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《最短路径问题》课件
查，最后到点B处执行任务，他们应如何走才能使总路
程最短？
l1
∙B ∙A
l2
解析：（1）如图，作点A关于直线l1的对称点A′；
（2）作点B关于直线l2的对称
A′ C
点B′；
B ∙
l1
（3）连接A′B′，分别交直线
∙A D
l2
l1，l2于点C，D，连接AC，BD.
B′
所以先到点C设卡检查，再到点D设卡检查，最后到点
A
B
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示，将A地抽象为一个点，将草地边和河边抽象
为两条直线.
l1
A
B l2
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边
形AMNB的周长最小.
A1
l1
作法：分别作点A，B关于直
M
线l1，l2的对称点A1，B1，连 接A1B1分别交直线l1，l2于点M， N，则点M，N即为所求.
B处执行任务，按照这样的路线所走的路程最短.
随堂练习
1.两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B， 有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶 D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树 顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞 行路程最短，在图中画出该点的位置.
解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于 点E，则点E即为所求.
同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以
将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直
线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？
如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性
《最短路径问题》PPT课件
A
a 3、连接PA，PB，由对称轴 的性质知，PA= P1A，
P1
PB=P2B
∴先到点A处吃草，再到点B
处饮水，最后回到营地，
这时的放牧路线总路程最
短，即 (PB+BA+AP)min
• 证明：
P2
b ∵ PA1+A1B1+B1P
B1 B
.P
河
= P1A1+A1B1+B1P2 > P1A+AB+BP2
前面和右面
D D1
③
A 1 A1
C1
2
4
B1
AC1 =√52+22 =√29
左面和上面
• 1、如图是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁 在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 7 4 。
D
4
C
A
5
B3
• 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点 与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽 度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面 圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的 最小值为 10cm 。
在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B
的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥
要与河垂直）
.A M
作法： 1、将点B沿垂直与河岸的方
向平移一个河宽到E
N
2、. E连接AE交河对岸与点M,则
.点BM为建桥的位置，MN为 所建的桥。
A C
M ND E
B
• 证明： ∵ AC+CD+DB = AC+CD+CE = AC+CE+CD > AE+CD = AM+ME+CD = AM+NB+MN ∴ AC+CD+DB > AM+NB+MN
一次函数之最短路径问题ppt课件【可编辑全文】
29
课下任务
3、如图，直线y=-x+7与两坐标轴分别交于AB两点，O为坐标原点，点Q 为直线AB上一个动点
y A
Q ● P●
-1 o●
B x
30
课下任务
3、如图，直线y=-x+7与两坐标轴分别交于AB两点，O为坐标原点，点Q 为直线AB上一个动点
y A
垂线段最短
-1 o● P●
Q ●
B x
31
20
任务拓展 变式五：如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为A(2,—3）B(4, 1）， 若点P(m,0)和点Q(m+1,0) 是x轴上的两个动点， 则当m= 时， AP+PQ+QB最小．
21
任务拓展
将点B(4,1)向左平移1个单位到B'(3,1),连接AB'交x轴于点P,再将点P向右平移一 个单位即为点Q
在平面直角坐标系中，矩形 半轴上， ， ，
的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正
OACB
D为边OB的中点. (1)若E为边OA上的一个动点，
OA 3 OB 4
y
当△CDE的周长最小时， 求点E的坐标；
B
C
D
O
Ax
E
11
任务演练
如图，作点D关于x轴的对称点 ，
连 由接题意得C与CDx(3轴,4交) D于(0点,2E),即为所求。
2、直线y=kx+b过点A（2，-3）和点B(4,1),则这条直线解析式为：
. 它与
x轴交点(4,坐1)标为
，与y轴交点坐标为
(-4,-1)
( 7 ,0) (0,-7) 自任主务独要立求完：2成
课下任务
3、如图，直线y=-x+7与两坐标轴分别交于AB两点，O为坐标原点，点Q 为直线AB上一个动点
y A
Q ● P●
-1 o●
B x
30
课下任务
3、如图，直线y=-x+7与两坐标轴分别交于AB两点，O为坐标原点，点Q 为直线AB上一个动点
y A
垂线段最短
-1 o● P●
Q ●
B x
31
20
任务拓展 变式五：如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为A(2,—3）B(4, 1）， 若点P(m,0)和点Q(m+1,0) 是x轴上的两个动点， 则当m= 时， AP+PQ+QB最小．
21
任务拓展
将点B(4,1)向左平移1个单位到B'(3,1),连接AB'交x轴于点P,再将点P向右平移一 个单位即为点Q
在平面直角坐标系中，矩形 半轴上， ， ，
的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正
OACB
D为边OB的中点. (1)若E为边OA上的一个动点，
OA 3 OB 4
y
当△CDE的周长最小时， 求点E的坐标；
B
C
D
O
Ax
E
11
任务演练
如图，作点D关于x轴的对称点 ，
连 由接题意得C与CDx(3轴,4交) D于(0点,2E),即为所求。
2、直线y=kx+b过点A（2，-3）和点B(4,1),则这条直线解析式为：
. 它与
x轴交点(4,坐1)标为
，与y轴交点坐标为
(-4,-1)
( 7 ,0) (0,-7) 自任主务独要立求完：2成
最短路径问题-(PPT课件) 公开课
第十三章 轴对称
故事引入
导入新课
复习旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
①
为什么？
②
②最短，因为两点之间，线段最短
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
l2
l2
2.关键： 作对称点，利用轴对称的性质将线段转化， 从而利用“两点之间，线段最短”来解决
作法及思路分析
1.作点A关于直线 l 的对称点A′ ，连接CA′。
B A
l
C
A′
2.由上步可知AC+CB=B_′_A_C_+_C_B_′ ___
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
故事引入
导入新课
复习旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
①
为什么？
②
②最短，因为两点之间，线段最短
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
l2
l2
2.关键： 作对称点，利用轴对称的性质将线段转化， 从而利用“两点之间，线段最短”来解决
作法及思路分析
1.作点A关于直线 l 的对称点A′ ，连接CA′。
B A
l
C
A′
2.由上步可知AC+CB=B_′_A_C_+_C_B_′ ___
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
最短路径问题 ppt课件
12
图论及其应用 作业 用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有 顶点的最短路径及及长度。
13
图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度 步骤1：置P={1}，T={2,3,…,n}且S1=0，Sj=w1j， j=2,3,…,n 。 步骤2：在T中寻找一点k，使得Sk=min{Sj}，置P=P{k}， T=T- {k}。若T=，终止；否则，转向步骤3。 步骤3：对T中每一点j，置Sj=min {Sj ，Sk+ wkj}，然后转向步 骤2。 算法经过n-1 次循环结束。
6
1-6-8-B
6-8-B
13
10
5
图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法，这个算法是由荷 兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。 他在1972年获得美国计算机协 会授予的图灵奖，这是计算机 科学中最具声望的奖项之一。
最终，起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最 短路线及长度。
3
图论及其应用
例 使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ，B =(bij)mn，规定C=AB=(dij)mn，
其中dij=min(aij, bij)
《最短路径问题》课件
参考文献
• 算法导论 • 计算机算法设计与分析 • 图解算法
《最短路径问题》PPT课 件
# 最短路径问题PPT课件
介绍最短路径问题的定义和概念，以及为什么最短路径问题在实际生活中很 重要。 同时，探讨最短路径问题的基本性质。
最短路径的求解
1
暴力算法
枚举所有路径并找到最短路径，但随着
Dijkstra算法
2
节点增多，复杂度呈指数级上升。
介绍算法的原理和步骤，通过不断更新
距离表找到最短路径。
3
Floyd算法
介绍算法的原理和步骤，通过动态规划 计算最短路径。
最短路径问题的应用
铁路、公路、航空、航 海
路线规划在交通行业中的重 要性和应用。
互联网中的路由算法
讲解互联网通信中使用的最 短路径算法。
生命科学领域的基因测 序和蛋白质分析
如何利用最短路径问题的变种
任意两点之间的最短路径问题
探讨在图中找到任意两点之间的最短路径。
带负权边的最短路径问题
介绍具有负权边的图中求解最短路径问题的方法。
一般图的最短路径问题
分析在一般图中求解最短路径的挑战和方法。
更多变种问题的介绍
介绍其他类型的最短路径问题及其应用。
总结
总结最短路径问题的基本概念，分析各种算法的优缺点及适用范围。 同时，展望最短路径问题的未来发展方向。
课件_人教版数学八年级上册1 最短路径问题优秀精美PPT课件
A
B
于点C． 则点C 即为所求．
C
l
你能用所学的知识证明AC +CB最短吗？
B'
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，C′B，C′B′．
由轴对称的性质知，
CB =CB′，C′B=C′B′．
∴ AC +C B= AC +C B′= AB′，
AC′+C′B= AC′+C′B′．
A
在△AB′C′中，
·
AB′＜AC′+C′B′， ∴ AC +CB＜AC′+C′B．
C′ C
B
·
l
即 AC +CB 最短．
B′
问 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
利用了轴对称的有关知识， 把两点在直线同侧问题转化为 两点在直线异侧问题。从而用 “两点之间，线段最短”
2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM,
MN=CD,BD∥CE, BD=CE,
所以A到B地的路程为:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则A到B地的路程为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
13.4课题学习 最短路径问题 根据：两点之间线段最短.
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
∴ AC +CB＜AC′+C′B．
课件_人教版八年级上册1 课题学习 最短路径问题ppt课件
∴当只有在C点位置时,AC+BC最短.
B
合作交流 探究新知
探究3：在公路l同侧有A、B两个小区，现要在 公路l旁修建一公交站C，要使公交站到两小区 的距离之和最短，试确定公交站C的位置。
A B l
归纳新知
因此,如果在直线l同侧的两个点分别是点A,B,在l上
找一个点C,使点C到点A、B距离和CA+CB最短,那么我们
探究2：此时A，B'两小区到供气站距离之和与A，B两小区之间距离有怎样的关系？为什么？ 1、如图，已知正方形ABCD，M是BC的中点，P是对角线BD上一动点，要使PM+PC的值最小，请确定P点的位置。
河垂直.） 1）两点之间，线段最短
如下图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地．请你设计一条放牧路线，使其 所走的总路程最短。
归纳小结
“最短路径问题” (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小 的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连 接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求. 如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一 个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B', 则点C是直线l与AB'的交点.
应用新知 解决问题
1、如图，直线L是一条河，P、Q是两个村庄，欲在L上 的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有四种铺 设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的 是（ ）？
Q
Q
Q
Q
P
P
P
P
L M
A
L M
B
L M
C
L M
D
2．如图，AD是等边三 角形△ABC的BC边上的 高，AD＝6，E是AD上 的动点，E是AC边的中 点，则EF＋EC的最小 值为____．
人教版八年级数学上册1最短路径问题教学课件
最短路径问题
如图，在直线 上求作一点 ，使得 + 最短.
、 在直线 异侧
′
、 在直线 同侧
例：造桥选址问题
例
如图， 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
. 桥造在何处可使从 到 的路径 最短（假定
河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）?
作 ′ 关于直线 的对称点 ′′.
′
′
′
′′
连接 ′′，与直线 交于一点即
为所求点 .
问题
在直线 上求作两点 ，，使
得四边形 的周长最小.
练习 已知线段 ，点 、 在直线 的同侧，在直线 上求
作两点 ，（点 在点 的左侧）且 = ，使得
四边形 的周长最小.
思考
哪些点是定点？
哪些点是动点？
思考
问题是否可以简化？
问题转化为：
当点 在什么位置时， + + + 最小.
问题转化为：当点 在什么位置时， + 最小.
′
思考
通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），
座桥 ．桥造在何处可使从 到 的路径
最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
当点 在直线 的什么位置时，
+ + 最小？
实际问题用数学语言表达.
如图，在直线 上求作一点 ，使得 + 最短.
、 在直线 异侧
′
、 在直线 同侧
例：造桥选址问题
例
如图， 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
. 桥造在何处可使从 到 的路径 最短（假定
河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）?
作 ′ 关于直线 的对称点 ′′.
′
′
′
′′
连接 ′′，与直线 交于一点即
为所求点 .
问题
在直线 上求作两点 ，，使
得四边形 的周长最小.
练习 已知线段 ，点 、 在直线 的同侧，在直线 上求
作两点 ，（点 在点 的左侧）且 = ，使得
四边形 的周长最小.
思考
哪些点是定点？
哪些点是动点？
思考
问题是否可以简化？
问题转化为：
当点 在什么位置时， + + + 最小.
问题转化为：当点 在什么位置时， + 最小.
′
思考
通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），
座桥 ．桥造在何处可使从 到 的路径
最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
当点 在直线 的什么位置时，
+ + 最小？
实际问题用数学语言表达.
长方体中的路径最短问题PPT课件
建立数学模型，将问题转化为求长方 体表面上两点之间的最短距离，以及 求长方体内部两点之间的最短路径。
考虑长方体的几何特性，最短路径可 能沿着长方体的表面或者通过其内部。
问题的求过计算两点之间的直线距离来 得到最短路径。
02
对于长方体内部的两点，需要采 用图论的方法，将长方体表面展 开为平面图，然后应用平面图中 的最短路径算法求解。
长方体的三个维度
长方体有三个不同的维度，分别是长 度、宽度和高度。
空间几何中的距离概念
01
02
03
距离的定义
在空间几何中，两点之间 的最短路径长度被称为这 两点之间的距离。
距离的测量
距离可以通过多种方式测 量，如直线距离、欧几里 得距离等。
距离的性质
距离具有非负性、对称性、 三角不等式等性质。
空间几何中的最短路径问题
确定长方体中任意点到任意平面的距 离公式。
算法步骤和流程
算法流程 输入长方体的三个边长a、b和c。
输入起点和终点坐标。
算法步骤和流程
根据公式计算起点和终点之间的距离。 根据距离公式计算最短路径。
输出最短路径。
算法实现和代码示例
算法实现 使用Python语言实现算法。 使用NumPy库进行数学计算。
问题的限制条件和特殊情况
限制条件
长方体的边长a、b和c必须大于0，且a、b、c不能为0。
特殊情况
当长方体为正方体时，所有边长相等，此时最短路径问题变得较为简单。
04
解决方案
算法步骤和流程
算法步骤 确定长方体的三个边长，分别为a、b和c。
确定长方体中任意两点间的距离公式。
算法步骤和流程
确定长方体中任意点到任意直线的距 离公式。
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13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
A ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存
在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、
F两点，并说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分
别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最
短，找出E、F两点，并说明理由．
D
C 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， C ′
B l
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
B′
.
10
练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某
处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，
图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
.
14
方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点 所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动 点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连 线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长 最小时动点的位置.
.
15
当堂练习
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m 对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别 交于P、Q，下面的说法正确的是（ A ）
且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周
长最小时点C的坐标是（ A）
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
B′
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，
C′ E
交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后
依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，
然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
Q P
Q P
MA
l Q
P
B
M Q
l
P
M
l
C
M
l
D
.
11
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C
关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值
B
B 抽象成
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
.
6
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找 到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A C
根据是“两点之间，线段最短”，
可知这个交点即为所求.
B
.
7
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？ B
A
想一想：对于问题2，如何将点B“移” 到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意 一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
.
8
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点
上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，
当PA+PB的值最小时，在图中画出点P． y
B
A
O
P
x
B'
.
19
拓展提升
5.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使
C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
A
C
P
A
BO
BO
A
M
N B
.
20
D C
AP C' 图①
P' A
E
P
O
F
B
图② P''
B
M' A
E
M
N
O
B
F
N'
图③
.
21
课堂小结
A
l
A′
.
4
讲授新课
牧人饮马问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点 与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我 们称之为最短路径问题.
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利 用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”.
P ①
②
A ③B
A BC
Dl
.
5
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即
为BF+EF的最小值.
.
12
方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对 称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一 线段的长，而再根据已知条件求解.
.
13
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别 为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，
①
②
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有
线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
.
3
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
三角形三边关系：两边之的和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
A ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存
在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、
F两点，并说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分
别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最
短，找出E、F两点，并说明理由．
D
C 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， C ′
B l
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
B′
.
10
练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某
处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，
图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
.
14
方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点 所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动 点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连 线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长 最小时动点的位置.
.
15
当堂练习
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m 对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别 交于P、Q，下面的说法正确的是（ A ）
且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周
长最小时点C的坐标是（ A）
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
B′
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，
C′ E
交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后
依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，
然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
Q P
Q P
MA
l Q
P
B
M Q
l
P
M
l
C
M
l
D
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11
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C
关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值
B
B 抽象成
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
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6
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找 到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A C
根据是“两点之间，线段最短”，
可知这个交点即为所求.
B
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7
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？ B
A
想一想：对于问题2，如何将点B“移” 到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意 一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
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8
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点
上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，
当PA+PB的值最小时，在图中画出点P． y
B
A
O
P
x
B'
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19
拓展提升
5.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使
C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
A
C
P
A
BO
BO
A
M
N B
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20
D C
AP C' 图①
P' A
E
P
O
F
B
图② P''
B
M' A
E
M
N
O
B
F
N'
图③
.
21
课堂小结
A
l
A′
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4
讲授新课
牧人饮马问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点 与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我 们称之为最短路径问题.
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利 用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”.
P ①
②
A ③B
A BC
Dl
.
5
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即
为BF+EF的最小值.
.
12
方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对 称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一 线段的长，而再根据已知条件求解.
.
13
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别 为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，
①
②
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有
线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
.
3
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
三角形三边关系：两边之的和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？