第04章-3 逻辑门和布尔代数-3
布尔代数,逻辑运算公式
逻辑代数或称布尔代数。
它虽然和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的值只有“ 1〞和“ 0〞两种，所谓逻辑“ 1〞和逻辑“ 0〞，代表两种相反的逻辑状态。
在逻辑代数中只有逻辑乘〔“与〞运算〕，逻辑加〔“或“运算〕和求反〔〞非“运算〕三种根本运算。
其实数字逻辑中会学到，其他课程中都会涉及，概率论也有提到1．逻辑加逻辑表达式：F=A＋B运算规那么：0＋0=0, 0 ＋1=1, 1 ＋0=1, 1 ＋1=1.2．逻辑乘逻辑表达式：F=A・B运算规那么：0・0=0, 0 •仁0, 1 • 0=0, 1 •I =1.3．逻辑反逻辑表达式：F=A运算规那么：1=0, 0=1.4．与非逻辑表达式：F=A- B运算规那么：略5．或非逻辑表达式：F=A+B运算规那么：略6．与或非逻辑表达式：F=A- B+C・ D运算规那么：略7．异或逻辑表达式：F=A- B+A- B 运算规那么：略8．异或非逻辑表达式：F=A・ B+A・ B运算规那么：略公式：⑴交换律：A+ B=B^ A ,A • B=B- A(2) 结合律：A＋( B＋C) =( A＋B)＋CA-( BC = (AB)・C⑶分配律：A-( B+ C =AB+ AC (乘对加分配) A+( BC = (A+ B)( A+ C)(加对乘分配)(4) 吸收律：A+ AB=AA(A+ B)=A(5) 0-1 律：A+ 1=1A+ 0=AA- 0=0A •仁A(6) 互补律：A+ A=1A- A=0(7) 重叠律：A+ A=AA- A=A(8) 对合律：A = A(9) 反演律：A+B=A BA- B=A+B。
数字逻辑知识点总结
数字逻辑知识点总结数字逻辑有着相当丰富的知识点，包括逻辑门的基本原理、布尔代数、数字信号的传输与处理、数字电路的设计原理等。
在这篇文章中，我将对数字逻辑的一些重要知识点进行总结，希望能够为初学者提供一些帮助。
1. 逻辑门逻辑门是数字电路中的基本单元，它可以完成各种逻辑运算，并将输入信号转换为输出信号。
常见的逻辑门包括与门、或门、非门、与非门、或非门、异或门等。
每种逻辑门都有其特定的逻辑功能，通过不同的组合可以完成各种逻辑运算。
在数字电路设计中，逻辑门是构建各种复杂逻辑电路的基础。
2. 布尔代数布尔代数是表示逻辑运算的一种代数系统，它将逻辑运算符号化，并进行了各项逻辑规则的代数化处理。
布尔代数是数字逻辑的基础，通过布尔代数可以很方便地表达和推导各种逻辑运算，对于理解数字电路的工作原理非常有帮助。
3. 二进制与十进制的转换在数字逻辑中，我们经常需要进行二进制与十进制的转换。
二进制是计算机中常用的数字表示方法，而十进制则是我们日常生活中常用的数字表示方法。
通过掌握二进制与十进制之间的转换规则，可以方便我们在数字逻辑中进行各种数字运算。
4. 组合逻辑与时序逻辑数字电路可以分为组合逻辑电路与时序逻辑电路。
组合逻辑电路的输出只取决于输入信号的瞬时状态，而时序逻辑电路的输出还受到时钟信号的控制。
理解组合逻辑与时序逻辑的差异对于理解数字电路的工作原理至关重要。
5. 有限状态机有限状态机是数字逻辑中一个重要的概念，它是一种认知和控制系统，具有有限的状态和能够在不同状态之间转移的能力。
有限状态机在数字系统中有着广泛的应用，可以用来设计各种具有状态转移行为的电路或系统。
6. 计数器与寄存器计数器与寄存器是数字逻辑中常用的两种逻辑电路。
计数器用于对计数进行处理，而寄存器则用于存储数据。
理解计数器与寄存器的工作原理和使用方法，对于数字系统的设计和应用具有非常重要的意义。
7. 逻辑电路的设计与分析数字逻辑的一大重点是逻辑电路的设计与分析。
逻辑电路布尔定律
逻辑电路布尔定律介绍逻辑电路布尔定律是逻辑电路设计中的基本原理。
它是由英国逻辑学家乔治·布尔在19世纪中期提出的，用于描述逻辑运算的规则和性质。
逻辑电路布尔定律是逻辑电路设计的基础，通过应用这些定律，可以简化和优化逻辑电路的设计，提高逻辑电路的性能和可靠性。
本文将深入探讨逻辑电路布尔定律的各个方面，包括布尔代数的基本概念和符号表示、逻辑电路的基本组成、布尔定律的分类和应用等。
布尔代数的基本概念和符号表示布尔代数是一种数学体系，用于描述逻辑运算。
它基于两个值：真（1）和假（0），以及三种基本逻辑运算：与（AND）、或（OR）和非（NOT）。
在布尔代数中，变量用字母表示，如A、B、C等。
逻辑运算符用符号表示，如与运算用乘号（·）、或运算用加号（+）、非运算用撇号（’）等。
布尔代数的符号表示简洁明了，便于逻辑电路的设计和分析。
逻辑电路的基本组成逻辑电路是由逻辑门组成的电路，逻辑门是实现逻辑运算的基本单元。
常见的逻辑门有与门（AND）、或门（OR）、非门（NOT）等。
与门接受两个输入信号，如果两个输入信号都为真（1），则输出为真（1），否则输出为假（0）。
或门接受两个输入信号，如果两个输入信号中至少有一个为真（1），则输出为真（1），否则输出为假（0）。
非门接受一个输入信号，如果输入信号为真（1），则输出为假（0），否则输出为真（1）。
逻辑电路可以由这些逻辑门按照一定的连接方式组成，实现复杂的逻辑运算。
布尔定律的分类布尔定律可以分为三类：结合律、分配律和德·摩根定律。
这些定律描述了逻辑运算的基本规则和性质，对于简化和优化逻辑电路的设计非常有用。
结合律结合律是逻辑运算的基本定律之一。
在布尔代数中，结合律描述了逻辑运算的结果与运算数的顺序无关。
对于与运算和或运算，结合律的公式分别为： -(A · B) · C = A · (B · C) - (A + B) + C = A + (B + C)结合律可以帮助我们改变运算的顺序，从而简化逻辑电路的设计。
布尔代数基础
布尔代数基础和布尔函数的化简和实现布尔代数是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。
因此这里从应用的角度向读者介绍布尔代数，而不是从数学的角度去研究布尔代数。
一、布尔代数的基本概念1、布尔代数的定义域和值域都只有“0”和“1”。
布尔代数的运算只有三种就是“或”(用＋表示)，“与”(用·表示)和“非”(用￣表示，以后用’表示)。
因此布尔代数是封闭的代数系统，可记为B=(k，＋，·，￣，0，1)，其中k表示变量的集合。
2、布尔函数有三种表示方法。
其一是布尔表达式，用布尔变量和“或”、“与”和“非”三种运算符所构成的式子。
其二是用真值表，输入变量的所有可能取值组合及其对应的输出函数值所构成的表格。
其三是卡诺图，由表示逻辑变量所有可能取值组合的小方格所构成的图形。
3、布尔函数的相等可以有两种证明方法，一种是从布尔表达式经过演绎和归纳来证明。
另一种就是通过列出真值表来证明，如两个函数的真值表相同，则两个函数就相等。
二、布尔代数的公式、定理和规则1、基本公式有交换律、结合律、分配律、0—1律、互补律、重叠律、吸收律、对合律和德·摩根律。
值得注意的是分配律有两个是：A·(B+C)=A·B+A·C和A+B·C=(A+B)·(A+C)，另外就是吸收律，A+AB=A；A+A’B=A+B它们是代数法化简的基本公式。
2、布尔代数的主要定理是展开定理(教材中称为附加公式)。
3、布尔代数的重要规则有对偶规则和反演规则。
三、基本逻辑电路1、与门F=A·B2、或门F=A+B3、非门F=A’(为了打字的方便，以后用单引号“’”表示非运算，不再用上划线表示非运算)4、与非门F=（A·B）’5、或非门F=（A+B）’6、与或非门F=（A·B+C·D）’7、异或门F=A’B+AB’=A⊕B8、同或门F=A’B’+AB=A⊙B四、布尔函数的公式法化简同一个布尔函数可以有许多种布尔表达式来表示它，一个布尔表达式就相应于一种逻辑电路。
电路基础原理逻辑门与布尔代数
电路基础原理逻辑门与布尔代数电路基础原理：逻辑门与布尔代数在电子领域中，电路是一个非常重要的概念。
电路是一种将电流进行控制和管理的系统。
电路中的一个重要组成部分是逻辑门。
逻辑门是电子电路中的基本构建模块，它们用于实现逻辑运算。
而布尔代数则是描述逻辑门行为的一种数学形式。
1. 逻辑门的基本类型逻辑门根据其行为分为不同的类型。
最常见的逻辑门类型有与门、或门和非门。
与门（AND）接受两个或更多输入，只有当所有输入都为高电平（1）时，输出才为高电平。
或门（OR）接受两个或更多输入，只要有一个以上输入为高电平，输出就为高电平。
非门（NOT）只接受一个输入，输出与输入相反。
2. 布尔代数的基本原理布尔代数是一种使用逻辑运算符来描述逻辑关系的代数系统。
它基于两个值，通常被称为真（1）和假（0）。
布尔代数使用逻辑运算符（如与、或、非）来组合和操作这些值，并得出逻辑判断。
例如，假设我们有两个变量A和B，它们可以取0或1的值。
我们可以使用逻辑运算符来描述它们之间的关系。
如果我们想要判断当A 和B都为真时的情况，我们可以使用与运算符（AND）来表示为A AND B。
如果我们想要判断当A或B为真时的情况，可以使用或运算符（OR）表示为A OR B。
如果我们想要判断当A为假时的情况，可以使用非运算符（NOT）表示为NOT A。
3. 逻辑门的应用逻辑门在电子领域中应用广泛。
它们用于构建数字电路，实现从简单的逻辑功能到复杂的计算和存储功能。
逻辑门可以组合成更复杂的逻辑功能，例如加法器、计数器和存储器。
4. 布尔代数与逻辑门的联系布尔代数提供了一种描述逻辑门行为的形式化框架。
通过布尔代数，我们可以推导出逻辑门的真值表，即表明每个输入组合下输出的真值情况。
布尔代数还提供了一种证明逻辑表达式等价性的方法，这对于逻辑电路的设计和优化非常重要。
布尔代数还允许我们使用代数方法简化逻辑表达式，从而减少逻辑门的数量和复杂性。
通过代数化简，我们可以最小化逻辑电路的延迟和功耗，提高电路的性能。
《逻辑代数》课件
随着计算机科学的不断发展，逻 辑代数在计算机硬件设计和软件 工程等领域的应用越来越广泛。
逻辑代数的基本概念
命题
命题是逻辑代数的基本元素之一，表示一个陈述 或判断。在逻辑代数中，命题通常用字母表示， 例如A、B、C等。
公式
公式是由命题和运算符组成的表达式，表示一种 逻辑关系或推理规则。公式可以是永真的、永假 的或可变的，取决于其内部元素的逻辑值如何组 合。
逻辑异或运算规则
逻辑异或
记作 A^B，表示两个逻辑量A和B不同时为真时结果才为 真，否则为假。
真值表
与前述运算类似，列出所有A和B的真值组合以及相应的运 算结果。
运算特点
逻辑异或满足交换律和结合律，即A^B=B^A和 (A^B)^C=A^(B^C)。同时，逻辑异或还满足一些其他性 质，如自反律、反对称律等。
03
逻辑表达式的化简
逻辑表达式的化简方法
吸收法
利用A+A=A的性质，将多余的项合并到前 面的项中。
代换法
利用等价的逻辑表达式进行替换，简化表达 式。
消去法
利用A+A=A和A+A=1的性质，消去多余的 项。
分配法
利用A+B+C=A+B+C+ABC的性质，将表 达式中的某些项分配给其他项。
逻辑表达式的化简实例
寄存器
寄存器是用于存储多位二 进制数的元件，常Leabharlann 的寄 存器包括移位寄存器和计 数器等。
逻辑电路的设计方法
真值表法
通过列出输入和输出之间的所有可能组合，确定 逻辑函数表达式的方法。
卡诺图法
通过图形化方法表示输入和输出之间的逻辑关系 ，简化逻辑函数表达式的方法。
逻辑门和布尔代数
目 录
• 逻辑门简介 • 布尔代数基础 • 逻辑门与布尔代数的关联 • 逻辑门和布尔代数的应用 • 逻辑门和布尔代数的扩展知识
01 逻辑门简介
逻辑门的基本概念
逻辑门是实现逻辑运算的电路，能够 执行特定的逻辑操作，如与、或、非 等。
逻辑门有两个输入端和输出端，根据 输入信号的组合，输出端产生相应的 逻辑值。
信号处理
在信号处理领域，逻辑门和布尔代数可以用于实 现信号的过滤、编码和解码等操作。
在其他领域的应用
人工智能
在人工智能领域，逻辑门和布尔代数可以用于神经网络、决策树等 算法的实现。
统计学
在统计学中，布尔代数可以用于逻辑推理和数据分析，例如在数据 分类、回归分析等方面的应用。
物理学
在物理学中，逻辑门和布尔代数可以用于量子计算、量子通信等方面 的研究。
逻辑门的作用
实现逻辑运算
01
逻辑门可以组合起来实现各种复杂的逻辑运算，如与运算、或
运算、异或运算等。
控制信号流程
02
逻辑门可以用于控制信号的流程，实现信号的传递、存储和转
换等功能。
实现数字电路
03
逻辑门是构成数字电路的基本元件，用于实现数字系统的逻辑
功能。
02 布尔代数基础
布尔代数的基本概念
逻辑变量
布尔代数提供了一种统一的数学语言，用于描述各种 数字电路的功能和行为。通过使用布尔代数，可以方
便地推导电路的真值表和状态图等。
布尔代数还可以用于设计和分析复杂的数字系统，如 计算机、通信系统和控制系统等。
逻辑门与布尔代数的相互转换
01
通过将逻辑门转换为布尔表达式，可以方便地描述和推导逻辑 电路的功能和行为。
《逻辑代数基础》课件
逻辑门电路
介绍逻辑门电路的基本概念和设计原理。我们将学习与门、或门、非门和异或门的电路结构和功能。
与门
深入研究与门的工作原理和应用场景。了解与门的真值表和它在逻辑运算和 电路设计中的重要性。
或门
探讨或门的功能和应用。我们将学习或门的真值表，以及在逻辑运算和电路设计中使用或门的实例。
《逻辑代数基础》PPT课件
通过这份《逻辑代数基础》PPT课件，我们来探索逻辑代数的核心概念和应 用。从布尔代数到逻辑门电路，我们将探讨多个主题，为您带来全面的知识。
引言
引言部分将介绍逻辑代数的背景和重要性，为接下来的内容做铺垫。我们将了解逻辑代数在计算机科学和电路 设计中的应用。
布尔代数
探索布尔代数的基本理论和关键概念。从布尔变量、真值表到逻辑运算，我 们将深入了解布尔代数的基础知识。
布尔运算符
介绍布尔代数中的各种运算符，包括与门、或门、非门和异或门。我们将学习它们的真值表和逻辑功能，并了 解它们在电路设计中的应用。
布尔代数的定理
讨论布尔代数的重要定理和规，如德摩根定理、分配律和消元律。这些定理将帮助我们简化逻辑表达式和优 化电路设计。
逻辑运算
研究逻辑运算的不同形式，包括与运算、或运算、非运算和异或运算。我们 将探索它们的真值表和逻辑推理的基本原理。
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利用卡诺图简化逻辑函数
F=
∑ (1,2) = XY'+X'Y
我们为什么可以这么做?
F= ∑ (2,3) = XY+XY'
F= XY+XY'
=X(Y+Y') =X
XY'
相邻的码字只有一位 不同
XY
我们为什么可以这么做?
F=
∑ (1,2,3) = XY+XY'+X'Y
X
F= XY+XY'+X'Y
X2'X1X0 X3'X2'X1
利用卡诺图化简四变量逻辑函数
X1'X0 X3X1'
X3'X0
X3X0'
F(X3X2X1X0)=
∑ (1,3,5,7,8,9,10,12,13,14)
???
= X3'X0+ X3X1' +X1'X0 + X3X0'
积之和
X3X2 X1X0
X3'X0
00 00 01 11 10
五变量卡诺图的相邻示例
五变量卡诺图的相邻示例
五变量卡诺图的相邻示例 中心对称
五变量卡诺图的相邻示例 中心对称
利用卡诺图化简四变量逻辑函数
F(X3X2X1X0)=
∑ (1,2,3,5,7,11,13)
= X3'X0+ X3'X2'X1 +X2X1'X0 + X2'X1X0
X3'X0
X2X1'X0
X
F=X
利用卡诺图简化逻辑函数
F = m0+m2=X'Y'+XY'
Y'
F=Y'
利用卡诺图简化逻辑函数
F=
∑ (1,2,3) = XY+XY'+X'Y
X
F=X+Y
Y
利用卡诺图简化逻辑函数
F=
∑ (1,2,3,4) = XY+XY'+X'Y+X'Y'
F=Y+Y' F=1
注意:每次都试图用最大的圈,圈最多的1
包含无关项的逻辑表达式的化简
Input A B C D 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 … 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 Output Y 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 X … X
本部分小结
布尔代数
基本逻辑运算 公理和定理 De'Morgan定理
组合电路分析(Analysis) 组合电路综合(Synthesis)
逻辑函数化简 卡诺图和逻辑函数化简 竞争和冒险
作业
38a,40a,44,46a,50b,52
�
如果变量取值是1,则包含原变量; 如果是0,则包含反变量; 如果既有0,又有1,则不包含该变量
0 0 1 1
利用卡诺图简化逻辑函数
例:F(X,Y)=XY'+XY=m2+m3
将临近的'1'圈起来,每个圈中包含 2i个1,i≥0 每个圈代表一个乘积项,但不一定是 标准项 圈所覆盖的区域:
如果变量取值是1,则包含原变量; 如果是0,则包含反变量; 如果既有0,又有1,则不包含该变 量
静态1型冒险
一个输入组合对,它们a)只有一个变量不同;b) 两种输入组合都输出1.
静态0型冒险
一个输入组合对,它们a)只有一个变量不同;b) 两种输入组合都输出0.
组合逻辑电路的竞争和冒险
静态1型冒险
一个输入组合对,它们a) 只有一个变量不同;b)两 种输入组合都输出1.
静态0型冒险
–一个输入组合对,它 们a)只有一个变量不同; b)两种输入组合都输出 0.
前面只讨论了稳态的电路特性,也就是输入已经稳定很长时间 后输出的特性 实际电路中,门有延迟,在输入信号发生跳变的时候,有冒险 现象
Y=X+((X')')' =X+X' =1
组合逻辑电路的竞争和冒险
Y=X ((X')')' =X X' =0
组合逻辑电路的竞争和冒险
竞争
门电路的两个输入端同时向相反的逻辑电平跳 变
组合逻辑电路中的竞争和冒险
包含无关项的逻辑表达式的化简
无关项(Don't Care Term),任意项
某些输入情况不可能出现:BCD码
对无关项的处理
可以处理成0,也可以处理成1 按照化简的需要酌情确定
包含无关项的逻辑表达式的化简
Input A B C D 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 … 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 Output Y 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 X … X
01
11
10
0 1 1 0
0 1 1 0
1 1 0 1
1 1 0 1
X1'X0 X3X1'
X3X0'
小结
按照逻辑函数的最小项表达式或者真值表画出卡诺 图 在图中圈出最大数量的连续1单元
1单元个数必须满足2i 可以跨越边界
每个圈对应一个乘积项
变量是1,使用原变量;否则使用反变量 变量既有1又有0,则不包含该变量
二变量卡诺图
2变量的逻辑函数F(X,Y)和卡诺图的关系
例如:F(X,Y) = ∑x,y(2,3) =m2+m3= X Y + XY
Input X 0 0 1 1 Y 0 1 0 1 F(X,Y) ( ) 0 0 1 1
0 0
1
1
利用卡诺图简化逻辑函数
将临近的'1'圈起来,每个圈中包含2i个1, i≥0 每个圈代表一个乘积项,但不一定是标准项 圈所覆盖的区域:
第 4 章 逻辑门和布尔代数
第三部分: 逻辑表达式简化 逻辑表达式的标准表示法和真值表 卡诺图 卡诺图
内容提要
用布尔代数的常用公式进行布尔表达式(逻 辑表达式)的化简 逻辑表达式的标准形式 卡诺图
用卡诺图化简积之和 用卡诺图化简和之积
卡诺图(Karnaugh Map: K-MAP)
卡诺图是逻辑函数真值表的图形化 N输入的卡诺图是一个含有2N个单元的矩阵图,每 个单元代表在一个输入组合下函数的值,实际对应 着某一个最小项的值 相邻的单元只有一个变量不同
= (XY+XY)+XY'+X'Y =X(Y+Y')+Y(X+X') =X+Y
Y
三变量的卡诺图
ABC
ABC
ABC ABC ABC
ABC
ABC ABC
三变量的卡诺图
F ( A, B, C ) = ABC + ABC + ABC + ABC
ABC
ABC
ABC ABC ABC
1
1
ABC
ABC ABC
1
0
0
Hale Waihona Puke 001四变量卡诺图
格雷码 (Gray Code)
格雷码 (Gray Code)
四变量卡诺图的相邻示例
XY'Z'
四变量卡诺图的相邻示例
X'Y'Z'
四变量卡诺图的相邻示例
XY
四变量卡诺图的相邻示例
X'Z'
四变量卡诺图的相邻示例
X
五变量卡诺图的相邻示例
五变量卡诺图的相邻示例
五变量卡诺图的相邻示例
化简的目的是最小化门的数目和门输入的数目
用卡诺图化简为和之积的形式
圈卡诺图上的0单元 每个圈是一个求和项 圈所覆盖的区域:
如果对应着0,取原变量, 如果对应着1,取反变量 如果既有0又有1,则不包含
利用卡诺图简化逻辑函数
F=
∑ (1,2,3) = XY+XY'+X'Y
X
F=X+Y
Y
利用卡诺图简化逻辑函数
不是所有的竞争都会导致冒险
静态1型冒险的发现方法
XY Z
0 1
00
01
11
10
XY Z
XZ' 0 1
00
01
11
10
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0
0 1
1 1
1 0
XZ'
YZ
YZ
F = XZ' + YZ
F = XZ' + YZ + XY
XY
另一个例子
本部分小结
利用卡诺图来化简逻辑函数
按照逻辑函数的最小项表达式或者真值表画出 卡诺图 圈1 最简积之和 圈0 最简和之积
F=
∑ (1,2,3) = XY+XY'+X'Y
圈卡诺图上的0单元 每个圈是一个求和项 圈所覆盖的区域:
如果对应着0,取原变量, 如果对应着1,取反变量 如果既有0又有1,则不包含
F=X+Y
用卡诺图化简为和之积的形式
F =(W+Y) (W+X+Z') (W'+Z) (W'+X+Y')