最短路问题 教学ppt
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最短路问题__迪杰斯特拉算法ppt课件
j
)}
min{
T
(v4
),
T
(v5
),
T
(v6
)}
T
(v4
)
T
(v5
)
5,
所以有， p(v4 ) 5, p(v5 ) 5
（6） T (v6 ) min[T (v6 ), P(v4 ) l46, P(v5 ) l56 ] min[, 5 4,5 2] 7
X={1,2,4}, p2=2
ppt课件
13
X={1,2,4}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
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2
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6
7
4
p6=3
8 8
min {d16,d23,d25,d47}=min {0+3,2+6,2+5,1+2}=min {3,8,7,3}=3
X={1,2,4,6}, p6=3
ppt课件
P(v1) 0
T (vi ) (i 2,3,,6)
（2） T (v2 ) min[ T (v2 ), P(v1) l12 ] min[ , 0 3] 3
T (v3 ) min[ T (v3 ), P(v1 ) l13 ] min[ , 0 5] 5
最短路问题
ppt课件
1
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数最小的通路。（注意：在有向图 中，通路——开的初等链中所有的弧应 是首尾相连的。）
《最短路问题》课件
3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰 数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问 题指什么？
在无向连通图或有向连通图 中，从某一起点到其余各顶 点的最短路径。
什么是路径长度？
路径长度是指路径上边或弧 的权值之和。
什么是无环图？
无环图指不存在环的图，可 以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中，我们将介绍四种最短路算法及其 应用，并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题？ 2 为什么需要解决最
短路问题？
最短路问题是计算从源 节点到目标节点的最短 路径的问题。它是图论 中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到 最短路径的计算，比如 电网、交通、通信等领 域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间 的最短路径问题，可以处理有向图或负边权 图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负 权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索，在启发 函数的帮助下，可以高效解决带权图上的单 源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大，A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居，更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3，直到所有节点的距离值 都已经更新。
总结
运筹学课件 最短路、最大流、邮路
第i年 价格 ai 使用寿命 费用 bi 1 11 0－1 b1 5 2 11 1－2 b2 6 3 12 2－3 b3 8 4 12 3－4 b4 11 5 13 4－5 b5 18
最短路径问题的应用
例 设备更新问题
把求总费用最小问题化为最短路径问题。用点 i (i=1,2,3,4,5)表示第 i 年买进一台新 设备。增设一点 6 表示第五年末。从i点到i+1,……, 6 各画一条弧，弧（i , j）表示在 第 i 年买进的设备一直使用到第 j 年年初（第 j －1年年末）。求1点到6点的最短路径。 路径的权数为购买和维修费用。 弧（i , j）的权数为第i年的购置费ai＋从第i年使用至第j-1年末的维修费之和。 从第i年使用至第j-1年末的维修费：b1+…+bj-i
1 1 2 3 4 5 2 16 3 22 16
（使用寿命为j-i年） 具体权数计算结果如下：
5 41 30 23 17 6 59 41 31 23 18
如：（2－4）权数为：a2+b1+b2=11＋5＋6=22
4 30 22 17
通过一个网络的最短路径
例 设备更新问题 ：
2 16 30 22 41 4 23
最大流问题
两个重要结论： 1、任何一个可行流的流量都不会超过任一截集的容量。 2、若对于一个可行流f *，网络中有一个截集（ V1*，V1*）， 使v（ f *）=C(V1*，V1 *)，则f *必是最大流，而（ V1*， V1 *）必是所有截集中容量最小的一个，即最小截集。
定理：可行流f *是最大流，当且仅当不存在关于f *的增广链。 于是有如下结论：最大流量最小截量定理：任一个网络中，从vs 到vt的最大流量等于分离vs，vt的最小截集的容量。
最短路径问题的应用
例 设备更新问题
把求总费用最小问题化为最短路径问题。用点 i (i=1,2,3,4,5)表示第 i 年买进一台新 设备。增设一点 6 表示第五年末。从i点到i+1,……, 6 各画一条弧，弧（i , j）表示在 第 i 年买进的设备一直使用到第 j 年年初（第 j －1年年末）。求1点到6点的最短路径。 路径的权数为购买和维修费用。 弧（i , j）的权数为第i年的购置费ai＋从第i年使用至第j-1年末的维修费之和。 从第i年使用至第j-1年末的维修费：b1+…+bj-i
1 1 2 3 4 5 2 16 3 22 16
（使用寿命为j-i年） 具体权数计算结果如下：
5 41 30 23 17 6 59 41 31 23 18
如：（2－4）权数为：a2+b1+b2=11＋5＋6=22
4 30 22 17
通过一个网络的最短路径
例 设备更新问题 ：
2 16 30 22 41 4 23
最大流问题
两个重要结论： 1、任何一个可行流的流量都不会超过任一截集的容量。 2、若对于一个可行流f *，网络中有一个截集（ V1*，V1*）， 使v（ f *）=C(V1*，V1 *)，则f *必是最大流，而（ V1*， V1 *）必是所有截集中容量最小的一个，即最小截集。
定理：可行流f *是最大流，当且仅当不存在关于f *的增广链。 于是有如下结论：最大流量最小截量定理：任一个网络中，从vs 到vt的最大流量等于分离vs，vt的最小截集的容量。
最短路问题实验PPT学习教案
（3） 设 v* 是使 l(v) 取最小值的 S 中的顶点，则令 S=S∪{ v* }， u v*
（4） 若 S φ，转 2，否则，停止. 用上述算法求出的 l(v) 就是 u0 到 v 的最短路的权，从 v 的父亲标记
z(v) 追溯到 u0 , 就得到 u0 到 v 的最短路的路线.
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l(ui )
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7
u8
最后标记: l(v)
z (v)
02
17
u1 u1
u1
u6
3
6 9 12
u2
u5
u4
u5
u2
u5
u1
u4
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u3
u7
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w=[ ];
function [l,z]=Dijkstra(W) n = size (W,1); for i = 1 :n l(i)=W(1,i); z(i)=1; end i=1; while i<=n for j =1 :n
对每个顶点，定义两个标记（ l(v) ， z(v) ），其中: l(v) ：表从顶点 u0 到 v 的一条路的权． z(v) ：v 的父亲点，用以确定最短路的路线
算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终 l(v) 为从顶点
u0 到 v 的最短路的权． S：具有永久标号的顶点集
输入: G 的带权邻接矩阵 w(u, v)
第16页/共27页
一 、 可 化 为 最短路 问题的 多阶段 决策问 题
最短路的应用
二、 选 址 问 题 1、 中 心 问 题 2、 重 心 问 题
第17页/共27页
例：企业要制定一台重要设备 更新的五年计划，目标是使总 费用（购置费用和维修费用之 和）为最小。此设备在各年初 价格及使用期中所需维修数据 如下：
（4） 若 S φ，转 2，否则，停止. 用上述算法求出的 l(v) 就是 u0 到 v 的最短路的权，从 v 的父亲标记
z(v) 追溯到 u0 , 就得到 u0 到 v 的最短路的路线.
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l(ui )
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7
u8
最后标记: l(v)
z (v)
02
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u1 u1
u1
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3
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u5
u2
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w=[ ];
function [l,z]=Dijkstra(W) n = size (W,1); for i = 1 :n l(i)=W(1,i); z(i)=1; end i=1; while i<=n for j =1 :n
对每个顶点，定义两个标记（ l(v) ， z(v) ），其中: l(v) ：表从顶点 u0 到 v 的一条路的权． z(v) ：v 的父亲点，用以确定最短路的路线
算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终 l(v) 为从顶点
u0 到 v 的最短路的权． S：具有永久标号的顶点集
输入: G 的带权邻接矩阵 w(u, v)
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一 、 可 化 为 最短路 问题的 多阶段 决策问 题
最短路的应用
二、 选 址 问 题 1、 中 心 问 题 2、 重 心 问 题
第17页/共27页
例：企业要制定一台重要设备 更新的五年计划，目标是使总 费用（购置费用和维修费用之 和）为最小。此设备在各年初 价格及使用期中所需维修数据 如下：
第三节 最短路问题PPT课件
定义: 给定一个赋权有向图，即给了一个有向图
G=（V，A，W） ，对每一个弧aij =(vi,vj)∈A ， 相应地有权w（aij ） =wij ∈V1 ，又给定 G中的 两个顶点vs ,vt 。设 P是G 中从vs 到 vt的一条路，
定义路 P的权是 P中所有弧的权之和，记为W(P)
。最短路问题就是要在所有从vs 到vt 的路中，求 一条权最小的路，即求一条从vs 到vt 的路P* ，
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
则resent= vk,
， 。 Sk Sk1 vk
Tk Tk1 vk
若k=n，则结束，否则转第二步。
6
例 用Dijkstra算法求前面例子中从v1到各点的最短路。
v2 1
6 2
v5
2
v9
6
3
v1
3 v3 6
3 4 10
1
2
v4
10
4
v6 2 v7
v8
7
图上标号法:
v2 v1,6 1
v5
v1, ∞ 2
转步骤二。
29
用逐次逼近算法求从V1到V6的最短路
v2
5
4
v1
-3
5
7
v3
v6 v4 6
2
v5
30
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
运筹学课件(第十讲)—最短路问题
如果P是D中从vs到vj的最短路，vi是P中的一点，那么从vs沿P到vi路也是 从vs到vi的最短路。
Dijkstra法的适用条件
求出一点到图中任意点最短路
求解思路
从vs出发，逐步地向外探索最短路。执行过程中，与每个点记下一个数， 它或者表示从vs到该点的最短路的权（称为P(perpetual)标号），或者是 从vs到该点的最短路的权的上界（称为T(temporary)标号），方法的每一 步是去修改T标号，并且把某一个T标号点改为P标号点，从而使D中P标 号顶点多一个，这样最多经过p-1步就可以求出从vs到各点的最短路。
（2）起点发出的流的总和(称为流量)，必须等于终点接收的流的总 和；
（3）各中间点流入的流量之和必须等于从该点流出的流量之和，即 流入的流量之和与流出的流量 之和的差为0，也就是说各中间点只 起转运作用，它既不产出新的物资，也不得截留过境的物资．
Operation Research
网络最大流的基本概念（3）
第八讲
Operation Research
网络最大流的基本概念（6）
增广链的基本概念
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
实例：寻找图中增广链
第八讲
Operation Research
第八讲
网络最大流的基本概念（7）
运筹学课程
Operation Research
最短路问题
定义
第八讲
求最短路有两种算法，一是求从某一点至其他各点之间最短距离的Dijkstra(狄 克斯屈拉)算法；另一种是求网络图上任意两点之间最短距离的矩阵算法.
Dijkstra法的适用条件
求出一点到图中任意点最短路
求解思路
从vs出发，逐步地向外探索最短路。执行过程中，与每个点记下一个数， 它或者表示从vs到该点的最短路的权（称为P(perpetual)标号），或者是 从vs到该点的最短路的权的上界（称为T(temporary)标号），方法的每一 步是去修改T标号，并且把某一个T标号点改为P标号点，从而使D中P标 号顶点多一个，这样最多经过p-1步就可以求出从vs到各点的最短路。
（2）起点发出的流的总和(称为流量)，必须等于终点接收的流的总 和；
（3）各中间点流入的流量之和必须等于从该点流出的流量之和，即 流入的流量之和与流出的流量 之和的差为0，也就是说各中间点只 起转运作用，它既不产出新的物资，也不得截留过境的物资．
Operation Research
网络最大流的基本概念（3）
第八讲
Operation Research
网络最大流的基本概念（6）
增广链的基本概念
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
实例：寻找图中增广链
第八讲
Operation Research
第八讲
网络最大流的基本概念（7）
运筹学课程
Operation Research
最短路问题
定义
第八讲
求最短路有两种算法，一是求从某一点至其他各点之间最短距离的Dijkstra(狄 克斯屈拉)算法；另一种是求网络图上任意两点之间最短距离的矩阵算法.
数学建模最短路问题课件ppt
b(1,j-1)=1; b(2,j-1)=j; b(3,j-1)=a(1,j); end
while size(T,2) < n-1 [min,i]=min(b(3,:)); %在候选边中找最短边。 T(:,size(T,2)+1)=b(:,i); e = e + b(3,i); v = b(2,i); ％v表示新涂的红点。 temp = find(sb == b(2,i)); sb(temp) = [ ]; b(:,i) = [ ]; for j =1:length(sb) %调整候选边 d = a(v,b(2,j)); if d<b(3,j) b(1,j) = v; b(3,j) = d; end end
权，并称图 G 为赋权图.
规定用记号 和 分别表示图的顶点数和边数.
常用术语： （１） 端点相同的边称为环． （２） 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边．
（３） 有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边．
（４） 边和它的端点称为互相关联的． （５） 既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６） 任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
通路Wv1v4 v1e4v4e5v2e1v1e4v4 道路 Tv1v4 v1e1v2e5v4e6v2e2v3e3v4 路径 Pv1v4 v1e1v2e5v4
定义２ （１）任意两点均有路径的图称为连通图． （２）起点与终点重合的路径称为圈． （３）连通而无圈的图称为树．
定义３ （１）设 P(u, v) 是赋权图 G 中从 u 到 v 的路径，
4
22 3 4 35
5
78 inf 1965
3
实现Prim算法的MATLAB程序： a=[0 8 inf 1 5;8 0 6 inf 7;inf 6 0 9 10;1 inf 9 0 3;…
while size(T,2) < n-1 [min,i]=min(b(3,:)); %在候选边中找最短边。 T(:,size(T,2)+1)=b(:,i); e = e + b(3,i); v = b(2,i); ％v表示新涂的红点。 temp = find(sb == b(2,i)); sb(temp) = [ ]; b(:,i) = [ ]; for j =1:length(sb) %调整候选边 d = a(v,b(2,j)); if d<b(3,j) b(1,j) = v; b(3,j) = d; end end
权，并称图 G 为赋权图.
规定用记号 和 分别表示图的顶点数和边数.
常用术语： （１） 端点相同的边称为环． （２） 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边．
（３） 有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边．
（４） 边和它的端点称为互相关联的． （５） 既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６） 任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
通路Wv1v4 v1e4v4e5v2e1v1e4v4 道路 Tv1v4 v1e1v2e5v4e6v2e2v3e3v4 路径 Pv1v4 v1e1v2e5v4
定义２ （１）任意两点均有路径的图称为连通图． （２）起点与终点重合的路径称为圈． （３）连通而无圈的图称为树．
定义３ （１）设 P(u, v) 是赋权图 G 中从 u 到 v 的路径，
4
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78 inf 1965
3
实现Prim算法的MATLAB程序： a=[0 8 inf 1 5;8 0 6 inf 7;inf 6 0 9 10;1 inf 9 0 3;…
运筹学 PPT课件 第五章 图与网络分析-最短路
Dijkstra最短路算法的特点和适应范围
一种隐阶段的动态规划方法 每次迭代只有一个节点获得永久标记，若有两个或两个以上节点的 临时标记同时最小，可任选一个永久标记；总是从一个新的永久标 记开始新一轮的临时标记，是一种深探法 被框住的永久标记 Tj 表示 vs 到 vj 的最短路，因此 要求 dij0，第 k 次迭代得到的永久标记，其最短路中最多有 k 条边，因此最多有
d
(0) 65
}
min{0 ,2 9,6 3, , 0, 1}
9 取自第3列
v1 v2 v3 v4 v5 v6
0 2 6
2
0
3
8
9
D(0) L 6 3 0 5 3
8
5
0
3
9 3 0 1
3
1
0
d (1) 16
mkin{d1(k0)
d
} (0)
k6
（第1行+第6列）
8
5
0
3
9 3 0 1
3
1
0
d (1) 15
mkin{d1(k0)
d
(0) k5
}
（第1行+第5列）
min{d1(10)
d (0) 15
,
d (0) 12
d (0) 25
,
d (0) 13
d (0) 35
,
d (0) 14
d
(0) 45
,
d (0) 15
d (0) 55
,
d (0) 16
min{d1(10)
d (0) 16
,
d (0) 12
d
(0) 26
,
d (0) 13
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v8
6
3
v9 v7
4
v4
10
v6
2
［5,v3］
v2
1
v5
4 10
6 ［0,v1］
2
v1
3 1
2 6 v［ 3 3,v1］ 2 ［1,v1］ 3
v8
6
3
v9 v7
4
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10
v6
2
［5,v3］
v2
1
［6,v2］
v5
6 ［0,v1］
2
v1
3 1
2 6 v［ 3 3,v1］ 2 ［1,v1］ 4 10 3
3 1
2 6 v［ 3 3,v1］ 2 ［1,v1］ 4 10 3
v8
6
3
v［ 9 12,v5］ v7
4
v4
10
v6
［10,v5］
2
［9,v5］
此时，终点标号为［12,v5］,即v1—vn的最短距离为12，反向追踪 可求出最短路。
［5,v3］
v2
1
［6,v2］
v5
6 ［0,v1］
2
v1
3 1
2 6 v［ 3 3,v1］ 2 ［1,v1］ 4 10 3
v8
6
3
v［ 9 12,v5］ v7
4
v4
10
v6
［10,v5］
2
［9,v5］
v1－v9的最短路为：v1-v3-v2-v5-v9,最短距离为12
•
Dijkstra算法的补充说明
① 标号过程中间结点的标号内容有明确的意义
② 同一问题可能存在多个最短路，但距离是唯一的
③ 当网络中出现负的权数时，算法失效。
2
v1
3 1
2 6 v［ 3 3,v1］ 2 ［1,v1］ 3
v8
6
3
v9 v7
4
v4
10
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2
v2
6 ［0,v1］
1
v5
4 10
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3 1
2 6 v［ 3 3,v1］ 2 ［1,v1］ 3
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6
3
v9 v7
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［5,v3］
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2 6 v［ 3 3,v1］ 2 ［1,v1］ 3
最短路问题
最短路问题的研究在现实生活中有哪些应用？
• • • •
管道的铺设 线路的安排 厂区的布局 设备的更新
问题：求网络中起点到其它点的一条最短路线 引例：求网络中V1－V9的最短路
v2
6
1
v5
4 10
2
v1
1
3
2
v8
6 3 6
3
v3
2
v9
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10
v6
2
• •
算法：Dijkstra(狄克斯特拉) 标号法 基本思想：从起点Vs开始，逐步给每个节点V标号［dj,vi］，其 中dj是起点Vs到vj的最短距离，vi为该最短路线上的前一节点。
算法：Dijkstra(狄克斯特拉) 标号法
Step1: 给起点v1标号［0，v1］
v2
6 ［0,v1］ v1 3 2
1
v5
4 10
2
v8
6 3 6
3
v3
2
v9 v7
4
1
v4
10
v6
2
算法：Dijkstra(狄克斯特拉) 标号法
Step2: 把顶点v分成
VA:已标号点集 VB:未标号点集
1
v2
6 ［0,v1］ v1 1 3 2
[0,v1]
v1 2
1
[1,v1] v3 -3
v2
•
Dijkstra算法的补充说明
① 标号过程中间结点的标号内容有明确的意义
② 同一问题可能存在多个最短路，但距离是唯一的
③ 当网络中出现负的权数时，算法失效。
④ 前面的算法描述针对有向网络图，但对于无向的网络图，只需 将step 3中的（vi, vj）改为［vi, vj］，算法同样适用。
3
v3
2
v9
v7
10
4
［1,v1］
v4
v6
2
v2
6 ［0,v1］
1
v5
4 10
2
v1
3 1
2
v8
6 3 6
3
v3
2
v9 v7
4
［1,v1］
v4
10
v6
2
v2
6 ［0,v1］
1
v5
4 10
2
v1
3 1
2
v8
6 3 6
3
v3
2
v9 v7
4
［1,v1］
v4
10
v6
2
v2
6 ［0,v1］
1
v5
4 10
Thank you
v8
6
3
v9 v7
4
v4
10
［10,v5］
v6
2
［9,v5］
［5,v3］
v2
1
［6,v2］
v5
6 ［0,v1］
2
v1
3 1
2 6 v［ 3 3,v1］ 2 ［1,v1］ 4 10 3
v8
6
3
v9 v7
4
v4
10
v6
［10,v5］
2
［9,v5］
［5,v3］
v2
1
［6,v2］
v5
6 ［0,v1］
2
v1
1
v5
4 10
2
v8
6 3 6
3
v3
2
v9
v7
10
4
v4
v6
2
算法：Dijkstra(狄克斯特拉) 标号法
Step 3: 考虑所以这样的边（vi, vj）其中vi∈VA，vj∈VB，挑选其中 与起点v1距离最短（min{di + cij}）的vj，对vj进行标号。
v2
6 ［0,v1］ v1 1 3 2
v8
6
3
v9 v7
4
v4
10
v6
2
［5,v3］
v2
1
［6,v2］
v5
6 ［0,v1］
2
v1
3 1
2 6 v［ 3 3,v1］ 2 ［1,v1］ 4 10 3
v8
6
3
v9 v7
4
v4
10
v6
2
［5,v3］
v2
1
［6,v2］
v5
6 ［0,v1］
2
v1
3 1
2 6 v［ 3 3,v1］ 2 ［1,v1］ 4 10 3
1
v5
4 10
2
v8
6 3 6
3
v3
2
v9
v7
10
4
［1,v1］
v4
v6
2
算法：Dijkstra(狄克斯特拉) 标号法
Step 4: 重复2，3步骤，直至终点vn标上［dn,vi］,着dn即为v1－vn 的最短距离，反向追踪可找出最短路。
v2
6 ［0,v1］ v1 1 3 2
1
v5
4 10
2
v86 3 6源自v54 102
v8
6 3 6
3
v3
2
v9 v7
4
v4
10
v6
2
算法：Dijkstra(狄克斯特拉) 标号法
Step 3: 考虑所有这样的边（vi, vj）其中vi∈VA，vj∈VB，挑选其中 与起点v1距离最短（min{di + cij}）的vj，对vj进行标号。
v2
6 ［0,v1］ v1 1 3 2
v8
6
3
v9 v7
4
v4
10
v6
2
［9,v5］
［5,v3］
v2
1
［6,v2］
v5
6 ［0,v1］
2
v1
3 1
2 6 v［ 3 3,v1］ 2 ［1,v1］ 4 10 3
v8
6
3
v9 v7
4
v4
10
v6
2
［9,v5］
［5,v3］
v2
1
［6,v2］
v5
6 ［0,v1］
2
v1
3 1
2 6 v［ 3 3,v1］ 2 ［1,v1］ 4 10 3