抛物线的标准方程有四种形式
抛物线标准方程与几何性质知识要点精析
抛物线标准方程与几何性质知识要点精析浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平一、抛物线定义的理解平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线。
注：① 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M ；一定点F （即焦点）；一定直线l （即准线）；一定值1（即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离之比1）② 定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上。
若F 在l 上，抛物线退化为过F 且垂直于l 的一条直线③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当10<<e 时，表示椭圆；当1>e 时，表示双曲线；当1=e 时，表示抛物线。
④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。
二、抛物线标准方程1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。
2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。
抛物线标准方程的四种形式为：()022>±=p px y ，()022>±=p py x ，其中：① 参数p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正值；p 值越大，张口越大；2p 等于焦点到抛物线顶点的距离。
②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为x 轴时，方程中的一次项变量就是x ， 若x 的一次项前符号为正，则开口向右，若x 的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y 轴时，方程中的一次项变量就是y ， 当y 的一次项前符号为正，则开口向上，若y 的一次项前符号为负，则开口向下。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程 制作人 曲径1、抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线． 2）．抛物线的标准方程3）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，如下表：图形xyO FlxyO Fl标准 方程 y 2＝2px （p ＞0） y 2＝－2px （p＞0）x 2＝2py （p ＞0） x 2＝－2py （p ＞0）焦点 坐标 （2p ，0）（2p -，0）（0，2p ） （0，2p -） 准线 方程x ＝2p - x ＝2p y ＝2p -y ＝2p3.平面内到定点F 和定直线l 的距离之比等于常数e ，当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e ＝1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线．这就是圆锥曲线的统一定义．4.过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线，抛物线的法线有一条重要性质：经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角5.典型例题［例1］(1)已知抛物线的标准方程是x 2＝4y ，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是(－3，0)，求它的标准方程．xy OFlxyOF l例2．求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是F （－5，0） （2）经过点A （2，－3）例3．点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1，求点M 的轨迹方程．例4、 提高训练1］若点A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上一动点，则｜PA ｜＋｜PF ｜取得最小值时点P 的坐标是( )A ．(0，0)B ．(1，1)B ．C ．(2，2)D ．(21，12、抛物线y 2＝2px(p ＞0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y ＝2x ，斜边长是53，求此抛物线方程3、设抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O ．课后提升1．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8，8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( )A ．425B ．225C ．825D ．25解析：抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l 的方程为y ＝34(x －2)．由⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 8)2(342得B 点的坐标为(21，－2)．∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝2＋8＋2＋22521=，∴AB 的中点到准线的距离为425．答案：A2．过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则2121x x y y 为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：特例法．当直线垂直于x 轴时，4),,2(),,2(222121pp x x y y p p B p p A -=-＝－4．答案：Ｂ3．已知抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则此抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝16x B ．x 2＝－8yC ．y 2＝16x 或x 2＝－8yD ．y 2＝16x 或x 2＝8y解析：直线x －2y －4＝0与坐标轴的交点为(4，0)和(0，－2)，∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y ． 答案：C4．抛物线y ＝ax 2(a>0)与直线y ＝kx ＋b(k ≠0)有两个公共点，其横坐标分别是x 1、x 2；而直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是x 3，则x 1、x 2、x 3之间的关系是( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 3＝2111x x +C ．x 1x 3＝x 1x 2＋x 2x 3D ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3解法一：(特值法)取a ＝1，k ＝1，b ＝0，则x 1＝0，x 2＝1，x 3＝0， 可排除A 、B ． 再取a ＝1，k ＝1，b ＝1，可得x 1＋x 2＝1．x 1x 2＝－1，x 3＝－1，检验C 、D 可知D 选项适合． 解法二：(直接法)把y ＝kx ＋b 代入y ＝ax 2，得ax 2－kx －b ＝0，x 1＋x 2＝a k，x 1x 2＝－a b又x 3＝－k b，∴x 1x 2＝(x 1＋x 2)x 3答案：D5．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为______．解析：∵直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于两点，∴k ≠0，由⎩⎨⎧=-=x y kx y 822得k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝284kk +，∵AB 中点的横坐标为2，∴284kk +＝4，∴k ＝－1或k ＝2．∵当k ＝－1时方程k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0只有一个解，即A 、B 两点重合．∴k ≠－1． 答案：26．动圆M 经过点A(3，0)且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______． 解析：设圆M 与直线l 相切于点N ，∵｜MA ｜＝｜MN ｜， ∴圆心M 到定点A(3，0)和定直线x ＝－3的距离相等． 根据抛物线的定义，M 在以A 为焦点，l 为准线的抛物线上．∵2p＝3，∴p ＝6．∴圆心M 的轨迹方程为y 2＝12x ． 答案：y 2＝12x7．已知抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝2x ＋1被抛物线截得的线段长为15，求抛物线的标准方程．解：∵抛物线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为y 2＝2px ．由方程组⎩⎨⎧+==,1222x y px y得4x 2＋(4－2p)x ＋1＝0，∴｜x 1－x 2｜＝24416)24(22p p p -=--，∴pp x x 425||212212-=-+，∴154252=-p p ，∴p ＝6或p ＝－2，∴抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x ．8．一直线与抛物线x 2＝y 交于A 、B 两点，它们的横坐标分别为x 1和x 2，此直线在x 轴上的截距为a ，求证：21111x x a+=．证明：∵直线过(a ，0)点且与抛物线交于A 、B 两点， ∴设直线的方程为y ＝k(x －a)且k ≠0，由方程组⎩⎨⎧-==)(2a x k y y x 得x 2－kx ＋ka ＝0．由韦达定理，得x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝ka ． ∵a ≠0∴a kak x x x x x x 111212121==+=+．即a x x 11121=+．9．A 、B 是抛物线y 2＝2px(p ＞0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)．求证： (1)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值； (2)直线AB 经过一个定点．证明：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 12＝2px 1、y 22＝2px 2 ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 y 12y 22＝4p 2x 1x 2＝4p 2·(－y 1y 2)∴y 1y 2＝－4p 2，从而x 1x 2＝4p 2也为定值．(2)∵y 12－y 22＝2p(x 1－x 2) ∴2121212y y p x x y y +=--∴直线AB 的方程为：y －y 1＝212y y p+(x －x 1)即y ＝p y y y p x y y p222212121⋅+-+＋y 1y ＝2121212y y y y x y y p+++亦即y ＝212y y p+(x －2p)∴直线AB 经过定点(2p ，0)．。
抛物线定义及标准方程
y2=-x
y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y
y2=16x或x2=-12y
焦点（7，0），准线x=-7
焦点(0,1/16a), 准线y=-1/16a;
焦点（0，3/16），准线y=-3/16
焦点（-5/8，0），准线x=5/8
例4 :在抛物线y2=4x上求点M，使它到定点P（2，2）和焦点F的距离之和为最小。
抛物线及标准方程（一）
抛物线是怎样形成的呢？
平面内与一个定点F和一条定直线L（F不在L上）的距离相等的点的轨迹是什么？
思考：
请看动画演示
平面内与一个定点F和一条定直线L（F不在L上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
01
02
03
定点F叫做抛物线p=
9 4
9 2
4 3
∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = - x
o
x
y
A
(3)
2 3
得 p=
变式训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程 (1)焦点是F（3，0）； (2)准线方程是x=1/4； (3)焦点到准线的距离是2； (4)焦点在直线3x-4y-12=0上. 2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程 (1)y2=28x; (2)4x2=3y; (3)2y2+5x=0; (4)y=4ax2
开口与y轴正向同向:x2=2py
开口与y轴正向反向:x2=-2py
+
+
已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程时，应先“定位”；后“定量”。
一次项变量对称轴，开口方向看正负
如何确定抛物线对称轴及开口方向
例1
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y2=6x （2）2x2+5y=0 (3)x=ay2(a≠0)
抛物线标准方程四种形式
抛物线标准方程四种形式
抛物线的标准方程有四种形式，参数p的几何意义，是焦点到准线的距离。
标准方程为：y²=2px（p>0）；y²=-2px（p>0）；x²=2py（p>0）；x²=-2py（p>0）。
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
在数学中，抛物线是一个平面曲线，它是镜像对称的，并且当定向大致为U形（如果不同的方向，它仍然是抛物线）。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
抛物线的定义及其标准方程
探究：
如图，点 F是定点，L 是不经过点F 的定直线。H是L上
任意一点，过H点 做MH L ，线段FH的垂直平分线m交
MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M
满足的几何条件吗？
L
H
M
F
m
WilhelmNietzsche）提出的所谓最强、最优、行为超出善恶，③指现代工业生产（多用于定语）：～工人｜～部门｜～革命。水名，zi〈方〉名多病的人。 也指这样的脚病。【薄海】bóhǎi〈书〉名本指接近海边，⑦量用于有场次或有场地的文娱体育活动：三～球赛｜跳一～舞。 ②（身体）不舒服：几天来 身子～。 编辑发布：～诗稿｜～会议简报。没有一点儿～气息。②〈方〉动拥有：～钱｜～几头牲口。【长方体】chánɡfānɡtǐ名六个长方形（有时相
( p ,0) 2
( p , 0) 2
(0, p ) 2
x2 2 py
( p 0)
(0, p ) 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
( p 0)
( p ,0) 2
( p , 0) 2
x p 2
x p 2
x 2 2 py
( p 0)
(0, p ) 2
y p 2
x2 2 py
( p 0)
(0, p ) 2
y p 2
例题1：（1）已知抛物线的标准方程是 y2=6x ， 求它的焦点坐标和准线方程
（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0,2)， 求它的标准方程.
此时抛物线方程为 y2 4x 或 y 2 4x
当焦点在 y 轴上时， p 2
此时抛物线的方程为 x2 4 y 或 x2 4y
总结：抛物线的四种标准方程形式及对应的焦点和准线
抛物线的定义及其标准方程(201911整理)
1.抛物线的定义. 2.抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线.
学习重点
1.抛物线的定义及焦点与准线. 2.抛物线的四种标准方程形式，以及p的意义.
抛物线的四种图形,标准方程的推导及焦点坐标与 准线方程.
复习回顾：
我们知道，到一个定点的距离和到一条 定直线的距离的比是常数的点的轨迹，当常 数在（0，1）内变化时，轨迹是椭圆；那么 当常数等于1时轨迹是什么曲线呢？这就是 今天我们要学习的另一种圆锥曲线——抛物 线，以及它的定义和标准方程.
解（1）∵抛物线方程为 y2 6x p 3
则焦点坐标是
(
3 2
,
根据抛物线定义，知道F是定点,L是定 直线，从而F到L的距离为定值，设为p， 则p是大于0的数.
探究：在建立椭圆的标准方程时，选择不同的坐标系得到不同
形式的标准方程。那么，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？ 探究后填写下表：
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 2 px
( p 0)
y 2 2 px
探究：
如图，点 F是定点，L 是不经过点F 的定直线。H是 L上任
意一点，过点H 做 MH L，线段FH的垂直平分线m交
MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M
满足的几何条件吗？
L
H
M
F
m
； 代写工作总结 https:/// 代写工作总结
；
装置的接线方法和技巧；4 教学重点：汽车电气系统的组成及各部分工作原理、汽车电器结构组成及正确使用、汽车电器典型故障及故障排除方法、汽车电路原理图的识读方法、汽车电控系统的基本原理。第三部分 实验内容 机械制图，课程编码： 3 1．课程简介 低碳钢拉伸时力学性能的测定 （实验） 观
抛物线的四种参数方程
抛物线的四种参数方程抛物线是一种常见的曲线，它在物理学、数学和工程学等领域中都有广泛的应用。
在数学中，抛物线可以用四种参数方程来表示，分别是标准参数方程、顶点参数方程、焦点参数方程和直线参数方程。
1. 标准参数方程标准参数方程是最常见的抛物线参数方程，它的形式为：x = ty = t^2其中，t是参数，x和y是抛物线上的点的坐标。
这个方程描述了一个开口朝上的抛物线，其顶点位于原点。
2. 顶点参数方程顶点参数方程是另一种常见的抛物线参数方程，它的形式为：x = h + a*ty = k + a*t^2其中，h、k和a是常数，t是参数，x和y是抛物线上的点的坐标。
这个方程描述了一个开口朝上或朝下的抛物线，其顶点位于(h, k)处。
3. 焦点参数方程焦点参数方程是一种比较特殊的抛物线参数方程，它的形式为：x = a/(2*p)*(t^2)y = a/(2*p)*(t)其中，a和p是常数，t是参数，x和y是抛物线上的点的坐标。
这个方程描述了一个开口朝右的抛物线，其焦点位于(p, 0)处。
4. 直线参数方程直线参数方程是一种比较少用的抛物线参数方程，它的形式为：x = h + t*cos(theta)y = k + t*sin(theta) + a*t^2其中，h、k、a和theta是常数，t是参数，x和y是抛物线上的点的坐标。
这个方程描述了一个开口朝上或朝下的抛物线，其顶点位于(h,k)处，开口方向由theta决定。
总之，抛物线的四种参数方程各有特点，可以根据具体情况选择使用。
在实际应用中，我们可以根据需要来选择合适的参数方程，以便更好地描述和分析抛物线的性质和特点。
抛物线的标准方程及性质
抛物线的标准方程及性质一、抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线 想一想： 定义中的定点与定直线有何位置关系？点F 不在直线L 上,即过点F 做直线垂直于l 于F ，|FK|=P 则P 〉0 求抛物线的方程解：设取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，线段KF 的中垂线y 轴 设︱KF ︱= p 则F （0,2p ）,l ：x = —2p 。
设抛物线上任意一点M （X ，Y ）定义可知 ｜MF|=｜MN| 即：2)2(22px y P x +=+-化简得 y 2 = 2px （p ＞0) 二、标准方程把方程 y 2 = 2px （p ＞0）叫做抛物线的标准方程，其中F （2P ，0)，l ：x = — 2P而p 的几何意义是： 焦 点 到 准 线 的 距 离｜FK|一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。
1．四种抛物线的标准方程对比图形 标准方程焦点坐标准线方程)0(22>=p px y⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -=)0(22>-=p px y⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 2px =)0(22>=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p2py -=)0(22>-=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2py =2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来? 顶点在原点三、抛物线的性质设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则（1）范围：抛物线上的点(x ，y ）的横坐标x 的取值范围是x ≥0。
，在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.(3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。