综合除法
初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。
这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.二．余数定理：对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。
设这时商为多项式()g x ，则有()()()()f x x c g x f c =-+也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .三．试根法的依据（因式定理）：如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。
四．试根法的应用：假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。
典型例题一. 多项式的除法【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例2】 已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例3】 已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .二. 综合除法【例4】 用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.【例5】 用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .（1）2()253f x x x =--，()3g x x =-；（2）32()321f x x x =-+，1()3g x x =+.【例6】 用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.【例7】 先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2h x x =-.三. 余数定理和多项式理论【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？【例10】 （1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.【例11】 多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .【例12】 试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.【例13】 已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.【例14】 证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除.【例15】 多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.【例16】 已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是34x --.求这个三次多项式.【例17】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三项式.【例18】 已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.【例19】 已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.【例20】 若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.【例21】 如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .四. 因式分解（试根法）【例22】 分解因式：354x x -+.【例23】 分解因式：326116x x x +++.【例24】 分解因式：4322928x x x x +--+.【例25】 分解因式：43293732x x x x -+--.【例26】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例27】 分解因式：322392624x x y xy y -+-【例28】 分解因式：32511133x x x ---【例29】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例30】 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-【例31】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+思维飞跃【例32】 若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.【例33】 若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x .【例34】 求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b--+--））.【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得的余式.【例36】 求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.作业1. 分解因式：（1）3246a a a -++.（2）43233116a a a a +---.（3）4322347136x x y x y xy y --+-.2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余式.4. 若554x qx r -+能被22)x -（整除，求q 与r 的值.5. 分解因式：3245x x +-.6. 分解因式：4322344x x x x +--+.7. 分解因式：4322744x x x x +++-.8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使123()()()1f a f a f a ===.又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。
综合除法具体步骤讲解
综合除法具体步骤讲解
综合除法具体步骤讲解
一、定义：
综合除法是指将被除数已知的分数的乘除法运算，按照某种方法拆分成除法和减法运算，然后分步计算，求出商的一种算法。
二、步骤：
1. 确定被除数和除数：
首先，必须确定被除数和除数，即确定被除数为a/b，除数为c/d，
a、b、c、d为整数。
2. 将被除数转换成分数：
接着，我们要将被除数转换成分数的形式，即将a/b转换成ad/bd，其中，d表示乘以d后的分母，ad表示乘以d后的分子，比如：被除数a/b = 2/3，d = 4，除数c/d = 1/2，
则a/b = 8/12，c/d = 4/8。
3. 使用乘除法：
接着，我们可以将被除数乘以除以数的分母d，把被除数转换成另一个与除数相同的分子分母的分数，即ad/bd = cd/d；
然后，我们可以将乘以d后的分子ad除以除数的分母d，即ad/d，得到商c。
4. 使用减法：
最后，我们可以利用减法求出余数，即用被除数的分子ad减去
除数的分子cd，得到ad - cd，这就是余数。
三、总结：
综合除法是一种计算已知分数的乘除法运算的算法，其步骤为：
1、确定被除数和除数；
2、将被除数转换成分数的形式；
3、使用乘除法；
4、使用减法求出余数。
综合除法文档
综合除法1. 引言综合除法是数学中的一种基本运算方式，用于求解一个数除以另一个数的结果。
在数学和计算机科学中，除法是一种常见的运算操作，常用于解决各种实际问题。
本文将介绍综合除法的定义、性质和使用方法，并通过一些示例来说明如何进行综合除法运算。
2. 定义综合除法是指将一个数除以另一个数，并求出商和余数的过程。
在综合除法中，被除数、除数、商和余数是四个相关的概念。
•被除数：要进行除法运算的数，即需要被除的数。
•除数：用于除法运算的数，即用来除的数。
•商：在除法运算中，被除数除以除数得到的商，表示被除数中包含了多少个除数。
•余数：在除法运算中，被除数除以除数得到的余数，表示被除数在进行除法运算后剩下的部分。
综合除法的运算过程可以用以下公式表示：被除数 = 商 × 除数 + 余数3. 性质综合除法具有以下几个性质：1.商和余数的取值范围：–商的取值范围是整数集合，可以为正整数、负整数或零。
–余数的取值范围是非负整数，即大于等于零的整数。
2.商和余数的关系：–商等于被除数除以除数向下取整，即商是不超过真实商的最大整数。
–余数等于被除数除以除数的余数，即余数是除法运算的剩余部分。
3.综合除法的唯一性：–给定被除数和除数，商和余数是唯一确定的。
4. 使用方法综合除法的使用方法主要包括以下几个步骤：1.确定被除数和除数。
2.进行除法运算，计算商和余数。
3.检查运算结果的正确性。
下面通过一个例子来说明如何进行综合除法运算：例子：求解 15 ÷ 41.确定被除数为 15，除数为 4。
2.进行除法运算，计算商和余数：–商等于被除数除以除数向下取整，即商为15 ÷ 4 = 3。
–余数等于被除数除以除数的余数，即余数为15 % 4 = 3。
3.检查运算结果的正确性：–根据综合除法的性质，15 应等于商乘以除数加上余数，即15 = 3 × 4 + 3，计算结果与原始被除数相符，说明运算结果正确。
综合除法的推广及应用
综合除法的推广及应用综合除法是一种重要的数学技术，在数学计算中有重要的应用。
首先，让我们来了解什么是综合除法。
综合除法是一种重要的数学概念，是求解多项式的操作，它是由一系列“除法”步骤组成的，比如做余数计算，除以同一个值并对结果求余数。
在结果的求解中，我们要熟悉各种关于除法的数目，以及各种数学表达式的表示方法。
综合除法在实际的应用中有着重要的作用。
在任何的数学运算中，综合除法都可以被用来帮助求解一些棘手的多项式。
一般来说，综合除法可以用来求解一些复杂的方程和不等式，比如求解联立方程和不等式，也可以用来求解一些复杂的数列、统计学方面的问题，甚至机器人控制学方面的推理问题。
综合除法的推广应用在很多领域都有着重要的作用。
在科学计算和电子计算机技术领域，综合除法也是常用的一种技术，此技术不仅可以求解一些棘手的问题，而且可以帮助计算机和机器人快速准确地求解问题。
另外，综合除法在社会统计学领域也有重要的应用，这种技术可以用来计算各种概率分布，比如指数分布、均匀分布、正态分布等，以及求解各种复杂的统计学问题。
最后，综合除法的推广及应用也可以在金融、经济和管理领域得到有效的应用。
金融学相关的计算，比如求解折旧、利率、债务分析等问题，都可以用综合除法来求解。
在经济学方面，如需要计算消费支出、供求矩阵、生产函数等，也可以用综合除去解答。
最后，综合除法也可以用于管理学领域，如求解决策问题、成本分析等。
总之，综合除法是一种重要的数学技术，具有广泛的应用前景。
它不仅可以用于求解一些棘手的多项式，也可以用于数据的分析和处理，以及金融、经济和管理领域的求解问题。
希望能够通过本文的介绍，使读者能够正确理解和应用综合除法，以及对综合除法有更深一步的认识。
综合除法怎么算
综合除法怎么算综合除法(synthetic division)是一种简便的除法，只通过乘、加两种运算便可计算到一元多项式除以(x - a)的商式与余式。
符号Q 商式R 余式例题( 2x^3 - 6x²+ 11x - 6) ÷(x - 1)解：Image:MathEquation.GIF被除数：被除数的未知数应是降幂排列，抽取系数用以计算，但若题目的被除数出现降幂次数中没有3，则在演算的过程中在该系数的位置上补上0，然后如常计算。
除数：除数中的未知数前的系数有时并不一定会是1，当出现别的系数时，如：3x –2中的3，我们会把它变做3 (x - 2/3) ，同样以1来计算，但当得出结果的时候除余式外全部除以该系数。
∴答：商式Q = 2x²- 4x + 7余式R = 1注意：验算时，须谨记末项是余式之系数，即原被除式末项文字之系数。
商式之首项文字必较原被除式之首项文字次数少1，余依齐次式类推。
因式分解综合除法的依据是因式定理即若(x-a)能整除某一多项式，则(x-a)是这一多项式的一个因式。
用x－b除有理整式f(x)=A0+A1x+A2x²+…+An-1x^n-1+AnX^n所得的余数为f(b)=a0b+a1b+a2b+…+an-1b+an(余数定理)，若f(b)=0时，f(x)有x －b的因式．用综合除法找出多项式的因式，从而分解因式的方法．例分解因式3x^3-4x^2-13x-6∴原式=(x－3)(3x+2)(x+1).说明：(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数的正负值都可能是除的整除商．上例中常数项是6，最高次项系数是3它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x±1，3x±2．试除时先从简单的入手 [1] ．(2)因式可能重复．方法介绍另外告诉你一下有关综合除法的计算对这个很有帮助比如(3x^4-6x^3+4x^2-1)÷（x-1）将x-1的常数项-1做除数将被除式的每一项的系数列下来由高幂到低幂排列缺项的系数用零代替，将最高项的系数落下来，用除数-1乘以落下的3，得-3，写在第二项-6下，用-6减-3写在横线下（补：若是用x-1=0的解即取x=1作为除数则是用加），再用-1乘以-3的3写在第三项4下，用4减3得1写在横线下一直除...直到最后一项得0所以就有(3x^3-6x^2+4x-1)÷（x-1）=3x^2-3x+1 0横线下的就是商式的每一项系数，而最后的一个就是余式这里商式是3x^2-3x+1，余式是0-1┃3 -6 4 -1 (用1 1┃3 -6 4 -1（-）┃-3 3 -1 做除数（+ ) ┃3 -3 1┗━━━━━┗━━━━━3 -3 1 |0 -3 1 |0又如(4x^3-3x^2-4x-1)÷(x+1)-1┃4 -3 -4 -1┃-4 7 -3┃4 -7 3┃-4┗━━━━━━4 -7 3|-4所以(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）=4x^2-7x+3……-4商式是4x^2-7x+3，余式是-4注意！！这个方法仅用于除式为x-a的形式的多项式除法。
高等代数综合除法具体步骤讲解 -回复
高等代数综合除法具体步骤讲解-回复高等代数综合除法是代数学中的一种基本运算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式。
本文将详细介绍高等代数综合除法的具体步骤，并逐步讲解每个步骤的原理和运算方法。
假设我们需要对一个多项式N(x)进行除法运算，N(x)的表达式为：N(x) = a_n*x^n + a_{n-1}*x^{n-1} + ... + a_1*x + a_0其中，a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0是常数系数，x是未知数。
除数多项式D(x)的表达式为：D(x) = d_m*x^m + d_{m-1}*x^{m-1} + ... + d_1*x + d_0其中，d_m, d_{m-1}, ..., d_1, d_0是常数系数，m是除数的次数。
综合除法的目标是找到商多项式Q(x)和余项多项式R(x)，使得：N(x) = Q(x) * D(x) + R(x)其中，Q(x)是商多项式，R(x)是余项多项式。
具体的综合除法步骤如下：步骤一：将N(x)和D(x)按照次数从高到低排列。
确保N(x)和D(x)都是按照从高次到低次的顺序写出。
步骤二：找到商多项式的首项，即Q(x)的次数最高项。
假设Q(x)的首项为q_k*x^k。
步骤三：将q_k*x^k与D(x)相乘，并记为T_k(x)。
T_k(x)的表达式为：T_k(x) = q_k*x^k * D(x) = q_k*x^k * (d_m*x^m +d_{m-1}*x^{m-1} + ... + d_1*x + d_0)步骤四：于N(x)中找到与T_k(x)次数最高项相同的项加减消去。
假设N(x)的次数最高项为n_l*x^l。
步骤五：计算q_k，并将q_k*x^k - n_l*x^l相减得到新的多项式。
步骤六：将新的多项式作为新的被除多项式，并重新回到步骤二。
重复这个过程，直到被除多项式的次数小于除数的次数。
步骤七：得到最终的商多项式Q(x)和余项多项式R(x)。
多项式的除法原理(综合除法)与练习
1 2 41 3 3 7＋＋＋＋ ＋＋多項式的除法原理(綜合除法)1.多項式的除法定理：設f (x)、g (x)是兩個多項式，且g (x)0≠，則恰有兩多項式q (x)及r(x)使得 f (x)q(x)g(x)r (＝‧＋成立，其中r(x)0＝或r(x)<d eg g (x)deg 。
(1).f (x)稱為被除式，g (x)稱為除式，q (x)稱為商式，r(x)稱為餘式。
(2).被除式＝除式×商式＋餘式。
(3).簡式：A ＝BQ ＋R2.綜合除法：2x 2x 4＋＋除以x 1－得到商式為x 3＋，餘式為 7依照除法定理可表示成2x 2x 4＋＋＝(x 1－)(x 3＋)＋7綜合除法的作法：注意 ＋1 ＂變號＂（ｘ-1）餘式 其中1 ＋3 所代表的是商式x 3＋2＋1＝32ax b x c (x e)(f x g )＋＋＝－＋＝2f x (g ef )x eg ＋－－ (整除)依照比較係數法：2a f b g ef g b ae c eg c e(b ae)be ae ＝＝－＝＋＝－＝－＋＝－－⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩長除法表示：(已代換)222ax (b ae)x-e ax bx cax aex (b ae)x c(b ae)x-e(b ae)c be ae ＋＋＋＋－＋＋＋＋＋＋ 2a x bx c (x e )[a x (b a e )]＋＋＝－＋＋綜合除法表示：＋e餘式思考1：為何本來長除法中除式為(x －ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。
思考2：設多項式32f (x)x 3x 4x 1＝＋－＋，則 (1)請利用綜合除法，以x-1除f(x)，商式為何？餘式為何？(2)設32f (x)a(x 1)b (x 1)c(x 1)d ＝－＋－＋－＋，則a 、b 、c 、d 為何？ Hinet ：試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法，並比較之。
2a b cae e(b ae)a (b ae) c be ae ＋＋＋＋＋＋＋＋[1] 試求以x – 1 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.答案：1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 – 1所得的商式為x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1餘式為0[2] 試求以x – 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[3] 試求以x – 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[4] 試求以x + 1 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.答案：1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 – 1所得的商式為x 5 – x 4 + x 3 – x 2 + x – 1 餘式為0[5] 試求以x + 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[6] 試求以x +3 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[7])4()431273234567-÷+-+x x x 的商式與餘式。
综合除法
綜合除法：當除式g (x )=x -a 時，我們介紹綜合除法去求商式、餘式。
【範例】：設f (x )=2x 4+x 2 -5x ，g (x )= x -2，求f (x )除以g (x )的商式、餘式。
解 ：2 x 4 + x 2 -5x = ( 2x 3+ 4x 2+ 9x +23 ) ( x – 2) +46綜合除法的原理：設f (x )=a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0，g (x )=x -b ，若存在商式q (x )=c 2x 2+c 1x +c 0，餘式r (x )=d 。
由除法的定義：(a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0)=( c 2x 2+c 1x +c 0)( x -b )+d經比較係數可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-==d b c a c b c a c b c a c a 0001112223⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+==b c a d b c a c bc a c a c 0011022132上面的關係可寫成以下的形式：當f (x )除以g (x )=ax +b 時，我們也可利用綜合除法求餘式r (x )、商式q (x )。
由除法的定義：f (x )=(ax +b )⋅q (x )+r (x )=(x +b a)⋅[aq (x )]+r (x )可先利用綜合除法求出f (x )除以(x +b a)的商式q /(x )=aq (x )與餘式r (x )， 而所要求的商式q (x )=1aq /(x )，餘式r (x )不變。
餘式定理、因式定理)(,)(,)()(01200112230120123x r dc c c x q bc a b c a bc a a bb c b c b c a a a a x f ==⇓⇓⇓⇓++++↓+=式餘式商,46,23942461884)(205102+除法原理：f (x)= g (x)⋅q(x) + r(x)，deg r(x)<deg g(x) 或r(x) = 0餘式定理：多項式f(x)除以x -a 的餘式等於f (a)。
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综合除法与余数定理
一、知识提要与典型例题
综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。
本节我们将作一些初步介绍。
（一）、综合除法
一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式)(x f 除
以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式：
)()()()(x r x q x g x f +⋅=。
其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。
当0)(=x r 时，就是)(x f 能
被)(x g 整除。
下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。
例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。
解：
余式
商的各项的系数
8
26322412
6
4
414072
++--+--++-
∴)2()74142(3
4-÷-++x x x x 的商是263223
+--x x x ，余式是
8。
上述综合除法的步骤是：
（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。
（3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。
（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。
（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。
（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。
（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。
如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？
例2、求)23()1623103(2
3
-÷+-+x x x x 的商式
Q 和余式R 。
解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。
因此先用3
2-x 去
除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。
54
1
615
12333
210
821623103
3-+++++-+++-+
∴Q=542-+x x ， R=6。
下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。
例3、用综合除法求)23()4101173(22
3
4
-+÷-+-+x x x x x x 的商
Q 和余式R 。
解：23
1
2
3
2
323
46
69
410
1173
-++-++-+--+--+-+
∴Q=5232
+-x x ， R=23-x 。
（二）、余数定理
余数定理又称裴蜀定理。
它是法国数学家裴蜀（1730~1783）发现的。
余数
定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。
余数定理：多项式)(x f 除以a x -所得的余数等于)(a f 。
略证：设
R
a x x Q x f +-⋅=)()()(
将x=a 代入得R a f =)(。
例4、确定m 的值使多项式
m
x x x x x f +++-=1183)(3
45能够被x-1整除。
解：依题意)(x f 含有因式x-1，故0)1(=f 。
∴1－3＋８＋11＋ｍ＝０。
可得ｍ＝－17。
求一个关于x 的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1，且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。
解：设b
ax x x f +==2
)(
∵)(x f 被3-x 除余1，∴139)3(=++=b a f
①
∵
)(x f 被1-x 除和2-x 除所得的余数相同，∴b
a b a f f ++=++=241)2()1(即 ②
由②得3-=a ，代入①得1=b ∴
13)(2
+-=x x x f 。
注：本例也可用待定系数法来解。
同学们不妨试一试。
即：1))(3())(2())(1(2
++-≡++-≡++-≡++p x x R n x x R m x x b ax x
由R n x x R m x x ++-≡++-))(2())(1(，可得1,2-=-=n m
再由1))(3()1)(2(++-≡+--p x x R x x ，解得0=p 。
∴
13)(2
+-=x x x f 。