2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)
2016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为 ．2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ．3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ．4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为 ．5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++-+=则直线l 的方程为 ．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为 ．8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a L 的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．。
全国高中数学联赛B卷试题及答案
2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为 ． 答案：6．解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.a a += 另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因 而240a a +>，从而24 6.a a +=2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ． 答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知，比较虚、实部得220,230.a b a ab b -+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =-，进而b ==于是，满足条件的复数z 的积为33 3.22⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为 ．答案：2016.解：由条件知()()002,f g += ① ()()22818190.f g +=++= ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=-结合①知，()()()()22400 2.f g f g --=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =⨯=另解：因为()()391x f x g x x +=++， ①所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以()()2.f x f x =- ③又因为()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x -=-，()()1212g x g x ⎡⎤-++=-++⎣⎦，从而()()2 4.g x g x =--- ④将③、④代入①，再移项，得()()3229 5.x f x g x x ---=++ ⑤在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g -= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g =5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ⨯=过所求的概率为6012.12525p == 6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++-+=则直线l 的方程为 ．答案：2450.x y -+= 解：12,C C 的标准方程分别为由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a =->解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O -直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由此可得直线l 的方程是2450.x y -+=7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为 ．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OV 的方向为,,x y z 轴的正向， 建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而由条件知111112,,,,,222333M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．解：由于对任意整数n ，有等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡-，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =-=共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()m o d x y m ≡，则.x y m m ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故 因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭才成立．而201612168=⨯，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程 的两个不同的解，求12100a a a 的值．解 对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即因此，5051lg ,lg a a 是一元二次方程210020t t --=的两个不同实根，从而()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.a a =由等比数列的性质知，()5015010012100505110a a a a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=； （2）求cos C 的最小值．解 （1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB AC cb A +-⋅==同理得，222222,.22a cb a bc BA BC CA CB +-+-⋅=⋅=故已知条件化为即22223.a b c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得等号成立当且仅当::a b c 因此cos C11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解 过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C交于点((00,,P a Q a （注意这里1a >），2l 与C 交于点()()001,0,1,0,R S -由条件知00002PQ R S ==，解得a这意味着符合条件的a下面验证a =事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l 与C 只有一个交点）．联立1l 与C的方程知，(22210,x k x --=即这是一个二次方程式，其判别式为2440k ∆=+>．故1l 与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，用1k -代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k --+-+=⋅=---于是.PQ RS= 综上所述，a =加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足： （1）221,1,2,,2016k k x y k +==； （2）122016y y y +++是奇数．求122016x x x +++的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,k k x y k ≤≤=于是（注意0i x ≥）()2016201620162016201622211111120162016.kkkkk k k k k k x xy yy =====≥=-=-≥-∑∑∑∑∑ ①不妨设112016,,0,,,0,02016,m m y y y y m +>≤≤≤则 若11mk k y m =>-∑，并且201612015,k k m y m =+->-∑令则0,1,a b <<于是由条件（2）知，20161k k y =∑是奇数，所以a b -是奇数，这与0,1a b <<矛盾．因此必有11m k k y m =≤-∑，或者201612015,k k m y m =+-≤-∑则于是结合①得201611.k k x =≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x x x x y y y y ==========时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅的不超过k 的正约数的集合是.A B若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d '=，则|d n '，d '是奇数，又2kd k '≤<，故,d A '∈从而.B A ≤所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此， 点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠=，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知.PM MQ GM MC ⋅=⋅ ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有 因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅ ②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆． 又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论： 情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<<是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b 是A 中的全部非负元素，12,,,l c c c 是A 中的全部负元素．不妨设 其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有 它们是B 中的110k l +-=个元素，且非正数；又有 它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+=由此可知，17.B ≥另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则 是个17元集合．综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。
2016年全国高中数学联赛试题
2016年全国高中数学联赛试题一、填空题1．设实数a 满足3911||a a a a <-<，则a 的取值范围是____________. 【解】由于||,0a a a <\<，3911||a a a a <-<?33911,911,a a a a a a ì<-ïí-<-ïî解之得，2310(,)33a ?-2.设复数,z w 满足||3z =，()()74i z w z w +-=+，其中i 是虚数单位，,z w 分别是,z w 的共轭复数，则(2)(2)z w z w +-的模为_____________. 【解】222222()()||||74i,||||,||||7,4iz w z w z w zw zw z w z w zw zw +-=-+-=+-蝄-=-=||3z =，22||9,||2z w ==，22(2)(2)||4||2()988i 18i z w z w z w zw zw +-=-+-=-+=+， |(2)(2)|1+64=65z w z w +-=.【点评】2Re ,2Im z z z z z z +=-=3.正数,,u v w 均不等于1，若l o g l o g 5,l o gl o g 3u vvwv w w u v +=+=.则log w u =_______.【解】log u let v a =，log v w b =,由于lg lg lg log log log 1lg lg lg u v u v w wv w w u v u鬃==，Then 1log w u ab =，11log log 5,log log 3u v v w vw w a b ab u v a b+=++=+=+=， 14log 5w u ab \==. 【点评】换元法.4.袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币，现随机从两个袋子中各取两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率是_________________.【解】A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币ÛA 中取走的纸币面值之和小于B 中取走的纸币之和，当袋子A 中取走2张1元时，有233C =种取法，只要B 不取2张1元即可，有227318C C -=，其余情况均不符合题意，故2223732257()9()35C C C P A C C -==.5.设P 为一圆锥的顶点，,,A B C 是底面圆周上的三点，满足090ABC?，M 为AP 的中点.若1,2,2AB AC AP ===，则二面角M BC A --的大小为______________.【解】122tan 3134MN M BC A NB <-->===´,2arctan 3M BC A <-->=.6.设函数44()sins 1010kx kxf x co =+，其中k 是一个正整数.若对任意实数a ，均有{()|1}{()|}f x a x a f x x R <<+=?，则k 的最小值是___________. 【解】4422222221cos 115()sin s (sin s )2sin s 1sin 11010101010102522kxkx kx kx kx kx kx kx f x co co co -=+=+-=-=-312cos 445kx =+, 当且仅当5()m x m Z kp=?时，()f x 取到最大值，对于任意一个长为1的区间(,1)a a +至少包含一个最大值点，从而51,5k kpp <>. 反之，当5k p >时，对于任意一个区间(,1)a a +均包含()f x 的一个完整周期，此时，{()|1}{()|}f x a x a f x x R <<+=?成立，综上，正整数k 的最小值为[5]116p +=. 7.设w 为正实数，若存在,a b (2)a b p p ??，使得sin sin 2a b w w +=，则w 的取值范围是______________【解】sin sin 2a b w w +=，sin sin 1a b w w ==， 因为2ab p p ??，所以2a b w p w w w p ??，若存在,a b (2)ab p p ??，使得sin sin 2a b w w +=，则22l 222k p pw p pp w p ?<+?， 当4w ³时，[,2]w p w p 区间长度不小于4p ，必存在,k l ； 当04w <<时，[,2](0,8)w p w p p Ì， 当5222p p w p w p ??，1524w w ３且，无解，舍； 当59222p p w p w p ??，9542w ＃； 当913222p p wp w p ??，139134424w w ＃＃，， 综上，9513[,][,)424w 稳+?. 8.9.（16分）若实数a 、b 、c 满足242abc+=，424abc+=，求c 的最小值. 【解】设22,2abcx y z ===，则222,x y z x y z +=+=，则22222242331113()2,210,2222444y y z y y z y z y y z yz y z y y y -+=-++=-++==+=++匙25log 33c ?.【题目】在ABC D 中，已知：23AB AC BA BC CA CB ???.求sin C 的最大值.（A 卷）【解】23AB AC BA BCCA CB ???，即cos 2cos 3cos bc A ca B ab C +=，由余弦定理，22222222223222b c a c a b a b c bc ca ab bc ca ab+-+-+-+=，化简，得22223a b c +=，222222222222222233333cos 22223a b a b a b a b a b c A ab ab ab ab+×+-++-===?， 27sin 1cos 3A A \=-?.10.已知：()f x 为上的奇函数，(1)1f =，且对任意0x <，均有()()1xf xf x x =-. 求1111111(1)()()()()()()()1002993985051f f f f f f f f ++++的值. 【解】先求函数()f x 的解析式. 因为对任意0x <，均有()()1xf xf x x =-，令1x n=-，则111111()()()()111n f f ff n nn n nn-==--=+--，（叠乘） 则1111()()()()11111122()(1)11111122(1)!()()()()1231f f f f n n n f f n n n n f f f f n n n --==鬃?------， 下面求1111111(1)()()()()()()()1002993985051f f f f f f f f ++++， 原式=11110!99!1!98!2!97!49!50!++++鬃鬃012499999999901299999999999899!99!99!99!1()0!99!1!98!2!97!49!50!99!1()99!11=()299!2=99!C C C C C C C C =++++鬃鬃=++++++++11.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x 轴正半轴上一个动点，以F 为焦点、O 为顶点作抛物线C .设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 是为C 的切线，【解】2212x y +=,两焦点1(1,0)F -，2(1,0)F ，设直线:l y kx b =+， 22221,22()2,x y x kx b y kx b ìï+=ï?+=í=+ïïî，222(12)4(22)0k x kbx b +++-=， 由A B 、不重合，故直线l 的斜率存在，故12,x x 是方程的两个不等实根，2222164(12)(22)0k b k b D=-+->，2221k b +>①， 1111AF y k x =+，l k k =，1221BF y k x =+， 由于直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，所以1212211y yk x x +=++， 即122112()(1)()(1)2(1)(1)kx b x kx b x k x x +++++=++，12()(2)0k b x x -++=，若k b =，则直线:(1)l y k x =+经过1(1,0)F -，与题意矛盾， 故122x x +=-， 由韦达定理，122412kb x x k +=-+，故24=212kb k +，12b k k=+②， 由①，②得222221121()124k b k k k k+>=+=++，2||2k >， 焦点2F 到直线l 的距离为d ，故2222||1111|2||2|221111k b d k kkk k k +==+=++++， 注意到2||2k >， 令211t k =+，则(1,3)t Î， 故21313()()222t d t t t=+=+在区间[1,3]上单调减，故(3)(1)(3,2)f d f d<<尬.加试【题目】设122016,,,a a a Î满足21911(1,2,,2015)i i a a i +>=.求222212232015201620161()()()()a a a a a a a a ----的最大值.【解】推广成一般情况：设12,,,n a a a Î满足21911(1,2,,)i i a a i n +>=.let 11n a a +=.求2222122311()()()()n n n a a a a a a a a -----的最大值.22222222212231111122311()()()()nnn ni i n n n i i n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n -==-骣-琪骣-+-++-+-琪琪----?琪琪桫琪琪桫邋221111()(1)124nnnn nni i i i i i i i i n a a a a a a n n n ===骣骣+-骣骣琪琪--琪琪琪琪桫琪琪琪==?琪琪琪琪琪琪琪琪琪桫桫桫å邋, If and only if 2222122311()()()()n n n a a a a a a a a --=-==-=- and 1i i a a =-,So 1(1,2,,)2i a i n ==.【题目】如图所示，在ABC D 中，,X Y 是直线BC 上两点(,,,)X B C Y 顺次排列，使得BX AC CY AB ??（2016全国高中数学联赛加试2题）设ACX D ，ABY D 的外心分别是12,O O ，直线12O O 与,AB AC 分别交于,U V . 证明：AUV D 是等腰三角形.【证明】作BAC Ð平分线，交BC 于P ，BX AB BP PXBX AC CY ABBP PY CP PX CY AC PC PY?邹===拮=?， 即P 关于圆ABY 的幂等于P 关于圆AXC 的幂，P 在圆ABY 与圆AXC 的根轴上，12AP O O ^，AUV D 是等腰三角形.【法2】分别作12,,O O O 在BC 上的射影12,,D D D ，1111112sin sin 2BXDD DD BXOO RAB D O O ACB AB R====行（其中R ABC D 为外接圆半径）， 同理，2CYOO RAC=，因为BX AC CY AB ??，所以12OO OO =， 因为，同0112,90O O AC AVU OO O ^\?-?理02190AUVOO O ?-?，所以AVUAUV ??，AUV D 是等腰三角形.【题目】设,2p p +均为素数，3p >，定义数列111{}:2,(2,3,)n n n n paa a a a n n--轾==+=犏犏其中x 轾犏表示不小于实数x 的最小整数. 证明：对于3,4,,1,n p =-均有1|(1)n n pa -+.【证明】（数学归纳法）对于整数数列111{}:2,(2,3,)n n n n pa a a a a n n--轾==+=犏犏，当3n =时，21222pa a p 轾=+=+犏犏， ,2p p +均为素数，221(2)1(1)pa p p p +=++=+，23|(1)p \+，当31n p <?时，(3,4,)k =，均有1|(1)k k pa -+成立，此时，11111k k k pa pa pa kk k ---轾轾++===犏犏犏犏， 2212211()1()111k k k k k pa pa pa p a p a k k -----轾++=++=++犏犏--2222(1)1(1)(1)11k k k pa k p a p k pa p k k k ----+++-++-==--,从而对于31n p <?，有12321121(1)(1)1121232(1)(1)123()(2)n n n n p np n p n p n pa pa pa n n n p n p n p n p pa C n n p n p ---++-+-+-+=+=+=---+-+-++=+=--++因为np n C Z +Î，所以1|()(2)(1)n n p n p pa -+++， ()n p p <为素数，(,)(,)1n n p n p \+==，又因为2p +为大于1的素数，所以(,2)1n p +=，所以(,,2)1n n p p ++=，所以，|1n n pa +.。
全国高中数学联赛江苏赛区2016年初赛试题答案
2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛考试时间：2016年5月8日（星期日） 上午8∶00－10∶00试题构成：解题建议：试题正文与答案：一、填空题（每小题7分，共70分）1．若关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<，则ab 的值是． 解析 由题设0b >，不等式x a b +<等价于a b x a b --<<-+，从而24a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，所以3ab =-．故填3-．2．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是．解析 取出两数之和为偶数（两数均为奇数或均为偶数）的概率为225429C C 4C 9+=．故填49． 3．已知()f x 是周期为4的奇函数，且当()0,2x ∈时，()21660f x x x =-+，则(f 的值是．解析<，即67<，所以()80,2-，所以(()8f f =(836f =--=-．故填36-． 评注 因为()()284f x x =--或()()1660x f x x =-+．(()2888436f --=-=-+-或(()8886036f ⎡⎤--=---+=-⎣⎦．学会观察，选用合适的方法进行计算． 4．已知直线l 是函数()22ln f x x x =+图象的切线，当l 的斜率最小时，l 的方程是． 解析 由题意从而()224f x x x+'=…，当且仅当1x =时等号成立． 所以直线l 的斜率最小值为4，此时切点为()1,1，切线方程为430x y --=．故填430x y --=． 5．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是．解析 圆的标准方程为()()22125x y -+-=，由题设直线l 过点()1,2，其方程为()21y k x -=-，即2y kx k =+-，注意到l 不经过第四象限，则020k k ⎧⎨-⎩……，解得02k 剟．故填[]0,2． 6．已知等边ABC △的边长为2，若()13AP AB AC =+ ，12AQ AP BC =+，则APQ △的面积是．解析 由()13AP AB AC =+ 得点P 是等边三角形ABC的中心，所以AP =， 又由12AQ AP BC =+ 得12PQ BC = ，且AP PQ ⊥，因此APQ △的面积为3．故填3．2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛JC2016T06D评注 若找不到方向，此题也可以建系考查．7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在棱BC 上，点Q 为棱1CC 的中点．若过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形，则BP 的取值范围为．解析 先作出基本图形如下图左所示，假设能构成五边形， 我们需要通过延长和连线的作图方法法得到相应的交点，如下图右所示，连接AP 与CD 的延长线交于点W ，连接WQ 并延长与11C D 交于R ， 则R 是所截五边形的第三个顶点． （注：作图方法不唯一）JC2016T07D通过同样的方法，可以作出其余的点，如下图所示，JC2016T07D若存在这样的五边形，则每个顶点都存在， 设BP t =，通过相似可以得11tRC CW t-==， 从而只需01101t t t <<⎧⎪-⎨<<⎪⎩，解得112t <<．故填1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．BCQ PQ ABCDA 1B 1C 1D 1D 1C 1B 1A 1DC BAQ PR WWAA评注如下图所示，由于是正方体，也可采用极端思想，需要几何动态的观点．JC2016T07D当点为BC 中点时，有1PQ AD ∥，即12BP =时，截面为四边形1APQD ； 当P 移向C 时，W 远离C ，X 点向D 点靠拢，此时可形成五边形， 即当102BP <<时，截面为四边形；当112BP <<时，截面为五边形． 因此BP 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故填1,12⎛⎫⎪⎝⎭． 8．已知数列{}n a 的奇数项依次构成公差为1d 的等差数列，偶数项依次构成公差为2d 的等差数列，且对任意*n ∈N ，都有1n n a a +<． 若11a =，22a =，且数列{}n a 的前10项和1075S =，则8a =．解析 分析知()()10121251075S a a d d =+++=，即126d d +=， 从此点无法解决根本，按照题目的设想，可求出12,d d ． 首先，可以得到该数列的奇偶项表达式（分段通项）， 设*n ∈N ，则()21111n a n d -=+-，()2221n a n d =+-，其次，因为对任意*n ∈N ，都有1n n a a +<，即只需满足21221n n n a a a -+<<（或22122n n n a a a ++<<），因此()()()121112111n d n d n d +-+-++<<对*n ∈N 恒成立，分析左边，若需()()1211n d d --<，则必须满足120d d -…◆；分析右边，若需()()12111n d n d -->+，即()121215n d d d d ->--=-， 则必须满足120d d -… ． 因此分析得12d d =．最后，123d d ==，822311a a d =+=．故填11．评注◆若不然，若120d d ->，则令()()1211n d d --=，解得1211n d d =+-，X ()D 1C 1B 1A 1DCB AQ PW2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛若令012111n d d ⎡⎤=++⎢⎥-⎣⎦，则有()()01211n d d -->与题意矛盾．的理由同 类似．事实上，在解决问题“不等式210ax ax ++…对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．”的时候，就没将问题讲清楚，而是直接根据主观论断，否定0a <的情形，本质上否定就是寻找一个0x ，使得20010ax x ++<，这跟函数的零点以及单调性有关．①当0a =时，10…恒成立，符合题意； ②当0a >时，只许满足2040a a a >⎧⎨∆=-⎩…，从而04a <…； ③当0a <时，易知240a a ∆=->，易知方程210ax ax ++=的两根为1x =2x =，又()21f x ax ax =++对称轴12x =-，所以在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增， 又1212x x <-<，()10f x =，所以01x x ∃<， 使()()2000110f x ax x f x +<+==，与题意矛盾．综上所述：实数a 的取值范围是[]0,4．这种思想与高考卷或模拟卷中找寻零点个数或极值点（变号零点）个数的思想是一致的． 9．已知正实数,x y 满足()()222216x y yx+++=，则x y +=．分析 ,x y 若不是以整体x y +的形式求出，则必定分别求出，这类问题涉及到对代数式变形． 解析 解法一：将题设条件式通分并整理，得()()2222160x x y y xy +++-=，整理得()()()2222280x x y y x y -+-+-=，因此2x y ==，所以4x y +=．故填4．解法二：因为为,x y 正实数，所以()()22228816x y x yyxy x++=++…816⋅=…， 等号成立的条件为2x y ==，所以4x y +=．故填4．解法三：因为()()()22222416x y x y yxx y++++=++…，所以()()()216816x y x y x y +++++…，即()240x y +-…，所以4x y +=．故填4．解法四：由()()2222x y yx+++224444x y x y yx y x y x ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12244442416x y y x y x ⎛⎫⨯⋅⋅⋅+⨯= ⎪⎝⎭…，等号成立的条件是2x y ==，所以4x y +=．故填4．评注常见的不等式链“调和平均数n H …几何平均数n G …算术平均数n A …幂平均数n Q ”， 简记为调几算幂，设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个正实数，则1212111n nna a a n a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+?． 10．设M 表示满足下列条件的正整数n 的和：n 整除22016，且2016整除2n ，那么M 的所有不同正因子的个数为．解析 因为22016n ，22016n ，所以n 与2016的素因子相同，而522016237⋅⋅=，故可设52237n =⋅⋅．这样我们由题设条件可得1042x y z ⎧⎪⎨⎪⎩………，且252221x y z ⎧⎪⎨⎪⎩………，从而有3101412x y z ⎧⎪⎨⎪⎩剟剟剟， 故()()()34102342222333377M =++⋅⋅⋅+⋅+++⋅+()3822134056=⋅-⋅⋅⋅333255132527=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅922235717=⋅⋅⋅⋅，所以，M 的所有不同正因子的个数为()()()()()9121211111360+++++=．评注 算术基本定理：若不计素因数的次序，则每一个大于1的整数n 都可以唯一分解成素因数乘积的形式，即1212k knp p p ααα= ，其中12,,,k p p p 均为素数，12,,,k ααα 为自然数．有结论如下：（1）n 的约数个数为()()()()12111k f n ααα=++⋅⋅⋅+； （2）n 的所有约数之和为()()()12222111222111k k k k p pp p p p p p p ααα+++++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++++ ； （3）欧拉（Euler ）函数()n ϕ表示不大于n 且与n 互质的数的个数为()12111111k n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知1135sin cos 12θθ+=，0,2θ⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭，求tan θ． 解析 解法一：由题设知()12sin cos 35sin cos θθθθ+=，令sin cos t θθ+=，则(t ∈，且21sin cos 2t θθ-=，则2112352t t -=⨯，即23524350t t --=，解得75t =或57t =-（舍），即有7sin cos 5θθ+=，12sin cos 25θθ=． 所以4sin 5θ=，3cos 5θ=或3sin 5θ=，4cos 5θ=，从而4tan 3θ=或34． 解法二：由题设可得222351112sin cos θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22112sin cos sin cos θθθθ=++()222222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ+++=++ ()222211tan 2tan tan tan θθθθ+=+++211tan 2tan tan tan θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 注意到tan 0θ>，解得125tan tan 12θθ+=（舍负），进一步解得4tan 3θ=或34． 12．如图，点P 在ABC △的边AB 上，且4AB AP =，过点P 的直线MN 与ABC △的外接圆交于点,M N ，且点A 是弧MN 的中点． 求证： （1）ABN ANP △△∽； （2）2BM BN MN +=．JC2016T10解析 （1）因为点A 是弧MN 的中点，所以AMN ANM ∠=∠， 又AMN ABN ∠=∠，所以ABN ANP ∠=∠，又因为BAN NAP ∠=∠，所以ABN ANP △△∽． （2）由（1）知，AB AN BNAN AP NP==，又4AB AP =， 所以2AN AP =，从而2BNNP=，即2BN NP =， 同理2BM MP =．所以2BM BN MN +=．13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线C交于,A B 两点． 若OF AB FA FB ⋅=⋅，求双曲线C 的离心率e ．解析 解法一（参数方程法）：因为双曲线C 的右焦点F 的坐标为(),0c ，设直线l 的倾斜角为α， 则直线l 的方程即为cos sin x c t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．代入双曲线方程，并整理得()222224cos 2cos 0c atb c t b αα-+⋅+=，则有412222cos b t t c a α=-，12t t -=22222cos ab c a α=-， 因为OF AB FA FB ⋅=⋅，则有242222222cos cos ab c b c a c aαα=--， 从而22ac b =，即2210e e --=，因为1e >，故1e =解法二（普通计算法）：①当AB 斜率不存在时，由OF AB FA FB ⋅=⋅得2222b b c a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故2222ac b c a ==-，因为1e >，故1e =+②当AB 斜率存在时，设斜率为k ，记()11,A x y ，()22,B x y ，则由OF AB FA FB⋅=⋅，得122x x x -=--，即()2121212c x x c x x x x -=-++．()222222y k x c b x a y a b⎧=-⎨-=⎩，消y 整理得()2222222222220b a k x a ck x a c k a b -+--=， 故()()()2222222222224a ckb a k ac k a b ∆=+-+()2222422244a b c k a b k a b =-+()242244a b k a b =+2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛且222221221222222222a ck a k a c k a x x b k x x b b a ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，由()2121212c x x c x x x x -=-++，得222c b a k=-，整理得= 从而2222ac b c a ==-，因为1e >，故1e =+14．已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值λ．若九个内角中有一个角等于120︒，试求常数λ的值．解析 九个内角中任选5个，记为12345,,,,x x x x x ，其余4个记为1234,,,y y y y ， 由题意123451234sin sin sin sin sin cos cos cos cos x x x x x y y y y λ=++++++++， 且123451234sin sin sin sin sin cos cos cos cos y x x x x x y y y λ=++++++++， 所以1111sin cos sin cos x y y x +=+，即1111sin cos sin cos x x y y -=-，()()114545x y -︒=-︒，即11y x =或114545180y x -︒+-︒=︒，即有11y x =或11270y x =︒-．设1120y =︒，由内角的任意可交换性可知，九个角的度数只有两种：120︒和150︒． 设有k 个120︒，9k -个150︒，则由内角和公式知()()120915092180k k ⋅︒+-⋅︒=-⋅︒， 解得3k =．所以5sin150cos1503cos1201λ=︒+︒+︒=-．。
2016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案
2016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分） 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24aa +的值为．答案：6． 解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.aa +=另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因()()()()()22252132********2223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而24a a+>，从而24 6.aa +=2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为133227.2MRSMNPQS S -=⨯-⨯⨯=正方形3.已知复数z 满足22z z z z+=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ．答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知， 222i 22i i,a b ab a b a b -+++=-比较虚、实部得220,230.a b a ab b -+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =-，进而23b a a =+=于是，满足条件的复数z 的积为3333 3.22⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391xf xg x x +=++，则()()22f g 的值为 ．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g += ①()()22818190.f g +=++= ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=-结合①知，()()()()22400 2.f g f g --=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =⨯= 另解：因为()()391x f x g x x +=++， ①所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以()()2.f x f x =- ③又因为()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x -=-，()()1212g x g x ⎡⎤-++=-++⎣⎦，从而()()2 4.g x g x =--- ④将③、④代入①，再移项，得()()3229 5.x f x g x x ---=++ ⑤在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g -= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g = 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ． 解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ⨯=过所求的概率为6012.12525p == 6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C xy a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C xy x ay ++-+=则直线l 的方程为 ．答案：2450.x y -+=解：12,C C 的标准方程分别为 ()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++-=-由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a=->解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O -直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由此可得直线l 的方程是2450.x y -+=7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN=，则异面直线,AM BN所成角的余弦值为 ．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OVu u u r u u u r u u u r 的方向为,,x y z 轴的正向，V DN yxOzMCBA建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V ----由条件知111112,,,,,222333M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此 311442,,,,,.222333AM BN ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则111cos 112AM BN AM BNθ⋅-===⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数． 解：由于对任意整数n ，有 135113,2461224612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++≤+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭ 等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡-，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =-=L 共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧⎫=-=-=+-+=-=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=+++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭才成立．而201612168=⨯，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分） 9.（16分）已知{}na 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程 ()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a L 的值．解 对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.kka a --=因此，5051lg ,lg aa 是一元二次方程210020tt --=的两个不同实根，从而()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.aa =由等比数列的性质知，()501501001210050511010.a a aa a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭L 10.（20分）在ABC中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．解 （1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB AC cb A +-⋅==u u u r u u u r 同理得，222222,.22a cb a bc BA BC CA CB +-+-⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 故已知条件化为()()22222222223,b c a a c b a b c +-++-=+-即22223.ab c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得()2222222123cos 2223636a b a b a b c C ab ab a b a b b a b a +-++-===+≥⋅等号成立当且仅当::36 5.a b c =因此cos C 的最小值211.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C的方程为221xy -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解 过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C 交于点((22001,,1P a a Q a a ---（注意这里1a >），2l 与C交于点()()001,0,1,0,R S -由条件知20000212a PQ R S -===，解得 2.a =这意味着符合条件的a 2.下面验证2a事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:2,:20,l y k x l y x k k==-≠ 注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l与C 只有一个交点）． 联立1l 与C 的方程知，(222210,x k x ---=即()2222122210,k x k x k ----=这是一个二次方程式，其判别式为2440k∆=+>．故1l与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2222244112.11k k PQ k k k ++=+=⋅--用1k-代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k --+-+=⋅=---于是.PQ RS =综上所述，2a =加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x L 和实数122016,,,y y yL 满足：（1）221,1,2,,2016kk xy k +==L ；（2）122016y yy +++L 是奇数．求122016x xx +++L 的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,kk xy k ≤≤=L 于是（注意0ix ≥）()2016201620162016201622211111120162016.kkkkk k k k k k x xy yy =====≥=-=-≥-∑∑∑∑∑ ① 不妨设112016,,0,,,0,02016,mm y yy y m +>≤≤≤L L 则201611,2016.mkk k k m ym y m ==+≤-≤-∑∑若11m kk ym =>-∑，并且201612015,kk m ym =+->-∑令 2016111,2015,mkk k k m ym a y m b ==+=-+-=-+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=-+--+=-+-∑∑∑由条件（2）知，20161kk y =∑是奇数，所以a b -是奇数，这与0,1a b <<矛盾． 因此必有11m kk ym =≤-∑，或者201612015,kk m ym =+-≤-∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=-≤∑∑∑于是结合①得201611.kk x=≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x xx x y y y y ==========L L 时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++L 的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤ 证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅I 的不超过k 的正约数的集合是.A B U 若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d '=，则|d n '，d '是奇数，又2k d k '≤<，故,d A '∈从而.B A ≤ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠Q GPDBA 解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，GM Q PODB A点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠=o，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知 .PM MQ GM MC ⋅=⋅ ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OC GC AG == 因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅ ②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆．又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠ 四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<<L 是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<L L 上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b L 是A 中的全部非负元素，12,,,lc c c L 是A 中的全部负元素．不妨设110,l kc c b b <<<≤<<L L 其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有 111212,k k l kc b c b c b c b c b >>>>>>L L 它们是B 中的110k l +-=个元素，且非正数；又有 23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<< 它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+= 由此可知，17.B ≥另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =-±±±±±-L 是个17元集合．综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。
2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷及参考答案
， ⎥ ⎥ ⎨ ⎬ 2 ⎦} 2 ⎩⎭ a⎩⎭ 2016 年福建省高中数学竞赛暨 2016 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2016 年 5 月 22 日上午 9：00－11：30，满分 160 分） 一、填空题（共 10 小题，每小题 6 分，满分 60 分。
请直接将答案写在题中的横线上）1. 若函数 f (x ) = 3cos(ωx +π ) -sin(ωx - π)（ω > 0 ）的最小正周期为π ，则 f (x ) 在区间 6 3⎡0 π ⎤上的最大值为 。
⎣⎢2 ⎦【答案】 2 【解答】∵ f (x ) = 3cos(ωx + π ) -sin(ωx - π ) = 3cos(ωx + π ) -sin(ωx + π - π)6 3 6 6 2 = 3cos(ωx + π ) + cos(ωx + π ) = 4 cos(ωx + π) ，且 f (x ) 的最小正周期为π 。
6 6 6∴ ω = 2 ， f (x ) = 4 cos(2x + π ) 。
又 x ∈ ⎡0 π ⎤ 时， π ≤ 2x + π ≤ 7π ，6 ⎢⎣ ， 6 6 6 ∴ 2x + π = π ，即 x = 0 时， f (x ) 在区间⎡0 π ⎤上取最大值2 。
6 6 ⎢⎣ ， ⎦2. 已知集合 A ={xx 2 - 3x + 2 ≤ 0 }，B = ⎧x ⎩ 1 x - 3< a ⎫ ，若 A ⊆ B ，则实数a 的取值范⎭ 围为 。
【答案】 (- 1，+ ∞)2【解答】 A = { x 1 ≤ x ≤ 2 。
由 1x - 3< a ，得-ax + 3a +1 < 0 。
x - 3∴ a = 0 时， B = { x- x < 3} 。
满足 A ⊆ B 。
x - (3 + 1) a > 0 时，由ax + 3a +1 < 0 ，得 a > 0 ，B = ⎧ x x < 3 或 x > 3 + 1⎫。
2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
2016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为 ． 2.设{}|12A a a =−≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ． 4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2−中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为 ． 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +−=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++−+=则直线l 的方程为 ．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为 ．8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n+++= ．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =−，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x = 的两个不同的解，求12100a a a 的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=； （2）求cos C 的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y −=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足： （1）221,1,2,,2016k k x y k +== ； （2）122016y y y +++ 是奇数． 求122016x x x +++ 的最小值．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．QG P DCBA2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为 ． 答案：6．解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.a a += 另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因 ()()()()()22252132631111122223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而240a a +>，从而24 6.a a +=2.设{}|12A a a =−≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为 133227.2MRS MNPQ S S −=×−××=正方形3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ． 答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知， 222i 22i i,a b ab a b a b −+++=−比较虚、实部得220,230.a b a ab b −+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =−，进而b 于是，满足条件的复数z的积为33 3.22 −+−−= 4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x的图像关于点()1,2−中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为 ．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g += ①()()22818190.f g +++ ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=−结合①知， ()()()()22400 2.f g f g −−=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =×=另解：因为()()391x f x g x x +=++， ① 所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以 ()()2.f x f x =− ③又因为()g x 的图像关于点()1,2−中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x −=−，()()1212g x g x −++=−++ ，从而 ()()2 4.g x g x =−−− ④ 将③、④代入①，再移项，得 ()()3229 5.x f x g x x −−−=++ ⑤ 在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g −= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g =5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ×=过所求的概率为6012.12525p ==6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +−=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++−+=则直线l 的方程为 ．答案：2450.x y −+=解：12,C C 的标准方程分别为()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++−=−由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a =−>解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O −直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M−，由此可得直线l 的方程是2450.x y −+=7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为 ．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OV 的方向为,,x y z 轴的正向，建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V −−−−由条件知111112,,,,,222333M N−−，因此311442,,,,,.222333AM BN ==−设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则cos AM BN AM BNθ⋅==⋅xA8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n+++= ．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =−，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．解：由于对任意整数n ，有135113,2461224612n n n n +++≤+++=等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡−，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =−= 共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m = 这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++=−=−=+−+=−= 因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n+++=+++容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n+++=才成立．而201612168=×，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n+++= 正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程 ()2100lg lg 100x x = 的两个不同的解，求12100a a a 的值．解 对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.k k a a −−=因此，5051lg ,lg a a 是一元二次方程210020t t −−=的两个不同实根，从而 ()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.a a =由等比数列的性质知，()5015010012100505110a a a a a===10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=； （2）求cos C 的最小值．解 （1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB ACcb A +−⋅== 同理得，222222,.22a cb a bc BA BC CA CB +−+−⋅=⋅= 故已知条件化为 ()()22222222223,b c a a c b a b c +−++−=+− 即22223.a b c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得 ()2222222123cos 2236a b a b a b c C ab ab a b b a +−++−===+≥等号成立当且仅当::a b c =因此cos C11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y −=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解 过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C交于点((00,,P a Q a （注意这里1a >），2l 与C 交于点()()001,0,1,0,R S −由条件知00002P Q R S ==，解得a = 这意味着符合条件的a下面验证a =符合条件．事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:,:0,l y k x l y x k k==−≠注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l 与C 只有一个交点）． 联立1l 与C的方程知，(22210,x kx −−−=即()22221210,k xx k −−−−=这是一个二次方程式，其判别式为2440k ∆=+>．故1l 与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2212.1k PQ k +=⋅−用1k −代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k −−+−+=⋅=−−−于是.PQ RS = 综上所述，a =为符合条件的值．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足： （1）221,1,2,,2016k k x y k +== ； （2）122016y y y +++ 是奇数．求122016x x x +++ 的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,k k x y k ≤≤= 于是（注意0i x ≥）()2016201620162016201622211111120162016.k kkk k k k k k k x xy y y =====≥=−=−≥−∑∑∑∑∑ ①不妨设112016,,0,,,0,02016,m m y y y y m +>≤≤≤ 则201611,2016.mkk k k m ym y m ==+≤−≤−∑∑若11m k k y m =>−∑，并且201612015,k k m y m =+−>−∑令 2016111,2015,mk k k k m y m a y m b ==+=−+−=−+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=−+−−+=−+−∑∑∑由条件（2）知，20161k k y =∑是奇数，所以a b −是奇数，这与0,1a b <<矛盾．因此必有11m k k y m =≤−∑，或者201612015,k k m y m =+−≤−∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=−≤∑∑∑于是结合①得201611.k k x =≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x x x x y y y y ========== 时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++ 的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅ 的不超过k 的正约数的集合是.A B若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d ′=，则|d n ′，d ′是奇数，又2kd k ′≤<，故,d A ′∈从而.B A ≤ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立． 三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠= ，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知QG P DCBA.PM MQ GM MC ⋅=⋅ ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OCGC AG == 因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅ ②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆． 又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠ 四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<< 是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是 1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b 是A 中的全部非负元素，12,,,l c c c 是A 中的全部负元素．不妨设 110,l k c c b b <<<≤<<其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有 111212,k k l k c b c b c b c b c b >>>>>> 它们是B 中的110k l +−=个元素，且非正数；又有 23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<< 它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+=由此可知，17.B ≥ 另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =−±±±±±− 是个17元集合．综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。
2016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案
2016年全国高中数学联赛赛区预赛试题及答案一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）1.函数()f x =的定义域是 ．答案：()10,100.解：()2lg 3lg 20,1lg 2,10100.x x x x -+-><<<<2.设实数,x y 满足62,1x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量()()2,,1,1a x y m b =-=-，若//a b ，则实数m的最小值为 ．答案： 2.-解：因为()()2,,1,1a x y m b =-=-，所以211x y m-=-，2.m y x =- 在条件621x yy x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩下，求得2m y x =-的最小值为 2.-3.设a 、b 都为大于零的常数，01x <<，则221a b x x+-的最小值为 ． 答案：()2.a b +解：设()()22,0,11a b f x x x x=+∈-，则 ()()()()()()()()()()22222222222222111111.1b x a x a b f x x x x x bx a x bx a x x x a b x a b a x a x x --'=-+=----+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-1）当a b ≠时，()()()()()22222222111.1a a a b x x a b a b f x x x a a b x x b a b a x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭'=-⎛⎫ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪-⎝⎭=-， 因为,a b 都为正数，所以当0,a x ab ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0f x '<；当,1a x a b ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0.f x '>故函数()f x 在ax a b=+处取得最小值 ()222.1a a b f a b a a a b a b a b⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭-++ 2）当a b =时，()221a a f x x x=+-，()()222122.1a x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=- 因为a 为正数，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．故函数()f x 在12x =处取得最小值 ()222214.112122aa f a a a ⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭- 综上所述，当01x <<时，221ab x x+-的最小值为()2.a b + 4.运行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为 ．答案：25.已知函数()3f x x =对应的曲线在点()(),k k a f a ()*k N ∈处的切线与x 轴的交点为()1,0k a +，若11a =，则(31010213ff fa +++=⎛⎫- ⎪⎝⎭．答案：3．6.已知点P 在曲线xy e =上，点Q 在曲线ln y x =上，则PQ 的最小值是 ．7.设*m N ∈，2log m 的整数部分用()F m 表示，则()()()121024F F F +++的值是 ．答案：8204.8.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两的端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有 种．答案：72.9.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0ω>使()fx x ω≤对一切实数x 均成立，则称函数()f x 为“条件约束函数”．现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124.f x f x x x -≤-其中是“条件约束函数”的序号是 （写出符合条件的全部序号）． 答案：①③④．10.已知线段AB 是半径为2的球O 的直径，C 、D 两点在球O 的球面上，2,CD AB CD =⊥，45135AOC ≤∠≤，则四面体ABCD 的体积的取值围是 ．答案：4.3⎡⎢⎣⎦二、解答题（本大题共3小题，共70分）11.（本小题满分20分）已知数列{}n a 中，1211,,4a a ==且 ()()112,3,4,.n nn a n n a +-==-（1）设()11n nb n a =-，球数列{}2n n b ≥的通项公式；（2）求证：对一切*n N ∈，有217.6nkk a =<∑ 解：（1）()()1111,2,3,4,,nn nn a a a n n a +-===-∴当2n ≥时，()()111.111n n n n n a n a n a n a n +-==---- 两边同时除以n ，得()()1111,11n n na n a n n +=--- 1111n n b b n n +⎛⎫∴-=-- ⎪-⎝⎭()12121111 111k n k n k k k k n b b -+-==⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝∴-⎭-=∑∑*2211321, 2.1,.111n n n b b n b b n N n n n -⎛⎫⎛⎫∴-=--≥∴=--+=∈ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭（2）证明：当2k ≥时，()()()2211111,34313343132k a k k k k k ⎛⎫=<=- ⎪----⎝⎭-∴当2n ≥时，22121111111113255834311111711.323166nnk k k k aa n n n ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=+-<+= ⎪-⎝⎭∑∑又当1n =时，2171,6a =<∴对一切*n N∈，有217.6nk k a =<∑ 12.（本小题满分25分）如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接,,,,.AH BD QB QC QHAB 为⊙1O 的直径，90.ADB BDQ ∴∠=∠= BQ ∴为⊙2O 的直径．,.CQ BC BH HQ ∴⊥⊥点H 为△ABC 的垂心，,.AH BC BH AC ∴⊥⊥//,//AH CQ AC HQ ∴，四边形ACQH 为平行四边形．∴点P 为CH 的中点．13.（本小题满分25分）已知抛物线2:4C y x =，以()1,2M 为直角顶点作该抛物线的接直角三角形MAB ．（1）求证：动直线AB 过定点；（2）过点M 作AB 的垂线交AB 于点N ，求点N 的轨迹方程． 解：（1）设直线AB 的方程为x my n =+，()()1122,,,.A x y B x y2,4,x my n y x =+⎧⎨=⎩得2440,y my n --= 12124,4y y m y y n ∴+==-．90,0,AMB MA MB ∠=∴⋅=即()()11221,21,20.x y x y --⋅--=()()()()121211220.x x y y ∴--+--=()()()()()()()()12122211211220,12140,my n my n y y m y y mn m y y n +-+-+--=++--++-+= ()()()221424250.mn mn m m n n +⋅-+--+-+=整理得()()22341,n m -=+()321n m ∴-=+或()321.n m -=-+当()321n m -=+，即25n m =+时，直线AB 的方程为()25x m y =++过定点()5,2P -；（2）由（1）知，点N 的轨迹是以PM 为直径的圆（除去点()1,2±）， 其方程为()()22381.x y x -+=≠。
2016年全国高中数学联赛(四川)初赛试题-参考答案及评分标准
2016年全国高中数学联赛（四川）初赛试题20応年全国高中数学联合竟赛（四川初賽）tt目—一三.总琥織>3H15k«ft井—iw■鼻人釐核人（5月脾日下年1牡30一- 16: 30）考生注蠢：U車14卷共三丸总全糅構裁"0分・2.用H〔置〉色I■珠塔以®!爼件善- 3・计WS＞運讯工为苹権常入岛坊.L»对tz±i二* ♦咆JB 大民找疔牛小盏.毎*蜃帝井・共:W甘〉4K 為M 的離算成中孑的乐K［址_____________ . 1用鎳诈独怦：齐》X«K ^i. & w ,卩、y WjhfctJl 2则脅比的十比网列” sma . tin fi ,审打尸构琰專比Ifl过密封纹一tl(刈*锵£備口的佃駁_______________ .9- Ll^ll ll P1WW 5 K 为4・/儿個_MT*.过-& A竹越临 6 詢柚为、SC\ SD 竹别处』fi、「3 ttJitlAl AEf ti I1. _________ .m* 的奸呛Xi CL n ittA + *4<x =•. wucusz^c (fttfiJil. —W分1讦番人一、单序逢挥魁f卒刘■共野T小独，却小MS 5^,共盹分）If* 电敷K、y、s , jr+y+r + w^l ¥1. ShASC中*谟内箱片、亀、C■的肘血怅甘剤冲＜J、h、r ■*'J M= xw + 2yw+ 3jty + 3ZM +4XJ十，心的如K机址p:S + C^2A ・Li^ + c = 2o：曲ifiq: 2片（7 AtiE-一例瞻，址命理督的A.光藁睾料B、充井豪件样不总盛旻条件C, 0農靈件担平是矗并離啊IX眈牛屋充井糸件X不耀必舅条件2.若f为世总厚忖，MWi=^+i/. Mz^'1的值足2 2\2. XH trw地汀y. HJ(51 >.心u ff s'i ftrj.T.* < ft □ gmr a 的r 眼亍独若乂、R、「晟亍订IWtt*机滴足秦件；0) MH B\- 2016；3 H(A)+ fiiB} + n<C) - n(财|弭厂农cC|EWit丈值圧_______________A* —1 BK —i C\ i□、I3. -2tr+f t ^xe[-M)iib 记/CO 的挝小値为环啊曲的ftXIFi^A. -2D, I忡帀”强廉［WiT聲数的亍«T.则/（100,3J- I 「A、!1 B* 13 C. M 6 19弭设療列仇］洲Q 吗f—叭篦応何刁・"心时叮刃农示砂H、JR工豹葷冀轄甦・尻为冊」的（in喷*,则占抑石的牛但躍了址I ］冉.1 B* 2 C. 5 □, 6仏口5®鬥•尺足#4两和期丽浚的舍地捕点・P址它苗的T公从点，儿疋片户£ .gJW谀桶删和测曲晚的陽心罰之秋的M小伯16 \ 1 2016 ^r：tN^'fi■!■ VfF4Jll+r<tt：^ [ « (H 4 «l>w分钾料人三.«f f AKO A 4 *9 Ml 20 ^r RHO丨九说筲比載的旧”]的耐丹能刨对耳“ 5. = 2" f r 戶卸需业肌iC^ - 2(1 + logj ) (rt € ^').< 1> | )1*117；I<2)旺时卜汗jffli的jl ：彗t![心节f J -俎-匕色…… * " ' ” M*Jn *、戦■・%热札.■R'1. K* 的晕KM.>p)«A中IT学K£•〔艸"I种碍，an 2 4( 11^ 42S6年全国拓中川初豪)第3災(共4页)1仏已知a 、b. c 为正实敌. 求abc 2 丁孝:+ ［匕⑺ + b-c)(b + c-a)(c+a-b).15.已知抛物线於=2px 过定点Ql,2),在抛物线上任取不冋于点C 的一点M ・直找*C 了白线尸叶3交于点几 过点P 作■轴的半和线交抛物鏡于点〃・(!)求证，直线过定点： (2)求44BC面帜的最小值・16.已知a为实散• rfittXx>=|?-ax|-lnr.谕讨论函数人力的单调件.201b W金IHA中殴学IWHX川"〉6 4 ft (A 4 «)2016年全国高中数学联赛（四川）初赛试题参考答案及评分标准说明: 1、评阅试卷时，请依据评分标准 •选择题和填空题只设 5分和0分两档; 其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中 构造f (n) 则 f(n Jf(n)112 14 .厂124 1 2(n 1)Jn 2 2(n 1)1 2n 2n 24n 12n 9 4n 2 12n 815分间档次• 于是｛ f （n ）｝严格单增，则f （n ）的最小值为f （1） \ 2 , 420分4一、选择题（本大题共 6个小题，每小题 5分, 4、 共30分） 1、A 2、D 3、 C C 5、A 6、B二、填空题 （本大题共 6个小题, 每小题 5分, 共 30分）7、180 1 8、 9、 4.3 10、 111、§ 12、201524 2三、解答题 （本大题共 4个小题, 每小题 20分 共 80分）2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评 阅时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5分一个档次，不要再增加其它中间 档次.13、设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S n 2n r （ r 为常数），*记 b n 2(1 log 2 a n ) (nN).（1）求数列｛a n b n ｝的前n 项和T n ； 求证：abca b c(a b11 1~27"2 ~ab c证 明：（1 )先证：abc(ab)2(bc)2 (ca)2abc(a b c),令 x ab, ybc,z ca , 由不等式 立.•- 5分即实数k 的最大值是14、已知a 、b 、c 为正实数, (a b c)(b c (2)再证：a b cc)(b c a)(c a b).a b c等价 于证明：1 1 1 ， ~2 - aJ ~2 c2 x 2y2z xy yzzx 知结论成 a)(c ab)求实数k 的最大值. 解：（1）由条件易知a 1 2 r,a 2又由a ； a-i a 3得r1 .于是S n 2n 1 . 故 a n2n1, b n因此T n 1 212 22 L(n 22T n 1 2 32 2L (n 由①-②得：T n 21 22L2n所以，数列｛a n b n ｝ 的前n 项和为T n（2）因为k11bi 1 b 2 1 1 b n V n ~1bib 2Lb n（2）若对于任意的正整数 n ,都有1—L ―2blb 2 b nS 2 S 1 2, a 3S 3 S 2 4,....5 分 2(1 log 2 a n ) 2n , a n b n n2n .1) 2 n 1nn 2 ①1) 2n n 2n 1②1n 2n 1，故 T n (n 1) 2n 12(n 1) 2n 1 2(n N *).……10分k 、n 1成立,由于不等式是轮换对称的,① 当 ② 当 b c b c12(b故x, y, z 均大于 11 2 1 4 L 1 2n2 42n不妨设 a max ｛a, b, c ｝，贝U a0时，结论显然成立； 0时，令a y12（ca), y0.不等式（*）变为：2（x y z ） 只需证:丄丄丄yz zx xy4 (y z)2 a b), z8xyz[— (y 4 (z x)2 2注意到：（y z ）4yz ，则4 (y z)2丄yz1 b 2c1 ~2 c 0,c(*)x,c 1尹b c),10分z)21 (z x)24 (x y)2(x y)2]15分4141同理： J丄,——•所以，原不等式成立.……20分(z x) zx (x y) xy 15、已知抛物线y 2 2px 过定点C(1,2)，在抛物线上任取不同于点 C 的一点A , 直线AC 与直线y x 3交于点P ,过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点 B . (1)求证：直线AB 过定点； 即(2m 3 a)(y 1 2) o .因此式对任意丫伴2都成立，所以 2m 3 a o ，即3 2m a , 因此直线x my a 过定点Q(3, 2).……1o 分(2)由(1 )可设直线 AB 的方程为x 3 m(y 2), 与抛物线方程联立得 y 2 4my 4(2m 3) o . 贝V y 1 y 2 4m , y 1y 2 4(2 m 3),(2)求厶ABC 面积的最小值. 解：(1 )由抛物线 物线方程为y 2 4x . 设点A 坐标为 与y x 3联立解得方程为y 2当，翌1 4 y o 2y o 22y 。
二O一六年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛标准答案
二Ｏ一六年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷（考试时间：2016年7月3日上午9：00－11：30，满分150分）一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分。
请直接将答案写在题中的横线上） 1.若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．答案: 2332.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为______________. 答案：73.已知函数()()sin cos 0,R,f x x x x ωωω=+>∈若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()y f x =的图象关于直线x ω=对称，则ω的值为 .答案：24.已知a为如图所示的程序框图中输出的结果，则二项式6-(的展开式中含2x 项的系数是 ．答案：316-5. 已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)．当CA →·CB →取到最小值时的OC →的坐标为________________. 答案：(4,2)6.已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0，则实数m 的取值范围是_______________． 答案：[－1,1)7．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，则双曲线离心率e 的取值范围是____________．答案：[52，5]8.已知甲乙两个工程队各有若干人，如果从甲工程队调90人到乙工程队，则乙工程队的总人数是甲工程队的2倍，如果从乙工程队调部分人到甲工程队，则甲工程队的总人数是乙工程队的6倍.则甲工程队原来最少有___________人. 答案：1539. 已知,a b 是方程3274log 3log (3)3x x +=-的两个根，则a b +=________． 答案：1081第4题图10.数列01,,n a a a ⋅⋅⋅满足0a =,[]{}11n n n a a a +=+,([]{},n n a a 分别表示n a 的整数部分和小数部分),则2016a =_____________．答案：3024二、解答题（共6小题，满分80分。