线性代数问题的计算机应用

毕业论文题目线性代数问题的计算机求解方法的研究专业信息与计算科学班级学生学号指导教师二〇一〇年五月三十日摘要与中学数学相比，高等数学的内容多,抽象性和理论性较强,一些学生进入大学后很不适应.而数学软件具有形象性、直观性、互动性和时效性,它可以帮助学生很好的理解内容,并能够尽快的学以致用. MATLAB已经成为国际上最流行的科学与工程计算的软件工具,本文首先对MATLAB等计算机软件的国内外现状进行了简单的介绍,然后以MATLAB为例对计算机在线性代数教学和学习过程中的应用进行了研究.最后,阐述了利用计算机解决实际生活中的一个经济学问题,并给出了几点建议.经过本文的讲述,同学们既可以提高自己的动手能力和对数学软件的使用能力,又可以在以后的数学学习中,轻松快捷的掌握复杂的计算,提高自己对学习的积极性.关键词：线性代数；矩阵；MA TLABAbstractCompared with middle school math, Higher Mathematics has more abstract and theoretical characteristics, many students can’t adapt to it. As mathematical software has the characteristics of visualization, ocular demonstration, bidirectional operation and effectiveness, it is helpful for students to understand and use what they learn. MATLAB has been the most popular software in science and engineering calculation. In this paper, at first, as the computer software MATLAB situation at home and abroad is introduced simply ,and taking MATLAB for example in higher mathematics is researched. At last, the use of computers is described to solve a economic problem in actual life, and some advices are proposed. After this paper's introduction, students can not only improve their skill and ability to use mathematical software, but also raise their enthusiasm so that learning is quick and easy.Keywords:Linear Algebra；Matrix；Matlab目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1引言 (1)2 常见数学软件介绍 (3)2.1 MAPLE (3)2.2 MATHEMATICA (3)2.3 MATHCAD (3)2.4 MATLAB (4)3数学软件在线性代数中的应用 (6)3.1 计算机求解矩阵方程 (6)3.2 矩阵的基本分析 (7)3.3 矩阵的基本变换 (12)3.4 矩阵分解 (13)3.4.1LU分解 (13)3.4.2QR分解 (14)3.4.3三角-三角分解 (15)4 实际生活中的线性代数 (17)4.1 线性代数对经济学的应用 (17)4.2 小结 (19)结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)1.引言线性代数是一门应用性很强,而且理论非常抽象的数学学科,它主要讨论了矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换的理论.在计算机广泛应用的今天,计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、经济学、网络技术等无不以线性代数为基础.但是在线性代数中,大部分的计算太过繁琐.例如当把方程的阶次提高到了三元以上时,不但要求较高的抽象思维能力,而且也要求用十分繁琐的计算步骤才能解决问题,这使得大多数的工科学生对线性代数感到乏味枯燥[1].线性代数的计算机应用在国外也有很多的应用，例如Wassily Leontief教授把美国经济用500个变量的500个线性方程组描述,而后又把系统简化为42个变量的42个线性方程.经过几个月的编程,并利用当时的计算机运行了56个小时才求出其解[2].又如，1992年至1997年,美国国家科学基金会资助的ATLAST(Augment the Teaching of Linear Algbra using Software Tools)计划重点强调在线性代数教学中应该利用新的计算方法技术.比如MATLAB语言在国外大学工学院中,特别是在数值运算用得最频繁的电子信息学科中MATLAB已成为每个学生必备的工具,它大大提高了课堂教学、解题作业和分析研究的效率[3].线性代数的教学不能离开计算机是美国工科教育界的共识.国外的线性代数教材大多与其他数学分支联系或应用到其他领域,如:近似积分与微分,微分方程组,经济管理学等,可以使得学生充分掌握线性代数的实际应用.另外,由于国外教育采用“放羊”式方法,学生们从小就养成了自己独立思考,运用各种可以利用的学习工具来辅助学习的习惯,所以计算机成为了他们学习的有力武器,运用计算机解决数学问题对他们来说便显得得心应手.由于MATLAB可以帮助使用者摆脱繁重的计算过程,所以在美国大学中，MATLAB已广泛应用到线性代数中去,成为许多大学生和研究生使用的重要工具.在国外的高校中,熟练掌握MATLAB已成为大学及以上学历必须掌握的基本技能.大多数国外学校对数学的研究主要是运用计算机解决问题,真正动手演算很少,所以即使中国学生在理论知识上比外国学生强,但对于实际应用和动手能力却远远不如外国学生.然而当前我国在线性代数教学与学习中面临着许多问题:(1)教材内容老化课程教学与应用脱节,数学应该是来源于实际生活的,根据理论和基础计算,再应用并解决现实问题.但现在的数学教学却只讲授课本理论,导致学生无法将理论与实际生活相结合；(2)课程内容抽象,定理和概念繁多,学生难以对课本内容形成充分的整体认识；(3)课堂教学手段单一,与现代化技术结合得不好.在大学线性代数学习中,大多数课堂只是进行理论讲授,没有将数学实验引入教学,使理论与实际应用有机结合,造成学生科学计算能力低下,只是一味的埋头做题、套公式,而不去考虑应用计算机解答等简便算法.之前,我国科技水平不发达,使用计算机解决日常生活问题还达不到要求.但是,现在家用计算机、笔记本几乎成为大学生必备的学习用品,即使这样在数学的学习中仍不能灵活运用计算机解决实际问题.线性代数课堂中不谈计算机已经成为我国线性代数教育的普遍问题.所以我国的线性代数课程出现了不尽人意的状况--理论抽象越来越深,应用和实际计算结合越来越少,成了一门抽象、冗繁而枯燥的课程.当前学生在学习线性代数上也存在众多问题:学习没有计划,学习环节不完整,读书不求甚解,懒于动脑思考线性代数与实际的联系,学习过程中不善于查找相关资料等.这些普遍问题使得学生的学习与现实产生了严重的脱节.大学的学习内容、方法和要求,比起中学的学习发生了很大的变化,没有老师像在高中一样督促你学习,所以大部分的学生一进大学便放松了自己,就是认真学习的学生也是毫无计划,整天忙于被动的应付听课、完成作业和考试,缺乏主动自觉的学习,干什么都心中无数.不但对线性代数的学习如此,线性代数本身的特点也使得大部分学生对线性代数生而畏之.例如,线性代数中多项式部分定义的繁琐难懂,最大公因式、不可约多项式、二次型等与实际应用的相脱离,向量的线性相关、线性空间、线性变换、欧式空间等问题概念的抽象性,行列式的求法、矩阵的相关计算容易出错,线性代数中有些知识需要进行大量的、机械的数值运算,在学生套用公式时,耗费了大量的时间和精力,又往往出错.例如:在求解行列式问题上,如果矩阵A为高阶方阵,且不具备特殊条件(比如为三角矩阵等),那么在求解矩阵A的行列式时,需要将矩阵A依次按行展开,将其化为多个三阶矩阵的和才可套用公式求出,期间过程繁琐,费时且容易出错,长期下来学生学习线性代数时搞不懂、弄不清,即使经过长期理论熏陶并经过复杂的计算过程将题目解答出来,也无法判断题目的对错,更不要说学生对线性代数的研究.所以使得很多同学对线性代数失去了兴趣.但是,以上问题若用计算机求解则可几步便求出答案,达到事半功倍的效果.大部分学生不懂也不善于运用计算机解决线性代数问题,可能存在有如下几点原因:(1)喜欢文科类课程,对线性代数等数学学科没有兴趣,所以不愿去研究其解题方法,或者由于需要长期进行大量的计算,而对线性代数没有了兴趣；(2)对计算机软件不感兴趣,以至于运用软件求解计算生疏不懂；(3)不肯动脑研究计算机软件,懒于记忆软件中的常用函数；(4)想锻炼自己的动笔能力,喜欢用稿纸演算.2.常见数学软件介绍目前,数学的科技应用软件主要有MAPLE、MATHEMATICA、MATHCAD、MATLAB等.2.1MAPLEMAPLE软件是目前世界上最为通用的数学和工程计算软件之一,在数学和科学领域享有盛誉,有“数学家的软件”之称.它可以解决许多数学问题而不用像C 语言那样编写大量的程序,操作简单、易学易用.它以友善的使用环境、强大的符号处理、精确的数值计算、灵活的图形显示、高效的编程功能为越来越多的教师、学生和科研人员所喜爱,并成为他们进行数学处理的首选工具.MAPLE的主要功能有:计算(包括符号计算、数值处理、二维与三维作图)和编辑.另外,MAPLE软件具有广泛的数学功能:具有4000多个数学函数,提供数值和符号的解决方案；覆盖了几乎所有的数学领域,包括微积分、线性代数、统计、图论、物理、概论等；具有高效的数值求解器,支持无限精度的计算；拥有较强的符号算法可用于方程推导、简化、提取、分析等任务.所以,运用MAPLE 软件可轻松的解决众多数学分支中的常见的计算问题[4].2.2MATHEMATICAMATHEMATICA是世界上通用计算系统中最强大的系统.它是1988年美国Wolfram Research公司开发的一个著名的专用于数学分析型的软件,以符号计算为特长,也具有高精度的数值计算功能和强大的图形功能.最初MATHEMATICA软件只对于物理学和数学领域具有显见影响.但是,随着科技的进步, MATHEMATICA在生物学、社会学、工程学、化学、航空航天等许多其他的重要领域得到了广泛的应用.MATHEMATICA的基本系统主要是用C语言开发的,其符号功能是最强的,运行构架是最优的,符号运算效力与解析能力是最好的,它是专门为中学生和大学生的学习而研发的[5].2.3MATHCADMATHCAD是美国Mathsoft公司推出的一个著名的交互式应用数学软件,它集数理计算、图形和文字处理等功能于一体. MATHCAD也是一种工程计算软件,允许工程师利用详尽的应用数学函数及动态、可感知的单位计算来同时设计和记录工程计算的过程.MATHCAD的用途:计算表达式、代数运算、符号计算、函数的计算、公式推导、函数作图(2D和3D图表)、动画演示、常用积分变换、解方程和方程组、数理统计与数据处理、MATHCAD编程等.MATHCAD的特征:(1)轻松的解决各种数学计算；(2)操作简单,易学好用；(3)具备一流的公式编辑器；(4)丰富的内部函数；(5)强大的图形输出功能；(6)交互式动态工作页面；(7)软件兼容性强.2.4MATLABMATLAB是矩阵实验室(Matrix Laboratory)之意,主要用于方便矩阵的存取,其基本元素是无需定义维数的矩阵,是数值计算型的数学类科技应用软件,被誉为第四代计算机语言.MATLAB可用于解决实际的工程和数学问题,其典型应用包括数值计算、算法设计、各种学科(如自动控制、数字信号处理、统计信号处理等领域)的专门问题求解.MATLAB的语言特点:(1)易扩展性.MATLAB允许用户自己构造适合自己领域的专用函数,从而使MATLAB语言可应用于各个领域,扩大了MATLAB的应用范围.(2)易学易用.MATLAB不需要用户有很高的数学基础和编程功底,也不需要了解算法的有关知识及其编程高深技巧.首先, MATLAB的运算符丰富,语言简洁紧凑,库函数及其丰富；其次,比起C语言等其他语言,MATLAB语言的规则限制不严格,程序设计自由度大,如变量、数组、矩阵等无需定义,而且具有强大的图形功能,适合大多数人使用.(3)具有丰富的数学功能.包括矩阵的各种运算,如:正交变换、三角分解、特征值、常见的特殊矩阵等；各种特殊的函数,贝塔函数、椭圆函数等；各种数学运算,如求极值、方程求根等.(4)由于MATLAB软件是由C语言编写的,所以MATLAB语言与C语言有相似之处,但比C语言更简单易懂[6－10].除此之外,MATLAB软件的矩阵运算功能也十分强大:MATLAB软件提供了矩阵的各种运算和操作,如简单的加法、减法、乘法、乘方、除法、转置、求矩阵的逆,还有比较特殊的翻转运算、点运算以及单个矩阵的元素赋值与运算.另外,MATLAB软件还提供了有关矩阵的专项技术,如随机元素矩阵、伴随矩阵、对角矩阵、单位矩阵、零矩阵等有关求逆、行列式、迹、秩、范数、特征值和特征向量的运算.对于过于繁琐的矩阵问题可通过MATLAB软件的一个或多个函数得以解决.MATLAB在解决线性代数问题上的基本原理即是通过编写程序,运用MATLAB 语言中特有的函数来解决.对这四种数学软件进行比较:MATHCAD在高等数学方面所具有很高的能力,如果仅仅是要求满足一般的计算或者是普通用户的日常使用，应该首选MATHCAD，它能够满足一般客户的要求,并且输入界面也非常友好.MATHEMATICA是在物理学科研方面应该为最好的工具,也是最好的符号分析方面的数学软件.如果要求精度计算、符号计算或者编程的话,最好同时使用MAPLE和MATHEMATICA这两款软件,因为它们在符号处理方面表现出色.MATLAB是最好的数值求解的工具,也是最好最全的数值类的数学软件,在进行矩阵方面或图形方面的处理等方面,MATLAB的表现也是令人满意的,因为矩阵计算和图形处理也是它的强项[11].下面着重以MATLAB为例介绍线性代数中有关矩阵的计算机应用.3. 数学软件在线性代数中的应用3.1 计算机求解矩阵方程运用MATLAB 求解线性的矩阵方程(即线性方程组)b Ax =有三种方法[12－16]:(1)运用函数),(b A rref ；(2)当A 为方阵,且0)det(≠A ,即A 可逆,则可运用函数b A inv x *)(=；(3)运用MATLAB 中的除法运算:b A x \=. 例1对线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+-+=---=-++82324223832262324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 求解.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1232212332122321A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321x x x x x , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8486b 矩阵方程为b Ax =下面分别用以上三种方法解方程:(1)输入:>> B=[1 2 3 -2 6;2 -1 -2 -3 8;3 2 -1 2 4;2 -3 2 1 -8]; >> rref(B) //注意:这里的B 是增广矩阵,即),(b A B = 输出如图1：图1 方法(1)输出结果函数),(b A rref 将增广矩阵化简为简单的阶梯型矩阵,所以可得方程的解为2,1,2,14321-=-===x x x x ．(2)因为A 为方阵,且016)det(≠-=A ,所以A 可逆 输入:>> A=[1 2 3 -2 ;2 -1 -2 -3 ;3 2 -1 2 ;2 -3 2 1]; >> b=[6;8;4;-8]; >> x=inv(A)*b 结果:x = 1.0000 2.0000 -1.0000 -2.0000 (3)输入:>> A=[1 2 3 -2 ;2 -1 -2 -3 ;3 2 -1 2 ;2 -3 2 1]; >> b=[6;8;4;-8]; >> x=A\b 结果为:x = 1.0000 2.0000 -1.0000 -2.0000运用MATLAB 求解线性方程组的解非常简单,如果用手计算则非常复杂,如例1中的线性方程组如果用手计算,则可运用克拉默法则.先求出系数行列式的值||A d =，然后将系数行列式中第j 列换成b ,求出其行列式的值j d ),,2,1(n j =，然后验证),,,(21dd d d d d n 是否为线性方程组的解,如果是线性方程组的解,则线性方程组的解可表示为dd x d dx d d x n n ===,,,2211 .另外,也可运用消元法解线性方程组.运用初等变换将系数矩阵变成阶梯型矩阵,便可知道该线性方程组是否有解,并求出解.3.2 矩阵的基本分析矩阵的基本运算有:矩阵的逆、矩阵的转置、矩阵的幂、矩阵的正交矩阵、矩阵的行列式的值、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的最小多项式、矩阵的若尔当标准形、矩阵的伴随矩阵等[2,14,15].下面分别介绍MATLAB 语言中相关函数. 1.矩阵的逆在MATLAB 中求逆用函数()inv 来计算,格式为)(X inv Y =.当X 为非满秩矩阵(或奇异矩阵)时,系统会产生警告信息. (Warning: Matrix is singular to working precision.) 2.矩阵行列式的值在MATLAB 中,求矩阵的行列式的值,用函数det(),格式为)det(X d =,运用此函数是矩阵X 必须为方阵. 若不为方阵也会出现错误信息.即:Error using ==> det Matrix must be square.3.矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数里矩阵问题的重点也是难点,在用笔计算时需要引入“λ”,求0||=-A E λ的值即特征值λ,然后根据x Ax λ=,找出特征值λ对应的特征向量x .当矩阵A 为高阶方阵时,计算0||=-A E λ就显得很困难了.而在MATLAB 中求矩阵的特征值和特征向量可运用函数()eig 便可求出矩阵的特征值和特征向量.格式为:)(A eig d = //d 为矩阵A 的特征值)(],[A eig D V = //V 为矩阵A 的特征向量,D 为矩阵A 的特征值向量,即有D V V A ⨯=⨯4.矩阵的正交矩阵只需用函数()orth 就可一步求得.若用手算,需要先求出矩阵的特征值与特征向量,然后将T （由特征向量组成的矩阵）运用施密特正交化将其正交化,单位化,计算过程非常复杂. 5.矩阵的Jordan 标准形矩阵的Jordan 标准型的相关计算在线性代数中应用非常广泛,但计算矩阵的Jordan 标准型的过程非常复杂.首先,需要求出矩阵的特征值、初等因子,再根据初等因子的幂写出Jordan 标准型,或者判断矩阵的代数重数与几何重数是否相等,来决定矩阵Jordan 标准型的结构.而在MATLAB 中,求解矩阵的Jordan 标准型只需运用函数()jordan 就可得出矩阵的Jordan 标准型.格式为:)(A jordan J = //返回Jordan 矩阵J例2已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1221167241301100A ,求A 的逆1-A ,转置T A ,行列式||A ,特征值和特征向量, Jordan 标准型及A 的5次方. 编写过程及结果:>> A=[0 0 1 -1;0 3 1 4;2 7 6 -1;1 2 2 -1]; >> Y=inv(A) Y =-0.1667 0.5000 -1.1667 3.3333 -1.1667 -0.5000 0.8333 -1.6667 1.5000 0.5000 -0.5000 1.0000 0.5000 0.5000 -0.5000 1.0000 >> A' ans =0 0 2 1 0 3 7 2 1 1 6 2 -1 4 -1 -1 >> det(A) ans = -6 >> [V ,D]=eig(A)图2 特征值与特征向量输出结果>> jordan(A) ans =8.6040 0 0 0 0 -1.0494 0 0 0 0 0.2227 + 0.7842i 0 0 0 0 0.2227 - 0.7842i >> A^5 ans =641 3172 2248 1021 3075 15219 10785 4897 7862 38893 27563 12508 2345 11599 8220 3730 6.矩阵的伴随矩阵 设ij A 是矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212221212111中元素ij a 的代数余子式,则矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n nnA A A A A A A A A A212222111211*称为A 的伴随矩阵. 例3求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0112201-11A 的伴随矩阵. 编写程序及运行结果: >> A=[1 1 -1;0 2 2;1 -1 0] A =1 1 -1 02 2 1 -1 0 >> y=poly(eig(A)) y =1.0000 -3.0000 5.0000 -6.0000 >> m=max(size(y)) m = 4>> p=[0 y(1:(m-1))] p =0 1.0000 -3.0000 5.0000 >> B=polyvalm(p,A)图3 伴随矩阵的输出结果最终A 的伴随矩阵为B ,如图3. 说明:(1)函数()poly 可产生指定根的多项式)(A poly P =中,P 为矩阵A 的特征多项式的系数,并按降序的顺序排列.(2)函数()size 可显示当前矩阵的行列数)(A size S =,输出结果为A 的行数,A 的列数两项.(3)函数()polyvalm 为计算多项式的值,即将矩阵带入多项式中),(A p polyvalm X =表示将矩阵A 带入多项式p 中,其中完成的是矩阵与矩阵的乘积[17].3.3 矩阵的基本变换矩阵初等变换的定义:下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)交换两行(记为j i r r =)；(2)以数0≠k 乘某一行所有元素（记作k r j ⨯）；(3)把某一行所有元素的k 倍加到另一行的对应元素上去(记作j i kr r +). 把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变换的定义(所用记号是把“ r ”换成“c ”) [1].矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为矩阵的初等变换. 例4将矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=5332132********4202173132A 化为上三角阵[16]. 输入:>> A=[2 3 1 -3 -7;1 2 0 -2 -4;3 -2 8 3 0;2 -3 7 2 3;1 2 3 3 5]; >> i=2; >> while i<6A(i,:)=A(i,:)-A(i,1)/A(1,1)*A(1,:); i=i+1; end>> for i=3:5A(i,:)=A(i,:)-A(i,2)/A(2,2)*A(2,:);end>> f=find(A(3:5,3));>> s=size(f);>> if(s(1)~=0)f=f(1)+2;a=A(3,:);A(3,:)=A(f,:);A(f,:)=a;A(4,:)=A(4,:)-A(4,3)/A(3,3)*A(3,:);elseA(4,:)=A(4,:)-A(4,4)/A(3,4)*A(3,:);end>> A(5,:)=A(5,:)-A(5,4)/A(4,4)*A(4,:);>> A输出结果如图4:图4将矩阵A化为上三角的输出结果3.4矩阵分解3.4.1LU分解lu函数可将任意的方阵A表示成两个三角阵之积,其中一个为行置换下三角阵()L(即L阵经过行置换后可得到的下三角阵),另一个为上三角阵U.将矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=123456789A 分解成一个上三角阵和一个普通矩阵的乘积. 输入:>> A=[9 8 7;6 5 4;3 2 1]; >> [L,U]=lu(A) 输出结果如图5:图5 A 进行LU 分解后的结果()lu 函数可将任意的方阵A 表示成一个上三角阵U 和另一个矩阵L 的乘积,其中L 为一个行置换下三角阵(即L 矩阵经过行置换后可得到的一个下三角阵).对非空的稀疏矩阵X ,)(],,,[X lu Q P U L =可以得到单位下三角阵L ,上三角阵U ,行置换矩阵P 和列重排矩阵Q ,使得U L Q X P ⨯=⨯⨯.如果X 为空矩阵,则()lu 命令会给出出错信息[7,8,10]. 3.4.2 QR 分解 例6将矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=123456789A 分解为一个正交矩阵和一个上三角形矩阵的乘积.>> A=[9 8 7;6 5 4;3 2 1]; >> [Q,R]=qr(A) 输出结果如图6：图6 矩阵A 进行QR 分解后的结果()qr 函数完成矩阵的正交三角分解,这种分解可适用于方阵和矩形矩阵,它可将实矩阵表示成一个实的正交矩阵与一个上三角阵之积.[])(,,A qr E R Q =可得到交换矩阵E ,上三角阵R 和单位矩阵Q ,并且有R Q E A ⨯=⨯[7,8,10].3.4.3 三角-三角分解 例7⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=524212425A ,求上三角阵R ,使得R R A T =. 输入如图7:图7 矩阵A 进行三角三角分解过程输出结果如图8:图8 矩阵A 进行三角三角分解后结果当A 为正定矩阵时,)(A chol R =可产生一个上三角阵R ,使得A R R T =⨯；当A 不为正定矩阵时,会给出出错信息.在[])(,A chol p R =命令中,当A 为正定矩阵时,0=p ,R 等同于)(A chol R =,为上三角矩阵；当A 不为正定矩阵时,p 为一正整数,R 是一个1-=p q 阶的上三角矩阵,且有):1,:1(q q A R R T =⨯[7,8,10]..4. 实际生活中的线性代数4.1线性代数在经济学中的应用下面以经济学中价值型投入产出模型为例,阐述MATLAB 在实际生活中的应用. 例1将国民经济简化为仅由农业、制造业和服务业.每一个产业只生产一种产品,分别是农业产品、制造业产品和服务.这三个产业彼此购买对方的产品作为自己的投入,假设没有进口,也不考虑其他因素,只对最终产品提供给用户使用.其对应的投入产出表1如下:(单位:亿元)表1 某单位投入产出表注:表中每一行表示一个部门的总产出以及用做各部门的投入和提供给外部用户的分配,而每一列表示一个部门生产需要投入的资源.例如,第一行表示农业的总产值为100亿元,其中15亿元农产品用于农产品本身,20亿元提供给制造业,30亿元提供给服务业,最终有35亿元农产品提供给用户；而第一列表示为了生产100亿元农产品,需要投入15亿元农产品,30亿元制造业产品和20亿元服务业产品.问题:若外部需求发生变化,改为农业100亿元,制造业200亿元,服务业300亿元,试求各部门应生产的总产出[18,19].分析:令ij t 为生产一个单位的第j 种产品需要消耗的第i 种产品的单位数,那么因为对每一个部门来说,投入—产出的变换关系是不变的,所以ij t 是一个常数,称为投入系数.令i x 为一定时间内第i 种产品的产出,此总产出的一部分用做各部门生产活动的投入,所以用作n 个生产部门投入的第i 种产品总量为∑=nj j ij x t 1.剩余的第i 种产品为∑=-=nj j ij i i x t x d 1,称为第i 种产品的最终需求,即外部需求.设T n x x x x ),,,(21 =,T n d d d d ),,,(21 =,n m ij t T ⨯=)(有d x T I =-)(,其中I 为单位矩阵,系数矩阵为)(T I A -=,T 称为直接消耗系数矩阵.解:由分析得,题目中由投入产出表易求得直接消耗系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00.030.020.030.005.030.020.010.015.015002006010020150452001010030150302002010015T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-=00.130.020.030.095.030.020.010.085.0T I A T d )300,200,100(=可由方程 d Ax = 得T d A x )91.494,75.457,95.287(1==-运用MATLAB 编写如下:>> I=eye(3); >> d=[100;200;300];>> T=[0.15 0.1 0.2;0.3 0.05 0.3;0.2 0.3 0]; >> x=inv(I-T)*d 结果为:x = 287.9499 457.7465 494.9139所以为满足需要,农业的总产出为287.95亿元,制造业的总产出为457.75亿元,服务业的总产出为494.91亿元.当最终需求发生改变时,将MATLAB 中的d 做改动即可,无需重新动手计算. 如果采用手算这样的问题,由上面可知,在计算1-A 时,需要把行列式)|(E A 做初等行变换,将其化为)|(B E ,则1-=A B ,然后求d A 1-才可得解x ；而用MATLAB 计算则只需几秒钟就可以求出方程d Ax =的解,所以MATLAB 大大节约了计算时间,提高了解题效率,广泛应用于经济学课程.4.2小结4.1中的例子只是根据经济学中投入产出模型简化了实际应用中的大量数据,意在说明运用计算机可以解决现实生活中普遍的问题.计算机不仅可以把复杂的运算过程变成简单的函数(如求矩阵的逆),既节省了大量的演算时间,又体会到了开动脑筋,运用自己的方法编写程序而得来的对数学的兴趣,还可以解决现实生活中比如经济、金融等方面的问题.计算机已经成为我们生活中不可缺少的一部分,我们可以充分利用计算机为我们的学习、生活提供帮助.当然,前提是我们必须动脑,动手,勤于思考才行.结束语本文主要以MATLAB为例介绍了计算机在线性代数中关于矩阵的应用,通过本文的讲述,可以了解到计算机为线性代数省去了大量繁琐的计算过程,为学生更好的学习提供了良好的环境.本文通过对矩阵各个特性的介绍,总结了运用计算机解决矩阵特征中的各个方法,然后由一个实际例子,证明了计算机可以广泛应用于实际生产生活中.由此可得出,计算机可以成为我们学习生活的有利工具,可以用简单的函数代替我们复杂的计算过程,不但为我们解题节省了大量的时间,而且可以激励我们开动脑筋,激发我们的学习热情及对数学和计算机学习的兴趣.但是本文只是简单的介绍了MATLAB中有关矩阵的一般函数,还有更多的计算过程是需要我们自己去研究编写,所以在以后的学习中,我们应该积极开动脑筋,更好的运用计算机解决数学中的问题,增强自己的动手能力和学习兴趣,做到学以致用,学而能用.。