整式的乘法2
= 2a − 2ab + b 当 a=2，b= -3时 ， 时 2 2 原式= 2 × 2 − 2 × 2 × ( −3 ) + ( −3 ) = 8 + 12 + 9 = 29
单项式×单项式： 单项式×单项式：
把系数相乘，做为积的系数； ⑴把系数相乘，做为积的系数； 把同底数幂相乘，做为积的因式； ⑵把同底数幂相乘，做为积的因式； ⑶只在一个单项式里含有的字母连同它的指数做 为积的因式。 为积的因式。 单项式×多项式： 单项式×多项式： 单项式去乘多项式的每一项， 用 单项式去乘多项式的每一项 ， 再把所得的积 相加。 相加。
2 2
3 2
2 3
= −2a b − 2a b − 5a b + 5a b 3 2 2 = −7a b + 3a b
3 2 2 3
(−2a ) ⋅ (ab + b ) − 5a(a b − ab )
2+b+c+d)=ma+b+c+d m(a+b+c+d)=ma+b+c+d a+b+c+d)= ⑵
整式的运算
整式的乘法
单项式乘以单项式： 单项式乘以单项式：
把系数相乘，做为积的系数； ⑴把系数相乘，做为积的系数； 把同底数幂相乘，做为积的因式； ⑵把同底数幂相乘，做为积的因式； ⑶只在一个单项式里含有的字母连同它的指数做 为积的因式。 为积的因式。
2
3 2
−ax y ⋅ ( −bxy ) = abx y 1 3 2 2 −a b ⋅ − ab ⋅ ( −3c ) = −a b c 3 7 −11 −4 −3 −5 × 10 ⋅ ( 6 × 10 ) = −30 × 10 = −3 × 10
2xy ⋅ (−x + 2y +1)
2 2 2
= −2x3 y2 + 4xy4 + 2xy2
2 3 3 2 4 7 3 −2a b c ⋅ ( a bc − ac +1) 2 6 7 85 = − a b c2 + 3a5b7c3 − 2a4b7c 5
= 3xy[ 2xy − xy + 2x + x]
实际问题：如图所示，公园中有一块长mx mx米 实际问题：如图所示，公园中有一块长mx米、宽 米的空地， 根据需要在两边各留下宽为a y 米的空地 ， 根据需要在两边各留下宽为 a 米 、 b 米的两条小路 其余部分种植花草 小路， 部分种植花草， 米的两条小路，其余部分种植花草，求种植花草 a b 部分的面积. 部分的面积.
3xy[ 2xy − x( y − 2) + x]
an+1 (an+1 − an−1 + an − 3)
= a2n+2 − a2n + a2n+1 − 3an+1
= 3x2 y2 + 9x2 y
先化简,再求值： 3. 先化简,再求值： 2a(a-b)-b(2a-b)+2ab,其中 其中a=2,b= -3 其中
m(a+b+c)= m(a+b+c)= ma+mb+mc a+b+c (m,a,b,c都是单项式) m,a,b,c都是单项式) 都是单项式
2ab(5a b + 3ab )= 10a b + 6a b 3 2 2 (−2a)(2a − 3a +1) = −4a + 6a − 2a 2 2 1 1 2 3 2 2 ( ab − 2ab) ⋅ ab = a b − a b 3 2 3 2 2 3 3 (−12xy −10x y + 21y )(−6xy ) 2 5 3 4 6 = 72x y + 60x y −126xy
mxy − ay − by
y ( mx − a − b ) = mxy −ay −by
y
mx
2ab(a b − 2ab + 3)
2 2
= 2a b −4a b +6ab
3 2
2 3
单项式×多项式： 单项式×多项式： 单项式去乘多项式的每一项， 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得 的积相加。 的积相加。
1 1 3 1 2 2 a(a + a + 2) = a + a +1 2 2 2
(×)
x)(ax+b- )=bx⑶(-2x)(ax+b-3)=-2ax2-2bx-6x
×) ( ×)
(
计算： 2. 计算： 2 2 1 −6x(x − 3y) = −6x +18xy −2a ( ab + b2 )= −a3b − 2a2b2
整式的乘法 (2)
(2)①、②、③三个小长方形的 面积分别是__m__a_、__m_b__、__m_c．
(3)由(1)、(2)得出等式 _m_(__a_+_b__+_c_)__=_m_a__+_m_b__+_m_c_．
(-2a)•(2a2-3a+1)
=(-2a)•2a2+(-2a)•(-3a)+(-2a)•1
（乘法分配律）
m=1
解得： n=2
∴m、n得值分别是m=1,n=2.
精心选一选：
1、下列计算中，正确的是（ B）
A、2a3·3a2=6a6
B、4x3·2x5=8x8
C、2X·2X5=4X5
D、5X3·4X4=9X7
2、下列运算正确的是（ D ）
A、X2·X3=X6
B、X2+X2=2X4
C、(-2X)2=-4X2 D、(-2X2)(-3X3)=6x5
若n为正整数，且x3n=2,求 2x2n ·x4n+x4n ·x5n的值。
解： 2x2n ·x4n+x4n ·x5n =2x6n+x9n =2(x3n)2+(x3n)3 =2×22+23 =8+8 =16
∴原式的值等于16。
我 努 力 我 1、理解掌握了单项
式乘法法则；
收 2、会利用法则进行单 获 项式的乘法运算 。
以下有四种不同形状的长方形 卡片，请你选取其中的两张， 用它们拼成更大的长方形，尽 可能采用多种拼法。
n （1）
m
n（3）
b
a （2）
m
a（4）
b
n
a m
m (a+n )= ma+mn
整式的乘法-
§15．2．4．2 整式的乘法（二）第七课时教案目标（一）教案知识点1．经历探索单项式与多项式乘法的运算法则的过程，•会进行简单的单项式与多项式的乘法运算．2．理解单项式与多项式相乘的算理，体会乘法分配律及转化思想的作用．（二）能力训练要求1．发展有条理的思考和语言表达能力．2．培养化归的数学思想．（三）情感与价值观要求在探索单项式与多项式的乘法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣．教案重点单项式与多项式相乘的运算法则及其应用．教案难点灵活运用单项式与多项式相乘的运算法则．教案方法引导─探究的方法．教具准备投影片教案过程Ⅰ．提出问题，创设情境1．单项式与单项式相乘的法则是什么？单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．2．整式包括什么？单项式与多项式．3．什么叫多项式，多项式的项，多项式的次数？举列说明．几个单项式的和叫多项式．在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项．多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．例如2x2-x-1是2x2、-x、-1三个单项式的和构成的，它是二次多项式．[师]上节课我们学习了整式乘法的一部分，今天，我们继续学习整式的乘法──单项式与多项式相乘．Ⅱ．导入新课出示投影片问题1：三家连锁店以相同的价格m（元／瓶）销售某种商品．•它们在一个月内的销售量（瓶）分别是a，b，c，•你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？问题2：计算：6×（12+23-16）你能从上述两个问题中发现什么规律吗？[生1]我们可以先求三家连锁店的总销量，总销量×单价＝总收入，所以，•在这个月内销售这种商品的总收入＝（a+b+c）m=m（a+b+c）．[生2]我觉得还可以这样考虑，总收入＝各家连锁店的总收入之和．•所以在这个月内销售这种商品的总收入＝ma+mb+mc．[师]考虑方法不同，结果是否相等呢？[生]这是同一问题的两种不同解决方法，所以最后结果应该是一致的．即：m（a+b+c）=ma+mb+mc．[生]对于问题2，我想可以用数乘的乘法分配律进行计算：6×（12+23-16）=6×12+6×23-6×16=3+4-1=6．（学生讨论、教师引导学生观察等式两边情形，充分交流后总结）[生]对于问题1，等式左边是单项式m与多项式a+b+c的乘积，右边是单项式m与多项式a+b+c中每一项乘积的和，是三个单项式的和．把问题1和问题2比较，形式相同，问题2是具体的数相乘，•可以使用乘法对加法的分配律，m、a、b、c都是单项式，都表示数，所以说，乘法对加法的分配律对于代数式也适用．问题1的解决也验证了这一点．[师]请大家根据上述等式阐述单项式与多项式相乘的法则．[生]单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得积相加．例如m（a+b+c）=ma+mb+mc=（a+b+c）m[生]我发现单项式与多项式之积，结果还是多项式．项数与左边多项式项数相同．[师]你的发现很有价值．具体操作时可以避免漏项．下面我们从具体计算中积累解题经验．[例1]计算：（1）（-4x2）·（3x+1）（2）（23ab2-2ab）·12ab解：（1）（-4x2）·（3x+1）=（-4x2）·（3x）+（-4x2）·1 ──单项式与多项式乘法法则 =（-4×3）（x2·x）+（-4x2）──同底数幂的乘法法则=-12x3-4x2（2）（23ab2-2ab）·12ab=23ab2·12ab+（-2ab）·12ab=（23×12）（a·a）（b2·a）+（-2×12）（a·a）（b·b）=13a2b3-a2b2（熟练后同底数幂的乘法运算步骤可以省略）[例2]计算：-2a2（12ab+b2）-5a（a2b-ab2）[师生共析]这是一个混合运算，有加减，有乘法，应该是先乘法后加减；运算中涉及到单项式与多项式的乘法，还涉及到多项式的加减．请同学们正确应用法则，•仔细运算，看谁算得又准又快．（教师巡视，及时发现问题，及时引导解决，最后以投影展示学生的两种解法）解法一：-2a2（12ab+b2）-5a（a2b-ab2）=-2a2·12ab+（-2a2）·b2+（-5a）·（a2b）+（-5a）·（-ab2）=（-2×12）（a2·a）b+[（-2）×1]a2b2+（-5×1）（a·a2）b+[-5×（-1）]a·a·b2=-a3b-2a2b2-5a3b+5a2b2 =-6a3b+3a2b2．解法二：-2a2（12ab+b2）-5a（a2b-ab2）=-2a2·12ab-2a2b2-5a·a2b+5a·ab2=-a3b-2a2b2-5a3b+5a2b2=-6a3b+3a2b2．解题方法总结：（1）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号的确定：•同号相乘得正，异号相乘得负．（2）不要漏掉任何一项，特别是当常数项是±1时，容易漏乘．（3）注意应用去括号的法则．（4）混合运算时要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项．Ⅲ．随堂练习（出示投影片）1．计算：（1）3a（5a-2b）（2）（x-3y）（-6x）（3）（-23m2np）（65m2n-94np-6n2p2）（4）（x2-2p）·（xy2）22．化简：（1）x（x-1）+2x（x+1）-3x（2x-5）（2）（-3x2）（x2-2x-3）+3x（x3-2x2-5） 1．解：（1）3a（5a-2b）=3a·5a+3a·（-2b）=15a-6ab．（2）（x-3y）（-6x）=x·（-6x）+（-3y）·（-6x）=-6x2+18xy．（3）（-23m2np）（65m2n-94np-6n2p2）=-23m2np·65m2n2+（-23m2np）（-94np）+（-23m2np）·（-6n2p2）=-45m4n3p+32m2n2p2+4m2n3p3．（4）（x2-2p）（xy2）2=（x2-2p）[x2·（y2）2]=（x2-2p）（x2y4）=x2·x2y4+（-2p）·x2y4=x4y4-2px2y4．2．解：（1）x（x-1）+2x（x+1）-3x（2x-5）=x·x+x·（-1）+2x·x+2x·1+（-3x）·2x+（-3x）·（-5）=x2-x+2x2+2x-6x2+15x=-3x2+16x（2）（-3x2）（x2-2x-3）+3x（x3-2x2-5）=-3x2·x2+（-3x2）·（-2x）+（-3x2）·（-3）+3x·x3+3x·（-2x2）+3x·（-5）=-3x4+6x3+9x2+3x4-6x3-15x=9x2-15x．Ⅳ．课时小结通过学习单项式与多项式的乘法，大家一定有不少体会，现在请发表自己的见解．[生]这节课我最大的收获是进一步体会到化归的作用，单项式与多项式相乘，根据乘法的分配律可以转化为单项式与单项式相乘，而这是我们上节课学习的内容，根据乘法的交换律、结合律又可以转化为同底为数幂的乘法运算．如果是混合运算，还需要考虑运算的顺序，最后要合并同类项使结果最简．[师]同学们回顾一下我们学过的知识，哪些地方曾经也用过转化的思想．[生]我们学习有理数的运算时，就曾用过．例如：有理数的乘法法则就是利用同号相乘得正，异号相乘得负确定符号后，再把绝对值相乘，而任何数的绝对值都是非负数，因此有理数的乘法运算就是在确定符号后转化成零和正整数、正分数的运算．[师]化归思想是数学学习中一种非常重点的数学思想，同学们要善于利用它，使它成为我们学习的得力助手．Ⅴ．课后作业1．课本P175习题15．2─4、6题．2．预习“多项式与多项式的乘法”．Ⅵ．活动与探究已知A=987654321×123456789，B=987654322×123456788．试比较A与B的大小．过程：如此复杂的数字，通过直接运算求得结果再来比较大小，显然是不现实的．能不能用化归的思想去解决这个问题呢？观察到123456789与123456788差1，987654321与987654322也差1，我们可以用字母表示数的方法，会给解决问题带来方便．结果：设a=987654321 b=123456788则a+1=987654322 b+1=123456789A=a（b+1）=ab+aB=（a+1）b=ab+b根据假设Array可知a>b所以A>B．板书设计备课资料参考练习1．选择题（1）12（x m y）n-10（x n y）m的结果是（其中m、n为正整数）（）A．2x m-y n B．2x n-y m C．2x m y n D．12x mn y n-10x mn y m（2）下列计算中正确的是（）A．3b2·2b3=6b6 B．（2×104）×（-6×102）=-1.2×106C．5x2y·（-2xy2）2=20x4y5 D．（a m+1）2·（-a）2m=-a4m+2（m为正整数）（3）2x2y·（12-3xy+y2）的计算结果是（）A．2x2y3-6x3y2+x2y B．-x2y+2x2y4C．2x2y4+x2y-6x3y2 D．-6x3y2+2x2y4（4）下列算式中，不正确．．．的是（）A．（x n-2x n-1+1）·（-2xy）=-2x n+1y+4x n y-2xyB．（x n）n-1=x2n-1C．x n（x n-2x-y）=x2n-2x n+1-x n yD．当n为任意自然数时，（-a2）2n=a4n2．计算（1）（-4xy3）·（xy）+（-3xy2）2（2）[2（x+y）3]·[5（x+y）k+2]2·[4（x+y）1-k]2（3）（2xyz2）2·（-xy2z）+（-xyz）3·（5yz）·（-3z）（4）（x3y2+x2y3+1）·（-3xy2）2·（-4xy）（5）（x2+2xy+y2）·（xy）n（6）-a n+1b·（a n-1b n-2a n b n-1）3．求证：对于任意自然数n，代数式n（n+7）-n（n-5）+6的值都被6整除．答案：1．（1）D （2）C （3）C （4）B2．（1）13x2y4（2）800（x+y）9（3）11x3y4z5（4）-36x6y7-36x5y8-36x3y5 （5）x n+2y n+2x n+1y n+1+x n y n+2（6）-a2n b n+1+2a2n+1b n+1+a n+1b3．（略）。
整式的乘法(2)(原卷版)
第二课时——整式的乘法（2）知识点一：单项式乘单项式：1. 运算法则：系数 ，同底数幂分别 。
对于只在一个单项式里面出现的字母，连同它 的 作为积的一个因式。
2. 说明：22223a b a ⋅-＝()()22223b a a ⋅⋅⋅⨯-＝246b a -【类型一：单项式乘单项式的计算】1．计算（1）2x 2•（﹣x y ）； （2）（﹣2a 2b ）•41a b c ；（3）（﹣2xy 2）•（3x 2y ）2； （4）（﹣2a 2c ）2•（﹣3ab 2）：2．计算：（1）（﹣32a 2b ）3•（31ab 2）2•43a 3b 2； （2）3a 2•a 4+（﹣2a 2）3；（3）（2a 2b ）3•b 2﹣7（ab 2）2•a 4b ； （4）a 2b 4•（﹣21ab ）2+41a •（﹣2ab 2）3．知识点一：单项式乘多项式：1. 运算法则：单项式与多项式相乘，则用单项式去乘多项式的 。
再把所得的积 。
2. 说明：()()()()32223225232532ab a ab a ab ab a -⋅-+⋅-=-⋅-3323106b a b a +-= 特别提示：最后能合并同类项的一定要合并同类项。
【类型一：单项式乘多项式的计算】3．计算：（1）（﹣2xy ）（3x 2﹣2xy ﹣4y 2）； （2）（﹣21m 2n ﹣31m n +1）•（﹣6m 3n ）；（3）（﹣3x 2y ）2•（﹣4xy 2﹣5y 3﹣6x +1）； （4）﹣3a （2a ﹣5）﹣2a （1﹣3a ）．4．已知A ＝﹣2x 2，B ＝x 2﹣3x ﹣1，C ＝﹣x +1，求：（1）A •B +A •C ； （2）A •（B ﹣C ）； （3）A •C ﹣B ．5．阅读：已知x 2y ＝3，求2xy （x 5y 2﹣3x 3y ﹣4x ）的值．分析：考虑到x ，y 的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x 2y ＝3整体代入．解：2xy （x 5y 2﹣3x 3y ﹣4x ）＝2x 6y 3﹣6x 4y 2﹣8x 2y＝2（x 2y ）3﹣6（x 2y ）2﹣8x 2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．你能用上述方法解决以下问题吗？试一试!（1）已知ab ＝3，求（2a 3b 2﹣3a 2b +4a ）•（﹣2b ）的值；（2）已知a 2+a ﹣1＝0，求代数式a 3+2a 2+2018的值．知识点一：多项式乘多项式：1. 运算法则：用一个多项式的 乘以另一个多项式的 ，再把所得的积 。
六年级数学下册第六章整式的乘法第2课时单项式与多项式相乘习题ppt课件鲁教版五四制
15．【中考·龙岩】先化简，再求值： 3(2x＋1)＋2(3－x)，其中x＝－1.
解：原式＝6x＋3＋6－2x＝4x＋9. 当x＝－1时，4x＋9＝4×(－1)＋9＝5.
16．已知ab2＝－1，求(－ab)(a2b5－ab3－b)的值．
解：(－ab)(a2b5－ab3－b)＝－a3b6＋a2b4＋ab2＝－ (ab2)3＋(ab2)2＋ab2. 当ab2＝－1时，原式＝－(－1)3＋(－1)2＋(－1)＝1.
6．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小 明拿出课堂笔记复习，发现一道题：－3xy(4y－2x－1)＝－ 12xy2＋6x2y＋ ， 的地方被钢笔水弄污了，你认为 内 应填写( A ) A．3xy B．－3xy C．－1 D．1
7．要使x(x＋a)＋3x－2b＝x2＋5x＋4成立，则a，b的 值分别为( C ) A．a＝－2，b＝－2 B．a＝2，b＝2 C．a＝2，b＝－2 D．பைடு நூலகம்＝－2，b＝2
19．一张长方形硬纸片，长为(5a2＋4b2)m，宽为 6a4 m，在它的 四个角上分别剪去一个边长为32a3 m 的小正方形，然后折成一 个无盖的盒子，请你求这个无盖盒子的表面积．
解：硬纸片的面积是(5a2＋4b2)·6a4＝30a6＋24a4b2(m2)， 小正方形的面积是32a32＝94a6(m2)， 则这个无盖盒子的表面积是 30a6＋24a4b2－4×94a6＝21a6＋ 24a4b2(m2)．
4．如果一个长方形的周长为10，其中长为a，那 么该长方形的面积为( B ) A．10a B．5a－a2 C．5a D．10a－a2
5．下列计算错误的是( C ) A．－3x(2－x)＝－6x＋3x2 B．(2m2n－3mn2)(－mn)＝－2m3n2＋3m2n3 C．xy(x2y－xy2－1)＝x3y2－x2y3 D.25xn＋1－13yxy＝25xn＋2y－13xy2
整式的乘法(2) 课件 2022—2023学年北师大版数学七年级下册
9.若(x+4)(x-3)=x2+mx-n，则( )
A.m=-1，n=12
B.m=-1，n=-12
C.m=1，n=-12
D.m=1，n=12
解析:因为(x+4)(x-3)=x2+x-12，
而(x+4)(x-3)=x2+mx-n，
所以x2+x-12=x2+mx-n，
则m=1，n=12.
10.某同学在计算一个多项式乘以-3x2时，算成了加
自主安排 习题1.7 第3题
注意
(1) 计算时，要注意符号问题，多项式 中每一项都包括它前面的符号，单项
式分别与多项式的每一项相乘时，同
号相乘得正，异号相乘得负； (2) 不要出现漏乘现象； (3) 运算要有顺序：先乘方，再乘除， 最后加减； (4) 对于混合运算，注意最后应合并同 类项
布置作业
作业 内容
必做作业 习题1.7 第1、2题
2x 2 y2z 2xy2z3 xyz
2x xyz 2 y2z xyz 2xy2z3 xyz
2x2 yz 2xy3z2 2x2 y3z4.
随堂练习
1. 计算.
（1） a(a2m n);
（3）
x3
y
1 2
xy3
1 ;
（2）b2 (b 3a a2 );
（4）4(e f 2d ) ef 2d.
2
1 a2b3 a2b2; 3
（3） 5m2n (2n 3m n2 );
（4）2(x y2 z xy2 z3 ) xyz.
解：（3） 5m2n (2n 3m n2 )
5m2n 2n 5m2n 3m 5m2n n2
10m2n2 15m3n 5m2n3;
《整式的乘法(2)》参考教案
整式的乘法二●教学目标一教学知识点1经历探索单项式与多项式乘法的运算法则的过程，会进行简单的单项式与多项式的乘法运算2理解单项式与多项式相乘的算理，体会乘法分配律及转化思想的作用二能力训练要求1发展有条理思考和语言表达能力2培养学生转化的数学思想三情感与价值观要求在探索单项式与多项式乘法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和勇气●教学重点单项式与多项式相乘的乘法法则及应用●教学难点灵活运用单项式与多项式相乘的乘法法则●教学方法引导探索法●教具准备投影片三张第一张：议一议，记作§第二张：例题，记作§第三张：练习，记作§教学过程Ⅰ提出问题，引入新课［师］整式包括什么［生］单项式和多项式［师］整式的乘法，我们上一节课学习了其中的一部分——单项式与单项式相乘你认为整式的乘法还应学习哪些内容呢［生］单项式与多项式相乘或多项式与多项式相乘［师］很好！我们这节课就接着来学习整式的乘法——单项式与多项式相乘Ⅱ利用面积的不同表示方式或乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，探索单项式与多项式相乘的乘法法则出示投影片§——议一议为支持北京申办奥运会，京京受画家的启发曾精心制作了两幅画，我们已欣赏过宁宁也不甘落后，也作了一幅画，如图1－2：1宁宁也作了一幅画，所用纸的大小与京京的相同，她在纸的左右两边各留了81米的空白，这幅画的画面面积是多少一方面，可以先表示出画面的长与宽，由此得到画面的面积为；另一方面，也可以用纸的面积减去空白处的面积，由此得到画面的面积为这两个结果表示同一画面的面积，所以 2如何进行单项式与多项式相乘的运算［师］从“议一议”可知求出宁宁画的画面面积有两种方法一种是直接用画面的长和宽来求；一种是间接地把画面的面积转化为纸的面积减去空白处的面积下面我们就用这两种方法分别求出画面的面积［生］根据题意可知画面的长为m －81－81即m －41米，宽为米，所以画面的面积为m －41米2［生］纸的面积为·m=m 2米2，空白处的面积为2·81=412米2，所以画面的面积为m 2－412米2［师］m －41与m 2－412都表示画面的面积，它们是什么关系呢［生］它们应相等，即m －41=m 2－412［师］观察上面的相等关系，等式左边是单项式与多项式m －41相乘，而右边就是它们相乘后的最后结果，你能用乘法分配律、同底数幂的乘法性质来说明上面等式成立的原因吗［生］乘法分配律abc=abm －41就需用去乘括号里的两项即m 和－41,再把它们的积相加，即m －41=·m ·－41=m 2－412［师］你能用上面的方法计算下面的式子吗3y 2y －2yy 2,并说明每一步的理由［生］3y 2y －2yy 2=3y ·2y3y ·－2y3y ·y 2——乘法分配律 =33y 2－62y 23y 3——单项式乘法的运算法则［师］根据上面的分析，你能用语言来描述如何进行单项式与多项式相乘的运算吗［生］单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加［生］其实，单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，这样新知识就转化成了我们学过的知识［师］看来，同学们已领略到了数学的“韵律”这种“转化”的思想是我们学习数学非常重要的一种思想我们在处理一些问题时经常用到它，例如新知识学习转化为我们学过的、熟悉的知识；复杂的知识转化为几个简单的知识等我们通过画面面积的不同表达方法和乘法分配律，得出了单项式乘以多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，下面我们来看它的具体运用Ⅲ练一练，明确单项式乘多项式每一步的算理，体会由单项式与多项式相乘向单项式与单项式相乘的转化出示投影片§例1］计算： 12ab5ab 23a 2b;232ab 2－2ab ·21ab; 3－6－3y; 4－2a 221abb 2解：12ab5ab 23a 2b=2ab ·5ab 22ab ·3a 2b ——乘法分配律 =10a 2b 36a 3b 2——单项式与单项式相乘232ab 2－2ab ·21ab =32ab 2·21ab －2ab ·21ab ——乘法分配律 =31a 2b 3－a 2b 2——单项式与单项式相乘 3－6－3y=－6·－6·－3y ——乘法分配律 =－6218y ——单项式与单项式相乘 4－2a 221abb 2=－2a 2·21ab －2a 2·b 2——乘法分配律=－a 3b －2a 2b 2——单项式与单项式相乘［师］通过上面的例题，我们已明白每一步的算理单项式与多项式相乘根据前面的练习，你认为需注意些什么［生］单项式与多项式相乘时注意以下几点： 1积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同 2运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“”连结，最后写成省略加号的代数和的形式［例2］计算：6mn 22－31mn 4－21mn 32分析：在混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项解：原式=6mn 2×26mn 2·－31mn 441m 2n 6=12mn 2－2m 2n 641m 2n 6=12mn 2－47m 2n 6［例3］已知ab 2=－6,求－aba 2b 5－ab 3－b 的值分析：求－aba 2b 5－ab 3－b 的值，根据题的已知条件需将ab 2的值整体代入因此需灵活运用幂的运算性质及单项式与多项式的乘法解：－aba 2b 5－ab 3－b=－ab ·a 2b 5－ab －ab 3－ab －b =－a 3b 6a 2b 4ab 2=－ab23ab22ab2当ab2=－6时原式=－ab23ab22ab2=［－－6］3－62－6=21636－6=246Ⅳ课时小结［师］这节课我们学习了单项式与多项式的乘法，大家一定有不少体会你能告诉大家吗［生］这节课我最大的收获是进一步体验到了转化的思想：单项式与多项式相乘，根据乘方分配律可以转化成单项式与单项式相乘；而上节课我们学习的单项式与单项式相乘，根据乘法交换律和结合律又可转化成同底数幂乘法的运算，……［师］同学们可回顾一下我们学过的知识，哪些地方也曾用过转化的思想［生］我们学习有理数运算的时候，就曾用过，例如有理数乘法法则就是利用同号得正，异号得负确定符号后，再把绝对值相乘，而任何数的绝对值都是非负数，因此有理数的乘法运算就是在确定符号后转化成0和正整数、正分数的运算［师］转化思想是我们数学学习中的一种非常重要的数学思想，在将来的学习中，他会成为我们的得力助手Ⅴ课后作业1课本习题第1、2题2回顾转化思想在以前数学学习过程中的应用Ⅵ活动与探究已知A=1×9,B=2×8试比较A、B的大小［过程］这么复杂的数字通过计算比较它们的大小，的因数是有关系的，如果借助于这种关系，用字母表示数的方法，会给解决问题带来方便［结果］设a=1,a1=2;b=8,b1=9,则A=ab1=aba;B=a1b=abb而根据假设可知a>b,所以A>B●板书设计§整式的乘法二——单项式与多项式的乘法一、议一议1用不同的方法表示画面的面积 一方面，画面面积为m －41米2；一方面，画面面积为m 2－412米2所以m －41=m 2－4122用乘法分配律等说明上式成立 m －41=·m ·－41——乘法分配律=m 2－412——单项式与单项式相乘综上所述，可得单项式与多项式相乘转化乘法分配律−−−−−→−单项式与单项式相乘−→−再把积相加二、练一练例1由师生共同分析完成 例2由师生共同分析完成 例3由师生共同分析完成。
22整式的乘法2
整式的乘法（二）一、单乘单：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．运算法则的依据是乘法的交换律，分成三步计算：一是各个单项式的系数相乘，二是同底数幂相乘，三是单独的字母照抄．这部分的计算中往往会混合了积的乘方，要注意运算的顺序，有乘方的要先算乘方，后算乘法．二、单乘多：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．依据是乘法分配律，要注意有乘方运算时的运算顺序以及符号的确定，还要注意分配律的运用．三、多乘多：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．多项式乘多项式，注意带符号运算以及不要漏乘．混合运算是一个难点，在混合运算中注意括号运算，不要漏括号．四、例题解析例1、计算：①②(－2a2)·(3ab2－5ab3)③（2x＋5y）（3x－2y）④（3x＋1）（2x－3）－（6x－5）（x－4）解：．②原式=－2a2·3ab2＋（－2a2）·（－5ab3）=－6a3b2＋10a3b3．③原式=2x(3x－2y)＋5y(3x－2y)=6x2－4xy＋15xy－10y2=6x2＋11xy－10y2．④原式=6x2＋2x－9x－3－（6x2－24x－5x＋20）=22x－23．例2、求证：52·32n＋1·2n－3n·6n＋2能被13整除．解：原式=25×32n＋1×2n－3n×2n＋2×3n＋2=25×32n＋1×2n－12×32n＋1×2n=13×32n＋1×2n而32n＋1×2n为正整数，故原式能被13整除．变式：已知3n＋11m能被10整除，试证：3n＋4＋11m＋2也能被10整除．证明：原式=81×3n＋121×11m=80×3n＋120×11m＋（3n＋11m）=10（8×3n＋12×11m）＋（3n＋11m）∵8×3n＋12×11m为正整数，3n＋11m能被10整除．∴原式能被10整除．例3、已知x2＋x－1=0，求x3－2x＋2008的值．解：∵x2＋x－1=0，∴x2=1－x∴原式=x·x2－2x＋2008=x（1－x）－2x＋2008=－x2－x＋2008=－（x2＋x）＋2008=－1＋2008=2007．例4、若（x2＋nx＋3）（x2－3x＋m）的展开式中不含x2和x3项，求m、n的值．解：原式=x4＋（n－3）x3＋（3－3n＋m）x2＋（mn－9）x＋3m．由已知得：．例5、设M=（a4＋2a2＋1）（a4－2a2＋1），N=（a4＋a2＋1）（a4－a2＋1），其中a是不为0的有理数，试比较M与N的大小．解：设a4＋a2＋1=A，则M=（A＋a2）（A－3a2）=A2－2a2A－3a4，N=A（A－2a2）=A2－2a2A．∴M－N=A2－2a2A－3a4－A2＋2a2A=－3a4．而a≠0，∴M－N＜0，即M＜N．变式：计算：（a1＋a2＋…＋a n－1）（a2＋a3＋…＋a n－1＋a n）－（a2＋a3＋…＋a n－1）·（a1＋a2＋…＋a n）．解：设a2＋a3＋…＋a n－1=A，则原式=（a1＋A）（A＋a n）－A（A＋a1＋a n）=A2＋（a1＋a n）A＋a1a n－A2－（a1＋a n）A=a1a n．同步测试一、选择题1、下列算式中，正确的是（）A．3a2·2a3=6a6B．2x3·4x5=8x8C．3x·3x4=9x4D．5x7·5x7=10x142、若－x2y=2，则－xy（x5y2－x3y＋2x）的值为（）A．16 B．0C．8 D．123、边长为a的正方形，其边长减少了b后，所得到的正方形的面积比原来的正方形面积减少（）A．b2 B．2abC．b2＋2ab D．b（2a－b）二、填空题4、若3x m＋5y2与x3y n的和是单项式，则m=__________，n=__________．这两个单项式的积为__________．5、若ax2＋bx＋c=（2＋x）（3x－1），则a=__________，b=__________，c=__________．三、解答题6、先化简，再求值：x（x＋2）－（x＋1）（x－1），其中．7、解方程：（x＋3）（x－7）＋8=（x＋5）（x－1）．8、（1）（x＋2）（x2－5x＋7）；（2）（x＋2）（y－3）－（x－1）（y＋2）；（3）（a－b）（a2＋ab＋b2）＋（a＋b）（a2－ab＋b2）.9、一个长方形的长增加4cm，宽减小1cm，面积保持不变；长减小2cm，宽增加1cm，面积仍保持不变，则这个长方形的面积等于多少？10、把（x2＋x－1）6展开后得：a12x12＋a11x11＋…＋a2x2＋a1x＋a0，求a12＋a10＋a8＋a6＋a4＋a2＋a0的值．答案：1-3 BAD 4、－2，2，3x6y4 5、3，5，－2 6、解：原式=2x＋1，当时，． 7、x=－1 8、（1）x3－3x2－3x＋14；（2）－5x＋3y－4；（3）2a3.9、解：设这个长方形的长为x cm，宽为y cm，面积为s cm2，则有xy=s，∵（x＋4）（y－1）=s，∴4y－x=4，又∵（x－2）（y＋1）=s，∴x－2y=2，∴y=3，x=8，∴s=xy=8×3=24（cm2）.10、解：设x=1，则有a12＋a11＋a10＋…＋a1＋a0=1 ①，x=－1，则有a12－a11＋a10－…－a1＋a0=1 ②，①＋②得2（a12＋a10＋…＋a0）=2，∴a12＋a10＋…＋a0=1．课外拓展例1、已知a1，a2，…a2004，a2005都是正数，设M=(a1＋a2＋…＋a2004)(a2＋a3＋…＋a2005)，N=(a1＋a2＋…＋a2005)(a2＋a3＋…＋a2004)，试比较M、N的大小解：设a1＋a2＋…＋a2004=x，则M=(a1＋x)(x＋a2005)=x2＋a1x＋a2005x＋a1a2005N=x(a1＋x＋a2005)=a1x＋x2＋xa2005∴M－N=a1a2005，∵a1，a2005均为正数∴M－N>0，即M>N.例2、你能口算下列各算式吗？51×59，72×78，84×86，95×95，147×143，191×199，如果不会，请先证明下列恒等式：(10x＋y)[(10x＋(10－y)]=100x(x＋1)＋y(10－y)再运用结论来计算上述各算式就轻而易举了.解：∵(10x＋y)[10x＋(10－y)]=100x2＋10x(10－y)＋10xy＋y(10－y)=100x2＋100x＋y(10－y)=100x(x＋1)＋y(10－y)∴51×59=100×5×(5＋1)＋1×9=300972×78=100×7×(7＋1)＋2×8=561684×86=100×8×(8＋1)＋4×6=722495×95=100×9×(9＋1)＋5×5=9025147×143=100×14×(14＋1)＋7×3=21021191×199=100×19×(19＋1)＋1×9=38009中考解析例、如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片______张．分析：因为正方形面积分别为a2和b2，而拼成的大长方形的面积是（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2，即需要一个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积3ab．解：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．则需要C类卡片3张．点评：本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用面积之和等于总的面积进行比较．。
7、整式的乘法(二)
课程名称整式的乘法（二）上课时间年月日课次第次课辅导老师辅导方式一对一教学内容教学材料中心自编辅导资料学生教学设想教学目标教学重点教学难点教学方法教学过程设计一、知识回顾1、单项式和单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含字母的，则联通它的指数作为积的一个因式；2、单项式和多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；3、多项式和多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加；4、平方差公式：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数平方差；5、完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，得出关于m的方程，求出m的值．【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，∴3+m=6，解得m=3．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算。
3、若(x﹣3)(x+3)=x2+px+q，那么p、q的是；由此可得，(x-a)(x+a)= .【考点】多项式乘多项式，平方差公式．【分析】此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p、q的值．【解答】解：由于（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12=x2+px+q，则p=1，q=﹣12．【点评】本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键．4.先化简，再求值：2(x-3)(x+2)-(3+a)(3-a)，其中a=-2，x=1．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】先根据多项式乘多项式的法则以及平方差公式计算，再去括号，然后合并，最后把a、x的值代入计算．【解答】解：原式=2(x2-x-6)-(9-a2) =x2-2x+a2﹣21，当a=-2，x=1时，原式=2×12-2×1+（-2）2-21=-17．于这两个数的平方和，加上（或减）这两个数积的2倍。
二、案例分析1、计算：（﹣3x 2y ）•（13 xy 2）= ．【考点】单项式乘单项式；同底数幂的乘法． 【分析】根据单项式的乘法法则，同底数幂的乘法的性质计算即可．【解答】解：（﹣3x 2y ）•（13 xy 2）=（﹣3）×13 ×x 2•x •y •y 2=﹣x 2+1•y 1+2=﹣x 3y 3．【点评】本题主要考查单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式．2、如（x+m ）与（x+3）=x 2+6x+9，则m 的值为 ，(x+m)2= (用x ，m 表示)。
1、6整式的乘法2初备
课题 整式的乘法2 课型 新授 课标与教材课表分析：1、在具体情景中，了解单项式乘多项式的意义。
2、理解单项式与多项式的乘法法则，会进行单项式与多项式的乘法运算。
教学重点：单项式与多项式相乘的运算法则及应用。
教学难点：灵活应用单项式与多项式乘法的法则。
学情分析 1.知识储备：在七年级上册的学习中，学生已经学习了数的运算、字母表示数、合并同类项、去括号等内容，了解有关运算律和法则，同时在前面几节课又学习了同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方法则，具备了类比有理数运算进行整式运算的知识基础。
2.学习优势：前面几节课又学习了同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方法则，具备了类比有理数运算进行整式运算的知识基础。
3.学困生分析：学生在运用法则进行计算时易混淆对于幂的运算性质法则的应用，出现计算错误，所以应加强训练，帮助学生提高认识。
教学目标知识目标：1．在具体情境中了解单项式与多项式乘法的意义。
2．经历探索单项式与多项式乘法运算法则的过程，理解单项式乘以多项式的运算法则。
3．会利用法则进行单项式与多项式的乘法运算，理解单项式与多项式相乘的算理，体会乘法分配律及转化的数学思想。
能力目标：体会乘法分配律及转化的数学思想，发展学生有条理思考的能力和语言表达能力。
情感目标：在探索单项式与多项式乘法运算法则的过程中，获得成就感，激发学习数学的兴趣。
教学方法与媒体多媒体课件 师 生 活 动 过 程 复备修改及设计意图一、回顾练习： 1．我们上节课学习整式的乘法，整式包括什么？ 2．什么是多项式？怎么理解多项式的项数和次数？ 3．整式乘法除了我们上节课学习的单项式乘以单项式外，还应包含哪些内容？ 4．计算： （1） 22m m ∙- （2） 23)()(xy xy ∙ （3） 2(ab －3)（4）－3(ab 2c+2bc －c) （5）(―2a 3b)∙(―6ab 6c)（6） (2xy 2)∙3yx 二、探索练习： 实际问题：如图所示，公园中有 一块长mx 米、宽y 米的空地，根据需要在两边各留下宽为a 米、b 米的两条小路，其余部分种植花草， 求种植花草部分的面积.（1）你是怎样列式表示种植花草部分的面积的?是否有不同的表示方法？其中包含了什么运算?与同伴交流. (2）由上面的探索，我们得到了:（3）用上面的方法计算:2ab(a 2b-2ab 2+3) 请说明每一步的依据。