2019-2020学年高中数学《第一章 解三角形》预习导学案 新人教A版必修5.doc
2019-2020学年高中数学《第一章 解三角形》预习导学案 新人教A 版必修5
一、选择题（每题5分，共60分）
1. 在∆ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有2个解的是 （ ） A . b=10，A= 45，C= 70 B .a=60，c=48，B=
60 C .a=7，b=5，A=80
D .a=14，b=16，A=
45
2. 在∆ABC 中，24,34,60===⋅b a A ，则B 等于 （ ）
A.
13545或 B.
135 C.
45 D. 以上答案都不对
3. 在∆ABC 中，)1+3(:6:2=sin :sin :sin C B A ，则三角形的最小内角是 （ ）
A.
60 B.
45 C.
30 D.以上答案都不对 4. 在∆ABC 中，A =
60，b=1，面积为3，求
C
B A c
b a sin sin sin ++++的值为 （ ）
A.
3
39
2 B. 1
3 C. ２13 D.
3
39 5. 在△ABC 中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则∙的值为 （ ） A. 19
B. -14
C. -18
D. -19
6. A 、B 是△ABC 的内角，且53cos =
A ，13
5sin =B ，则C sin 的值为 （ ） A.
65
15
6563-或 B. 6563 C. 65
63
6516-或 D. 65
16
7. ∆ABC 中，a=2，A=
30，C=
45，则∆ABC 的面积为 （ ） A. 2 B. 22 C. 1+3 D. )1+3(2
1
8. 在ABC ∆中，2
cos
sin sin 2A
C B =⋅，则∆A B C
是 （ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 9. 已知∆ABC 中， AB=1，BC=2，则角 C 的取值范围是 （ ） A. 6
0π
≤
<C B. 2
0π
<
<C C.
2
6
π
π
<
<C D.
3
6
π
π
≤
<C
10. 在∆ABC 中，若B c C b C B bc 2
2
2
2
sin sin cos cos 2+=，那么∆ABC 是 （ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
11. 若以2，3，x为三边组成一个锐角三角形，则x的取值范围是（）
A. 1<x<5
B.
5<<5x C. 13<<1x D.
13<<5x
12. 在∆ABC 中，三边a ，b ，c 与面积s 的关系式为),(4
1222
c b a s -+=则角C 为 （ ）
A.
30 B.
45 C.
60 D.
90 二、填空题（每题5分，共20分）
13. 三角形两条边长分别为3cm ，5cm ，其夹角的余弦是方程06752
=--x x 的根，则三角形面积为
14．在A B C ∆中，若A=60°，b=1，三角形的面积S=3，则A
B C ∆外接圆的直径为_________
15. ∆ABC 中，（a+b+c ）（b+c-a ）=3bc ，则角A=
16. ∆ABC 中，(sin sin )a B C -(sin sin )c A B +-+(sin sin )b C A -=
三．解答题（每题10分，共20分）
17．在ABC ∆中，已知A C B sin cos sin 2=⋅，
120=A ，1=a ，求B 和ABC ∆的面积．
18．不等边三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且最大边a 满足2
2
2
c b a +<，求角A 的取值范围。
高中数学教案】人教A版必修5第一章1.2《解三角形应用举例》教案
《解三角形应用举例》教案一、教学目标1.知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.过程与方法（1）通过解决“底部不可到达的物体高度测量”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形的问题的方法.（2）进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点和难点教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学关键：将实际问题中的高度问题转化为数学问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法，步步改进方法，探求最佳方法.三、教法与学法导航教学方法：本节课是解三角形应用举例的延伸.采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架.通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法.教学形式要坚持“引导——讨论——归纳”，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯.作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.学习方法：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.四、教学过程1.创设情境，导入新课提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.2.主题探究，合作交流例1 如图1，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.图1分析：求AB 长的关键是先求AE ，在△ACE 中，如能求出点C 到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长.解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上.在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD =a ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得： )sin(sin βαβ-=a AC ， h a h AC h AE AB +-=+=+=)sin(sin sin sin βαβαα. 例 2 如图2，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角0454'︒=α，在塔底C 处测得A 处的俯角150'︒=β.已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出山高CD （精确到1m ）.图2教师：根据已知条件，大家能设计出解题方案吗（给时间给学生讨论思考）？若在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？学生：需求出BD 边.教师：那如何求BD 边呢？学生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得.解:在△ABC 中，∠BCA =90°+β，∠ABC =90°-α，∠BAC =αβ-，∠BAD =α.根据正弦定理， )sin(βα-BC =)90sin(β+︒AB.所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)sin(cos βαβ-BC .在Rt △ABD 中，得：BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式，得：BD =)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'''︒︒︒≈177.4（m ）.CD =BD -BC ≈177-27.3=150（m ）.学生：山的高度约为150 m.教师：有没有别的解法呢？学生：若在.△ACD 中求CD ，可先求出AC .教师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？学生：同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得.（解题过程略）例3 如图3，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD （精确到1m ）.图3教师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？学生：在△BCD 中教师：在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？ 学生：BC 边解:在△ABC 中， ∠A =15°，∠C = 25°-15°=10°，根据正弦定理，A BC sin =CAB sin ， BC =C A AB sin sin =︒︒10sin 15sin 5≈7.452 4（km ）. tan tan81047(m)CD BC DBC BC =⨯∠≈⨯︒≈答：山的高度约为1047m.教材第15页练习第1、2、3题.3.小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.4.课外作业（1）教材第19、20页习题1.2 A 组第6，7，8题（2）为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+3320m。
【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第一章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)
【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。
高中数学 第一章 解三角形全套教案 新人教A版必修5
高中数学：新人教A 版必修5全套教案第一章 解三角形课题: 1．1．1正弦定理●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin a b A B=sin cC=A cB (图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
【试题】2019年新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题及答案
【试题】2019年新课标人教A 版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题及答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝( )A ．． C D 2.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定 4. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60 的视角，从B 岛望C 岛和A岛成75 视角，则B 、C 两岛的距离是（ ）海里A. 65B. 35C. 25D. 55.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的一点C ，测出AC 的距离为m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )A. 100mB. mC. mD. 200m7.在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 38.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3B ．5 3C ．6 3D ．7 39.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.3510.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．5(6＋2) kmB ．5(6－2) kmC ．10(6＋2) kmD ．10(6－2) km11.△ABC 的周长为20，面积为A ＝60°，则BC 的长等于( )A ．5 B.6 C ．7 D ．812.在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,C c ∠=︒=，则（ ）A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分）：13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752=--x x 的根，则此三角形的面积是 。
高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5
（新课标）高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业．正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习.教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形.2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用.3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学难点定理及有关性质的综合运用．教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良；2.三角形各种类型的判定方法；3.三角形面积定理的应用.二、过程与方法通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师本章我们共学习了哪些内容？生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，b 2=a 2+c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ;abc b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 222222222-+=-+=-+=.师 很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形.生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式：C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===C ，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积.师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习.推进新课 多媒体投影解斜三角形时可用的定理公式 适用类型 备注余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C(1) 已知三边 （2）已知两边及其夹角类型（1）（2）有解时只有一解正弦定理（3）已知两角和一边类型（3）在有解时只有一解，类型（4）可有解、一解和无R CcB b A a 2sin sin sin === （4）已知两边及其中一边的对角解三角形面积公式S ＝21bc sin A =21ac sin B =21ab sin C(5)已知两边及其夹角生 老师，我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题．师 看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错．下面，我们来看一下例题与练习． ［例题剖析］【例１】在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A 与B 的大小关系为_________. 生 这个题目以前做过的，A 与B 的大小关系不定． 师 对吗？生 我认为不对．我以前做过的题目中没有“在△ABC 中”这个条件． （其他学生一致认可） 师 那本题应该怎么做呢？生 我觉得答案应该是A ＞B ，但是理由我说不上来． 生 我来说．因为在△ABC 中，由正弦定理得R CcB b A a 2sin sin sin ===,所以 a =2Rsin A ,B =2Rsin B .又因为sin A ＞sin B ，所以A ＞B ． 又因为在三角形中，大边对大角，所以A ＞B ． 师 好，你解得非常正确．【例２】在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2S=(a +b )2-C 2，求t a n C 的值． 师 拿到题目你怎么考虑，从哪里下手？生 利用三角形的面积公式，代入已知条件2S=(A +B )2-C 2中，再化简. 师 用面积公式S=21 bc in A =21ac sin B =21ab sin C 中的哪一个呢？ 生 用哪一个都可以吧. 生 不对，应该先化简等式右边，得(A +B )2-C 2=A 2+2AB +B 2-C 2，出现了A 与B 的乘积：AB ，而2abco s C =a 2+b 2-c 2，因此面积公式应该用S=21ab sin C ，代入等式得 ab sin C =a 2+b 2+2ab -C 2=2ab -2abco s C .化简得tan 2C=2．从而有344142tan12tan2tan2-=-=-=CCC．师思路非常清晰，请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点？生正弦定理、余弦定理与三角形面积公式．生还有余切的二倍角公式．师你能总结这类题目的解题思路吗？生拿到题目不能盲目下手，应该先找到解题切入口．师对，你讲得很好．生正弦定理、余弦定理都要试试．【例3】将一块圆心角为120°，半径为20 c m的扇形铁片裁成一块矩形，有如图（1）、（2）的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.师本题是应用题，怎么处理？生由实际问题抽象出数学模型，找到相应的数学知识来解决.分析:这是一个如何下料的问题，从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论.解：按图（1）的裁法：矩形的一边O P在OA上，顶点M在圆弧上，设∠M OA=θ，则|MP|=20sinθ,|OP|=20co sθ,从而S=400sinθco sθ=200sin2θ，即当4πθ=时，S m a x=200.按图（2）的裁法：矩形的一边PQ与弦AB平行，设∠M O Q=θ，在△M O Q中，∠O QM=90°+30°=120°,由正弦定理，得|MQ|=θθsin2340120sinsin20=︒.又因为|MN |=2|OM |sin(60°-θ)，=40sin(60°-θ),所以 S=|MQ |·|MN |=331600sinθsin(60°-θ)=331600｛-21［co s60°-co s(2θ-60°)］｝=33800［cos(2θ-60°)-co s60°］. 所以当θ=30°时，S m a x =33400. 由于33400＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33400c m 2. 评注:正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数，求所有这些三角形中的最大角的度数．（精确到°） 师 已知什么，要求什么？生（齐答）已知三角形的三边，要求三角形中的角． 师 怎么处理呢？生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化，可是三条边的值不知道啊． 生条件中三角形的三边是连续的三个自然数，那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.师 接下来怎么做呢？生 因为co sθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co sθ的最小值． 师cosθ的最小值怎么求呢？ 生 因为cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜23n-1＞1⇒n ＞2. 又因为n 为自然数，所以当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°． （教师用多媒体投影）解：设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.因为cosθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值，且cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜⇒23n-1＞1⇒n ＞2． 因此，当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°． 师 下面我们来看一组练习 多媒体投影1.在△ABC 中，若A =30°,B =45°,C =6，则A 等于（ ） A.26- B.26(2-C.)26(3-D.)26(4-2.在△ABC 中，若a =7,b =4,c =5, 则△ABC 的面积为（精确到0.１）（ ） A ．7B ．C ．D ． 3.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离D 1与第二辆车与第三辆车的距离D 2之间的关系为（ ） ＞d 2=d 2 ＜d 2 D.大小确定不了4.在△ABC 中，若A ·co t A =bco t B ，则△ABC 是_______三角形．5.在异面直线A ,B 上有两点M 、N ，EF 是直线A ,B 的公垂线段，若EM ＝５，EF ＝３，FN ＝４，MN ＝６，则异面直线A ,B 所成的角为___________．（精确到1°） 练习题答案：4.等腰°课堂小结同学们本节课你的收获是什么？生 正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式.生 凡是可用正弦定理的时候，都可以用余弦定理；当关系式中有边的平方项时，可以考虑余弦定理.生 已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程，更容易判断是无解、一解还是两解的问题.生 利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系，然后假设有关的边和角，利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式.生 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.其基本步骤是: （1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.布置作业1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是__________．2.在△ABC 中，已知t a n A =21,t a n B =31，试求最长边与最短边的比． 3.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 km/h ，求宝塔离开铁路线的垂直距离． 答案：1.(5,13)2.解：因为t a n A =21,t a n B =31，所以1312113121tan tan 1tan tan )tan(=•-+=-+=+BA B A B A ． 因为0°＜A ＜45°，0°＜B ＜45°，所以A +B = 45°． 所以3510103135sin sin sin =︒==B C b c ，所以最长边与最短边的比为35． ３.解：如图，设宝塔在C 点，先看时的位置为A ，再看时的位置为B ，由题意知∠BAC =45°-30°=15°,AB =3560100=（km ），AC =)13(3513515sin 53sin sin +=︒︒=∠•∠=ABC BCA AB AC ,所以C 点到直线AB 的距离为d =AC ·sin30°=65(3+1)（km ）．板书设计 本章复习例1 例3 例2 例4(投影区)备课资料解三角形三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素．已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形． 1.直角三角形的解法因为直角三角形中有一个是直角，例如△ABC 中，C ＝90°，角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C ．那么利用以下关系式：（1）A +B =90°；（2）A 2＋B 2=C 2；（3）A =c sin A =cco s B ＝B ·t a n A ；（4）B =cco s A =c sin B =acxtana ． 可分四种情况来解直角三角形． （1）已知斜边和一锐角； （2）已知一条直角边和一锐角； （3）已知一斜边和一直角边； （4）已知两条直角边． 2.斜三角形的解法在一个三角形中，如果没有一个角是直角，那么这个三角形叫做斜三角形．斜三角形的解法可分以下四种情况：（1）已知两角和一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边和它们的夹角；（4）已知三边．解斜三角形常常利用以下基本关系式： 1．三角形内角和为180°，即A ＋B ＋C =180°； 2．正弦定理，即R CcB b A a 2sin sin sin ===3．余弦定理，即(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=;cos cos ,cos cos ,cos cos B a A b c A c C a b C b B c a(2)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2,cos 2222222222一般地说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，解三角形时，问题不一定有解，如果有解也不一定有唯一解．对这类问题进行讨论，可得如下结论．90°≤A ＜180°0°＜A ＜90°a ＞b 一解 一解 a =b 无解 一解a ＜b无解A ＞B sin A A =B sin A A ＜B sin A两解 一解 无解。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理人教A版必修5
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
探究 2 已知三边(三边关系)解三角形 例 2 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则 △ABC 的最小角为( )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，求此三角形的 最大边长． 答案 (2)见解析
2．做一做
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 5π
若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝____6____. (2) 已知 △ABC 的 三边 分 别为 2,3,4 ， 则此 三 角形是
___钝__角___三角形．
π (3)在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的大小为 ___3_____．
解析 (1)因为 c<b<a，所以最小角为角 C. 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝429×＋74×8－4 133＝ 23， 所以 C＝π6，故选 B.
(2)已知 a－b＝4，且 a>b，且 a＝b＋4，又 a＋c＝2b， 则 b＋4＋c＝2b，所以 b＝c＋4，则 b>c，从而 a>b>c，所以 a 为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
解 利用边的关系判断， 由正弦定理，得sinC＝c，
sinB b 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb， 又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c， 综上 a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
2020-2021高二数学人教版5学案：第一章 解三角形 本章小结含解析
2020-2021学年高二数学人教A版必修5学案：第一章解三角形本章小结含解析本章小结一、正、余弦定理的基本应用应用正、余弦定理解三角形问题往往和三角形面积公式、正、余弦定理的变形等结合．在解三角形时，注意挖掘题目中的隐含条件和正、余弦定理的变形应用，注意公式的选择和方程思想的应用．［例1］在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,且满足(2a－b）cos C＝c cos B，△ABC的面积S＝10错误!,c＝7。
（1)求角C；(2）求a，b的值．［解]（1)∵（2a－b）cos C＝c cos B，∴（2sin A－sin B)cos C＝sin C cos B，2sin A cos C－sin B cos C＝cos B sin C，即2sin A cos C ＝sin(B ＋C ）．∴2sin A cos C ＝sin A .∵A ∈（0，π），∴sin A ≠0.∴cos C ＝12.∴C ＝错误!.（2）由S ＝12ab sin C ＝10错误!，C ＝错误!,得ab ＝40。
①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ,即c 2＝(a ＋b )2－2ab 错误!，∴72＝（a ＋b ）2－2×40×错误!。
∴a ＋b ＝13。
②由①②得a ＝8，b ＝5或a ＝5，b ＝8。
规律总结 正、余弦定理常与三角恒等变换、三角形面积公式结合在一起综合考查学生的能力，解题的关键是结合条件,利用正、余弦定理进行边角互化，然后在此基础上再进行三角恒等变换，解题时要注意公式的变形及熟练应用．二、判断三角形的形状根据已知条件（通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判断三角形的形状时,需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系．判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解;将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．在解三角形时常用的结论有：（1)在△ABC 中，A 〉B ⇔a >b⇔sin A 〉sin B ⇔cos A 〈cos B ；A ＝B ⇔a ＝b ⇔sin A ＝sin B ⇔cos A ＝cos B .（2)在△ABC 中,A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＝π－C ,错误!＝错误!－错误!,则cos （A ＋B )＝－cos C ,sin （A ＋B ）＝sin C ,sin 错误!＝cos 错误!.(3）在△ABC 中，a 2＋b 2〈c 2⇔cos C <0⇔π2〈C <π，a 2＋b 2＝c 2⇔cos C ＝0⇔C ＝错误!,a 2＋b 2>c 2⇔cos C 〉0⇔0<C <错误!.［例2] 在△ABC 中，2a cos B ＝c ，则△ABC 是（ )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[解析] 方法一：由余弦定理,得2a ·错误!＝c 。
高中数学《1.1.2 余弦定理》预习导学案 新人教A版必修5
必修五 第一章§5-2正 余弦定理【课前预习】阅读教材完成下面填空解三角形的四种类型1．已知A,B 及a(“角边角”型)利用正弦定理2．已知三边a,b,c(“边边边”型)用余弦定理 。
3.已知两边a,b 及夹角C(边角边型)余弦定理求c,再用余弦定理求两角。
4. 已知两边a,b 及一边对角(“边边角“型)(1) 当 时，有 解(2) 当 时，有 解(3) 当 时，有 解(4) 当 时，有 解【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或3．在△ABC 中，若02,30b B ==，0135C =，a =则 。
4、在△ABC 中，若C cB bA acos cos cos ==，则△ABC 是【课中35分钟】边听边练边落实5、在△ABC 中，已知a=10，B=060 ,C=045，解三角形。
6．在△ABC 中，已知a=2,b=5,c=4,求最大角的正弦值。
7．已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．8、在△ABC 中，已知a=5，b=7，A= 030,解三角形。
9．在△ABC 中，A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=，其中R 是△ABC 外接圆的半径。
求证：C R A b B a sin 2cos cos =+。
【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点 1.2.3.4.【课后15分钟】 自主落实，未懂则问1．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为 ( )A ．9B ．18C ．93D ．1832．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ）A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－143．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝ 。
新人教A版必修5高中数学第一章1.1.2余弦定理(二)导学案
1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝a b，则∠C的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案 D解析∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案 A解析在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度确定答案 A解析设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所对的最大角变为锐角．二、填空题7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c＝________.答案19解析由题意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝19.8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．答案2<a<8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ， ∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝A －Bsin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin Asin C·cos B －sin Bsin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝A －B sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且·＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解 （1）∵·＝－21，∴·=21.∴· = ||·||·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB = 53，∴sinB = 54.∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54 = 14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B. ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设· = 23，求a+c 的值.解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝A ＋C sin 2 B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由· = 23得ca ·cosB = 23 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。
2019_2020学年高中数学第一章三角函数1.2.4同角三角函数的基本关系(2)练习(含解析)新人教A版必修4
第6课时 同角三角函数的基本关系(2)对应学生用书P11知识点一 化简问题1．当2k π－π4≤α≤2k π＋π4(k ∈Z )时，化简1－2sin αcos α＋1＋2sin αcos α的结果是( )A ．2sin αB ．－2sin αC ．2cos αD ．－2cos α 答案 C解析 当2k π－π4≤α≤2k π＋π4(k ∈Z )时，sin α＋cos α>0，cos α－sin α>0， ∴1－2sin αcos α＋1＋2sin αcos α＝sin α－cos α2＋sin α＋cos α2＝|sin α－cos α|＋|sin α＋cos α|＝cos α－sin α＋sin α＋cos α＝2cos α．2．化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α． 解 原式＝1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α ＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α＝sin 2α1＋cos 2α－sin 4αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23．3．已知－2<x <0，sin x ＋cos x ＝5，求下列各式的值．(1)sin x －cos x ； (2)1cos 2x －sin 2x ． 解 (1)∵sin x ＋cos x ＝15，∴(sin x ＋cos x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝－2425．∵(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝4925，又－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，∴sin x －cos x <0， ∴sin x －cos x ＝－75．(2)解法一：由已知条件及(1)，可知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，∴1cos 2x －sin 2x ＝11625－925＝257．解法二：由已知条件及(1)，可知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，∴1cos 2x －sin 2x ＝1cos x ＋sin x cos x －sin x＝115×75＝257． 4．已知tan α＝3，求下列各式的值： (1)sin 2α－2sin αcos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α； (2)34sin 2α＋12cos 2α． 解 (1)原式的分子、分母同除以cos 2α，得 原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223． (2)原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1 ＝34×9＋129＋1＝2940．知识点三 证明问题5．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan α＝sin α＋cos α． 证明 1sin α＋1cos α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝sin α＋cos α·cos αsin α＋sin α·sin αcos α＋cos α＝sin α＋cos α·1tan α＋sin αtan α＋cos α＝sin α(1＋tan α)＋cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan α． 6．求证：1－2sin2x cos2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan2x1＋tan2x ． 证明 左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin2x cos2xcos 22x －sin 22x ＝cos2x －sin2x2cos2x －sin2x cos2x ＋sin2x＝cos2x －sin2x cos2x ＋sin2x ＝1－tan2x1＋tan2x＝右边． ∴原等式成立．对应学生用书P12一、选择题1．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( )A ．23 B ．－23 C ．13 D ．－13答案 B解析 由sin θ＋cos θ＝43，得1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－1－2sin θcos θ＝－23． 2．已知sin α－cos α＝2，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1 答案 A解析 将等式sin α－cos α＝2的两边平方，整理得1＋2sin αcos α＝0，即sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝0，∴(sin α＋cos α)2＝0，∴sin α＋cos α＝0，∴sin α＝－cos α．由已知得cos α≠0，∴tan α＝sin αcos α＝－1．故选A ．3．下列结论能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．tan α＝2且cos αsin α＝13C ．tan α＝1且cos α＝22D ．sin α＝1且tan α·cos α＝12答案 C解析 同角三角函数的基本关系式是指同一个角的不同三角函数值之间的关系，这个角可以是任意角，利用同角三角函数的基本关系即得C 成立．4．若π<α<3π2，1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α的化简结果为( )A ．2tan αB ．－2tan αC ．2sin αD ．－2sin α 答案 D解析 ∵π<α<3π2，∴sin α<0．原式＝1－cos α21－cos 2α＋1＋cos α21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝－2sin α，故选D ．5．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B．－cos160° C ．±cos160° D．±|cos160°| 答案 B解析 ∵cos160°<0，∴原式＝|cos160°|＝－cos160°． 二、填空题6．若2cos α＋sin α＝5，则1tan α＝________． 答案 2解析 将已知等式两边平方，得4cos 2α＋sin 2α＋4sin αcos α＝5(cos 2α＋sin 2α)，化简得4sin 2α－4sin αcos α＋cos 2α＝0，即(2sin α－cos α)2＝0，则2sin α＝cos α，故1tan α＝2． 7．若cos 2x ＋cos x ＝1，则sin 4x ＋sin 2x 的值等于________． 答案 1解析 ∵cos 2x ＋cos x ＝1，∴cos x ＝1－cos 2x ＝sin 2x ， ∴sin 4x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋cos x ＝1．8．若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝________．答案165解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1＝2＋12－1＋14＋1＝165． 三、解答题9．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值．解 由cos α－sin α＝－55，得1－2sin αcos α＝15， ∴2sin αcos α＝45，∴(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcosα＝1＋45＝95．又0<α<π2，∴sin α＋cos α＝355，与cos α－sin α＝－55联立， 解得sin α＝255，cos α＝55，∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝2sin αcos α－cos α＋11－sin αcos α＝cos α2sin αcos α－cos α＋1cos α－sin α＝55×45－55＋1－55＝5－95． 10．已知关于x 的方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，求实数m 的值．解 设直角三角形的一个锐角为β，因为方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0中，Δ＝4(m ＋1)2－4×4m ＝4(m －1)2≥0，所以当m ∈R 时，方程恒有两实根． 又因为sin β＋cos β＝m ＋12，sin βcos β＝m4， 所以由以上两式及sin 2β＋cos 2β＝1，得1＋2×m 4＝m ＋122，解得m ＝±3．当m ＝3时，sin β＋cos β＝3＋12>0， sin β·cos β＝34>0，满足题意， 当m ＝－3时，sin β＋cos β＝1－32<0，这与β是锐角矛盾，舍去．综上，m ＝3．周周回馈练对应学生用书P13一、选择题 1．给出下列说法：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，角的大小与角所在扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 对于①，150°是第二象限角，390°是第一象限角，但150°<390°，错误；对于②，三角形的内角还可能为90°，是y 轴非负半轴上的角，错误；显然③正确；对于④，α与β的终边还可以关于y 轴对称，错误；对于⑤，θ还可以是x 轴非正半轴上的角，错误．2．下列各式正确的是( )A ．π2＝90B ．π18＝10° C．3°＝60π D ．38°＝38π答案 B解析 A 中，π2＝90°，故错误；B 中，π18＝10°，故正确；C 中，3°＝3×π180＝π60，故错误；D 中，38°＝38×π180＝19π90，故错误．3．若角α的终边经过点P (sin780°，cos(－330°))，则sin α＝( ) A ．32 B ．12 C ．22D ．1 答案 C解析 因为sin780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin60°＝32，cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos30°＝32，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，sin α＝22． 4．扇形的圆心角为150°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．5π4 B ．π C．3π3 D ．23π29答案 A解析 ∵150°＝5π6，∴S ＝12×5π6×(3)2＝5π4，故选A ．5．若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是( ) A ．β＝α＋90° B ．β＝α±90°C ．β＝α＋k ·360°＋90°(k ∈Z )D ．β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z ) 答案 D解析 如图1，角α与β终边互相垂直，β＝α＋90°． 如图2，角α与β终边互相垂直，α＝β＋90°．由终边相同角的表示方法知：角α与β终边互相垂直，则有β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z )．6．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( ) A ．45 B ．35 C ．25 D ．15 答案 B解析 因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1．又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α．又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以sin 2α＋169sin 2α＝1，所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35．二、填空题7．将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于________． 答案 60°解析 按顺时针方向旋转，角度减少，即90°－30°＝60°．8．已知|cos θ|＝－cos θ且tan θ<0，则代数式lg (sin θ－cos θ)________0．(填“>”“<”)答案 >解析 由|cos θ|＝－cos θ，得cos θ≤0．又∵tan θ<0，∴角θ的终边在第二象限．∴sin θ>0，cos θ<0．由三角函数线可知sin θ－cos θ>1．∴lg (sin θ－cos θ)>0．9．已知tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，且3π<α<7π2，则cos α＋sin α＝________．答案 － 2解析 ∵tan α·1tan α＝k 2－3＝1，∴k ＝±2，而3π<α<7π2，则tan α＋1tan α＝k ＝2，得tan α＝1，则sin α＝cos α＝－22，∴cos α＋sin α＝－2． 三、解答题10．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．解 (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成．故满足条件的角的集合为α3π4＋2k π<α<4π3＋2k π，k ∈Z ． (2)若将终边为OA 的一个角改写为－π6，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为α－π6＋2k π<α≤5π12＋2k π，k ∈Z ． (3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad 而得到，所以满足条件的角的集合为αk π≤α≤π2＋k π，k ∈Z ．(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为α2π3＋k π<α<5π6＋k π，k ∈Z ． 11．若0<α<β<π2，试比较β－sin β与α－sin α的大小． 解 如图，在单位圆中，sin α＝MP ，sin β＝NQ ，弧AP 的长为α，弧AQ 的长为β，则弧PQ 的长为β－α．过P 作PR ⊥QN 于R ，连接PQ ，则MP ＝NR ．所以RQ ＝sin β－sin α<PQ <PQ ＝β－α．所以β－sin β>α－sin α．12．(1)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求 cos α＋2πcos 4π＋αtan 22π＋αtan 6π＋αsin 2π＋αsin 8π＋α的值；(2)已知sin(4π＋α)＝2sin β，3cos(6π＋α)＝2cos(2π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求α和β的值．解 (1)由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35． 由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45． 当cos α＝45时，tan α＝－34； 当cos α＝－45时，tan α＝34． 所以原式＝cos α·cos α·tan 2α·tan αsin α·sin α＝tan α＝±34． (2)因为sin(4π＋α)＝2sin β，所以sin α＝2sin β．①因为3cos(6π＋α)＝2cos(2π＋β)， 所以3cos α＝2cos β．②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2， 所以cos 2α＝12，即cos α＝±22．又0<α<π，所以α＝π4或α＝3π4．又0<β<π，当α＝π4时，由②得β＝π6；当α＝3π4时，由②得β＝5π6．所以α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6．。