以.【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查子集的概念及运算.属于基础题. 18.已知，均为锐角，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）利用二倍角公式求得的值.（2）先根据的取值范围，利用同角三角函数的基本关系式求得的值.方法一：先求得的值，进而求得的值，利用，利用两角差的正弦公式展开代入数据求得结果.方法二：先求得的值，由此利用两角差的正弦公式，求得的值.【详解】（1）因为，所以.（2）因为，为锐角，所以，则.由于，所以..【方法一】因为为锐角，，则，所以，从而.则【方法二】因为为锐角，，则，所以.则，.从而.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查两角和与差的正弦公式，属于中档题.19.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：（1）求函数的解析式，并补全表中其它的数据；（2）在给定的坐标系中，用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；（3）写出函数的单调减区间.【答案】(1)见解析；(2)图象见解析；（3）单调减区间，.【解析】【分析】（1）根据最大值求得，利用已知条件列方程组，求得的值.由此求得的表达式，并将表格补全.（2）根据表格的数据画出函数的图像.（3）根据图像可知，函数的一个减区间是，加上函数的周期即得到函数的减区间.【详解】（1）因为当时，，所以.由表中数据有：解得所以.表中数据补全得表:（2）函数图象见图：（3）因为函数在一个周期内的减区间为，所以函数的单调减区间，.【点睛】本小题主要考查已知三角函数图像，求三角函数解析式，考查三角函数图像的五点作图法，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.20.已知函数.（1）若的定义域为（是自然对数的底数），求函数的最大值和最小值；（2）求函数的零点个数.【答案】（1），（2）2个【解析】【分析】（1）先化简得到的解析式，利用换元法将函数转化为二次函数的形式，根据二次函数的知识求得的最大值和最小值.（2）先求得的表达式，求得函数的定义域，判断出的奇偶性，当时根据函数的单调性判断出函数在上存在唯一的零点，根据函数的奇偶性可判断出在定义域内的零点个数.【详解】（1）由于的定义域为，则设，则在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，则.（2）函数，，因为，所以是偶函数.当时，在上连续不间断，且单调递增，又，，则函数在上存在唯一的零点由于函数为偶函数，则函数在上也存在唯一的零点.综上，函数在定义域内零点的个数为个.【点睛】本小题主要考查复合函数最值的求法，考查利用换元法求函数的最值，考查函数的奇偶性以及单调性，考查函数的零点问题，属于中档题.对于结构和二次函数类似的函数，可以通过换元法，将函数转化为二次函数，根据二次函数的对称轴和定义域，求得函数的最大值和最小值.21.开发商现有四栋楼，，，楼位于楼间，到楼，，的距离分别为，，，且从楼看楼，的视角为.如图所示，不计楼大小和高度.（1）试求从楼看楼，视角大小；（2）开发商为谋求更大开发区域，拟再建三栋楼，，，形成以楼为顶点的矩形开发区域.规划要求楼，分别位于楼和楼间，如图所示记，当等于多少时，矩形开发区域面积最大？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意可知，由此求得，的值，进而求得的值，由此求得从楼看楼，视角大小.（2）先计算出的长，用表示出的长，由此求得矩形面积的表达式，化简后可求得当时，矩形开发区域的面积最大【详解】（1）因为楼到楼，的距离分别为和，到楼的距离为，所以百米，百米，百米.因为从楼看楼，的视角为，则.则，，所以.又，即.所以.答：从楼看楼，视角的大小为.（2）在和中，，，则在中，，在中，.记矩形开发区域的面积为，则.又当时，即时，矩形开发区域的面积最大.答：当时，矩形开发区域的面积最大.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查矩形面积的计算，考查三角函数求最值，属于中档题.22.已知函数.（1）解不等式：；（2）求函数的奇偶性，并求函数在上的单调性；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）在上单调递增.（3）【解析】【分析】（1）化简为，利用换元法将不等式转化为一元二次不等式，求得一元二次不等式的解集，进而求得的范围.（2）通过计算证得函数为偶函数.利用定义法，通过计算得，由此判断函数在上单调递增.（3）将原不等式转化为，利用换元法将其转化为，分离常数后，利用函数的单调性求得的取值范围.【详解】（1）因为，则，即.令，则有，解得，即.所以，故不等式解集为.（2）因为的定义域为，且，则为偶函数设，则，由于，则，.所以，即.故函数在上单调递增.（3）由于不等式恒成立，即恒成立，从而有恒成立.因为，则等价于不等式恒成立.令，则.由于是偶函数，由（2）得函数在上单调递增，则函数在上单调递减.故，则，即.则原不等式等价于，恒成立.由于在上恒成立，则在上恒成立.记，则在上单调递增，有，.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查利用定义法求函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 对于结构和一元二次不等式类似的不等式，可以通过换元法，将其转化为一元二次不等式来求解，由此求得不等式的解集.。
2018-2019学年江苏省南通中学高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1001.（单选题，3分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.共点的三条直线确定一个平面2.（单选题，3分）已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（）A. 48√6B.64C.16D.963.（单选题，3分）已知sinα= 1，则cos2α的值为（）8A. −3132B. 3132C. 6364D. −63644.（单选题，3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为（）A. 23B. √53C. 2√55D. √555.（单选题，3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinAcosB=sinC，则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形6.（单选题，3分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（）A.2B.3C.4D.57.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA的值为（）A. √32B. 14C. √34D. 12的值为（）8.（单选题，3分）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosαA.-3B.3C. 13D.- 139.（单选题，3分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）A.若m || β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB.若m⊥α，n⊥β，则α || βC.若m || α，n || β，α || β，则m || nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α10.（单选题，3分）设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a=2，B=2A，则b的取值范围为（）A. (2√2，2√3)B. (2√2，4)C. (2，2√3)D.（0，4）11.（单选题，3分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内的动点（含边界），且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）A. 649B. 4√3C. 16√33D. 32√3912.（单选题，3分）点M是棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1=NC1，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（）A. 3√15π5B. 6√15π5C. 3√10π5D. 3√3π513.（填空题，3分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为___ ．14.（填空题，3分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___ h后，两车的距离最小．15.（填空题，3分）在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折，则二面角C-BM-A的大小为___ ．成二面角，折后A与C的距离为√6216.（填空题，3分）在锐角△ABC中，若sinA=4sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___ ．17.（问答题，8分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2-4bc=0．时，求b、c的值；（1）当a=2，m=54（2）若角A为锐角，求m的取值范围．18.（问答题，8分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD || 面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．19.（问答题，8分）如图，某市市区有一条过市中心O的南北走向道路，市政府决定修建两条道路：一条路是从市中心O出发沿北偏西60°向至点B处，另一条是从市中心O的正南方向的道路上选取点A，在A、B之间修建一条道路．，求在点B处看市中心O和点A （1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为35处视角β的余弦值；km2，点A到市中心O的距离为（2）如果△AOB区域作为保护区，保护区的面积为15√343km，求此时A、B间的距离．20.（问答题，8分）如图1所示，在直角△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，点E在线段AC上，且CE=4．将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点，如图2所示．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥G-BDE的体积．．21.（问答题，10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB= 45的值；（1）若c=2a，求sinBsinC，求sinA的值．（2）若C-B= π422.（问答题，10分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R 表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△AB C不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．2018-2019学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1001.（单选题，3分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.共点的三条直线确定一个平面【正确答案】：C【解析】：在A中，不同线的三点确定一个平面；在B中，四边形有可能是空间四边形；在C中，梯形有一组对边平行，一定是平面图形；在D中，共点的三条直线确定一个或三个平面．【解答】：解：在A中，不同线的三点确定一个平面，故A错误；在B中，四边形有可能是空间四边形，故四边形不一定是平面图形，故B错误；在C中，∵梯形有一组对边平行，而平行线能确定一个平面，∴梯形一定是平面图形，故C正确；在D中，共点的三条直线确定一个或三个平面，故D错误．故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、平面的基本性质及定理等基础知识，属于基础题．2.（单选题，3分）已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（）A. 48√6B.64C.16D.96【正确答案】：B【解析】：由正方体的表面积为96，求出正方体的棱长为4，由此能求出正方体的体积．【解答】：解：设正方体的棱长为a，∵正方体的表面积为96，∴S=6a2=96，解得a=4，∴正方体的体积为V=43=64．故选：B．【点评】：本题考查正方体的体积的求法，考查正方体的结构特征等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．3.（单选题，3分）已知sinα= 18，则cos2α的值为（）A. −3132B. 3132C. 6364D. −6364【正确答案】：B【解析】：由sinα计算二倍角的余弦值即可．【解答】：解：由sinα= 18，则cos2α=1-2sin2α=1-2× (18) 2= 3132．故选：B．【点评】：本题考查了二倍角的余弦值的计算问题，是基础题．4.（单选题，3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为（）A. 23B. √53C. 2√55D. √55【正确答案】：A【解析】：以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ，利用向量法能求出异面直线CD 和D 1E 所成角的余弦值．【解答】：解：以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则C （0，2，0），D （0，0，0），D 1（0，0，2），E （1，2，0），CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-2，0）， D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2，-2），设异面直线CD 和D 1E 所成角为θ，则cosθ= |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ •D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4√4•√9 = 23 ． ∴异面直线CD 和D 1E 所成角的余弦值为 23 ．故选：A ．【点评】：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.（单选题，3分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sinAcosB=sinC ，则△ABC 的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形【正确答案】：B【解析】：由已知等式可得sin（A-B）=0，结合角的范围可得A=B，则答案可求．【解答】：解：由2sinAcosB=sinC，得2sinAcosB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin（A-B）=0．∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π，则A-B=0，即A=B．∴△ABC的形状为等腰三角形．故选：B．【点评】：本题考查三角形形状的判断，考查两角和与差的正弦，是基础题．6.（单选题，3分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（）A.2B.3C.4D.5【正确答案】：C【解析】：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，分析可得△O′A′B′的面积S′，由直观图的性质S′S = √24计算可得答案．【解答】：解：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，△O′A′B′中，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则其面积S′= 12×2×2×sin∠A′O′B′= 12×2×2× √22= √2，又由S′S = √24，则S= S′√24=4；故选：C．【点评】：本题考查平面图形的直观图，涉及由直观图还原原图，属于基础题．7.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA的值为（）A. √32B. 14C. √34D. 12【正确答案】：C【解析】：直接利用正弦定理求出结果．【解答】：解：已知：B=60°，a=1，b=2，利用正弦定理：asinA =bsinB，解得：sinA= √34，故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理的应用及相关的运算问题．8.（单选题，3分）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα的值为（）A.-3B.3C. 13D.- 13【正确答案】：A【解析】：由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】：解：∵tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα = tanα+1tanα−3=-3，故选：A．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．9.（单选题，3分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）A.若m || β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB.若m⊥α，n⊥β，则α || βC.若m || α，n || β，α || β，则m || nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α【正确答案】：D【解析】：在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由面面垂直的性质定理得n⊥α．【解答】：解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，得：在A中，若m || β，n⊥α，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m || α，n || β，α || β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则由面面垂直的性质定理得n⊥α，故D正确．故选：D．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．10.（单选题，3分）设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a=2，B=2A，则b的取值范围为（）A. (2√2，2√3)B. (2√2，4)C. (2，2√3)D.（0，4）【正确答案】：A【解析】：根据锐角三角形的性质，先求出A的范围，结合正弦定理进行转化求解即可．【解答】：解：在锐角三角形中，0＜2A＜π2，即0＜A＜π4，且B+A=3A，则π2＜3A＜π，即π6＜A＜π3，综上π6＜A＜π4，则√22＜cosA＜√32，∵a=2，B=2A，∴由正弦定理得asinA =bsinB=b2sinAcosA，得b=4cosA，∵ √22＜cosA＜√32，∴2 √2＜4cosA＜2 √3，即2 √2＜b＜2 √3，则b的取值范围是（2 √2，2 √3），故选：A．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，结合锐角三角形的性质以及正弦定理进行转化是解决本题的关键．11.（单选题，3分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内的动点（含边界），且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）A. 649B. 4√3C. 163√3D. 329√3【正确答案】：D【解析】：由题意画出图形，可得PD=2PC，研究点P在面ABCD内的轨迹（立体几何平面化），可知当P到底面距离为4√33时三棱锥P-BCD的体积最大，则答案可求．【解答】：解：∵AD⊥底面D1DCC1，∴AD⊥DP，同理BC⊥平面D1DCC1，则BC⊥CP，∠APD=∠MPC，∴△PAD∽△PMC，∵AD=2MC，∴PD=2PC，下面研究点P在面ABCD内的轨迹（立体几何平面化），在平面直角坐标系内设D（0，0），C（4，0），C1（4，4），设P（x，y），∵PD=2PC，∴ √x2+y2 = 2√(x−4)2+y2，化简得：3x2+3y2-32x+64=0（0≤x≤4）．该圆与CC1交点的纵坐标最大，交点坐标为（4，4√33），三棱锥P-BCD的底面BCD的面积为8，则三棱锥P-BCD的体积最大值是13×8×4√33=32√39．故选：D．【点评】：本题考查棱锥体积的求法，考查函数与方程思想的应用，考查计算能力，是中档题．12.（单选题，3分）点M是棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1=NC1，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（）A. 3√15π5B. 6√15π5C. 3√10π5D. 3√3π5【正确答案】：B【解析】：由题意画出图形，在BB1上取点P，使2BP=PB1，连接CP、DP，由线面垂直的判定和性质可得M点的轨迹为平面DCP与球O的截面圆周，利用空间向量求解球心的平面的距离，然后求解圆的半径得答案．【解答】：解：如图：棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1，在BB1上取点P，使2BP=PB1，连接CP、DP，BN，∵NC1=2NB1，∴CP⊥BN，又DC⊥平面BCC 1B 1，∴DC⊥BN ，则BN⊥平面DCP ，则M 点的轨迹为平面DCP 与球O 的截面圆周．建立如图所示的坐标系，则D （0，0，0），C （0，6，0），P （6，6，2），O （3，3，3）， 设平面DOP 的法向量为 n ⃗ =（x ，y ，z ），由 {n ⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {6y =06x +2z =0 ，令x=1．y=0，z=-3，所以 n ⃗ =（1，0，-3）， O 到平面DOP 的距离为： |DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||n ⃗ | = |3+0−9|√1+9 = 6√10， 所以截面圆的半径为： √32−(6√10)2 = 3√155 ． 所以动点M 运动路线的长度为： 2×3√155×π = 6√155π ． 故选：B ．【点评】：本题考查考查空间想象能力和思维能力，训练了点到平面的距离的求法，正确找出M 点的轨迹是关键，属于难题．13.（填空题，3分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为___ ．【正确答案】：[1]3：1：2 【解析】：由已知中一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则我们易根据圆柱、圆锥及球的体积公式，求出圆柱、圆锥及球的体积，进而得到答案．【解答】：解：设球的半径为R ，则圆柱和圆锥的高均为2R ，则V 圆柱=2π•R 3，V圆锥= 2π•R3，3π•R3，V球= 43故圆柱、圆锥、球的体积之比为：3：1：2故答案为：3：1：2【点评】：本题考查的知识点是圆柱、圆锥及球的体积公式，其中根据已知，设出球的半径，进而求出圆柱、圆锥及球的体积中解答本题的关键．14.（填空题，3分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___ h后，两车的距离最小．【正确答案】：[1] 7043【解析】：设t小时后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，进而根据时间和速度表示出AD和BE，求得BD=200-80t，题就就抓化为求DE最小时t的值．利用余弦定理建立方程，根据二次函数的性质求得函数取最小值时t的值．【解答】：解：如图所示：设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t．因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD•BEcos60°=（200-80t）2+2500t2-（200-80t）•50t=12900t2-42000t+40000．时DE最小．当t= 7043故答案为：7043【点评】：本题主要考查了解三角形的实际应用．应熟练掌握如正弦定理，余弦定理及其变形公式．15.（填空题，3分）在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为√62，则二面角C-BM-A的大小为___ ．【正确答案】：[1]120°【解析】：推导出MC=AM= √22，且CM⊥BM，AM⊥BM，从而∠CMA是二面角C-BM-A的大小，利用余弦定理能求出二面角C-BM-A的大小．【解答】：解：∵在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，∴AC= √12+12 = √2，∵M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为√62，∴MC=AM= √22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA是二面角C-BM-A的大小，∴cos∠CMA= AM2+CM2−AC22×AM×CM =12+12−322×√22×√22=- 12，∴∠CMA=120°，∴二面角C-BM-A的大小为120°．故答案为：120°．【点评】：本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．16.（填空题，3分）在锐角△ABC中，若sinA=4sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：结合三角形关系和式子sinA=4sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=4sinBsinC，进而得到tanB+tanC=4tanBtanC，结合函数的单调性可求得最小值．【解答】：解：由sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=4sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=4sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在① 式两侧同时除以cosBcosC，可得：tanB+tanC=4tanBtanC，又tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=- tanB+tanC1−tanBtanC，② ，则tanAtanBtanC=- tanB+tanC1−tanBtanC•tanBtanC，由tanB+tanC=4tanBtanC，可得tanAtanBtanC=- 4(tanBtanC)21−tanBtanC，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由② 式得1-tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=- 4t21−t =- 41t2−1t，1t2- 1t=（1t- 12）2- 14，由t＞1得，- 14≤ 1t2- 1t＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为16．故答案为：16．【点评】：本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，考查了转化思想，有一定灵活性，属于中档题．17.（问答题，8分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2-4bc=0．（1）当a=2，m=54时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2-4bc=0．a=2，m=54时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】：解：（1）由题意得b+c=ma，a2-4bc=0．当a=2，m=54时，b+c=52，bc=1．解得 {b =2c =12或{b =12c =2． （2） cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c )2−2bc−a 22bc =m 2a 2−a 22−a 2a 22=2m 2−3∈(0，1) ． ∴ 32＜m 2＜2 ，又由b+c=ma 可得m ＞0，所以√62＜m ＜√2 ． 【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.（问答题，8分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA=PC ，E 为PB 的中点．（1）求证：PD || 面AEC ；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB ．【正确答案】：【解析】：（1）设AC∩BD=O ，连接EO ，证明PD || EO ，利用直线与平面平行的判定定理证明PD || 面AEC ．（2）连接PO ，证明AC⊥PO ，AC⊥BD ，通过PO∩BD=O ，证明AC⊥面PBD ，然后证明面AEC⊥面PBD【解答】：解：（1）证明：设AC∩BD=O ，连接EO ，因为O ，E 分别是BD ，PB 的中点，所以PD || EO…（4分）而PD⊄面AEC ，EO⊂面AEC ，所以PD || 面AEC…（7分）（2）连接PO，因为PA=PC，所以AC⊥PO，又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD…（10分）而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，所以AC⊥面P BD…（13分）又AC⊂面AEC，所以面AEC⊥面PBD…（14分）【点评】：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．19.（问答题，8分）如图，某市市区有一条过市中心O的南北走向道路，市政府决定修建两条道路：一条路是从市中心O出发沿北偏西60°向至点B处，另一条是从市中心O的正南方向的道路上选取点A，在A、B之间修建一条道路．，求在点B处看市中心O和点A （1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为35处视角β的余弦值；km2，点A到市中心O的距离为（2）如果△AOB区域作为保护区，保护区的面积为15√343km，求此时A、B间的距离．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，利用两角差的余弦公式求出cosβ的值；（2）由△AOB的面积值求出OB，再利用余弦定理求得AB的值．【解答】：解：（1）由题可得∠AOB=120°，∠BAO为锐角，且sin∠BAO=sinα= 35，所以cosα= 45，所以cosβ=cosB=cos（60°-α）=cos60°cosα+sin60°sinα= 12 × 45+ √32× 35= 4+3√310；（2）由OA=3，计算△AOB的面积为：S= 12OA×OB×sin∠AOB= 12×3OB×sin120°= 3√34OB= 15√34，解得OB=5；由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA•OBcos∠AOB=9+25-2×3×5×（- 12）=49，所以AB=7，即A、B间的距离为7km．【点评】：本题考查了三角函数求值运算问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．20.（问答题，8分）如图1所示，在直角△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，点E在线段AC上，且CE=4．将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点，如图2所示．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥G-BDE的体积．【正确答案】：【解析】：（1）取AC的中点P，连接DP，证明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面与平面垂直的性质证明DE⊥平面BCD；（2）说明G为EC的中点，求出B到DC的距离h，说明到DC的距离h就是三棱锥B-DEG 的高，求出三角形DEG的面积，再由等体积法即可求得三棱锥G-BDE的体积．【解答】：（1）证明：取AC的中点P，连接DP，∵在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，∴∠A=30°，△ADC是等腰三角形，得DP⊥AC，DP= √3，∠DCP=30°，∠PDC=60°，又点E在线段AC上，CE=4，∴AE=2，EP=1，得∠EDP=30°，∴∠EDC=90°，即ED⊥DC；∵平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，∴DE⊥平面BCD；（2）解：EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，∴BD= √3，DC= √32+(√3)2=2√3，∴B到DC的距离h= BD×BCDC = √3×32√3=32，∵平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，∴B到DC的距离h就是三棱锥B-DEG的高．∵ S△DEG=12×2×√3=√3，∴ V G−BDE=V B−DEG=13S△DEG×ℎ = 13×√3×32=√32．即三棱锥G-BDE的体积为√32．【点评】：本题考查直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．21.（问答题，10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB= 45．（1）若c=2a，求sinBsinC的值；（2）若C-B= π4，求sinA的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知及余弦定理可得a 2+c2−b22ac= 45，结合c=2a，可求bc= 3√510，进而利用正弦定理即可得解．（2）利用二倍角的余弦公式可求cos2B的值，进而可求sinB，sin2B的值，由于A= 3π4-2B，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】：（本小题满分14分）解：（1）在△ABC中，因为cosB= 45，所以a 2+c2−b22ac= 45．因为c=2a，所以(c2)2+c2−b22c×c2= 45，即b2c2= 920，所以bc = 3√510，由正弦定理得sinBsinC =bc，所以：sinBsinC =3√510．（2）因为cosB= 45，所以cos2B=2cos2B-1= 725．又0＜B＜π，所以sinB= √1−cos2B = 35，所以sin2B=2sinBcosB=2× 35×45= 2425．因为C-B= π4，即C=B+ π4，所以A=π-（B+C）= 3π4-2B，所以sinA=sin（3π4 -2B）=sin 3π4cos2B-cos 3π4sin2B= √22×725-（- √22）× 2425= 31√250．【点评】：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角的余弦公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．22.（问答题，10分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R 表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理知ABsinC = bsinB= asinA=2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．【解答】：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°，由ABsinC = bsinB= asinA=2R=4⇒b=2 √2，sinA= 12∵A为锐角∴A=30°，又B=45°∴C=105°，∴AB=2Rsin105°=4sin75°= √6+√2；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1，cosC= a2+b2−c22ab＜0，∴a2+b2＜c2＜（2R）2，即a 2+b 2＜4R 2．（3）a ＞2R 或a=b=2R 时，△ABC 不存在， 当 {a =2R b ＜a 时，A=90°，△ABC 存在且只有一个，∴c= √a 2−b 2 ，当 {a ＜2R b =a时，∠A=∠B 且都是锐角即sinA=sinB= a2R 时，△ABC 存在且只有一个，∴c=2RsinC=2Rsin2A=2R×2sinAcosA= a R√4R 2−a 2 ， 当 {a ＜2Rb ＜a时，∠B 总是锐角，∠A 可以是钝角，可是锐角，∴△ABC 存在两个， ∠A ＜90°时，c= √a 2+b 2+ab2R 2(√4R 2−a 2√4R 2−b 2−ab) ， ∠A ＞90°时， c= √a 2+b 2+ab2R 2(√4R 2−a 2√4R 2−b 2−ab) ，【点评】：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a ，b 两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．。
江苏省扬州中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学(含答案)
江苏省扬州中学2018——2019学年度第一学期期中考试高一数学（试题满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A .B .C .D .四个结论中，只有一个是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑。
1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =( )A ．{}12，B ．{}02，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．函数f (x )=x +5的值域为（）A ．(5, +∞)B ．(-∞,5]C ．[5, +∞)D ．R3．函数y =12log (2-1)x 的定义域为（）A ．（21，+∞） B ．［1，+∞)C ．（21，1] D ．（－∞，1）4．下列每组函数是同一函数的是（）A ．f (x )=x -1, g (x )=(x -1)2B ．f (x )=|x -3|, g (x )=(x -3)2C ．f (x )=x 2-4x -2, g (x )=x +2 D ．f (x )=(x -1)(x -3) , g (x )=x -1 ·x -35．已知函数2=log (3)-y ax 在]1,0[上是x 的减函数，则a 的取值范围是（）A . )1,0(B .(1,3)C . )3,1()1,0(⋃D . (0,3)6．函数xx xx ee e e y ---+=的图象大致为( )7．设函数()200，，x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()1，+∞C ．()10-，D ．()0-∞，8．若a >b >0，0<c <1，则（）A ．log c a <log c bB ．c a >c bC ．a c <a bD ．log a c <log b c9．幂函数f (x )=(m 2-m -1)x m ²+2m -3在(0,+∞)上为增函数，则m 的取值是（）A ．m =2或m =-1B ．m =-1C ．m =2D ．-3≤m ≤110．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，满足f (1-x )=f (1+x )．若f (1)=2，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (10)（）A . -10B . 2C . 0D . 1011．已知函数()0=ln 0，，x e x f x x x ⎧≤⎨>⎩，g (x )=f (x )+x +a ．若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是（）A . [–1，0）B . [0，+∞）C . [–1，+∞）D . [1，+∞）12．若函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()2f 的值是( )A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卷相应位置．13．若函数f (x )=m +mx ，f (1)=2，则f (2)=__________．14．设25a b m ==，且112a b+=，则m =． 15．已知：函数()f x 为奇函数，且在(0,)+∞上为增函数，(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为__________．16．已知函数g (x )=log 2x ,x ∈(0,2)，若关于x 的方程|g (x )|2+m |g (x )|+2m +3=0有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是__________________．三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知集合{}2280A x x x =+-≤，133xB x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭， （1）求AB ；（2）求B A C R )(18．已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在R 上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式．（2）用函数单调性的定义证明()f x 在(0,1)上是增函数． （3）判断函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性；（只需写出结论）19．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)． （1）求a,b 的值；（2）求f (log 2x )的最小值及相应x 的值．20．已知f (x )＝log a1＋x1－x(a >0，a ≠1)． （1）求f (x )的定义域；（2）判断f (x )的奇偶性并给予证明； （3）求使f (x )>0的x 的取值范围．21．对函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，若存在R x x ∈21,且21x x <，使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=211)(1x x B x x A a x f （其中A ，B 为常数），则称)0()(2≠++=a c bx ax x f 为“可分解函数”。
江苏省镇江市2018-2019学年高一上学期期末数学试卷(解析版)
江苏省镇江市2018-2019学年高一上学期期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.与角终边相同的最小正角是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，即与角终边相同的最小正角是，故选：D．根据终边相同角的定义转化为形式即可．本题主要考查终边相同角的化简，根据条件转化为形式是解决本题的关键．2.函数的零点是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：解方程，解得：，故函数的零点是，故选：A．由函数零点与方程的根的关系，解方程，即可得解．本题考查了函数零点与方程的根的关系，属简单题．3.要得到函数的图象，只要将函数的图象A. 向左平移单位B. 向右平移单位C. 向右平移单位D. 向左平移单位【答案】D【解析】解：由于函数，故只要将函数的图象相左平移个单位，即可得到函数的图象，故选：D．由于函数，故只要将函数的图象相左平移个单位即可实现目标．本题主要考查函数的图象变换，属于中档题．4.已知角A，B是中的两个内角，则“”是“”的条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 既不充分又不必要D. 充要【答案】D【解析】解：在三角形中，，，则由得，即“”是“”的充要条件，故选：D．根据余弦函数在上的单调性，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合余弦函数的单调性是解决本题的关键．5.已知函数的零点，则整数k的值为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】解：函数为增函数，，，，即函数在内存在一个零点，零点，，故选：C．根据函数零点存在定理，求出零点存在的区间即可．本题主要考查函数零点判定定理，结合零点存在定理得到是解决本题的关键．6.一个单摆如图所示，以OA为始边，OB为终边的角与时间的函数满足：，则单摆完成5次完整摆动所花的时间为A. 5B. 10C.D.【答案】D【解析】解：，即完成一次完整的摆动需时，单摆完成5次完整摆动需要时间．故选：D．求出周期，可得完成一次完整的摆动需时，即可求出单摆完成5次完整摆动时间．本题考查三角函数的周期性，考查学生的计算能力，是基础题．7.已知，若角的终边经过点，则的值为A. B. C. 4 D.【答案】A【解析】解：已知，若角的终边经过点，，的值．，则，故选：A．利用任意角的三角函数的定义求得的值，可得的值，再利用分段函数求得本题主要考查任意角的三角函数的定义，分段函数的应用，属于基础题．8.已知函数，，则方程解的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：由已知有：，其图象关于点对称，其图象关于点对称，方程解的个数等价于与的图象的交点个数，由图可知，与的图象的交点个数为3，故选：C．结合函数图象的变换及函数图象的作法，作出与的图象，再结合方程的根与函数图象交点的相互转化，观察函数图象交点个数即可本题考查了函数图象的变换及函数图象的作法，方程的根与函数图象交点的相互转化，属中档题二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）9.已知圆心角为的扇形，其半径为3，则该扇形的面积为______．【答案】【解析】解：圆心角为，则弧长则扇形的面积，故答案为：先求出扇形的弧长，结合扇形的面积公式进行计算即可．本题主要考查扇形的面积的计算，结合扇形的弧长公式和面积公式是解决本题的关键．10.若点，均在幂函数的图象上，则实数______．【答案】9【解析】解：点，均在幂函数的图象上，，解得，，．实数．故答案为：9．由点，均在幂函数的图象上，求出，由此能求出实数．本题考查函数值的求法，考查幂函数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.已知，则______．【答案】3【解析】解：故答案为：3只需对分子分母同时除以，将原式转化成关于的表达式，最后利用方程思想求出即可．本题考查了齐次式的化简，利用条件和结论间的关系直接求解比较简单，属于基础题．12.计算：______．【答案】【解析】解：，故答案为：．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．13.已知函数，若对任意都有恒成立，则实数k的取值范围为______．【答案】【解析】解：，，，当时，，对任意都有恒成立，，即当时，，对任意都有恒成立，，即，当时，恒成立，综上所述实数k的取值范围为，故答案为：根正弦函数的性质当，可得，再根据k的值，分类讨论，求出函数的值域，根据最小值大于0即可求出k的范围．本题主要考查了函数的值域和函数恒成立的问题，考查了分类讨论的思想，属于中档题．14.求值：______．【答案】4【解析】解：，故答案为：4先通分，然后利用辅助角公式结合两角和差的余弦公式进行化简即可．本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用辅助角公式结合两角和差的余弦公式是解决本题的关键．15.已知，，则______．【答案】【解析】解：已知，，，，，故，，故答案为：．利用同角三角函数的基本关系求得的值，可得的值，再利用二倍角公式求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．16.某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶考虑到高速公路行车安全，要求时，每小时的油耗所需要的汽油量为，其中k为常数若汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的取值范围为______．【答案】【解析】解：设每小时的油耗所需要的汽油量为y，由题意可得，当时，，，解得，每小时的油耗不超过9L，，即，解得，又，可得，每小时的油耗不超过9升，x的取值范围为，故答案为：将代入每小时的油耗，解方程可得，由题意可得，解不等式可得x的范围；本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集，集合，．当时，求集合；若，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，由于，即，所以由于，即，所以所以；因为，所以，由于，则，所以，所以实数a的取值范围为．【解析】解不等式简化集合A、B，然后直接利用交集的定义可得；由，得，得不等式，得实数a的取值范围．本题考查的知识点是交集运算、集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题．18.已知A，B均为锐角，，．求的值；求的值．【答案】解：，B均为锐角，，，．由题意，，，．【解析】由题意直接利用二倍角公式求得的值．利用三角函数的基本关系求得的值，可得的值，再根据利用两角差的正弦公式求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角差的正弦公式的应用，属于基础题．19.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：求函数的解析式，并补全表中其它的数据；在给定的坐标系中，用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；写出函数的单调减区间．【答案】解：根据用“五点法”画函数的步骤方法，由所给的表格可得，，且，，，，可得表格应为：根据五点法作图，作出函数的一个周期内的图象，如图：根据函数的图象以及周期性可得它的减区间为，．【解析】根据五点法作图，正弦函数的图象，先求得函数的解析式，可得表格．利用五点法作图，结合题意，作出函数的一个周期内的图象．由图象根据周期性写出它的减区间．本题主要考查五点法作图，正弦函数的图象，正弦函数的性质，属于中档题．20.已知函数．若的定义域为是自然对数的底数，求函数的最大值和最小值；求函数的零点个数．【答案】解：的定义域是，则设，则在递减，在递增，故，，则；函数，，，故是偶函数，当时，在连续不断，且单调递增，又，，则函数在上存在唯一的零点，由于函数是偶函数，则函数在上也存在唯一的零点，综上，函数在定义域内零点的个数是2个．【解析】设，结合二次函数的性质求出函数的最值即可；求出函数的奇偶性，结合函数的单调性求出函数在上存在唯一的零点，从而求出函数的零点个数即可．本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查对数函数以及二次函数的性质，是一道综合题．21.开发商现有四栋楼A，B，C，楼D位于楼BC间，到楼A，B，C的距离分别为1200m，600m，400m，且从楼D看楼A，B的视角为如图所示，不计楼大小和高度．试求从楼A看楼B，C视角大小；开发商为谋求更大开发区域，拟再建三栋楼M，P，N，形成以楼AMPN为顶点的矩形开发区域规划要求楼B，C分别位于楼MP和楼PN间，如图所示，记，当等于多少时，矩形开发区域面积最大？【答案】解：因为楼D到楼B、C的距离分别为600m和400m，到楼A的距离为1200m，所以百米，百米，百米，因为从楼D看楼A、B的视角为，则，则，，所以，又，即，所以，则从楼A看楼B，C视角的大小为；在和中，，，则在中，，在中，，记矩形开发区AMPN的面积为，则；又；当时，即时，矩形开发区域AMPN的面积最大．【解析】利用直角三角形的边角关系和两角和的正切公式求得从楼A看楼B，C视角的大小值；利用直角三角形的边角关系和矩形的面积公式，写出矩形开发区AMPN的面积，再利用三角恒等变换和矩形三角函数的性质求出的最大值以及取最大值时的值．本题考查了解三角形的模型应用问题，也考查了三角函数的性质与应用问题，是中档题．22.已知函数．解不等式：；求函数的奇偶性，并求函数在上的单调性；若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：函数，即，即解得，解得，故不等式的解集为．函数的定义域为R，，为偶函数，函数在上单调递增．证明如下：在上任取，，令，，，，，函数在上单调递增．对任意，不等式恒成立，即，从而有恒成立，，则等价于恒成立，令，则，由于为偶函数，由可知在上单调递增，则函数在上单调递减，，，，则原不等式等价于，，即在上恒成立，设，则在上为增函数，，【解析】根据指数函数的性质，原不等式可转化为，解得即可，根据偶函数的定义和函数单调性的定义即可证，对任意，不等式恒成立，令，等价于在上恒成立，根据函数的单调性求出即可．本题考查了指数函数不等式的解法，函数的奇偶性单调性和函数恒成立问题，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于难题。
江苏省徐州市2018-2019高一上学期期中考试数学试卷(扫描版)
2018～2019学年度第一学期期中考试高一数学试题参考答案与评分标准二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,计20分）13.(0,1﹞ 14. 3()f x x = 15. 60 16 . ①②③ 三、解答题：本大题共6小题共计70分，请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）解：（1）原式1132322564119274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1132322325411332--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦531834=--+ 9512=（或写成11712）． ………………………………………………5分 （2）原式2log 311lg522lg2(lg2lg5)2-=++⋅++11(lg5lg2)322=+++⨯ 13122=++ 3=． ……………………………………………10分18．（本小题满分12分） 解：（1）{}|16A x x =-≤≤，当3m =时，{}|48B x x =≤≤， …………………………………………2分{}|46A B x x =≤≤． ……………………………………………5分 （2）当B =∅时，131m m +>-，所以1m <满足题意 ；………………………………7分 当B =∅时，由题意13111316m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤≥≤，解得713m ≤≤．………………………………… 10分综上知：实数m 的取集合7|3C m m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤． ………………………………… 12分19．（本小题满分12分）解（1）当0x <时，0x ->，则22()()4()242f x x x x x -=--+--=---， ∵()f x 为奇函数，∴2()()42f x f x x x -=-=---， ∴2()42f x x x =++，∴当0x <时，函数()f x 的解析式为2()42f x x x =++．…………………………………4分 （2）7…………………………………………8分由图得()g x 单调增区间为(2,6)-，单调减区间(4,2)--，……………………………… 10分 值域为[2,2]-． ……………………………… 12分 20．（本小题满分12分）解：（1）()f x 是奇函数， …………………………………… 1分 证明如下：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，21()21x x f x -=+，∴211221()()211221x x x xx x f x f x ------===-=-+++， 所以()f x 为奇函数． …………………………………… 4分 （2）()f x 在(,)-∞+∞上为增函数． …………………………………… 5分 证明：任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 则12211212222(22)()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++， ∵1x ，2(,)x ∈-∞+∞，且12x x <， ∴12220x x -<，1210x +>，2210x +>， ∴12()()0f x f x -<即12()()f x f x <，∴()f x 在(,)-∞+∞上为增函数， …………………………………… 8分 ∵()f x 在(,)-∞+∞上为增函数且2(3)(22)f x x f x +<+，∴2322x x x +<+， …………………………………… 10分 ∴21x -<<，即2(3)(22)f x x f x +<+的解集为{}|21x x -<<．…………………………………… 12分21．（本小题满分12分） 解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为f （x ）万元，B 产品的利润为g （x ）万元， 由题意知f （x ）=k 1x ，， …………………………………… 2分由图可知f （2）=1，，g （4）=4，k 2=2从而……………………………………3分…………………………………… 4分（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入（10﹣x ）万元，设企业利润为y 万元．… 5分 则， ………………………… 7分（无定义域扣1分） 令，则，……………………………… 9分 当t=2时，y max =7，此时x=10﹣4=6（万元） ………………………………11分 所以当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，企业获得最大利润为7万元……… 12分22．（本小题满分12分）解：（1）1m =时，函数2()24f x x x =--在(2,1)-上是减函数，在(1,2)上是增函数，…………………………………………… 2分所以当2x =-时，()f x 有最大值，且max ()(2)4f x f =-=， …………………………… 3分 当1x =时，()f x 有最小值，且min ()(1)5f x f ==-． …………………………… 4分 （2）不等式()1f x >-，即2(13)30mx m x +-->，当0m =时，解得3x >， …………………………………… 5分 当0m ≠时，(3)(1)0x mx -+=的两根为3和1m-， 当0m >时，13m-<，不等式的解集为：1{|x x m <-或3}x >，………………………… 6分当0m <时，13133m m +⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以当13m <-时，13m -<，不等式的解集为：1|3x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭， ……………………7分当13m =-时，不等式的解集为：∅， …………………………… 8分当103m -<<时，13m <-，不等式的解集为：1|3x x m ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭，综上所述：当0m >时，13m-<，不等式的解集为：1{|x x m <-或3}x >；当0m =时，不等式的解集为：{}|3x x >；当103m -<<时，13m <-，不等式的解集为：1|3x x m ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭；当13m =-时，不等式的解集为：∅；当13m <-时，不等式的解集为：1|3x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．…………………………………… 9分(五种情况各一分，最后不进行总结不扣分)（3）0m <时2()(13)4f x mx m x =+--，m ∈R 为开口向下的抛物线， 抛物线的对称轴为13311222m x m m-=-=->， ………………………… 10分 若存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0f x >，则2(13)160m m -+>，………………………… 11分 即291010m m ++>，解得1m <-或109m -<<，综上所述：m 的取值范围是1(,1),09⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭． …………………………12分。
江苏省江阴四校2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
2018-2019学年第一学期高一期中考试数学学科试题试卷分值：150分 考试时间：120分钟一、 选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题中只有一项符合题目要求)1.已知集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2},则A B ⋂= （ ）A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2} 2．函数()lg(1)f x x =-+（ ）Ａ．(1,4]Ｂ．(1,4) Ｃ．[1,4] Ｄ．[1,4)3．下列选项中，表示的是同一函数的是 （ ） A．()f x =2()g x = B.,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨->⎩，()f t t =C ．2()(1)f x x =-，2()(2)g x x =- D ．()11f x x =-，()g x =4．已知函数()12log ,1,162,1x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩，则1(())4f f = ( ) A ．−2B ．4C ．2D ．−15．图中函数图象所表示的解析式为（ ）A ．)20(123≤≤-=x x y B ．)20(12323≤≤--=x x y C ．)20(123≤≤--=x x y D ．)20(11≤≤--=x x y6．设奇函数()f x 在()0,+∞ 上为减函数,且(2)0f = 则不等式()()0f x f x x-->的解集是( )A.()()2,02,-⋃+∞B.(),2(0,2)-∞-⋃C.()2,0(0,2)-⋃D.(),2(2,)-∞-⋃+∞7．三个数73.03.0,7,3.0ln 的大小关系是 （ ） A ．73.03.073.0ln >> B ．73.03.03.0ln 7>>C ．3.0ln 73.03.07>>D ．3.0ln 3.0773.0>>8．已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（ ）A ． [–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）二、填空题(本题共8小题，每小题5分，共40分.把答案填在题中横线上)9.幂函数f(x)的图象过点⎪⎭⎫⎝⎛214，，那么f(64)＝ ．10．已知2(21)f x x x +=+，则()f x = ．11.函数 0(1)2(log )(>+-=a x x f a 且)1≠a 恒过定点 ．12. 已知函数1)(35+++=bx ax x x f ，且10)2(=-f ，则=)2(f ． 13. 若方程x x -=6ln 的根)1,(0+∈n n x ，则整数=n ．14. 已知函数)(x f 满足),()(x f x f =-当)0,(,-∞∈b a 时总有)(0)()(b a b a b f a f ≠>--，若)2()1(m f m f >+，则实数m 的取值范围是 ．15．若函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为 ．16．已知函数()22121⎧-+⎪=⎨>⎪⎩，≤，x kx x f x x x ，若存在a ，∈R b ，且≠a b ，使得()()=f a f b 成立，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题(本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. （本小题满分8分）(1) 11021()102)20500---⨯+⨯(2) 21log 32531lg log 3log log 5ln 2100+-⨯+e 0()ln 0x xf x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++18.（本小题满分10分）设全集为=U R ，集合{}0)6)(3(≥-+=x x x A ，{}86<-=x x B ． （1）求R A B ð；（2）已知{}12+<<=a x a x C ，若C B ⊆，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=且(0)1f =． （1）求()f x 的解析式； (2) 当[1,1]x ∈-时，不等式()2f x x m >+恒成立，求m 的范围20．（本小题满分12分）某市“网约车”的现行计价标准是：路程在km 2以内（含km 2）按起步价8元收取，超过km 2后的路程按9.1元/km 收取，但超过km 10后的路程需加收%50的返空费（即单 价为85.2%)501(9.1=+⨯元/km ）．（1） 将某乘客搭乘一次“网约车”的费用)(x f （单位：元）表示为行程600(≤<x x ， 单位：km ）的分段函数；（2） 某乘客的行程为km 16，他准备先乘一辆“网约车”行驶km 8后，再换乘另一辆 “网约车”完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由．21．（本小题满分14分） 已知函数2()21x x af x -=+为奇函数.(1) 求函数()f x 的解析式； (2) 若()f x ＜0.5，求x 的范围； （3）求函数()f x 的值域．22．（本小题满分14分）已知函数()132log 2kxf x x -=-为奇函数. （1）求常数k 的值； （2）设2()2kxh x x -=-，证明函数()y h x =在(2,)+∞上是减函数； （3）若函数()()2xg x f x m =++，且()g x 在区间[]3,4上没有零点，求实数m 的取值范围.2018-2019学年第一学期高一期中考试数学学科试题答案一、选择题1.C2. A3. B4. A5.B6. C7. D8. C二、填空题9. 1/8 10. 214x - 11. (3,1) 12.—8 13. 414. 1m >或13m <- 15.(1,)+∞ 16. ()()+∞⋃∞,32,-三、解答题17. 解:(1) 0 （4分）(2) 4 （4分） （结果错误酌情给分） 18.解：（1）由(3)(6)0,x x +-≥得6≥x 或3-≤x(,3][6,)A =-∞-⋃+∞ …………………………2分由868<-<-x ，(2,14)B =-，{}142≥-≤=x x x B C R 或 ………………4分(,3][14,)R A C B ⋂=-∞-⋃+∞ …………………………6分（2） ① 21a a ≥+，即1a ≥时，C =∅，成立； ………………………7分 ② 21a a <+，即1a <时，(2,1)(2,14)C a a =+⊆-11422a a +≤⎧⎨≥-⎩得11a -≤< ………………………9分 综上所述，a 的取值范围为[1,)-+∞． ………………………10分19、（1）解：令2()(0)f x ax bx c a =++≠代入：得：22(1)(1)()2,22a x b x c ax bx c x ax a b x ++++-++=++=∴111a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴2()1f x x x =-+-----------------------------------------------6分 （2）当[1,1]x ∈-时，()2f x x m >+恒成立即：231x x m -+>恒成立；令2235()31()24g x x x x =-+=--,[1,1]x ∈-m i n ()(1)1g x g ==-∴1m <---------------------------------12分20．解：（1）由题意得，车费)(x f 关于路程x 的函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<+≤<=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+⨯+≤<-+≤<=)6010(,3.585.2)102(,9.12.4)20(,8)6010(),10(85.289.18)102(),2(9.18)20(,8)(x x x x x x x x x x x f （6分）（2）只乘一辆车的车费为：3.403.51685.2)16(=-⨯=f （元），（12分）21、解：（1）由(0)0f = 1a ∴=经检验符合题意21()21x x f x -∴=+ ----------------------------4分（2）由211212x x-<+ 23x ∴<2log 3x ∴< -------------------------------8分（3）值域为()1,1- -----------------------------14分22. 解:(1) 1k =-. （3分）(2)证明请酌情给分 （8分）（3）()g x 在区间上[]3,4单调递增，则()()33040,log 5815.g g m m ><∴>-<或或（14分）。