最短路径问题 ppt课件
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《最短路径问题》PPT课件
A
a 3、连接PA，PB，由对称轴 的性质知，PA= P1A，
P1
PB=P2B
∴先到点A处吃草，再到点B
处饮水，最后回到营地，
这时的放牧路线总路程最
短，即 (PB+BA+AP)min
• 证明：
P2
b ∵ PA1+A1B1+B1P
B1 B
.P
河
= P1A1+A1B1+B1P2 > P1A+AB+BP2
前面和右面
D D1
③
A 1 A1
C1
2
4
B1
AC1 =√52+22 =√29
左面和上面
• 1、如图是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁 在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 7 4 。
D
4
C
A
5
B3
• 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点 与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽 度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面 圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的 最小值为 10cm 。
在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B
的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥
要与河垂直）
.A M
作法： 1、将点B沿垂直与河岸的方
向平移一个河宽到E
N
2、. E连接AE交河对岸与点M,则
.点BM为建桥的位置，MN为 所建的桥。
A C
M ND E
B
• 证明： ∵ AC+CD+DB = AC+CD+CE = AC+CE+CD > AE+CD = AM+ME+CD = AM+NB+MN ∴ AC+CD+DB > AM+NB+MN
《最短路径问题》PPT课件
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
《最短路径问题》PPT
讲授新课
牧人饮马问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点 与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我
们称之为最短路径问题.
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利 用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”. P
①
② A ③ B A B C
D l
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ B B 抽象成
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ ②最短，因为两点之间，线段最短 ① ② A ③ B
米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离
是 1000 米. C D 河
A
B
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格 点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴 上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P． y
B
A
O
B'
P
x
拓展提升
5.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使 C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由． （2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存 在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、 F两点，并说明理由． （3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分 别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最 短，找出E、F两点，并说明理由． A A D M C
最短路径问题-(PPT课件) 公开课
第十三章 轴对称
故事引入
导入新课
复习旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
①
为什么？
②
②最短，因为两点之间，线段最短
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
l2
l2
2.关键： 作对称点，利用轴对称的性质将线段转化， 从而利用“两点之间，线段最短”来解决
作法及思路分析
1.作点A关于直线 l 的对称点A′ ，连接CA′。
B A
l
C
A′
2.由上步可知AC+CB=B_′_A_C_+_C_B_′ ___
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
故事引入
导入新课
复习旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
①
为什么？
②
②最短，因为两点之间，线段最短
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
l2
l2
2.关键： 作对称点，利用轴对称的性质将线段转化， 从而利用“两点之间，线段最短”来解决
作法及思路分析
1.作点A关于直线 l 的对称点A′ ，连接CA′。
B A
l
C
A′
2.由上步可知AC+CB=B_′_A_C_+_C_B_′ ___
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件(共27张PPT)
A∙ 请小组讨论证明这个结论吧！
A′
M′ a M
b
N′
N
∙B
13.4 最短路径问题
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，
连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′， 即AM+NB+MN的值最小.
13.4 最短路径问题
解：∵点B 和 点C 关于直线 AD 对称， ∴BF = CF . 求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小. 连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最 小值. ∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点， ∴CE = AD = 5. ∴BF+EF的最小值为5.
路程最短？ C
A
D
A1
A C
C1 D1 E
E1 B B1
C1 B
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽， 连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、 DD1，即为桥.
13.4 最短路径问题
13.4 最短路径问题
学习目标 1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 重点
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想. 难点
最短路径问题 ppt课件
12
图论及其应用 作业 用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有 顶点的最短路径及及长度。
13
图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度 步骤1：置P={1}，T={2,3,…,n}且S1=0，Sj=w1j， j=2,3,…,n 。 步骤2：在T中寻找一点k，使得Sk=min{Sj}，置P=P{k}， T=T- {k}。若T=，终止；否则，转向步骤3。 步骤3：对T中每一点j，置Sj=min {Sj ，Sk+ wkj}，然后转向步 骤2。 算法经过n-1 次循环结束。
6
1-6-8-B
6-8-B
13
10
5
图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法，这个算法是由荷 兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。 他在1972年获得美国计算机协 会授予的图灵奖，这是计算机 科学中最具声望的奖项之一。
最终，起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最 短路线及长度。
3
图论及其应用
例 使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ，B =(bij)mn，规定C=AB=(dij)mn，
其中dij=min(aij, bij)
新人教版八年级数学上册《最短路径问题》精品课件(共15张PPT)
13.4 课题学习 最短路径问题
1.学会轴对称变换知识的应用，提高解决实际问题 的能力.
2.通过独立思考，合作探究，学会求最值问题. 3.感受数学在实际生活中的巨大作用，享受成功学 习的乐趣.
重点：应用轴对称解决实际问题. 难点：如何应用轴对称解决实际问题.
阅读课本P85-87页内容，了解本节主要内容.
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，
应如何建？
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化 为数学中最值问题.
垂线段线段ຫໍສະໝຸດ 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马， 然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走 的路径最短？
探究一：在直线上找一点，使它到直线外两点距离和最小
1.点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找 到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短.
2.由上面情景导入，当A、B两点在直线l的同侧时， 又如何求解.
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
1.学会轴对称变换知识的应用，提高解决实际问题 的能力.
2.通过独立思考，合作探究，学会求最值问题. 3.感受数学在实际生活中的巨大作用，享受成功学 习的乐趣.
重点：应用轴对称解决实际问题. 难点：如何应用轴对称解决实际问题.
阅读课本P85-87页内容，了解本节主要内容.
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，
应如何建？
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化 为数学中最值问题.
垂线段线段ຫໍສະໝຸດ 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马， 然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走 的路径最短？
探究一：在直线上找一点，使它到直线外两点距离和最小
1.点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找 到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短.
2.由上面情景导入，当A、B两点在直线l的同侧时， 又如何求解.
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
人教版八年级数学上册第十三章课题学习最短路径问题(共30张PPT)
此时从A到B点路径最短.
M N
P Q
G
H B1 B
同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、 ６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用平 移转化桥长来解决问题．
例如： 沿垂直于河岸方向平移Ａ点
依次至Ａ１、Ａ２、Ａ3 ，．．．， An,平移距离分别等于各自河宽， AnB交第n条河近B点河岸于Nn,建桥 MnNn,连接MnAn-1交第(n-1）条河近 B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1，...， 连接M1A交第一条河近B点河岸于N1， 建桥M1N1,此时所走路径最短.
献 。 现 将 主 要工作 报告 一 、 关 心 爱 护学生 。经常 耐心细 致地做 学生的 思想教 育工作 ,有时可 以说达 到了废 寝 忘 食 的 地 步。特 别是在 抗击非 典期间 ,对学生 的生命 安全高 度负责 ,从协助校领导
制 定 各 项 预 防措施 到学生 病情的 监控和 学生的 诊治陪 护等都 凡事躬 亲。自 己带领 的 由 党 团 员 组成的 陪护小 组,不怕 死,不怕 累,出 色完成 了学校 交给的 陪护学 生的任 务 。 XX 年 7月 ,音 专 001班 黄德华 被骗到 合浦搞 传销,我 接到求 救电话 后,马上 与杨小 林 等 同 志 赶 赴合浦 解救学 生,回到 南宁后 ,又自己 掏钱为 学生购 好了返回龙州的车票
桥MN和PQ在中间，且方向不 能改变，仍无法直接利用“两 点之间，线段最短”解决问题， 只有利用平移变换转移到两侧 或同一侧先走桥长.
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
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最短路径问题
最短路径问题
如图所示，从A地到B地有三条路 可供选择，你会选走哪条路最近？ 你的理由是什么？
C ①D E
A
②
B
两点之间,线段最短
③
F
最短路径问题
Ⅰ 两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在 L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
A
·
C′ C
B
·
l B′
最短路径问题
探索新知
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
l
最短路径问题
B′
练习
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，
向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方， 才能使从A、B到它的距离之和最短．
最短路径问题
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时，三角形的周长最小
D
B
C
E
最短路径问题
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称 点A′，A″；连接A′，A″，分别交 OM，ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求
∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,
CG+GH+HD=FG+GH+HE,
A
在四边形EFGH中，
F M
·C
GO
H N
∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短），
即CG+GH+HD＞CM+MN+ND
D·
E
即CM+MN+ND最短
B
最短路径问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B 的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行 的直线，桥要与河垂直。）
a
A
M
b
N
B
最短路径问题
你能证明一下如果在不同于MN的位置造桥 M/N/，距离是怎样的，能证明我们的做法 AM+MN+NB的和是最短距离吗？试一下。
A A′
M N
a b
B
最短路径问题
证明:取不同于,M，N的另外两点M/，N/ 由于M/N/=MN=AA/； 由平移的性质可知：AM=A/N,AM/=A/N/ 又根据“两点之间，线段最短”可知
P
为什么这样做就能得到最短距离呢？
最短路径问题
应用
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两 镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气 管线最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
P
最短路径问题
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛 名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求 教一个百思不得其解的问题：
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
最短路径问题
3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)， AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请 你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
作法：1.作点C关于直线
OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB
AG
的对称点点E,
A/N/+N/B>A/B 所以，AM/+N/B＞AM+NB, 所以，AM/+N/B+M/N/> AM+NB+MN.
a
M′
A
b
M
A′
N′
N
B
最短路径问题
பைடு நூலகம்
B A
C
l
最短路径问题
探索新知
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点， 当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
A
·
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
C
B
·
l
于点C．
则点C 即为所求．
B′
最短路径问题
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
G
O
·C
H
D·
E
B
3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，
则CG+GH+DH最短最短路径问题
最短路线：A P Q B
N
A/
P
Q
B/
A
M
最短路径问题
B
l
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接…
∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上， ∴GF=GC,FM=CM,
同理HD=HE，ND=NE,
3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，
则CM+MN+CN最短
D MO
H
Ｃ .
N
.E
B
最短路径问题
如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马
厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边
饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的
最短路线。
F
作法：1.作点C关于直线 A OA 的 对称点点F,
2. 作点D关于直线 OB 的对称点点E,
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B A
l
最短路径问题
探索新知
这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽 象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
最短路径问题
探索新知
现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当 点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．
最短路径问题
如图所示，从A地到B地有三条路 可供选择，你会选走哪条路最近？ 你的理由是什么？
C ①D E
A
②
B
两点之间,线段最短
③
F
最短路径问题
Ⅰ 两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在 L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
A
·
C′ C
B
·
l B′
最短路径问题
探索新知
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
l
最短路径问题
B′
练习
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，
向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方， 才能使从A、B到它的距离之和最短．
最短路径问题
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时，三角形的周长最小
D
B
C
E
最短路径问题
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称 点A′，A″；连接A′，A″，分别交 OM，ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求
∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,
CG+GH+HD=FG+GH+HE,
A
在四边形EFGH中，
F M
·C
GO
H N
∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短），
即CG+GH+HD＞CM+MN+ND
D·
E
即CM+MN+ND最短
B
最短路径问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B 的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行 的直线，桥要与河垂直。）
a
A
M
b
N
B
最短路径问题
你能证明一下如果在不同于MN的位置造桥 M/N/，距离是怎样的，能证明我们的做法 AM+MN+NB的和是最短距离吗？试一下。
A A′
M N
a b
B
最短路径问题
证明:取不同于,M，N的另外两点M/，N/ 由于M/N/=MN=AA/； 由平移的性质可知：AM=A/N,AM/=A/N/ 又根据“两点之间，线段最短”可知
P
为什么这样做就能得到最短距离呢？
最短路径问题
应用
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两 镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气 管线最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
P
最短路径问题
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛 名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求 教一个百思不得其解的问题：
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
最短路径问题
3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)， AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请 你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
作法：1.作点C关于直线
OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB
AG
的对称点点E,
A/N/+N/B>A/B 所以，AM/+N/B＞AM+NB, 所以，AM/+N/B+M/N/> AM+NB+MN.
a
M′
A
b
M
A′
N′
N
B
最短路径问题
பைடு நூலகம்
B A
C
l
最短路径问题
探索新知
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点， 当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
A
·
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
C
B
·
l
于点C．
则点C 即为所求．
B′
最短路径问题
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
G
O
·C
H
D·
E
B
3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，
则CG+GH+DH最短最短路径问题
最短路线：A P Q B
N
A/
P
Q
B/
A
M
最短路径问题
B
l
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接…
∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上， ∴GF=GC,FM=CM,
同理HD=HE，ND=NE,
3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，
则CM+MN+CN最短
D MO
H
Ｃ .
N
.E
B
最短路径问题
如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马
厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边
饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的
最短路线。
F
作法：1.作点C关于直线 A OA 的 对称点点F,
2. 作点D关于直线 OB 的对称点点E,
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B A
l
最短路径问题
探索新知
这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽 象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
最短路径问题
探索新知
现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当 点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．