广东省揭阳市2008-2009学年高中毕业班高考调研测试数学试题(文科)2009.4

绝密★启用前广东省揭阳市2008－2009学年高中毕业班高考调研测试数学试题(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色宁迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数21i+ 对应的点与原点的距离是 A. 1B. C.2D. 2．已知,a b R Î，则“33log log a b >”是 “11()()22ab<”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是A ．若βα//，α⊂l ,则β//lB ．若βα//，α⊥l ,则β⊥lC ．若α//l ，α⊂m ,则m l //D ．若βα⊥，l =⋂βα,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m4．若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为 A. 212x y = B.212y x = C.24x y = D.26x y =5．已知()xf x a b =+的图象如图所示，则()3f =A ．2B3- C ．3 D．3或-6．若0,0a b >>，则不等式1a b x-<<等价于俯视图A ．10x a -<<或10x b << B ．11x b a -<< C ．1x b <-或1x a > D ．1x a <-或1x b> 7．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率 A ．4 B ．41C ．－4D ．－14 8. 某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的护墙，其 大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工 作台用去的合板的面积为（制作过程合板损耗和合板厚度忽略不计） A. 240000cm B. 240800cmC. 21600(22cmD. 241600cm9．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b的“向量积”：a b ⨯ 是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()(1,a b =-=，则a b ⨯=A B ．2 C ．D ．410．已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为A ．14 B ． 58 C ． 12 D ． 38二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本， 已知座位号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是 ． 12．右图是一程序框图，则其输出结果为 ． 13．路灯距地面为6m ，一个身高为1.6m 的人以1.2m/s 的速度从路灯的正底下，沿某直线离开路灯，那么人影长度S(m)与人从路灯的正底下离开路 灯的时间t ()s 的关系为 ，人影长度的变化速度v 为 （m/s ）．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）ABC DA 1B 1C 1D 1P14．(坐标系与参数方程选做题)已知曲线sin (11cos 222y x θθθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数)与直线x a =有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是_________________.15.（几何证明选讲选做题）如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上， 且PB=OB=2,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则PC=， CD= .三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分13分）已知：函数()cos )f x x x =-． （1）求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若函数()f x 的图象过点6(,)5α，344ππα<<.求()4f πα+的值．17．（本小题满分13分）如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160AD A ∠= ，14AD =，点P 是1AD 上的动点．（1）试求四棱锥1111P A BC D -体积的最大值；（2）试判断不论点P 在1AD 上的任何位置，是否都有平面11B PA 垂直于平面11AA D ？并证明你的结论。

18．（本小题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢。

（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率； （2）这种游戏规则公平吗？试说明理由。

19．（本小题满分14分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C 三点作P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ． (1) 若FC 是P 的直径，求椭圆的离心率；（2）若P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．20.（本小题满分14分）已知向量2(3,1),(,)a x b x y =-=- ，（其中实数y 和x 不同时为零），当||2x <时，有a b ⊥ ，当||2x ≥时，//a b ．(1) 求函数式()y f x =；（2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）若对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞ ，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数2()(1),()4(1)f x x g x x =-=-，数列{}n a 满足12a =，且1()()()0n n n na a g a f a +-+=． （1）试探究数列{1}n a -是否是等比数列？ （2）试证明11nii an =≥+∑；（3）设13()()n n n b f a g a +=-，试探究数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在求出最大项和最小项，若不存在，说明理由．2008－2009学年度揭阳市高中毕业班高考调研测试数学试题(文科)参考答案及评分说明一．选择题：BACAC DADBC 解析：1.211i i =-+，复数 21i+ 对应的点为()1,1- B. 2．33log log a b >11()()22a b a b ⇒>⇒<，但11()()22a b<⇒/33log log a b >.故选A.4．把直线1y =-向下平移二个单位，则点P 到直线3y =-的距离就相等了，故点P 的轨迹为抛物线，它的方程为212x y =，选A ．5．依题意知，()012f b =+=-，3b =-，又()2230f a =-=，a =()3xf x =-，()33f =，故选C.6．当0x >时，1a b x -<<等价于1x b >，当0x <时，1a b x -<<等价于1x a<-，故选D. 7．∵{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，∴1522a a +=，33222,11a a ==， ∴43443PQ a ak -==-，故选A.8．由三视图知该工作台是棱长为80cm 的正方体上面围上一块矩形和两块直角三角形合板，如右图示，则用去的合板的面积226808020241600S cm =⨯+⨯⨯=故选D ．9．12,cos sin 2a b a b θθ==⋅=-==∴= ，12222a b ∴⨯=⨯⨯= ，故选B.10．由(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩，可得：2820b c b c +≤⎧⎨-≥⎩ 知满足事件A 的区域的面积1()1682S a =⨯=，而满足所有条件的区域Ω的面积：16)(=ΩS 得：()81()()162S aP A S ===Ω，故选C． 二．填空题： 11. 18;12.511;13.2455;14. 01a <≤；15. 解析：11．按系统抽样的方法，样本中4位学生的座位号应成等差数列，将4位学生的座位号按从小到大排列，显然6，30不可能相邻，也就是中间插有另一位同学，其座位号为（6＋30）÷2＝18，故另一位同学的座位号为18．12．1111133557911S =++++⨯⨯⨯⨯ 11111112335911⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 115121111⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦ 13．设人经过时间ts 后到达点B,这时影长为AB=S ，如图由平几的知识可得1.61.26S t S =+， 1.6 1.26 1.6S t ⨯=-=2455t ，由导数的意义知人影长度 的变化速度v ＝ 1.6 1.224'()6 1.655S t ⨯==-（m/s ）14．曲线sin (11cos 222y x θθθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数)为抛物线段2(01)y x x =≤≤ 借助图形直观易得01a <≤15.由切割线定理得212PC PB PA =⋅=,PC ∴=连结OC ，则12OC OP =,30P ∴∠=,12CD PC ∴==三．解答题：16.解：（1）()cos )f x x x -2(sin cos 22x x =⋅-⋅2sin()4x =----3分∴函数的最小正周期为2π，值域为{|22}y y -≤≤。

--------------------------------------5分 （2）解法1：依题意得：62sin(),45πα-= 3sin(),45πα-=---------------------------6分 ∵3.44ππα<<∴0,42ππα<-< ∴cos()4πα-45==-----------------------------------------8分 ()4f πα+＝2sin[()]44ππα-+∵sin[()]sin()cos cos()sin 444444ππππππααα-+=-+-34()55+=∴()4f πα+＝5------------------------------------------------------------------------------13分 解法2：依题意得： 3sin(),45πα-=得sin cos 5αα-=----①-----------7分∵3.44ππα<<∴0,42ππα<-<∴cos()4πα-45==---------------------------------9分由cos()4πα-＝45得sin cos 5αα+=-----------②----------------10分①+②得2sin 5α=，∴()4f πα+＝5-------------------------13分解法3：由3sin()45πα-=得sin cos 5αα-=，--------------------7分 两边平方得181sin 225α-=，7sin 225α=，--------------------------9分 ∵3.44ππα<<∴3222ππα<<由7sin 225α=0>知22παπ<<∴24cos 225α=---------------------------------------11分由2cos 212sin αα=-，得21cos 249sin 250αα-==∴sin 10α=∴()4f πα+＝5．---------------------------------13分17．解：（1）∵1111ABCD A B C D -是长方体 ∴侧面11AA D ⊥底面1111A B C D∴四棱锥1111P A BC D -的高为点P 到平面1111A B C D 的距离---------------------2分 当点P 与点A 重合时，四棱锥1111P A BC D -的高取得最大值，这时四棱锥1111P A BC D -体积最大----------------------------------------------------------------------------------------------------3分在11Rt AA D △中∵1160AD A ∠=∴11sin60AA AD ==------------- 4分111cos602A D AD == ---------------------------------------------------5分∴11111111max 11()3P A B C D A B C D V S AA -=⋅= 分 （2）不论点P 在1AD 上的任何位置，都有平面11B PA 垂直于平面11AA D .-------8分证明如下：由题意知，1111B A A D ⊥，111B A A A ⊥ 又1111AA A D A = 11B A ∴⊥平面11AA D又11A B ⊂平面11B PA ∴平面11B PA ⊥平面11AA D ．------------------- 13分 18．解：（1）设“两个编号和为8”为事件A,则事件A 包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36（个）等可能的结果， 故5()36P A =-----------------------------------------------------------------6分 （2）这种游戏规则是公平的。