五年级寒假学伴答案

例1.盒子里有5支红笔，3支蓝笔，10支黑笔。

现在随意抓一把笔要确保其中至少有1支红笔，则一把必须不少于几支？分析：抓得巧，只要抓1支即可。

然而并不能保证实现这种情况。

最不利的情况是抓了13支，都是不想要的黑笔与蓝笔。

不过，只要再多抓1支就必定包含红的了。

解：10＋3＋1＝14（支）例2.一列2个小方格，每个方格中随意涂红黑两种颜色中的一种，当涂毕第几列时，至少有2列是相同的？（有一列与另一列重复）。

分析：不妨这样想：要实现两列所用颜色一样，涂的顺序也相同。

然而，由于是任意选的，据最不利原则总是先考虑已涂各列没有重复的。

如：红红黑黑……红黑黑红……实际上各不相同的列数总共只有4列。

到第5列就必定重复前面涂过的4种中的某一种。

如果并非遇到最不利情况，那么在前5列中重复的列数就不止2列。

这与“至少2列”并不矛盾。

解：4＋1＝5（列）练习一1.盒子里有3支红笔，6支蓝笔，10支黑笔。

现在随意抓一把笔要确保其中至少有1支红笔，则一把必须不少于几支？2.鱼池中有30条白鳞鱼，50条黑鳞鱼，50条金鳞鱼。

至少在多少名钓鱼者中才可保证他们一次钓出的鱼中，必有金鳞鱼？3.在一个口袋中有10个黑球、 6个白球、 4个红球。

问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？4.口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：至少取多少根才能保证三种颜色都取到？5.在三个口袋中各有10个黑球、10个白球、10个红球。

问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？第二讲抽屉原理专题简析：如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。

如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。

如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。

这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。

基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x＋k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。

（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m＋1个或更多个元素。

例.某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？分析与解：把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。

把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。

平年一年有365天，闰年一年有366天。

把天数看做抽屉，共366个抽屉。

把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。

练习二1.某校有370名2002年出生的学生，其中至少有几个学生的生日是同一天？2.某校有30名学生是2月份出生的，至少有几个学生生日是在同一天？3.15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？4.小明家有5口人，小明妈妈至少要买几个苹果分给大家，才能保证至少有一人能得两个苹果？第三讲巧算24点同学们，看过王小丫主持的“开心辞典”节目吗？我记得上台答题者有3道必做题，其中有一道有关数学的是：用四个数，通过加减乘除计算出24。

“巧算24点”是一种数学游戏，正如象棋、围棋一样是人们喜闻乐见的娱乐活动。

它对于培养我们快捷的心算能力和反应能力很有帮助。

相信你会很快喜欢上它的！假如，你手中就只有两张牌要算出24，你希望是哪两张？3和8，4和6，12和2，11和13。

1.利用3×8＝24、4×6＝24求解。

现在我们有四张牌，该怎么办呢？把牌面上的四个数想办法凑成3和8、4和6，再相乘求解。

如3、3、6、10可组成（10－6÷3）＝24等。

又如2、3、3、7可组成（7＋（3－2）×3＝24等。

实践证明，这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法。

2.利用0、1的运算特性求解。

同数相减得0，0加任何数的原数。

相同数相除的1，1乘任何数得原数等。

如3、4、4、8可组成3×8＋4－4＝24等。

又如4、5、J、K可组成11×（5－4）＋13＝24等。

练习三3，3，5，62，2，4，81，4，4，56，8，8，95，7，12，122，2，6，92，6，9，91，4，4，72，2，5，7第四讲相遇问题例1.甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。

两车在距中点32千米处相遇，东、西两地相距多少千米?分析与解答：从图中可以看出，两车相遇时，甲车比乙车多行了32×2＝64（千米）。

两车同时出发，为什么甲车会比乙车多行64千米呢？因为甲车每小时比乙车多行56－48＝8（千米）。

64里包含8个8，所以此时两车各行了8小时，东、西两地的路程只要用（56＋48）×8就能得出。

32×2÷（56－48）＝8（小时）（56＋48）×8＝832（千米）答：东、西两地相距832千米。

练习四1.小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫出发，相向而行，并在离中点120米处相遇。

学校到少年宫有多少米？2.一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到离两地中点处50千米时和汽车相遇。

甲、乙两地相距多少千米？3.甲、乙二人同时从东、西村相向出发，甲每分钟行120米，乙每分钟行100米，甲和乙在过中点200米处相遇。

东村到西村的路程是多少米？4.两车同时从甲乙两地相对开出，甲每小时行48千米，乙车每小时行54千米，相遇时两车离中点36千米，甲乙两地相距多少千米？第五讲追及问题本周的主要问题是“追及问题” 。

追及问题一般是指两个物体同方向运动，由于各自的速度不同，后者追上前者的问题。

追及问题的基本数量关系是：速度差×追及时间＝追及路程解答追及问题，一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体，是因为两者之间存在着速度差。

抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道理，结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分析，并借助线段图来理解题意，就可以正确解题。

例.中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米。

两车同时从相距60千米的两地同方向开出，且中巴在前。

几小时后小轿车追上中巴车？分析与解：原来小轿车落后于中巴车60千米，但由于小轿车的速度比中巴车快，每小时比中巴车多行84－60＝24千米，也就是每小时小轿车能追中巴车24千米。

60÷24＝2.5小时，所以2.5小时后小轿车能追上中巴车。

练习五1.一辆摩托车以每小时80千米的速度去追赶前面30千米处的卡车，卡车行驶的速度是每小时65千米。

摩托车多长时间能够追上？2.兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分钟跑120米；哥哥在后，每分钟跑140米。

几分钟后哥哥追上弟弟？3.小华从家里已走出200米，她的姐姐从家里骑自行车去追小华。

已知小华每分钟走70米，姐姐骑自行车每分钟行120米。

姐姐追上小华需要多少分钟？4.甲骑自行车从A地到B地，每小时行16千米。

1小时后，乙也骑自行车从A地到B地，每小时行20千米，结果两人同时到达B地。

A、B两地相距多少千米？第六讲过桥问题专题简析：有关火车过桥、火车过隧道、两列火车车头相遇到车尾相离等问题，也是一种行程问题。

在考虑速度、时间和路程三种数量关系时，必须考虑到火车本身的长度。

如果有些问题不容易一下子看出运动过程中的数量关系，可以利用作图或演示的方法来帮助解题。

解答火车行程问题可记住以下几点：1.火车过桥（或隧道）所用的时间＝[桥（隧道长）＋火车车长]÷火车的速度；2.两列火车相向而行，从相遇到相离所用的时间＝两火车车身长度和÷两车速度和；3.两车同向而行，快车从追上到超过慢车所用的时间＝两车车身长度和÷两车速度差。

例1.甲火车长210米，每秒行18米；乙火车长140米，每秒行13米。

乙火车在前，两火车在双轨车道上行驶。

甲火车从后面追上到完全超过乙火车要用多少秒？分析：甲火车从追上到超过乙火车，比乙火车多行了甲、乙两火车车身长度的和，而两车速度的差是18－13＝5米，因此，甲火车从追上到超过乙火车所用的时间是：（210＋140）÷（18－13）＝70秒。

练习六1.一列火车长200米，它以每秒10米的速度穿过200米长的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要多少秒？2.某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒，客车长105米，每秒速度为8米，求步行人每秒多少米?3.一人以每分钟60米的速度沿铁路步行，一列长144米的客车对面开来，从他身边通过用了8秒钟，列车的速度是多少米/秒？4.一列火车长700米，以每分钟400米的速度通过一座长900米的大桥.从车头上桥到车尾离要多少分钟？第七讲流水行船问题当你逆风骑自行车时有什么感觉？是的，逆风时需用很大力气，因为面对的是迎面吹来的风。

当顺风时，借着风力，相对而言用里较少。

在你的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题。

解答这类题的要素有下列几点：水速、流速、划速、距离，解答这类题与和差问题相似。

划速相当于和差问题中的大数，水速相当于小数，顺流速相当于和数，逆流速相当于差速。

顺流船速＝划速＋水速；逆流船速＝划速－水速；划速＝（顺流船速＋逆流船速）÷2；水速＝（顺流船速－逆流船速）÷2；顺流船速＝逆流船速＋水速×2；逆流船速＝逆流船速－水速×2。

例：一条轮船往返于A、B两地之间，由A地到B地是顺水航行，由B地到A地是逆水航行。

已知船在静水中的速度是每小时20千米，由A地到B地用了6小时，由B地到A地所用的时间是由A地到B地所用时间的1.5倍，求水流速度。

解：设水流速度为每小时x千米，则船由A地到B地行驶的路程为[（20＋x）×6]千米，船由B 地到A地行驶的路程为[（20－x）×6×1.5]千米。

列方程为（20＋x）×6＝（20－x）×6×1.5，x＝4练习七1.船行于120千米一段长的江河中，逆流而上用10小明，顺流而下用6小时，求水速和船速。

2.一只船逆流而上，水速2千米，船速32千米，4小时行多少千米。

(船速，水速按每小时算)3.一只船静水中每小时行8千米，逆流行2小时行12千米，求水速。

4.某船在静水中的速度是每小时18千米，水速是每小时2千米，这船从甲地到乙地逆水行驶需15小时，则甲、乙两地相距多少千米？第八讲质数合数分解质因数专题简析：一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。