《函数模型的应用实例》
高中数学必修一教案-函数模型的应用实例
《函数模型的应用实例》一、教学内容分析：本节课选自人民教育出版社A版的普通高中课程标准实验教科书·数学必修1中3．2．2函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一，函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．本节课的内容是在《几类不同增长的函数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容之后，对于纯数学知识的几类函数及其性质和给定的函数模型应用有了一定的学习，本节课是对以上两节内容的延续与拓展，研究没有给定函数模型或没有确定性函数模型的实际问题进行建模和应用．这节课的内容继续通过一些实例来感受函数模型的建立和应用，逐步体会实际问题中构建函数模型的过程，本节课的函数模型的应用实例主要包括建立确定性函数模型解决问题及选择或建立拟合函数模型解决问题．例5所给的问题的特点是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律建立数学模型，注意变化范围和检验结果的合理性，同时使用这种有规律的简单数据实例提供了建立数学模型的方法．例6与例5有所区别，表中数据的变化规律特点不是和明显，需要自己根据对数据的理解选择模型，这反映一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，让学生逐步感受和明确这一点．整节课要求学生分析数据，比较各个函数模型的优劣，选择接近实际的函数模型，并应用函数模型解决实际问题．强化读图、读表能力；优化学生思维，提高学生探究和解决问题的能力；强化学生数学应用意识，感受数学的实用性；锻炼学生的吃苦精神，提高学生的团队合作能力．二、教学目标：知识与技能：1．会分析所给出数据，画出散点图．2．会利用选择或建立的函数模型．3．会运用函数模型解决实际问题．过程与方法：1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性．2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析式，并应用模型解决实际问题．情感、态度和价值观：1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服务生活，体会数学的应用价值．2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度．3．提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度．三、学生学情分析：1．已掌握了一些基本初等函数的相关知识，有相应的数学基础知识储备．2．在前面的学习中，初步体会了利用给定函数模型解决实际问题的经历，为本节课积累解决问题的经验．3．学生从文字语言向图像语言和符号语言转化较弱；应用意识和应用能力不强；抽象概括和局部处理能力薄弱．四、教学重点、难点重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算或计算机数据建立具体的函数解析式．难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式．五、教学策略分析：基于新课程标准倡导以学生为主体进行探究性学习，教师应成为学生学习的引导者、组织者和合作者的教学理念和最近发展区理论，结合本节课的教学目标，采用如下教学方法：1．问题教学法．在例1的教学中，提出如何能更为直观的发现函数模型，引导学生思考，发现选择函数模型的重要方法，即散点图图像，从而让学生有收获，有成就感．在例2的解决过程中，提出一系列的问题串，学会对问题的剖析，直达问题的核心．使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，并使学生从中体会学习的兴趣．这样可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃，同时培养了学生自主学习，动手探究的能力．2．分组讨论法．在例2的教学中，遇到难以选择模型时，通过小组讨论，拓展思维，加强合作，解决问题；在获得函数模型后和课堂总结中，组织小组讨论，相互交流成果，扩大成果影响力．这样不仅能够培养学生对数学知识的探索精神和团队协作精神，更能让学生体验成功的乐趣，培养其学习的主动性．3．多媒体辅助教学法：在教学过程中，采用多媒体教学工具，通过动态演示有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。
函数模型的应用实例 课件
即前六个月所获纯利润 y 关于月投资 A 种商品的金额 x 的函数关系式是 y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润 y 关于月投资 B 种商品的金额 x 的函数关系式是 y＝0.25x.
根据函数自身的种类，常见函数模型可分为：
(1)直线模型：即一次函数模型，现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动的时 间和位移的关系，弹簧的伸长与拉力的关系等，直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k>1)， 通过画图可以很直观地认识它．
(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型叫做指数函数模型．指数函数增长的特点是随着 自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a>1)，常形象地称之为“指数爆炸”．通过细胞 分裂增长实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“爆炸”的威力．
2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤 ( 1 ) _收_ _集_ _数_ _据_ ； ( 2 ) _ _描_ _点_ _ ； ( 3 ) _ _ _选_ _择_ _函_ 数_ _模_ _型_ ； ( 4 ) _求_ _函_ _数_ _模_ 型_ _ ； ( 5 ) _ _检_ 验_ _ ； ( 6 ) _用_ _函_ _数_ _模_ _型_ _解_ _决_实_ _际_ _问_ _题_ ．
1．利用我们所得到的函数模型有什么用途？
【答案】利用所得函数模型可解释有关现象，对某些发展趋 势进行预测．
函数模型的应用实例 课件
解：由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽 象为 A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这 4 个 数据．
(1)设模拟函数为 y＝ax＋b 时，将 B，C 两点的坐标 代入函数式，得32aa＋ ＋bb＝ ＝11..32， ，解得ab＝＝01..1，
所以有关系式 y＝0.1x＋1. 由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下， 产量会每月上升 1 000 双，这是不太可能的．
过筛选，以指数函数模型为最佳，一是误差小，二是由于 厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间 内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设 备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模拟恰好反映了这 种趋势．因此选用指数函数 y＝－0.8×0.5x＋1.4 比较接近 客观实际．
类型 3 建立拟合函数解决实际问题(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)某个体经营者把开始六 个月试销 A、B 两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列 成下表：
(3)设模拟函数为 y＝abx＋c 时，
将 A，B，C 三点的坐标代入函数式，
得aabb2＋＋cc＝＝11，.2，
① ②
ab3＋c＝1.3. ③
由①，得 ab＝1－c，代入②③，
得bb2（（11－－cc））＋＋cc＝＝11.2.3，.
则cc＝＝1111..32－ －－－bbbb22，，解得bc＝＝10..45.， 则 a＝1－b c＝－0.8. 所以有关系式 y＝－0.8×0.5x＋1.4. 结论为：当把 x＝4 代入得 y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最 小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经
设 y＝kx＋b，取点(1，0.30)和(4，1.20)代入， 得01..32＝ ＝k4＋ k＋b， b，解得kb＝＝00..3，所以 y＝0.3x.(8 分) 设第 7 个月投入 A，B 两种商品的资金分别为 x 万元、 (12－x)万元，总利润为 W 万元， 那么 W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)． 所以 W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.(10 分) 当 x＝3 时，W 取最大值，约为 4.55 万元，此时 B 商品的投资为 9 万元．(11 分)
函数模型的应用实例(Ⅰ)
课题：§3.2.2函数模型的应用实例(Ⅰ)
教学目标：
知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题．
过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性．
情感、态度、价值观体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值．
教学重点：
重点运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题．
难点运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．
教学程序与环节设计：
实际问题引入，激发学习兴趣．
归纳一般的应用题的求
教学过程与操作设计：。
3.2.2函数模型应用实例
60266
61456
62828
64563
65994
67207
y y0e
n (1)如果以各年人口增长平均值l作为我国这一时期的人口增长 率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数 据是否相符;
解：设1951~1959年的人口增长率分别为 r1 ,r 2 ,......,r 9 . 由
y 其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数， r表示人口 的年平均增长率。
0
y y0e
n
表3是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数／ 万人55196 Nhomakorabea56300
57482
58796
3.2.2 函数模型的应用实例
一辆汽车在某段路中的行驶速率与时间的关系 如图1所示，
（1）求图1中阴影部 分的面积，并说明所 求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的 里程表在汽车行行驶 这段路程前的读数为 2004km，试建立行 驶这段路程时汽车里 程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作 出相应的图象。
由图4可以看出,所 得模型与 1950~1959年的实 际人口数据基本吻 合.
（2）如果按表3的增长趋势，大约在哪一年我国 的人口达到13亿？
将y=130000代入 y 55196e0.0221t .t N.
由计算可得
t 38.76
所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950 年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到 13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让 人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压 力.
3-2-2 函数模型的应用实例
一、选择题1．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x[答案] C[解析]当x＝1时，否定B，当x＝2时，否定D，当x＝3时，否定A，故选C.2．某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品，原来按成本价出售，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价，每次提价都是20%；同时乙产品连续两次降价，每次降价都是20%，结果都以92.16元出售，此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏的情况是() A．不亏不盈B．赚23.68元C．赚47.32元D．亏23.68元[答案] D[解析]设甲、乙产品原来每件分别为x元、y元，则x(1＋20%)2＝92.16，y(1－20%)2＝92.16，∴x＝64，y＝144,64＋144－92.16×2＝23.68.3．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是()A．3 B．4C．5 D．6 [答案] B[解析]设至少需要清洗n次，由已知得(1－34)n≤1%即14n≤1100.∴4n≥100∴n≥4，故选B.4．某种产品市场销量情况如图所示，其中：l1表示产品各年产量的变化规律；l2表示产品各年的销售情况，下列叙述：①产品产量、销量均以直线上升，仍可按原生产计划进行；②产品已经出现了供大于求的情况，价格将下跌；③产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销量；④产品的产量、销量均以一定的年增长率增加．你认为较合理的是()A．①②③B．①③④C．②④D．②③[答案] D5．已知A、B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以50 km/h的速度返回A 地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是() A．x＝60tB ．x ＝60t ＋50C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)150－50t (t >2.5) D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 150(2.5<t ≤3.5)150－50(t －3.5)(3.5<t ≤6.5)60t (0≤t ≤2.5)[答案] D [解析] 从A 地到B 地的来回时间分别为：15060＝2.5，15050＝3，x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t (0≤t ≤2.5)150 (2.5<x ≤3.5)150－50(t －3.5) (3.5<t ≤6.5) 故选D.6．“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x ，x ＝全月总收入－800元，税率见下表：( )A ．800～900元B ．900～1 200元C ．1 200～1 500元D ．1 500～2 600元[答案] C [解析] 解法1：(估算法)由500×5%＝25元，100×10%＝10元，故某人当月工资应在1 300～1 400元之间，故选C.解法2：(逆推验证法)设某人当月工资为1 200元或1 500元，则其应纳税款分别为400×5%＝20元，500×5%＋200×10%＝45元．可排除A ，B ，D ，故选C.7．某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚78元．则这两筐椰子原来的总个数为( )A ．180B ．160C ．140D ．120 [答案] D[解析] 设原来两筐椰子的总个数为x ，成本价为a 元/个，则⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＝300(a ＋1)(x －12)＝300＋78，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝120a ＝2.5，故这两筐椰子原来共有120个．8．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，另一种是平均价格曲线y ＝g (x )，如f (2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g (2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中正确的是( )[答案] C[解析] 即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A 、D ；即时价格若一路上升，则平均价格也应一直上升，排除B.(也可以由x 从0开始增大时，f (x )与g (x )应在y 轴上有相同起点，排除A 、D)，故选C.二、填空题9．现测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．[答案] 甲[解析] 代入x ＝3，可得甲y ＝10，乙，y ＝8.显然选用甲作为拟合模型较好．10．长为4、宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x 2时面积最大，此时x ＝________，最大面积S ＝________.[答案] 1 252[解析] S ＝(4＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2＝－x 22＋x ＋12 ＝252－12(x －1)2，当x ＝1时，S max ＝252.11．某养鱼场，第一年鱼的重量增长率为200%，以后每年鱼的重量增长率都是前一年的一半，问经过四年鱼的重量是原来的________倍．[答案]45 4[解析]设原来鱼重a，四年后鱼重为a(1＋200%)(1＋100%)(1＋50%)(1＋25%)＝454a，454aa＝454.12．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y＝(116)t－a(a为常数)其图象如图．根据图中提供的信息，回答问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的关系式为________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降到0.25mg以下时，学生才可进入教室，那么从药物释放开始至少经过______小时，学生才能回到教室．[答案](1)y＝(2)0.6[解析](1)设0≤t≤110时，y＝kt，将(0.1,1)代入得k＝10，又将(0.1,1)代入y＝(116)t－a中，得a＝110，∴y＝.(2)令(116)t－110≤0.25得t≥0.6，∴t的最小值为0.6.三、解答题13．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？[解析](1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数关系式为y＝kx＋b.将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 40k ＋b ＝75，37k ＋b ＝70.2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.6，b ＝11. ∴y 与x 的函数关系式是y ＝1.6x ＋11.(2)把x ＝42代入上述函数关系式中，有y ＝1.6×42＋11＝78.2.∴给出的这套桌椅是配套的．[点评] 本题是应用一次函数模型的问题，利用待定系数法正确求出k ，b 是解题的关键．14．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)成本Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．[解析] (1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t 中的任意一个进行描述时都应有a ≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入Q ＝at 2＋bt ＋c 得到，⎩⎪⎨⎪⎧ 150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1200，b ＝－32，c ＝2252.所以，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋2252.(2)当t ＝－－322×(1200)＝150天时，西红柿种植成本最低为Q ＝1200·1502－32·150＋2252＝100 (元/102kg)． 15．某工厂现有甲种原料360 kg ，乙种原料290 kg ，计划利用这些原料生产A 、B 两种产品共50件，已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9 kg ，乙种原料3 kg ，可获利润700元．生产一件B 种产品，需用甲种原料4 kg ，乙种原料10 kg ，可获利润1200元．(1)按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请设计出来．(2)设生产A 、B 两种产品获总利润为y 元，其中一种的生产件数为x ，试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数性质说明(1)中哪些生产方案获总利润最大？最大利润是多少？[分析] 设生产A 种产品x 件，则生产B 种产品(50－x )件，据题意：生产两种产品所用甲种原料不超过360 kg ，所用乙种原料不超过290 kg 即可．[解析] (1)设生产A 种产品x 件，则生产B 种产品为(50－x )件，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4(50－x )≤360，3x ＋10(50－x )≤290.解得30≤x ≤32. ∵x 是整数，∴只能取30,31,32.∴生产方案有三种，分别为A 种产品30件B 种产品20件；A 种产品31件B 种产品19件；A 种产品32件B 种产品18件．(2)设生产A 种产品x 件，则B 种产品(50－x )件．y ＝700x ＋1 200(50－x )＝－500x ＋600 00，∵k ＝－500<0，∴y 随x 增大而减小，∴当x ＝30时，y 最大＝－500×30＋600 00＝45 000.∴安排生产A 种产品30件，B 种产品20件时，获利润最大，最大利润为45 000元．[方法点拨] 此题第(1)问是利用一元一次不等式组解决，第(2)问是利用一次函数增减性解决问题，要注意第(2)问 与第(1)问相互联系．即根据实际问题建立好函数关系式后，特别要注意函数的定义域．16．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式．(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解析] (1)设A ，B 两种产品分别投资x 万元，x ≥0，所获利润分别为f (x )万元、g (x )万元．由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .根据图象可解得f (x )＝0.25x (x ≥0)．g (x )＝2x (x ≥0)．(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6.∴总利润y ＝8.25万元． ②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元．则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18. 令x ＝t ，t ∈[0,32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.∴当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2.∴当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．。
函数模型的应用实例教案
函数模型的应用实例教案教案：函数模型的应用实例一、课程背景在数学教学中，函数是一个非常重要的概念，在实际生活中也有许多应用。
函数模型是数学中一种常用的模型方法，它可以很好地描述和解决一些实际问题。
本课程将以函数模型的应用实例为切入点，帮助学生理解函数模型的概念和运用方法。
二、教学目标1.知识与能力目标：-理解函数模型的基本概念；-掌握函数模型的建立方法；-运用函数模型解决实际问题。
2.过程与方法目标：-引导学生发现问题和解决问题的方法；-培养学生的创新思维和实际应用能力；-培养学生的合作学习和表达能力。
3.情感态度和价值观目标：-培养学生对数学的兴趣和热爱；-培养学生的团队协作和分享精神；-培养学生的实际问题解决能力。
三、教学过程1.引入（10分钟）-介绍函数的概念和作用，以及函数模型在实际中的应用；-分享一个有关函数模型的实际问题，如汽车行驶的距离与时间的关系。
2.探究（20分钟）- 提出一个问题：假设一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶时间为t小时，求行驶的距离d；-学生们自主讨论解决此问题的思路和方法；-指导学生建立函数模型：行驶距离d与行驶时间t之间的关系可以用函数d(t)表示，其中d(t)=60t。
3.拓展（30分钟）-提出更多有关函数模型的实际问题，如货物运输成本与距离的关系、人口增长与时间的关系等；-学生们自主讨论解决这些问题的方法，并建立相应的函数模型；-学生们分为小组，互相分享并比较各自的解决方法和函数模型。
4.总结（15分钟）-引导学生总结函数模型的建立方法：观察题目中的各种因素，确定变量及其之间的关系，建立函数模型；-引导学生总结函数模型的应用领域：经济、物理、生物等各个领域均有函数模型的应用。
5.展示（20分钟）-邀请几个学生上台演示他们解决实际问题的步骤和函数模型；-学生们展示自己的函数模型，分享成功的经验和困惑；-整理和归纳学生们的展示内容，进行点评和讨论。
六、教学评价1.形成性评价：观察学生的探究过程和成果，给予及时的反馈和指导；2.自评和互评：学生们根据课堂表现、参与度和拓展能力进行自我评价和互评；3.总结性评价：布置作业，让学生运用函数模型解决其他实际问题，并提交书面报告。
《函数模型的应用实例》教案
《函数模型的应用实例》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将引导学生了解函数模型在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生感受函数模型的重要性。
1.2 教学目标（1）了解函数模型的概念及其在实际问题中的应用。
（2）通过实例分析，学会建立函数模型解决实际问题。
1.3 教学内容（1）函数模型的定义及其特点。
（2）函数模型在实际问题中的应用实例。
第二章：线性函数模型2.1 课程背景本节课将引导学生了解线性函数模型，并通过实例让学生学会如何建立线性函数模型解决实际问题。
2.2 教学目标（1）了解线性函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立线性函数模型解决实际问题。
2.3 教学内容（1）线性函数模型的定义及其特点。
（2）线性函数模型在实际问题中的应用实例。
第三章：二次函数模型3.1 课程背景本节课将引导学生了解二次函数模型，并通过实例让学生学会如何建立二次函数模型解决实际问题。
3.2 教学目标（1）了解二次函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立二次函数模型解决实际问题。
3.3 教学内容（1）二次函数模型的定义及其特点。
（2）二次函数模型在实际问题中的应用实例。
第四章：指数函数模型4.1 课程背景本节课将引导学生了解指数函数模型，并通过实例让学生学会如何建立指数函数模型解决实际问题。
4.2 教学目标（1）了解指数函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立指数函数模型解决实际问题。
4.3 教学内容（1）指数函数模型的定义及其特点。
（2）指数函数模型在实际问题中的应用实例。
第五章：总结与拓展5.1 课程背景本节课将对前面所学的函数模型进行总结，并通过拓展实例让学生进一步感受函数模型在实际生活中的应用。
5.2 教学目标（1）总结本节课所学的内容，巩固所学知识。
（2）通过拓展实例，进一步感受函数模型在实际问题中的应用。
5.3 教学内容（1）对前面所学的函数模型进行总结。
（2）通过拓展实例，感受函数模型在实际问题中的应用。
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解2:设每桶水定价为x元时，日销售利润为y元,
则日均销售量为 480 40(x 6)桶 720 40x y (720 40x)(x 5) 200
40x2 920x 3800
40(x 11.5)2 1490
而 x 5,且720 40x 0,即5 x 18
当x 11.5时，y 有最大值
只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润
建立函数模型的一般步骤
第一步：阅读理解，读懂题意。
建模的关键在于
分析数据和图表， 同时也要求对基 本的初等函数模 型非常熟悉！
第二步：分析实际问题中的图、表，对图表 数据进行处理，选取适当的变量，构建数学 模型 。
第三步：对数学模型予以解答，求得结果。
S
90(t 2) 2134
1t 2 2t 3
75(t 3) 2224 3 t 4
65(t 4) 2299 4 t 5
分段函数
y
2400 2300
2200 2100
2000
x
123 45
思考：你能根据题中所给速度时间图象做出汽车行驶路程关于时间
变化的图像吗？它和上图有什么关系呢？
函数模型的应用实例
通过前面的学习，我们知道可以不解方程的情况下 了解方程根的分布特点，事实上，我们能求出解的方 程只有很少的一部分，这不仅省去了求解方程的根麻 烦，而且给数学研究开辟了一条新路。
生活中大量事物的发展变化都是有规律的，比如： 事物的增长、衰减都是有差异的，这样，面对不同情 况，如何选择恰当的函数模型描述它们就显得尤为重 要。本节主要目的是让学生用函数模型刻画实际问题。
例5：某桶装水经营部每天的房租，人员 工资等固定成本为200元，每桶水的进价是 5元。销售单价与日销售量的关系如表：
销售单价/元
6
7
8
9
10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
试根据以上数据作出分析，这个经营部 怎样定价才能获得最大利润？
思考1:你能看出表中的数据有什么变化规律？
通过本节课的学习，我们希望大家两方面能力的提 高：
一、读图能力，由图形特点抽象出函数模型。 二、数据分析，由数据特点抽象出函数模型。
万荣中学 贾文奇
实例分析
例3一辆汽车在某段路程中的行 驶速度与时间的关系如图所示:
（1）求图中阴影部分的面 积，并说明所求面积的实际 含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路 程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路 程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式， 并作出相应的图象。
销售单价/元
6 +1 7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶 480 -40 440
400
360
320
280
240
思考2:假设每桶水在进价的基础上增加x元,则日
均销售量为多少？
思考3:假设日均销售利润为y元，那么y与x 的关
系如何？
思考4:怎样定价才能获得最大利润？
解1:设在进价基础上增加x元后，日均利润为y元,
第四步：对具体问题作出解答。
学以 致用
已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线 BCDA向A点运动。设P点运动的路程为X， △ABP的面 积为S，则函数S=f(x)的图象是图中的 （ ）
学以 致用
某食品店生产销售蛋糕，定价x元/个与销售量y个 的函数模型是一次函数，下表是蛋糕的销售数据:
蛋糕定价x元/个 20
18
15
销售量y个
20
30
45
则定价x与销售量y的函数解析式是＿＿＿＿＿＿ 。
y = -5x + 120
小结
•
通过两个实例展示了函数模型在解决
实际生活中的问题的方法，其核心在于对题
目中的图形和表格中数据特点的分析，发现
了变量间的函数关系，从而建立函数模型，
其中主要体现了数形结合和分类讨论的数学 思想。
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关
系如图所示： （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的 读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程 表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。
解:(2)根据图形可得：
50t 2004
0t 1
80(t 1) 2054
•
希望大家在今后的学习中总结并不断
提高两方面的能力：一、读图、识图、解图、 画图能力 ； 二、分析数据、处理数据能力。
作业
课本P106 第1题 P107 A组第3、4题 练习册 P85第1、2、3题
则日均销售量为 480 40(x 1)桶 520 40x y (520 40x)x 200 40x2 520x 200
40(x 6.5)2 1490
而 x 0,且520 40 x 0,即0 x 13
当x 6.5时，y 有最大值
只需将销售单价定为1速度与时间的关 系如图所示：
（1）求图中阴影部分的面积，并说 明所求面积的实际含义；
你能否根 据右测的 v-t图象， 计算出第 一小时汽 车的路程？
路程和阴影部分的 面积有什么关系？
解:(1)阴影部分的面积为
501 801 901 751 651 360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km。