反函数高考真题教师版

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高考真题汇编函数与导数(二)教师版

2014高考真题汇编函数与导数（二）1．[2014·山东卷] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A. 2 2 B. 4 2 C. 2 D. 41．D [解析] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限的交点坐标是(2，8)，所以两者围成的封闭图形的面积为⎠⎛2(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫2x 2－14x 420＝4，故选D.2、[2014·福建卷] 如图1-4，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．图1-42.2e2 [解析] 因为函数y ＝ln x 的图像与函数y ＝e x 的图像关于正方形的对角线所在直线y ＝x 对称，则图中的两块阴影部分的面积为S ＝2⎠⎛1e ln x d x ＝2(x ln x －x)|e1＝2[(eln e －e )－(ln 1－1)]＝2，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P ＝2e 2.3.[2014·江西卷] 若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C .13 D ．13．B [解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤x 2＋2⎠⎛01f （x ）d x d x ＝⎣⎡⎦⎤13x 3＋⎝⎛⎭⎫2⎠⎛01f （x ）d x x 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，得⎠⎛01f (x )d x ＝－13.4．[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且⎰320πf(x)d x ＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝5π6B ．x ＝7π12 C ．x ＝π3 D ．x ＝π64．A [解析] 因为∫2π30f(x)d x ＝0，即∫2π30f(x)d x ＝－cos (x －φ)2π30＝－cos ⎝⎛⎭⎫2π3－φ＋cos φ＝0，可取φ＝π3，所以x ＝5π6是函数f(x)图像的一条对称轴．5．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)5．C [解析] 当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，存在两个零点，不符合题意，故a ≠0.由f ′(x )＝3ax 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2a.若a <0，则函数f (x )的极大值点为x ＝0，且f (x )极大值＝f (0)＝1，极小值点为x ＝2a，且f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫2a ＝a 2－4a 2，此时只需a 2－4a 2>0，即可解得a <－2；若a >0，则f (x )极大值＝f (0)＝1>0，此时函数f (x )一定存在小于零的零点，不符合题意．综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)． 6．[2014·湖北卷] 若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．C [解析] 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝⎝⎛⎭⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11x ·x 2d x ＝x 441－1＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C 74．[2014·黄冈中学期末] 已知f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝log 12(1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－20114＝( ) A ．－2 B.12C ．1D ．27．D [解析] f －20114＝f 20114＝f 34＝log 121－34＝log 1214＝2.8．[2014·青岛期中] 若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－15．B [解析] 由题意，要使函数f (x )在区间(－1，1)上存在一个零点，则有f (－1)f (1)<0，8.即(a ＋1)(－5a ＋1)<0，所以(a ＋1)(5a －1)>0，解得a >15或a <－1.9．[2014·内江模拟] 已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为( )A ．c ＜14B ．c ≤14C ．c ≥14D ．c ＞149．A [解析] 由题意得，f′(x)＝x 2－x ＋c ，Δ＝1－4c>0，解得c<14.10．[2014·山东卷] 设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 10．解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1x＝x e x －2e x x 3－k （x －2）x 2＝（x －2）（e x －kx ）x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减，故f (x )在(0，2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)．因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0<k ≤1时，当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增，故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点．当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )．函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （ln k ）<0，g （2）>0，0<ln k <2，解得e<k <e 22.综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e ，e 22.11．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．11．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝2a e 2x ＋2b e －2x －c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )，即2(a －b )(e 2x －e －2x )＝0.因为上式总成立，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，所以a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e －2x －3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0，故f (x )在R 上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c ，而2e 2x ＋2e －2x ≥22e 2x ·2e －2x ＝4，当且仅当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论：当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c >0，此时f (x )无极值．当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －4>0，此时f (x )无极值．当c >4时，令e 2x ＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1，2＝c ±c 2－164>0，则f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0. 从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．12、[2014·湖南卷] 已知常数a ＞0，函数f (x )＝ln(1＋ax )－2xx ＋2.(1)讨论f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且f (x 1)＋f (x 2)＞0，求a 的取值范围．12．解：(1)f ′(x )＝a1＋ax －2（x ＋2）－2x （x ＋2）2＝ax 2＋4（a －1）（1＋ax ）（x ＋2）2.(*)当a ≥1时，f ′(x )>0，此时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当0<a <1时，由f ′(x )＝0得x 1＝21－a a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝－21－a a 舍去.当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在区间(0，x 1)上单调递减，在区间(x 1，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，21－a a 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a a ，＋∞上单调递增．(2)由(*)式知，当a ≥1时，f ′(x )≥0，此时f (x )不存在极值点，因而要使得f (x )有两个极值点，必有0<a <1.又f (x )的极值点只可能是x 1＝21－a a 和x 2＝－21－aa，且由f (x )的定义可知，x >－1a且x ≠－2，所以－21－a a >－1a ，－21－a a ≠－2，解得a ≠12.此时，由(*)式易知，x 1，x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点．而f (x 1)＋f (x 2)＝ln(1＋ax 1)－2x 1x 1＋2＋ln(1＋ax 2)－2x 2x 2＋2＝ln[1＋a (x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2]－4x 1x 2＋4（x 1＋x 2）x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝ln(2a －1)2－4（a －1）2a －1＝ln(2a －1)2＋22a －1－2.令2a －1＝x .由0<a <1且a ≠12知，当0<a <12时，－1<x <0；当12<a <1时，0<x ＜1. 记g (x )＝ln x 2＋2x－2.(i)当－1<x <0时，g (x )＝2ln(－x )＋2x －2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(－1，0)上单调递减，从而g (x )<g (－1)＝－4<0.故当0<a <12时，f (x 1)＋f (x 2)<0.(ii)当0<x <1时，g (x )＝2ln x ＋2x－2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(0，1)上单调递减，从而g (x )>g (1)＝0.故当12<a <1时，f (x 1)＋f (x 2)>0.综上所述，满足条件的a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.13、[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a ∈R )．(1)若f (x )在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )； (2)设b ∈R ，若[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1，1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围．10．解：(1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋3x －3a ，x ≥a ，x 3－3x ＋3a ，x <a ，所以f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3，x ≥a ，3x 2－3，x <a .由于－1≤x ≤1，(i)当a ≤－1时，有x ≥a ，故f (x )＝x 3＋3x －3a ，此时f (x )在(－1，1)上是增函数，因此，M (a )＝f (1)＝4－3a ，m (a )＝f (－1)＝－4－3a ，故M (a )－m (a )＝(4－3a )－(－4－3a )＝8.(ii)当－1<a <1时，若x ∈(a ，1)，则f (x )＝x 3＋3x －3a .在(a ，1)上是增函数；若x ∈(－1，a )，则f (x )＝x 3－3x ＋3a 在(－1，a )上是减函数．所以，M (a )＝max{f (1)，f (－1)}，m (a )＝f (a )＝a 3.由于f (1)－f (－1)＝－6a ＋2，因此，当－1<a ≤13时，M (a )－m (a )＝－a 3－3a ＋4；当13<a <1时，M (a )－m (a )＝－a 3＋3a ＋2.(iii)当a ≥1时，有x ≤a ，故f (x )＝x 3－3x ＋3a ，此时f (x )在(－1，1)上是减函数，因此，M (a )＝f (－1)＝2＋3a ，m (a )＝f (1)＝－2＋3a ，故M (a )－m (a )＝(2＋3a )－(－2＋3a )＝4.综上，M (a )－m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧8，a ≤－1，－a 3－3a ＋4，－1<a ≤13，－a 3＋3a ＋2，13<a <1，4，a ≥1.(2)令h (x )＝f (x )＋b ，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋3x －3a ＋b ，x ≥a ，x 3－3x ＋3a ＋b ，x <a ，h ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3，x >a ，3x 2－3，x <a .因为[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1，1]恒成立，即－2≤h (x )≤2对x ∈[－1，1]恒成立，所以由(1)知，(i)当a ≤－1时，h (x )在(－1，1)上是增函数，h (x )在[－1，1]上的最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，最小值是h (－1)＝－4－3a ＋b ，则－4－3a ＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，矛盾．(ii)当－1<a ≤13时，h (x )在[－1，1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，所以a 3＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，从而－2－a 3＋3a ≤3a ＋b ≤6a －2且0≤a ≤13.令t (a )＝－2－a 3＋3a ，则t ′(a )＝3－3a 2>0，t (a )在⎝⎛⎭⎫0，13上是增函数，故t (a )>t (0)＝－2，因此－2≤3a ＋b ≤0.(iii)当13<a <1时，h (x )在[－1，1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (－1)＝3a ＋b ＋2，所以a 3＋b ≥－2且3a ＋b ＋2≤2，解得－2827<3a ＋b ≤0；(iv)当a ≥1时，h (x )在[－1，1]上的最大值是h (－1)＝2＋3a ＋b ，最小值是h (1)＝－2＋3a ＋b ，所以3a ＋b ＋2≤2且3a ＋b －2≥－2，解得3a ＋b ＝0.综上，得3a ＋b 的取值范围是－2≤3a ＋b ≤0.2．[2014·成都检测] 定义在R 上的函数y ＝f (x )，f (0)≠0，当x ＞0时，f (x )＞1，且对任意的a ，b ∈R ，有f (a ＋b )＝f (a )f (b )．(1)求证：f (0)＝1；(2)求证：对任意的x ∈R ，恒有f (x )＞0； (3)若f (x )f (2x －x 2)＞1，求x 的取值范围．2．解：(1)证明：令a ＝b ＝0，则有f (0)＝[f (0)]2. ∵f (0)≠0，∴f (0)＝1.(2)证明：令a ＝x ，b ＝－x ，则有f (0)＝f (x )f (－x )，∴f (－x )＝1f （x ）.∵当x >0时，f (x )>1>0，∴当x <0时，－x >0，∴f (－x )>0，∴f (x )＝1f （－x ）>0.又当x ＝0时，f (0)＝1>0， ∴对任意的x ∈R ，恒有f (x )>0.(3)任取x 2>x 1，则f (x 2)>0，f (x 1)>0，x 2－x 1>0， ∴f （x 2）f （x 1）＝f (x 2)·f (－x 1)＝f (x 2－x 1)>1， ∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在R 上单调递增．又f (x )·f (2x －x 2)＝f [x ＋(2x －x 2)]＝f (－x 2＋3x )，且f (0)＝1，∴f (3x －x 2)>f (0)，∴3x －x 2>0，解得0<x <3.4.[2014·广州调研] 设函数f (x )＝13x 3－ax (a ＞0)，g (x )＝bx 2＋2b －1.(1)若曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有相同的切线，求实数a ，b 的值；(2)当b ＝1－a2时，若函数h (x )＝f (x )＋g (x )在区间(－2，0)内恰有两个零点，求实数a 的取值范围；(3)当a ＝1，b ＝0时，求函数h (x )＝f (x )＋g (x )在区间[t ，t ＋3]内的最小值．4．解：(1)因为f (x )＝13x 3－ax (a ＞0)，g (x )＝bx 2＋2b －1，所以f ′(x )＝x 2－a ，g ′(x )＝2bx .因为曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有相同的切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)，即13－a ＝b ＋2b －1，且1－a ＝2b ，解得a ＝13，b ＝13.(2)当b ＝1－a 2时，h (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a (a >0)，所以h ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．令h ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝a >0.当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：故h (x )在区间(－2，－1)上单调递增，在区间(－1，0)上单调递减．又函数h (x )在区间(－2，0)内恰有两个零点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧h （－2）<0，h （－1）>0，h （0）<0，即⎩⎨⎧－83＋2（1－a ）＋2a －a <0，－13＋1－a 2＋a －a >0，－a <0，解得0<a <13，所以实数a 的取值范围是0，13.(3)当a ＝1，b ＝0时，h (x )＝13x 3－x －1，b ＝1－a 2，则由(2)可知，函数h (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1)．因为h (－2)＝－53，h (1)＝－53，所以h (－2)＝h (1)．①当t ＋3<1，即t <－2时，[h (x )]min ＝h (t )＝13t 3－t －1.②当－2≤t <1时，[h (x )]min ＝h (－2)＝－53.③当t ≥1时，h (x )在区间[t ，t ＋3]上单调递增，[h (x )]min ＝h (t )＝13t 3－t －1.综上可知，函数h (x )在区间[t ，t ＋3]上的最小值[h (x )]min ＝⎩⎨⎧13t 3－t －1，t ∈（－∞，－2）∪[1，＋∞），－53，t ∈[－2，1）.。

函数的周期性高考真题教师版

函数的周期性一．选择题（共3小题）1．（2016•山东）已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则f （6）(= )A ．2-B ．1C ．0D ．22．（2013•湖北）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数3．（2012•山东）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，当31x -<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -<时，()f x x =．则f （1）f +（2）f +（3）(2012)(f +⋯+= )A ．335B ．338C ．1678D ．2012二．填空题（共6小题）4．（2019•上海）已知函数()f x 周期为1，且当01x <时，2()log f x x =，则3()2f = ．5．（2016•全国）定义域为R 的偶函数()f x 为周期函数，其周期为8，当[4x ∈-，0]时，()1f x x =+，则(25)f = ．6．（2014•四川）设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1x ∈-，1)时，242,10(),01x x f x x x ⎧-+-<=⎨<⎩，则3()2f = ． 7．（2012•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1]上，1,10()2,011ax x f x bx x x +-<⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪+⎩其中a ，b R ∈．若13()()22f f =，则3a b +的值为．8．（2012•浙江）设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[0x ∈，1]时，()1f x x =+，则3()2f = ．9．（2011•上海）设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3，4]上的值域为[2-，5]，则()f x 在区间[10-，10]上的值域为．三．解答题（共2小题）10．（2017•上海）设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x R ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ．（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值．函数()()()h x f x g x =．证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”．11．（2012•上海）已知()(1)f x lg x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x 时，()()g x f x =，求函数()([1y g x x =∈，2])的反函数．函数的周期性参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2016•山东）已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则f （6）(= )A ．2-B ．1C ．0D ．2【解答】解：当12x >时，11()()22f x f x +=-， ∴当12x >时，(1)()f x f x +=，即周期为1． f ∴（6）f =（1），当11x -时，()()f x f x -=-， f ∴（1）(1)f =--，当0x <时，3()1f x x =-， (1)2f ∴-=-，f ∴（1）(1)2f =--=， f ∴（6）2=．故选：D ．2．（2013•湖北）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数【解答】解：()[]f x x x =-，(1)(1)[1]1[]1[]()f x x x x x x x f x ∴+=+-+=+--=-=， ()[]f x x x ∴=-在R 上为周期是1的函数．故选：D ．3．（2012•山东）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，当31x -<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -<时，()f x x =．则f （1）f +（2）f +（3）(2012)(f +⋯+= )A ．335B ．338C ．1678D ．2012【解答】解：(6)()f x f x +=，()f x ∴是以6为周期的函数，又当13x -<时，()f x x =，f ∴（1）f +（2）123=+=，(1)1f f -=-=（5），(0)0f f ==（6）；当31x -<-时，2()(2)f x x =-+，f ∴（3）2(3)(32)1f =-=--+=-，f （4）2(2)(22)0f =-=--+=，f ∴（1）f +（2）f +（3）f +（4）f +（5）f +（6）1210(1)01=+-++-+=， f ∴（1）f +（2）f +（3）(2012)f +⋯+[f =（1）f +（2）f +（3）(2010)](2011)(2012)f f f +⋯+++ 3351f =⨯+（1）f +（2）338=．故选：B ．二．填空题（共6小题）4．（2019•上海）已知函数()f x 周期为1，且当01x <时，2()log f x x =，则3()2f = 1- ．【解答】解：因为函数()f x 周期为1，所以31()()22f f =，因为当01x <时，2()log f x x =，所以1()12f =-，故答案为：1-．5．（2016•全国）定义域为R 的偶函数()f x 为周期函数，其周期为8，当[4x ∈-，0]时，()1f x x =+，则(25)f = 0 ．【解答】解：定义域为R 的偶函数()f x 为周期函数，其周期为8，当[4x ∈-，0]时，()1f x x =+，(25)(831)f f f ∴=⨯+=（1）(1)110f =-=-+=．故答案为：0．6．（2014•四川）设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1x ∈-，1)时，242,10(),01x x f x x x ⎧-+-<=⎨<⎩，则3()2f = 1 ．【解答】解：()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，∴2311()()4()21222f f =-=-⨯-+=．故答案为：1．7．（2012•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1]上，1,10()2,011ax x f x bx x x +-<⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪+⎩其中a ，b R ∈．若13()()22f f =，则3a b +的值为 10- ．【解答】解：()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，1,10()2,011ax x f x bx x x +-<⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪+⎩，311()()1222f f a ∴=-=-，14()23b f +=；又13()()22f f =， 14123b a +∴-=① 又(1)f f -=（1），20a b ∴+=，②由①②解得2a =，4b =-；310a b ∴+=-．故答案为：10-．8．（2012•浙江）设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[0x ∈，1]时，()1f x x =+，则3()2f = 32．【解答】解：函数()f x 是定义在R 上的周期为2的函数， ∴311()(2)()222f f f =-+=-，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 11()()22f f ∴-=，又当[0x ∈，1]时，()1f x x =+， 113()1222f ∴=+=，则33()22f =．故答案为：32． 9．（2011•上海）设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3，4]上的值域为[2-，5]，则()f x 在区间[10-，10]上的值域为 [15-，11] ．【解答】解：法一：()g x 为R 上周期为1的函数，则()(1)g x g x =+ 又函数()()f x x g x =+在[3，4]的值域是[2-，5] 令6x t +=，当[3x ∈，4]时，6[9t x =+∈，10]此时，()()(6)(6)(6)()[()]6f t t g t x g x x g x x g x =+=+++=++=++ 所以，在[9t ∈，10]时，()[4f t ∈，11]⋯（1）同理，令13x t -=，在当[3x ∈，4]时，13[10t x =-∈-，9]- 此时，()()(13)(13)(13)()[()]13f t t g t x g x x g x x g x =+=-+-=-+=+- 所以，当[10t ∈-，9]-时，()[15f t ∈-，8]-⋯（2）⋯由（1）（2）⋯得到，()f x 在[10-，10]上的值域为[15-，11] 故答案为：[15-，11]法二：由题意()()f x x g x -= 在R 上成立故(1)(1)(1)f x x g x +-+=+ 所以(1)()1f x f x +-=由此知自变量增大1，函数值也增大1 故()f x 在[10-，10]上的值域为[15-，11] 故答案为：[15-，11]三．解答题（共2小题）10．（2017•上海）设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x R ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ．（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值．函数()()()h x f x g x =．证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”．【解答】（1）解：由12()()f x f x ，得331212()()()0f x f x a x x -=-， 12x x <，33120x x ∴-<，得0a ．故a 的范围是[0，)+∞；（2）证明：若()f x 是周期函数，记其周期为k T ，任取0x R ∈，则有 00()()k f x f x T =+，由题意，对任意0[x x ∈，0]k x T +，00()()()k f x f x f x T +， 00()()()k f x f x f x T ∴==+．又00()()k f x f x nT =+，n Z ∈，并且0[3k x T ⋯-，002][2k k x T x T --，00][k k x T x T --，00][x x ，00][k k x T x T ++，02]k x T R +⋯=， ∴对任意x R ∈，0()()f x f x C ==，为常数；（3）证明：充分性：若()f x 是常值函数，记1()f x c =，设()g x 的一个周期为g T ，则 1()()h x c g x =，则对任意0x R ∈，010100()()()()g g h x T c g x T c g x h x +=+==，故()h x 是周期函数；必要性：若()h x 是周期函数，记其一个周期为h T ．由()0f x >恒成立，任取0x A ∈，则必存在2N N ∈，使得020h g x N T x T --，即0[g x T -，002][h x x N T ⊆-，0]x ，0[3k x T ⋯-，002][2k k x T x T --，00][k k x T x T --，00][x x ，00][k k x T x T ++，02]k x T R +⋯=， 02[2h x N T ∴⋯-，0202][h h x N T x N T --，00][x x ，0202][h h x N T x N T ++，022]h x N T R +⋯=． 000020202()()()()()()h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==-=--， 002()()0h g x M g x N T =->，002()()0h f x f x N T ->．因此若002()()h h x h x N T =-，必有002()()h g x M g x N T ==-，且002()()h f x f x N T c =-=．而由（2）证明可知，对任意x R ∈，0()()f x f x C ==，为常数．综上，必要性得证．11．（2012•上海）已知()(1)f x lg x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x 时，()()g x f x =，求函数()([1y g x x =∈，2])的反函数．【解答】解：（1）(12)()(121)(1)(22)(1)f x f x lg x lg x lg x lg x --=-+-+=--+，要使函数有意义，则由22010x x ->⎧⎨+>⎩解得：11x -<<．由220(22)(1)11x lg x lg x lgx -<--+=<+得：221101xx -<<+， 10x +>，1221010x x x ∴+<-<+，∴2133x -<<．由112133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩，得：2133x -<<．（2）当[1x ∈，2]时，2[0x -∈，1]，()(2)(2)(2)(3)y g x g x g x f x lg x ∴==-=-=-=-，由单调性可知[0y ∈，2]lg ，又310y x =-，∴所求反函数是310x y =-，[0x ∈，2]lg ．。

高考数学第一轮复习第13讲反函数

第13讲反函数[基础篇]一、反函数的定义：1、函数存在反函数的充要条件：对于原来函数值域中的任一个y值，都有唯一x值与之对应二、求反函数的步骤：①求函数值域；②由函数解析式求x；③互换,x y；④写出反函数解析式，注明定义域三、反函数的性质有：①反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域；对称；②反函数的图像和原函数的图像关于直线y x③若原函数是奇函数，则反函数也为奇函数；④反函数与原函数的单调性一致[技能篇]例题1、（1）已知函数()10)f x x=-≤≤，求1(0.5)f-（2）求函数2102x xyxx⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩的反函数例题2、若函数11(,)1axy x x Rax a-=≠-∈+的图像关于直线y x=对称，求a的值例题3、设函数12()1xf xx-=+，函数()g x与1(1)y f x-=+的图像关于y x=对称，求(2)g例题4、已知21()()21x x a f x a R ⋅-=∈+是R 上的奇函数，（1）求a 的值；（2）求()f x 的反函数；（3）设(0,)k ∈+∞，求不等式121()log x fx k-+>的解集[竞技篇]一、填空题：1、函数223y x ax =--在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是2、若函数()f x 的反函数为12()(0)f x x x -=>，则(4)f =3、函数212(0)x y x -=≤的反函数是4、若(2,1)既在()f x =m = ；n =5、已知()32,0f x x x =->，则1[()]f f x -= ；1[()]f f x -=6、已知函数52x y x m-=+的图像关于直线y x =对称，则m = 7、如果2(1)23f x x x -=-+(0)x ≤，则1()fx -= 8、已知函数()x f x a k =+的图像经过点(1,7)，函数1(4)fx -+的图像经过点(0,0)，则()f x 的解析式为 9、已知函数()43xf x a a =-+的反函数的图象经过点()1,2-，则a =10、函数()()+∞-∈+=,112x xx y 图象与其反函数图象的交点坐标为 11、要使24y x x =+（x ≥a ）有反函数，则a 的最小值为 12、已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g二、选择题：13、若奇函数()y f x =()x R ∈有反函数1()y f x -=，则在下列点中，必在函数1()y f x -=的图像上的点是（）A 、((),)f a a -B 、((),)f a a --C 、(,())a f a --D 、1(,())a f a --14、设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，且(21)y f x =-的图像过点1(,1)2，则1()y f x -=的图像必过（）A 、1(,1)2B 、1(1,)2C 、(1,0)D 、(0,1)15、设0,1a a >≠，函数log a y x =的反函数和1log a y x =的反函数的图象关于 ( ).A x 轴对称 .B y 轴对称 .C y x =轴对称 .D 原点对称16、已知函数1()()12x f x =+，则1()f x --的图象只可能是 ( ).A .B .C.D三、解答题：17、求下列函数的反函数：（1）2()log 1(0)f x x x =+> （2） 123(1)x y x -+=-> （3）()4)f x x =≥（4）()1x f x x =- （5）⎩⎨⎧<-≥-=)0(12)0(12x x x x y （6）x x y 22+-=，(]1,∞-∈x18、设0a >且1a ≠，()log (a f x x =+(1)x ≥（1）求函数()f x 的反函数；（2）如果1*33()()2n nf n n N --+<∈，求实数a 的取值范围。

高二数学反函数试题

高二数学反函数试题1.函数的反函数是则。

【答案】。

【解析】由得，即，，则。

【考点】反函数的求法。

2.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据导数的定义可知，当点在曲线上，点在曲线上，且满足的最小值时，则点P到对数函数的距离最短，且根据导数的几何意义可知，，那么可知转化为点（1，ln2）到直线y=x的距离为，故选C.【考点】反函数的函数图象点评：本题主要考查了互为反函数的函数图象的对称性，以及导数的几何意义，曲线的切线方程的求法，同时考查了化归的思想方法，属于中档题3.函数的反函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于函数，然后互换x,y得到的解析式为,由于原函数的值域为y>2,故，故可知答案为D.【考点】反函数的求解点评：主要是考查了开平方的正负的选择，属于基础题。

4. .函数的图像与函数的图像关于直线y=x对称，则f(x)=______________.【答案】【解析】解：因为函数的图像与函数的图像关于直线y=x对称，说明互为反函数，因此f(x)= 。

5.设函数的反函数是，则的值为（）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】函数的反函数是故选A6.已知，猜想的表达式（）A．；B．；C．；D．.【答案】B【解析】略7.已知函数的反函数是，则与的取值分别是（）A．=1，="0"B．=-1，="0"C．=1，=0或=-1，D．，为任意非零实数【答案】C【解析】略8.已知函数的反函数为，则= ．【答案】2【解析】略9.．函数y=-3x+4（x R）的反函数是（）A．y = x - （x R）B．y = -x + （x R）C．y = x + （x R）D．y = -x - （x R）【答案】B【解析】略10.函数f（x）=3x（x≤2）的反函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略。

2021年高考数学试题《函数与导数》(整理版教师版)

2021年高考数学试题分类汇编：函数与导数(教师版)一、选择题1.〔安徽理3〕设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，那么(1)f =〔A 〕〔A 〕3- (B) 1- 〔Ｃ〕1 〔Ｄ〕32.(安徽理10) 函数()()1nm f x ax x =-在区间〔0,1〔B 〕〔A 〕1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==3.〔安徽文5〕假设点(a,b)在lg y x = 图像上，1a ≠,那么以下点也在此图像上的是〔D 〕〔A 〕1(,)b a (B) (10,1)a b - (C) 10(,1)b a+ (D) 2(,2)a b 4.〔北京理6〕根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间〔单位：分钟〕为()x A f x x A <=≥〔A ，c 为常数〕。

工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是〔D 〕A. 75，25B. 75，16C. 60，25D. 60，16 5.〔北京文8〕点(0,2)A ,(2,0)B ,假设点C 在函数2y x =的图象上，那么使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为〔A 〕 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6.〔福建理5〕1(2)xe x dx +⎰等于〔C 〕A ．1B ．1e -C ．eD ．1e +7.〔福建理9〕对于函数()sin f x a x bx c =++ (其中，,,a b R c Z ∈∈)，选取,,a b c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是〔D 〕A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和28.〔福建理10〕函数()xf x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是〔B 〕 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④9.〔福建文6〕假设关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，那么实数m 的取值范围是〔C 〕A ．〔－1，1〕B ．〔－2，2〕C ．〔－∞，－2〕∪〔2，＋∞〕D ．〔－∞，－1〕∪〔1，＋∞〕10.〔福建文8〕函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0 x ＋1，x≤0，假设f(a)＋f(1)＝0，那么实数a 的值等于〔A 〕A ．－3B ．－1C ．1D ．311.〔福建文10〕假设a ＞0，b ＞0，且函数32()421f x x ax bx =--+在x ＝1处有极值，那么ab 的最大值等于〔D 〕A ．2B ．3C ．6D ．912.〔广东理4〕设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，那么以下结论恒成立的是〔A 〕A ．()()f x g x +是偶函数B ．()()f x g x -是奇函数C ．()()f x g x +|是偶函数D ．()()f x g x -是奇函数 13.〔广东文10〕设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()f g x 和()()f g x •；对任意,,()()(())x R f g x f g x ∈=；()()()()f g x f x g x •=．那么以下等式恒成立的是〔B 〕 A ．(())()(()())()f g h x f h g h x •=•• B ．(())()(()())()f g h x f h g h x •=• C ． (())()(()())()fg h x f h g h x = D ．(())()(()())()f g h x f h g h x ••=•••14.〔湖北理6〕定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2xxf xg x a a -+=-+，(0,1)a a >≠，假设(2),g a =，那么(2)f = 〔B 〕A. 2B.154 C. 174D. 2a 15.〔湖北理10〕放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M 〔单位：太贝克〕与时间t 〔单位：年〕满足函数关系：300()2t M t M -=，其中0M 为0t =时铯137的含量，30t =时，铯137的含量的变化率是10ln2-〔太贝克/年〕，那么(60)M =〔D 〕A. 5太贝克B. 75ln2太贝克C. 150ln 2太贝克D. 150太贝克 16.〔湖南文7〕曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为〔B 〕A ．12-B ．12C．2- D．217.〔湖南文8〕函数2()1,()43xf x eg x x x =-=-+-假设有()()f a g b =那么b 的取值范围为〔B 〕 A．2⎡-+⎣ B．(2+ C ．[]1,3 D ．(1,3)18.〔湖南理6〕由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为〔D 〕A ．12B ．1 CD19.〔湖南理8〕设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，那么当MN到达最小时t的值为〔D 〕A ．1B ．12CD20.〔江西文4〕曲线xy e =在点A 〔0,1〕处的切线斜率为〔A 〕A.1B.2C. eD. 1e21.〔江西理3〕假设()f x =，那么()f x 定义域为〔A 〕A. 1(,0)2-B. 1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 1(,)2-+∞ D. (0,)+∞22.〔江西理4〕设2()24ln f x x x x =--，那么'()0f x >的解集为〔C 〕 A. (0,)+∞ B. (1,0)(2,)-+∞ C. (2,)+∞ D. (1,0)-23.〔江西理7〕观察以下各式：56753125,515625,578125,,===那么20115的末四位数字为〔D 〕A. 3125B. 5625C. 0625D.8125 24.〔辽宁理9〕设函数{122,11log ,1()x x x x f x -≤->=，那么满足()2f x ≤的x 的取值范围是〔D 〕A ．[]1,2-B ．[0，2]C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞25.〔辽宁理11〕函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈，'()2f x >，那么()24f x x >+的解集为〔B 〕A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞26.〔辽宁文6〕假设函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，那么a=〔A 〕A ．12 B ．23C ．34D ．1 27.〔全国Ⅰ理2〕以下函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是〔B 〕〔A 〕3y x = (B) 1y x =+ 〔C 〕21y x =-+ (D) 2xy -=28.〔全国Ⅰ理9〕由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为〔C 〕〔A 〕103 〔B 〕4 〔C 〕163〔D 〕6 29. (全国Ⅰ理12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于〔D 〕〔A 〕2 (B) 4 (C) 6 (D)830.〔全国Ⅰ文4〕曲线221y x x =-+在点〔1,0〕处的切线方程为〔A 〕〔A 〕1y x =- 〔B 〕1y x =-+ 〔C 〕22y x =- 〔D 〕22y x =-+ 31. (全国Ⅰ文9)设偶函数()f x 满足()24(0)f x x x =-≥，那么{}|(2)0x f x ->= 〔B 〕〔A 〕{}|24x x x <->或〔B 〕{}|04x x x <>或〔C 〕{}|06x x x <>或〔D 〕{}|22x x x <->或 32.〔全国Ⅱ理8〕曲线21x y e-=+在点〔0,2〕处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为〔A 〕(A)13 (B) 12 (C) 23(D) 1 33.〔全国Ⅱ理9〕设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，那么5()2f -= 〔A 〕(A) 12- (B) 14- (C) 14 (D) 1234.〔山东理9〕函数2sin 2xy x =-的图象大致是〔C 〕35.〔山东理10〕()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时, 3()f x x x =-,那么函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为〔A 〕〔A 〕6 〔B 〕7 〔C 〕8 〔D 〕936.〔山东文4〕曲线3()11f x x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是〔C 〕〔A 〕-9 〔B 〕-3 〔C 〕9 〔D 〕1537.〔陕西理3〕设函数()()f x x R ∈满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，那么函数()y f x =的图像是〔B〕38.〔陕西文4〕函数13y x =的图像是〔B 〕 39.〔上海理16〕以下函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是〔A 〕〔A 〕1lny x=. 〔B 〕3y x =. 〔C 〕2x y =. 〔D 〕cos y x =. 40.〔天津理2〕函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是〔B 〕Ａ．(2,1)-- Ｂ．(1,0)- Ｃ．(0,1) Ｄ．(1,2)41.〔天津理8〕设函数{212log ,0log (),0()x x x x f x >-<=，假设()()f a f a >-，那么实数a 的取值范围是〔C 〕Ａ．()()1,00,1- Ｂ．()(),11,-∞-+∞()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩()⎩⎨⎧≤+>=0),1(02x x f x x x f Ｃ．()()1,01,-+∞ Ｄ．()(),10,1-∞-42.〔天津文4〕函数()2xf x e x =+-的零点所在的一个区间是〔C 〕Ａ．(2,1)-- Ｂ．(1,0)- Ｃ．(0,1) Ｄ．(1,2)43.〔天津文6〕设5log 4a =，25(log 3)b =，4log 5c =，那么〔D 〕Ａ．a c b << Ｂ．b c a << Ｃ．a b c << Ｄ．b a c << 44.〔天津文10〕设函数2()2()g x x x R =-∈，那么()f x 的值域是〔D 〕Ａ． [)9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦Ｂ．[)0,+∞，Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦45.〔浙江理1〕，那么(2)(2)f f -+的值为〔B 〕A ．6B ．5C ．4D ．246.〔浙江文10〕设函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，假设1x =-为函数2()f x e 的一个极值点，那么以下图象不可能为()y f x =的图象是〔D 〕47.〔重庆理5〕以下区间中，函数()ln(2)f x x =-在其上为增函数的是〔D 〕〔A 〕(],1-∞ 〔B 〕41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 〔C 〕30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭〔D 〕[)1,248.〔重庆理10〕设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间〔0,1〕内有两个不同的根，那么m+k 的最小值为〔D 〕〔A 〕-8 〔B 〕8 (C)12 (D) 13 49. (重庆文7)假设函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值,那么a = 〔C 〕(A) 1+(B) 1(C) 3 (D) 4 二、填空题50.〔天津理16〕设函数2()1f x x =-．对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，那么实数m 的取值范围是3,,2m ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．51.〔四川理16〕函数()f x 的定义域为A ，假设12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，那么称()f x 为单函数．例如，函数()21()f x x x R =+∈是单函数．以下命题： ①函数2()f x x =〔x ∈R 〕是单函数；②假设()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，那么12()()f x f x ≠； ③假设f ：A→B 为单函数，那么对于任意b B ∈，它至多有一个原象； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，那么()f x 一定是单函数．52. 〔上海理13〕设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，假设函数()()f x x g x =+在区间[]3,4上的值域为[]2,5-，那么()f x 在区间[]10,10-上的值域为[15,11]-53.〔陕西理11〕设20lg 0()30ax x f x x t dt x>⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰，假设()(1)1ff =，那么a = 1 ．54.〔陕西理12〕设n N +∈，一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n =3或4 55.〔山东理16〕函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数()f x 的零点0(,1),x n n n N +∈+∈，那么n =5 .56.〔辽宁文16〕函数()2xf x e x a =-+有零点，那么a 的取值范围是_(,2ln 22]-∞-__．57.〔江苏8〕在平面直角坐标系xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数2()f x x=的图象交于P 、Q 两点，那么线段PQ 长的最小值是___4_____.58.〔江苏12〕在平面直角坐标系xoy 中，点P 是函数()(0)xf x e x =>的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点2/22()626()66a a f x x axb x b =++=++-的纵坐标为t ，那么t 的最大值是__11()2e e +___ 59.〔广东理12〕函数32()31f x x x =-+在x = 2 处取得极小值.60.〔北京理13〕函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，假设关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是____〔0,1〕____.三、解答题1. (重庆文19)设32()21f x x ax bx =+++的导数为'()f x ,假设函数'()y f x =的图象关于直线12x =-对称，且'(1)0f =.]。

2019高职高考数学复习-反函数

【分析】因为函数 y=f(x)和其反函数 y=f (x)的图象关于直线 y=x 对称, 所以反函数的图象经过点(-3, -2), 亦即原函数的图象经过点(-2, -3), 而且一次函数 y=kx+b 的图象经过点(1, 3), 因 �� + �� = �� 此有解之可得 k, b.请同学们自己写解答过程. −�� + �� = −�� + �� = �� 【解】由已知可得: 解得: k=2, b=1 −�� + �� = −�� ∴所求函数为 y=2x+1
4.5 反函数
【复习目标】 1.理解反函数概念,掌握反函数性质. 2.会求简单函数的反函数. 【知识回顾】 1.定义:已知一个函数y=f(x),设其定义域为A,值域为C,根据 y=f(x)中y与x的关系,用y表示x,得x=φ(y),如果对于y在C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么就得到一个定义在C上的,以y为自变量的新函数x=φ(y),这个新函数叫做函数y=f(x)的反函数,通常记作x=f-1(y). 在函数x=f-1(y)中,y表示自变量,x表示因变量.但是习惯上,我们用x表示自变量,用y表示因变量.这样y=f(x)的反函数记作 y=f-1(x),函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数. 2.函数y=f(x)和其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称. 3.函数的定义域和值域分别是它的反函数的值域和定义域.
【同步训练】
一、选择题 1.函数 y=2x-1 的反函数是 A.x=2y+1 B.y=
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专题三函数(教师版)--2020-2023高考真题数学专题分类汇编

专题三函数真题卷题号考点考向2023新课标1卷4函数的基本性质复合函数的单调性、已知函数单调性求参10对数运算、对数函数对数运算、对数函数解决实际问题11函数的基本性质、函数的极值抽象函数的奇偶性、求抽象函数的函数值、极值点定义2023新课标2卷4函数的基本性质利用奇偶性求参2022新高考1卷12函数的基本性质对称性、周期性的综合应用2022新高考2卷8函数的基本性质奇偶性、周期性的综合应用2021新高考1卷13函数的基本性质利用奇偶性求参2021新高考2卷7比较大小利用对数函数的单调性比较大小8函数的基本性质奇偶性、周期性的综合应用14函数的基本性质基本初等函数的性质2020新高考1卷6指数运算、对数运算指数、对数运算解决实际问题8函数的基本性质单调性、奇偶性的综合应用2020新高考2卷7函数的单调性与最值利用单调性求参数的取值范围8函数的基本性质单调性、奇偶性的综合应用12对数函数新定义问题、对数运算、对数函数的性质、不等式的性质【2023年真题】1.（2023·新课标I 卷第4题）设函数()()2x x a f x -=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是()A.(,2]-∞-B.[2,0)-C.(0,2]D.[2,)+∞【答案】D 【解析】【分析】本题考查复合函数的单调性，为较易题.【解答】解：结合复合函数单调性的性质，易得12a，所以a 的取值范围是[2,);+∞故选.D 2.（2023·新课标II 卷第4题）若21()()ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则a =()A.1-B.0C.12D.1【答案】B 【解析】【分析】本题考查利用函数的奇偶性求解函数的解析式，为基础题.【解答】解：()f x 为偶函数，(1)(1)f f =-，1(1)ln(1)ln 33a a ∴+=-+，0a ∴=，故选.B 3.（2023·新课标I 卷第10题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lgp pL p =⨯，其中常数00(0)p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则()A.12p pB.2310p p > C.30100p p = D.12100p p 【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了对数函数的实际应用，属于中档题.利用公式声压级公式结合每种汽车声压级范围计算即可逐项判断.【解答】解：1211200220lg20lg 20lg 0p p p L L p p p -=⨯-⨯=⨯> ，121pp ∴>，12p p ∴>，所以A 正确;223320lg 10p L L p -=⨯ ，231lg 2pp ∴，1223p e p ∴，所以B 错误;33020lg40p L p =⨯= ，30100pp ∴=，所以C 正确;112220lg905040p L L p -=⨯-= ，12lg 2p p ∴，12100pp ∴，所以D 正确．故选ACD4.（2023·新课标I 卷第11题）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则()A.(0)0f =B.(1)0f =C.()f x 是偶函数 D.0x =为()f x 的极小值点【答案】ABC 【解析】【分析】本题主要考查抽象函数的奇偶性、函数的极值点，属中档题.通过赋值法，可判断ABC 选项.对于D 选项可设常函数()0f x =，进行排除.【解答】解：选项A ，令0x y ==，则(0)0(0)0(0)f f f =⨯+⨯，则(0)0f =，故A 正确;选项B ，令1x y ==，则(1)1(1)1(1)f f f =⨯+⨯，则(1)0f =，故B 正确;选项C ，令1x y ==-，则22(1)(1)(1)(1)(1)f f f =-⨯-+-⨯-，则(1)0f -=，再令1y =-，则22()(1)()(1)f x f x x f -=-+-，即()()f x f x -=，故C 正确;选项D ，不妨设()0f x =为常函数，且满足原题22()()()f xy y f x x f y =+，而常函数没有极值点，故D 错误.故选：.ABC【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷第12题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域为R ，记()().g x f x ='若3(2)2f x -，(2)g x +均为偶函数，则()A.(0)0f =B.1(02g -= C.(1)(4)f f -= D.(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】【分析】本题主要考查导函数与原函数的关系，函数的对称性及奇偶性，属于难题.利用函数的奇偶性及周期性，导函数与原函数的关系逐项分析即可.【解答】解：由3(2)2f x -为偶函数可知()f x 关于直线32x =对称，由(2)g x +为偶函数可知()g x 关于直线2x =对称，结合()()g x f x ='，根据()g x 关于直线2x =对称可知()f x 关于点(2,)t 对称，根据()f x 关于直线32x =对称可知：()g x 关于点3(,0)2对称，综上，函数()f x 与()g x 均是周期为2的周期函数，所以有(0)(2)f f t ==，所以A 不正确;(1)(1)f f -=，(4)(2)f f =，(1)(2)f f =，故(1)(4)f f -=，所以C 正确.13()(022g g -==，(1)(1)g g -=，所以B 正确;又(1)(2)0g g +=，所以(1)(2)0g g -+=，所以D 不正确.6.（2022·新高考II 卷第8题）若函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，(1)1f =，则221()k f k ==∑()A.3-B.2- C.0D.1【答案】A 【解析】本题考查函数性质的应用，涉及函数的周期与赋值法的应用。

2022高考数学真题分专题训练专题07 函数的综合运用(教师版含解析)

专题07 函数的综合运用1.(2021年北京卷数学试题)已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，则()f x 有两个零点；②0k ∃<，使得()f x 有一个零点；③0k ∃<，使得()f x 有三个零点；④0k ∃>，使得()f x 有三个零点．以上正确结论得序号是_______．【答案】①②④【解析】【分析】由()0f x =可得出lg 2x kx =+，考查直线2y kx =+与曲线()lg g x x =的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当0k =时，由()lg 20f x x =-=，可得1100x =或100x =，①正确；对于②，考查直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<相切于点(),lg P t t -，对函数lg y x =-求导得1ln10y x '=-，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得100100lg e t k e e ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以，存100lg 0k e e=-<，使得()f x 只有一个零点，②正确；对于③，当直线2y kx =+过点()1,0时，20k +=，解得2k =-，所以，当100lg 2e k e-<<-时，直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点，若函数()f x 有三个零点，则直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点，直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>有一个交点，所以，100lg 220e k e k ⎧-<<-⎪⎨⎪+>⎩，此不等式无解，因此，不存在0k <，使得函数()f x 有三个零点，③错误；对于④，考查直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>相切于点(),lg P t t ，对函数lg y x =求导得1ln10y x '=，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得100lg 100t e e k e =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以，当lg 0100e k e<<时，函数()f x 有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：(1)转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；(2)列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；(3)得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．。

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反函数一．选择题（共10小题）1．（2016•全国）函数21log ((1,)1y x x =∈+∞-的反函数是( ) A ．21()x y x R -=+∈ B ．12((1,))x y x -=-∈+∞C ．12()xy x R -=∈D ．112(,1)x y x R x -=∈≠2．（2015•全国）设()y f x =是212x x y --=+的反函数，则1()(5f = )A ．4B ．2C ．12D ．143．（2015•上海）函数2(1)y x x =的反函数为( )A ．1)y x =B ．1)y x =-C ．0)y x =D ．0)y x =4．（2013•上海）函数2()1(0)f x x x =-的反函数为1()f x -，则1f -（2）的值是( )A B ．C ．1+D ．1-5．（2013•上海）设1()f x -为函数()f x 的反函数，下列结论正确的是( ) A ．1f -（2）2=B ．1f -（2）4=C ．1f -（4）2=D ．1f -（4）4=6．（2012•上海）记函数()y f x =的反函数为1()y f x -=．如果函数()y f x =的图象过点(1,0)，那么函数1()1y f x -=+的图象过点( ) A ．(0,0)B ．(0,2)C ．(1,1)D ．(2,0)7．（2011•全国）函数11(1)1y x x =+>-+的反函数为( ) A ．11(1)1y x x =+>- B ．11(1)1y x x =+>-+C ．11(1)1y x x =->-+ D ．11(1)1y x x =->- 8．（2011•四川）已知()f x 是R 的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．9．（2011•四川）函数1()12x y =+的图象关于直线y x =对称的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．10．（2010•江西）若函数1axy x=+的图象关于直线y x =对称，则a 为( ) A ．1B ．1-C ．1±D ．任意实数二．填空题（共14小题）11．（2020•上海）已知()f x =，其反函数为1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为．12．（2019•上海）函数2()(0)f x x x =>的反函数为．13．（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()1()f x og x a =+．若()f x 的反函数的图象经过点(3,1)，则a = ． 14．（2017•上海）定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-=⎨>⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为．15．（2016•上海）已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图象上，则()f x 的反函数1()f x -= ． 16．（2016•上海）函数1()f x a x=+的反函数的图象经过点(2,1)，则实数a = ． 17．（2015•上海）设1()f x -为()21xf x x =+的反函数，则1f -（2）= ． 18．（2015•上海）设1()f x -为2()22x xf x -=+，[0x ∈，2]的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为． 19．（2014•上海）函数11y x =+的反函数为．20．（2013•上海）对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|()g I y y g x ==，}x I ∈．已知定义域为[0，3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且1([0,1))[1f -=，2)，1((2,4])[0f -=，1)．若方程()0f x x -=有解0x ，则0x = ．21．（2011•上海）若函数()21f x x =+的反函数为1()f x -，则1(2)f --= ． 22．（2011•上海）函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= ． 23．（2010•上海）（上海卷理8)对任意不等于1的正数a ，函数()log (3)a f x x =+的反函数的图象都经过点P ，则点P 的坐标是24．（2010•上海）函数3()log (3)f x x =+的反函数的图象与y 轴的交点坐标是．三．解答题（共3小题）25．（2018•上海）设0a >，函数1()12xf x a =+（1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -（2）求函数()()y f x f x =-的最大值（用a 表示）（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，求a 的取值范围26．（2014•上海）设常数0a ，函数2()2x x af x a+=-．（1）若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由． 27．（2010•上海）已知函数()log (82)(0x a f x a =->且1)a ≠ （1）若函数()f x 的反函数是其本身，求a 的值；（2）当1a >时，求函数()()y f x f x =+-的最大值．反函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•全国）函数21log ((1,)1y x x =∈+∞-的反函数是( ) A ．21()x y x R -=+∈ B ．12((1,))x y x -=-∈+∞C ．12()xy x R -=∈ D ．112(,1)x y x R x -=∈≠【解答】解：函数21log ((1,)1y x x =∈+∞-， ∴121y x =-，1122y y x -∴-==， 21y x -∴=+，x ，y 互换，得函数21log ((1,)1y x x =∈+∞-的反函数是：21xy -=+，x R ∈．故选：A ．2．（2015•全国）设()y f x =是212x x y --=+的反函数，则1()(5f = )A ．4B ．2C ．12D ．14【解答】解：212x xy --=+，∴121x y y =-，∴12xy y -=， 21()yx log y-∴=，()y f x =是212xxy --=+的反函数， x ∴，y 互换，得：21()()xf x log x-=，01x <<，221115()()log 42155f log -∴===．故选：B ．3．（2015•上海）函数2(1)y x x =的反函数为( ) A ．1)yx =B ．1)y x =-C ．0)yx =D ．0)y x =【解答】解：由2(1)y x x =，得1)x y=，x ，y 互换，得1)y x =．∴函数2(1)y x x =的反函数为1)y x =．故选：A ．4．（2013•上海）函数2()1(0)f x x x =-的反函数为1()f x -，则1f -（2）的值是( )A B ．C ．1+D ．1-【解答】解：由题意令221(0)x x =-，解得x =所以1f -（2）．故选：A ．5．（2013•上海）设1()f x -为函数()f x 的反函数，下列结论正确的是( ) A ．1f -（2）2= B ．1f -（2）4=C ．1f -（4）2=D ．1f -（4）4=【解答】解：1()f x -为函数()f x =的反函数，12()f x x -∴=，(0)x ，1f -∴（2）4=，1f -（4）16=，故选：B ．6．（2012•上海）记函数()y f x =的反函数为1()y f x -=．如果函数()y f x =的图象过点(1,0)，那么函数1()1y f x -=+的图象过点( ) A ．(0,0) B ．(0,2)C ．(1,1)D ．(2,0)【解答】解：()y f x =的图象过点(1,0)，∴其反函数1()y f x -=必过点(0,1)，即1(0)1f -=，1()1y f x -∴=+的图象过点(0,2)．故选：B ．7．（2011•全国）函数11(1)1y x x =+>-+的反函数为( ) A ．11(1)1y x x =+>- B ．11(1)1y x x =+>-+C ．11(1)1y x x =->-+ D ．11(1)1y x x =->- 【解答】解：函数11(1)1y x x =+>-+， 111x y ∴=--，1y >，互换x ，y ，得到函数11(1)1y x x =+>-+的反函数为：11(1)1y x x =->-．故选：D ．8．（2011•四川）已知()f x 是R 的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：()f x 是R 的奇函数，故()f x 的反函数也为奇函数，又0x >时，1()()12x f x =+，此时其反函数112()log (1)(12)f x x x -=-<<，分析四个答案，发现只有A 答案满足条件，故选：A ．9．（2011•四川）函数1()12x y =+的图象关于直线y x =对称的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数1()12x y =+反函数为12log (1)y x =-其图象过(2,0)点，且在定义域(1,)+∞为减函数分析四个答案发现只能A 满足要求故选：A ．10．（2010•江西）若函数1axy x=+的图象关于直线y x =对称，则a 为( )A ．1B ．1-C ．1±D ．任意实数【解答】解：函数1axy x=+的图象关于直线y x =对称 ∴利用反函数的性质，依题知(1,)2a 与(2a ，1)皆在原函数图象上，(1,)2a 与(2a，1)为不同的点，即2a ≠；∴2112a a a ⨯=+ 1a ∴=-或2a =（舍去）故选：B ．二．填空题（共14小题）11．（2020•上海）已知()f x =，其反函数为1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为3[4，)+∞ ．【解答】解：因为1()y f x a -=-与()y f x a =+互为反函数，若1()y f x a -=-与()y f x a =+有实数根，则()y f x a =+与y x =有交点，x =，即221331()244a x x x =-+=-+，故答案为：3[4，)+∞．12．（2019•上海）函数2()(0)f x x x =>的反函数为 1()0)f x x -=> ．【解答】解：由2(0)y xx =>解得x =， 1()0)f x x -∴=>故答案为1f - ()0)x x =>13．（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()1()f x og x a =+．若()f x 的反函数的图象经过点(3,1)，则a = 7 ．【解答】解：常数aR ∈，函数2()1()f x og x a =+．()f x 的反函数的图象经过点(3,1)，∴函数2()1()f x og x a =+的图象经过点(1,3)，2log (1)3a ∴+=，解得7a =．故答案为：7．14．（2017•上海）定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-=⎨>⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为89．【解答】解：若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-=⎨>⎩为奇函数，可得当0x >时，0x -<，即有()31x g x --=-，由()g x 为奇函数，可得()()g x g x -=-，则()()13x g x f x -==-，0x >，由定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，且1()2f x -=，可由f （2）28139-=-=，可得1()2f x -=的解为89x =．故答案为：89．15．（2016•上海）已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图象上，则()f x 的反函数1()f x -= 2log (1)(1)x x -> ．【解答】解：点(3,9)在函数()1x f x a =+的图象上，391a ∴=+，解得2a =．()12x f x ∴=+，由12x y +=，解得2log (1)x y =-，(1)y >．把x 与y 互换可得：()f x 的反函数12()log (1)f x x -=-．故答案为：2log (1)x -，(1)x >． 16．（2016•上海）函数1()f x a x=+的反函数的图象经过点(2,1)，则实数a = 1 ．【解答】解：函数1()f x a x=+的反函数的图象经过点(2,1)， ∴函数1()f x a x=+的图象经过点(1,2)， 121a ∴=+，解得1a =．故答案为：1．17．（2015•上海）设1()f x -为()21x f x x =+的反函数，则1f -（2）= 23- ．【解答】解：由()21xy f x x ==+，得12y x y =-，x ，y 互换可得，12x y x =-，即1()12xf x x-=-． ∴122(2)1223f -==--⨯．故答案为：23-．18．（2015•上海）设1()f x -为2()22x xf x -=+，[0x ∈，2]的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为 4 ．【解答】解：由2()22x xf x -=+在[0x ∈，2]上为增函数，得其值域为1[,2]4，可得1()y f x -=在1[,2]4上为增函数，因此1()()y f x f x -=+在1[,2]4上为增函数，1()()y f x f x -∴=+的最大值为f （2）1f -+（2）1124=++=．故答案为：4．19．（2014•上海）函数11y x =+的反函数为 11(0)y x x=-≠ ．【解答】解：由函数11y x =+解得11(0)x y y =-≠，把x 与y 互换，可得原函数的反函数为11(0)y x x=-≠．故答案为：11(0)y x x=-≠． 20．（2013•上海）对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|()g I y y g x ==，}x I ∈．已知定义域为[0，3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且1([0,1))[1f -=，2)，1((2,4])[0f -=，1)．若方程()0f x x -=有解0x ，则0x =2 ．【解答】解：因为(){|()g I y y g x ==，}x I ∈，1([0,1))[1f -=，2)，1(2,4])[0f -=，1)，所以对于函数()f x ，当[0x ∈，1)时，()(2f x ∈，4]，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；当[1x ∈，2)时，()[0f x ∈，1)，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；所以当[0x ∈，2)时方程()0f x x -=即()f x x =无解，又因为方程()0f x x -=有解0x ，且定义域为[0，3]，故当[2x ∈，3]时，()f x 的取值应属于集合(,0)[1-∞，2](4,)+∞，故若00()f x x =，只有02x =，故答案为：2．21．（2011•上海）若函数()21f x x =+的反函数为1()f x -，则1(2)f --= 32- ．【解答】解：设0()2f x =-，即0212x +=-，解得032x =-故答案为32-22．（2011•上海）函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= 12xx+，(0)x ≠ ．【解答】解：设12y x =-，可得21xy y -=， 12xy y ∴=+，可得12y x y +=，将x 、y 互换得112()xf x x-+=．原函数的值域为{|0}y y y ∈≠，∴112()xf x x -+=，(0)x ≠ 故答案为：12xx+，(0)x ≠ 23．（2010•上海）（上海卷理8)对任意不等于1的正数a ，函数()log (3)a f x x =+的反函数的图象都经过点P ，则点P 的坐标是 (0,2)-【解答】解：函数()log a f x x =恒过(1,0)，将函数()log a f x x =向左平移3个单位后，得到()log (3)a f x x =+的图象故()log (3)a f x x =+的图象过定点(2,0)-，又由互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称，所以其反函数的图象过定点(0,2)- 故答案为：(0,2)-24．（2010•上海）函数3()log (3)f x x =+的反函数的图象与y 轴的交点坐标是 (0,2)- ．【解答】解：法一：由函数3()log (3)f x x =+的得其反函数为33x y =-，令0x =，得2y =-，即函数3()log (3)f x x =+的反函数的图象与y 轴的交点坐标是(0,2)-；法二：由已知，函数3()log (3)f x x =+图象与x 轴交点为(2,0)-，因为互为反函数的函数图象关于y x =对称，∴函数3()log (3)f x x =+的反函数的图象与y 轴的交点为(0,2)-．答案：(0,2)-三．解答题（共3小题）25．（2018•上海）设0a >，函数1()12xf x a =+（1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -（2）求函数()()y f x f x =-的最大值（用a 表示）（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，求a 的取值范围【解答】解：（1）当1a =时，1()12xf x =+， 112x y ∴+=，即1121x y y y-=-=，则01y <<， 21log ()y x y-∴=；故()f x 的反函数121()log ()x f x x--=，(0,1)x ∈ （2）2111()()12121(22)x x x x y f x f x a a a a --=-==+++++，设22x x y -=+，易知，函数22x x y -=+在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，则当0x =时，22x x y -=+有最小值，最小值为2， ∴当0x =时，()()y f x f x =-有最大值，221112(1)max y a a a ∴==+++；（3）111()()(1)1212x x g x f x f x a a -=--=-++，令2x t a =，(x ∈-∞，0]，0a >，0t a ∴<． 21()2323t h t t t t t--∴==++++，当2a 时()h t 在(0，]a 上单调递减，所以2()()32min a h t h a a a -==++ 对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，且11(0)1112g a a =-++，∴211132112a a a a a --++++恒成立，02a ∴<当a 1()223223g x t t --+，令2113113212a a a a a --=++++不恒成立，舍去综上，a 的取值范围是(0．26．（2014•上海）设常数0a ，函数2()2x x a f x a+=-．（1）若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由．【解答】解：（1）4a =， ∴24()24x x f x y +==- ∴4421x y y +=-， ∴2441y x log y +=-， ∴调换x ，y 的位置可得1244()1x y f x log x -+==-，(x ∈-∞，1)(1-⋃，)+∞．（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-对任意x 均成立， ∴2222x x x x a a a a--++=--，整理可得(22)0x x a --=． 22x x --不恒为0，0a ∴=，此时()1f x =，x R ∈，满足条件；若()f x 为奇函数，则()()f x f x =--对任意x 均成立， ∴2222x x x x a a a a--++=---，整理可得210a -=， 1a ∴=±，0a ，1a ∴=，此时21(),021x x f x x +=≠-，满足条件；当0a >且1a ≠时，()f x 为非奇非偶函数综上所述，0a =时，()f x 是偶函数，1a =时，()f x 是奇函数．当0a >且1a ≠时，()f x 为非奇非偶函数27．（2010•上海）已知函数()log (82)(0x a f x a =->且1)a ≠（1）若函数()f x 的反函数是其本身，求a 的值；（2）当1a >时，求函数()()y f x f x =+-的最大值．【解答】解：（1）函数()log (82)x a f x =-，()82x f x a ∴-=，)(82log y a x -=，故反函数为(8)2log x a y -=，(8)2log (82)log x x a a -∴-=，2a ∴=．（2）当1a >时，由题意知，820x ->，3x ∴<，函数()()y f x f x =+-的定义域(3,3)-，函数(82)(658(22))()()log (82)log log x x x x a a a y f x f x ----+=+-=-+=，222x x -∴+，当且仅当0x =时，取等号．0658(22x x -∴<-+ )49，当1a >时，函数()()y f x f x =+-在0x =处取得最大值log 49a ．。