求轨迹问题的常用方法20120921
求点的轨迹方程的六种常见方法
求点的轨迹方程的六种常见方法点的轨迹方程是描述点在运动过程中所经过的路径的数学方程。
在数学和物理等领域，有许多方法可以推导和描述点的轨迹方程。
下面介绍六种常见的方法。
一、直角坐标系方法直角坐标系方法是最常见的一种方法，通常用于平面分析。
在直角坐标系下，点的位置可以用横坐标x和纵坐标y来表示。
如果已知点的坐标与时间的关系，可以通过方程联立或者曲线拟合的方法得到点的轨迹方程。
二、参数方程方法参数方程方法是一种将点的位置用参数表示的方法。
通过引入参数t，点的坐标可以用关于t的函数表示，如x=f(t)和y=g(t)，这样就可以得到点的轨迹方程。
参数方程方法适用于描述直线、圆和其他曲线的方程。
三、极坐标系方法极坐标系方法是一种将点的位置用极径r和极角θ来表示的方法。
通过引入极径和极角的关系表达式，可以得到点的轨迹方程。
例如，对于圆的方程可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)是关于极角θ的函数。
四、矢量方程方法矢量方程方法是一种用矢量表示点的位置的方法。
通过引入位置矢量r(t)，可以得到点的轨迹方程。
位置矢量r(t)通常用分量表示，如r=(x,y,z)。
矢量方程方法适用于描述曲线在三维空间中的轨迹。
五、微分方程方法微分方程方法是一种通过点的运动规律和动力学方程来推导轨迹方程的方法。
通过对点的位置向量或者其分量进行微分，并代入运动规律方程，可以得到点的轨迹方程。
微分方程方法适用于描述受力作用下点的运动。
六、变分原理方法变分原理方法是一种通过极小化或者极大化一些物理量来推导轨迹方程的方法。
通过对点的位置或路径的泛函进行变分，可以得到使泛函取得极值的轨迹方程。
变分原理方法适用于描述光的传播、质点在介质中的传播等问题。
综上所述，点的轨迹方程可以通过直角坐标系方法、参数方程方法、极坐标系方法、矢量方程方法、微分方程方法和变分原理方法等六种常见方法推导和描述。
不同的方法适用于不同的情况和问题，选择合适的方法可以更方便地求解轨迹方程。
轨迹计算常见算法
轨迹计算常见算法轨迹计算常见算法：1、最短路径算法：最短路径算法是一种用于求解从一个点到另一个点的最短路径的算法，由起点到终点之间任意多个中间顶点组成，是常用的线性优化算法。
它在许多应用中被使用，如在软件包路由和交通管理系统中。
它的核心思想是求解起点到终点的最短距离，然后对所有可能的路线搜索，最终找出最优解。
2、耗费算法：耗费算法是一种应用于轨迹计算的搜索算法，它由耗费函数构成，该函数是在不同节点之间传递信息使用的一种简单方法。
通常，耗费函数通过距离或重要性来估算不同路径之间的差异。
耗费算法以有效和高效的方式来处理和优化节点之间的路径，并可能是最短路径、最长路径或最有效的路径等。
3、启发式算法：启发式算法是一种智能搜索算法，它能帮助用户在处理复杂问题时找出最有效的解决方案。
该算法通过在特定条件下使用正确的策略来确定一组最佳操作，从而求解所设计的系统问题。
在轨迹计算中，它用于考虑路径中存在的可能因素，如交通流量、季节变化和路线上存在的潜在危险，以找出最优解。
4、传统算法：传统算法是基于历史经验的算法，也称作传统的机器学习算法。
它的主要思想是从大量的历史数据中提取模式，并使用这些模式来预测未来的行为。
在轨迹计算中，它广泛用于预测路径的最短距离、交通状况和行程持续时间等。
5、粒子滤波定位法：粒子滤波定位法是一种基于概率的算法，它通过收集有关路径的信息来估算车辆行驶路径及其真实长度。
该算法可用于针对车辆未来行驶路径的最优路径规划，并将其视为高维概率问题。
粒子滤波定位算法可有效降低测定路径错误率，提升轨迹计算准确性，并可以提供持续的增量更新，以实时跟踪轨迹。
求轨迹方程的几种常用方法
求轨迹方程的几种常用方法求轨迹的方程，是学习解析几何的基础，求轨迹的方程常用的方法主要有：1直接法：若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为( x, y )后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式。
从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。
例1 ：在直角△ ABC中，斜边是定长2a (a 0)，求直角顶点C的轨迹方程。
解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB所在的直线为X轴，AB的中点0为坐标原点，过0与AB垂直的直线为y轴(如图).则有A ( a,0),B (a,0)。
设动点C为(x, y),••• | AC |2 |BC |2 |AB|2,a)2y2]2h(x a)2y2]24a2,即x2由于C点到达A、B位置时直角三角形ABC不存在，轨迹中应除去A、B两点,故所求方程为x2y2a2( x a )。
2•代入法(或利用相关点法)：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。
例2 :已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM : MB 1:2，求动点M的轨迹方程。
解：设 A (a,0) , B (0, b), M (x, y),一方面，. 另一方面,36 , M分AB的比为1,2评注：本例中，由于 M 点的坐标随着 A 、B 的变化而变化，因而动点 M 的坐标(x, y)可以用A 、B 点 的坐标来表示，而点 M 又满足已知条件，从而得到 M 的轨迹方程。
此外，与上例一样，求曲线的方程时， 要充分注意化简过程是否完全同解变形，还要考虑曲线上的一些特殊点。
3.几何法：求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联 系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种 求轨迹方程的方法称作几何法。
轨迹问题的解法大全
轨迹问题的求法
一、直接法
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法"。
四、几何法
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
五、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程
例3.【2017年全国二卷文科】
六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
七、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法
.。
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
求轨迹方程的常用方法
轨迹（曲线）方程的求法求轨迹方程问题是高中数学的一个难点，求轨迹方程的常用方法有：1）直接法；2）待定系数法；3）定义法；4）代入法；5）参数法；6）交轨法. 下面分别介绍以上六种方法：（1）直接法 —— 直接利用条件通过建立x 、y 之间的关系式f (x ，y )＝0，是求轨迹的最基本的方法. 课标教材(人教版)²高中数学 选修2﹣1（以下所称教材都是指该教材）的《§2.1.2 求曲线的方程》中介绍了此法.直接法求轨迹（曲线）方程一般有五个步骤：① 建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M 的坐标为（x ，y ）； ② 写出点M 运动适合的条件P 的集合：P={M ｜P(M)}； ③ 用坐标表示条件P(M)，列出方程 f (x ，y )=0； ④ 化方程 f (x ，y )=0 为最简形式；⑤ 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 一般地，步骤(5)可省略，如有特殊情形，可以适当说明.教材推导圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程，都是使用直接法. 教材中还配有大量练习题（如：教材P.37练习/3，习题2.1/A 组/2、3，B 组/1、2；P.41例3，P.42练习/4，P.47例6，P.49习题2.2 / B 组/3；P.59例5，P.62习题2.3 / B 组/3；P.74习题2.4 / B 组/3；P.80复习参考题/ A 组/10，B 组/5）.例1. 如图所示，线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB|=2a （a >0），|CD|=2b (b>0)，动点P 满足|PA|²|PB|=|PC|²|PD|. 求动点P 的轨迹方程.解：以O 为坐标原点，直线AB 、CD 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A （－a ，0），B （a ，0），C （0，－b ），D （0，b ）， 设P （x ，y ），由题意知 |PA|²|PB|=|PC|²|PD|，∴22)(y a x ++²22)(y a x +-=22)(b y x ++²22)(b y x -+，化简得 x 2－y 2=222b a -.故动点P 的轨迹方程为 x 2－y 2=222b a -.【练习1】 1、已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN |²|MP |＋MN ²NP =0，求动点P （x ，y ）的轨迹方程.2、如图所示，过点P （2，4）作互相垂直的直线l 1、l 2.若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程.（2）待定系数法 —— 当已知所求曲线的类型（如：直线，圆锥曲线等）求曲线方程，可先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定方程中的系数(待定系数)，代回所设方程即可.要注意设出所求曲线的方程的技巧.（如：教材P.40例1，P.42练习/2，P.46例5，P.48练习/3、4，P.49习题2.2/A 组/2、5、9；P.54例1，P.55练习/1，P.58例4，P.61练习/2、3，P.61习题2.3 / A 组/2、4、6，B 组/1；P.67练习/1，P.68例3，P.72练习/1，P.73习题2.4 / A 组/4、7；P.80复习参考题/ A 组/1）.例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线41622y x -=1有公共焦点，且过点（32，2）. （2）与双曲线16922y x -=1有共同的渐近线，且过点（－3，23）； 解： (1)设双曲线方程为2222by a x -=1. 由题意易求c=25.∵双曲线过点（32，2）， ∴()2223a －24b=1. 又 ∵a 2＋b 2=(25)2， ∴解得 a 2=12，b 2=8.故 所求双曲线的方程为 81222y x -=1. （2）设所求双曲线方程为16922y x -=λ(λ≠0)， 将点（－3，23）代入得λ=41，∴ 所求双曲线方程为16922y x -=41， 即49422y x -=1. 【练习2】 已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），但|AF|＋|BF|=8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线的方程.（3）定义法 —— 如果根据已知能够确定动点运动的条件符合某已知曲线的定义，则可由该曲线的定义直接写出动点轨迹方程.（如：教材P.49习题2.2/A 组/1、7，B 组/2；P.54例2，P.62习题2.3/A 组/5，B 组/2）例3. 已知动圆过()1,0，且与直线1x =-相切. (1) 求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设动圆圆心为M ，定点()1,0为F ，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知： MF MN =即动点M 到定点F 与到定直线1x =-的距离相等， 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线， 其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线，∴动圆圆心的轨迹方程为 x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+= △216160k k =->，01k k ∴<>或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=， 即()()21212110ky y y y --+=，整理得 2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，∴ 2224(1)40k k k k k +-⋅+=， 解得4k =-或0k =（舍去）， 又 40k =-<，∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=【练习3】 1、已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2=1和圆C 2：(x －3)2＋y 2=9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.2、在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B （－2a ，0），C （2a，0）且满足条件x =sinC －sinB=21sinA ，则动点A 的轨迹方程是 （ ） A. 2216a x －221516a y =1（y ≠0)B. 2216a y －22316a x =1（x ≠0)C. 2216a x －221516a y =1（y ≠0)的左支 D. 2216a x －22316ay =1（y ≠0)的右支（4）代入法（也叫相关点法或转移法） ——若动点P(x ，y )随另一动点Q(x 1，y 1)的运动而运动，并且Q(x 1，y 1)又在某已知曲线上运动，则求点P 的轨迹方程问题常用此法.代入法求轨迹（曲线）方程一般有以下几个步骤：① 设所求点P 的坐标为 (x ，y ) (称之为从动点)，动点Q 的坐标为(x 1，y 1) (称之为主动点) ② 找出点P 与点Q 的坐标关系；③ 用从动点的坐标x 、y 的代数式表示主动点的坐标x 1、y 1； ④ 再将x 1、y 1代入已知曲线方程，即得要求的动点轨迹方程.(如：教材P.41例2，P.50习题2.2 / B 组/1；P.74习题2.4 / B 组/1)例4. 设F （1，0），M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN =2MP ，PM ⊥PF ，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程. 解设N （x ，y ），M （x 1，0），P （0，y 0），由MN =2MP 得（x －x 1，y ）=2（－x 1，y 0），∴11022x x x y y -=-⎧⎨=⎩，即1012x x y y =-⎧⎪⎨=⎪⎩.∵PM ⊥PF ，PM =(x 1，－y 0)，PF =(1，－y 0)， ∴(x 1，－y 0)·（1，－y 0）=0，∴x 1＋y 2=0. ∴－x ＋42y =0，即y 2 = 4x .故所求的点N 的轨迹方程是 y 2 = 4x .【练习4】 如图所示，已知P （4，0）是圆 x 2＋y 2=36 内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.（5）参数法 ——当动点P （x ，y ）的横坐标x 、纵坐标y 之间的关系不易直接找到时，可以考虑将x 、y 都用一个中间变量（参数）来表示，即得参数方程，再消去参数就可得到普通方程.例5. 如图所示，已知点C 的坐标是（2，2），过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B. 设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程.解 方法一（参数法）：设M 的坐标为（x ，y ）.若直线CA 与x 轴垂直，则可得到M 的坐标为（1，1）. 若直线CA 不与x 轴垂直，设直线CA 的斜率为k ，则直线CB 的斜率为－k1， 故直线CA 方程为：y =k(x －2)＋2，令y =0得x =2－k2，则A 点坐标为(2－k2，0).CB 的方程为：y =－k1(x －2)＋2，令x =0，得y =2＋k2， 则B 点坐标为（0，2＋k 2），由中点坐标公式得M 点的坐标为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=-=+-=k k k k 112022112022y x ①， 消去参数k 得到x ＋y －2=0 (x ≠1)， 又∵ 点M （1，1）在直线x ＋y －2=0上， 综上所述，所求轨迹方程为x ＋y －2=0.方法二（直接法）设M （x ，y ），依题意A 点坐标为（2x ，0），B 点坐标为（0，2y ）.∵|MA|=|MC|， ∴22)2(y x x +-=22)2()2(-+-y x ， 化简得x ＋y －2=0.方法三（定义法）依题意 |MA|=|MC|=|MO|，即：|MC|=|MO|，所以动点M 是线段OC 的中垂线，故由点斜式方程得到：x ＋y －2=0.（6）交轨法 —— 当所求轨迹上的动点是两动曲线的交点时，只要把两动曲线（族）的方程分别求出：0),,(=t y x f 与0),,(=t y x g（t 为参数），然后消去参数t ，即得所求轨迹方程.例6. 如图，过圆224x y +=与x 轴的两个交点A 、B 作圆的切线AC 、BD ，再过圆上任意一点H 作圆的切线，交AC 、BD 于C 、D 两点，设AD 、BC 的交点为R ，求动点R 的轨迹E 的方程.解：设点H 的坐标为（0x ，0y ），则20x ＋20y ＝4 由题意可知0y ≠0，且以H 为切点的圆的切线的斜率为0x y -， ∴切线CD 方程为 y －0y ＝0x y -(x －0x )，展开得 0x x ＋0y y ＝20x ＋20y ＝4， 即 以H 为切点的圆的切线方程为 0x x ＋0y y ＝4，∵A （－2，0），B （2，0），将x ＝±2代人0x x ＋0y y ＝4 可得 点C 、D 的坐标分别为C （－2，0042x y +），D （2，042x y -）， 则直线AD 、BC 的方程分别为AD l ：002424y x x y +=- …… ①， BC l ：002424y x x y -=+- …… ②将两式相乘并化简可得动点R 的轨迹E 的方程为 2244x y +=，即2214x y += 解法二：设点R 的坐标为（0x ，0y ）；直线AR 的方程分别为y ＝002y x +(x ＋0x )，与直线BD 的方程x ＝2联立，解得D （2，0042y x +），同法可得C （－2，0042y x --），则直线CD 斜率为002024x y x -， ∴直线CD 的方程为y －0042y x --＝002024x yx -(x ＋2)∵直线CD 与⊙O 相切， ∴圆心O 到直线CD 的距离等于圆半径2，000244x y y -＝2，化简得 (20x －4)2＋420x 20y ＝(420y )2整理得 (20x －4)2＋420y (20x －4)＝0， ∴20x －4＝0 （舍去）或20x －4＋420y ＝0即 动点R 的轨迹E 的方程为2244x y +=，即2214x y +=总结：求轨迹方程的方法：（1）求单个动点的轨迹问题，用直接法 或待定系数法 或定义法； （2）求两个动点的轨迹问题，用代入法；（3）求多个动点的轨迹问题，用参数法 或交轨法。
求轨迹方程问题—6大常用方法
求轨迹方程问题—6大常用方法知识梳理：（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。
求轨迹方程常用方法
求轨迹方程常用方法一、知识提要1． 轨迹方程的实质：轨迹方程的概念是轨迹方程求法的基础，一般地，在直角坐标中，如果轨迹C 上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下关系：（1）轨迹上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都在轨迹C 上．则这个方程叫做轨迹的方程，这条轨迹叫做方程的轨迹．求轨迹方程就是求轨迹上的动点的坐标所满足的二元关系式．2．由轨迹求方程是解析几何的一个基本课题，它往往需要涉及代数、三角、平面几何、立体几何乃至物理学等诸方面的知识．求轨迹方程的过程，既有把形转化为数的过程，又有探索轨迹的推理论证过程．虽然教材上为了突破这一难点，对求轨迹方程的过程给出了一般性的步骤，但在实际操作中还是应因题而异，或由静及动，或强行突破，或巧设参数，真可谓眼花缭乱，其乐无穷．3．求轨迹方程的方法一般可分直接法和间接法两大类．直接法一般包括：直译法、定．．．．．义法、待定系数法、几何法．．．．．．．．．．．．等；间接法一般包括：参数法、坐标转移法（相关点法）、交轨．．．．．．．．．．．．．．．．．．法、设而不求法．．．．．．．等．4．求轨迹的各种方法不是孤立的，同一个问题往往有几种不同的解法，所使用的方法又可以相辅相成，其中最主要的是如何把问题转化为我们所熟知的轨迹方程或突破“五步法”中的第二步．5．值得强调的是，由于求轨迹方程省略了“证明”这一步骤，所以在求出“轨迹方程”时必须注意轨迹方程的完备性和纯粹性．二、常用方法解析1．直译法直译法就是直接依据教材里总结的求曲线方程的五个步骤（建系设点、写集合（写关系）、代入坐标列方程、化简方程、证明作答）而求出轨迹方程的方法，故又俗称“五步法”．用此法的题型，要求其动点所适合的条件p （关系式），容易用坐标形式表达，其中证明这一步可省略，但要注意查漏除杂．[例1]（2005年江苏）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 为切点），使得PM =．试建立适当的坐标系，求动点P 的轨迹方程． 练习：1．（2006年江苏）已知两点(2,0),(2,0),M N P -点为坐标平面内的动点，满足0M N M P M N N P ⋅+⋅=，求动点(,)P x y 的轨迹方程．2．（2006年郑州）已知两点(2,0),(2,0),M N P -动点在y 轴上的射影为H ，且使PH PH ⋅与PM PN ⋅分别是公比为2的等比数列的第三、四项．求动点P 的轨迹方程．3．（2006年广州）设过点(,)M a b 能作抛物线2y x =的两条切线MA 、MB ，切点为A 、B ．（1）求MA MB ⋅ ；（2）若M A M B ⊥，求点M 的轨迹方程； （3）若A M B ∠为锐角，求点M 所在的区域．（提示：设切点为2(,)t t ，写出切线方程，点M 在切线上，得到两切点的参数t 所满足的关系式）2．定义法定义法就是把求轨迹方程中轨迹所满足的条件转化为符合某特殊曲线定义的条件，从而依该曲线的定义得出轨迹方程的方法． [例2]根据下列条件求动圆圆心M 的轨迹方程．（1）动圆M 与圆221:(3)1O x y -+=外切，与222:(3)81O x y ++=内切；（2）动圆M 与圆221:(3)1O x y -+=与222:(3)25O x y ++=都外切；（3）动圆M 与圆22(2)1x y -+=外切，与直线10x +=相切．练习：4．（2005年山东）已知动圆过定点（(,0)2p ，且与直线(0)2p x p =->相切．（1）求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）设A 、B 是曲线C 上异于原点O 的两个不同的点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．5．（2006年南京）在A B C 中，4BC =，且BC 在x 轴上，BC 的中点为坐标原点，如果1sin sin sin 2C B A -=，求顶点A 的轨迹．6．（2005年江苏）已知0)O A =，O 为坐标原点，点M 满足6O M O A O M O A ++-=． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在直线l 过点(0,2)P ，与轨迹C 交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．3．待定系数法所求方程是直线、圆、椭圆、又曲线、抛物线等已知曲线时，可使用待定系数法．应用此法应先根据已知条件判断动点轨迹的类型，然后设出所求待定系数的曲线方程，最后根据其它条件确定方程的系数，从而求得轨迹方程．[例3]如图，在面积为18的A B C ∆中，AB=5，双曲线E 过点A ，且以B 、C 为焦点，已知27,54AB AC C A C B ⋅=⋅=．（1）建立适当的坐标系，求双曲线E 的方程；（2）是否存在过点(1,1)D 的直线l ，使l 线E 交于不同的两点M 、N ，且0DM DN +=如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．[例3´]设椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，已知点3(0,)2P 到这个椭圆上点的最短距离为P 练习7．已知(2,0),(2,0)A B -，过点A 作直线交以A ，B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与圆221x y +=相切，求椭圆的方程．8．已知OFQ ∆的面积为，且,,(1)4OF FQ m OFc m c ⋅===-，若以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q ，当O Q取得最小值时，求双曲线的方程．（提示：设11(,)Q x y ）9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，点(4,2)A 是抛物线内的一定点，点P 为抛物线上的一动点，且PA PF +的最小值为8． （1）求抛物线的方程；（2）若点O 为坐标原点，问是否存在点M ，使过M 的动直线交抛物线于B ，C 不同两点，且0OB OC ⋅=，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．4．坐标转移法（代入法、相关点法）若动点(,)P x y 随已知曲线C 上的另一动点11(,)Q x y 而运动，则可用,x y 去表示出11,x y 即11(,),(,)x f x y y g x y ==，然后将点11(,)Q x y 代入曲线C 的方程中，即得点P 的轨迹方程．这种方法叫做坐标转移法．[例4]已知两点(4,0),(2,3)A B 和圆224x y +=的动点C ，求A B C ∆的重心G 的轨迹方程． 练习：10．（2001年上海）设P 为双曲线2214xy -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，求点M 的轨迹方程． 11．（2006年武汉）P 是椭圆22221x y ab+=上的一动点，12,F F 是它的两焦点，O 为坐标原点，若12OQ PF PF =+，求动点Q 的轨迹方程．12．已知抛物线C ：24y x =，F 为抛物线的焦点，过点(2,0)A 作直线l 交抛物线C 于P 、Q 两点，且O R FP FQ =+，求动点R 的轨迹方程．5．参数法当动点(,)P x y 的坐标,x y 之间的关系不易发现，而通过另一变数t 间接地表示,x y 之间的关系较为方便时，我们便设出这一变数t 以寻求关于,x y 的轨迹方程，这种通过第三个变量间接地表示动点两坐标之间的关系，进而得到动点轨迹方程的方法就是参数法．第三变量通常称为参变数，简称为参数．在具体问题中，往往以直线的斜率k ，倾斜角α，时间t 等作为参数．[例5]（2006年陕西）三定点(2,1),(0,1),(2,1)A B C --；三动点,,D E M 满足AD t AB = ，BE t BC = ，,[0,1]D M t D E t =∈．（1）求动直线DE 斜率的变化范围； （2）求动点M 的轨迹方程． 练习：13．（2006年全国）已知椭圆的焦点为12(0(0,F F -，离心率为2e =，设椭圆在第一象限内的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在P 处的切线与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+．求（1）动点M 的轨迹方程；（2）O M的最小值．14．（2005年江西）M 是抛物线2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB ．（1）若M 为定点，证明直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求EM F ∆的重心G 的轨迹方程．15．（2005年广东）抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同点A 、B 满足O A O B ⊥．（1）求O A B ∆重心G 的轨迹方程；（2）O A B ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．6．几何法几何法就是依据动点的几何性质寻求动点轨迹的方法，即根据动点满足的条件，利用平面几何的定理，或找出直译法中第二步所要写出的适合条件P （M ）——关系式，或直接判断出动点的轨迹类型是某种曲线，从而求出轨迹方程的方法． [例6]已知M 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>上的一动点，F 1，F 2是双曲线的两焦点，过其中一焦点作12F M F ∠的平分线的垂线，垂足为P ，求点P 的轨迹方程． 练习：16．已知点(2,0)A 和圆224x y +=，在圆上另取点B 、C ，使3B AC π∠=，求A B C ∆的垂心M 的轨迹方程．17．（2006年黄冈）已知圆22:(1)8C x y ++=，定点(1,0)A ，M 为圆C 上一动点，点P在AM 上，点N 在CM 上，且满足2,0A M A P N P A M =⋅=，点N 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）若过定点(0,2)F 的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在F 、H 之间），且满足FG FH λ=，求λ的取值范围．7．交轨法当动点是两条动曲线的交点时，可使用交轨法求出动点的轨迹方程，即写出含参数的已知两动曲线的方程或选定刻画两动曲线交点的同一参数，分别求出两动曲线的参数方程，然后消去参数得到所求动点的轨迹方程的方法．（不需解交点）[例7]（85年全国）已知两点(2,2),(0,2)P Q -以及一条直线:l y x =AB 在直线l 上移动，求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程． 练习： 18．作椭圆22221x y ab+=长轴的垂线交椭圆于,P Q 两点，12,A A 是椭圆的长轴的端点，求直线1PA 与直线2P A 交点M 的轨迹方程．19．（2000年春季全国）OA 、OB 是抛物线22(0)y px p =>过顶点的两条动弦，M 在线段AB 上，且满足0,0O A O B O M A B ⋅=⋅=．（1）求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标； （2）求点M 的轨迹方程．8．设而不求法（两点法）设而不求法可以看作是多参数法的一种特殊形式，它尤其在求与斜率、弦中点等有关的轨迹方程中经常采用．[例8]已知长为l 的线段的两端点A 、B 均在抛物线22y px =上移动． （1）求线段AB 的中点M 的轨迹方程； （2）求中点M 到y 轴的最小距离． 练习：20．过点(2,1)A -作圆229x y +=的弦AB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．21．已知长为(02)l l a <<线段的两端点在椭圆22221x y ab+=上移动，求线段AB 的中点P的轨迹方程． 22．求双曲线22221x y ab+=以k 为斜率的平行弦的中点M 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．。
求轨迹方程常用方法
求轨迹方程的常用方法求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法. 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.例1:线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？解 设M 点的坐标为),(y x ，在直角三角形AOB 中，OM=,22121a a AB =⨯= 22222,a y x a y x =+=+∴M 点的轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆周.1.在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。
解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则有A (,0)a -，B (,0)a 。
设动点C 为(,)x y ，∵222||||||AC BC AB +=，∴2224a +=，即222x y a +=．由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点， 故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。
2.过点P （2，4）作两条互相垂直的直线12l l ，，若1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
解：设M x y （，），连结MP ，则2002A x B y （，），（，），∵12l l ⊥，∴△PAB 为直角三角形，||21||AB MP ，=由直角三角形的性质2222)2()2(·21)4()2(y x y x +=-+-∴ 化简，得250x y ＋－＝，即M 的轨迹方程250x y ＋－＝。
二、定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)，可用定义直接探求.例2．若动点M 到点A(2,0)-距离为3，求动点M 的轨迹方程。
几种常见求轨迹方程的方法
几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1:(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OM⊥AM．∵kOM·kAM=-1，其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．2．定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．直平分线l交半径OQ于点P，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．分析：∵点P在AQ的垂直平分线上，∴|PQ|=|PA|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出P点的轨迹方程．解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．3．相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．分析：P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0) ∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB 的内分点．4．待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程．分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y 轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0 ∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．(以下由学生完成) 由弦长公式得：即a2b2=4b2-a2．。
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在一些很难找到形成曲线的动点P( x，y )的坐
标x，y所满足的关系式的情况下，往往借助第三个变 量t，建立t 和x，t 和y的关系式x t ，y t ，再通 过一些条件消掉t 就间接找到了x和y所满足的方程，从 而求出动点P( x，y )所形成的曲线的普通方程．
20
解析几何
即|PA|+|PB|=6＞4=|AB|, 故P点的轨迹是椭圆，且2a=6,2c=4, 即a=3,c=2,则b= 5 ,
x2 y 2 因此其方程为 =1(y≠0). 9 5
(2)设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r， 因此|PA|-|PB|=1.
10
解析几何
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的
19
解析几何
x0 2 2 把k 代入，得x0 y0 4px0 0( x0 0)， y0 AB x轴时，M 4p, 0 也符合x 2 y 2 4px 0( x 0)， 即点M 的轨迹方程为x 2 y 2 4px 0( x 0)．
评析
13
解析几何
解析
设M x0, 0 ，P (0，y0 )，N ( x，y )，点N 为轨迹上任意一点． 因为PM PF， ( x0， y0 )， (1， y0 )， PM PF
2 所以( x0， y0 )(1， y0 ) 0，所以x0 y 0 0. 由MN 2MP，得( x x0，y ) 2( x0，y0 )，
解析
又因为m2 n2 1，得x2 y2 2.
5
解析几何
一、直接法求轨迹方程
设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x 2 2y 2 4交于 A，B两点，P是l 上满足 PAPB 1的点，求点P的轨迹方程．
例1
分析
设P点的坐标为( x，y )，
用直接法求得P点的轨迹方程，要 注意x的范围，通过直线l与椭圆相 交获得．
14
解析几何
变式2
如图所示，已知P 4, 0 是圆x 2 y 2 36内的
一点，A、B是圆上两动点，且满足APB 90，求矩 形APBQ的顶点Q的轨迹方程．
分析 动点Q与A、B两点的变化有关，
由圆的弦的性质知点Q与AB的中点 R有关， 因此可先求出R点的轨迹方程，再转化为 点Q的轨迹方.
1 15 右支,且2a=1,2c=4,即a= ,c=2,则b= 2 2 4 2 1 2因此其方程为4x 15 y =1(x≥ ). 2
,
(3)依题意知，动点P到定点A的距离等于到 定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线， 且开口向左，p=4.
因此其方程为y2=-8x.
11
解析几何
评析 (1)本题为利用圆锥曲线的定义求动 点轨迹方程的问题．若动点轨迹的条件 符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、 双曲线、抛物线的定义，则可以直接根 据定义求出动点的轨迹方程． (2)圆锥曲线的定义提示了其本质特 征，而圆锥曲线的方程随坐标系的不同 而不同，因而掌握定义是根本．
18
解析几何
解析
直线AB斜率存在时，设M ( x0，y0 )，直线AB的
方程为y kx b. x0 由OM AB，得k ， y0 由y 2 4px，及y kx b，消去y， b2 得k 2 x 2 x 2kb 4p b 2 0，所以x1 x2 2 . k 4 pb 2 消去x，得ky 4py 4pb 0，所以y1 y2 . k 由OA OB，得y1 y2 x1 x2， 4 pb b2 所以 2 ，b 4kp， k k 故y0 kx0 b k x0 4p ．
17
解析几何
四、用参数法求轨迹方程 例4
已知抛物线y 2 4px p 0 ，O为顶点，A，B
为抛物线上的两动点，且满足OA OB，如果OM AB 于M 点，求点M 的轨迹方程．
分析 1 动点M ( x，y)的坐标之间的关系不易找到．
2 动点M 与A、B的直接关系不明显，因此需引入参数． 3由OA OB建立联系，消去参数得解．
25
解析几何
由于解析几何研究的几何对象的局限性， 直线、圆、圆锥曲线这些的定义都是用距 离的关系来定义曲线的，所以利用定义法 求轨迹问题时，往往应该先考虑动点满足 的距离关系，判断它是否满足五种曲线的 定义，从而使问题快速解答.
26
15
解析几何
解析
设AB的中点为R( x，y )，则在Rt ARO中， AR AO OR 36 x 2 y 2 ．
2 2 2
又 AR PR x 42 y 2 , 有 x 4 y 2 36 x 2 y 2 ．
2
即x 2 y 2 4x 10 0. 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在 所求的轨迹上运动．
D
解析
设Q( x，y)，则可得P 2 x, 4 y ，代入
2x y 3 0，得2x y 5 0.
4
解析几何
已知实数m，n满足m2 n2 1，则P(m n，m n) 4.
x2 y 2 2 . 的轨迹方程是 _____________
12
解析几何
三、代入法(相关点法)求轨迹方程
设F 1, 0 ，M 点在x轴上，P点在y轴上，且 MN 2MP， PF，当点P在y轴上运动时，求点N PM
例3
的轨迹方程．
分析 1 确定M 与P的坐标关系． 2 寻找动点N 与点M 、P的关系． 3 用代入法求轨迹方程．
7
解析几何
二、定义法求轨迹方程
例2 如图，已知圆A：(x+2)2+y2=1与点 A(-2，0)，B(2，0)，分别求出满足下列条 件的动点P的轨迹方程. (1)△PAB的周长为10； (2)圆P过点B与圆A外切(P为 动 圆圆心)； (3)圆P与圆A外切且与直线x=1相切(P为 动圆的圆心).
8
解析几何
21
解析几何
b 在①中令y 0，得M 点的横坐标为x1 a ， k1 在②中令x 0，得N 点的纵坐标为y1 b 设MN的中点P的坐标为( x，y )， a b x 2 2k a 1 2 2 则有 , 消去k1，得2ax 2by a b 0( x )．③ 2 y b a 2 2k1 a b 2 当l1平行y轴时，MN的中点为( ， )，其坐标满足方程③. 2 2 综合 1 2 知，MN的中点P的轨迹方程为2ax 2by a 2 b 2 0.
x0 x x x0 2 x0 所以 ,即 1 , y 2 y0 y0 2 y y2 所以 x 0，即y 2 4x. 4
评析
在某些较复杂的探求轨迹的过程中，可先确定
一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点， 所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程．
分析 根据题意，先找出等价条件， 再根据条件判定曲线类型，最后写出 曲线的方程. (1)|PA|+|PB|=10-|AB|=6.
(2)|PA|-|PB|=1.
(3)P点到A点的距离比P点到直线x=1 的距离长1，即P点到A点的距离等于 P点到直线x=2的距离.
9
解析几何
解析 (1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，
C
解析
AB 5，所以动点的轨迹为线段AB.
3
解析几何
3. 已知点P是直线2x y 3 0上的一个动点，定点M 1, 2 ， Q是线段PM 延长线上的一点，且 PM MQ ，则Q点的轨 迹方程是 A．x y 1 0 2 C．x y 1 0 2 B．x y 5 0 2 D．x y 5 0 2
解析几何
求轨迹问题的常用方法
解析几何
1. 方程x 2 xy x表示的曲线是 A．一个点 C．两条直线 B．一条直线
C
D.一个点和一条直线
解析
方程可变形为x x y 1 0， 所以x 0或x y 1 0，表示两条直线．
2
解析几何
2. 到两定点A 0, 0 ，B 3, 4 的距离之和为5的点的轨迹 是 A．椭圆 C．线段AB B.AB所在的直线 D．无轨迹
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解析几何
设Q( x1，y1 )， 4 x1 y1 由R为PQ的中点，所以有x ，y ， 2 2 代入方程x 2 y 2 4x 10 0得， x1 4 2 y1 2 x1 4 ( ) ( ) 4 10 0， 2 2 2 整理得x12 y12 56， 即点Q的轨迹方程为x 2 y 2 56.
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解析几何
解析
设P点的坐标为( x，y )， 则由方程x 2 2y 2 4，得2y 2 4 x 2 , 4 x2 所以y ， 2 4 x2 4 x2 所以A，B两点的坐标分别为：， (x )，， (x )， 2 2 4 x2 4 x2 又 PAPB 1，所以(0， y )(0， y ) 1， 2 2 4 x2 x2 y 2 即y 2 1，所以 1， 2 6 3 又直线l与椭圆交于两点，所以 2＜x＜2， x2 y2 所以点P的轨迹方程为 1(2＜x＜2)． 6 3
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a ， k1
解析几何
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解析几何
求轨迹方程方法实质剖析. 轨迹问题的实质就是用动点的两坐标 x,y一一对应的揭示曲线方程解的关系.在实 际计算时，我们可以简单地认为，求曲线 方程就是求曲线上动点的坐标之间的关系. 当两坐标之间的关系为直接关系f(x,y)=0， 就是曲线方程的普通形式。