中考数学 专题复习五 图形的折叠问题

图形的折叠问题

【专题思路剖析】

图形的折叠实际就是反射变换或者说是对称变换，或者说是翻折。这类问题大都联系实际，内容丰富，解法灵活，具有开放性，有利于考查解题者的动手能力，空间观念和几何变换的思想。

折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．

图形折叠问题既考查学生的动手能力,又考查了想象能力,涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题,它与代数、几何均有联系。折叠问题将图形的变换与学生的实际操作能力紧密联系起来。在折叠过程中,通过观察图形中的变与不变,灵活应用平面图形的基本性质及定理解决问题。近年来,折叠问题（对称问题）是中考出现频率较高的一类题型,学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻,导致对这类中档问题失分严重。本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几类典型的折叠问题的剖析,从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。

【典型例题赏析】

类型1：三角形中的折叠问题

折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．

例题1：

4．（2015•乌鲁木齐,第7题4分）如图，△ABC的面积等于6，边AC=3，现将△ABC沿AB

所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，点P在直线AD上，则线段BP的长不可能是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

考点：翻折变换（折叠问题）．

分析：过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根据折叠得出∠C′AB=∠CAB，根据角平分线性质得出BN=BM，根据三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的最短距离是4，得出选项即可．

解答：解：如图：

过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，

∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，

∴∠C′AB=∠CAB，

∴BN=BM，

∵△ABC的面积等于6，边AC=3，

∴1

2

×AC×BN=6，

∴BN=4，

∴BM=4，

即点B到AD的最短距离是4，

∴BP的长不小于4，

即只有选项A的3不正确，

故选A．

点评：本题考查了折叠的性质，三角形的面积，角平分线性质的应用，解此题的关键是求出B到AD的最短距离，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．

【变式练习】

(2014•黑龙江牡丹江, 第7题3分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A的度数是（）

第1题图

A．30°B．40°C．50°D．60°

考点：翻折变换（折叠问题）．

分析：根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠D=∠A，∠MCD=∠MCA，从而求得答案．

解答：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，

∴AM=MC=BM，

∴∠A=∠MCA，

∵将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，

∴CM平分∠ACD，∠A=∠D，

∴∠ACM=∠MCD，

∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°

∴∠A=∠BCD

∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°

∴∠A=30°．

故选：A．

点评：本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．

类型2：四边形及其他图形中的折叠问题

矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股

定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．

例题2：

（2015•山东泰安,第20题3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE 折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（）

A．2 B．4 C．D．2

考点：翻折变换（折叠问题）．.

分析：根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．

解答：解：∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，

∴AE=EG，AB=BG，

∴ED=EG，

∵在矩形ABCD中，

∴∠A=∠D=90°，

∴∠EGF=90°，

∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，

，

∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），

∴DF=FG，

设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x，

在Rt△BCF中，（4）2+（6﹣x）2=（6+x）2，

解得x=4．

故选：B．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键．

【变式练习】

（2015•铜仁市）（第8题）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（）

A．3 B． C．5 D．

考点：翻折变换（折叠问题）．

分析：首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．

解答：：设ED=x，则AE=8﹣x；

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EDB=∠DBC；