苏教版高中数学必修一知识讲解_函数的表示方法_提高
函数的表示方法：：【学习目标】了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域；掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单的应用。
【要点梳理】要点一、构成函数的三要素：1.定义域、对应关系、值域(1)构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.2．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：x a x b a b<<={x|a≤x≤b}=[a，b]；{|}(,);(]x a x b a b{|},≤<=；<≤=；[){|},x a x b a b(][)≤=∞≤=+∞.{|}-,; {|},x x b b x a x a要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。
3.相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。
要点诠释：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。
如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。
因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）要点三、函数的定义域、值域1.函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。
（2）抽象函数定义域的确定f x表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关所谓抽象函数是指用()键是注意对应法则。
在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。
要点诠释：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.2.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约. 【典型例题】类型一、判断两函数是否为同一个函数 例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(x x f =，33)(x x g =；（2）xx x f =)(，⎩⎨⎧<-≥=;01,01)(x x x g（3）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）；（4）xx f =)(1+x ，x x x g +=2)(；（5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g【思路点拨】要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。
【解析】（1）由于x x x f ==2)(，x x x g ==33)(，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数xx x f =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，而⎩⎨⎧<-≥=;01,01)(x x x g 的定义域为R ，所以它们不是同一函数.（3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，∴x x x f n n ==++1212)(，x x x g n n ==--1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数xx f =)(1+x 的定义域为{}0≥x x ，而x x x g +=2)(的定义域为{}10-≤≥x x x 或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.【答案】（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数【总结升华】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。
第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。
原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如1)(2+=x x f ，1)(2+=t t f ，1)1()1(2++=+u u f 都可视为同一函数. 举一反三：【变式】下列函数中与函数x y =相同的是( )A .y = (x )2; B. y = y =2x; D. y =xx 2【答案】B ；【解析】因为y =t =，所以应选择B【课程：函数的概念与定义域 356673 例2】例2．下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，为什么？（1）0)1x ()x (f -=；1)x (g = （2）x )x (f =；2x )x (g =（3）2x )x (f =；2)1x ()x (g += （4）|x |)x (f =；2x )x (g =【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立. 【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是 【解析】(1) ()()f x g x 与的定义域不同，前者是{}|1,x x x R ≠∈，后者是{}|0,x x x R ≠∈，因此是不同的函数；(2)()||g x x =，因此()()f x g x 与的对应关系不同，是不同的函数； (3) ()()f x g x 与的对应关系不同，因此是不相同的函数； (4) ()()f x g x 与的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.【总结升华】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则f ，其中核心是对应法则f ，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同； (2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：【变式】判断下列命题的真假(1)y=x-1与1x 1x y 2+-=是同一函数；(2)2x y =与y=|x|是同一函数；(3)233)x (y )x (y ==与是同一函数；(4)⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=)0x (x x )0x (x x )x (f 22与g(x)=x 2-|x|是同一函数.【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.类型二、函数定义域的求法例3.求下列函数的定义域(用区间表示). (1)2-1()-3x f x x =；(2)()f x =(3)()f x =.【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. (1)是分式，只要分母不为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即可．【答案】（1）(,(3,3)(3,)-∞-+∞；（2）8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）(]6,2-．【解析】 (1)21()3x f x x -=-的定义域为x 2-3≠0，(,(3,3)(3,)x ∴≠∴-∞-+∞定义域为：； (2)88()-80,,33f x x x ⎡⎫=≥≥∴+∞⎪⎢⎣⎭3得，定义域为；(3)(]202() 6,260-6x x f x x x -≥≤⎧⎧=∴-⎨⎨+>>⎩⎩得定义域为. 【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x 有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式】求下列函数的定义域（用区间表示）：(1)3f (x)|x 1|2=--； (2)1f (x)x 1=-；（3）()f x =【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）[)3,1(1,)-⋃+∞；（3）[]0,1． 【解析】(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，3|x 1|2--无意义，当|x-1|-2≠0，即x≠-1且x≠3时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；(2)要使函数有意义，须使x 10x 3x 1x 30-≠⎧≥-≠⎨+≥⎩，即且，所以函数的定义域是[)3,1(1,)-⋃+∞；(3)要使函数有意义，须使1x 0,x 0.-≥⎧⎨≥⎩，所以函数的定义域为[]0,1.【总结升华】小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.例4.（1）已知函数()f x 的定义域为[1，2]，求函数(21)y f x =+的定义域； （2）已知函数(21)y f x =+的定义域[1，2]，求函数()f x 的定义域； （3）已知函数(21)y f x =+的定义域[1，2]，求函数(21)y f x =-的定义域.【思路点拨】（1）若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．（2）若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．【答案】（1）[1，12]；（2）[3，5]；（3）[2，3]．【解析】（1）设21x t +=，由于函数()y f t =定义域为[1，2]，，故12t ≤≤，即1212x ≤+≤，解得102x ≤≤，所以函数(21)y f x =+的定义域为[1，12].（2）设21x t +=，因为12x ≤≤，所以3215x ≤+≤，即35t ≤≤，函数()y f t =的定义域为[3，5] .由此得函数()y f x =的定义域为[3，5] .（3）因为函数(21)y f x =+的定义域为[1，2]，即12x ≤≤，所以3215x ≤+≤，所以函数()y f x =的定义域为[3，5]，由3215x ≤-≤，得23x ≤≤，所以函数(21)y f x =-的定义域为[2，3] .【总结升华】求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是x 的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系f 下括号内的范围是一样的.举一反三：【变式】已知(1)f x +的定义域为[)2,3-，求1(2)f x +的定义域.【答案】11,,32⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【解析】(1)f x +的定义域为[)2,3-，∴23x -≤<，∴114x -≤+<，∴1124x-≤+<，解得：12x >或13x ≤-，所以1(2)f x +的定义域为11,,32⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭.例5.设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ）A . ()()4,00,4 -；B . ()()4,11,4 --；C . ()()2,11,2 --；D . ()()4,22,4 --【思路点拨】要求复合函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域，应先求)(x f 的定义域。
新教材苏教版高中数学选择性必修一第二课时 函数的表示方法
第二课时函数的表示方法课标要求 1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法以及各自的优缺点.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.素养要求 1.结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，培养学生的数学抽象素养.2.结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.一、函数的表示方法1.思考(1)若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，可以用y＝300x来表示.(2)如图是我国人口出生率变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01问题：根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？提示问题(1)、(2)、(3)分别是用解析法、图像法、列表法表示函数的.2.填空(1)解析法：在函数y＝f(x)中，如果f(x)是用代数式(或解析式)来表示的，这种表示函数的方法称为解析法.(2)列表法：用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法.(3)图像法①图像法：用函数的图像表示函数的方法称为图像法. ②作函数图像的方法ⅰ.描点作图法：实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为描点作图法.其步骤是列表、描点、连线. ⅱ.变换作图法 a.平移：y ＝f (x )错误!y ＝f (x ±a )(左“＋”右“－”)； y ＝f (x )错误!y ＝f (x )±b (上“＋”下“－”). b.对称：y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x ).求解y ＝f (x )与y ＝f (－x )，y ＝－f (x )的关系时需利用该结论. c.其他：y ＝f (x )―――――――――――――→保留x 轴上方图像，再把x 轴下方图像翻折到上方y ＝|f (x )|；y ＝f (x )―――――――――――――→删掉y 轴左侧的图像，保留y 轴右侧的图像，并把y 轴右侧的图像翻折到左侧，得到y 轴左侧的图像y ＝f (|x |).温馨提醒 (1)解析法：利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域.(2)图像法：图像既可以是连续的曲线，也可以是离散的点.(3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性. 3.做一做 (1)已知函数f (x )由下表给出，则f (11)＝________.x 0<x <5 5≤x <10 10≤x <15 15≤x ≤20y2345(2)已知函数f (x )的图像如图所示，其中点A ，B 的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f (f (0))＝________.答案 (1)4 (2)0 二、分段函数1.思考 根据实数绝对值的含义将函数y ＝|x ＋1|中的绝对值号去掉，变形后的函数是什么形式？提示 根据绝对值含义可知，y ＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x <－1，变形后的函数是一个分段函数.2.填空 (1)分段函数：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.(2)常数函数：值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数.也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等.温馨提醒 分段函数是一个函数，而不是几个函数，要注意分段函数的定义域、值域和图像的理解：(1)定义域：各段自变量取值范围的并集，注意各段自变量取值范围的交集为空集.(2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的并集.(3)图像：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图像.3.做一做 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋1，x <1且x ≠－1，x －1，x >1，则f (2)＝________. 答案 1题型一 三种表示法的应用例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来. 解 (1)列表法：x /台 1 2 3 4 5 y /元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x /台 6 7 8 9 10 y /元18 00021 00024 00027 00030 000(2)图像法：(3)解析法：y ＝3 000x ，x ∈{1，2，3，…，10}. 思维升华 理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.(2)列表法更直观形象，图像法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.训练1 将一条长为10 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S 与其中一段铁丝长x (x ∈N ＋)的函数关系.解 这个函数的定义域为{x |1≤x <10，x ∈N ＋}. ①解析法：S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝⎛⎭⎪⎫10－x 42. 将上式整理得S ＝18x 2－54x ＋254， x ∈{x |1≤x <10，x ∈N ＋}. ②列表法： 一段铁丝长x (cm) 123456789两个正 方形的 面积之和S (cm 2)418174298134258134298174418③图像法：题型二 求函数解析式角度1 换元法(配凑法)求函数解析式 例2 求下列函数的解析式： (1)已知f (x ＋2)＝2x ＋3，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x ). 解 (1)f (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴f (x )＝2x －1.(2)法一(换元法) 令t ＝x ＋1，t ≥1， 则x ＝(t －1)2，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)， 所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1).法二(配凑法) f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1. 因为x ＋1≥1，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1). 角度2 用待定系数法求函数解析式例3 (1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝16x －25，求f (x )； (2)已知f (x )为二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x ). 解 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝16x －25，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝16，kb ＋b ＝－25，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝－5，或⎩⎨⎧k ＝－4，b ＝253，∴f (x )＝4x －5或f (x )＝－4x ＋253. (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x ＋1)＋f (x －1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，2b ＝－4，2a ＋2c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－1， ∴f (x )＝x 2－2x －1.角度3 消元法(或解方程组法)求函数解析式例4 已知定义在区间(－1，1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝x 2，求f (x )的解析式.解 ∵对任意的x ∈(－1，1)有－x ∈(－1，1)， 由2f (x )－f (－x )＝x 2，① 得2f (－x )－f (x )＝(－x )2，② ①×2＋②消去f (－x )得3f (x )＝3x 2， ∴f (x )＝x 2(－1<x <1).思维升华 1.已知f [g (x )]＝h (x )求f (x )，常用的有两种方法：(1)换元法，即令t ＝g (x )解出x ，代入h (x )中得到一个含t 的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.(2)配凑法，即从f [g (x )]的解析式中配凑出“g (x )”，即用g (x )来表示h (x )，然后将解析式中的g (x )用x 代替即可.2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.3.待定系数法求函数解析式：已知所要求的f (x )的类型，如一次函数、二次函数等，即可设出f (x )的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.训练2 (1)已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，求f (x )； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )；(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x ).解 (1)法一(换元法) 令x ＋1＝t ， ∴x ＝t －1，∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，∴f (x )＝3x －1.法二(配凑法) f (x ＋1)＝3x ＋2＝3(x ＋1)－1， ∴f (x )＝3x －1.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，令t ＝x －1x ，∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴用1x 代替x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x ，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 得f (x )＝23x －x 3(x ≠0)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝23x －x3(x ≠0). 题型三 分段函数求值问题 例5 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，求f (－5)，f (1)， f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52. 解 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (1)＝3×1＋5＝8，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋5＝12. 迁移 (1)例5条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值. (2)例5的条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围.解 (1)①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去； ②当－2<a <2时，f (a )＝3a ＋5＝3， 即a ＝－23∈(－2，2)，符合题意；③当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，即a ＝2∈[2，＋∞)，符合题意.综上，当f (a )＝3时，a 的值为－23或2.(2)①当x ≤－2时，f (x )>2x 可化为x ＋1>2x ，即x <1，所以x ≤－2； ②当－2<x <2时，f (x )>2x 可化为3x ＋5>2x ，即x >－5，所以－2<x <2； ③当x ≥2时，f (x )>2x 可化为2x －1>2x ，则x ∈∅. 综上，x 的取值范围是{x |x <2}. 思维升华 1.求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止. 当出现f [f (x 0)]的形式时，应从内到外依次求值.2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.训练3 (1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >10，f [f （x ＋5）]，x ≤10，则f (5)的值是( ) A.24 B.21 C.18D.16(2)已知f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2<x <4，3x ，x ≥4，若f (a )<－3，则a 的取值范围为()A.(－3，＋∞)B.[－3，＋∞)C.(－∞，－3)D.(－∞，－3]答案 (1)A (2)C解析 (1)f (5)＝f [f (10)]，f (10)＝f [f (15)]＝f (18)＝21， ∴f (5)＝f (21)＝24.故选A.(2)当a≤－2时，a<－3，∴a<－3；当－2<a<4时，a＋1<－3，a<－4，此时不等式无解；当a≥4时，3a<－3，a<－1，此时不等式无解，故选C.[课堂小结]1.函数三种表示法的优缺点2.用三种方法表示函数时的注意点：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系；(3)图像法必须清楚函数图像是“点”还是“线”.3.理解分段函数要注意的几个方面：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数；(2)处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集；(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.一、基础达标1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （2）的值为( )A.1516 B.－2716 C.89 D.18答案 A解析 当x >1时，f (x )＝x 2＋x －2， 则f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f （2）＝14.当x ≤1时，f (x )＝1－x 2， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （2）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516. 2.已知f (1－2x )＝1x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A.4B.14C.16D.116答案 C解析 根据题意令1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x 2＝16，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16.3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈（0，1]，则函数f (x )的图像是( )答案 A解析 当x ＝－1时，y ＝0，即图像过点(－1，0)，D 错误；当x ＝0时，y ＝1，即图像过点(0，1)，C 错误；当x ＝1时，y ＝2，即图像过点(1，2)，B 错误.故选A.4.已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图像是如图所示的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f [g (2)]＝( )x 1 2 3 f (x )23A.3B.2C.1D.0答案 B解析 由题图知g (2)＝1， ∴f [g (2)]＝f (1)＝2.故选B.5.(多选)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a 可以取的值为( )A.－3B.3C.－1D.1答案 CD 解析 ∵f (－1)＝－（－1）＝1，∴f (a )＝1.①当a ≥0时，f (a )＝a ＝1，∴a ＝1. ②当a <0时，f (a )＝－a ＝1，∴a ＝－1. 综上可知a ＝1或－1.6.若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，π，x ＝0，0，x <0，则f {f [f (－2 022)]}＝________.答案 π2＋1解析 f (－2 022)＝0，∴f [f (－2 022)]＝f (0)＝π， ∴f {f [f (－2 022)]}＝f (π)＝π2＋1.7.已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2，若f (x 0)＝8，则x 0＝______. 答案 －6或4解析 当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8， 即x 20＝6，∴x 0＝－6或x 0＝6(舍).当x 0>2时，f (x 0)＝2x 0＝8，∴x 0＝4. 综上，x 0＝－6或4.8.已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________. 答案 1 2解析 由表中对应值，知f [g (1)]＝f (3)＝1.当x ＝1时，f [g (1)]＝1，g [f (1)]＝g (1)＝3，不满足条件； 当x ＝2时，f [g (2)]＝f (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝1，满足条件； 当x ＝3时，f [g (3)]＝f (1)＝1，g [f (3)]＝g (1)＝3，不满足条件； 所以满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是2.9.求下列函数的解析式：(1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (1＋x )＝x －2x －1，求f (x ). (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x ).(4)若2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，求f (x ).解 (1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6，(2)设1＋x ＝t (t ≥1)，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－2(t －1)－1＝t 2－4t ＋2， ∴f (x )＝x 2－4x ＋2(x ≥1). (3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2， ∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2). (4)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，①∴用1x 代替x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝2x ＋12，②①×2－②得3f (x )＝4x －2x ＋12，∴f (x )＝43x －23x ＋16(x ≠0).10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ∈[－1，0]，－12x ，x ∈（0，2），3，x ∈[2，＋∞）.(1)求f (－1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (4)的值；(2)求函数的定义域、值域.解 (1)易知f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12×32＝－34，f (4)＝3.(2)作出图像如图所示.利用数形结合易知f (x )的定义域为[－1，＋∞)，值域为 (－1，2]∪{3}.二、能力提升11.(多选)已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－1，0），x 2＋1，x ∈[0，1]，则下列选项中正确的是( )答案 ACD解析 作出函数f (x )的图像如图：A.将f (x )的图像向右平移一个单位即可得到f (x －1)的图像，则A 正确；B.∵f (x )>0，∴|f (x )|＝f (x )，图像不变，则B 错误；C.y ＝f (－x )与y ＝f (x )关于y 轴对称，则C 正确；D.f (|x |)的图像是把函数f (x )的图像保留y 轴右边的，左边的去掉，再把右边的做关于y 轴的对称，则D 正确. 故选ACD.12.若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧b ，a ≥b ，a ，a <b .则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________.答案 (－∞，1]解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图像得值域是(－∞，1].13.如图所示，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域.解 由题意可知该盒子的底面是边长为(a －2x )的正方形，高为x ， 所以此盒子的体积V ＝(a －2x )2·x ＝x (a －2x )2， 其中自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2x >0，x >0，即0<x <a2.所以此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式为V ＝x (a －2x )2，定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.三、创新拓展14.已知函数f (x )由表给出，则f (f (2))＝________，满足f (f (x ))>1的x 的值是________.x 1 2 3 f (x )231答案11或3解析由题中的表格可知：当x＝1时，f(1)＝2，则f(f(1))＝f(2)＝3>1，所以x＝1满足题意；当x＝2时，f(2)＝3，则f(f(2))＝f(3)＝1＝1，所以x＝2不满足题意；当x＝3时，f(3)＝1，则f(f(3))＝f(1)＝2>1，所以x＝3满足题意.综上，f(f(2))＝1，满足f(f(x))>1的x的值为1或3.。
高一数学函数的概念和图象、函数的表示方法苏教版知识精讲
高一数学函数的概念和图象、函数的表示方法苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的概念和图象、函数的表示方法【教学目标】1. 正确理解函数的概念，通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养抽象概括的能力。
2. 理解函数的定义域和值域，并会求一些简单函数的定义域和值域。
3. 理解函数的图象是点的集合，能根据函数解析式画出函数的图象，并通过画图象的过程进一步体会函数的定义。
理解函数图象在数学中的研究价值及在社会生产实践中的应用价值。
4. 领会表示函数有三种方法，并了解各种方法的优点。
在具体问题中会选择恰当的方法表示函数，初步感受建立函数模型解决实际问题的思想，通过分段函数的学习能进一步加深对函数概念的理解。
【知识要点】（一）函数的概念和图象（1）估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据，从人口统计年鉴中可以得到我国从1949年至1999年人口数据资料如下表所示，你能根据这个表说出我国人口的变化（2）一物体从静止开始下落，下落的距离y （m ）与下落的时间x （s ）之间近似的满足关系式y x =492.。
若一物体下落2s ，你能求出它下落的距离吗？ （3）下图为某市一天24小时内的气温变化图1. 函数的概念函数定义：一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f 对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的一个函数（function ），通常记为y f x x A =∈()，。
其中，所有的输入值x 组成的集合叫做函数y f x =()的定义域（domain ）。
注意问题：（1）“y f x =()”为“y 是x 的函数”这句话的数学表示，它仅仅是符号，不表示y 等于f 与x 的乘积。
（2）给定函数时要指名函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合。
必修一(苏教版)函数概念及表示高一复习讲义(知识要点及例题精讲)
第二讲函数概念与表示一、知识要点1..函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。
①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示。
苏教版必修1函数的表示法
即
y
7
7, 2.4 (x
3),
0
x
x
3
3
7, 0 x 3 y 2.4x 0.2, x 3
以上例题中函数具有共同特点：
在定义域内不同部分上，有不同 的解析式。像这样的函数通常叫 做分段函数
（注：分段函数是一个函数，而 不是几个函数。）
思考交流
• 以下叙述正确的有（ C）
(1)分段函数的定义域是各段定义域的并集。值域是各 段值域的并集。
(2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应法则， 但它是一个函数。
（3）若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应法则的值 域，则D1∩ D2 ≠φ也能成立。
A 1个 D 0个
B 2个
C 3个
思考交流
2. 设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图
中, 能表示f:A→B的函数是( D ).
y
y
2
A
2
B
0
2
y
x
2
C
0
2x
0y 2
x
2
D
0
x
2
思考交流
x+2, (x≤－1)
3. 已知函数f (x)= x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x的值是( D )
A. 1
B.
1或
3 2
C. 1,
3,
3 2
D. 3
2一物体从静止开始下落,下落的距离ym与 下落时间xs之间近似地满足关系y 4.9x2.若
一物体下落2s, 你能求出它下落的距离吗?
苏教版高中数学必修1第5章函数概念与性质§5.2函数的表示方法课件
√C. f 1x＝f(x)
D.值域为(0，＋∞)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
由解析式知定义域为R， f(1)＝1＋1 1＝12，
1 f 1x＝1x2x＋1＝1＋x x2＝f(x)， 当x＜0时，f(x)＜0， 故AD不正确，BC正确.
a＝1，
∴b＝－2， c＝－1，
∴f(x)＝x2－2x－1.
(3)已知函数f(x)对于任意的x(x≠0)都有2f 1x＋f(x)＝x，求f(x).
f(x)＋2f 1x＝x，令 x＝1x， 得 f 1x＋2f(x)＝1x， 于是得关于 f(x)与 f 1x的方程组 ffx1x＋＋22ffx1x＝＝x1x，. 解得 f(x)＝32x－3x(x≠0).
跟踪训练3 如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿逆时针方向 由B点(起点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y.
(1)根据题意写出y与x之间的函数解析式；
点P移动，△ABP的面积随之变化，可分点P落在边BC上，CD上， DA上三种情况进行讨论，得解析式
2x，x∈0，4]，
跟踪训练2 (1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
方法一 (配凑法)： ∵f(x＋1)＝x2－3x＋2 ＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. 方法二 (换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1， ∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6， 即f(x)＝x2－5x＋6.
f(4)＝42－2＝14，A不对；
f 32＝2×32＝3，
∴f
f
32＝f(3)＝7，B
对；
当a≤2时，由2a＝8得a＝4，不符合题意，
函数的表示方法课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
数值，而且有时误差较大
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示例 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年六次数学测试的成绩及班级平均分表.
测试序号
姓名
1
2
3
4
5
6
小伟
98
87
91
92
88
95
小城
90
76
88
75
86
80
小磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
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例6 某镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色镇”.经调
研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：
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3.分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次
画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点.
示例 已知函数f（x）＝1+
−
（-2<x≤2）.
2
（1）用分段函数的形式表示f（x）；（2）画出f（x）的图象；（3）写出函数f（x）的值域.
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+ 1 2 , ≤ −1,
例5 已知函数f（x）＝ 2 + 2, −1 < < 1, 若f（a）>1，则实数a的取值范围是（
C ）
1
, ≥ 1,
1
苏教版高中数学必修一知识讲解_函数的概念和图象_提高
函数的概念和图象及映射的概念：：【学习目标】了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域；掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用，了解映射的概念，进一步了解函数式非空数集到非空数集的映射。
【要点梳理】要点一、函数的概念1.定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；x a x b a b{|}(,);(]x a x b a b≤<=；{|},<≤=；[){|},x a x b a b(][)≤=∞≤=+∞.{|}-,; {|},x x b b x a x a要点二、映射1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的映射；记为f ：A →B.象与原象：如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，那么A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象.要点诠释：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a 的象记为f(a).2.函数与映射的区别与联系：设A 、B 是两个非空数集，若f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B 的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数； (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合. 要点三、函数的图象函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面刻画函数的变化规律。
【新教材】高中数学苏教版必修第一册同步课件：5.2 函数的表示方法
(方法二 配凑法)f( +1)=x+2 +1-4 -4+3=( +1)2-4( +1)+3,
因为 +1≥1,
所以 f(x)=x2-4x+3(x≥1).
(2)设f(x)=ax+b(a≠0),
则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
- + 3, > 1,
答案 0
解析 ∵f(4)=-4+3=-1,f(-1)=-1+1=0,
∴f(f(4))=f(-1)=0.
.
课堂篇 探究学习
探究一
函数表示法的选择
例1某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x与收款数y之
间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
式通常叫作函数的解析表达式,简称解析式.
3.图象法:用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.
名师点析 三种表示方法的优、缺点比较
表示方法
优点
缺点
①简明、全面地概括了变量间的
解析法
关系;②可以通过解析式求出任意 不够形象、直观
一个自变量所对应的函数值
列表法
不通过计算就可以直接看出与自 一般只能表示部分自变
;
(2)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)=
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,则f(x)=
;
.
苏教版 高中数学必修第一册 函数的表示方法 课件3
分段函数图象的画法 对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去 掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时， 先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作 图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
5.2 函数的表示方法
1.函数的三种表示方法
表示法 解析法 列表法 图像法
定义
用 等式 表示两个变量之间的对应关系
列出 表格 来表示两个变量之间的对应关系
图像
用
表示两个变量之间的对应关系
2.三种表示方法的优缺点比较
优点
缺点
一是简明、全面地概括了变量间的关系; 解析法 二是可以通过用解析式求出任意一个自变量
x 0 1 2 3 45 y 50 40 30 20 10 0
变式 已知函数f(x)由下表给出,则f[f(2)]= 1 , 满足f[f(x)]>1的x的值是 1或3 .
x
123
f(x) 2 3 1
[解析] 由题中的表格可知,当x=1时,f(1)=2,则f[f(1)]=f(2)=3>1; 当x=2时,f(2)=3,则f[f(2)]=f(3)=1; 当x=3时,f(3)=1,则f[f(3)]=f(1)=2>1. 故f[f(2)]=1,满足f[f(x)]>1的x的值为1或3.
分段函数图象的画法
【例 3】 分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域．
y
1 x,0x1,(1) x, x 1.
3, x 2,
(2)
y
3x, 2 3, x 2.
x
2,
[思路点拨] 分别作出各段的图象，注意接点处点的虚实.
苏教版高中数学必修1课件2.1.2 函数的表示方法
小结：
1．函数的表示方法． 2．不同表示法的优缺点． 3．求函数的解析式y＝f(x)
待定系数法 换元法 凑配法 分类讨论法
作业：
P32第1，4，5题．
2．用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形的面积S(cm2)表示为矩形 一边长x(cm)的函数，并画出函数的图象．
数学应用：
例1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列 表法、图象法将y表示成x(x{1，2，3，4})的函数，并指出该函数的值域．
y 解析法 y＝2x (x{1，2，3，4})
高中数学 必修1情境问源自：定义域 函数的三要素 值域
函数的图象
A＝{x|y＝ f(x)}
函数存在的范围
C＝{y|y＝ f(x)，x A} 函数变化的范围
M＝{(x，y)|y＝ f(x)，xA}
函数本质属性的直观反应
下表的对应关系能否表示一个函数呢？
x
1
3
5
7
y
－1
－3
0
0
数学应用：
1．1 n mile(海里)约为1854m，根据这一关系，写出米数y关于海里数x 的函数解析式．
y
O x
数学应用：
3．已知f(x)是一次函数，且图象经过(1，0)和(－2，3)两点，求f(x)的解析式． 4．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x－4，求f(x)的解析式． *5．已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)－x－1＝ f(x)，且f(0)＝0，求f(x)．
数学建构：
已知函数模型求函数的解析式： 待定系数法求解．
x
1
2
3
4
y
2
4
6
8