二次根式乘法
二次根式的乘法
解:
∵∠C=90°
AB AC BC
2 2
2
2
B
C
AB
AC BC
2
102 202 500
102 5 10 5 10 5 (cm)
答：AB长
10 5 cm.
1.本节课学习了算术平方根的积和积的算 术平方根。
a b ab
a≥0,b≥0
ab a b (a 0, b 0)
被开方数有什么特点的二次根式才 能化简呢？
被开方数能写成平方因子和其它因 子相乘形式的二次根式
化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个 平方因子去掉平方后移到根号外。 （注意：移到根号外的数必须是非负数）
例2：化简下列二次根式
1
9a b a 0, b 0
3
2
4b 12ab a 0, b 0
a、b必须都是非负数！
a b ab
例1 : 计算 1 、 3 5 1 2、 3
(a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
3 5 15
1 27 9 3 27 3
练习:计算
(1) 6 7
解:
1 ( 2) 32 2
(1) 6 7 6 7 42
2 3
在化简时，一定要把被开方式中所有平方因子 全部移到根号外，否则未完成化简。
强化练习
下列二次根式的化简正确吗？
1 32 52 3 5 3 5 15 2 2 正确解法： 32 52 3 5 3 5 15
现在你能用上面的性质说明 8 2 2 吗？
8 4 2 4 2 2 2
二次根式的乘法课件
二次根式的乘法法则
二次根式的乘法法则
两个二次根式相乘，等于被开方数相 乘再开方，根指数不变。
公式表示
$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}(a \geq 0, b \geq 0)$
举例
$\sqrt{3} \times \sqrt{4} = \sqrt{3 \times 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
03
二次根式乘法的应用
代数式的化简
总结词
利用二次根式乘法可以简化复杂的代数式。
详细描述
二次根式乘法是数学中常见的运算方法，通过将二次根式相乘，可以将复杂的 代数式转化为更简单的形式，有助于数学问题的解决。
04
练习与巩固
二次根式乘法的运算规则与实例
总结
二次根式乘法的运算规则是将被开方数相乘，然后化为最简 二次根式。
例子
$\sqrt{16} \times \sqrt{9} = \sqrt{16 \times 9} = \sqrt{144} = 12$
简化二次根式的练习
总结
简化二次根式的方法是将被开方数中能开方的因数开方，然后将被开方数相乘，最后化简为最简二次 根式。
二次根式乘法的运算顺序
先算乘方，再算乘除 ，最后算加减；
运算顺序可以总结为 “先指数，后乘除， 最后加减”。
有括号时先算小括号 里面的运算；
02
二次根式乘法的技巧
合并同类二次根式
总结词
合并同类二次根式，简化计算
详细描述
对于多个二次根式相乘，首先观察它们是否有相同的被开方数，如 果有，可以将它们合并，使计算更加简便。
二次根式 的乘法
3x 15x
a 3ab
b3 a3
a
b
2 xy 1 x
a b ab;(a 0,b0) ab a b;(a 0,b0)
例2：化简
(1). 12 (2). 4a3 (3). a4b
(1). 8; (2). 18; (3). a3
小结
（1）乘法法则：
a b ab;(a 0,b0)
解：(5)原式 12 48 12 316 48 3 (6)原式 48a2b4 3 (4ab2 )2 4 ab2 3
解： a 3 2,b 3 2 ab ( 3 2)( 3 2) 1 a b 2 3,a b 2 2 a3b ab3 ab(a2 b2 ) ab(a b)(a b) 2 32 2 4 6
解：(1)原式 9 2 9 2 6
3
3
(2)a 0
2a 4a2
原式 4a2 1 4a2 1 2a
2a
2a
解：由题意得， x 4 0, x 4 0 等式成立的条件是 x 4
解：（1）原式 49 121 49 121 711 77
1.计 算：(1)( 7 )2 ;(2)( 5)2 ;
(3) 121 ;(4) (3)2 . 2.当x 3时,化简: ( x 3)2 ; 3.当x 时, 1 x有意义; 4.当x 时, 2 有意义.
3 x
计算
4 9
1,计算
6
60
6
=
20
60
= =
二次根式的乘法法则：两个二次根式的积等于被开方数之积的算术平方根 积的算术平方根的性质：两非负数之积的算术平方根等于各自算术平方根之积
二次根式的乘法法则和除法法则
二次根式的乘法法则和除法法则1. 引言嘿，大家好！今天咱们聊聊二次根式的乘法和除法，听起来有点复杂，但其实它就像在吃个冰淇淋，慢慢品味就好。
你知道吗？二次根式就像是数学里的小秘密，虽然看起来有点神秘，但一旦你掌握了窍门，简直就像找到了一把打开宝藏的钥匙！咱们开始之前，先给大家普及一下基础知识，别急，这可不是枯燥的教科书，我们轻松一点就好。
2. 二次根式的乘法法则2.1 基本法则好啦，咱们先从乘法说起。
乘法法则其实就是两个二次根式相乘时，咱们可以把它们的“根”都放在一起。
比如说，你有(sqrt{a)和(sqrt{b)，只要把它们相乘，就可以得到(sqrt{a times b)。
这就像是把两个朋友的手牵在一起，他们一起组成了一个更大的圈子，听起来是不是挺简单的？就像加法一样，乘法也没啥复杂的，只要记住这条法则就行了。
2.2 具体例子那么，具体怎么用呢？假设我们有(sqrt{2)和(sqrt{3)，想要知道它们的乘积。
咱们直接来，(sqrt{2 times sqrt{3 = sqrt{2 times 3 = sqrt{6)。
就是这么简单！有时候，你可能会想，哎，我要是有更多的根式，比如(sqrt{4)和(sqrt{9)呢？没问题，继续来！(sqrt{4 times sqrt{9 = sqrt{4 times 9 = sqrt{36 = 6)。
瞧！是不是像过山车一样刺激，过了一个小坡就到了终点？3. 二次根式的除法法则3.1 基本法则再来聊聊除法。
说到除法，很多人可能会皱眉头，但其实和乘法差不多哦。
二次根式相除时，我们也能把“根”放在一起，听着有点抽象，但没关系，咱们举个例子就明白了。
比如说你有(sqrt{a)和(sqrt{b)，你想知道(frac{sqrt{a{sqrt{b)是什么。
这个时候，你只需要做个简单的操作，就能得到(sqrt{frac{a{b)。
就像把一个美味的蛋糕切成两半，你只要把蛋糕的“根”一起分开就行了。
二次根式的运算知识点总结
二次根式的运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是非负实数。
在数学中，二次根式的运算是一个重要的知识点，掌握了这个知识点，我们可以更好地理解和利用二次根式。
下面将总结二次根式运算的基本规则和常见的运算方法。
一、二次根式的基本规则1. 二次根式的化简：当被开方数存在平方因子时，可以进行化简。
例如√4×3 = √(4×3) = 2√3。
2. 二次根式的乘法运算：对于两个二次根式的乘法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相乘，根号外的数相乘，并进行化简。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 二次根式的除法运算：对于两个二次根式的除法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相除，根号外的数相除，并进行化简。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。
4. 二次根式的加减运算：对于两个二次根式的加减运算，只能进行同类项相加减，并进行化简。
例如：√2 + √3 无法进行化简，可以写成2√2 + 3√5。
二、二次根式的运算方法1. 二次根式与整数的运算：当二次根式与整数进行运算时，可以将整数视为二次根式的特殊形式。
例如：√2 + 4 = √2 + √(4×4) = √2 + 2√2 = 3√2。
2. 二次根式的有理化：有时候需要将二次根式的分母变为有理数，这个过程称为有理化。
有理化的方法有两种：(1) 乘以共轭根式：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过乘以分母的共轭根式来进行有理化。
例如：(3 + √2)/(1 + √2) = [(3 + √2)/(1 + √2)] * [(1 - √2)/(1 - √2)] = (3 - 3√2 + √2 - 2)/(1 - 2)= (1 - 2√2)/(-1)= 2√2 - 1(2) 分离根号：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过将二次根式的根号部分与非根号部分分离，并进行化简，从而实现有理化。
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
教材新知精讲
(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
教材新知精讲
综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
教材新知精讲
知识点一
知识点二
全面剖析二次根式的乘除及化简
全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。
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反比例函数的图象和性质（一）教学目标一、知识与技能1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象．2．体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合．3．逐步提高从函数图象中获取信息的能力，?探索并掌握反比例函数的主要性质．二、过程与方法1．经历反比例函数主要性质的发现过程．2．体会分类讨论思想、数形结合思想的运用．三、情感态度与价值观1．积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法．2．在动手作图的过程中，体会做中的乐趣，养成勤于动手，乐于探索的习惯．教学重点掌握反比例函数的作图．教学难点反比例函数三种表示方法的相互转换．教具准备1．教师准备：投影仪、直尺、圆规．2．学生准备：预习本节课的内容．教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1（1）画函数y=3x-1 的图象；（2）求上述函数与x 轴、y 轴的交点坐标．设计意图：总结一次函数图象作法的基本步骤及其性质，为学习反比例函数的图象和性质作准备．师生行为：学生独立思考、操作、交流、回答；教师可与学生平等交流，提问学生．生：（1）列表：（由于一次函数的图象是一条直线，所以只需找到两个点）．（2）描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点.（3）连线：连接两点即可得y=3x-1的图象（图象略）令x=0,则y=-1 , ?•••一次函数1 1与y轴交点坐标为（0, -1 ），令y=0,得x=_ 次函数与x轴交点的坐标为（-，0）.3 3师：很好，什么叫做反比例函数？k生：如果两个变量X、y之间的关系可以表示成y= （k为常数且k工0）的形式，？那x么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零.师：请同学们猜一猜，一次函数的图象是一条直线，？那么反比例函数的图象是什么样一 6 4 6 4的呢？你能画出例如y= , y= , y=- , y=- 的图象吗？x x x x生：我认为反比例函数的图象是断开的，因为X M 0.生：我认为反比例函数的图象是与x轴、y轴无交点，因为x丰0, y M 0.师：反比例函数的图象到底如何呢？下面我们亲自动手操作就会发现反比例函数图象的特点.二、探索、研究——揭示反比例函数的特点活动2【例2】画出反比例函数y= 6与y=- 6的图象.x x设计意图：进一步熟悉作出函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.同时让学生进一步体会函数三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合，去为发现反比例函数的性质作准备.师生行为：学生初次遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，因此在作图过程中应给学生留有思考的时间和交流的空间.学生可以先自己动手画图，相互观摩.在此活动中，教师应重点关注：①学生能否顺利进行三种表示方法的相互转换；②是否熟悉作出函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；③在动手作图的过程中，能否勤于动手，乐于探索.师：这是我们初次遇到作反比例函数的图象. 但作图象的步骤和要求与画一次函数图象基本一样•第一步应该做什么？生：列表•由于自变量x工0，列表时，我们是否在0?的两边对称地取互为相反数的x 值•这样y就只差一个符号，可以减少计算量.师：这个同学的想法很好！“三思而后行”，使自己的思路变得如何清晰，是很了不起的事.我们不妨分成两个大组，第一大组列函数y=6的表格，第二大组列函数y=-@的表格.x x 生：解：列表表示几组x与y的对应值(填空)：x …-6-5-4-3-2-1123456 …6y= …-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21 …xy=- 6…11.21.5236-6-3-2-1.5-1.2-1 …x师：你还记得如何用“描点”的方法画出函数的图象吗？生：从列出的表格可知，画y=6的图象需描点(-6 , -1 ), (-5 , -1.2 ), (-4 , -1.5 ),x(-3 , -2 ), (-2 , -3 ), (-1 , -6 ), (1, 6), (2, 3), (3, 2), ( 4, 1.5 ), ( 5, 1.2 ), (6 , 1)… 画y=- 6的图象需描点(-6 , 1) , (-5 , 1.2 ) , (-1 , 1.5 ), (-3 , 2), (-2 , 3) , (-1 , 6), x(1, ?-6 ), (2 , -3 ), (3 , -2 ), ( 4 , -1.5 ), (5 , -1.2 ), (6 , -1 )•••生：我们找到了点在直角坐标系内描出相应的点，接着该连线了吧？这么多的点从哪儿连起呢？生：我认为连线要用平滑的曲线把各个点按自变量由小到大的顺序连起来.师：很好！反比例函数是我们第一次遇到的非直线的函数图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，我们从描出的点的变化趋势就可看出，切记不能用折线连接.师生共析：用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序把描出点连接起来，就可得到下图：964 -6 -4 -2 2642 2 4 612 4 ( -2＞亍 6 4 -2 O-6|r师：我们利用列表、描点、连线，得到了y=E与y=-6的图象，？它们有什么共同的特x x征？它们之间有什么关系呢？生：比较反比例函数y=E与y=-E的图象可以发现，它们都是由两条曲线组成，？曲线x x都无限地接近x、y轴，但不会与x轴、y轴相交.师：也就是反比例函数的图象是双曲线.生：还可以发现y=6与y=-6的图象都是轴对称图形，各有两条对称轴. ？它们都不会x x经过原点.活动3练习：3 3在下面的平面直角坐标系中，如下图画出反比例函数y= 与y=- 的图象，？可以利用x x3 3 3y=-与y=--设计意图：进一步熟悉画反比例函数图象的一般步骤和需要注意的问题：列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样可以简化运算，又便于描点，作出图象的对称；列表，描点时，要尽可能多取一些数值，多描一些点，这样便于连线.在连线时，必须用光滑曲线连接各点，而又不能用折线等.师生行为：由学生自己独立完成.教师巡视对有困难的学生给予指导，然后让两个同学板演.在此活动中教师应重点关注：①能否掌握画反比例函数图象的步骤;②能否用光滑的曲线画出；33 ③能否利用y= 与y=-的关系画出函数的图象.xx活动4观察函数y= 6和y=- 6以及y=—和y=-—的图象.XX XX(1) 你能发现它们的共同特征以及不同点吗？ (2) 每个函数的图象分别位于哪几个象限？ (3) 在每一个象限内，y 随x 的变化如何变化?设计意图:提高学生从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质，体会分类讨论的思想，数形结合思想的运用.并引导学生积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法.师生行为：学生分组针对上面 3个问题结合画出的图象分类讨论， ？归纳总结反比例函数图象的特点和性质.教师参与到学生的讨论中去，积极引导. 在此活动中，教师应重点关注：y=- 6和y= 3与y=- 3图象中归纳出它们的相同点和x x x②学生能否积极参与到小组讨论中，大胆发表自己的见解，倾听别人的看法. 师：观察y=6和y=- 6以及y=3和y=--的图象，函数y=的图象在哪些象限由什么因x xx x素来决定?生：y=6 , y=-的图象都在第一、第三象限；而x x 四象限.k所以y= 的图象在哪些象限，由 k 来决定.当k>0时反比例函数的图象位于第一、第x三象限；当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限.师：很好！我们已知道反比例函数的图象是两支，我们把它叫做双曲线，而函数是研究OOQQ两个变量之间的关系的.像 y=—和y=-—以及y=—与y=- — , ?它们的图象在每个象限，yx x x x随x 的变化如何变化？生：由y=6的图象可以发现，位于第一象限内的图象，从左向右看，x 在增大，？曲线x①学生能否从反比例函数 不同点.6 y=—,xy=- 6和y=--的图象都在第二、？第x x成下降趋势，说明函数值y随x的增大而减小，位于第三象限的一支也随x?的增大减小.生：由y二6的图象可以发现，在每个象限内，y随x的增大而增大.x3 3 3生：而y= 3与y二3的图象也不难发现：对于y=-，在每一个象限内，y随x?的增大x x x3而减小，对于y二，在每一个象限内，y随x的增大而增大.x师生共析：k所以，y随x的变化情况也同k有关系，即y=，当k>0时，在每一个象限内，y?随xx的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大.生：为什么要强调在“每一个象限内”呢？师：大家知道，反比例函数的图象是“断开”的.所以，y随x的变化情况也是“断开”的，因此需在每一个象限内分别讨论：综上所述，反比例函数的图象和性质如下：k(1)反比例函数y= (k为常数，k工0)的图象是双曲线；x(2)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x?值的增大而减小；(3)当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x值的增大而增大.下面我们就根据反比例函数的图象和性质完成下列练习.三、巩固提高活动51. 请指出下面的图象中，如下图哪一个是反比例函数的图象( )2•如右图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象(A. y=5x B . y=2x+3 C . y=4x设计意图:熟悉反比例函数的图象和性质，进一步体会数形结合的思想.师生行为:学生独立思考完成.教师巡视，引导“学困生”完成任务.在此活动中，学生应重点关注：(1)学生能否熟练掌握反比例函数的图象和性质.(2)学生是否能将刚学过的知识用于实践.生：解：1•反比例函数的图象是双曲线，所以应选C.2. 从上图中可以看出是反比例函数的图象，而给出的四个函数中，AB?都不是反比例函3数，而D虽是反比例函数，但y=- 中，k=-3<0，图象应在二、四象限，？应选C.x四、课堂总结，提高认识活动6你对本节知识有哪些认识？设计意图：这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都制造了在数学学习活动中获得成功的体验体会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小节活动不流于形式而具有实效性，为学生提供更好的空间以梳理自己在本节课中的收获.小结活动既要注重引导学生对反比例函数的图象和性质又充分认识，又要从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受.师生行为:教师可由学生随意说出一个反比例函数，然后由另一个学生说出它的性质或制作卡片(卡片上可直接写上几个反比例函数或反比例函数的图象) .让学生抽取并回答卡片上提出的问题.在活动中，教师应重点关注：(1)不同层次学生对本节课知识的认识程序; (2)学生独立面对困难和克服困难的能力. 板书设计17. 1. 2反比例函数的图象和性质(一) 1•反比例函数的图象和性质 (1) y=6 , y=-6x x (2) y=3 , y=-3x x①反比例函数的图象是双曲线;②当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、 而减小；2•练习活动与探究1右如图A (X 1, y 1), B(X 2, y 2), C (x s , y s )是函数y=—图象在第一象限分支上的三个x点，且X 1<X 2<X 3,过A 、B 、C 三点分别作坐标轴的垂线，得矩形 ADOH BEON CFOP 它们的k面积分别为S 1、S 2、S 3•由反比例函数 y= 得xy=k ，把A B 、C 三点坐标分别代入函数表x达式中得到：k= | x 1y 1 | =S 矩形 ADO =S=1 ; k= | x 2y 2 | =S 矩形 BEO =S 2=1 ; k= | x 3y 3 | =S 矩形 CFO =S?=1.所以S 1=S 2=S 3,即双曲线上任意一点的纵、横坐标的乘积是一个常数，？该常数的绝对值 即为双曲线上一点，分别作坐标轴的垂线所得矩形的面积.第三象限，在每个象限内 y 随x?值的增大③当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、 增大.四象限，在每个象限内 y 随x?值的增大而k 1=k 2，那么它们在同一坐标系中的图象只可能是( )k在下图中，若正比例函数y=2x 与y=ax (a>0)的图象与反比例函数 y= ( k>0)的图x象分别交于 A C 两点.若Rt △ AOB 与Rt △ COD 的面积分别记为 S 、S 2,请你分析 S 和&的 大小关系，并写出分析过程.c11S ACO = —|x 2y 2 I = — k .2 2结果：S A AOB F S LXCOD 即面积相等.备课资料 参考例题k2分析：根据反比例函数解析式的一般式y=^( k z 0)，可知此函数为反比例函数，13-a 2=1；x2a-3工0,根据反比例函数的性质，图象在象限内， y 随x 的增大而增大，则 2a-3<0 .a 二 2、3 得 3 a ::2所以 a=-2 . 3 .【例2］已知一次函数y=k 1X+b 中，y 随x 的增大而减小，且b>0;反比例函数y= k -2中,xk过程：T A C 是y=( k>0)上的点,x1 1x i y i =X 2y 2=k|x i y 1 | =——k ,222a _3【例1】反比例函数y=丝13 -a 2x的图象所在象限内, y 随x 的增大而增大，求 a 的值.解:13-a 2=1 2a-3 ：0分析：由一次函数 y=k i x+b 中，y 随x 的增大而减小，则可知 k i <0.又b>0，故直线与y 轴交点在y 轴的正半轴上.因k 2=k i ,而且k i <0,所以k 2<0.双曲线y=k 2在第二、第四象限，故选 C.x。