函数章末检测卷(四)

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三角函数章末检测卷(一)(含答案解析)

三角函数章末检测卷（一）(时间：100分钟，满分100分)一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由tan α＜0，cos α＜0， ∴角α的终边在第二象限．2．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°的值为( ) A ．－32B ．32 C ．－12D ．12解析：选D sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°＝sin 45°cos 15°＋cos(180°＋45°)sin 15°＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.3．已知角A 为△ABC 的内角，cos A ＝－45，则sin 2A ＝( )A ．－2425B ．－1225C ．1225D ．2425解析：选A ∵角A 为△ABC 的内角，∴0＜A ＜π， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝35， ∴sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. 4．方程log 2x ＋log 2(x －1)＝1的解集为M ，方程22x ＋1－9·2x ＋4＝0的解集为N ，那么M 与N 的关系是( )A ．M ＝NB ．MNC ．NMD ．M ∩N ＝∅解析：选B 因为log 2x ＋log 2(x －1)＝1，即log 2[x (x －1)]＝log 22，所以x (x －1)＝2，解得x ＝2或x ＝－1.又x ＞1，所以x ＝2，即M ＝{2}.22x ＋1－9·2x ＋4＝0，即2·(2x )2－9·2x ＋4＝0，解得2x ＝4或2x ＝12，所以x ＝2或x ＝－1，即N ＝{－1，2}．所以MN ，故选B.5．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析：选D 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A 、B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. 6．如果指数函数f (x )＝(a －1)x 是R 上的单调减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ＞2 C ．1＜a ＜2D ．0＜a ＜1解析：选C 由题意知0＜a －1＜1，即1＜a ＜2. 7．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减函数的区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π，2k π＋3π2(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π＋3π2，2k π＋2π(k ∈Z )解析：选A 由y ＝sin x 是减函数得2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，由y ＝cos x 是减函数得2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，故选A.8．如果角θ的终边经过点⎝⎛⎭⎫－35，45，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( ) A ．－43B ．43C ．34D ．－34解析：选B 易知sin θ ＝45，cos θ＝－35，tan θ＝－43.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43. 9．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋1的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．⎝⎛⎦⎤0，12 C ．(－∞，2]D ．⎣⎡⎦⎤12，2解析：选B |x |＋1≥1，又y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋1的值域为⎝⎛⎦⎤0，12. 10．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3解析：选D ∵sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋(cos 2α－sin 2α)＝14，即cos 2α＝14.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，则α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3.11．函数y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －34π是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选A 因为y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －34π＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －34π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －32π＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数，且其最小正周期为π.12．sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32 B.32C ．－12＋ 3 D.12＋ 3解析：选B sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3，因此sin 600°＋tan 240°＝32. 13．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20解析：选C 将y ＝sin x 的图象向右平移π10个单位长度得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10的图象．14．已知f (x )＝－x 3－x ，x ∈[m ，n ]，且f (m )f (n )＜0，则f (x )在[m ，n ]上( ) A ．有三个零点 B ．至少有两个零点 C ．有两个零点D ．有且只有一个零点解析：选D ∵f (x )在R 上是减函数，且f (m )f (n )＜0，∴f (x )在[m ，n ]上有且只有一个零点．15．已知A ＋B ＝π3，则tan A ＋tan B ＋3tan A tan B －3＝( )A ．－2 3B ．2 3C ．0D ．1－ 3解析：选C ∵tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝3(1－tan A tan B )，∴tan A ＋tan B ＋3tan A tan B －3＝0.16．函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( ) A ．a ＝0B ．a ＜0C ．0＜a ≤13D ．a ≥1解析：选D 当a ＝0时，f (x )为减函数，不符合题意；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－2x＋3图象的对称轴方程为x ＝1a，要使f (x )在区间[1，3]上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1a ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1a ≤1，解得a ≥1.故选D.17．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝( )A ．2或0B ．0C ．－2或0D ．－2或2解析：选D 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )得直线x ＝π3＋02＝π6是f (x )图象的一条对称轴，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2，故选D.18．函数y ＝sin x2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是( )A ．(0，0)B ．(π，0)C ．⎝⎛⎭⎫π2，0D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0解析：选B 函数y ＝sin x2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12（x ＋π）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2＝cos 12x 的图象，它的一个对称中心是(π，0)． 19．若1＋sin αcos α－cos 2αcos 2α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝( )A ．－717B ．717 C ．512D ．－512解析：选A 因为1＋sin αcos α－cos 2αcos 2α＝2，所以sin 2α＋sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2，即sin αcos α－sin α＝tan α1－tan α＝2，所以tan α＝23，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×231－⎝⎛⎭⎫232＝125，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝tan π4－tan 2α1＋tan π4tan 2α＝1－1251＋125＝－717，故选A.20．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎫5π12，0，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为( ) A ．1 B.22 C.12 D.32 解析：选C 由题意，得T 4＝5π12－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(x ∈R )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12，选C.二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中的横线上) 21．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－32，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－⎝⎛⎭⎫－322＝125. 答案：12522．方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1的解为________．解析：由方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1可得1＋2·3x ＝3x ＋1，化简可得3x ＝1，故x ＝0.答案：x ＝023．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，x ∈R 的单调增区间是________．解析：令－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，解得2k π3－π4≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.答案：⎣⎡⎦⎤2k π3－π4，π12＋2k π3(k ∈Z )24．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12（－a ）＞log 2（－a ），即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2（－a ）＞log 2（－a ）.解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1，0)∪(1，＋∞) 25．已知tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－23，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值是________．解析：法一：由tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α（1－tan α）tan α＋1＝－23，解得tan α＝2或－13. sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α)＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22，将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210.法二：∵tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，∴sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.①又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝22，②由①②，解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25，cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210.答案：210三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26．(本小题满分8分)已知sin α＝35，且α为第二象限角．(1)求sin 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．解：(1)因为sin α＝35，且α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，故sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. (2)由(1)知tan α＝sin αcos α＝－34，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝1－341＋34＝17.27．(本小题满分8分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值．解：(1)f (x )＝sin(π－ωx )cosωx ＋cos 2ωx ＝sinωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. ∵ω＞0，依题意得2π2ω＝π，∴ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12. 由题意，知g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2， ∴22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1，∴1≤g (x )≤1＋22. 故函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.28．(本小题满分9分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（4a ＋1）x －8a ＋4，x ＜1，log ax ，x ≥1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ＜1，log 12x ，x ≥1.当x ＜1时，f (x )＝x 2－3x 是减函数，所以f (x )＞f (1)＝－2；当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是减函数，所以f (x )≤f (1)＝0，综上，函数f (x )的值域是R .(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则⎩⎨⎧4a ＋12≥1，0＜a ＜1，12－（4a ＋1）－8a ＋4≥log a1.解得14≤a ≤13，故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤14，13.。

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(18)

人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 下面关于函数 f (x )=log 12x ，g (x )=(12)x和 ℎ(x )=x −12 在区间 (0,+∞) 上的说法正确的是( ) A ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 B ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越快 C ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 D ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越快2. 甲用 1000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利 10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中 ( ) A ．甲刚好盈亏平衡 B ．甲盈利 9 元 C ．甲盈利 1 元D ．甲亏本 1.1 元3. 若 a =0.32，b =log 20.3，c =20.3，则 a ，b ，c 三者的大小关系是 ( ) A ． b <c <a B ． b <a <c C ． a <c <b D ． a <b <c4. 已知当 x ∈[0,1] 时，函数 y =(mx −1)2 的图象与 y =√x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (0,1]∪[2√3,+∞) B ． (0,1]∪[3,+∞) C ． (0,√2]∪[2√3,+∞) D ． (0,√2]∪[3,+∞)5. 已知函数 f (x )={15x +1,x ≤1lnx,x >1，则方程 f (x )=kx 恰有两个不同的实根时，实数 k 的取值范围是 ( ) A ． (0,1e )B ． (0,15)C ． [15,1e )D ． [15,1e ]6. 若函数 f (x )=2x +a 2x −2a 的零点在区间 (0,1) 上，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−∞,12)B ． (−∞,1)C ． (12,+∞)D ． (1,+∞)7. 已知定义在 R 上的函数 f (x )={x 2+2,x ∈[0,1)2−x 2,x ∈[−1,0)，且 f (x +2)=f (x )．若方程 f (x )−kx −2=0 有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 ( )A ． (13,1)B ． (−13,−14)C ． (−1,−13)∪(13,1)D ． (−13,−14)∪(14,13)8. 定义域为 R 的偶函数 f (x )，满足对任意的 x ∈R 有 f (x +2)=f (x )，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2x 2+12x −18，若函数 y =f (x )−log a (∣x∣+1) 在 R 上至少有六个零点，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,√33) B ． (0,√77) C ． (√55,√33)D ． (0,13)9. 方程 log 3x +x =3 的解所在的区间是 ( ) A ． (0,1) B ． (1,2) C ． (2,3) D ． (3,+∞)10. 函数 f (x )=√1−x 2lg∣x∣的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={√4−x 2,x ∈(−2,2]1−∣x −3∣,x ∈(2,4]，满足 f (x −3)=f (x +3)，若在区间 [−4,4] 内关于x 的方程 3f (x )=k (x −5) 恰有 4 个不同的实数解，则实数 k 的取值范围是．12. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2+(2m −1)x +m 2=0 有两个实数根 x 1 和 x 2，当 x 12−x 22=0时，m 的值为．13. 已知 A ={x∣ 3x <1}，B ={x∣ y =lg (x +1)}，则 A ∪B = ．14. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0，若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是．15. 设函数 f (x )={−4x 2,x <0x 2−x,x ≥0，若 f (a )=−14，则 a = ，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则实数 b 的取值范围是．16. 设函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]= ，若方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是．三、解答题（共6题）17. 如图，直角边长为 2 cm 的等腰直角三角形 ABC ，以 2 cm/s 的速度沿直线向右运动．(1) 求该三角形与矩形 CDEF 重合部分面积 y （cm 2）与时间 t 的函数关系（设 0≤t ≤3）． (2) 求出 y 的最大值．（写出解题过程）18. 已知函数 f (x )=a x +k 的图象过点 (1,3)，它的反函数的图象过点 (2,0)．(1) 求函数 f (x ) 的解析式； (2) 求 f (x ) 的反函数．19. 已知函数 g (x )=log a x ，其中 a >1．（注：∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1=∣m (x 1)−m (x 0)∣+∣m (x 2)−m (x 1)∣+⋯+∣m (x n )−m (x n−1)∣） (1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，求 a 的取值范围；(2) 设 m (x ) 是定义在 [s,t ] 上的函数，在 (s,t ) 内任取 n −1 个数 x 1，x 2，⋯，x n−2，x n−1，且 x 1<x 2<⋯<x n−2<x n−1，令 x 0=s ，x n =t ，如果存在一个常数 M >0，使得 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，则称函数 m (x ) 在区间 [s,t ] 上具有性质 P ．试判断函数 f (x )=∣g (x )∣ 在区间 [1a ,a 2] 上是否具有性质 P ？若具有性质 P ，请求出 M的最小值；若不具有性质 P ，请说明理由．20. 已知函数 g (x )=ax 2−2ax +1+b (a ≠0,b <1)，在区间 [2,3] 上有最大值 4，最小值 1，设f (x )=g (x )x．(1) 求常数 a ，b 的值；(2) 方程 f (∣2x −1∣)+k (2∣2x −1∣−3)=0 有三个不同的解，求实数 k 的取值范围．21. 已知函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2．(1) 求实数 m ，n 的值；(2) 若不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，求实数 k 的取值范围．22. 已知函数 f (x )=(12)ax，a 为常数，且函数的图象过点 (−1,2)．(1) 求 a 的值；(2) 若 g (x )=4−x −2，且 g (x )=f (x )，求满足条件的 x 的值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】观察函数f(x)=log12x，g(x)=(12)x和ℎ(x)=x−12在区间(0,+∞)上的图象（图略），由图可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数ℎ(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质2. 【答案】C【解析】由题意知甲两次付出为1000元和(1000×1110×910)元，两次收入为(1000×1110)元和(1000×1110×910×910)元，因为1000×1110+1000×1110×910×910−1000−1000×1110×910=1，所以甲盈利1元．【知识点】函数模型的综合应用3. 【答案】B【解析】因为0<a=0.32<0.30=1，b=log20.3<log21=0，c=20.3>20=1，所以b<a<c．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质4. 【答案】B【解析】应用排除法．当m=√2时，画出y=(√2x−1)2与y=√x+√2的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上无交点，排除C，D；当m=3时，画出y=(3x−1)2与y=√x+3的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上恰有一个交点．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】C【解析】因为方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，所以y=f(x)与y=kx有2个交点，又因为k表示直线y=kx的斜率，x>1时，y=f(x)=lnx，所以yʹ=1x；设切点为(x0,y0)，则k=1x0，所以切线方程为y−y0=1x0(x−x0)，又切线过原点，所以y0=1，x0=e，k=1e，如图所示：结合图象，可得实数k的取值范围是[15,1e )．【知识点】函数零点的概念与意义6. 【答案】C【解析】因为f(x)单调递增，所以f(0)f(1)=(1−2a)(2+a2−2a)<0，解得a>12．【知识点】零点的存在性定理7. 【答案】C【知识点】函数的零点分布8. 【答案】A【解析】当x∈[2,3]时，f(x)=−2x2+12x−18=−2(x−3)2，图象为开口向下，顶点为(3,0)的抛物线．因为函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，令g(x)=log a(∣x∣+1)，因为f(x)≤0，所以g(x)≤0，可得0<a<1．要使函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，如图要求g(2)>f(2)．log a(2+1)>f(2)=−2⇒log a3>−2，可得3<1a2⇒−√33<a<√33，a>0，所以 0<a <√33．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】C【解析】把方程的解转化为函数 f (x )=log 3x +x −3 对应的零点．令 f (x )=log 3x +x −3，因为 f (2)=log 32−1<0，f (3)=1>0，所以 f (2)f (3)<0，且函数 f (x ) 在定义域内是增函数，所以函数 f (x ) 只有一个零点，且零点 x 0∈(2,3)，即方程 log 3x +x =3 的解所在的区间为 (2,3)．故选C ．【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】B【解析】（1）由 {1−x 2≥0,∣x ∣≠0且∣x ∣≠1, 得 −1<x <0 或 0<x <1，所以 f (x ) 的定义域为 (−1,0)∪(0,1)，关于原点对称．又 f (x )=f (−x )，所以函数 f (x ) 是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除A ；当 0<x <1 时，lg ∣x ∣<0，f (x )<0，排除C ；当 x >0 且 x →0 时，f (x )→0，排除D ，只有B 项符合．【知识点】对数函数及其性质、函数图象、函数的奇偶性二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (−2√217,−38)∪{0}【知识点】函数的零点分布12. 【答案】 14【解析】由题意得 Δ=(2m −1)2−4m 2=0，解得 m ≤14．由根与系数的关系，得 x 1+x 2=−(2m −1)，x 1x 2=m 2．由 x 12−x 22=0，得 (x 1+x 2)(x 1−x 2)=0．若 x 1+x 2=0，即 −(2m −1)=0，解得 m =12．因为 12>14，可知 m =12 不合题意，舍去；若 x 1−x 2=0，即 x 1=x 2，由 Δ=0，得 m =14．故当 x 12−x 22=0 时，m =14．【知识点】函数零点的概念与意义13. 【答案】 R【解析】由 3x <1，解得 x <0，即 A =(−∞,0)．由 x +1>0，解得 x >−1，即 B =(−1,+∞)．所以 A ∪B =R ．【知识点】对数函数及其性质、交、并、补集运算14. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时，f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1，当 0<x <1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ，当 x ≥1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3，设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣，则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1，f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点，若 g (x ) 一个零点位于 (0,1)，即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1)，若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞)，即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2)，可知 g (x ) 在 (0,1)，[1,+∞) 内不可能同时存在零点，即当 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点；当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时，（1）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时，k =−2 或 k =−10，此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点，所以不满足 g (x ) 有两个零点；（2）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0，即 k <−10 或 k >−2 时，只需 g (0)=−k −1<0，即 k >−1，所以当 k >−1 时，g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点，因为 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点，所以 k ∈(−1,2) 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点；② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时，只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1]，因为 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点，所以 k ∈(−2,−32] 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点，综上所述：k ∈(−2,−32]∪(−1,2)．【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 −14或 12； (−14,0)【解析】若 −4a 2=−14，解得 a =−14；若 a 2−a =−14，解得 a =12，故 a =−14或12；当 x <0 时，f (x )<0；当 x >0 时，f (x )=(x −12)2−14，f (x ) 的最小值是 −14，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则 b =f (x ) 有 3 个交点，故 b ∈(−14,0)．【知识点】函数的零点分布、分段函数16. 【答案】 14； (14,12)【解析】函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]=f (e 0)=f (1)=14．x ≤0 时，f (x )≤1；x >0，f (x )=−x 2+x +14，对称轴为 x =12，开口向下；函数的最大值为 f (12)=12，x →0 时，f (0)→14．方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是 (14,12)．【知识点】函数的零点分布、分段函数三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形，此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形，此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形，去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形，此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6，综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．(2) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形，此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形，此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形，去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形，此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6，综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．当 0≤t ≤1 时，y max =2×12=2，当 1<t <2 时，y max =2，当 2≤t ≤3 时，对称轴 t 0=2，则 t =2 时，y max =2，综上：y max =2．【知识点】函数模型的综合应用、建立函数表达式模型18. 【答案】(1) f (x )=2x +1．(2) f −1(x )=log 2(x −1)(x >1)．【知识点】反函数、指数函数及其性质19. 【答案】(1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，即 x ∈[0,1] 时，log a (a x +2)>1 恒成立，因为 a >1，所以 a x +2>a 恒成立，即 a −2<a x 在区间 [0,1] 上恒成立，所以 a −2<1，即 a <3，所以 1<a <3，即 a 的取值范围是 (1,3)．(2) 函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ．因为 f (x )=∣g (x )∣ 在 [1,a 2] 上单调递增，在 [1a ,1] 上单调递减，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，当存在某一个整数 k ∈{1,2,3,⋯,n −1}，使得 x k =1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (1a )−f (1)]+[f (a 2)−f (1)]=1+2= 3. 当对于任意的 k ∈{1,2,3,…,n −1}，x k ≠1 时，则存在一个实数 k 使得 x k <1<x k+1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (x 0)−f (x k )]+∣f (x k )−f (x k+1)∣+f (x n )−f (x k+1). ⋯⋯(∗)当 f (x k )>f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k+1)=3−2f (x k+1)<3，当 f (x k )<f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k )=3−2f (x k )<3，当 f (x k )=f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−f (x k )−f (x k+1)=3−f (x k )−f (x k+1)<3，综上，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，均有 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤3，所以存在常数 M ≥3，使 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，所以函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ，此时 M 的最小值为 3．【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质、函数的最大（小）值、对数函数及其性质20. 【答案】(1) 因为 a ≠0，所以 g (x ) 的对称轴为 x =1，所以 g (x ) 在 [2,3] 上是单调函数，所以 {g (2)=1,g (3)=4 或 {g (2)=4,g (3)=1,解得 a =1，b =0 或 a =−1，b =3（舍）．所以 a =1，b =0．(2) f (x )=x 2−2x+1x =x +1x −2．令 ∣2x −1∣=t ，显然 t >0，所以 t +1t −2+k (2t −3)=0 在 (0,1) 上有一解，在 [1,+∞) 上有一解．即 t 2−(2+3k )t +1+2k =0 的两根分别在 (0,1) 和 [1,+∞) 上．令 ℎ(t )=t 2−(2+3k )t +1+2k ，若 ℎ(1)=0，即 1−2−3k +1+2k =0，解得 k =0，则 ℎ(t )=t 2−2t +1=(t −1)2，与 ℎ(t ) 有两解矛盾．所以 {ℎ(0)>0,ℎ(1)<0,即 {1+2k >0,−k <0, 解得 k >0．所以实数 k 的取值范围是 (0,+∞)．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布21. 【答案】(1) 由函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2，可得 {1−3m +n =0,4−6m +n =0, 解得 {m =1,n =2.(2) 由（1）可得 f (x )=x 2−3x +2，由不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可得不等式 f (x )>k 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可将 f (x )=x 2−3x +2 化为 f (x )=(x −32)2−14，所以 f (x )=x 2−3x +2 在 x ∈[0,5] 上的最小值为 f (32)=−14，所以 k <−14．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布22. 【答案】(1) 由已知得 (12)−a=2，解得 a =1．(2) 由（1）知 f (x )=(12)x，又 g (x )=f (x )，所以 4−x −2=(12)x，即 (14)x −(12)x−2=0，即 [(12)x ]2−(12)x−2=0，令 (12)x=t (t >0)，则 t 2−t −2=0，所以 t =−1 或 t =2，又 t >0，所以 t =2，即 (12)x=2，解得 x =−1．【知识点】指数函数及其性质。

专题反比例函数章末检测(学生版)

①
‫ܥ‬
②阴影部分面积是（k1+k2）
③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2| ④若 OABC 是菱形，则 k1+k2＝0 其中正确结论的个数是（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
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3
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
11．（2022 秋•涟源市期末）已知 y 与 x 成反比例，且当 x＝﹣3 时，y＝4，则当 x＝6 时，y 的值为
．
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4
15．（2022•岱岳区二模）设计师构思了一地标性建筑．如图，在平面直角坐标系中，有两反比例函数 y （y
＞0）和 y A2022 的坐标
（y＞0），依次向上如图所示作一内角为 60°的菱形，使顶点分别在 y 轴和函数图象上，请写出．
16．（2022 秋•孝南区期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OBCD 的边 OB 在 x 轴正半轴上，反比例函数 y
18．（2022 春•上城区期末）已知点 A（2，a），B（b，﹣2）都在反比例函数 y （k≠0）的图象上．（1）当 a＝3 时．
A．10
B．
C．
D．15
7．（2022•黑龙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（﹣5，0），对角线 AC，
BO 相交于点 D，双曲线
＜经过点 D， ‫ ܥ‬൅
，k 的值为（）
A．﹣32
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B．﹣16
C．﹣8
2
D．﹣4
8．（2022•禹州市一模）如图，点 A 是第一象限内双曲线 y （m＞0）上一点，过点 A 作 AB∥x 轴，交双曲线 y （n＜0）于点 B，作 AC∥y 轴，交双曲线 y （n＜0）于点 C，连接 BC．若△ABC 的面积为，则 m，n 的值不可能是（）

指数函数与对数函数(能力测评卷)-2020-2021学年高一数学单元复习(人教A版必修第一册)

章末检测（四) 指数函数与对数函数能力卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)为奇函数，且x≥0时，f(x)＝2x＋x＋m，则f(－1)＝(C)A．－12B．12C．－2D．2【答案】C【解析】因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即20＋0＋m＝0，所以m＝－1，f(x)＝2x＋x－1(x≥0)．因为f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2，所以f(－1)＝－2.2．已知关于x的不等式(13)x－4>3－2x，则该不等式的解集为(B)A．[4，＋∞)B．(－4，＋∞)C．(－∞，－4)D．(－4,1]【答案】B【解析】依题意可知，原不等式可转化为3－x＋4>3－2x，由于指数函数y＝3x为增函数，所以－x＋4>－2x，解得x>－4，故选B．3．设函数f(x)＝log2x，若f(a＋1)<2，则a的取值范围为(A)A．(－1,3)B．(－∞，3)C．(－∞，1)D．(－1,1)【答案】A【解析】∵函数f(x)＝log2x在定义域内单调递增，f(4)＝log24＝2，∴不等式f(a＋1)<2等价于0<a＋1<4，解得－1<a<3，故选A．4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，令a ＝f (1)，b ＝f (2－0.3)，c＝f (－20.3)，则( A ) A ．b <a <c B ．c <b <a C ．b <c <a D ．a <b <c【答案】A【解析】因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以c ＝f (－20.3)＝f (20.3)．又因为y ＝2x 是R 上的增函数．所以0<2－0.3<1<20.3.由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f (2－0.3)<f (1)<f (20.3)＝f (－20.3)，即b <a <c .5．已知f (x )＝(31)4,1,log ,1a a x a x x x -+<⎧⎨≥⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是( B )A ．(0,1)B ．[17，13) C ．(0，13) D ．(19，13) 【答案】B【解析】由题意得310,3140,01,a a a a -<⎧⎪-+≥⎨⎪<<⎩解得17≤a <13，故选B ．6．已知m ，n ∈(1，＋∞)，且m >n ，若log m n 2＋log n m 6＝13，则函数f (x )＝2mn x 的大致图象为( A )【答案】A【解析】由题意，令t＝log m n，则2t＋6t＝13，解得t＝12或t＝6(舍去)，所以n，即2mn＝1，所以f(x)＝2mnx的大致图象为A中的图象．7．若函数f(x)＝12log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(C)A．[43，3]B．[43，2]C．[43，2)D．[43，＋∞)【答案】C【解析】先保证对数有意义即－x2＋4x＋5>0，解得－1<x<5，又可得二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝－42(1)⨯-＝2，由复合函数单调性可得函数f(x)＝12log(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2,5)，要使函数f(x)＝12log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，只需322,25,322mmm m-≥⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩解得43≤m<2.8．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(C)(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)A．2020B．2021C．2022D．2023【答案】C【解析】该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n，则150×(1＋8%)n－2018>200，则n>2018＋2lg2lg3lg1.08-≈2021.8，所以n＝2022.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列函数中，是奇函数且存在零点的是(AD)A．y＝x3＋x B．y＝log2xC．y＝2x2－3D．y＝x|x|【答案】AD【解析】A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符；B中，y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；D中，y＝x|x|是奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符，故选AD．10．下列函数中值域为R的有(ABD)A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝lg(x2－2)C．f(x)＝2,02,2,2x xx x⎧≤≤⎨>⎩D．f(x)＝x3－1【答案】ABD【解析】f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件．B ．由x 2－2>0得x或x <，此时f (x )＝lg(x 2－2)的值域为R ，满足条件．C ．f (x )＝2,02,2,2x x x x ⎧≤≤⎨>⎩当x >2时，f (x )＝2x >4，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2∈[0,4]，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件． D ．f (x )＝x 3－1是增函数，函数的值域为R ，满足条件．11．若函数f (x )＝,1,(4)2,12x a x ax x ⎧>⎪⎨-+≤⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围不能为( BD ) A ．(5,8) B ．(2,8) C ．[6,8) D ．(3,8)【答案】BD【解析】因为函数f (x )＝,1,(4)2,12x a x ax x ⎧>⎪⎨-+≤⎪⎩是R 上的增函数，所以11,40,2422a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩解得4≤a <8.12．设函数f (x )＝||1lg(1),1,3,1x x x x +->⎧⎨≤⎩若f (x )－b ＝0有三个不等实数根，则b 可取的值有( BC )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BC【解析】作出函数f (x )＝||1lg(1),1,3,1x x x x +->⎧⎨≤⎩的图象如图：f (x )－b ＝0有三个不等实数根，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝b 有3个不同交点，由图可知，b 的取值范围是(1,3]，故b 可取2,3.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)的反函数g (x )过点(9,2)，则f (2)＝__9__. 【答案】9【解析】由函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(9,2)，可得：y ＝a x 图象过点(2,9)，所以a 2＝9，又a >0，所以a ＝3.所以f (2)＝32＝9.14．已知函数f (x )＝221xx b -+为定义在区间[－2a,3a －1]上的奇函数，则a ＝__1__，b ＝__1__.【答案】1 1【解析】因为f (x )是定义在[－2a,3a －1]上的奇函数，所以定义域关于原点对称，即－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1，因为函数f (x )＝221xx b -+为奇函数，所以f (－x )＝221x x b ---+＝2121x x b -+＝－221xx b -+，即b ·2x －1＝－b ＋2x ，所以b ＝1.15．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0.2,0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(0.2,0.6)至少等分的次数为__6__.【答案】6【解析】由0.42n<0.01，得2n>0.040.01＝40，故n的最小值为6.16．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m2；③设野生薇甘菊蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)．【答案】①②③【解析】∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，∴指数函数的底数为2，故①正确；当t＝5时，S＝32>30，故②正确；∵t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴t1＋t2＝t3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)计算3log32＋1327＋lg 50＋lg 2；(2)已知2a＝3,4b＝6，求2b－a的值．【解析】(1)3 log32＋1327＋lg 50＋lg 2＝2＋3＋lg 100＝2＋3＋2＝7.(2)由2a＝3，得a＝log23，又由4b＝6，即22b＝6，得2b＝log26，所以2b－a＝log26－log23＝log22＝1.18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a x－1－5(a>0，且a≠1)，若y＝f(x)的图象过点(3,20)．(1)求a的值及y＝f(x)的零点；(2)求不等式f(x)≥－2的解集．【解析】(1)根据题意，函数f(x)＝a x－1－5的图象过点(3,20)，则有20＝a2－5，又由a>0，且a≠1，则a＝5，f(x)＝5x－1－5，若f(x)＝5x－1－5＝0，则x＝2，即函数f(x)的零点为2.(2)f(x)≥－2即5x－1－5≥－2，变形可得5x≥15，解可得x≥log515，即不等式的解集为[log515，＋∞)．19．(本小题满分12分)(2019·河南南阳市高一期中测试)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)的定义域为[14，4]．(1)若t＝log2x，求t的取值范围；(2)求y＝f(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．【解析】(1)∵14≤x≤4，∴－2≤log2x≤2，∴－2≤t≤2.∴t的取值范围是[－2,2]．(2)y＝f(x)＝log2(4x)·log2(2x)＝(2＋log2x)(1＋log2x)，由(1)知t＝log2x，t∈[－2,2]，∴y＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝(t＋32)2－14.当t＝－32，即log2x＝－32，x＝4时，y min＝－14，当t＝2，即log2x＝2，x＝4时，y max＝12.20．(本小题满分12分)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：(1)与上市时间t的变化关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．【解析】(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·b t，Q＝a·log b t中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c 进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c得到，150=250050, 10812100110, 150********,a b ca b ca b c++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩解得1200324252 abc⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝1200t2－32t＋4252.(2)当t ＝－3212200-⨯＝150天时，西红柿种植成本最低为Q ＝1200·1502－32·150＋4252＝100 (元/102kg)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．【解析】(1)∵f (x )＝2x ，∴g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)＝22x －2x ＋2.因为f (x )的定义域是[0,3]，所以0≤2x ≤3,0≤x ＋2≤3，解得0≤x ≤1.于是g (x )的定义域为{x |0≤x ≤1}． (2)设g (x )＝(2x )2－4×2x ＝(2x －2)2－4. ∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]，∴当2x ＝2，即x ＝1时，g (x )取得最小值－4；当2x ＝1，即x ＝0时，g (x )取得最大值－3.22．(本小题满分12分)若函数f (x )满足f (log a x )＝21aa -·(x －1x )(其中a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围．【解析】(1)令log a x ＝t (t ∈R )，则x ＝a t ，∴f (t )＝21a a - (a t －a －t )． ∴f (x )＝21a a - (a x －a －x )(x ∈R )． ∵f (－x )＝21a a - (a －x －a x)＝－21a a - (a x －a －x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．11 当a ＞1时，y ＝a x 为增函数，y ＝－a －x 为增函数，且221a a -＞0， ∴f (x )为增函数．当0＜a ＜1时，y ＝a x 为减函数，y ＝－a －x 为减函数，且221a a -＜0， ∴f (x )为增函数．∴f (x )在R 上为增函数．(2)∵f (x )是R 上的增函数，∴y ＝f (x )－4也是R 上的增函数．由x ＜2，得f (x )＜f (2)，要使f (x )－4在(－∞，2)上恒为负数，只需f (2)－4≤0，即21a a - (a 2－a －2)≤4. ∴21a a -421a a-≤4，∴a 2＋1≤4a ，∴a 2－4a ＋1≤0， ∴2a ≤2又a ≠1，∴a 的取值范围为[2，1)∪(1,2．。

专题3-2 函数的概念与性质章末检测2(中)(解析版)

专题3.2 函数的概念与性质章末检测2（中）第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1．函数()1x x f =的定义域为（） A ．()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】C【分析】根据所给函数，利用函数有意义列出不等式组，再求解即得.【详解】函数()1x x f =有意义，则必有2100x x +≥⎧⎨≠⎩，解得21x ≥-且0x ≠．函数()1x x f =的定义域为()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．故选：C2．已知函数1123f x x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭．则()2f 的值为（） A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】B【分析】根据题意，令112x +=可得x 的值，将x 的值代入1(1)23f x x +=+，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数1(1)23f x x +=+，若112x +=，解可得1x =，将1x =代入1123f x x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，可得()25f =，故选：B ．3．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+⎩＜，则不等式()()1f x f ＞的解集是（）A ．()()3,13,-+∞ B ．()(),12,3-∞- C ．()()1,13,-+∞D ．()(),31,3-∞- 【答案】A【分析】利用分段函数，将不等式化为具体不等式，即可得出结论．【详解】解：()11463f =-+=，当0x 时，2463x x -+>，所以01x ≤<或3x >；当0x <时，63x +>，所以30x -<<，所以不等式()(1)f x f >的解集是(3-，)(13⋃，)+∞，故选：A ．4．函数()()2213f x x m x =-+-+在区间(]3,4-上单调递增，则m 的取值范围是有（） A ．[3,)-+∞B ．[3,)+∞C ．(,5]-∞D ．(,3]-∞-【答案】D【分析】首先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；【详解】解：因为函数()()2213f x x m x =-+-+，开口向下，对称轴为1x m =-，依题意14m -≥，解得3m ≤-，即(],3m ∈-∞-故选：D5．已知()f x 是定义在()22-，上的单调递减函数，且()()232f a f a -<- ，则实数a 的取值范围是（）A ．()04，B ．()1+∞，C ．1522⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．512⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】D根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a 的取值范围.【详解】∵()f x 是定义在()22-，上的单调递减函数，且()()232f a f a -<-，则2322222232a a a a ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得512a << 故选：D..6．已知幂函数()f x 的图象过点()2,8，则()3f 的值为（）A ．3B ．9C ．27D ．13【答案】C【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值．【详解】幂函数()f x x α=的图象过点(2,8)，可得82α=，解得3α=，幂函数的解析式为：3()f x x =，可得f （3）27=．故选：C ．7．已知(31)4,1()1,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是（） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．1,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,,73⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】C【分析】分段函数在定义域内单调递减，不仅要求每一段解析式为减函数，还要注意端点处的函数值的大小关系.因为函数(31)4,1()1,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩是定义在R 上的减函数，所以310,31411a a a -<⎧⎨-+≥-+⎩，解得1173a ≤<.所以实数a 的取值范围为11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C.8．设函数()42f x mx x =++在()0,∞+上的最小值为7，则()f x 在(),0-∞上的最大值为（） A ．9-B ．7-C ．5-D ．3- 【答案】D【分析】设()4g x mx x=+，则()g x 为奇函数且()()2f x g x =+，根据()f x 的最小值可得()g x 的最小值，从而可得()g x 的最大值，故可求()f x 的最大值.【详解】()()2f x g x =+，其中()4g x mx x=+为奇函数．由条件知()0,∞+上有()min 5g x =，故在(),0-∞上有()max 5g x =-，所以在(),0-∞上有()max 523f x =-+=-，故选：D ．二、多选题（每小题5分，共20分）9．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在()0,∞+上单调递增且图象关于y 轴对称的是（）A ．()3f x x =B ．()2f x x = C ．2y x D ．()f x x =【分析】根据函数解析式，逐项判断函数的单调性与奇偶性，即可得出结果.【详解】A 选项，()3f x x =定义域为R ，在()0,∞+上显然单调递增，但()()3f x x f x -=-≠，即()3f x x =不是偶函数，其图象不关于y 轴对称，A 排除；B 选项，()2f x x =定义域为R ，在()0,∞+上显然单调递增，且()()()22f x x x f x -=-==，所以()2f x x =是偶函数，图象关于y 轴对称，即B 正确； C 选项，2y x 定义域为()(),00,-∞⋃+∞，在()0,∞+上显然单调递减，C 排除；D 选项，()f x x =的定义域为R ，在()0,∞+上显然单调递增，且()()f x x x f x -=-==，所以()f x x =是偶函数，图象关于y 轴对称，即D 正确.故选：BD.10．下列函数中是偶函数，且在(1,)+∞为增函数的是（）A ．()||f x x =B ．2()23f x x x =--C ．2()2||1f x x x =--D ．1,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨+>⎩ 【答案】ACD【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()||f x x =，偶函数，且在(1,)+∞为增函数，符合题意；对于B ，2()23f x x x =--，不是偶函数，不符合题意；对于C ，2()2||1f x x x =--，是偶函数，在1(,)4+∞上为增函数，故在(1,)+∞为增函数，符合题意；对于D，1,0()1,0x xf xx x-+<⎧=⎨+>⎩，是偶函数，且在(1,)+∞为增函数，符合题意；故选：ACD．11．函数21xyx+=-(x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是（）A．最小值为74B．最大值为4C．无最大值D．无最小值【答案】BD【分析】先对函数分离常数，再判断单调性即可求最值．【详解】函数23111xyx x+==+--在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4，由于x=5取不到，则最小值取不到．故选：BD12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数()10x f x x =⎧=⎨=⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于()f x ，下列说法正确的是（）A ．()f x 的值城为[]01，B ．()f x 的定义城为RC ．()()1x R f f x ∀∈=，D ．任意一个非零有理数T ， f x Tf x 对任意x ∈R 恒成立【答案】BCD【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.【详解】因为函数()10x f x x =⎧=⎨=⎩，为有理数，为无理数，所以()f x 的值城为{}01，，故A 不正确；因为函数()10x f x x =⎧=⎨=⎩，为有理数，为无理数，所以()f x 的定义城为R ，故B 正确；因为(){}01x R f x ∀∈∈，，，所以()()1f f x =，故C 正确；对于任意一个非零有理数T ，若x 是有理数，则x +T 是有理数；若x 是无理数，则x +T 是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T ，都有f x Tf x 对任意x ∈R 恒成立，故D 正确，故选：BCD.第II 卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）13．已知幂函数()233m y m m x =--在()0,∞+上单调递减，则m =___________. 【答案】1-【分析】由系数为1解出m 的值，再由单调性确定结论．【详解】由题意2331m m --=，解得1m =-或4m =，若4m =，则函数为4y x =，在(0,)+∞上递增，不合题意．若1m =-，则函数为1y x =，满足题意．故答案为：1-．14．已知偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(1)0f -=，则()0f x x <的解集__________ 【答案】(1,0)(1,) 【分析】分0x >和0x <两种情况讨论x 的范围，根据函数的单调性可得到答案.【详解】因为()f x 是偶函数，且(1)0f -=，所以(1)(1)0f f =-=，又()f x 在(0,)+∞上是减函数，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，①当0x >时，由()0f x x <得()0f x <，又由于()f x 在(0,)+∞上为减函数，且(1)0f =，所以()(1)f x f <，得1x >；②当0x <时，由()0f x x <得()>0f x ，又(1)0f -=，()f x 在(,0)-∞上是增函数，所以()>(1)f x f -，所以10x -<<.综上，原不等式的解集为：(1,0)(1,). 故答案为：(1,0)(1,). 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且()() f x f x -=-.偶函数在对称区间上的单调性相反，且()()() f x f x fx =-=.. 15．函数211x y x +=+在[)0,x ∈+∞上的值域是_____. 【答案】[1,2)【分析】先化简函数的解析式，再利用函数的单调性求函数的值域．【详解】解：当0x 时，函数211211x y x x +==-++ 在[)0,+∞上是增函数，故当0x =时，函数取得最小值为1，又2y <，故函数()f x 的值域为[1,2)，故答案为：[1,2)．16．函数y =R ，则a ∈ _______.【答案】{}|04a a ≤≤【分析】函数定义域为R ，转化为不等式210ax ax ++≥恒成立问题，分类讨论求解.【详解】因为任意x ∈R 210ax ax ++≥的解集为R ，即不等式210ax ax ++≥在R 上恒成立.①当0a =时，10≥恒成立，满足题意；②当0a ≠时，2040a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得04a <≤，综上， {}04a a a ∈≤≤故答案为：{}|04a a ≤≤【点睛】（1）最高次项字母系数要注意是不是为0的讨论；（2）一元二次不等式恒成立的条件： 20(0)ax bx c a ++≥≠恒成立2040a b ac >⇔-≤⎧⎨⎩；20(0)ax bx c a ++≤≠恒成立2040a b ac <⇔-≤⎧⎨⎩. 四、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．已知函数()1||23f x x x =+--（1）画出函数()y f x =的图象.（2）求不等式的()1f x >的解集.【答案】(1)图象见解析；(2)(1,3)【分析】(1)把函数()y f x =化成分段函数，再在坐标系内作出各段表达式所对图象即得解；(2)利用图象写出()1f x >的x 值范围即可得解.【详解】 (1)4,13()32,1234,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，函数()y f x =的图象如图所示：(2)由()f x 的表达式及()y f x =的图象知，()1f x =时，1x =或3x =，()1f x >时，13x <<，所以不等式的()1f x >的解集为(1,3).18．已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x R ∈．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）【答案】（1）图象见解析；（2）()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩；图象见解析. 【分析】（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；（2）根据()m x 定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.【详解】（1）()f x ，()g x 的图象如下图所示：（2）当0x ≤时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；当01x <<时，()211x x -<-+，则()()()21m x g x x ==-；当1≥x 时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；综上所述：()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩. ()m x 图象如下图所示：19．已知二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=，()01f =．（1）求()f x 的解析式．（2）求()f x 在[]1,1-上的最大值．【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）3．【分析】（1）设2()f x ax bx c =++，()0a ≠，代入求解(1)()2f x f x x +-=，化简求解系数．（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．【详解】（1）设()2f x ax bx c =++，()0a ≠，则 ()()()()()221112f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++-++=++， ∴由题1c =，22ax a b x ++=恒成立∴22a =，0a b +=，1c =得1a =，1b =-，1c =，∴()21f x x x =-+. （2）由（1）可得()2213124f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，且()13f -=，()11f = ∴()()max 13f x f =-=.20．用定义证明1()2f x x x=++在[1,)+∞上单调递增．【答案】证明见解析.【分析】利用定义法证明函数在某区间上的单调性，按步骤求解即可.【详解】证明：任取1x ，[)21x ∈+∞,，且12x x <.因为()()1212121122f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1212121x x x x x x --=. 又121x x ≤<，所以121x x >，120x x -<.有120x x >，()()121210x x x x --<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <. 所以函数1()2f x x x=++在[1,)+∞上单调递增. 21．若函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，2()24f x x x =-．（1）求函数()f x 的表达式，画出函数()f x 的图象；（2）若函数()f x 在区间[3,1]a -上单调递减，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2224,0()24,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩；作图见解析；（2）[3,4)．【分析】（1）根据题意，利用函数的奇偶性求出函数的解析式，作出函数的图象即可，（2）结合函数的图象可得关于a 的不等式，解可得a 的取值范围，即可得答案．【详解】解：（1）当0x <时，0x ->，2()24f x x x -=+．由()f x 是偶函数，得2()()24f x f x x x =-=+．所以2224,0()24,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩．函数()f x 的图象，如图．（2）由图象可知，函数()f x 的单调递减区间是(,1]-∞-和[0,1]．要使()f x 在[3,1]a -上单调递减，则031a ≤-<，解得34a ≤<，所以实数a 的取值范围是[3,4)．22．已知幂函数()24m m f x x -=（m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f <. （1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()4f x x =；（2）1(,)(3,)3-∞-+∞.【分析】（1）由()()23f f <，得到函数在区间(0,)+∞为单调递增函数，即240m m -<求解.（2）根据函数()4f x x =图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+∞为单调递增函数，将不等式()()212+<-f a f a ，转化为|2||12|a a +<-求解.【详解】（1）由题意，函数()24m m f x x -=（m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f <，所以在区间(0,)+∞为单调递增函数，所以240m m -<，解得04m <<，由m Z ∈，1,2,3m =。

高中数学章末质量检测四幂函数指数函数和对数函数湘教版必修第一册

章末质量检测(四) 幂函数、指数函数和对数函数考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知a>0，则a 14 ·a －34等于( ) A ．a －12B ．a －316C ．a 13 D ．a2．方程2x －1＋x ＝5的解所在的区间是( )A ．()0，1B ．()1，2C ．()2，3D ．()3，43．函数y ＝lg x ＋lg (5－3x)的定义域是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，53 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，534．设a ＝log 20.3，b ＝30.2，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a5．函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－1的单调递增区间为( )A ．(]－∞，0B ．[)0，＋∞C ．()－1，＋∞D ．()－∞，－16．函数f(x)＝e x ＋1|x|（e x－1）(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )7．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若2x＝52，lg 2＝0.301 0，则x 的值约为( )A ．1.322B ．1.410C ．1.507D ．1.6698．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0ln()x ＋1，x>0 ，若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．若函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 10．下列说法正确的是( ) A ．函数f ()x ＝1x在定义域上是减函数B ．函数f ()x ＝2x－x 2有且只有两个零点C ．函数y ＝2|x |的最小值是1D ．在同一坐标系中函数y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称11．已知函数f ()x ＝log a x ()a >0，a ≠1图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有( ) A ．函数为增函数 B ．函数为偶函数 C ．若x >1，则f (x )>0 D ．若0<x 1<x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.12．已知函数f (x )＝2x＋log 2x ，且实数a >b >c >0，满足f (a )f (b )f (c )<0，若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>aC ．x 0<bD ．x 0<c三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．) 13．若幂函数f (x )＝(m 2－m －1)22m mx+的图象不经过原点，则实数m 的值为________．14．已知3a＝5b＝A ，且b ＋a ＝2ab ，则A 的值是________．15．已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0].若函数g (x )＝ax ＋m－3的图象不经过第一象限，则m 的取值范围为________．16．已知函数f (x )＝3|x ＋a |(a ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，则实数a 的值为________；若f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)求下列各式的值： (1)31log 43＋2log 92－log 329(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋π0＋log 223－log 416918.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2(x ＋3)－2x 3＋4x 的图象在[－2，5]内是连续不断的，对应值表如下：(2)从上述对应填表中，可以发现函数f (x )在哪几个区间内有零点？说明理由．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)若函数f (x )在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之和为6，求实数a 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3，求3x ＋3－x的值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 4(4x－1). (1)求函数f (x )的定义域；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求f (x )的值域．21．(本小题满分12分)科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.(1)现有三个奖励函数模型：①f (x )＝0.03x ＋8，②f (x )＝0.8x＋200，③f (x )＝100log 20x ＋50，x ∈[3 000，9 000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求？(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.(1)若函数F (x )＝－3f (x )＋10－m 在区间(0，2)内存在零点，求实数m 的取值范围； (2)若函数f (x )＝g (x )＋h (x )，其中g (x )为奇函数，h (x )为偶函数，若x ∈(0，1]时，2ln h (x )－ln g (x )－t ≥0恒成立，求实数t 的取值范围．章末质量检测(四) 幂函数、指数函数和对数函数1．解析：a 14·a －34＝1344a -＝a －12.故选A. 答案：A2．解析：设f (x )＝2x －1＋x －5，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数y ＝2x －1与y ＝x 在R 上都是递增函数，所以f (x )在R 上单调递增，故函数f (x )＝2x －1＋x －5最多有一个零点，而f (2)＝22－1＋2－5＝－1<0，f (3)＝23－1＋3－5＝2>0，根据零点存在定理可知，f (x )＝2x －1＋x －5有一个零点，且该零点处在区间(2，3)内．故选C. 答案：C3．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥05－3x >0，解得1≤x <53，则函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53.故选C. 答案：C4．解析：a ＝log 20.3<log 21＝0，b ＝30.2>30＝1，c ＝0.30.2<0.30＝1，且0.30.2>0，∴b >c >a . 故选D. 答案：D5．解析：令t ＝x 2－1，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 为单调递减函数，且函数t ＝x 2－1在(]－∞，0上递减，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－1的单调递增区间为(]－∞，0.故选A. 答案：A6．解析：由题意，函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝e －x＋1|－x |（e －x －1）＝e x （e －x ＋1）|－x |（e －x －1）e x ＝e x＋1|x |（1－e x）＝－f (x )，即f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →＋∞时，e x＋1e x －1→1，1|x |→0，即x →＋∞时，e x＋1|x |（e x－1）→0，可排除D ，故选C. 答案：C7．解析：∵2x＝52，∴x ＝log 252＝lg 5－lg 2lg 2＝1－2lg 2lg 2＝1－2×0.301 00.301 0≈1.322.故选A. 答案：A8．解析：作出y ＝||f （x ）的图象如图，由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax ≤|f (x )|，则a ≤0，且ax ≤x 2－2x (x <0)，即a ≥x －2对任意x <0恒成立，所以a ≥－2，综上－2≤a ≤0.故选D. 答案：D9．解析：当α＝－1时，幂函数y ＝x －1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，A 不符合；当α＝1时，幂函数y ＝x ，符合题意；当α＝2时，幂函数y ＝x 2的定义域为R 且为偶函数，C 不符合题意；当α＝3时，幂函数y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，D 符合题意．故选BD.答案：BD10．解析：对于A ，f ()x ＝1x在定义域上不具有单调性，故命题错误；对于B ，函数f ()x ＝2x－x 2有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；对于C ，∵|x |≥0，∴2|x |≥20＝1，∴函数y ＝2|x |的最小值是1，故命题正确；对于D ，在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称，命题正确．故选CD.答案：CD11．解析：由题2＝log a 4，a ＝2，故f (x )＝log 2x . 对A ，函数为增函数正确．对B, f (x )＝log 2x 不为偶函数．对C ，当x >1时， f (x )＝log 2x >log 21＝0成立．对D ，因为f (x )＝log 2x 往上凸，故若0<x 1<x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立．故选ACD. 答案：ACD12．解析：易知函数f (x )＝2x＋log 2x 在(0，＋∞)为增函数，由f (a )f (b )f (c )<0, 则f (a )，f (b )，f (c )中为负数的个数为奇数，对于选项A ，B ，C 可能成立．故选ABC. 答案：ABC13．解析：由函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋2m 是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2；当m ＝－1时，f (x )＝x －1，图象不经过原点，满足题意；当m ＝2时，f (x )＝x 8，图象经过原点，不满足题意；所以m ＝－1. 答案：－114．解析：由 3a＝5b ＝A ，得a ＝log 3A ，b ＝log 5A . 当a ＝b ＝0时，A ＝1，满足条件．当ab ≠0时，由b ＋a ＝2ab ，即1a ＋1b＝2，将a ，b 代入得：1log 3A ＋1log 5A ＝2，即log A 3＋log A 5＝log A 15＝2，得A ＝15，所以A ＝15或1. 答案：15或115．解析：函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]. 当a >1时，f (x )＝log a (－x ＋1)单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝log a 3＝0，f （0）＝log a 1＝－1，无解；当0<a <1时，f (x )＝log a (－x ＋1)单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝log a 3＝－1，f （0）＝log a 1＝0，解得a ＝13.∵g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋m－3的图象不经过第一象限，∴g (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13m－3≤0，解得m ≥－1，即m 的取值范围是[－1，＋∞). 答案：[－1，＋∞)16．解析：(1)∵f (x )＝f (2－x )，取x ＝0得，f (0)＝f (2)， ∴3|a |＝3|2＋a |，即|a |＝|2＋a |，解得a ＝－1；(2)由(1)知f (x )＝3|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≥1，31－x ，x <1，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∵f (x )在[m ，＋∞)上单调递增， ∴m ≥1，m 的最小值为1. 答案：－1 117．解析：(1)原式＝14＋(log 32－log 329)＝14＋2＝94；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＋log 223－log 243 ＝49＋1＋log 212 ＝49. 18．解析：(1)由题意可知a ＝f (－2)＝log 2(－2＋3)－2·(－2)3＋4·(－2)＝0＋16－8＝8，b ＝f (1)＝log 24－2＋4＝4.(2)∵f (－2)·f (－1)<0，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0， ∴函数f (x )分别在区间(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内有零点．19．解析：(1)f (x )＝2x为R 上的增函数，则f (x )在区间[a ，2a ]上为增函数， ∴f (x )min ＝2a，f (x )max ＝22a，由22a ＋2a ＝6，得22a ＋2a －6＝0，即2a ＝－3(舍去)，或2a＝2，即a ＝1； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3，则21x ＝3，即1x ＝log 23＝lg 3lg 2＝1lg 2lg 3＝1log 32，则x ＝log 32， ∴3x ＋3－x＝3log 32＋3－log 32＝2＋12＝52.20．解析：(1)∵f (x )＝log 4(4x－1)， ∴4x－1>0解得x >0，故函数f (x )的定义域为(0，＋∞). (2)令t ＝4x－1，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴t ∈[1，15]， ∴y ＝log 4t ∈[0，log 415]， ∴f (x )∈[0，log 415]，即函数f (x )的值域为[0，log 415].21．解析：(1)由题意符合公司要求的函数f (x )在[3 000，9 000]为增函数，且对∀x ∈[3 000，9 000]，恒有f (x )≥100且f (x )≤x5.①对于函数f (x )＝0.03x ＋8，当x ＝3 000时，f (3 000)＝98＜100，不符合要求； ②对于函数f (x )＝0.8x＋200为减函数，不符合要求；③对于函数f (x )＝100log 20x ＋50在[3 000，10 000 ]，显然f (x )为增函数，且当x ＝3 000时，f (3 000)>100log 2020＋50≥100；又因为f (x )≤f (9 000)＝100log 209 000＋50<100log 20160 000＋50＝450；而x 5≥3 0005＝600，所以当x ∈[3 000，9 000]时，f (x )max ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5min . 所以f (x )≤x5恒成立；因此，f (x )＝100log 20x ＋50为满足条件的函数模型． (2)由100log 20x ＋50≥350得：log 20x ≥3，所以x ≥8 000，所以公司的投资收益至少要达到8 000万元．22．解析：(1)因为函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，所以a 12＝3，解得a ＝3，则f (x )＝3x，因为x ∈(0，2)，故1＜3x＜9，11 令t ＝3x ，则1＜t ＜9，函数F (x )＝－3f (x )＋10－m 在区间(0，2)内存在零点，即函数G (t )＝－3t ＋10－m 在区间(1，9)内有零点，所以G (1)·G (9)＜0，即(7－m )(－17－m )＜0，解得－17＜m ＜7，所以实数m 的取值范围为(－17，7)；(2)由题意可得，函数f (x )＝g (x )＋h (x )，其中g (x )为奇函数，h (x )为偶函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝g （x ）＋h （x ）＝3xf （－x ）＝g （－x ）＋h （－x ）＝3－x ，即⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋h （x ）＝3x －g （x ）＋h （x ）＝3－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＝3x －3－x 2h （x ）＝3x＋3－x 2，因为2ln h (x )－ln g (x )－t ≥0，所以t ≤ln h 2（x ）g （x ）＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－x 223x －3－x 2＝ln （3x －3－x ）2＋42（3x －3－x ），设a ＝3x －3－x ，因为0＜x ≤1，且a ＝3x －3－x 在R 上为单调递增函数，所以0＜a ≤83，所以t ≤ln a 2＋42a ＝ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋4a ，因为a ＋4a ≥2a ·4a ＝4，当且仅当a ＝4a ，即a ＝2时取等号，所以t ≤ln 2，故实数t 的取值范围为(－∞，ln 2].。

2020北师大版高中数学选修1-1 课时习题：章末检测(四)

章末检测(四)(时间90分钟满分100分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝ln xx ，0<a <b <e ，则有( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )·f (b )>1解析：∵f ′(x )＝1－ln xx 2>0(0<x <e)，∴f (x )在(0，e)上是增加的．答案：C2．设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图像可能是( )解析：y ′＝(x －a )(3x －2b －a )，由y ′＝0，得x ＝a 或x ＝a ＋2b3，∴当x ＝a 时，y 取极大值0，当x ＝a ＋2b3时，y 取极小值且极小值为负．故选C.答案：C3．如图是导函数y ＝f ′(x )的图像，则下列说法错误的是( )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：由题图，可知当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0.故函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)，函数y ＝f (x )在x ＝－1，x ＝5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 说法错误．答案：C4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090， x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：∵总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，90 090－100x －20 000，x >390，由P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D. 答案：D5．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：在(0，＋∞)上，f ′(x )＝12x ＋1x>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．故选A.答案：A6．已知函数f (x )＝13x 3－3x ，则函数f (x )在区间[－2,2]上取得最大值的点是( )A ．0B ．－2C ．2D ．－ 3解析：∵f ′(x )＝x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝±3，又f (－2)＝103，f (－3)＝23，f (3)＝－23，f (2)＝－103.∴f (x )在区间[－2,2]上的最大值为23，其对应点为－ 3. 答案：D7．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：由图像看，在图像与x 轴的交点处左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0的点才满足题意，这样的点只有一个B 点．答案：A8．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：令g (x )＝xf (x )，由f (x )<－xf ′(x )，得[xf (x )]′<0，即g ′(x )<0，∴函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴由f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)，得(x ＋1)f (x ＋1)>(x 2－1)f (x 2－1)，即g (x ＋1)>g (x 2－1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<x 2－1x ＋1>0x 2－1>0，解得x >2.故选D.答案：D9．设函数f (x )＝(x 3－1)2＋1，下列结论中正确的是( ) A ．x ＝1是函数的极小值点，x ＝0是极大值点 B ．x ＝1及x ＝0均是函数的极大值点 C ．x ＝1及x ＝0均是函数的极小值点 D ．x ＝1是函数的极小值点，函数无极大值点解析：f (x )＝(x 3－1)2＋1＝x 6－2x 3＋2， ∴f ′(x )＝6x 5－6x 2＝6x 2(x －1)(x 2＋x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.故x ＝0不是极值点，x ＝1是函数的极小值点．答案：D10．已知方程⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫x －π2x＝k 在(0，＋∞)上有两个不同的实数根a ，b (a <b )，则下列结论正确的是( )A ．sin a ＝a cos bB ．sin a ＝－a cos bC ．cos a ＝b sin bD ．sin b ＝－b sin a解析：∵方程⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫x －π2x＝k 有两个不同的实数根a ，b ，即方程|sin x |x＝k 有两个不同的实数根a ，b ，∴函数y ＝|sin x |的图像和直线y ＝kx 在(0，＋∞)上有两个不同的交点，作出两个函数的图像(如图)，函数y ＝|sin x |的图像和直线y ＝kx 在(0，π)上有一个交点A (a ，sin a )，在(π，2π)上有一个切点B (b ，－sin b )时满足题意．当x ∈(π，2π)时，y ＝f (x )＝|sin x |＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，∴在点B 处的切线为y ＋sin b ＝f ′(b )(x －b )，将x ＝0，y ＝0代入方程，得sin b ＝b cos b ，∴sin b b ＝cosB ．∵O ，A ，B 三点共线，∴sin a a ＝－sin b b ，∴sin aa ＝－cosb ，∴sin a ＝－a cosB ．选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．函数y ＝x 3－9x ，x ∈(0,9)的单调递增区间是________．解析：由y ′＝3x 2－9>0，得x <－ 3或x > 3，又x ∈(0,9)．∴函数y ＝x 3－9x 的单调递增区间为(3，9)．答案：(3，9)12．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.解析：f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2，因为函数f (x )在x ＝1处取得极值，则f ′(1)＝3－a4＝0，解得a ＝3. 答案：a ＝313．若函数f (x )＝x 3＋ax 在区间[1,2]上是递减的，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，令f ′(x )≤0，即3x 2＋a ≤0，即a ≤－3x 2，又x ∈[1,2]，故a ≤－12.当a ＝－12时，显然符合题意．所以实数a 的取值范围是a ≤－12.答案：(－∞，－12]14．随着人们生活水平的提高，汽车的拥有量越来越多，据有关统计数据显示，从上午6点到9点，车辆通过某一路段的用时y (min)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似表示为y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294，则在上午6点到9点这段时间内进入该路段时，通过该路段用时最多的时刻是__________．解析：由题意，知y ′＝－38t 2－32t ＋36，令y ′＝0，得3t 2＋12t －36×8＝0，∴t 1＝8，t 2＝－12(舍去)．当t ∈(6,8)时，y ′>0，当t ∈(8,9)时，y ′<0，∴当t ＝8时，y 取得最大值，∴通过该路段用时最多的时刻是上午8点．答案：上午8点三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R .若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式．解析：f ′(x )＝1－ax 2，由导数的几何意义得f ′(2)＝3，所以a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上，得－2＋b ＝7，解得b ＝9. 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.16．(10分)已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．解析：由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . 若f (x )在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上f ′(x )≥0. ∵f ′(x )的图像是开口向下的抛物线，∴当且仅当f ′(1)＝t －1≥0且f ′(－1)＝t －5≥0时， f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增函数．故t 的取值范围是[5，＋∞)．17．(12分)函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－x －m . (1)若函数F (x )＝f (x )－g (x )，求函数F (x )的极值；(2)若f (x )＋g (x )<x 2－(x －2)e x 在x ∈(0,3)上恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)F (x )＝ln x －x 2＋x ＋m ，定义域为(0，＋∞)，∴F ′(x )＝－(2x ＋1)(x －1)x ，当F ′(x )>0时，0<x <1；当F ′(x )<0时，x >1；当F ′(x )＝0时，x ＝1.当x 变化时，F ′(x )，F (x )的变化情况如下表：故F (x )极大值＝F (1)＝m ，没有极小值．(2)∵f (x )＋g (x )<x 2－(x －2)e x 在x ∈(0,3)上恒成立， ∴m >(x －2)e x ＋ln x －x 在x ∈(0,3)上恒成立．设h (x )＝(x －2)e x ＋ln x －x ，则h ′(x )＝(x －1)⎝⎛⎭⎫e x －1x ，当x >1时，x －1>0，且e x >e ，1x <1，∴e x －1x >0，∴h ′(x )>0.当0<x <1时，x －1<0，设u (x )＝e x －1x (x >0)，则u ′(x )＝e x ＋1x2>0，∴u (x )在(0,1)上单调递增，当x →0时，1x →＋∞，∴u (x )<0，当x ＝1时，u (x )＝e －1>0，∴存在x 0∈(0,1)，使得u (x 0)＝e x 0－1x 0＝0，即e x 0＝1x 0.∴当x ∈(0，x 0)时，u (x )<0；当x ∈(x 0,1)时，u (x )>0. ∴当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )>0；当x ∈(x 0,1)时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增． h (x 0)＝(x 0－2)e x 0＋ln x 0－x 0＝(x 0－2)·1x 0－2x 0＝1－2x 0－2x 0，∵x 0∈(0,1)，∴－2x 0<－2，∴h (x 0)＝1－2x 0－2x 0<－1－2x 0<－1，而h (3)＝e 3＋ln 3－3>0，∴当x ∈(0,3)时，h (x )<h (3)，∴m ≥h (3)，即m ∈[e 3＋ln 3－3，＋∞)．18．(12分)甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系x ＝2 000t ，若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S 元(以下称S 为赔付价格)：(1)将乙方的利润W (元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； (2)甲方每年将受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S 是多少？解析：(1)因为赔付价格为S 元/吨，所以乙方的实际年利润： W ＝2 000t －St (t >0)，因为W ′＝1 000t －S ＝1 000－S t t ，令W ′＝0，得t 0＝(1 000S )2，当t <t 0时，W ′>0，当t >t 0时，W ′<0，所以当t ＝t 0时，W 取得最大值，因此，乙方取得最大年利润的年产量t 0＝(1 000S )2(吨)．(2)设甲方净收入为V 元，则V ＝St －0.002t 2，把t ＝(1 000S )2代入上式，得甲方净收入V与赔付价格S 之间的函数关系为V ＝1 0002S －2×1 0003S 4，又因为V ′＝－1 0002S 2＋8×1 0003S 5＝1 0002(8 000－S 3)S 5，令V ′＝0，得S ＝20.当S <20时，V ′>0，当S >20时，V ′<0，所以当S ＝20时，V 取得最大值．因此，甲方向乙方要求的赔付价格S ＝20元/吨时，获得最大净收入．。

三角函数-章末检测(基础过关练)-2022-2023学年高一数学课后培优分级练(原卷版)

章末检测－三角函数一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若角α的终边经过点()1,3P -，则tan a 的值为（）A ．13-B ．3-C ．10D 2．已知扇形的圆心角为34π，半径为4，则扇形的面积S 为（） A ．3π B ．4π C ．6π D ．2π3．若3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．45- B ．35 C ．35 D ．454．要得到函数3sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，需（） A ．将函数3sin 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B ．将函数3sin 10y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变） C ．将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移5π个单位． D ．将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移10π个单位5．函数y ＝sin 522x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一个对称中心是( ) A ．,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭6．若sin cos 1sin cos 3αααα+=-，则tan α等于（） A ．2- B ．34 C ．43- D ．27．已知sin cos αα+=ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos sin αα-=（）A ．BCD ．8．把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（） A ．5π6 B ．2π3 C ．5π12 D ．π6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是（）A ．76π-是第三象限角B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为32πC ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则角2α为钝角10．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的振幅为2B ．2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心 C ．()f x 向右平移6π单位后得到的函数为奇函数 D ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]-11．已知π1sin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A ．π3cos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．π1cos 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．5π1sin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D ．5π1cos 42α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭12．已知sin sin αβ>，那么下列命题正确的是（）A ．若角α、β是第一象限角，则cos cos αβ>B ．若角α、β是第二象限角，则tan tan βα>C ．若角α、β是第三象限角，则cos cos βα>D ．若角α、β是第四象限角，则tan tan αβ>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13=，则α的终边所在的象限为______．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.15．将函数y=π3sin24x⎛⎫+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.16．函数2()cos sin1f x x x=++在7,46ππ⎛⎤⎥⎝⎦上的值域是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．请完成下列小题:（1）若15tan8α=-，求sinα，cosα的值；（2）化简：3sin()cos()tan()22tan()sin()ππααπαπαπα-++-+-.18．已知23cos+4sin cos4ααα=．(1)求tanα的值；(2)求sin2cos2sin cosαααα-+的值．19．已知函数π2sin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)试用“五点法”画出它的图象；列表：1π26x +xy作图：(2)求它的振幅、周期和初相.20．已知函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）写出f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．21．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角AOB ∠为23π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；（2）已知如图该扇形圆心角AOB ∠是α，半径为r ，若该扇形周长是一定值()0c c >当α为多少弧度时，该扇形面积最大？22．已知函数()πsin()0,0,2f x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心坐标：(2)先把()f x 的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，若当ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()210g x a +-=有实数根，求实数a 的取值范围.。

高一数学必修一集合与函数章末检测题附答案解析人教版

必修一第一章集合与函数概念章末检测题一、单选题1．已知全集U ＝{0，1，2}且U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( )． A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．设集合A ＝{x |1＜x ≤2}，B ＝{ x |x ＜a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( )． A ．{a |a ≥1} B ．{a |a ≤1} C ．{a |a ≥2} D ．{a |a ＞2} 3．A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且AB A =，则m 的取值集合是( )．A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－，31B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－，31－，0C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－，31 ，0 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ，31 4．设I 为全集，集合M ，N ，P 都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为( )． A ．M ∩(N ∪P )B ．M ∩(P ∩I N )C ．P ∩(I N ∩I M )D ．(M ∩N )∪(M ∩P )5．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧1＝2－3－，x y y x |)(， P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，那么U (M ∪P )等于( )．A ．∅B ．{(2，3)}C ．(2，3)D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1}6．下列四组中的f (x )，g (x )，表示同一个函数的是( )．A ．f (x )＝1，g (x )＝x 0B ．f (x )＝x －1，g (x )＝xx 2－1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )4D ．f (x )＝x 3，g (x )＝39x7．函数f (x )＝x1－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 8．函数f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域是( )．A ．(0，1)B ．(0，1]C ．[0，1)D ．[0，1]9．已知f (x )在R 上是奇函数，f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )． A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．9810．定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f (x )为增函数；偶函数g (x )在区间[0，＋∞)的图(第4题)PN象与f (x )的图象重合．设a ＞b ＞0，给出下列不等式：①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )；②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； ③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )；④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a ). 其中成立的是( )．A ．①与④B ．②与③C ．①与③D ．②与④ 二、填空题11．函数x x y +-=1的定义域是．12．若f (x )＝ax ＋b (a ＞0)，且f (f (x ))＝4x ＋1，则f (3)＝．13．已知函数f (x )＝ax ＋2a －1在区间[0，1]上的值恒正，则实数a 的取值范围是．14．已知I ＝{不大于15的正奇数}，集合M ∩N ＝{5，15}，(I M )∩(I N )＝{3，13}，M ∩(I N )＝{1，7}，则M ＝，N ＝．15．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是_________．16．设f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x 3)，那么当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝．三、解答题17．已知A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{ x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，且∅(A ∩B )，A ∩C ＝∅，求a 的值．18．设A 是实数集，满足若a ∈A ，则a－11∈A ，a ≠1且1A ∉．(1)若2∈A ，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素． (2)A 能否为单元素集合？请说明理由． (3)若a ∈A ，证明：1－a1∈A ．19．求函数f (x )＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上的最小值．20．已知定义域为R 的函数f (x )＝ab－x x ＋2＋21＋是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．参考答案一、选择题1．A解析：条件U A＝{2}决定了集合A＝{0，1}，所以A的真子集有∅，{0}，{1}，故正确选项为A．2．D解析：在数轴上画出集合A，B的示意图，极易否定A，B．当a＝2时，2∉B，故不满足条件A⊆B，所以，正确选项为D．3．C解析：据条件A∪B＝A，得B⊆A，而A＝{－3，2}，所以B只可能是集合∅，{－3}，{2}，所以，m的取值集合是C．4．B解析：阴影部分在集合N外，可否A，D，阴影部分在集合M内，可否C，所以，正确选项为B．5．B解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P是坐标平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合，那么M P就是坐标平面上除去点(2，3)外的所有点组成的集合．由此U(M P)就是点(2，3)的集合，即U(M P)＝{(2，3)}．故正确选项为B．6．D解析：判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同，选项A，B，C中，两函数的定义域不同，正确选项为D．7．C解析：函数f(x)显然是奇函数，所以不难确定正确选项为C．取特殊值不难否定其它选项．如取x＝1，－1，函数值不等，故否A；点(1，0)在函数图象上，而点(0，1)不在图象上，否选项D，点(0，－1)也不在图象上，否选项B．8．B解析：当x＝0时，分母最小，函数值最大为1，所以否定选项A，C；当x的绝对值取值越大时，函数值越小，但永远大于0，所以否定选项D．故正确选项为B．9．A解析：利用条件f (x ＋4)＝f (x )可得，f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)，再根据f (x )在R 上是奇函数得，f (7)＝－f (1)＝－2×12＝－2，故正确选项为A ．10．C解析：由为奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称，函数f (x )，g (x )在区间[0，＋∞)上图象重合且均为增函数，据此我们可以勾画两函数的草图，进而显见①与③正确．故正确选项为C ．二、填空题11．参考答案：{x | x ≥1}．解析：由x －1≥0且x ≥0，得函数定义域是{x |x ≥1}． 12．参考答案：319．解析：由f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋1，所以a 2＝4，ab ＋b ＝1(a ＞0)，解得a ＝2，b ＝31，所以f (x )＝2x ＋31，于是f (3)＝319．13．参考答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛ 21，．解析：a ＝0时不满足条件，所以a ≠0． (1)当a ＞0时，只需f (0)＝2a －1＞0； (2)当a ＜0时，只需f (1)＝3a －1＞0．综上得实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛ 21，． 14．参考答案：{1，5，7，15}，{5，9，11，15}．解析：根据条件I ＝{1，3，5，7，9，11，13，15}，M ∩N ＝{5，15}，M ∩(I N )＝{1，7}，得集合M ＝{1，5，7，15}，再根据条件(I M )∩(I N )＝{3，13}，得N ＝{5，9，11，15}．15．参考答案：(2，4]．解析：据题意得－2≤m ＋1＜2m －1≤7，转化为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧7 ≤1－21－2＜1＋2－ ≥1＋m m m m ，解得m 的取值范围是(2，4]．16．参考答案：x (1－x 3)．解析：∵任取x ∈(－∞，0]，有－x ∈[0，＋∞)，＋∞ ＋∞∴ f (－x )＝－x ［1＋(－x )3］＝－x (1－x 3)， ∵ f (x )是奇函数，∴ f (－x )＝－f (x )． ∴ f (x )＝－f (－x )＝x (1－x 3)，即当x ∈(－∞，0]时，f (x )的表达式为f (x )＝x (1－x 3)．三、解答题17．参考答案：∵B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}， C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4，2}， ∴由A ∩C ＝∅知，4A -∉，2∉A ；由∅(A ∩B )知，3∈A ．∴32－3a ＋a 2－19＝0，解得a ＝5或a ＝－2．当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝B ，与A ∩C ＝∅矛盾．当a ＝－2时，经检验，符合题意． 18．参考答案：(1)∵ 2∈A ，∴a －11＝2－11＝－1∈A ； ∴a －11＝1＋11＝21∈A ；∴a －11＝21－11＝2∈A ．因此，A 中至少还有两个元素：－1和21． (2)如果A 为单元素集合，则a ＝a－11，整理得a 2－a ＋1＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集．(3)证明： a ∈A ⇒a －11∈A ⇒ a1－1－11∈A ⇒1＋－1－1a a ∈A ，即1－a 1∈A ．19．参考答案： f (x )＝222⎪⎭⎫ ⎝⎛a x －＋3－22a ．(1)当2a＜－1，即a ＜－2时，f (x )的最小值为f (－1)＝5＋2a ； (2)当－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2时，f (x )的最小值为⎪⎭⎫⎝⎛2a f ＝3－22a ；。

人教A版必修第一册第三章《函数的概念与性质》章末测试Word版含解析

第三章函数的概念与性质章末检测一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、(2022·宿州月考)函数y ＝1－x2x 2－3x －2 的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12C ．(－∞，2]D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 ∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12、(2022·怀宁期中)已知函数f (2x －1)＝x 2－3，则f (3)＝( )A ．1B ．2C ．4D ．63、在下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )A ．y ＝xB ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋14、已知函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数( )A ．是增函数B ．不是单调函数C ．是减函数D ．不能确定5、(2022·浙江模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则( )A ．b <a ＋c ，c 2<abB ．b <a ＋c ，c 2>abC ．b >a ＋c ，c 2<abD ．b >a ＋c ，c 2>ab6、已知函数f (x )＝x 2＋(k －2)x 在[1，＋∞)上是增函数，则k 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)7、已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( D )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c8、(2022·湖北月考)已知定义在R 上的奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，若f (－2)＝1，则满足|f (2x )|≤1的x 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9、下列各组函数是同一函数的为( )A.f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1B.f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C.f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0D.f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x10、已知函数y ＝x α(α∈R )的图象过点(3,27)，下列说法正确的是( )A ．函数y ＝x α的图象过原点B ．函数y ＝x α是奇函数C ．函数y ＝x α是单调减函数D ．函数y ＝x α的值域为R11、已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝f (－x )C ．y ＝xf (x )D ．y ＝f (x )＋x12、(2022·北京模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2＋1，－1<x <2，关于函数f (x )的结论正确的是( )A ．f (x )的定义域是RB ．f (x )的值域是(－∞，5)C ．若f (x )＝3，则x 的值为 2D ．f (x )图象与y ＝2有两个交点三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥0，4x ，x <0，若f (a )＝2，则实数a ＝___________．14、(2022·广东模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2－x －1，则当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝________．15、若函数f (2x －1)定义域为[0,1]，则y ＝f (2x ＋1)的定义域是________． 16、定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17、已知函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋5，x ≤0，x ＋5，0＜x ≤1，－2x ＋8，x ＞1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π，f (－1)的值；(2)画出这个函数的图象； (3)求f (x )的最大值.18、设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ．(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．19、已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c 的取值范围．20、(2022·柳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x>0时，f(x)>－1．(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．21、“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.(1)当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.22、已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有f（a）＋f（b）a＋b＞0成立.(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.第三章函数的概念与性质章末检测（答案）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、(2022·宿州月考)函数y ＝1－x2x 2－3x －2 的定义域为( D )A ．(－∞，1]B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12C ．(－∞，2]D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 ∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12、(2022·怀宁期中)已知函数f (2x －1)＝x 2－3，则f (3)＝( A )A ．1B ．2C ．4D ．63、在下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( B )A ．y ＝xB ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋14、已知函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数( )A ．是增函数B ．不是单调函数C ．是减函数D ．不能确定解析：A 因为函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，所以函数图象关于y 轴对称，即mm －1＝0，解得m ＝0．所以f (x )＝－x 2＋3为开口向下的抛物线，所以在(－∞，0)上此函数单调递增．故选A ．5、(2022·浙江模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则( )A ．b <a ＋c ，c 2<abB ．b <a ＋c ，c 2>abC ．b >a ＋c ，c 2<abD ．b >a ＋c ，c 2>ab解析：D 由题图知，a >0，b >0，c <0，f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，f (－1)＝a －b ＋c <0，所以c ＝－(a ＋b )，b >a ＋c ，所以c 2－ab ＝[－(a ＋b )]2－ab ＝a 2＋b 2＋ab >0，即c 2>ab ．故选D ．6、已知函数f (x )＝x 2＋(k －2)x 在[1，＋∞)上是增函数，则k 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：B 函数f (x )＝x 2＋(k －2)x 的对称轴为x ＝－k －22，且开口向上，因为f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以－k －22≤1，解得k ≥0．故选B ． 7、已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( D )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c解析：由已知得f (x )在(1，＋∞)上单调递减，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，∵e>52>2，∴f (e)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (2)，即c <a <b .故选D ．8、(2022·湖北月考)已知定义在R 上的奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，若f (－2)＝1，则满足|f (2x )|≤1的x 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：A 根据奇函数的性质，得f (x )在R 上单调递减，且f (2)＝－1．由|f (2x )|≤1，得－1≤f (2x )≤1，即f (2)≤f (2x )≤f (－2)，所以2≥2x ≥－2，解得－1≤x ≤1，故选A ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9、下列各组函数是同一函数的为( AC )A.f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1B.f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C.f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0D.f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x10、已知函数y ＝x α(α∈R )的图象过点(3,27)，下列说法正确的是( )A ．函数y ＝x α的图象过原点B ．函数y ＝x α是奇函数C ．函数y ＝x α是单调减函数D ．函数y ＝x α的值域为R解析：ABD 因为函数y ＝x α(α∈R )的图象过点(3,27)，所以27＝3α，即α＝3，所以f (x )＝x 3，A 项，因为f (0)＝0，所以函数y ＝x 3的图象过原点，因此本说法正确；B 项，因为f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，所以函数y ＝x 3是奇函数，因此本说法正确；C 项，因为y ＝x 3是实数集上的单调递增函数，所以本说法不正确；D 项，因为y ＝x 3的值域是全体实数集，所以本说法正确．故选A 、B 、D ． 11、已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝f (－x )C ．y ＝xf (x )D ．y ＝f (x )＋x解析：BD 由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证，A 项，f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；B 项，f [－(－x)]＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数；C 项，－xf (－x )＝－x ·[－f(x)]＝xf (x )，为偶函数；D 项，f (－x )＋(－x )＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知B 、D 正确．12、(2022·北京模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2＋1，－1<x <2，关于函数f (x )的结论正确的是( )A ．f (x )的定义域是RB ．f (x )的值域是(－∞，5)C ．若f (x )＝3，则x 的值为 2D ．f (x )图象与y ＝2有两个交点解析：BC 由函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2＋1，－1<x <2知，定义域为(－∞，－1]∪(－1,2)，即(－∞，2)，A 错误；x ≤－1时，f (x )＝x ＋2∈(－∞，1]，－1<x <2时，x 2∈(0,4)，故f (x )＝x 2＋1∈(1,5)，故值域为(－∞，5)，B 正确；由分段函数的取值可知f (x )＝3时x ∈(－1,2)，即f (x )＝x 2＋1＝3，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)，故C 正确；由分段函数的取值可知f (x )＝2时x ∈(－1,2)，即f (x )＝x 2＋1＝2，解得x ＝1或x ＝－1(舍去)，故f (x )图象与y ＝2有1个交点，故D 错误．故选B 、C ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥0，4x ，x <0，若f (a )＝2，则实数a ＝___________．解析：当a ≥0时，f (a )＝a ＋1＝2，解得a ＝1，符合条件．当a <0时，f (a )＝4a ＝2，解得a ＝12，不符合条件，所以实数a ＝1．14、(2022·广东模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2－x －1，则当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝________．解析：函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2－x －1，则当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1，故f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＋1．答案：－x 2－x ＋115、若函数f (2x －1)定义域为[0,1]，则y ＝f (2x ＋1)的定义域为________．解析：∵y ＝f (2x －1)定义域为[0,1]．∴－1≤2x －1≤1，要使y ＝f (2x ＋1)有意义应满足－1≤2x ＋1≤1，解得－1≤x ≤0，因此y ＝f (2x ＋1)定义域为[－1,0]．16、定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是__(0,2)______．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17、已知函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋5，x ≤0，x ＋5，0＜x ≤1，－2x ＋8，x ＞1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π，f (－1)的值；(2)画出这个函数的图象； (3)求f (x )的最大值.解：(1)∵32＞1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2×32＋8＝5.∵0＜1π＜1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π＝1π＋5＝5π＋1π.∵－1＜0，∴f (－1)＝－3＋5＝2. (2)这个函数的图象如图.在函数f (x )＝3x ＋5的图象上截取x ≤0的部分，在函数f (x )＝x ＋5的图象上截取0＜x ≤1的部分，在函数f (x )＝－2x ＋8的图象上截取x ＞1的部分. 图中实线组成的图形就是函数f (x )的图象. (3)由函数图象可知，当x ＝1时，f (x )取最大值6.18、设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ．(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，又f (x )为奇函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4． (2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，设f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4． 19、已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝f (x )＋2x ＋c ，若g (x )>2对任意的x ∈R 恒成立，求实数c 的取值范围．解：(1)∵f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3．又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2．当m ＝0或2时，f (x )＝x 3，不是偶函数；当m ＝1时，f (x )＝x 4，是偶函数．故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 4．(2)由(1)知f (x )＝x 4，则g (x )＝x 2＋2x ＋c ＝(x ＋1)2＋c －1．由g (x )>2对任意的x ∈R 恒成立，得g (x )min >2(x ∈R )．∵g (x )min ＝g (－1)＝c －1，∴c －1>2，解得c >3．故实数c 的取值范围是(3，＋∞)．20、(2022·柳州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1；②当x >0时，f (x )>－1．(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数；(2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4．解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1．在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1．又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋1>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上是单调增函数．(2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5．由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4，得f (x 2＋2x )＋f (1－x )＋1>5，即f (x 2＋x ＋1)>f (3)，又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3，解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．21、“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数.当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4＜x ≤20时，v 是x 的一次函数；当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年.(1)当0＜x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.解 (1)由题意得当0＜x ≤4时，v ＝2；当4＜x ≤20时，设v ＝ax ＋b ，显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数，由已知得⎩⎨⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52，故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0＜x ≤4，－18x ＋52，4＜x ≤20. (2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0＜x ≤4，－18x 2＋52x ，4＜x ≤20，当0＜x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4＜x≤20时，f(x)＝－18x2＋52x＝－18(x2－20x)＝－18(x－10)2＋252，f(x)max＝f(10)＝12.5.所以当x＝10时，f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.22、已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有f（a）＋f（b）a＋b＞0成立.(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围. 解(1)f(x)在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，则－x2∈[－1，1].∵f(x)为奇函数，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f（x1）＋f（－x2）x1＋（－x2）·(x1－x2).由已知条件得f（x1）＋f（－x2）x1＋（－x2）＞0.又x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).∴f(x)在区间[－1，1]上单调递增.(2)∵f(1)＝1，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，∴在区间[－1，1]上，f(x)≤1.∵f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，∴m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立.设g(a)＝－2ma＋m2.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须有g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.综上所述，实数m的取值范围是{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}.。

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章末检测卷(四)(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)1.3－27等于( ) A.3 B.－3 C.±3D.－27解析 3－27＝3（－3）3＝－3.答案 B2.若a －1＋3a －2有意义，则a 的取值范围是( ) A.a ≥0 B.a ≥1 C.a ≥2D.a ∈R解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥0，a －2∈R ，∴a ≥1.答案 B3.方程2log 3x ＝14的解是( ) A.x ＝19 B.x ＝33 C.x ＝ 3D.x ＝9 解析 ∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.答案 A4.化简416x 8y 4(x <0，y <0)为( ) A.2x 2y B.2xy C.4x 2yD.－2x 2y解析416x 8y 4＝|2x 2y |＝－2x 2y .答案 D5.lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝( ) A.lg 2 B.lg 3 C.lg 4D.lg 5解析原式＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516×3281－lg 2581＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516×3281×8125＝lg 2.答案 A6.若a >0，a 23＝49，则log 23a ＝( )A.2B.3C.4D.5解析因为a 23＝49，a >0，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4932＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，设log 23a ＝x ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＝a .所以x ＝3. 答案 B7.计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫169－12＋3log 314－lg 5＋（lg 2）2－lg 4＋1，其结果是( )A.－1B.1C.－3D.3解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋14－lg 5＋（lg 2－1）2＝34＋14－lg 5＋1－lg 2＝1.答案 B8.设a ＝log 36，b ＝log 520，则log 215＝( ) A.a ＋b －3（a －1）（b －1）B.a ＋b －2（a －1）（b －1）C.a ＋2b －3（a －1）（b －1）D.2a ＋b －3（a －1）（b －1）解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 520＝1＋log 54＝1＋2log 52， ∴log 23＝1a －1，log 25＝2b －1，∴log 215＝log 23＋log 25＝1a －1＋2b －1＝2a ＋b －3（a －1）（b －1）.答案 D二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)9.下列说法不正确的为( ) A.na n ＝aB.若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1C.3x 4＋y 3＝x 43＋yD.3－5＝6（－5）2解析 A 中，n 为偶数时，不一定成立，故错误.B 中，a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴(a 2－a ＋1)0＝1，正确.C 错误.D 中，左侧为负，右侧为正，不相等. 答案 ACD10.下列运算错误的是( ) A.2log 1510＋log 150.25＝2B.log 427·log 258·log 95＝89 C.lg 2＋lg 50＝10 D.log (2＋3)(2－3)－(log 22)2＝－54解析 A 中，原式＝log 15102＋log 150.25＝log 1525＝－2，故A 错误.B 中，原式＝lg 27lg 4·lg 8lg 25·lg 5lg 9＝3lg 32lg 2×3lg 22lg 5×lg 52lg 3＝98，故B 错误. C 中，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2.故C 错误.D 中，原式＝log (2＋3)12＋3－⎝⎛⎭⎪⎫12log 222＝－1－14＝－54. 答案 ABC11.若ab >0，则下列等式中不正确的是( ) A.lg(ab )＝lg a ＋lg b B.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＝lg a －lg bC.12lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a bD.lg(ab )＝1log （ab ）10解析 A ，B 成立的条件是a >0，b >0.D 成立的前提是ab ≠1.C 成立. 答案 ABD12.已知a >0，且a ≠1，下列说法不正确的是( ) A.若M ＝N ，则log a M ＝log a N B.若log a M ＝log a N ，则M ＝N C.若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N D.若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2解析 A 中，当M ＝N <0时无意义；B 正确；C 中可得M 2＝N 2，可能M ＝－N ；D 中，当M ＝N ＝0时，不成立. 答案 ACD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13.(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. 解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝54. 答案 5414.已知2x ＝10，则x －log 25＝________.解析 x ＝log 210，∴x －log 25＝log 2105＝1. 答案 115.[(－5)4]14＝________，log 43·log98＝________(本题第一空2分，第二空3分).解析 [(－5)4]14＝5，log 43·log 98＝lg 3lg 4·lg 8lg 9＝lg 32lg 2·32lg 2lg 3＝34.答案 5 3416.a 3b 23ab 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 14b 124a －13b 13＝________(a >0，b >0).解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3b 2a 13b 2312ab 2·a －13·b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab－1＝a b . 答案 ab四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)将下列根式化为分数指数幂的形式：(1)3a a (a >0)；(2)13x （5x 2）2；(3)(4b －23)－23(b >0).解 (1)原式＝3a ·a 12＝3a 32＝3a 34＝a 14. (2)原式＝13x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 252＝13x ·x 45＝13x 95＝1（x 95）13＝1x 35＝x －35.(3)原式＝[(b －23)14]－23＝b －23×14×(－23)＝b 19.18.(本小题满分12分)(1)求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2＋[(－5)4]14；(2)已知a 12＋a －12＝3，求a 32＋a －32的值.解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋5＝32－1－49＋49＋5＝112. (2)由a 12＋a －12＝3，得a ＋a －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122－2＝7，故a 32＋a －32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 123＋(a －12)3＝(a 12＋a －12)(a －1＋a－1)＝3×(7－1)＝18.19.(本小题满分12分)计算下列各式的值： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 34273 ·log 5[412log210－(33)23－7log72].解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1.(2)原式＝log 33343·log 5[2log 210－(332)23－7log 72] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1·log 55＝－14. 20.(本小题满分12分)计算： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 25－lg 14÷10012； (2)(log 43)×lg 2lg 9；(3)log 2.56.25＋lg 0.01＋ln e －21＋log23.解 (1)原式＝lg （25×4）10＝lg 10010＝210＝15.(2)原式＝lg 3lg 4×lg 2lg 9＝lg 3lg 22×lg 2lg 32＝lg 32lg 2×lg 22lg 3＝14.(3)原式＝log 2.52.52＋lg 10－2＋12ln e －2×2log 23＝2＋(－2)＋12－6＝－112. 21.(本小题满分12分)计算： (1)12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫350＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0.5＋4（2－e ）4；(2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50×(lg 2＋lg 5)2. 解 (1)原式＝2＋1－1＋23＋e －2＝23＋e.(2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－12lg 26＋50×(lg 10)2＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52.22.(本小题满分12分)若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值.解原方程可变形为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ，则方程变形为2t 2－4t ＋1＝0，设t 1，t 2是方程2t 2－4t ＋1＝0的两个实根，则t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，不妨令t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，则lg a ＋lg b ＝2， lg a ·lg b ＝12， ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )·（lg b ）2＋（lg a ）2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·（lg a ＋lg b ）2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12.。