7.1.2 全概率公式课件【高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册】
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A122)=160
1 2
8 14
41 . 70
答案: 41
70
【新情境·新思维】 五个阄,其中两个阄内写着“有”字, 三个阄内不写字 ,五人依次抓取,问第 一个人与第二个人抓到“有”字阄的概率是否相同?
【解析】设Ai表示“第i人抓到′有′字阄”的事件, i=1,2,3,4,5.则P(A1)= 2,
类型二 利用贝叶斯公式求概率 【典例】三部自动的机器生产同样的零件,其中机器甲生产的占40%,机器乙生 产的占25%,机器丙生产的占35%,已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有10%、 5%和 1%不合格,现从总产品中随机地抽取一个零件,发现是不合格品,求: (1)它是由机器甲生产出来的概率; (2)它是由哪一部机器生产出来的可能性大.
原因,根据历史资料,每一原因发生的概率(即P An )已知,而且每一原因对结 果的影响程度(即PB | An )已知,则可用全概率公式计算结果发生的概率(即 P B ).
【习练·破】 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占 30% ,二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%,1%,问从这批 产品中任取一件是次品的概率是多少?
2 0.02
2
3 0.02
1
0.01
0.8.
3
3
答案:0.8
3.已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8只红球,6只白球.随机取一个袋 子,再从该袋中随机取一球,该球是红球的概率为________.
【解析】记B:该球是红球,A1:取自甲袋,A2:取自乙袋,
已知P(B|A1)=160 ,
P(B|A2)=8 ,
P A|B=0.002 5.根据贝叶斯公式,所求概率为:
P B|A
PB
PB PA|B
PA|B PB
PAB
1 0.05 2 1 0.05 1 0.002 5
20 . 21
2
2
1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二
车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第1,2车间
…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)=____P_(_A_i_P)P_(_BB__| A__i )____
P(Ai )P(B | Ai )
n
=______P_(_A_k_)_P_(B__| A__k_) ___,i=1,2,…,n. k1
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
【思维·引】弄清题意,用全概率公式求解.
【解析】设A:最后从2号箱取出的是红球,B:从1号箱取出的是红球,则:
PB 4 2 ,P B 1－PB 1；
24 3
3
PA|B 3 1 4 ,P A|B 3 1；
81 9
81 3
所以 PA PAB PAB
PA|BPB P A|B P B 4 2 1 3 93 39
2
3
A. 1 B. 1 C. 1 D. 5
2
3
6
6
【解析】选C.由乘法公式得,
PAB PB PA|B 1 1 1 .
23 6
3.已知A,B为样本空间Ω中的事件,BA与B A 是互斥的,B=BA+B A ,且P AB
= 1 ,P AB 2
= 1 ,则P B =(
3
)
A. 1 B. 1 C. 1 D. 5
率即P An 已知,而且每一原因对结果的影响程度(即PB | An )已知,如果已知
事件B已经发生,要求此时是由第 i个原因引起的概率,则用贝叶斯公式(即求
P Ai|B ).
【习练·破】 用血清诊断肝癌,临床实践表明,患肝癌的病人中有95%试验呈阳性,也有2%的 非肝癌患者化验呈阳性.若将此法用于人群肝癌普查,设人群中肝癌患病率 0.2%,现某人在普查中化验结果呈阳性,求此人确患肝癌的概率.
【解析】设Bk:从这批种子中任选一颗是k等种子,k=1,2,3,4;设A:从这批种子 中任选一颗结出的麦穗含有50颗麦粒以上,则
PB2 =0.02,P B=30 .015,P =B04.01, P B1= 1-0.02-0.015-0.01=0.955, P A|B=1 0.5,P =A|0B.215, P A|B=3 0.1,P A=|0B.40 5,由定理1得,
P(A)=PA|B1 P (B1)+P A|BP2(B2)+P AP|B(3B3)
=0.02×0.3+0.01×0.5+0.01×0.2=0.013.
【加练·固】 设一仓库中有10 箱同种规格的产品, 其中由甲、乙、丙三厂生产的分别
有5箱 , 3箱, 2 箱,三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这10箱产品 中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率.
PB1 PA|B1
(1)所求概率为P(B1|A),P(B1|A)=
3
P
B
j
P
≈A0|B.7j 14.
j1
(2)类似(1)的计算可得P B2 |≈A0 .223,P ≈B03 |.0A6 3,比较可知是机器
甲生产出来的可能性大.
【类题·通】 贝叶斯公式的应用
把事件B看作某一过程的结果, 把A1,A2,…,An …看作该过程的若干个原因,根据历史资料,每一原因发生的概
4
PA= PBi PA|Bi i1
=0.955×0.5+0.02×0.15+0.015×0.1+0.01×0.05
=0.482 5.
【素养·探】 ★本例考查全概率公式的应用,同时考查了数学建模与数学运算的核心素养. 本例条件不变,求所结出的含有50颗麦粒以上麦穗中是一等种子长成的概率.
【解析】由典例知PA= 0.482 5,所以
生产的成品比例为2∶3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,则该产品
合格的概率为( )
A.0.6
B.0.85
C.0.868
D.0.88
【解析】选C.设B:从仓库中随机提出的一台是合格品,Ai:提出的一台是第i车 间生产的,i=1,2,
则有B=A1B∪A2B,由题意, P(A1)=52 ,P(A2)= 53,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88, 由全概率公式P(B)= P(A1) P(B|A1)+ P(A2) P(B|A2) =0.4×0.85+0.6×0.88=0.868.
P B1|A
P AB1 PA
PB1 PA|B1 PA
0.955 0.482
0.5 5
0.989
6.
【类题·通】 全概率公式求概率的关注点
(1)实质:为了求复杂事件的概率,往往可以把它分解成若干个互斥的简单事件 之和,然后利用条件概率和乘法公式,求出这些简单事件的概率,最后利用概率 可加性,得到最终结果. (2)应用:把事件B看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An …看作该过程的若干个
【解析】设事件A 为“任取一件为次品”,
事件Bi:任取一件为i厂的产品,i=1,2,3. B1∪B2∪B3=Ω,BiBj=∅,i,j=1,2,3,i≠j;
P(B1)=0.3,P(B2)=0.5,P(B3)=0.2,PA|B1 =0.02,P A|B=20 .01,P
0.01,由全概率公式得,
A=|B3
11 . 27
角度2 定理1的应用 【典例】播种用的小麦种子混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种 子.已知用一、二、三、四等种子长出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率分别为 0.5,0.15,0.1,0.05,求这批麦种所结出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率.
【思维·引】细研题意,利用定理1解决问题.
2
3
6
6
【解析】选D.由互斥事件概率的加法公式得,
PB PAB P AB 1 1 5 . 23 6
类型一 利用全概率公式求概率 角度1 全概率公式的应用 【典例】1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3 个红球,现随机 地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,求从2号箱取出 红球的概率.
【解析】设A为事件“取得的产品为正品”,
B1,B2,B3分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,
由题设知P(B1)=150 ,P(B2)= 130,P(B3)=
,2
10
PA|B=1 0.9,P A=|B02.8,P =0A.|7B,3
所以P(A)=
31
5 9 3 8 2 7 0.83. 10 10 10 10 10 10
7.1.2 全概率公式
1.全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,
n
i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=____P_(_A_i_)_P_(B__| _A_i )_. i1
2.贝叶斯公式
设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,
【加练·固】 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲患者,现随机地选取一人,此人恰为
色盲患者,此人是男人的概率是多少?(假设男人,女人各占人数的一半)
【解析】设A:选取的人患色盲,设B:选取的人是男人,则 :B选取的人是女人,
依题意得,
P(B)= 1 ,P A|B P0(.05)= ,B 1
2
2
2.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率 为0.02,客车为0.01,今有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为 ________.
高中数学新教材选择性必修第三册《7.1条件概率与全概率公式》课件
10
方法二 这个问题还可以这样理解：第一次取到白球， 则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下， 第二次取到黑球的概率是94.
规律方法 (1)对于古典概型的概率求法要搞清楚基本事件 总数. (2)条件概率的定义揭示了P(A)，P(AB)及P(B|A)三者之间的 关系，反映了“知二求一”的互化关系.
计算AB发生的概率，而P(A|B)表示在缩小的样本空间ΩB中，计算
A发生的概率.用古典概型公式，
则
AB中样本点数
P(A|B)＝
，
AB中样本点数
ΩB中样本点数
P(AB)＝
.
Ω中样本点数
7.1.2全概率公式
[学习目标] 1.理解全概率公式和贝叶斯公式. 2.会利用公式解决一些简单的实际问题.
全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用.
综合运用
加法公式
乘法公式
P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB)= P(A)P(B|A)
A、B互斥
P(A)>0
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有
1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱
装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意
摸出一球，求取得红球的概率. 解：记 Ai={球取自i号箱 },
将数据代入计算得: P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.
于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+
P(A3)P(B |A3)
=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.45
新人教版高中数学选择性必修第三册7.1 条件概率与全概率公式
.
解析 (1)从这批产品中随便地取一件,则这件产品恰好是次品的概率是 81 = 27 .
1 200 400
(2)设A:取出的产品是甲厂生产的,B:取出的产品为次品,
则由已知可得P(A)= 500 ,P(AB)= 25 ,所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概
1 200
1 200
率是P(B|A)= P(AB) = 1 .
第七章 随机变量及其散布
1 |利用定义求条件概率 农历五月初五是我国的传统节日——端午节,这一天,馨馨的妈妈煮了9个粽子,其 中4个大枣馅、3个腊肉馅、2个豆沙馅,馨馨随机选取两个粽子.
第七章 随机变量及其散布
1.若已知馨馨取到的两个粽子的馅不同,则取到的两个粽子分别是大枣馅和豆沙馅
的概率是多少?
P(A) P(D)
+
P(B) P(D)
=
C620 12 180
+
C620 12 180
=
13 58
.
C620
C620
所以他获得优秀的概率是 13 .
58
第七章 随机变量及其散布
4 |乘法公式及其应用 乘法公式的特点及注意事项 1.知二求一:若P(A)>0,则已知P(A),P(B|A),P(AB)中的两个值就可以求得第三个值; 若P(B)>0,则已知P(B),P(A|B),P(AB)中的两个值就可以求得第三个值. 2.P(B)与P(B|A)的区分在于两者产生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上 一般也不同.
多少?
提示:用C表示事件“取到的两个粽子为同一种馅”,D表示事件“取到的两个粽子
都为腊肉馅”,
则P(C)=
C24
C32 C92
【高中数学】全概率公式 高二数学同步精讲课件(人教A版2019选择性必修第三册)
例析
l
例5.有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次
品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台机床加工的零件数分别
占总数的25%，30%，45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
解：设 =“任取一个零件为次品”， = “零件为第 台机床加工 ( = 1，2，3) ”，
(2)“如果取到的零件是次品，计算它是第( = 1，2，3)台机床加工的概率”，就是
计算在发生的条件下，事件 发生的概率.
(1 |) =
(1 )
()
=
(1 )(|1 )
()
类似地，可得(2 |) =
=
0.25×0.06
0.0525
2
，(3 |)
7
=
( )(| )
()
=
( )(| )
， = 1，2， ⋯ ，.
σ=1 ( )(| )
=
例析
l
例6.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于
随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收
为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9
解：设 =“从仓库中随机提出的一台是合格品”， =“提出的一台是第车间生产
的”( = 1，2).则有 = 1 ∪ 2 ，由题意知(1 ) = 0.4，(2 ) = 0.6，
(|1 ) = 0.85，(|1 ) = 0.88，
由全概率公式得
() = (1 ∪ 2 ) = (1 )(|1 ) + (2 )(|2 )
例析
l
(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
7.1.2+++全概率公式+2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和
0.05.假设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收的信号为0和1的概率；
发送0(A)
接收0(B)
解：
发送1(A)
接收1(B)
设A=" 发送的信号为0",B=" 接收的信号为0",则A=" 发送的信号为1", B=" 接收的信号为1". 由题意得 P(A)=P(A) =0.5,
一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率 为0.6; 如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率。
由全概率公式，得
代公式
P(B)= P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)
=0.5×0.6+0.5 ×0.8 =0.7
B年
3
I
=P(A)P(B|A)+P(A )P(B|A )
十
引例2:一个盒子中有6只红球、4只黑球，每次随机摸出1个 球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为0.6, 那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?
假设A1=“第一次摸到红球” A2=“第一次摸到黑球” B=“第二次摸到红球” B
易知，A₁UA₂=Ω, 且互斥，
引例2:一个盒子中有6只红球、4只黑球，每次随机摸出1个 球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为0.6, 那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?
易 知 ，P(A)=
5
0
9
A₁
10
B
6
9
4
A2 10
高中数学选择性必修三 7 1 2 全概率公式
7.1.2全概率公式课标要求素养要求1.结合古典概型，会用乘法公式计算概率.2.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率. 通过学习及运用全概率公式，进一步提升数学抽象及数学运算素养.新知探究狼来了这个故事大家都听过，那么从心理学角度分析，这个小孩是如何一步步丧失村民信任的呢？我们可以通过特殊概率公式来解读．设A为事件“小孩说谎”，B为“村民觉得小孩可信”；不妨设可信的小孩说谎的概率为0.1，而不可信的小孩说谎的概率为0.5, 经过第一次撒谎，第二次撒谎后，狼真的来了，小孩第三次呼救的时候，村民都不再相信这是真的，觉得这是谁家熊孩子真气人，没人再上山救他．于是，狼在前两次跳出来吓唬完小孩就跑走后，成功在第三次抓走小孩，而且无人打扰，由此可见心理学结合概率统计学很重要！问题上述问题可以用哪种概率公式来解释？提示我们可以借助全概率公式来解读．1．全概率公式在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1，2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑ni ＝1P (A i )P (B |A i ）.我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 2．贝叶斯公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1，2，…，n ，则对任意事件B ⊆Ω，P (B )>0， 有P (A i |B ）＝P （A i ）P （B |A i ）P （B ）i ＝1，2，…，n .3．在贝叶斯公式中，P (A i )和P (A i |B )分别称为先验概率和后验概率．拓展深化[微判断]1．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A 的概率求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．(√)2．所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中，均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．(√) 3．全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率．(√) [微训练]1．一个盒子中有6只白球，4只黑球，不放回地每次任取1只，连取2次，求第二次取到白球的概率为________．解析 设A ＝“第一次取到白球”，B ＝“第二次取到白球”， 则B ＝AB ∪A －B ，且AB 与A －B 互斥，所以 P (B )＝P (AB )＋P (A －B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)＝6 10×59＋410×69＝0.6.答案0.62．有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10件优质品，第二箱内30件，其中18件优质品，现在随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到的是优质品的概率是________．解析设A＝“取到的是优质品”，B i＝“打开的是第i箱”(i＝1，2)，则P(B1)＝P(B2)＝12，P(A|B1)＝1050＝15，P(A|B2)＝1830＝35，直接利用全概率公式：P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝2 5.答案2 5[微思考]全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别是什么？提示两者的最大不同是处理的对象不同，其中全概率公式用来计算复杂事件的概率，而贝叶斯公式是用来计算简单条件下发生的复杂事件的概率，也就是说，全概率公式是计算普通概率的，贝叶斯公式是用来计算条件概率的.题型一全概率公式【例1】甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率．解设B＝“飞机被击落”，A i＝“飞机被i人击中”，i＝1，2，3，则B＝A1B ＋A2B＋A3B，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)．为求P (A i )，设H i ＝{飞机被第i 人击中}，i ＝1，2，3， 则P (H 1)＝0.4，P (H 2)＝0.5，P (H 3)＝0.7，故 P (A 1)＝P (H 1H －2H －3＋H －1H 2H －3＋H －1H －2H 3) ＝P (H 1)P (H －2)P (H －3)＋P (H －1)P (H 2)P (H －3)＋ P (H －1)P (H －2)P (H 3)＝0.36，P (A 2)＝P (H 1H 2H －3＋H 1H －2H 3＋H －1H 2H 3) ＝P (H 1)P (H 2)P (H －3)＋P (H 1)P (H －2)P (H 3)＋ P (H －1)P (H 2)P (H 3)＝0.41，P (A 3)＝P (H 1H 2H 3)＝P (H 1)P (H 2)P (H 3)＝0.14. 于是P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3) ＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458， 即飞机被击落的概率为0.458.规律方法 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用．【训练1】 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的，其中甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲厂产品中正品率为95%，乙厂产品正品率为90%，丙厂产品正品率为85%，如果从这批产品中随机抽取一件，试计算该产品是正品的概率多大？解 设A ，B ，C 分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品，则由已知，P (A )＝50%，P (B )＝30%，P (C )＝20%， P (D |A )＝95%，P (D |B )＝90%，P (D |C )＝85%，从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到： P (D )＝P (D |A )P (A )＋P (D |B )P (B )＋P (D |C )P (C ) ＝95100×50100＋90100×30100＋85100×20100 ＝0.915.题型二 贝叶斯公式【例2】 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的．若已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率．解 设A ＝“发送的信号为0”，B ＝“接收的信号为0”，则A －＝“发送的信号为1”，B －＝“接收的信号为1”．由题意得，P (A )＝P (A －)＝0.5，P (B |A )＝0.8，P (B －|A )＝0.2，P (B |A －)＝0.1，P (B －|A －)＝0.9. 由贝叶斯公式有P (A －|B )＝P （A －）P （B |A －）P （A －）P （B |A －）＋P （A ）P （B |A ）＝0.5×0.10.5×0.1＋0.5×0.8＝19. 规律方法 此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小．【训练2】 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．解 设B ＝“中途停车修理”，A 1＝“经过的是货车”，A 2＝“经过的是客车”，则B ＝A 1B ∪A 2B ，由贝叶斯公式有P (A 1|B )＝P （A 1）P （B |A 1）P （A 1）P （B ⎪⎪A 1）＋P （A 2）P （B |A 2）＝23×0.0223×0.02＋13×0.01＝0.8.题型三 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【例3】 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数按2∶3∶5的比例混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？解 设事件A 表示“取到的产品为正品”，B 1，B 2，B 3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，由已知P (B 1)＝0.2，P (B 2)＝0.3，P (B 3)＝0.5， P (A |B 1)＝0.95，P (A |B 2)＝0.9，P (A |B 3)＝0.8， (1)由全概率公式得： P (A )＝∑3i ＝1P (B i )P (A |B i )＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86， (2)由贝叶斯公式得 P (B 1|A )＝P （B 1）P （A |B 1）P （A ）＝0.2×0.950.86≈0.220 9，P (B 2|A )＝P （B 2）P （A |B 2）P （A ）＝0.3×0.90.86≈0.314 0， P (B 3|A )＝P （B 3）P （A |B 3）P （A ）＝0.5×0.80.86≈0.465 1，由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小．规律方法 P (A i )(i ＝1，2，…，n )是在没有进一步信息(不知道事件B 是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B 发生)，人们对诸事件发生可能性大小P (A i |B )有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化．【训练3】 一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机、动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机、动车和非机动车迟到的概率分别为13，14，112.(1)求这位教授迟到的概率；(2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率．解 设A ＝“迟到”；B 1＝“乘飞机”；B 2＝“乘动车”；B 3＝“乘非机动车”． (1)所求概率为P (A )，由全概率公式得： P (A )＝P (A |B 1)P (B 1)＋P (A |B 2)P (B 2)＋P (A |B 3)P (B 3) ＝13×15＋14×12＋112×310＝1360.(2)所求概率为P (B 1|A )，由贝叶斯公式得： P (B 1|A )＝P （AB 1）P （A ）＝P （A |B 1）P （B 1）P （A ）＝13×151360＝413.一、素养落地1．通过本节课的学习，提升数学抽象及逻辑推理素养．2．全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率运算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．3．概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和贝叶斯公式正好起到了这样的作用． 二、素养训练1．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为( ) A.35 B.1949 C.2049D.25解析 设A 表示“第一个人取得黄球”，B 表示“第二个人取得黄球”，则P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)＝25×1949＋35×2049＝25. 答案 D2．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假设男人、女人各占一半，现随机地挑选一人，则此人恰是色盲的概率为( ) A ．0.012 45 B ．0.057 86 C ．0.026 25D ．0.028 65解析 设A 表示“此人恰是色盲”，B 1表示“随机挑选一人为男人”，B 2表示“随机挑选一人为女人”，则P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＝12×0.05＋12×0.002 5＝0.026 25. 答案 C3．设某公路经过的货车与客车的数量之比为1∶3，货车中途停车修车的概率为0.03，客车为0.02，今有一辆汽车中途停车修理，则该车是客车的概率是( ) A.12 B.23 C.34D.45解析 设B ＝{中途停车修理}，A 1＝{经过的是客车}，A 2＝{经过的是货车}，则B ＝A 1B ∪A 2B . 由贝叶斯公式有P (A 1|B )＝P （A 1）P （B |A 1）P （A 1）P （B |A 1）＋P （A 2）P （B |A 2） ＝34×0.0234×0.02＋14×0.03＝23.答案 B基础达标一、选择题1．甲袋里有5只白球，7只红球，乙袋里有4只白球，2只红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为( ) A.12 B.1324 C.712D.13解析 从两袋中任选一袋，选中甲、乙的概率都是12，又从甲袋中取到白球的概率是512，从乙袋中取到白球的概率为46，故所求概率为12⎝ ⎛⎭⎪⎫512＋46 ＝1324.答案 B2．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为( ) A ．0.012 5 B ．0.362 C ．0.468 D ．0.034 5解析 所求概率为0.25×0.050.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02≈0.362.答案 B3．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( ) A ．0.012 3 B ．0.023 4 C ．0.034 5D ．0.045 6解析 所求概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. 答案 C4．已知甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有8只红球，6只白球，随机取一只袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为( ) A.512 B.37 C.2041D.2141解析 所求概率为12×61012×610＋12×814＝2141.答案 D5．5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次．若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为( ) A.14 B.12 C.25D.35 解析 第一次取每个数字的概率都是15.如果第一次取得的是1，那么再从四张当中取的话，都比1大，所以概率就是15×1＝15，如果第一次取的是2，那么再去从四张当中去取得到的比2大的概率就是34，所以概率为15×34＝320，以此类推所得概率分别是15×24＝110，15×14＝120.故所求概率为15＋320＋110＋120＝12. 答案 B 二、填空题6．两台机床加工同样的零件，它们常出现废品的概率分别为0.03和0.02，加工出的零件放在一起，设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，则任取一个零件是合格品的概率为__________．解析 由题意知第一台机床加工的零件占总数的23，第二台机床加工的零件占总数的13，故所求概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×0.03＋13×0.02＝7375. 答案 73757．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A 表示“试验反应为阳性”，以B 表示“被诊断者患有癌症”，则有P (A |B )＝0.95，P (A － |B － )＝0.95，现对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，则P (B |A )＝______(保留两位有效数字)．解析 P (A |B －)＝1－P (A －|B －)＝1－0.95＝0.05，被试验的人患有癌症的概率为0.005，就相当于P (B )＝0.005，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A |B ）P （B ）P （A |B ）＋P （B －）P （A |B －） ＝0.005×0.950.005×0.95＋0.995×0.05≈0.087. 答案 0.0878．装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为__________．解析 设事件A 表示“从箱中任取2件都是一等品”，B i 表示“丢失的是i 等品”，i ＝1，2，3，那么P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)，P (B i )表示的就是丢失i 等品的概率．所以P (A )＝12×C 24C 29＋310×C 25C 29＋15×C 25C 29＝29，从而所求概率为P (B 1|A )＝P （B 1）P （A |B 1）P （A ）＝12×C 24C 2929＝38. 答案 38三、解答题9．设袋中装有10个阄，其中8个是白阄，2个是有物之阄，甲、乙二人依次抓取一个，求乙抓到白阄的概率．解 设A 表示“甲抓到有物之阄”，B 表示“乙抓到白阄”，则P (A )＝210，P (A －)＝810，从而P (B )＝P (BA )＋P (B A －)＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)＝210×89＋810×79＝45.10．设某工厂有两个车间生产同型号的家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．解 设B ＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}，A i ＝{提出的一台是第i 车间生产的}，i ＝1，2，则有B ＝A 1B ∪A 2B ，由题意P (A 1)＝25，P (A 2)＝35，P (B |A 1)＝0.85，P (B |A 2)＝0.88，由全概率公式得P (B )＝ P (A 1)P (B |A 1)＋ P (A 2)P (B |A 2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.能力提升11．某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为14，不知道正确答案而猜对的概率为16.现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为( )A.14B.119C.1116D.1924解析 我们设A 事件为“不知道答案”，B 事件为“猜对此题”．则P (A )＝14，P (B |A )＝16，P (B |A －)＝1.所以所求概率为P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝P （A ）P （B |A ）P （A ）P （B |A ）＋P （A －）P （B |A －）＝14×1614×16＋34×1＝119.答案 B12．盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并往盒中加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率．解 设A ＝“第一次抽出的是黑球”，B ＝“第二次抽出的是黑球”，由题意P (A )＝b a ＋b ，P (B |A )＝b ＋c a ＋b ＋c ，P (A －)＝a a ＋b ，P (B |A －)＝b a ＋b ＋c ， 由全概率公式得P (B )＝P (A )P (B |A ）＋P (A －)P (B ⎪⎪A －）＝b （b ＋c ）（a ＋b ）（a ＋b ＋c ）＋ab （a ＋b ）（a ＋b ＋c ）＝b a ＋b. 创新猜想13．(多空题)甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球，(1)若已知从甲箱中取出的是白球，则从乙箱中也取出的是白球的概率是______；(2)从乙箱中取出白球的概率是______．解析 设B ＝“从乙箱中取出白球”，A ＝“从甲箱中取出白球”，则P (A )＝35，P (A －)＝25.(1)所求概率为P (B |A )＝25.(2)易知P (B |A －)＝15，故利用全概率公式，得所求概率为P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)＝35×25＋25×15＝825. 答案 (1)25 (2)825。
7.1.2全概率公式高二数学课件(人教A版2019选择性)
777
概念生成
将例5中的问题(2)一般化，可以得到贝叶斯公式.
*贝叶斯公式： 设A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，
且P(Ai )>0，i=1, 2, …, n，则对任意的事件B ，P(B)>0，有
对分子用乘法公式
P( Ai
| B)
P( Ai B) P(B)
代公式
典例解析
例5 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工
的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零
件数分别占总数的25%，30%，45%. (1) 任取一个零件，计算它是次品的概率；
B=A1B
A2 B
A3B
(2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率.
解：设B＝“任取一个零件为次品”, Ai＝“零件为第i台车床加工” (i＝1, 2, 3), 则
A1 A2 A3 ,且A1,A2 ,A3两两互斥. 根据题意得
P( A1 ) 0.25,P( A2 ) 0.3,P( A3 ) 0.45, P(B | A1 ) 0.06,P(B | A2 ) P(B | A3 ) 0.05. (1)由全概率公式,得
解：设A＝“取到合格品”, Bi＝“取到的产品来自第i批”(i＝1, 2), 则
P(B1 ) 0.4,P(B2 ) 0.6,P( A | B1 ) 0.95,P( A | B2 ) 0.96. (1)由全概率公式,得
P( A) P(B1 )P( A | B1 ) P(B2 )P( A | B2 ) 0.40.95 0.60.96 0.956.
P( A1 ) P(B1 ) 0.5,P( A2 | A1 ) 0.6,P( A2 | B1 ) 0.8.
新课程新教材高中数学选择性必修3：全概率公式【可编辑全文】
P(B|A3) ＝0.1,
P(A2)=0.2， 写概率
P(A4)＝0.4，
P(B|A2)＝0.3，
P(B|A4)＝0.2，
0.25
0.3
B
由全概率公式，得
P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 ) P( A4 ) P( B | A4 )
=0.3×0.25＋ 0.2×0.3＋ 0.1×0.1＋ 0.4×0.2=0.225
A2 0.2
0.1
0.2
代公式
A3 0.1
A4 0.4
16
四、引导与迁移
变式：例2中，条件不变，问题变为：
“他迟到了，求他乘汽车迟到的概率”．
贝叶斯公式
已知结果
求原因
分析：就是计算在B发生的条件下，事件A3发生的概率.
10 9 10 9
0.6
B
所以，第2次摸到红球的概率是0.6.
5
9
A1
6
10
A2
4
10
6
9
BA1
A1
BA标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再
由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率.
P( B) PBA1 BA2
贝叶斯公式
五、引申与评价
(1)求该考生选出此题正确答案的概率；
全概率公式
解：设 A 表示“该考生会做这道题”，B 表示“该考生选出正确答案”，
则 P(A)＝0.85，P( A )＝0.15，P(B|A)＝1，P(B| A )＝0.25.
(1)由全概率公式得
7.1.2全概率公式课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)分别求接收为0和1的概率；
分析：设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0”. 为便于求解，我们可
将目中所包含的各种信息用图直观表示。
发送0(A)
ഥ)
发送1(
| = .
解：设事件A=“对所选的题目有思路”，A =“对所选的题目完全没有思路”，
事件B=“做对所选的题目”. 则A A ，且A与 A互斥.
(2)要求的是 P ( A | B )
1
P ( AB) P ( A) P ( B | A)
0.25 5
P ( A | B)
4
P ( B)
P ( B)
. 那么第2次摸到红球的概率是多大？
ab
如何计算这个概率呢？
解析：用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1,2.
事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，
即R2=R1R2∪B1R2. 利用概率的加法公式和乘法公式，得
R2
R1R2
P(R2)=P(R1R2∪B1R2)=P(R1R2)+P(B1R2)
工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工
的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
2 2 3
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
若对加工的次品要求操作员承担相应的责任，则 ， ， 就分别是第1，2，3台车床操作员
7 7 7
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1，2，3)台车床加工的概率.
7.1.2 全概率公式 课件 (共15张PPT) 人教A版(2019)选择性必修第三册
P38-41 课外资料相应练习 离散型随机变量及其分布列
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1 ，2 ，3）台车床加工的概率.
解(2)由题意知, 就是计数在B发生的条件下, 事件Ai发生的概率.
P(A1) = 0.25, P(A2 ) = 0.3, P(A3 ) = 0.45,
P(B A1) = 0.06, P(B A2 ) = P(B A3 ) = 0.05, P(B) = 0.0525,
大？如何计算这个概率呢？
Ri(i=1,2)表示事件“第i次摸到红球”
Bi(i=1,2)表示事件“第i次摸到蓝球”
R2=R1R2UB1R2
P(R2 ) = P(R1R2 UB1R2 )= P(R1R2 ) + P(B1R2 ) = P(R1 )P(R2 | R1 ) + P(B1 )P(R2 | B1 )
Bi(i=1,2)表示事件“第i次去B餐厅”
A1和B1互斥 A2=A1A2UB1A2
P(A2 ) = P(A1A2 UB1A2 )= P(A1A2 ) + P(B1A2 ) = P(A1 )P(A2 | A1 ) + P(B1 )P(A2 | B1 )
= 0.5 ×0.6 + 0.5 ×0.8 = 0.7 因此, 王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
= P(A1) . P(B A1) + P(A2 ) . P(B A2 ) +…+ P(An ) . P(B An )
我们称此公式为全概率公式 . 【特别提醒】(2(1).)A.A11,UAA2,2…U…, AUn是An一=组Ω两; 两互斥的事件;
(3) .P ( Ai ) > 0 .
7.1.2全概率公式课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第三册
（1） P(B) P(A)P(B | A) P(A)P(B | A) 0.5 0.9 0.5 0.05 0.475 ；
P(B) 1 P(B) 1 0.475 0.525 .
（2）
P( A|B) NhomakorabeaP( A)P(B P(B)
|
A)
0.5 0.05 0.475
1 19
.
1.盒中有 a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，
由题意 P(A) b ， P(B | A) b c ， P(A) a ， P(B | A) b ，
ab
abc
ab
abc
所以
P(B)
(a
b(b c) b)(a b
c)
(a
ab b)(a
b
c)
a
b
b
.
2.某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统 计资料表明，这3类人在一年内产生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.如 果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的” 被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是___________.
0.9
4 20
0.7
8 20
0.5
7 20
0.2
1 20
0.645
.
4.三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球， 2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球.若某 人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.