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高等数学公式导数公式：2(arcsin x)1 (tan x)sec x1x2(cot x)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tan x1x2(csc x)cscx cot x(arctan x)1( a x )a x ln a 1 x 2(log a x)1(arc cot x)1 x ln a1x2基本积分表：tanxdx ln cos x Ccot xdx ln sin x C secxdx ln secx tan x C cscxdx ln cscx cot x Cdx2cos2 xsec xdx tan x C dx2sin 2 xcsc xdx cot x C secx tan xdx secx Ccsc x cot xdx csc x Cdx22a x x2a2dx22a x a2x21arctanxCa a1 ln x a C2a x a1ln a x C2a a xarcsinxCaa x dx a x Cln ashxdx chx Cchxdx shx Cdx ln( x x2 a 2 ) Cx2a22sin n xdx2cos n n1I nI n xdx200nx2 a 2 dx x x2a2a2ln( x x2a2 )C22x2a2 dx x x2a2 a 2ln x x2a2C22a2x2 dx x a2x2 a 2arcsin xC22a 三角函数的有理式积分：A. 积化和差公式：B. 和差化积公式：① sinsin2 sincos② sinsin2 cossin2222 ③ coscos2 coscos④ coscos2 sinsin22 221.正弦定理：abc=== 2R （ R 为三角形外接圆半径）sin A sin Bsin C2.. 余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A b 2 =a 2 +c 2 -2ac cosB c 2 =a 2 +b 2 -2abb 2c 2 a 2cosC cos A2bc3. S ⊿= 1 a h a = 1 ab sin C = 1 bc sin A = 1 ac sin B =abc=2R 2 sin A sin B sin C22224Ra 2 sin Bsin Cb 2 sin Asin Cc 2 sin Asin B=pr=p( p a)( pb)( p c)===2sin C2sin A2sin B(其中 p1 (a b c) ,r 为三角形内切圆半径 )4. 诱导公试2sincos tan cot-- sin + cos- tg- ctg三角函数值等于的同名 三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原 三角函数值的符号；即： 函-+ sin- cos- tg- ctg数名不变，符号看象限+- sin- cos + tg + ctg5. 和差角公式2-- sin+ cos- tg- ctg①2k++ sin+ cos + tg+ ctg) sin coscos sinsin(sincostancot②++--cos + sin+cos- sin-cos- sin +cos+sin-ctg+ tg) cos cossin sincos(ctg - tgctg+ tgctg- tg③ tg (tg tg④ tg tg tg ()(1 tg tg ))tg1 tg6.二倍角公式： (含万能公式 )① sin 2 2 sin cos2tg1tg 2② cos 22sin22 cos21 12 sin21tg2 cos1tg 2③ tg 22tg④sin2tg 21cos22 1 cos 21 tg21tg22⑤ cos27. 半角公式：（符号的选择由所在的象限确定）2① sin1cos② sin21cos③ cos1cos222222④ cos21cos ⑤1cos 2 sin 2⑥1 cos 2 cos22222⑦ 1sin(cos2sin ) 2cos sin 222⑧ tg1cos sin1cos1cos1cos sin 2高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用：多元函数微分法及应用多元函数的极值及其求法：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：函数展开成幂级数：幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：微分方程的相关概念一阶微分方程： y f ( x , y ) 或P ( x , y )dx Q ( x , y )dy可分离变量的微分方程 ：一阶微分方程可以化 为 g ( y )dyf ( x )dx 的形式，解法：g ( y )dyf ( x )dx得： G ( y )F ( x )C 称为隐式通解。
齐次方程：一阶微分方 程可以写成dyf ( x , y )( x , y )，即写成 y的函数，解法：dxx设uy ，则 dy u xdu， udu ( u )， dxdu 分离变量，积分后将 y 代替 u ，xdx dxdxx( u ) u x即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：全微分方程： 二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) 式的通解两个不相等实根 ( p 2 4q 0)两个相等实根 ( p 2 4q 0)一对共轭复根 ( p 24q0)二阶常系数非齐次线性微分方程 线性代数公式大全——最新修订 1、行列式n 行列式共有 n 2 个元素，展开后有n ! 项，可分解为 2n 行列式；代数余子式的性质：①、 A ij 和 a ij 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；代数余子式和余子式的关系： Mij( 1)i jA ijAij( 1)i j M ij设 n 行列式 D ：n ( n 1)将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D 1 ，则 D 1( 1) 2 D ；n ( n 1)将 D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为 D 2 ，则 D 2( 1) 2 D ；将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为将 D 主副角线翻转后，所得行列式为D 4 ，则 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；D 3 ，则 D 3D ；D 4D ；n( n 1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积( 1) 2 ；③、上、下三角行列式（◥◣ ）：主对角元素的乘积；n( n 1)④、 ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积 ( 1) 2；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB 、CA O A ( 1)m gn A BC B OBB OB C⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；n对于 n 阶行列式 A ，恒有： E An( 1)k S kn k，其中 S k 为 k 阶主子式；k 1证明 A0 的方法：①、 AA ；②、反证法；③、构造齐次方程组 Ax 0 ，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r (A) n ；⑤、证明 0 是其特征值；2、矩阵 1.A 是 n 阶可逆矩阵：A0 （是非奇异矩阵）；r ( A) n （是满秩矩阵）A 的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 Ax 0 有非零解；b R n ， Axb 总有唯一解；A 与 E 等价；A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；A 的特征值全不为 0；A T A 是正定矩阵；A 的行（列）向量组是R n 的一组基；A 是 R n 中某两组基的过渡矩阵； 对于 n 阶矩阵 A ： AA *A * AA E 无条件恒成立；矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：A 1若 AA 2，则：OA sⅠ、 A A 1 A 2 L A s ；A111A1Ⅱ、A2；OA s1A O ②、O BO A ③、B O 11OA；（主对角分块）O B 11B1OA 1O；（副对角分块）A C11A1 CB1A④、B O B 1；（拉普拉斯）OA O1A1O；（拉普拉斯）⑤、B B 1CA 1C B 13、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个 m n 矩阵 A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：E r OF；OOm n等价类：所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵 A 、 B ，若r ( A)r (B)A : B ；行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）r①、若 ( A , E ) : (E , X ) ，则A可逆，且 X A 1 ；②、对矩阵 ( A, B ) 做初等行变化，当A变为E时，B就变成 A 1B ，即： ( A, B )c( E, A 1B ) ；rA 1 b ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数 n 个方程Ax b ，如果 ( A, b): (E , x) ，则A可逆，且 x初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；1②、2，左乘矩阵 A ，i乘 A 的各行元素；右乘，i乘 A 的各列元素；On111③、对调两行或两列，符号 E (i , j ) ，且E ( i , j )1 E (i , j ) ，例如：11；111E (i ( 1)) ，例如：1④、倍乘某行或某列，符号E (i (k)) ，且 E (i (k)) 1kk111k ⑤、倍加某行或某列，符号 E (ij (k )) ,且E (ij (k ))1 E (ij ( k )) ，如：11矩阵秩的基本性质：①、 0 r ( A m n ) min(m,n ) ；②、 r ( A T )r ( A) ；110) ；(kk11k1(k0) ；1③、若 A : B ，则r (A) r ( B)；④、若 P 、Q可逆，则r ( A)r (PA)r ( AQ)r (PAQ) ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、 max(r ( A), r ( B))r ( A, B )r ( A)r ( B) ；（※）⑥、 r ( A B)r ( A)r ( B) ；（※）⑦、 r ( AB )min( r ( A), r (B )) ；（※）⑧、如果 A 是 m n 矩阵， B 是 n s 矩阵，且AB 0，则：（※）Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组AX0 解（转置运算后的结论）；Ⅱ、 r (A) r (B)n⑨、若 A 、 B 均为 n 阶方阵，则r (AB ) r ( A)r (B )n ；三种特殊矩阵的方幂：①、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；1a c②、型如01 b 的矩阵：利用二项展开式；001二项展开式： (a b)n C n0a n C n1 a n1b1C n m a n m b m C n n 1a1b n 1C n n b n nC n m a m b n m；L Lm0注：Ⅰ、 (a b)n展开后有n 1 项；Ⅱ、C n m n(n 1)L L (n m1)n!m)!C n0C n n11g2g3gL gm m!(nnⅢ、组合的性质：C n m C n n m C n m1C n m C n m1C n r2n rC n r nC n r11；r 0③、利用特征值和相似对角化：伴随矩阵：n r ( A)n①、伴随矩阵的秩：r ( A* )1r ( A)n 1 ；0r ( A)n1②、伴随矩阵的特征值：A(AX X , A* A A 1A* X AX ) ；③、 A *A A 1 、 A *n 1A关于 ①、 ②、③、 A 矩阵秩的描述：r ( A) n ， A 中有 n 阶子式不为 0 ， n 1 阶子式全部为 0；（两句话）r ( A) n ， A 中有 n 阶子式全部为 0；r ( A) n ， A 中有 n 阶子式不为0 ；线性方程组： Ax b ，其中 A 为 m n 矩阵，则：①、 m 与方程的个数相同，即方程组 Ax b 有 m 个方程；②、 n 与方程组得未知数个数相同，方程组Axb 为 n 元方程；线性方程组 Axb 的求解：①、对增广矩阵 B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得； 由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成n 元线性方程：a 11 x 1 a 12 x 2 La 1 n x nb 1①、a 21x1a 22 x 2 L a 2n x nb 2 ；L L L L L L L L L L L a m1 x 1 a m 2 x 2 L a nm x nb na11a12L a1nx1b1②、 a 21a 22 L a 2n x 2 M M O M M a m1a m 2 La mnx mx 1③、 a 1a 2 La nx 2Mx n④、 a 1 x 1 a 2 x 2 L a n x n⑤、有解的充要条件： r ( A) 4、向量组的线性相关性b 2 Ax b （向量方程，A 为 m n 矩阵， m 个方程， n 个未知数）Mb mb 1 （全部按列分块，其中b 2 ）；M b n（线性表出）r ( A, ) n （ n 为未知数的个数或维数）1.m 个 n 维列向量所组成的向量组A ：1,2 ,L ,m 构成 n m 矩阵 A (1,2 ,L , m ) ；T 1T m 个 n 维行向量所组成的向量组B ：TTTm n 矩阵 B2；1, 2 ,L ,m 构成MTm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；①、向量组的线性相关、无关Ax 0 有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出Axb 是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示AXB 是否有解；（矩阵方程）矩阵 A m n 与 B l n 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 Ax 0 和 Bx0 同解； ( P 101 例 14)r ( A T A) r (A ) ； ( P 101 例 15) n 维向量线性相关的几何意义：①、 ②、线性相关 , 线性相关,0 ；坐标成比例或共线（平行）；③、, ,线性相关, ,共面；线性相关与无关的两套定理：若 1 , 2 ,L , s 线性相关，则 1,2 ,L,s,s 1 必线性相关；若 1 ,2 ,L ,s 线性无关，则1, 2 ,L ,s 1 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若 r 维向量组 A 的每个向量上添上 n r 个分量，构成 n 维向量组 B ：若 A 线性无关，则B 也线性无关；反之若 B 线性相关，则 A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；向量组 A （个数为 r ）能由向量组B （个数为 s ）线性表示，且 A 线性无关，则 rs (二版 P 74 定理 7) ；向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则 r ( A) r ( B) ；（ P 86 定理 3）向量组 A 能由向量组 B 线性表示AX B 有解；r ( A) r ( A, B ) （ P 85 定理 2）向量组 A 能由向量组 B 等价r ( A) r ( B)r ( A, B ) （ P 85 定理 2 推论）方阵 A 可逆存在有限个初等矩阵P 1 , P 2 ,L , P l ，使 A P 1 P 2 L P l ；r①、矩阵行等价：A ~ BPA B （左乘， P 可逆）Ax0 与 Bx 0 同解cAQB （右乘， Q 可逆）； ②、矩阵列等价： A ~ B③、矩阵等价：A ~ BPAQ B （ P 、 Q 可逆）；对于矩阵 A m n 与 B l n ：①、若 A 与 B 行等价，则 A 与 B 的行秩相等；②、若 A 与 B 行等价，则 Ax 0 与 Bx 0 同解，且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵 A 的行秩等于列秩；若 A m s B s nC m n ，则：①、 C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，A T为系数矩阵；（转置）齐次方程组 Bx ①、 ABx②、 Bx0 0 的解一定是 0 只有零解 有非零解ABxBxABx0 的解， 考试中可以直接作为定理使用，而无需证明0 只有零解；0 一定存在非零解；；设向量组 B n r : b 1, b 2 ,L , b r可由向量组A n s : a 1 ,a 2 ,L ,a s 线性表示为：（P 110 题 19 结论）(b 1, b 2 ,L ,b r ) (a 1,a 2 ,L ,a s ) K （ BAK ）其中 K 为 sr ，且 A 线性无关，则B 组线性无关r ( K ) r ；（ B 与 相关性）（必要性： Q rr ( B) r ( AK ) r (K ), r ( K ) r , r ( K ) r ；充分性：反证法）注：当 rs 时， K 为方阵，可当作定理使用；K 的列向量组具有相同线性①、对矩阵 A mn ，存在 Q n m ， AQ E m r ( A)m 、 Q 的列向量线性无关；（ P 87 ）②、对矩阵 A m n，存在P nm，PAE nr (A) n 、 P 的行向量线性无关；1,2,L , s 线性相关存在一组不全为0 的数 k 1, k 2 ,L , k s ，使得 k 11k2 2Lks s0 成立；（定义）x 1(1, 2 ,L , x 20 有非零解，即 Ax 0 有非零解；s )Mx sr (1,2 ,L ,s)s ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；设 m n 的矩阵 A 的秩为 r ，则 n 元齐次线性方程组 Ax0 的解集 S 的秩为： r ( S) n r ；若 * 为 Axb 的一个解， 1, 2 ,L , n r 为 Ax0 的一个基础解系，则*, 1 , 2 ,L , n r 线性无关； （ P 111题 33 结论）5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵A T A E 或 A 1 A T （定义），性质：①、 A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即a i Ta j1 i j(i , j 1,2,L n) ；0 ij②、若 A 为正交矩阵，则 A 1 A T 也为正交阵，且A1 ；③、若 A 、 B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；施密特正交化：(a 1 ,a 2 ,L , a r )b 1 a 1 ；b ra r[b 1, a r ] gb 1 [ b 2 , a r ]gb 2 L [ b r 1 ,a r ] gb r 1 ;[b 1, b 1 ] [ b 2 ,b 2 ][ b r 1, b r 1]对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；①、 A 与 B 等价A 经过初等变换得到B ；②、 A 与 B 合同③、 A 与 B 相似PAQ B ， P 、 Q 可逆；r ( A) r ( B) ， A 、 B 同型；C T AC B ，其中可逆；TTx Ax 与 x Bx 有相同的正、负惯性指数；相似一定合同、合同未必相似；若 C 为正交矩阵，则 C T AC B A : B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；A 为对称阵，则 A 为二次型矩阵；TA 的正惯性指数为 n ；A 与 E 合同，即存在可逆矩阵 C ，使 C T AC E ；A 的所有特征值均为正数； A 的各阶顺序主子式均大于0；a ii0, A0 ； (必要条件 )考研概率论公式汇总1．随机事件及其概率A A A吸收律： A A AA( AB) A A ( A B)A反演律： A B A B AB A Bn nn nA i A i A i A i i 1i 1i1i 12．概率的定义及其计算P( A) 1 P( A) 若A B P(B A) P( B) P( A)对任意两个事件 A,B,有P(B A)P(B)P( AB )加法公式：对任意两个事件A,B,有3．条件概率乘法公式 P( AB)P( A) P B A(P( A)0)n n全概率公式 P( A)P( AB i )P(B i ) P( A B i )i 1i 1P( AB k ) Bayes公式 P(B k A)P( A) 4．随机变量及其分布P( B k ) P( A B k ) nP( B i )P( A B i ) i 1P(a X b) P( X b) P( X a)分布函数计算F (b) F ( a)5．离散型随机变量(1)0–1 分布P( X k)p k (1p)1k ,k0,1(2) 二项分布B( n, p)若 P(A)= p P( X k ) C n k p k (1 p) n k , k 0,1, , nlim C n k p n k (1p n )n k k*Possion 定理lim np ne0 有n k!nk0,1,2,k(3)Poisson分布P()P( X k )e,k 0,1,2,k!6．连续型随机变量(1)均匀分布U (a,b)(2)指数分布E ( )(3)正态分布 N( , 2)*N(0,1)—标准正态分布7.多维随机变量及其分布x y二维随机变量 (X,Y)的分布函数F (x, y) f (u, v)dvdu边缘分布函数与边缘密度函数8.连续型二维随机变量(1) 区域 G 上的均匀分布， U(G)(2)二维正态分布9.二维随机变量的条件分布10.随机变量的数字特征数学期望随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩E( X k) X 的 k 阶绝对原点矩E(| X |k)X 的 k 阶中心矩E(( X E ( X ))k) X 的方差E (( X E( X ))2) D ( X ) X,Y 的 k+l 阶混合原点矩 E (X k Y l ) X,Y的k+l阶混合中心矩 E ( X E( X ))k (Y E(Y ))l X,Y 的二阶混合原点矩E (XY ) X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差 E ( X E( X ))(Y E(Y)) X,Y的相关系数E ( X E( X ))(Y E(Y ))XY X 的方差 D(X)=E((X-E(X))2) D ( X ) E( X2) E2( X )D ( X ) D (Y)方差cov( X ,Y) E ( X E( X ))( Y E(Y)) E(XY ) E( X ) E (Y)1 D ( X Y) D ( X ) D (Y)2相关系数cov( X ,Y ) XYD ( X ) D (Y)。
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1- x 21- x 2x 2 - a 2 a 2 - x 2导数公式：全国硕士研究生统一入学考试数学公式大全高等数学公式(tgx )' = sec 2x (ctgx )' = -csc 2 x (sec x )' = sec x ⋅ t gx (arcsin x )' =1(arccos x )' = - 1(csc x )' = -csc x ⋅ c tgx (a x )' = a x ln a(arctgx )' =11+ x 2(log a x )' =1x l n a(arcctgx )' = -11+ x 2基本积分表：⎰tgxdx = - ln cos x + C ⎰ ctgxdx = ln sin x + Cdx cos 2 x dx= ⎰sec 2xdx = tgx + C ⎰sec xdx = ln sec x + tgx + C⎰ sin 2 x = ⎰csc 2 xdx = -ctgx + C⎰ csc xdx = ln csc x - ctgx + C dx = 1 arctg x+C⎰sec x ⋅ tgxdx = sec x + C ⎰csc x ⋅ ctgxdx = -csc x + C⎰ a2 + x2a dx=1a lnx -a + C ⎰a xdx =a xC ln a ⎰ x 2 - a 2 dx a 2 - x 2 2a x + a= 1 ln a + x + C 2a a - x ⎰ shxdx = chx + C ⎰chxdx = shx + C ⎰ dx = arcsin x + C ⎰dx = ln( x + x 2 ± a 2 ) + Ca 2 - x2a x 2 ± a 2π2 I n = ⎰sin 0 π2xdx =⎰cos nxdx = n -1 nI n -2dx = x 2 ⎰ dx = x 2 + a 2 + a 2 2 - a 2 2 a 2 ln(x + ln x + x) + C + C⎰ dx = + arcsin + C 2 ax 2 + a 2 x 2 + a 2 x 2 x 2 - a 2 x 2 - a 2x 2 a 2 - x 2 ⎰ ⎰ + n ⎰三角函数的有理式积分：sin x =2u 1+ u 2 ， cos x = 1- u 2 ， 1+ u 2 u = tg x ， 2dx = 2du 1+ u 2一些初等函数：两个重要极限：e x - e- x双曲正弦: shx = limsin x = 12 x →0x双曲余弦: chx = e x + e- xlim(1+ 1)x = e = 2.718281828459045...双曲正切: thx =2 shx = chxe x - e - xe x + e - xx →∞xarshx = ln( x + archx = ±ln( x + x 2 +1） x 2 -1)arthx = 1 ln 1+ x2 1- x三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式：·和差化积公式：sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin βsin α + sin β = 2 s inα + βcosα - βcos(α ± β ) = cos α cos β sin α sin βα22tg α ± tg βsin α - sin β = 2 cos + β sin α - βtg (α ± β ) =1 tg α ⋅ tg β ctg α ⋅ ctg β 1cos α + cos β = 2 c os 2 α + β 2 cos 2 α - β 2ctg (α ± β ) =ctg β ± ctg αcos α - cos β = 2 sinα + βsinα - β22y ' (1+ y '2 )3(uv ) = ∑C uv·倍角公式：sin 2α = 2 sin α c os αcos 2α = 2 c os 2α -1 = 1- 2sin 2α = cos 2α - sin 2αctg 2α -1sin 3α = 3sin α - 4sin 3 αcos 3α = 4 c os 3 α - 3cos α ctg 2α =tg 2α = 2ctg α2tg αtg 3α =3tg α - tg 3α 1- 3tg 2α1- t g 2α·半角公式：sin α=2cos α=2tg α== 1- cos α = sin α ctg α== 1+ cos α = sin α2 sin α 1+ cos α2 sin α 1- cos α·正弦定理：a = sin Ab sin B = csin Cπ= 2R ·余弦定理： c 2= a 2+ b 2- 2ab cos Cπ·反三角函数性质： arcsin x =- arccos x2arctgx = - arcctgx2高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：n(n ) k (n -k ) (k )n k =0= u (n ) v + nu (n -1) v ' +n (n -1) u (n -2) v ' + + n (n -1) (n - k +1) u (n -k ) v (k )+ + uv (n )2! k !中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b ) - f (a ) = f '(ξ )(b - a ) f (b ) - f (a ) f '(ξ )柯西中值定理： F (b ) - = F (a )F '(ξ )当F(x ) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
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高等数学公式导数公式：(tan x)sec 2x(arcsin x)11 x2 (cot x)csc 2 x(arccos x)1(secx)secx tan x1x 2(cscx) cscx cot x(arctan x)1(a x )a x ln a1 x 2(log a x)1(arc cot x)1x ln a1x2基本积分表：tan xdxln cosxCdx2tan x Ccos 2 xsec xdxcot xdx ln sin xCdx csc2xdxcot x Csecxdx ln secxtan x Csin 2 x cscxdx ln cscx cot x Csecx tan xdx secx Cdx1xCcsc x cot xdxcsc x C22arctanxa x aaa x dxaCdx1x aCln ax 2a 22alnashxdx chxCxdx1 ln a x C chxdxshxCa 2 x 22a a xdx arcsinxCdxa 2 ln( xx 2 a 2 ) Ca 2 x 2ax 22sin n2cos nn 1I nI nxdxxdx2 0nx 2a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln( xx 2 a 2 ) C2 2x 2a 2 dx x x 2 a 2a 2 ln x x 2 a 2 C2 2a2x 2dx x a 2x2a 2arcsin xC22 a三角函数的有理式积分：和差角公式：·和差化积公式：sin()sin cos cos sincos()cos cos sin sintan()tan tan 1 tan tancot()cot cot1 cot cot倍角公式：·半角公式：a b c ·正弦定理：sin B 2Rsin A sin C·反三角函数性质：arcsin x arccos x2高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：中值定理与导数应用：多元函数微分法及应用多元函数的极值及其求法：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：sin sin2sin cos22 sin sin 2 cos sin22 cos cos2cos cos22 cos cos 2 sin sin22·余弦定理： c 2a2 b 22ab cosCarctan x arcc tan x2二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) 式的通解两个不相等实根( p24q 0)两个相等实根( p24q0)一对共轭复根( p24q 0)二阶常系数非齐次线性微分方程线性代数公式大全——最新修订1、行列式1.n 行列式共有n2个元素，展开后有n !项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：①、 A ij和 a ij的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ；3.代数余子式和余子式的关系：M ij(1)i j A ij A ij( 1)i j M ij4.设 n 行列式 D ：n( n 1)将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则 D1(1)2 D ；n( n1)将 D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为 D2，则 D2( 1)2 D ；将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则 D3 D ；将 D 主副角线翻转后，所得行列式为D4，则 D4 D ；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；n (n1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2；③、上、下三角行列式（◥◣ ）：主对角元素的乘积；n( n 1)④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB、CA O A( 1)m n A BC B O B B O B C⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6. 对于n阶行列式A，恒有： E A n n k，其中 Sk为 k 阶主子式；n( 1)k S kk17.证明 A 0的方法：①、A A；②、反证法；③、构造齐次方程组Ax0 ，证明其有非零解；④、利用秩，证明r (A)n ；⑤、证明0 是其特征值；2、矩阵1. A 是 n 阶可逆矩阵：A0 （是非奇异矩阵）；r( A)n （是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 Ax 0有非零解；b R n， Ax b 总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A 的特征值全不为0；A T A 是正定矩阵；A 的行（列）向量组是R n的一组基；A是 R n中某两组基的过渡矩阵；2.对于 n 阶矩阵 A ： AA * A* A A E 无条件恒成立；3.(A1)*( A* ) 1(A1)T(A T ) 1(A*)T(A T)*4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、 B可逆：A1若 A A2，则：A sⅠ、 A A1A2A s；A11Ⅱ、A1A21；A s1A1OO A 1；（主对角分块）②、B O B 1O③、OAB OA C ④、O BA O ⑤、C B1B 1O ；（副对角分块） A 1O11A 1CB 1A ；（拉普拉斯） OB 11A 1 O；（拉普拉斯）B 1CA 1B 13、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个 m n 矩阵 A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定E rO；的： FOOm n等价类：所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵 A 、 B ，若 r ( A ) r (B )A B ；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非 0 元素必须为 1；③、每行首个非0 元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、 若 (A ,E )rA 1 ；(E , X )，则 A 可逆，且 Xc (E , A 1B ) ； ②、对矩阵 ( A , B ) 做初等行变化，当 A 变为 E 时， B 就变成 A 1 B ，即： ( A , B )r1③、求解线形方程组：对于n 个未知数 n 个方程Ax b ，如果( , ) ( ,) ，则x A 可逆，且 x A b ；A b E4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；1②、2，左乘矩阵 A ， i 乘 A 的各行元素；右乘，n③、对调两行或两列，符号E (i , j ) ，且 E (i , j ) 1E (i , j ) ，例如： 1④、倍乘某行或某列，符号 E (i (k )) ，且 E (i (k ))1E (i ( 1)) ，例如：ki乘 A 的各列元素；11 11；111111k(k 0) ；1k111k1k⑤、倍加某行或某列，符号 E (ij (k )) ,且E(ij(k))1 E ( ij( k ))，如：11(k0) ；115.矩阵秩的基本性质：①、 0r (A m n)min( m, n) ；②、(T )r ()；r A A③、若 A B ，则r(A)r(B)；④、若 P 、Q可逆，则r(A)r( PA)r( AQ)r( PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、 max(r( A), r (B)) r( A, B)r (A)r (B)；（※）⑥、 r ( A B) r ( A) r (B)；（※）⑦、 r ( AB) min(r ( A), r( B))；（※）⑧、如果 A 是 m n 矩阵， B 是 n s 矩阵，且AB0 ，则：（※）Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组AX0 解（转置运算后的结论）；Ⅱ、 r( A)r( B) n⑨、若 A 、 B 均为 n 阶方阵，则r(AB)r(A)r (B)n ；6.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）的形式，再采用结合律；1a c②、型如 0 1 b的矩阵：利用二项展开式；001二项展开式：(a b)n C n0a n C n1a n1b1C n m a n m b m C n n 1a1b n 1注：Ⅰ、 (a) n展开后有 n1项；bⅡ、C n m n(n 1)(n m 1)n !C n0C n n11 2 3m m!( n m)!Ⅲ、组合的性质：C n m C n n m C n m C n m C n m 1nC n r2n1r0③、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：n r ( A)n①、伴随矩阵的秩： r (A*) 1r ( A)n 1 ；0r ( A)n1行矩阵（向量）nC n n b n C n m a m b n m；m0rC n r nC n r11；②、伴随矩阵的特征值：A(AX X,A* A A1A*XA X)；③、 A*AA1、A*n 1 A8.关于 A 矩阵秩的描述：①、 r ( A)n ，A中有n阶子式不为0，n 1 阶子式全部为0；（两句话）②、 r ( A)n ，A中有n阶子式全部为0；③、 r ( A)n ，A中有n阶子式不为0；9.线性方程组： Ax b ，其中A为m n矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b 有m个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b 为n元方程；10.线性方程组Ax b 的求解：①、对增广矩阵 B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；11.由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成 n 元线性方程：a11 x1a12 x2a1n x n b1①、 a21 x1a22 x2a2n x n b2；a m1 x1a m2 x2a nm x nb na11a12a1n x1b1②、 a21a22a2n x2b2Ax b （向量方程， A 为 m n 矩阵， m 个方程， n 个未知数）a m1a m2a mn x mb mx1b1③、 a1a2a n x2（全部按列分块，其中b2）；x n b n④、 a1 x1a2 x2a n x n（线性表出）⑤、有解的充要条件：r( A)r( A,)n （n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个 n 维列向量所组成的向量组A：1,2,, m构成n m矩阵A(1,2,, m ) ；T1m 个 n 维行向量所组成的向量组B：1T,2T,, m T构成m n矩阵B T；2Tm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.①、向量组的线性相关、无关Ax 0有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出Ax b是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示AX B 是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵A m n与B l n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0 和Bx0同解； ( P101例 14)4.r (A T A)r ( A)；(P101例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、线性相关0 ；②、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；③、,,线性相关,,共面；6.线性相关与无关的两套定理：若1, 2 ,,s 线性相关，则1, 2 ,,s, s1必线性相关；若1, 2 ,,s 线性无关，则 1 , 2 ,,s 1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若 r 维向量组 A 的每个向量上添上n r 个分量，构成 n 维向量组 B ：若 A 线性无关，则 B 也线性无关；反之若 B 线性相关，则 A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组 A （个数为 r ）能由向量组 B （个数为 s）线性表示，且 A 线性无关，则 r s(二版P74定理7)；向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则r(A)r(B)；（P86定理3）向量组 A 能由向量组 B 线性表示AX B 有解；r( A) r ( A, B)（P85定理2）向量组 A 能由向量组 B 等价r ( A)r(B) r( A, B)（P85定理2推论）；8. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1, P2, , P l，使 A P1 P2P lr①、矩阵行等价： A ~ BPA AxB （左乘， P 可逆）0 与Bx0 同解②、矩阵列等价：c B （右乘， Q 可逆）；A ~B AQ③、矩阵等价： A ~ B PAQ B（P、 Q可逆）；9.对于矩阵 A m n与 B l n：①、若 A 与 B 行等价，则 A 与 B 的行秩相等；②、若 A 与 B 行等价，则Ax0与Bx0同解，且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵 A 的行秩等于列秩；10. 若A m s B s n C m n，则：①、 C 的列向量组能由A的列向量组线性表示， B 为系数矩阵；②、 C 的行向量组能由B的行向量组线性表示，A T为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组 Bx 0的解一定是 ABx 0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、 ABx0只有零解Bx0 只有零解；②、 Bx0 有非零解ABx0 一定存在非零解；12.设向量组B n r: b1, b2,, b r可由向量组A n s: a1, a2,, a19s线性表示为：（P110题结论）(b1 ,b2 ,, b r )(a1 ,a2 ,, a s )K（ B AK）其中 K 为 s r ，且 A 线性无关，则 B 组线性无关r( K )r ；（ B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：r r (B)r( AK)r( K ), r (K )r,r (K )r ；充分性：反证法）注：当r s时，K 为方阵，可当作定理使用；13.①、对矩阵A m n，存在 Q n m， AQ E m r (A)m 、 Q 的列向量线性无关；（ P87）②、对矩阵 Am n，存在 P n m， PA E n r( A) n 、P的行向量线性无关；14.1, 2,, s线性相关存在一组不全为 0的数 k1, k2,,k s，使得k1 1k22k s s0 成立；（定义）x1(1,2,x20 有非零解，即Ax 0有非零解；, s )x sr(1,2,, s ) s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设 m n 的矩阵 A 的秩为 r ，则 n 元齐次线性方程组Ax0的解集 S 的秩为： r (S)n r ；16.若*为 Ax b 的一个解，1,2, ,n r为 Ax 0的一个基础解系，则*,1,2, ,n r线性无关；（ P111题 33 结论）5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵A T A E或A1A T（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即 a i T a j1i j (i, j 1,2, n) ；0i j②、若 A 为正交矩阵，则A1A T也为正交阵，且A 1 ；③、若 A 、 B 正交阵，则 AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化： (a1 , a2 , ,a r )b1a1；b r a r[ b1, a r ]b1[ b2 ,a r ]b2[b r1 , a r ]b r1;[ b1 , b1 ][ b2 , b2 ][b r1 , b r1 ]3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. ①、A与B等价 A 经过初等变换得到 B ；，P、Q可逆；PAQ B， A、 B同型；r( A)r( B)②、 A与B合同C T AC B ，其中可逆；x T Ax 与 x T Bx 有相同的正、负惯性指数；③、 A与B相似P1AP B；5.相似一定合同、合同未必相似；若 C 为正交矩阵，则 C T AC B A B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A 为对称阵，则 A 为二次型矩阵；7.n 元二次型x T Ax为正定：A 的正惯性指数为n ；A 与E合同，即存在可逆矩阵 C ，使 C T AC E ；A 的所有特征值均为正数；A 的各阶顺序主子式均大于0；a ii0, A0 ；(必要条件)考研概率论公式汇总1．随机事件及其概率A A A吸收律：A A AA (AB) A A (A B)A反演律： A B AB AB A B2．概率的定义及其计算若 A B P(B A) P(B) P(A)对任意两个事件A, B, 有P( B A) P( B) P( AB)加法公式：对任意两个事件A,B, 有3．条件概率乘法公式全概率公式Bayes 公式4．随机变量及其分布分布函数计算5．离散型随机变量(1) 0–1 分布(2)二项分布B(n, p)若 P ( A ) = p *Possion 定理lim C n k p n k (1 p n )n k k有en k!k0,1,2,(3)Poisson 分布P( )6．连续型随机变量(1)均匀分布 U (a, b)(2)指数分布 E( )(3)正态分布N( , 2) *N (0,1) —标准正态分布7.多维随机变量及其分布二维随机变量 ( X ,Y )的分布函数边缘分布函数与边缘密度函数8.连续型二维随机变量(1)区域 G 上的均匀分布， U ( G )(2)二维正态分布9. 二维随机变量的条件分布10.随机变量的数字特征数学期望随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩X 的 k 阶绝对原点矩X 的 k 阶中心矩X的方差X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩X ,Y 的二阶混合原点矩X ,Y的协方差X ,Y 的二阶混合中心矩X ,Y 的相关系数X 的方差D (X ) =E ((X - E(X))2)协方差相关系数。
2024考研数学常必背公式汇总
2024考研数学常必背公式汇总在准备2024考研数学的过程中，掌握一些常用的公式是非常重要的。
这些公式不仅可以帮助我们更快地解题，还能提高我们的答题准确性。
下面是2024考研数学一、数学二、数学三需要背诵的常用公式的汇总：一、基本数学公式：1.平方差公式：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab+ b^22.二次方程的求根公式：若ax^2+bx+c=0（a≠0），则x = (-b ± √(b^2-4ac))/2a3.数列的通项公式：递推公式：a(n+1)=a(n)+d通项公式：a(n)=a(1)+(n-1)d二、高等数学公式：1.常用三角函数公式：sin²θ + cos²θ = 1tanθ = sinθ / cosθcotθ = cosθ / sinθ2.常用反三角函数公式：sin²θ + cos²θ = 1tanθ = sinθ / cosθcotθ = cosθ / sinθ3.常用指数函数公式：a^m*a^n=a^(m+n)(a^m)^n = a^(mn)a^(-m)=1/a^m4.常用对数函数公式：log_a(m * n) = log_a(m) + log_a(n)log_a(m^n) = n * log_a(m)log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)log_a(1) = 05.常用复数公式：i²=-1复数的共轭：若z = a + bi，则z的共轭为a - bi三、线性代数公式：1.行列式的加减法：A±B，=，A，±，B2.行列式的乘法：A*B，=，A，*，B3.矩阵的逆：若，A，≠0，则A存在逆矩阵A^(-1)，且AA^(-1)=A^(-1)A=I4.特征值与特征向量：设A是n阶矩阵，若存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx，则λ称为矩阵A的特征值，x称为λ对应的特征向量5.向量的内积：a ·b = ，a，，b，cosθ其中，a、b分别为向量，θ为a、b之间的夹角四、概率与统计公式：1.事件的概率公式：对于一个随机事件A，其概率满足0≤P(A)≤12.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)3.乘法公式：P(A∩B)=P(A)P(B，A)=P(B)P(A，B)4.全概率公式：P(A)=P(An)P(A，An)+P(A2)P(A，A2)+...+P(Am)P(A，Am)其中，A1,A2,...,Am为一组互斥且全体之并为样本空间Ω的事件5.贝叶斯公式：P(A，B)=P(AnB)/P(B)=P(An)P(B，An)/[P(A1)P(B，A1)+P(A2)P(B，A2)+...+P(An)P(B，An)]其中，A1,A2,...,An与前述全概率公式的条件相同。
考研数学三公式
研数学三公式高等数学公式导数公式： 基本积分表：ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx Cx a x a a x a dx Ca x a x a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 和差角公式： ·和差化积公式：倍角公式：·半角公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：Cab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
考研数学三公式
(tgx) sec2x(ctgx) esc2x (secx)secx tgx (cscx) cscx ctgx (a x) a x l na(log a x) —xln a (arcsin x)11 x2 (arccos x)11 x2 (arctgx )11 x2 (arcctgx)11 x2基本积分表:2 2I n nsin xdx ncos xdx0 0、x2a2 dx x 2—:x a22x2 2 a d x x 2 —x 2 a2、 2 x d x x 2—a 2 x2I n討x2 a2) C a2 ——In x 22a . x arcs in C2 a导数公式:高等数学公式tgxdx In cosx ctgxdx In sin x secxdx In secxdx2~cos xdxsin2 x2sec xdx tgx Ccsc2 xdx ctgx Ccscxdx In cscx ctgxsecx tgxdx secx Cdx ~2 2a x 1 arctg aacscx ctgxdx cscx Cdx ~2 2x a1In2axa x dx CIn ashxdx chx Cdx -2 2 a xdx2 2,a x1 a xIn2a a x.x arcsinachxdx shx Cdx2 2x aIn(x x2 a2) C倍角公式:si n2 2 sin coscos2 2 22 cos 1 1 2s in ctg 2ctg2 12ctgtg22tg21 tg.2sin sin3 3si n 4si n3cos3 4 cos3 3 costg33tg tg31 3tg211 cossin ■---------2 . 2tg- 1 cos2 , 1 cos -正弦定理: 1 cos sin sin 1 cos b c 2R sin B sinC-反三角函数性质: arcs inx —arccosx2 arctgx arcctgx三角函数的有理式积分:2u sin x 2, c osx1 u 1 u21 u2U tg 彳, dx i2^2 1 u和差角公式:sin( )sin cos cos sincos( )cos cos sin sintg( )1tg ttg 1 tg tgctg()ctg ctg 1ctg ctgsin sin 2si n— 2-cos—2 sin sin 2 cos- o in2oil 12 cos cos 2 cos-2cosg i n2cos cos 2 sin -2 sin 2-和差化积公式:2cos-半角公式:a sinA-余弦定理: c2 a2 b2 2abcosC2高阶导数公式 莱布尼兹(Leibniz )公式:n(n)k (n k) (k)(uv)C n u vk 0中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理：f(b) f (a) f ( )(b a) 柯西中值定理：丄® 凹丄F(b) F(a) F ()多元函数微分法及应用z f[u(x,y),v(x,y)]z x z u u z x v v x当u u(x,y), v v(x, y)时，du — dx — dydv —dx—dyx yxy隐函数的求导公式：隐函数F(x,y) 0,dy F x,d 2y .2 -( ¥)+—(dx Fydx xF y y隐函数 F(x,y,z) 0,z F x ,z F yxF zy卜zz f[u(t),v(t)]F x ) dyF y ) dx设f x <(X 0,y，0)f y (X 0, y 。
(整理)考研数学(三)公式大全
数学公式导数公式：基本积分表：等价无穷小量代换()时，有：当0→x ϕx x ~sin x x ~tanx x ~arcsinx x ~arctan a x a x ln ~1-x e x ~1-()ax x a~1+x nx n 1~11-+ ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ()x x ~1ln +221~cos 1x x -两个重要极限： 高阶导数公式()n m nm x n m m m x -+--=)1) (1)()!n x nn = ()()n x nx a a a ln =()ax n nax e a e =()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2sin sin πn x x n()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2cos cos πn x x n()()xnx ex n xe +=()()1!11+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nna x n a x ——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑泰勒公式：e x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n+ …sin x = x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n + …cos x = 1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x n n -+ …ln (1+x) = x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n + …tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1 中值定理与导数应用：...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xx x x x x拉格朗日中值定理。
数学三公式pdf
数学三公式pdf一、代数公式：1. 二次方程公式：二次方程ax^2 + bx + c = 0的解为x = (-b±√(b^2 -4ac))/(2a)。
2. 一元二次不等式：一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0 (或 < 0)的解为x < (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
3. 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2, a^2 - 2ab + b^2= (a-b)^24.比例公式：a/b=c/d。
5.平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
6. 余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
7. 辛普森公式：∫(a to b) f(x) dx ≈ (b-a)/6[f(a) +4f((a+b)/2) + f(b)]。
二、几何公式：1.勾股定理：直角三角形的斜边c的平方等于两腰a和b的平方和，即c^2=a^2+b^22.圆的面积公式：圆的面积S=πr^23.圆的周长公式：圆的周长C=2πr。
4. 三角形的面积公式：三角形的面积S = 1/2bh，其中b为底边长，h为高。
5.直角梯形面积公式：直角梯形的面积S=(a+b)h/2，其中a和b为两个底边长，h为高。
6. 体积公式：立方体的体积V = l^3，长方体的体积V = lwh。
7. 二次曲线方程：抛物线的一般方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
三、微积分公式：1. 线性函数的导数：设函数y = kx + b，则y对x的导数为dy/dx= k。
2. 反比例函数的导数：设函数y = k/x，则y对x的导数为dy/dx = -k/x^23. 幂函数的导数：设函数y = x^n，则y对x的导数为dy/dx =nx^(n-1)。
4. 三角函数的导数：sinx的导数为cosx，cosx的导数为-sinx，tanx的导数为sec^2x。
考研数学三公式大全
高等数学公式导数公式：基本积分表：ax x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='⋅-='⋅='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx xdx x Cx dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx xx)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 22222222Ca x x a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xa x a dx Cx x xdx C x x xdx Cx xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， A.积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin B.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 1.正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）2..余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sin B sin C sin=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限5.和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定）①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
考研数学必备公式(数三)
（７）ｙ＝ｔａｎｘ， ｙ′＝ｃｏ１ｓ２ｘ
（８）ｙ＝ｃｏｔｘ， ｙ′＝－ｓｉｎ１２ｘ
（９）ｙ＝ｓｅｃｘ， ｙ′＝ｓｅｃｘｔａｎｘ
（１０）ｙ＝ｃｓｃｘ， ｙ′＝－ｃｓｃｘｃｏｔｘ
（１１）ｙ＝ａｒｃｓｉｎｘ， ｙ′＝ １
槡１－ｘ２
（１２）ｙ＝ａｒｃｃｏｓｘ， ｙ′＝－ １
槡１－ｘ２
（１３）ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ， ｙ′＝１＋１ｘ２
ｆ（ξ）＝０．
２．微分中值定理
Ｔｈ１ （费尔马）若函数 ｆ（ｘ）满足： （１）函数 ｆ（ｘ）在 ｘ０的某邻域内有定义，且在该邻域内恒有 ｆ（ｘ）≤ｆ（ｘ０）或 ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ０）； （２）ｆ（ｘ）在 ｘ０处可导． 则 ｆ′（ｘ０）＝０． Ｔｈ２ （洛尔）设函数 ｆ（ｘ）满足： （１）在［ａ，ｂ］上连续；（２）在（ａ，ｂ）内可导；
ｓｉｎｘ
ａｒｃｓｉｎｘ
ｔａｎｘ
１－ｃｏｓｘ～１２ｘ２
～ｘ，
ａｒｃｔａｎｘ
１
（１＋ｘ）ｎ
－１～１ｎｘ
ｌｎ（１＋ｘ）
ｅｘ－１
２．重要定理
Ｔｈ１ ｘｌ→ｉｍｘ０ｆ（ｘ）＝Ａｆ－（ｘ０）＝ｆ＋（ｘ０）＝Ａ．
Ｔｈ２ ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａｆ（ｘ）＝Ａ＋α（ｘ），其中ｌｉｍα（ｘ）＝０
（２）ｙ＝ｘα（α为实数），ｙ′＝αｘα－１
（槡ｘ）′＝２１槡ｘ
特例
( )
１ ｘ
′＝－ｘ１２
（３）ｙ＝ａｘ，ｙ′＝ａｘｌｎａ，特例（ｅｘ）′＝ｅｘ
（４）ｙ＝ｌｏｇｘ ａ（ａ＞０，ａ≠１）， ｙ′＝ｘｌ１ｎａ，（ｌｎｘ）′＝１ｘ
（５）ｙ＝ｓｉｎｘ， ｙ′＝ｃｏｓｘ
（６）ｙ＝ｃｏｓｘ， ｙ′＝－ｓｉｎｘ
ｘ→ｘ０
考研数学公式大全word
高等数学公式篇·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·倍角公式： sin (2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：和差角公式： ·和差化积公式：·正弦定理：R C cB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a ccos 2222-+=反三角函数性质：arcctgxarctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ ax x a a a ctgx x x tgx x x xctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arc c os 11)(arc sin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xxxx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxxx x x中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。