小学数学奥数基础教程(六年级)--18

小学数学奥数基础教程(六年级)
本教程共30讲
取整计算
任何一个小数（或分数）都可以分成整数和纯小数（或真分数）两部分。

在数学计算中，有时会略去数字的小数部分，而只取它的整数部分。

比如，做
得到正确答案是2件。

为了方便，我们引进符号［］：
［a］表示不超过数a的最大整数，称为a的整数部分。

与+，-，×，÷符号一样，符号［］也是一种运算，叫取整运算。

显然，取整运算具有以下性质：对于任意的数字a，b，
（1）［a］≤a；
（2）a≤［a］＋1；
（3）［a］＋［b］≤［a＋b］；
（4）若a≤b，则［a］≤［b］；
（ 5）若n是整数，则［ a＋n］=［a］＋n。

同学们可以自己举些例子来验证这五条性质。

例1计算［13÷［π］×4］。

解：［13÷［π］×4］
［13÷3×4］
例2 1000以内有多少个数能被7整除？
分析与解：同学们在三年级“包含与排除”一节中就见过这类题目，现在我们用取整运算来重新计算。

1000以内能被7整除的数，从1开始每7个数有1个，所以共有
例3求1～1000中能被2或3或5整除的数的个数。

都被重复计算了，应当减去。

另外，同时能被2，3，5整除的数，开始被加了三遍，后来又被减了三遍，所以还应当补上。

例4 1000以内有多少个数既不是3也不是7的倍数？
分析：在1～1000中，除去“既不是3也不是7的倍数”的数，剩下的数或者是3的倍数，或者是7的倍数。

用例3的方法可求出这部分数的个数。

1000与这部分数的个数之差即为所求。

例5求下式约简后的分母：
分析与解：因为 6=2×3，所以分母中的500个6相乘，等于2500×3500。

只要我们求出分子中有多少个因子2、多少个因子3，就可以与分母中的因子2和因子3约分了。

因为分子的1000个因数中有500个偶数，所以至少有500个因子2，这样分母中的500个因子2将被全部约掉。

分子中有因子3的数，有的只有1个因子3，有的有2个因子3，等等。

因为
36=729＜1000＜37＝2187，所以分子的每个因数最多有6个因子3。

与分母约分后，分母还剩两个因子3。

所以，约简后的分母是9。

注意：在上面的计算中，并不需要真的这样计算。

因为式中的分子都是1000，分母依次是3，32，33，…后面一个是前面一个的3倍，所以在取整运算中，只需口算：1000除以3等于333（小数部分舍掉，下同），333除以3等于111，111除以3等于37，37除以3等于12，12除以3等于4，4除以3等于1。

于是得到
333＋111＋37＋12＋4＋1=498（个）。

在上面的运算中，当得数小于3时就自然停止，事先不必求出分母最大是3的几次方。

例6 在下面的等式中，M，n都是自然数，n最大可以取几？
1×2×3×…×99×100＝12n×M。

分析与解：因为12=22×3，所以只要求出等号左边有多少个因子2、多少个因子3，这些因子2和因子3能“凑”出多少个12，问题就解决了。

与例5类似，可求出等号左边因子2和因子3分别有
=50＋25＋12＋6＋3＋1=97（个）；
因为97个因子2与48个因子3最多可以“凑”出48个12，所以n 最大是48。

练习18
2.请给出三个数a，b，c，使满足：
［a］＋［b］=［a＋b］，［a］＋［c］＜［a＋c］。

3.在1000～2000中，有多少个数是8的倍数？
4.500以内有多少个数能被3或者能被5整除？
5.在 10000以内，既不是 2也不是 3也不是 5的倍数的数有多少个？
6.K是自然数，且下式是整数，求K的最大值。

7.求下式约简后的分母：
答案与提示练习18
1.55。

2.例如，a=1.4，b=1.5，c=1.6。

3.126个。

4.233个。

5.2666个。

=5000+3333+2000-1666-1000-666+333=7334，10000-7334=2666（个）。

6.215。

解：1～699中因子7的个数为
1～2000中因子7的个数为
K=330-115=215。

7.72。

解：1～100中因子2的个数为
因子3的个数为
分子中有97个因子2和48个因子3，而分母中有100个因子2和50个因子3，所以约简后的分母有3个因子2和2个因子3，是23×32=72。