最短路径问题---原创优秀课件
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《13-4 课题学习 最短路径问题》课件(共21张ppt)
线．
· A·
B
l 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河流l边 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）．
·
B
l
B′
思考：证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？ A
·
B
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
·
C′ C
l
B′
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小呢？ 思考1：如何将点B转“移” 到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与 CB′的长度相等？ 思考2：你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B′吗？ A
C
山 A Q P 河岸
大桥
B
2.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵 出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
a A b M
A′
N B
问题2
a M′ A M A′ N N′ b
证明:取不同于,M，N的另外两
13.4.1最短路径问题优秀课件
A BC NhomakorabeaDl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想： 对于问题2，如何将点
B
B“移”到l 的另一侧B′处，满足
典例精析
练习1.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5，EF垂直平分BC，点P 为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
典例精析 (两线一点型)
例2：如图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃 草，再到河边b处饮水，最后回到营地.请你设计一条放牧路线，使其所 走总路程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟
转化思想．（重点）
情景引入
请问牛郎织女在河边哪个地方相会，能让他两人走的总路程 最短？
迢迢牵牛星，皎皎河汉女。 纤纤擢素手，札札弄机杼。 终日不成章，泣涕零如雨； 河汉清且浅，相去复几许！ 盈盈一水间，脉脉不得语。
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
C
C′
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想： 对于问题2，如何将点
B
B“移”到l 的另一侧B′处，满足
典例精析
练习1.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5，EF垂直平分BC，点P 为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
典例精析 (两线一点型)
例2：如图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃 草，再到河边b处饮水，最后回到营地.请你设计一条放牧路线，使其所 走总路程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟
转化思想．（重点）
情景引入
请问牛郎织女在河边哪个地方相会，能让他两人走的总路程 最短？
迢迢牵牛星，皎皎河汉女。 纤纤擢素手，札札弄机杼。 终日不成章，泣涕零如雨； 河汉清且浅，相去复几许！ 盈盈一水间，脉脉不得语。
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
C
C′
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
《最短路径问题》PPT课件
A
a 3、连接PA，PB，由对称轴 的性质知，PA= P1A，
P1
PB=P2B
∴先到点A处吃草，再到点B
处饮水，最后回到营地，
这时的放牧路线总路程最
短，即 (PB+BA+AP)min
• 证明：
P2
b ∵ PA1+A1B1+B1P
B1 B
.P
河
= P1A1+A1B1+B1P2 > P1A+AB+BP2
前面和右面
D D1
③
A 1 A1
C1
2
4
B1
AC1 =√52+22 =√29
左面和上面
• 1、如图是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁 在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 7 4 。
D
4
C
A
5
B3
• 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点 与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽 度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面 圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的 最小值为 10cm 。
在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B
的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥
要与河垂直）
.A M
作法： 1、将点B沿垂直与河岸的方
向平移一个河宽到E
N
2、. E连接AE交河对岸与点M,则
.点BM为建桥的位置，MN为 所建的桥。
A C
M ND E
B
• 证明： ∵ AC+CD+DB = AC+CD+CE = AC+CE+CD > AE+CD = AM+ME+CD = AM+NB+MN ∴ AC+CD+DB > AM+NB+MN
最短路径问题 ppt课件
12
图论及其应用 作业 用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有 顶点的最短路径及及长度。
13
图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度 步骤1：置P={1}，T={2,3,…,n}且S1=0，Sj=w1j， j=2,3,…,n 。 步骤2：在T中寻找一点k，使得Sk=min{Sj}，置P=P{k}， T=T- {k}。若T=，终止；否则，转向步骤3。 步骤3：对T中每一点j，置Sj=min {Sj ，Sk+ wkj}，然后转向步 骤2。 算法经过n-1 次循环结束。
6
1-6-8-B
6-8-B
13
10
5
图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法，这个算法是由荷 兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。 他在1972年获得美国计算机协 会授予的图灵奖，这是计算机 科学中最具声望的奖项之一。
最终，起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最 短路线及长度。
3
图论及其应用
例 使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ，B =(bij)mn，规定C=AB=(dij)mn，
其中dij=min(aij, bij)
13.4最短路径问题 课件
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
Q
Q
P
P
MA
l Q
P
M
l
C
B
M Q
l
P
M
l
D
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000米.
C
D 河
新课引入
我们把研究关于“两点之间，线 段最短” “垂线段最短”等问题， 称它们为最短路径问题.最短路径问 题在现实生活中经常碰到，今天我们 就通过几个实际问题,具体体会如何 运用所学知识选择最短路径.
第十三章 轴对称
13.4课题学习 最短路径问题
问题1 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名 的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，请教一个百思不得其解的问题：
C．通过互联网 D．乘坐火车赴各地了解
解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信
息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度 远不及电报快。20世纪30年代民航飞机才在中国出现， 互联网出现在20世纪90年代。 答案：B
问题1 归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
问题2
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何 处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
《最短路径问题》课件
参考文献
• 算法导论 • 计算机算法设计与分析 • 图解算法
《最短路径问题》PPT课 件
# 最短路径问题PPT课件
介绍最短路径问题的定义和概念，以及为什么最短路径问题在实际生活中很 重要。 同时，探讨最短路径问题的基本性质。
最短路径的求解
1
暴力算法
枚举所有路径并找到最短路径，但随着
Dijkstra算法
2
节点增多，复杂度呈指数级上升。
介绍算法的原理和步骤，通过不断更新
距离表找到最短路径。
3
Floyd算法
介绍算法的原理和步骤，通过动态规划 计算最短路径。
最短路径问题的应用
铁路、公路、航空、航 海
路线规划在交通行业中的重 要性和应用。
互联网中的路由算法
讲解互联网通信中使用的最 短路径算法。
生命科学领域的基因测 序和蛋白质分析
如何利用最短路径问题的变种
任意两点之间的最短路径问题
探讨在图中找到任意两点之间的最短路径。
带负权边的最短路径问题
介绍具有负权边的图中求解最短路径问题的方法。
一般图的最短路径问题
分析在一般图中求解最短路径的挑战和方法。
更多变种问题的介绍
介绍其他类型的最短路径问题及其应用。
总结
总结最短路径问题的基本概念，分析各种算法的优缺点及适用范围。 同时，展望最短路径问题的未来发展方向。
《最短路径问题》课件
A A1
符合条件的路径,并标明桥的位置.
ll12
l3 B1 l4 B
课堂小结
最
短
A∙
路 径
造桥选址问题
M
问
A′
a b
题
N
∙B
即AM+NB+MN的值最小.
M′ a M
b
N′
N
∙B
新知探究 跟踪训练
如图，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行）， 现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何 选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
A
B
解：（1）如图，过点A作AC垂直于河岸，且使得AC的 长等于河宽； （2）连接BC，与河岸GH相交于点N，且过点N作 MN⊥EF于点M，则MN即为所建桥的位置. A
点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此
时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，A′N+ NB的值最小.A∙ M
a
A′
b
N
∙B
如图，连接A′，B，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线 b的交点即为所求的点N的位置，即在此处造桥MN，所 得路径AMNB是最短的.
A∙ M
《最短路径问题》
知识回顾
1.两点一线型.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找
一点C,使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与
直线l的交点.
A
C
l
B
1.两点一线型.
如图，点A，B是直线l同侧的两
B
点，在直线l上找一点C使得
A
AC+BC的值最小，这时先作点B
最短路径问题原创优秀课件_图文
解:如图
(1)作C点关于OA的对称点C1,作D点关于OB 的对称点D1
(2)连接C1D1,分别交OA.OB于P’.Q’,那么沿 C→P’→Q’→D的路线行走,所走总路程最短．
实际应用 要在两条街道a和b上各设 ：立里一才个能使邮邮筒递,M员处从是邮邮局局出,问发邮,到筒两设个在邮哪
筒取完信再回到邮局的路程最短？
A l
C
B
2.运用轴对称解决距离最短问题
如果涉及两条或更多条线段的和 最短, 则运用轴对称将所求线段转化 到一条线段上。
A
A C
C
B B
l l
B′
（3）在两条直线上分别求一点M、N使 三角形MAN的周长最小
l1
A1
M
M’
A
N
l2
N’
A2
3.利用平移确定最短路径选址
在解决最短路径问题时,我们还可以利 用平移变换把不在一条直线上的几条线 段转化到一条直线上,作出最短路径．
A’
Bபைடு நூலகம்
A l
C
B′
轴对称 变换
A l
C
平移 变换
B
两点之间,线段最短.
变式练习
1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定 长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移 动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？
.B A.
a
..
PQ
分析: PQ是一个定长线段,AP+PQ+QB最
短即AP+QB最短.此题类似课本问题二 的“造桥选址”问题。
问:转化为刚才的哪一类似题？
问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？
.B
A.
A’
a
(1)作C点关于OA的对称点C1,作D点关于OB 的对称点D1
(2)连接C1D1,分别交OA.OB于P’.Q’,那么沿 C→P’→Q’→D的路线行走,所走总路程最短．
实际应用 要在两条街道a和b上各设 ：立里一才个能使邮邮筒递,M员处从是邮邮局局出,问发邮,到筒两设个在邮哪
筒取完信再回到邮局的路程最短？
A l
C
B
2.运用轴对称解决距离最短问题
如果涉及两条或更多条线段的和 最短, 则运用轴对称将所求线段转化 到一条线段上。
A
A C
C
B B
l l
B′
（3）在两条直线上分别求一点M、N使 三角形MAN的周长最小
l1
A1
M
M’
A
N
l2
N’
A2
3.利用平移确定最短路径选址
在解决最短路径问题时,我们还可以利 用平移变换把不在一条直线上的几条线 段转化到一条直线上,作出最短路径．
A’
Bபைடு நூலகம்
A l
C
B′
轴对称 变换
A l
C
平移 变换
B
两点之间,线段最短.
变式练习
1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定 长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移 动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？
.B A.
a
..
PQ
分析: PQ是一个定长线段,AP+PQ+QB最
短即AP+QB最短.此题类似课本问题二 的“造桥选址”问题。
问:转化为刚才的哪一类似题？
问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？
.B
A.
A’
a
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A A' M N B
A’
a b
B A C l
A A' N B M
a b
B′
轴对称 变换
A
C
l
平移 变换
B
两点之间,线段最短.
变 式 练 习
1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定 长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移 动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？ .B A. a
P
.
Q
.
分析: PQ是一个定长线段,AP+PQ+QB最
问:转化为刚才的哪一类似题？
B
A l
抽象为数学问题
解决实 际问题
A C B l
两点之间,线段最短.
练习:导学案作业 1、2
P
Q
C’
P
P’
Q’
Q D’
’
’
解:如图 (1)作C点关于OA的对称点C1,作D点关于OB 的对称点D1 (2)连接C1D1,分别交OA.OB于P’.Q’,那么沿 C→P’→Q’→D的路线行走,所走总路程最短 ．
要在两条街道a和b上各设 实际应用：
立一个邮筒,M处是邮局,问邮筒设在哪 里才能使邮递员从邮局出发,到两个邮 筒取完信再回到邮局的路程最短？
如果涉及两条或更多条线段的和 最短, 则运用轴对称将所求线段转化 （3）在两条直线上分别求一点M、N使 三角形MAN的周长最小
l1 A1
M’
M
A N l2
N’
A2
3.利用平移确定最短路径选址
在解决最短路径问题时,我们还可以利 用平移变换把不在一条直线上的几条线 段转化到一条直线上,作出最短路径．
短即AP+QB最短.此题类似课本问题二 的“造桥选址”问题。
问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？
.B
A. a
A’
.
P
.
Q
Q’
B’
2.某班晚会时桌子摆成如图AO,BO两直排 ,AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖 果,坐在C 处的小明先拿橘子再拿糖果,然 后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走 路线,使其所走的总路程最短？
最短路径问题
太平一 中
理论依据:
1.两点的所有连线中,线段最短. （两点之间,线段最短）
2.三角形两边之和大于第三边. （证明时用）
常用方法：
1.直接运用两点之间线段最短解决
“求直线异侧的两点与直线上一点所 连线段的和最小”的问题---- 只要连 接这两点,与直线的交点即为所求．
A
l
C
B
2.运用轴对称解决距离最短问题
A’
a b
B A C l
A A' N B M
a b
B′
轴对称 变换
A
C
l
平移 变换
B
两点之间,线段最短.
变 式 练 习
1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定 长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移 动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？ .B A. a
P
.
Q
.
分析: PQ是一个定长线段,AP+PQ+QB最
问:转化为刚才的哪一类似题？
B
A l
抽象为数学问题
解决实 际问题
A C B l
两点之间,线段最短.
练习:导学案作业 1、2
P
Q
C’
P
P’
Q’
Q D’
’
’
解:如图 (1)作C点关于OA的对称点C1,作D点关于OB 的对称点D1 (2)连接C1D1,分别交OA.OB于P’.Q’,那么沿 C→P’→Q’→D的路线行走,所走总路程最短 ．
要在两条街道a和b上各设 实际应用：
立一个邮筒,M处是邮局,问邮筒设在哪 里才能使邮递员从邮局出发,到两个邮 筒取完信再回到邮局的路程最短？
如果涉及两条或更多条线段的和 最短, 则运用轴对称将所求线段转化 （3）在两条直线上分别求一点M、N使 三角形MAN的周长最小
l1 A1
M’
M
A N l2
N’
A2
3.利用平移确定最短路径选址
在解决最短路径问题时,我们还可以利 用平移变换把不在一条直线上的几条线 段转化到一条直线上,作出最短路径．
短即AP+QB最短.此题类似课本问题二 的“造桥选址”问题。
问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？
.B
A. a
A’
.
P
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Q
Q’
B’
2.某班晚会时桌子摆成如图AO,BO两直排 ,AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖 果,坐在C 处的小明先拿橘子再拿糖果,然 后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走 路线,使其所走的总路程最短？
最短路径问题
太平一 中
理论依据:
1.两点的所有连线中,线段最短. （两点之间,线段最短）
2.三角形两边之和大于第三边. （证明时用）
常用方法：
1.直接运用两点之间线段最短解决
“求直线异侧的两点与直线上一点所 连线段的和最小”的问题---- 只要连 接这两点,与直线的交点即为所求．
A
l
C
B
2.运用轴对称解决距离最短问题