等腰直角三角形中的常用模型复习过程
初中等腰三角形模型总结—全面完整版2018.5.23
初中等腰三角形模型总结—全面完整版（模型总结+精选例题+优选练习题）第一部分 模型总结一、腰垂线模型1）等腰三角形ABC ，AB=AC ，D 点是底边BC 边上的一点，DE 垂直于AB ，DF 垂直于AC ，则DE+DF 是定值，为腰上的高2）等腰三角形ABC ，AB=AC ，D 点是底边BC 边延长线上的一点，DE 垂直于AB ，DF 垂直于AC ，则DE-DF 是定值，为腰上的高3）等腰三角形ABC ，AB=AC ，D 和F 点是底边BC 边上的一点，DE 垂直于AB ，DP 垂直于AC ，FH 垂直于AB ，FI 垂直于AC ，则DE+DP=FH+FI二、角平分线+平行线→等腰△1）OD 为∠AOB 的角平分线，CE//OD ，则△OCE 为等腰三角形2) AD 平分∠EAC ，BC//AD ，则ABC 为等腰三角形3）已知在△ABC 中，BO 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE//BC ，则DE=BD+CE第二部分 精选例题例1.B 如图1，在∆ABC 中，AB=AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F ，求证：AE=AP 。
分析：要证AE=AP ，可寻找一条角平分线与EF 平行，于是想到AB=AC ，则可以作AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，BCDFD DBCFE321DCBOABC图1BC而EF ⊥BC ，所以AD EF ，所以可得到∆AEP 是等腰三角形，故AE=AP 。
例2.B 如图4，若AD 平分∠BAC ，AD ⊥DC ，则∆AEC 是等腰三角形？例3，A 已知，如图6，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D ，E 在底边BC 上，AD=AE ，你能证明BD 与CE 相等吗？为什么？分析：利用等腰三角形“三线合一”性质作底边性质作底边BC 上的高AF （也可以说成作底边BC 的中线AF ），AB=AC ，则有BF=CF ，又AD=AE ，AF ⊥DE ，∴DF=EF ，再由等式的性质可得BD=CE 。
等腰直角三角形中的常见模型
中考复习专题1 姓名：等腰直角三角形中的常用模型【复习说明】1.本节课针对成都市中考中A卷20题（10分）以及B卷5道填空题之一（4分）可能出现的题目；2.本节课涉及三个模型，分析思考时要注意不同状态的辅助线添加方式以及对应的证明方式.【涉及知识点回顾】——等腰直角三角形的几何特征①角的特征: ___________________________________________________________________________②边的特征: ___________________________________________________________________________ 模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点★（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必能构造一对全等的直角三角形：C【例1】【A卷20题前两问】如图：Rt A ABC中，N BAC=90°, AB=AC,点D是BC上任意一点，过B作BE±AD于点E，过C作CF±AD于点F.（1）若D在线段BC上（如图（1））,求证：BE-CF=EF；（2）若D在BC的延长线上（如图（2））, （1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论并证明.【课堂练习1】【B卷填空】如图，等腰RtA ABC中，AB=CB,N ABC=90°,点P在线段BC上（不与B、C重合），以AP为腰作等腰直角4PAQ, QE±AB于E ,连CQ交AB于M.若BPPC则上的值为.MB★（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必能构造一对全等的直角三角形:・如何构造:【例2I A卷20题前两问】如图：Rt A ABC中，N BAC=90°, AB=AC, 点D是BC上任意一点，过B作BE±AD于点E，交AC于点G, 过C作CF±AC交AD的延长线与于点F.（1）若D在线段BC上（如图（1））,求证：BG=AF；（2）若D在BC的延长线上（如图（2））, （1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论并证明.【课堂练习2】【B卷填空】等腰Rt A ABC中，AC=AB,N BAC= 90°,点D、E是AC上两点，且AD=CE, AF±BD于点G，交BC于点F,连接FE并延长，交BD延长线于H.若N ABD=21°, 求N H的度数为°.模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边★等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，必能以两腰为斜边构造全等三角形・如何构造:•有何特点:【例3】【B 卷填空】等腰Rt A ABC 中，AC=AB , /BAC =90°,±BE 于。
模型12 脚拉脚模型(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍成立条件：等腰三角形顶角互补模块一：认识“脚拉脚”模型1、等腰直角三角形的逆序脚拉脚基本图ABCEDABCEDF已知：△ABC 、△ADE 为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB ，AD=ED ，点F 为CE 的中点。
结论：BF=DF ，BF ⊥DF.法1：倍长中线+手拉手延长DF 至点G ，使得FG=FD ，易证△DEF ≌△GCF （SAS ）；所以CG=ED=AD ，∠2=∠7；又∠1+∠2+∠3=360°，∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和），∠4=∠6=90°；所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，所以∠1=∠5；则△BCG ≌△BAD （SAS ），所以∠DBG=90°，BG=BD ；所以BF=21DG=DF ，BF ⊥DF 。
由△BCF≌△GEF（SAS），得BC∥GH，由△DEF≌△GCF（SAS），得GH ∥DE，所以∠2=∠6=90°，则∠2=∠1，所以∠H+∠ADE=180°，即∠H=∠ADE=90°，在四边形ADEH中，∠1+∠2=180°，所以∠H=∠ABC=90°，则∠3+∠4=180°，又∠4+∠5=180°，所以∠1=∠2（8型转角），所以∠3=∠5所以∠3=∠4注意：选择“四边形对角互补”还是“8型转角”证明角相等取决原有等腰直角三角形底边与公共顶点的夹角（夹角小于45°：选择“四边形对角互补”;夹角大于45°：选择“8型转角”）法2：斜边中线+中位线取AC中点G，AE中点H，连接BG，FG，FH，DH。
由中位线定理可知：FG=21AE=DH ，FH=21AC=BG ，∠1=∠3=∠2，所以∠1+∠5=∠2+∠4，所以∠BGF=∠FHD ；则△BGF ≌△FHD （SAS ），所以BF=DF ，∠FBG=∠DFH ，∠BFG=∠FDH ；所以∠BFG+∠GFH+∠DFH=∠BFG+∠3+∠FBG =∠BFG+∠1+∠FBG ，又∠BFG+∠1+∠FBG+∠5=180°（三角形内角和），所以∠BFG+∠1+∠FBG=90°，所以BF ⊥DF 。
初中数学复习几何模型专题讲解4---等腰直角三角形构造三垂直模型
初中数学复习几何模型专题讲解专题04 等腰直角三角形构造三垂直模型一、解答题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b的图象与x轴交于点A（－3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）．（1）求k值与一次函数y＝k1x＋b的解析式；（2）在x轴上有一动点P，求当PB+PC最小时P点坐标．（3）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标；【答案】（1）k= 43，y=23x+2；（2）P(1，0)；（3）（﹣5，3）或（﹣2，5）【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）作点B关于x轴对称的点B＇，连接B＇C，交x轴于点P，此时PB+PC最小，求出直线B＇C的解析式，求出直线B＇C与x轴的交点坐标即可；（3）分两种情况讨论：①当∠DAB=90°时；②当∠D＇BA=90°时，添加辅助线构造全等三角形进行求解即可．【详解】解：（1）由题意，将点C(3，4)代入y=kx 中，得：4=3k ，解得：k= 43， 再将点C(3，4)、点A （﹣3，0）代入y ＝k 1x ＋b 中，得：113034k b k b -+=⎧⎨+=⎩， 解得：1232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴函数y ＝k 1x ＋b 的解析式为：y=23x+2； （2）如图，作点B 关于x 轴对称的点B ＇，连接B ＇C ，交x 轴于点P ，此时PB+PC 最小，在y=23x+2中，令x=0，则y=2， ∴B(0，2)，则B ＇（0，﹣2），设直线B ＇C 的解析式为y ＝k 2x ﹣2，将C （3，4）代入得：4=3k 2﹣2，解得：k 2=2，∴直线B ＇C 的解析式为y ＝2x ﹣2，令y=0，由0=2x ﹣2得：x=1，∴点P 坐标为（1，0）；（3）根据题意，OA=3，OB=2，分两种情况：①当∠DAB=90°时，DA=AB ，过点D作DM⊥x轴于E，∵∠DAM+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAM=∠ABO，∵∠DMA=∠AOB=90°，DA=AB，∴△DAM≌△ABO(AAS)，∴DM=OA=3，MA=OB=2，∴D(﹣5，3)；②当∠D＇BA=90°时，D＇B=AB，过D＇作D＇N⊥y轴于N，同理可证△D＇BN≌△BAO(AAS)，∴BN=OA=3，D＇N=OB=2，∴D＇（﹣2，5），故点D的坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）．【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查待定系数法求一次函数的解析式、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、一次函数与几何图形及最短路径相关问题、解二元一次方程组等知识，熟练掌握一次函数的相关知识，添加辅助线构造全等三角形和利用分类讨论的数学思想是解答的关键．2．在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE＝BE﹣AD【分析】（1）由题意易得∠DAC+∠ACD＝90°，则∠DAC＝∠BCE，进而可证△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质可求解；（2）由题意易得∠CEB=∠ADC=90°，则可求∠CAD=∠BCE，进而可证△CAD≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可求解；（3）根据题意可证△CAD≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC ＝∠BCE ，在△ADC 和△CEB ，ADC CEBDAC ECB AC CB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE+CD ＝AD+BE ；（2）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠DAC+∠ACD ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC ＝∠BCE ，∵AC=BC ，∴△ADC ≌△CEB ，∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ；（3）解：DE ＝BE ﹣AD ，理由如下：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE，∴DE＝BE﹣AD．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．3．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）【答案】（1）见详解；（2）砌墙砖块的厚度a为5cm．【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【详解】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中ADC CEBDAC BCE AC BC∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，∴AD＝4a，BE＝3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35，∴a＝5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．4．已知，A（-1，0）．（1）如图1，B（0，2），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．①求C点的坐标；②在坐标平面内是否存在一点P （不与点C 重合），使△PAB 与△ABC 全等？ 若存在，直接写出P 点坐标； 若不存在，请说明理由；（2）如图2，点E 为y 轴正半轴上一动点，以E 为直角顶点作等腰直角△AEM ，设M （a ，b ），求a-b 的值．【答案】（1）①()2,3C -；②存在，()2,1P 或()1,1-或()3,1-；（2）1．【分析】（1）作CD ⊥y 轴于D ，证△CEB ≌△BOA ，推出CE=OB=2，BE=AO=1，即可得出答案；（2）分为三种情况，画出符合条件的图形，构造直角三角形，证三角形全等，即可得出答案；（3）作MF ⊥y 轴于F ，证△EFM ≌△AOE ，求出EF ，即可得出答案．【详解】（1）①作CE ⊥y 轴于E ，如图1，∵A （-1，0），B （0，2），∴OA=1，OB=2，∵∠CBA=90°，∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，∴∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°， ∴∠ECB=∠ABO ，在△CBE 和△BAO 中ECB ABO CEB AOB BC AB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CBE ≌△BAO ，∴CE=BO=2，BE=AO=1，即OE=1+2=3，∴C （-2，3）．②存在一点P ，使PAB △与ABC 全等，分为三种情况：①如图2，过P 作PE x ⊥轴于E ，则90PAB AOB PEA ∠=∠=∠=，90EPA PAE ∴∠+∠=，90PAE BAO ∠+∠=，EPA BAO ∴∠=∠，在PEA 和AOB 中EPA BAO PEA AOB PA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PEA ∴≌AOB ，1PE AO ∴==，2EA BO ==，123OE ∴=+=，即P 的坐标是()3,1-；②如图3，过C 作CM x ⊥轴于M ，过P 作PE x ⊥轴于E ，则90CMA PEA ∠=∠=， CBA ≌PBA ，45PAB CAB ∴∠=∠=，AC AP =，90CAP ∴∠=，90MCA CAM ∴∠+∠=，90CAM PAE ∠+∠=， MCA PAE ∴∠=∠，在CMA 和AEP △中，CMA PEA AC AP ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CMA ∴≌AEP △，PE AM ∴=，CM AE =，()2,3C -，()1,0A -，211PE ∴=-=，0312OE AE A =-=-=，即P 的坐标是()2,1；③如图4，过P 作PE x ⊥轴于E ，CBA ≌PAB △，AB AP =∴，90CBA BAP ∠=∠=，则90AEP AOB ∠=∠=，90BAO PAE ∴∠+∠=，90PAE APE ∠+∠=，BAO APE ∴∠=∠，在AOB 和PEA 中，AOB PEA AB AP ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AOB ∴≌PEA ，1PE AO ∴==，2AE OB ==，0211E AE AO ∴=-=-=，即P 的坐标是()1,1-，综合上述：符合条件的P 的坐标是()3,1-或()1,1-或()2,1．（2）过M 作MF y ⊥轴于F ，得到下图5∵(),M a b∴,MF a FO b ==，由上图得：90AEM EFM AOE ∠=∠=∠=，90AEO MEF ∠+∠=，90MEF EMF ∠+∠=，AEO EMF ∴∠=∠，在AOE △和EMF △中AOE EFM AEO EMF AE EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEO ∴≌()EMF AAS ，1EF AO ∴==，MF OE =，MN x ⊥轴，MF y ⊥轴，90MFO FON MNO ∴∠=∠=∠=，∴四边形FONM 是矩形，MN OF ∴=，1a b MF OF EO OF EF OA -=-=-===．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，用了分类讨论思想．5．公路上，A ，B 两站相距25千米，C 、D 为两所学校，DA AB ⊥于点A ，CB AB ⊥于点B ，如图，已知15DA =千米，现在要在公路AB 上建一报亭H ，使得C 、D 两所学校到H 的距离相等，且90DHC ∠=︒，问：H 应建在距离A 站多远处？学校C 到公路的距离是多少千米？【答案】H 应建在距离A 站10千米处，学校C 到公路的距离是10千米．【分析】先根据垂直的定义可得90A B ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得D BHC ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,15AH BC DA HB ===千米，最后根据线段的和差可得．【详解】由题意得：DH HC =，25AB =千米，,DA AB CB AB ⊥⊥，90A B ∴∠=∠=︒，90D AHD ∠∴∠+=︒，90DHC ∠=︒，18090BH D HD C C H A ∴∠+∠=︒-∠=︒，D BHC ∴∠=∠，在ADH 和BHC △中，A B D BHC DH HC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADH BHC AAS ∴≅，,AH BC DA HB ∴==，15DA =千米，25AB =千米，15HB ∴=千米，10BC AH AB HB ∴==-=千米，答：H 应建在距离A 站10千米处，学校C 到公路的距离是10千米．【点睛】本题考查了垂直的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．6．如图所示，在ABC ∆和DBC ∆中，∠ACB=∠DBC=90°，点E 是BC 的中点，EF ⊥AB ，垂足为F ，且AB=DE ．（1）求证：BC=BD；（2）若BD=10厘米，求AC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）5厘米【分析】（1）由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC；（2）由（1）可知△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等，得到AC=BE，由E是BC的中点，得到BE=12BC＝12BD＝5厘米．【详解】解：（1）∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，∴∠ABC+∠DEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠A=90°，∴∠A=∠DEB，在△ABC和△EDB中，ACB DBC A DEBAB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABC ≌△EDB （AAS ），∴BD=BC ；（2）∵△ABC ≌△EDB ，∴AC=BE ，∵E 是BC 的中点，BD=10厘米，∴BE=12BC ＝12BD ＝5厘米． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．7．综合与实践特例研究：将矩形ABCD 和Rt CEF 按如图1放置，已知90,,,FCE AD CD CE CF CF CD ∠=︒==>，连接',BF DE ．()1如图1，当点D 在CF 上时，线段BF 与DE 之间的数量关系是__ ；直线BF 与直线DE 之间的位置关系是_ ；拓广探索：()2图2是由图1中的矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段BF 与DE 之间的数量关系和直线BF 与直线DE 之间的位置关系，并说明理由．【答案】（1）,BF DE BF DE =⊥；（2）,BF DE BF DE =⊥，理由见解析【分析】()1,BF DE BF DE =⊥，延长ED 交B F 于点G 先证△FBC ≌△EDC （SAS ），可知,BF DE CED CFB =∠=∠，由∠DCE=90º，可得∠DEC+∠CDE=90º，可推出∠FDG+∠GFD=90º即可，()2先下结论，,BF DE BF DE =⊥，再证明，证法与（1）类似，延长ED 交CF 于点,M 交FB 于点N ．由四边形ABCD 为矩形且AD=CD 可得CD CB =，()DCE BCF SAS ≅可推出,BF DE CED CFB =∠=∠．由90,FCE ∠=︒知90CME CED ∠+∠=︒．由,CME FMN ∠=∠可用等量代换得90,FMN CFB ∠+∠=︒由三角形内角和得90,FNE ∠=︒即可．【详解】解：()1,BF DE BF DE =⊥，延长ED交B F于点G，∵四边形ABCD为矩形，且AD=DC，∴BC=CD，∴∠=∠=90º，BC CEF D由旋转的FC=EC，∴△FBC≌△EDC（SAS），BF DE CED CFB=∠=∠，,∵∠DCE=90º，∴∠DEC+∠CDE=90º，∴∠FDG+∠GFD=90º∠FGD=90º，()2,=⊥，BF DE BF DE理由如下：M交FB于点N．如答图，延长ED交CF于点,，90FCE ∠=︒，四边形ABCD 为矩形，BCD FCE ∴∠=∠，FCB FCD ECD FCD ∠+∠=∠+∠，FCB ECD ∴∠=∠，AD CD =，∴矩形ABCD 为正方形．CD CB ∴=，在DCE 和BCF △中，,,CD CB ECD FCB CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCE BCF SAS ∴≅．,BF DE CED CFB ∴=∠=∠．90,FCE ∠=︒90CME CED ∴∠+∠=︒．,CME FMN ∠=∠90,FMN CFB ∴∠+∠=︒90,FNE ∴∠=︒BF DE ∴⊥．【点睛】本题考查旋转中两线段的数量与位置关系问题，关键是把两线段置于两个三角形中利用全等解决问题，会利用旋转找全等条件，会计算角的和差，和证垂直的方法． 8．已知：在ABC 中，∠BAC =90°，AB ＝CA ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m 于点D ，CE ⊥直线m 于点E ．求证：BDA AEC ≅△△；【答案】证明见解析．【分析】先根据垂直的定义可得90ADB CEA ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得BAD ACE =∠∠，然后根据三角形全等的判定定理即可得证．【详解】,BD m CE m ⊥⊥，90ADB CEA ∴∠=∠=︒，90ACE CAE ∴∠+∠=︒，90BAC ∠=︒，18090BAD CAE BAC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BAD ACE ∴∠=∠，在BDA 和AEC 中，ADB CEA BAD ACE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDA AEC AAS ∴≅．【点睛】本题考查了垂直的定义、直角三角形的性质、三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．9．（提出问题）如图1，在直角ABC 中，∠BAC =90°，点A 正好落在直线l 上，则∠1、∠2的关系为（探究问题）如图2，在直角ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点A 正好落在直线l 上，分别作BD ⊥l 于点D ，CE ⊥l 于点E ，试探究线段BD 、CE 、DE 之间的数量关系，并说明理由．（解决问题）如图3，在ABC 中，∠CAB 、∠CBA 均为锐角，点A 、B 正好落在直线l 上，分别以A 、B 为直角顶点，向ABC 外作等腰直角三角形ACE 和等腰直角三角形BCF ，分别过点E 、F 作直线l 的垂线，垂足为M 、N ．①试探究线段EM 、AB 、FN 之间的数量关系，并说明理由；②若AC =3，BC =4，五边形EMNFC 面积的最大值为【答案】提出问题：1290∠+∠=︒；探究问题：BD CE DE +=，理由见解析；解决问题：①EM FN AB +=，理由见解析；②492． 【分析】 提出问题：根据平角的定义、角的和差即可得；探究问题：先根据垂直的定义可得90ADB CEA ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得2ABD ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,BD AE AD CE ==，最后根据线段的和差即可得；解决问题：①如图（见解析），同探究问题的方法可得,EM AD FN BD ==，再根据线段的和差即可得；②如图（见解析），同探究问题的方法可得,ACD EAM BCD FBN ≅≅，再根据三角形全等的性质可得,ACD EAM BCD FBN S S S S ==，然后利用三角形的面积公式将五边形EMNFC 面积表示出来，由此即可得出答案．【详解】提出问题：12180,90BAC BAC ∠+∠+∠=︒∠=︒，2190∴∠+∠=︒，故答案为：1290∠+∠=︒；探究问题：BD CE DE +=，理由如下：,BD l CE l ⊥⊥，90ADB CEA ∴∠=∠=︒，190ABD ∴∠+∠=︒，由提出问题可知，1290∠+∠=︒，2ABD ∴∠=∠，在ABD △和CAE 中，2ADB CEA ABD AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴≅，,BD AE AD CE ∴==，DE AE AD BD CE ∴=+=+，即BD CE DE +=；解决问题：①EM FN AB +=，理由如下：同探究问题的方法可证：,EM AD FN BD ==，AB AD BD EM FN ∴=+=+，即EM FN AB +=；②如图，过点C 作CD l ⊥于点D ，同探究问题的方法可证：,ACD EAM BCD FBN ≅≅，,ACD EAM BCD FBN S S S S ∴==， ACE 和BCF △都是等腰直角三角形，且3,4AC BC ==，3,4AE AC BF BC ∴====， 191,8222ACE BCF S AC AE S BC BF ∴=⋅==⋅=， ∴五边形EMNFC 面积为EAM ACE ACD BCD BCF FBN S S S S S S +++++， 982ACD ACD BCD BCD S S S S =+++++， ()2522ACD BCD SS =++， 2522ABC S =+， 则当ABC 面积取得最大值时，五边形EMNFC 面积最大，设ABC的BC边上的高为h，则122ABCS BC h h=⋅=，在ABC中，CAB∠、CBA∠均为锐角，∴当90ACB∠=︒时，h取得最大值，最大值为3AC=，ABC∴面积的最大值为236ABCS=⨯=，则五边形EMNFC面积的最大值为2549 2622⨯+=，故答案为：492．【点睛】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．10．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．【答案】见解析【分析】根据题意易得Rt△ACE≌Rt△CBF，则有∠EAC＝∠BCF，然后根据等角的余角相等及领补角可求证．【详解】证明：如图，在Rt △ACE 和Rt △CBF 中，AC BC AE CF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ACE ≌Rt △CBF （HL ），∴∠EAC ＝∠BCF ，∵∠EAC+∠ACE ＝90°，∴∠ACE+∠BCF ＝90°，∴∠ACB ＝180°﹣90°＝90°．【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及性质是解题的关键．11．如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于点M ，BN ⊥MN 于点N ．（1）求证：MN ＝AM ＋BN ；（2）如图2，若过点C 作直线MN 与线段AB 相交，AM ⊥MN 于点M ，BN ⊥MN 于点N （AM ＞BN ），（1）中的结论是否仍然成立？说明理由．【答案】(1)见解析；(2)不成立，理由见解析【分析】(1)根据垂直的定义得到∠AMC=∠CNB=90°，则∠MAC+∠ACM=90°，又∠ACB=90°，则∠ACM+∠NCB=90°，于是根据等量代换得到∠MAC=∠NCB ，根据“AAS ”可证明△ACM ≌△CBN ，根据全等的性质得到AM=CN ，CM=BN ，则MN=MC+CN=AM+BN ．(2)根据已知条件能证得△ACM ≌△CBN ，利用全等的性质得到AM=CN ，CM=BN ，而MN=CN-CM=AM-BN ．【详解】解：(1)∵AM ⊥MN 于点M ，BN ⊥MN 于点N ，∴∠AMC=∠CNB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACM+∠NCB=90°，∴∠MAC=∠NCB ，在△ACM 和△CBN 中，AMC CNB MAC NCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩\ ∴ACM ≌△CBN ，∴AM=CN ，CM=BN ，∴MN=MC+CN=AM+BN ．(2)题(1)中的结论不成立，同题(1)证明可知：ACM ≌△CBN ，∴AM=CN ，CM=BN ，∴MN=CN-CM=AM-BN ，【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质与判断，正确的掌握全等三角形的性质与判断是解题的关键．12．在平面直角坐标系中，函数443y x =-+的图像分别交x 轴、y 轴于点A C 、，函数y ax b =+的图象分别交x 轴、y 轴于点,B C ，且4OC OB =，过点C 作射线//CR x 轴． （1）求直线BC 的解析式；（2）点P 自点C 沿射线CR 以每秒1个单位长度运动，同时点Q 自点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ ．设POC ∆的面积为S ，点Q 的运动时间为t （秒），求S 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P 作//PF CB ，交x 轴于点F ，连接QF ，在P Q 、运动的过程中，是否存在t 值，使得45PFQ ︒∠=，若存在，求t 值：若不存在，请说明理由．【答案】（1）44y x =+；（2）()222055S t t t =-+<<；（3）存在，1511或257【分析】（1）利用待定系数法求出A ，C 两点坐标，再求出点B 坐标即可解决问题； （2）想办法用t 表示点Q 坐标，利用三角形面积公式计算即可；（3）分两种情形，通过辅助线构造等腰直角三角形，利用相似三角形解决问题．【详解】解：（1）函数443y x =-+的图象分别交x 轴、y 轴于点A ，C ， (3,0)A ∴，(0,4)C ，3OA =，4OC =，4OC OB =，1OB =∴，(1,0)B ∴-，设直线BC 的解析式为y kx b =+，则有40b k b =⎧⎨-+=⎩， 解得44k b =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为44y x =+．（2）如图1中，由题意AQ PC t ==，易知3(35Q t -，4)5t ，2142(4)2(05)255S t t t t t ∴=-=-+<< （3）存在；情形①如图2中，取点(4,3)M ，连接CM ，BM ，作MG CR ⊥垂足为G 交OA 于K ，作QH OA ⊥垂足为H ．4CG CO ==，90CGM COB ∠=∠=︒，1MG BO ==()CGM COB ASA ∴≅△△，GCM OCB ∴∠=∠，CB CM =，90BCM OCG ∴∠=∠=︒，BCM ∴∆的等腰直角三角形，1345∴∠=∠=︒，//PF BC ，2145∴∠=∠=︒，445∠=︒，24∴∠=∠，//FQ BN ∴，QFH MBK ∴∠=∠，90QHF MKB ∠=∠=︒，QHF MKB ∴△∽△， ∴QH FH MK BK =，∴433(1)5535t t t ---=， 1511t ∴=． 情形②如图3中，由2445∠=∠=︒，可知90MNF ∠=︒，由QHF BKM △∽△得到QH HF BK MK=， ∴43(4)5553t t t --=， 257t ∴=， 综上所述1511t或257． 【点睛】此题考查一次函数的应用，直角三角形的性质及全等三角形以及相似三角形的判定及性质，属于综合性较强的题目，对于此类动点型题目，首先要确定符合题意的条件下动点所在的位置，然后用时间t 表示出有关线段的长度，进而建立关于线段的关系式，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，难度较大．13．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A （a ，0）、C （b ，c ），且a 、b 、c满足()2b 32c -++∣=0． （1）求点A 、C 的坐标；（2）在x 轴正半轴上有一点E ，使∠ECA ＝45°，求点E 的坐标；（3）如图2，若点F 、B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上，且OB=OF ，点P 在第一象限内，连接PF ，过P 作PM ⊥PF 交y 轴于点M ，在PM 上截取PN=PF ，连接PO 、BN ，过P 作∠OPG=45°交BN 于点G ，求证：点G 是BN 的中点．【答案】（1）（-3，0）；（3，-2）；（2）（2，0）；（3）证明见详解【分析】（1）根据题意，由算术平方根，绝对值和平方数的非负性，求出a 、b 、c 的值，即可得出点A 、C 的坐标；（2）通过辅助线作图，构造一线三垂直模型，证明ALG CKA S≌S ，求出点G 的坐标，由等面积法求出AE 长度即可求出点E 坐标；（3）作EO ⊥OP 交PG 的延长线于E ，连接EB 、EN 、PB ，只要证明四边形ENPB 是平行四边形即可．【详解】（1()2b 32c -++∣=0， 所以a=-3，b=3，c=-2，点A 坐标为（-3，0），点C 坐标为（3，-2），故答案为：（-3，0）；（3，-2）；（2）过点A 作AC 的垂线，交CE 的延长线于点G ，过点A 作x 轴的垂线KL ，过点C 作KL 的垂线于点K ，过点G 作KL 的垂线于点L ，过点G 作x 轴的垂线于M ，过点C作x 轴的垂线于N ，∵∠ECA ＝45°，AG ⊥AC ，∴∠CAG=90°，AG=AC ，△CAG 为等腰直角三角形，由一线三垂直模型可知，∠GAL=∠ACK ，在△ALG 和△CKA 中90GAL ACKAG A AC LG CKA ∠=∠∠=∠==︒⎧⎪⎨⎪⎩∴ALG CKA S ≌S ，∴AL=CK=AN=3+3=6，LG=AK=CN=2，∴GM=6，OM=3-2=1，∴点G 坐标为（-1，3），在Rt △ANC 中，AN=6，CN=2，由勾股定理得，由等面积法，得11()22AC AG AE GM CN ⨯⨯=⨯⨯+，∴11822AE ⨯⨯⨯， ∴AE=5，∴OE=AE-OA=5-3=2，故点E 坐标为（2，0），故答案为：（2，0）；（3）如图，作EO ⊥OP 交PG 的延长线于E ，连接EB 、EN 、PB ，∵∠EOP=90°，∠EPO=45°，∴∠OEP=∠EPO=45°，∴EO=PO ，∵∠EOP=∠BOF=90°，∴∠EOB=∠POF ，在△EOB 和△POF 中，BO OF EOB POF OE OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOB ≌△POF ，∴EB=PF=PN ，∠1=∠OFP ，∵∠2+∠PMO=180°，∵∠MOF=∠MPF=90°，∴∠OMP+∠OFP=180°，∴∠2=∠OFP=∠1，∴EB ∥PN ，∵EB=PN ，∴四边形ENPB 是平行四边形，∴BG=GN ，即点G 是BN 的中点．【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值和平方数的非负性，一线三垂直模型，等面积法求线段长度，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质应用，熟练掌握图形的判定和性质是解题的关键．14．在平面直角坐标系中，已知点(),0A a 、()0,C b 满足2(2)0+=a（1）直接写出：a =____________，b =________．（2）点B 为x 轴正半轴上一点，如图1，BE AC ⊥于点E ，交y 轴于点D ，连接OE ，若OE 平分AEB ∠，求直线BE 的解析式．（3）在（2）的条件下，点M 为直线BE 上一动点，连OM ，将线段OM 绕点M 逆时针旋转90︒，如图2，点O 的对应点为N ，当点M 运动时，判断点N 的运动路线是什么图形，并说明理由．【答案】（1）2-，5-；（2）2y x 25=-；（3）点N 的运动路线是直线32077=--y x ，理由见解析【分析】（1）根据题意得到关于a 、b 的方程，求a 、b 即可；（2）如图1，过点O 作OF OE ⊥，交BE 于F ，分别证明EOC FOB ∆∆≌，AOC DOB ∆∆≌，得到OB OC =，OA OD =，确定点B 、D 坐标，利用待定系数法即可求解； （3）如图2，过点M 作MG x ⊥轴，垂足为G ，过点N 作⊥NH GM 交GM 的延长线于H ，证明NOM ∆为等腰直角三角形，得到=OG MH ，=GM NH ，设2,25⎛⎫- ⎪⎝⎭M m m ，则3,25--⎛⎫ ⎪⎝⎭H m m ，得到732,255⎛⎫--- ⎪⎝⎭N m m ，即752-=m x ，325--=m y ，消去m ，即可得到点N 运动轨迹．【详解】解：（1）由题意得a+2=0，b+5=0，解得a=2-，b=5-，故答案为：2-，5-；（2）如图1，过点O 作OF OE ⊥，交BE 于F ，∵BE AC ⊥，OE 平分AEB ∠，∴EOF ∆为等腰直角三角形，∴OE=OF ，∠BOF=∠COE=45°，∵BE AC ⊥于点E ，∴∠1+∠BAC=90°，∵∠2+∠BAC=90°，∴∠1=∠2，∴EOC FOB ∆∆≌，∴OB OC =，∵∠1=∠2, ∠AOC=∠DOB=90°，∴AOC DOB ∆∆≌，∴OA OD =，∵()2,0A -，()0,5C -，∴()0,2D -，()5,0B ，设直线BD 解析式为y kx b =+，∴250b k b =-⎧⎨+=⎩， ∴ 225b k =-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴直线BD ，即直线BE 的解析式为2y x 25=-；（3）由题意得，NOM ∆为等腰直角三角形如图2，过点M 作MG x ⊥轴，垂足为G ，过点N 作⊥NH GM 交GM 的延长线于H ， ∵NOM ∆为等腰直角三角形，∴≌∆∆GOM HMN ，∴=OG MH ，=GM NH ，由（2）得直线BD 的解析式2y x 25=-， 设2,25⎛⎫- ⎪⎝⎭M m m ，则3,25--⎛⎫ ⎪⎝⎭H m m ， ∴732,255⎛⎫--- ⎪⎝⎭N m m ， 令752-=m x ，325--=m y ， ∴32077=--y x ， 即点N 的运动路线是直线32077=--y x ．【点睛】本题为一次函数综合题，考查了三角形全等判定，等腰直角三角形性质，待定系数法等，综合性强，根据题意构造全等，理解函数图象是点的运动轨迹是解题的关键．15．如图，将Rt△ABC的斜边BC绕点B顺时针旋转90°得边BD，过点D作AB的垂线，交AB延长线于点E，求证：△EDB≌△ABC．【答案】见解析．【分析】先由旋转的性质得到BC＝BD，∠DBC＝90°＝∠CAB，再运用“AAS”证得△EDB≌△ABC 即可．【详解】证明：∵BC绕点B顺时针旋转90°得边BD，∴BC＝BD，∠DBC＝90°＝∠CAB，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠ACB＝∠DBE，又∵∠CAB＝∠DEB＝90°，∴△EDB≌△ABC（AAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和旋转的性质，根据旋转的性质得到判定全等三角形的条件是解答本题的关键．16．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE 长．【答案】（1）见解析；（2）7【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．【详解】解：（1）∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA，在△ABE和△AFC中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△BEA≌△AFC．∴EA=FC，BE=AF．∴EF=EB+CF．（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△AFC中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△BEA≌△AFC．∴EA=FC=3，BE=AF=10．∴EF=AF﹣CF=10﹣3=7．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．17．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系并加以证明；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．【答案】（1）DE=AD+BE，理由见详解；（2）发生变化，AD=BE+DE，理由见详解；（3）BE=AD+DE．【分析】（1）由题意易得∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠ECB=90°，∠DCA+∠DAC=90°，则有∠DAC=∠ECB，进而可知△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可求证；（2）由题意易得∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠CAD=90°，∠DCA+∠BCE=90°，则有∠DAC=∠ECB，进而可知△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可求证；（3）由题意易得∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠ECB=90°，∠EBC+∠BCE=90°，则有∠ACD=∠CBE，进而可知△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可得解．【详解】解：（1）DE=AD+BE，理由如下：∠ACB=90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠ECB=90°，∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB，AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，DE=DC+CE∴DE=AD+BE；（2）发生变化，AD=BE+DE，理由如下：∠ACB=90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠CAD=90°，∠DCA+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，CE=DC+DE∴AD=BE+DE；（3）BE=AD+DE，理由如下：同理（2）的方法可得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CE=AD，CD=EC+DE∴BE=AD+DE．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．18．如图，在ABC 中∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）求证：ADC CEB △≌△；（2）若AD=2，BE=3，求ABC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）132【分析】 （1）根据垂直定义求出∠BEC ＝∠ACB ＝∠ADC ，根据等式性质求出∠ACD ＝∠CBE ，根据AAS 证出△ADC 和△CEB 全等即可；（2）由（1）可推出CD ＝BE ，AD ＝CE ，进而可得到AC=AB=△ABC 面积即可．【详解】解：（1）证明：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠BEC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∴∠ACE+∠BCE ＝90°，∠BCE+∠CBE ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE ，在△ADC 和△CEB 中ADC=BEC ACD=CBE AC=BC ⎧⎪⎨⎪⎩∠∠∠∠，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）∵△ADC ≌△CEB∴BE ＝CD ，AD ＝CE ，AC=BC ，又AD=2，BE=3，∴∴△ABC 的面积为11322=， 故△ABC 的面积为132．【点睛】全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．二、填空题19．一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间（如图），已知90,ACB AC BC ∠=︒=，从三角尺的刻度可知20,AB cm AD =为三块砖的厚度，BE 为两块砖的厚度，小聪很快就知道了砌墙所用砖块的厚度（每块砖的厚度相等，两块砖间的缝隙忽略不计）为____________cm ．【答案】13【分析】设砖块的厚度为xcm ，由题意可知：AD=3x ，BE=2x ，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AC ，利用AAS 即可证出△DAC ≌△ECB ，从而得出CD=BE=2xcm ，利用勾股定理列出方程即可求出x ．【详解】解：设砖块的厚度为xcm ，由题意可知：AD=3xcm ，BE=2xcm∵90,ACB AC BC ∠=︒=，20AB cm =∴222AC BC AB +=解得AC BC ==由题意可知：∠ADC=∠CEB=90°∴∠DAC ＋∠ACD=90°，∠ECB ＋∠ACD=90°∴∠DAC=∠ECB∴△DAC ≌△ECB∴CD=BE=2xcm在Rt △ADC 中，222AD DC AC +=即()()(22232x x +=解得：x=13． 【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定及性质是解题关键．20．如图，在平面直角坐标系中，A(0，5)，B(2，0)，点C是第一象限内的点，且△ABC 是以AB为直角边，满足AB=AC，则点C的坐标为________．【答案】（5，7）【分析】依题∠BAC=90°，AB=AC，画出C点位置，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点C的坐标．【详解】解：如图：当∠BAC=90°，AB=AC时，过点C作CD⊥y轴于点D，在△OAB和△DCA中，AOB CDA OAB DCA AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OAB ≌△DCA （AAS ），∴AD=OB=2，CD=OA=5，∴OD=OA+AD=7，∴点C 的坐标为（5，7）；【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．21．如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ． C 作过点A 的直线的垂线BD 、CE ，垂足分别为D 、 E ，若BD=4，CE=2，则DE=___．【答案】6【分析】先证明∠DBA=∠CAE ，从而根据AAS 定理证明△BDA ≌△AEC ，根据全等三角形的性质可得AD=CE=2，AE=BD=4，进而得到答案．【详解】解：∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵BD ⊥DE ，∴∠BDA=90°，∴∠BAD+∠DBA=90°，∴∠DBA=∠CAE ，∵CE ⊥DE ，∴∠AEC=90°，在△BDA 和△AEC 中，ABD CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDA ≌△AEC （AAS ），∴AD=CE=2，AE=BD=4，∴DE=AD+AE=2+4=6；故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．22．如图，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，已知BE a ⊥于点E ，DF a ⊥于点F ．若3BE =，8DF =，则线段EF 的长为______．【答案】11【分析】根据题意易得△AEB ≌△DFA ，则有BE=AF ，DF=AE ，进而问题可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAB=90°，∵BE a ⊥，DF a ⊥，∴∠DFA=∠AEB=90°，∴∠FAD+∠ADF=90°，又∵∠FAD+∠BAE=90°，∴∠ADF=∠BAE ，∴△AEB ≌△DFA ，∵3BE =，8DF =，∴BE=AF=3，DF=AE=8，∴EF=AF+AE=3+8=11；故答案为11．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及正方形的性质是解题的关键．23．如图，AO⊥OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P 点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．【答案】7 2【分析】根据题意过点E作EN⊥BM，垂足为点N，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE并分析即可得出答案．【详解】解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，∴∠BAO=∠NBE，∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，。
《等腰直角三角形中的常用模型》
等腰直角三角形中的常用模型一【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45º）②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。
2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。
熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。
模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：例1．如图：RtΔABC中，∠BAC=90º，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于点F。
（1）求证：BE-CF=EF；（2）若D在BC的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。
2.如图1，等腰Rt△ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90º，点P 在线段BC 上（不与B、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△PAQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。
（1）求证：M 为BE 的中点（2）若PC=2PB，求MBPC的值（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：3、如图：RtΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。
（1）求证：BG=AF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。
变式1：如图，在R t△ABC中，∠ACB=45º，∠BAC=90º，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD 于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC 于点F，连接DF，求证：∠1=∠2。
等腰直角三角形模型、三垂直模型
精彩文档45°45°C BA D CB A题型一：等腰直角三角形模型思路导航等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545︒︒°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4.图1 图2图3 图4全等三角形的经典模型（一）ABCOMN AB COMN典题精练【例1】 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点，⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． 【解析】 ⑴OA =OB =OC⑵连接OA ,∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO∴ON =OM∴∠=∠NOA MOC∴90∠+∠=∠+∠=︒NOA BON MOC BON ∴90∠=︒NOM∴△OMN 是等腰直角三角形⑶△ONM 依然为等腰直角三角形，证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ，∵在△ANO 和△CMO 中，AN CM BAO C AO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ， 又∵∠COM -∠AOM =90°， ∴△OMN 为等腰直角三角形．【例2】 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由．【解析】EMC △是等腰直角三角形． 证明：连接AM ．由题意，得,90,90.DE AC DAE BAC DAB =∠+∠=∠= ∴DAB △为等腰直角三角形. ∵D M M B =， MEDCBA ABCOM NMEDCBA精彩文档FE DCBANM 12A B CDE F312A BCDEF 3∴,45MA MB DM MDA MAB ==∠=∠=． ∴105MDE MAC ∠=∠=，∴ED M △≌CAM △．∴,EM MC DME AMC =∠=∠．又90EMC EMA AMC EMA DME ∠=∠+∠=∠+∠=． ∴CM EM ⊥，∴EMC △是等腰直角三角形．【例3】 已知：如图，ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是AC 的中点，AF BD ⊥于E ，交BC 于F ，连接DF ． 求证：ADB CDF ∠=∠． 【解析】 证法一：如图，过点A 作AN BC ⊥于N ，交BD 于M ．∵AB AC =，90BAC ∠=°， ∴345DAM ∠=∠=°．∵45C ∠=°，∴3C ∠=∠．∵AF BD ⊥，∴190BAE ∠+∠=°∵90BAC ∠=°，∴290BAE ∠+∠=°． ∴12∠=∠．在ABM △和CAF △中， 123AB AC C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABM CAF △≌△．∴AM CF =． 在ADM △和CDF △中， AD CD DAM C AM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADM CDF △≌△． ∴ADB CDF ∠=∠．证法二：如图，作CM AC ⊥交AF 的延长线于M ． ∵AF BD ⊥，∴3290∠+∠=°， ∵90BAC ∠=°， ∴1290∠+∠=°， ∴13∠=∠．在ACM △和BAD △中， 1390AC ABACM BAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩° ∴ACM BAD △≌△．∴M ADB ∠=∠，AD CM = ∵AD DC =，∴CM CD =． 在CMF △和CDF △中，P CB A PC B AD 45=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩CF CF MCF DCF CM CD ° ∴CMF CDF △≌△．∴M CDF ∠=∠ ∴ADB CDF ∠=∠．【例4】 如图，等腰直角ABC △中，90AC BC ACB =∠=，°，P 为ABC △内部一点，满足 PB PC AP AC ==，，求证：15BCP ∠=︒．【解析】 补全正方形ACBD ，连接DP ，易证ADP △是等边三角形，60DAP ∠=︒，45BAD ∠=︒， ∴15BAP ∠=︒，30PAC ∠=︒，∴75∠=︒ACP ， ∴15BCP ∠=︒．【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。
数学复习：全等三角形相关模型
数学复习：全等三角形相关模型一、角平分线模型（1）角平分线+两边垂线→全等三角形：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；已知：AD平分∠BAC，CD⊥AC，垂足为C，过点D作DB⊥AB，垂足为B；辅助线：过点D作DB⊥AB，垂足为B；结论：①△ACD≌△ABD；②CD=DB（角分线垂两边，对称全等必呈现）（2）角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现：遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；已知：OP平分∠AOB，MP⊥OP，垂足为P，延长MP交OB于点N；结论：①△OPM≌△OPN；②△OMN为等腰三角形；③P是MN的中点（三线合一）；（3）在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形：已知：OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点；辅助线：在OA上取一点E，在OB取一点F，使得OE=OF，并连接DE，结论：△OED≌△OFD；（4）作平行线①以角分线上一点作角的另一边的平行线，则△OAB 等腰三角形；②过一边上的点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交，则△ODH 等腰三角形；已知：OP 平分∠MON ，AB ∥ON ，已知：OC 平分∠AOD ，DH ∥OC ，结论：△OAB 等腰三角形结论：△ODH 等腰三角形角平分线+两边垂线→全等三角形辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC已知：AD 是∠BAC 的角平分线，CD ⊥AC ，DB ⊥AB ，求证：CD=DB证明：∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠1=∠2，∵CD ⊥AC ，DB ⊥AB ，∴∠ACD=∠ABD=90°，在△ACD 和△ABD 中，∴△ACD ≌△ABD （AAS ）∴CD=BD⎪⎩⎪⎨⎧AD =AD 90=ABD ∠=ACD ∠2∠=1∠例1：已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC．例2：如图，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：BE=CF．例4：如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现例1：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE交BA的延长于F．求证：BD=2CE例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB=AD，作CM⊥AD 交AD的延长线于M.求证：2AM=（AB+AC）例3：如图，已知△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF，∠AFE+∠CAF=180°，求证：EF∥BC.截取构造全等：例1：如图，AB>AC ，∠1=∠2，求证：AB －AC>BD －CD 。
《等腰直角三角形中的常用模型》整理版本以便适合初二上学生
等腰直角三角形中的常用模型一【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45º）②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。
2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。
熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。
模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：例1．如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F 。
（1）求证：BE-CF=EF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。
作业：如图1，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90º，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△P AQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。
（1）求证：M 为BE 的中点（2）若PC=2PB ，求MB PC 的值(2)(3)(1)D D EE C E C A B B A A B (2)F E D C B A A B C D E F (1)（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：3、如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。
（1）求证：BG=AF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。
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等腰直角三角形中的
常用模型
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等腰直角三角形中的常用模型
模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶
点
（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全
等的直角三角形：
例1．如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一
点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F 。
（1）求证：BE-CF=EF ；
（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立
吗？若不成立，请写出新的结论并证明。
1.如图1，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90º，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△PAQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。
（1）求证：M 为BE 的中点
（2）若PC=2PB ，求MB
PC
的值
（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
3、如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，
过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。
（1）求证：BG=AF ；
D
E
F F
E
D
(2)
(1)
C
C
A
B
B
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A
A
B
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（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？
若不成立，请写出新的结论并证明。
变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45º，∠BAC =90º，AB=AC ，点D
是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE .
变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点，
AF ⊥BD 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：∠1=∠2。
变式3：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 、E 是AC 上两点且AD=CE ，AF ⊥BD 于点G ，交BC 于点F 连接DF ，求证：∠1=∠2。
模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边
等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对
应边构造全等三角形
A
B
C
D
E
F
(2)
(1)
F
E
D C
B
A
G
G B
A
C
D
E
F
(2)
(1)
F E
D
C
B
A
例1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，E是AC上一点，过C 作CD⊥BE于D，连接AD，求证：∠ADB＝45°。
变式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，E是AC上一点，点D为BE延长线上一点，且∠ADC＝135°求证：BD⊥DC。
变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC 于E，过C作CD⊥BE于D，DM⊥AB交BA的延长线于点M，
（1）求BC
AB
BM
+的值；（2）求AB
BC
AM
-的值。
模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点
（1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形：
例1、如图1，△ABC、△BEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠BEF=90º，连接AF、CF，M是AF的中点，连ME，将△BEF绕点B旋转。
猜想CF与EM
的数量关系并证明；
图（1）
M
F
E
B
C A
A
B C
D
E
A
B C
D
E
E
D
C
B
A
(1)(2)(3)
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（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用
如图，△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠BED =90º。
把DE 平移到CF ，使E 与C 重合，连接AE 、AF ，则△AEB 与△AFC 全等（关键是利用平行证明∠ABE =∠ACF ）
例.如图：两个直角三角形ABC 、ADE 的顶点A 重合，P 是线段BD 的中点，连PC 、PE 。
（1）如图1，若∠BAC =∠DAE =45°，当A 、C 、D 在同一直线上时，线段PC 、PE 的关系是 ；
（2）如图2、3，将⊿BAC 绕A 旋转α度，（1）中的结论是否仍然成
立？任意选择一个证明你的结论。
三【巩固练习】
1．已知：Rt ⊿ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，若O 是BC 的中点，以O
为顶点作∠MON ，交AB 、AC 于点M 、N 。
（1）若∠MON =90°（如图1），求证：OM=ON ； （2）若∠MON =45°（如图2），求证：①AM+MN =CN ；
2、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4）。
（1）若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，
∠ACD=90°，连OD ，求∠AOD 的度数；
图2
N
M
O C
B
A
图1
N
M
C
B
A
A
B
C
D
E
P
图3
A
B
C
D
E
P
图2
P
E
D
C
B
A
(3)
(1)
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（2）过A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于
点M ，连FM ，等式1=-OF
FM
AM 是否成立？若成立，请证明；若不成
立，说明理由。
3.在△ABC 和△DCE 中，AB =AC ，DC =DE ,∠BAC =∠EDC =90°，点E 在AB 上，连AD ，DF ⊥AC 于点F 。
试探索AE 、AF 、AC 的数量关系；并求出∠DAC 的度数。
4．如图：等腰Rt △ABC 和等腰Rt △EDB ，AC=BC ，DE=BD ，∠ACB ＝∠EDB ＝90°，E 为AB 是一点，P 为AE 的中点。
⑴连接PC ，PD ；则PC ，PD 的位置关系是 ；数量关系是 ；并证明你的结论。
F
A
D
B
C
E
(2)
⑵当E在线段AB上变化时，其它条件不变，作EF⊥BC于F，连接
PF，试判断△PCF的形状；在点E运动过程中，△PCF是否可为
等边三角形？若可以，试求△ACB与△EDB的两直角边之比。
6.已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
7、如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)。
点N为OA上一
点，OM⊥BN于M，且∠ONB=45°+∠MON。
（1）求证：BN平分∠OBA；（2）求
BN
MN
OM
的值；
（3）若点P为第四象限内一动点，且∠APO=135°，问AP与BP是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。
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