数学之美

6＝3＋3
8＝3＋5 10＝3＋7 哥 德 巴 赫 猜 想
12＝5＋7
xn y n z n
14＝7＋7 16＝5＋11
费尔马
华罗庚与陈景润
18＝7＋11
20＝7＋13
费尔马大定理
不定方程
n x n＋yn＝z（n 2, n N )
没有正整数解
幻方，是数学世界的百慕大三角，也是数学奇珍中最耀目的一 颗。最初的魔方阵，是中国所谓神龟背上的法宝――洛书的图形。 这是一个三阶幻方，古代人们为它的美妙与神秘所吸引，甚至曾把 它作为护身符挂在身上。而后人们又找到了“美妙方”、“超魔方 阵”，以及令人叹为观止的双料幻方。而形式上也从平面正方图形 扩展为多角形图、立体图、圆图，花色满目，美不胜收。而对幻方 工作进行得愈深入，研究得愈细致，它的奇巧特点就愈见其层出不 穷，它所呈现出的美也就越令人震颤。 据说很早以前，夏禹治水时 ，河南洛阳附近的大河里浮出了 一只乌龟，背上有一个很奇怪的 图形，古人认为是一种祥瑞，预 示着洪水将被夏禹王彻底制服。 后人称之为"洛书"或"河图"。
毕 达 哥 拉 斯
学者们为毕达哥拉斯的妙喻折服了，更为这“你中有我， 我中有你”的美妙的亲和数惊呆了，震撼了。人们惊叹道：亲 和数的关系太微妙了。 在数之中存在着让人叹为观止的景象。就拿最简单的6来说 吧，古代意大利曾把它作为“美满婚姻”的象征。因为它恰好 等于其所有真因子1、2、3之和。人们称这类数为完数，而6正 是其中最小的一个。
"分形"一词译于英文Fractal，系分形几何 的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于 1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身 具有"破碎"、"不规则"等含义。Mandelbrot发现 整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结 构（见图1）。Mandelbrot 集合图形的边界处， 具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度 是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。 图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的 图形。当你放大某个区域，它的结构就在变化， 展现出新的结构元素。这正如前面提到的"蜿蜒 曲折的一段海岸线"，无论您怎样放大它的局部 ，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。
3 ＋4 ＝5 4 ＋5 ＝6 3＋ 这样的关系足以让人惊叹，惊叹之余，我们不禁对隐在 宇宙深处的和谐统一之数学美肃然起敬。自然数所具有的美 妙性质组成的数论学，曾引无数天才竞折腰。
2 2 2 3 3 3 3
毕达哥拉斯和它的学派
许多人为探寻费尔马大定理、哥德巴赫猜想的奥妙而“三月不知肉味”。
是的，哪里有数，哪里就有美。人类对数学的认识最早是从自然数开始的。 这看似极普通的自然数里面，其实就埋藏着数不尽的奇珍异宝。古希腊的毕达哥拉斯 学派对自然数很有研究，当他们将这数不尽的奇珍异宝的一部分挖掘出来并呈现于人 类面前时，人们就为这数的美震颤了。 毕达哥拉斯将自然界和和谐统一于数。他认为，数本身就是世界的秩序。他的名 言是：凡物皆数。但在一次集会上，一位学者提出了他的疑问：在我结交朋友时，也 存在着数的作用吗？ “朋友是你灵魂的倩影，要象220与284一样亲密。”望着困惑不解的人们，毕达 哥拉斯解释道：神暗示我们，220的全部真因子1、2、4、5、10、11、20、22、44、 55、110之和为284；而284的全部真因子1、2、4、71、142之和又恰为220。这就是亲 密无间的亲和数。真正的朋友也象它们那样。
分 形 时 装 设 计
象 尘 埃 一 样 的 结 构
稳 定 的 固 态 型
Newton
象 树 枝 状
分 形
《汉书· 律历志上》有言：“数者，一十百千万也。”数的观念是人类在 生产和生活实践中逐渐形成和发展的。假如没有数，世界必定混乱不堪。 观念和符号相结合，便有了数字，有了数字，便能实现数的基本功能— —计算。然而，除此基本功能外，数还有其他许多用处。 数，极大地丰富了祖国语言。拿成语来说，以“一”打头的就有几百个 ，带二、三、四、五、六、七、八、九、十的也为数甚多。如：一干二净、 二满三平、三从四德、四分五裂、五颜六色……等等。 俗话说，物以类聚，人以群分。在聚类、分群方面，数也起着特殊作用 。有些植物以数命名，如半支莲、一品红、二叶 、三角枫、四照花、五味 子、六月雪、七星草、八仙花、九重蒿、十大功劳、百岁兰、千金榆、万寿 菊。有些事物以数概括，如世界三大宗教、四大谜、七大奇迹；中国九大名 关、十大名茶、十三大名酒。有些名人以数归类，如二乔、三苏、四杰、五 霸、六君子；竹林七贤、饮中八仙、香山九老、大历十才子。 作家秦牧说：“诗歌中适当引用数字，有时的确情趣横溢，诗意盎然。 ”在这方面，杜甫的《绝句》颇为后人称奇：“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭 上青天。窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船。”相传扬州八怪之一的郑板桥 ，风雪天偶遇一群读书人，触景生情，随口吟道：“一片二片三四片，五六 七八九十片。千片万片无数片，飞入芦花总不见。”又传乾隆皇帝下江南， 见江中驶过一条渔船，即命大臣纪晓岚以十个“一”字作诗。纪晓岚脱口而 出：“一帆一浆一渔舟，一个渔翁一钓钩。一俯一仰一顿笑，一江明月一江 秋。”
郑 板 桥 故 居
分形几何与分形艺术 我们人类生活 的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹 的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的 生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的 地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现 象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科 学总是把研究对象想象成一个个规则的形体 ，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破 碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不 同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描 述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新 方法。
数学组 林岳水
第一讲：数学之美
美的事物，总是为人们乐意醉心追 求的。一提到美，人们最容易想到的是“江 山如此多娇”的自然美，抑或是悦目的图画， 动听的乐章、精妙的诗文等艺术美。然而， 数学，这自然科学的皇后里面，蕴含着比诗 画更美丽的景象。正如古希腊数学家普洛克 拉斯的一句颇打动人心的名言所说：“哪里 有数，哪里就有美。”事实上，我们也可以 说：“哪里有美，哪里就有数”。
1· 1＝1 11· 11＝121 111· 111＝12321 1111· 1111＝1234321 11111· 11111＝123454321 111111· 111111＝12345654321 1111111· 1111111＝1234567654321 11111111· 11111111＝123456787654321 111111111· 111111111＝12345678987654321 9· 9＝81 99· 99＝9801 999· 999＝998001 9999· 9999＝99980001 99999· 99999＝9999800001 999999· 999999＝999998000001 9999999· 9999999＝99999980000001
和谐的比例中最负盛名的是为开普勒称为欧氏几何学两颗明珠之一的 黄金分割。它成为人们普遍喜爱的美的比例，并为广泛应用。艺术家利用它 塑造了令人赞叹的艺术珍品，科学家利用它创造了丰硕的科技成果。象征黄 金分割的五角星在欧洲也成为一种巫术的标志。这神圣的比例值也被抬高了 身价，而被称为黄金数了，成了宇宙的美神。人体最优美的身段遵循着这个 黄金分割比；令人心旷神怡的花凭借的也是这个美的密码，就连芭蕾舞艺术 的的魅力也离不开它。哪里有黄金数，哪里就有美的闪光。 优美的曲线同样带给人们美的享受。如得之于自然界的四叶玫瑰线、对 数螺线及应用于建筑中人为设计的超椭圆曲线等。更有那久负盛名的墨比乌 斯曲线。华盛顿一座博物馆的门口，有一座奇特的数学纪念碑，碑上是一个 八英尺高的不锈钢制的墨比乌斯圈。它日夜不停缓缓地旋转着，带给人们美 感享受的同时，又昭示出人类正如它一样永无休止地前进着。 四 叶 玫 瑰 线 对 数 螺 线 墨 比 乌 斯 带
1· 9＋2＝11 12· 9＋3＝111 123· 9＋4＝1111 1234· 9＋5＝11111 12345· 9＋6＝111111 123456· 9＋7＝1111111 1234567· 9＋8＝11111111 12345678· 9＋9＝111111111 123456789· 9＋10＝ 1111111111 9· 9＋7＝88 98· 9＋6＝888 987· 9＋5＝8888 9876· 9＋4＝88888 98765· 9＋3＝888888 987654· 9＋2＝888888 9876543· 9＋1＝8888888 98765432· 9＋0＝88888888
在西方，从毕达哥拉斯时代开始，人们就认为，对音乐的研究本质上 是数学的.就音乐的出现而言，是直觉的，但它的基础是数学.音乐必须有 美的音调，美的音调必然是和谐的，希腊人发现，最和谐的音调是由比1 ：2：3：4确定的.
音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受. —— G.莱布尼茨
音乐是一种必须掌握一定规律的科学，这些规律必须从明确的原则出， 这个原则没有数学的帮助就不可能进行研究.我必须承认，虽然在我相当长 时期的实践活动中获得许多经验，但是只有数学能帮助我发展我的思想， 照亮我甚至没有发觉原来是黑暗的地方. ——拉莫
这些，就是普通的自然数所体现的无穷花样中的一部分。而无穷尽的 数正象辽阔的海洋，那大海深处蕴含着一个五彩缤纷的世界。当你畅游其中 时，你会为这无垠海洋中数不尽的奇珍的美而陶醉，甚而你也许会有幸步入 龙宫，见到更加奇伟怪丽、五彩斑斓的景象，进入数学海洋深处的殿堂，一 窥数学的美境。这时，你肯定会与普洛克拉斯产生共鸣，而由衷赞叹一声： 啊，哪里有数，哪里就有美。 审美实践告诉我们，人们对美的感受都是直接由形式引起的。但数学的 形式美还不单纯表现在自然数所表现的这些许花样上，和谐的比例与优美的 曲线或图形都能给人以强烈的形式美的享受。
范 曾 《 老 子 出 关 图 》