七级数学第二学期第五章三角形拔高练习(二复习过程

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人教版数学七年级下册第5--7章知识点总结复习题 (共36张PPT)

根）．
这就是说，如果x 2 = a ，那么 x 就叫做 a 的平方根．a的平方根记为± a
3.平方根的性质：正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0；负数没有平方根。
4.立方根的定义：
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，也叫做a的
三次方根．记作 3 a.
其中a是被开方数，３是根指数，符号 3 “ ”读做“三次根号”．
自然数
一般有三种情况
2、“ ”，“3 ”开不尽的数
(3)、类似于0.0100100010 0001
一、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。（）
2.无限小数都是无理数。
（）
3.无理数都是无限小数。
（）
4.带根号的数Βιβλιοθήκη 是无理数。（）5.两个无理数之和一定是无理数。（）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（）
实数
1.算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于
a,即 x2 =a,那么这个正数x叫做a的
算术平方根。a的算术平方根记为 a ，读作“根号a”，a叫做被开方数。
特殊：0的算术平方根是0。
记作：0 0
2. 平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方
5.立方根的性质：
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零。
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a 的取值
正数
性
0
质

北师大版七下《三角形》拔高试题

北师大版七下《三角形》拔高试题一．选择题（共8小题）1．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、4或3、4去均可3．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A．4 B．5 C．1 D．25如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．下列判断正确的有（）①△ABE≌△DCE；②BE=EC；③BE⊥EC；④EC=DE．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C；②∠B=∠D；③AE=CE；④BE=DE；⑤AD=CB．其中符合要求有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③8．若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形D．以上都不对二．填空题（共5小题）9．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为．10．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积．11．在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是．12．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为度．13．如图，某村有一块三角形的空地（即△ABC），其中A点处靠近水源，现村长准备将它分给甲、乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有1人，乙农户有3人，请你把它分出来．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．．三．解答题（共11小题）14．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；15．已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．16．问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F 分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由.17．将两块大小不一的透明的等腰直角三角板ABC和DCE如图所示摆放，直角顶点C重合，三角板DCE的一个顶点D在三角板ABC的斜边BA的延长线上，连结BE．（1）求证：BE=AD；（2）求证：BE⊥AD．18．如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）求∠AEO的度数．19．（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？20．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．21．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD 是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据全等三角形的判定分别求出以BC为公共边的三角形，以AB为公共边的三角形，以AC为公共边的三角形的个数，相加即可．【解答】解：以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，共3+0+1=4个，故选D．【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键．2．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2或2、3去就可以了C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、4或2、4或3、4去均可【分析】②④虽没有原三角形完整的边，又没有角，但延长可得出原三角形的形状；带①、④可以用“角边角”确定三角形；带③、④也可以用“角边角”确定三角形．【解答】解：带③、④可以用“角边角”确定三角形，带①、④可以用“角边角”确定三角形，带②④可以延长还原出原三角形，故选D．【点评】本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件．3．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD 的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（）A．B．C．D．【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A1=α．同理理可得∠A2=∠A1=α则∠A2013=．故选D．【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．4．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A．4 B．5 C．1 D．2【分析】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS得到三角形AEH与三角形EBC 全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=EC，由EC﹣EH，即AE﹣EH即可求出HC的长．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEH=90°，∵∠AHE=∠CHD，∴∠BAD=∠BCE，∵在△HEA和△BEC中，，∴△HEA≌△BEC（AAS），∴AE=EC=4，则CH=EC﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1．故选C【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．5．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．下列判断正确的有（）①△ABE≌△DCE；②BE=EC；③BE⊥EC；④EC=DE．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据AC=2AB，点D是AC的中点求出AB=CD，再根据△ADE是等腰直角三角形求出AE=DE，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCE全等，从而判断出①小题正确；根据全等三角形对应边相等可得BE=EC，从而判断出②小题正确；根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠DEC，然后推出∠BEC=∠AED，从而判断出③小题正确；根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍，用DE表示出AD，然后得到AB、AC，再根据勾股定理用DE与EC表示出BC，整理即可得解，从而判断出④小题正确．【解答】解：∵AC=2AB，点D是AC的中点，∴CD=AC=AB，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE，∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°﹣45°=135°，∴∠BAE=∠CDE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），故①小题正确；∴BE=EC，∠AEB=∠DEC，故②小题正确；∵∠AEB+∠BED=90°，∴∠DEC+∠BED=90°，∴BE⊥EC，故③小题正确；∵△ADE是等腰直角三角形，∴AD=DE，∵AC=2AB，点D是AC的中点，∴AB=DE，AC=2DE，在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=（DE）2+（2DE）2=10DE2，∵BE=EC，BE⊥EC，∴BC2=BE2+EC2=2EC2，∴2EC2=10DE2，解得EC=DE，故④小题正确，综上所述，判断正确的有①②③④共4个．故选D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确识图，根据△ADE是等腰直角三角形推出AE=DE，∠BAE=∠CDE=135°是解题的关键，也是解决本题的突破口．6．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C；②∠B=∠D；③AE=CE；④BE=DE；⑤AD=CB．其中符合要求有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．【解答】解：延长DA、BC使它们相交于点F．∵∠DAB=∠BCD，∠AED=∠BEC，∴∠B=∠D，又∵∠F=∠F，AB=CD，∴△FAB≌△FCD∴AF=FC，FD=FB，∴AD=BC∴△ADE≌△CBE①对同理可得②对∵AE=CE，AB=CD∴DE=BE又∵∠AED=∠BEC∴△ADE≌△CBE（SAS）③对同理可得④对连接BD，∵AD=CB，AB=CD，BD=BD，∴△ADB≌△CBD，∴∠A=∠C，∴△ADE≌△CBE故选D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．难点在于添加辅助线来构造三角形全等．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．7．下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【分析】结合已知条件与全等三角形的判定方法进行思考，要综合运用判定方法求解．注意高的位置的讨论．【解答】解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，∴△ADC≌△EDB，∴BE=AC，同理：B′E′=A′C′，∴BE=B′E′，AE=A′E′，∴△ABE≌△A′B′E′，∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，∴∠CAD=∠C′A′D′，∴∠BAC=∠B′A′C′，∴△BAC≌△B′A′C′．③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．故选A．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；要根据选项提供的已知条件逐个分析，分析时看是否符合全等三角形的判定方法，注意SSA是不能判得三角形全等的．8．若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上都不对【分析】如图，分AB是30°角所对的边AC的2倍和AB是30°角相邻的边AC的2倍两种情况求解．【解答】解：如图：（1）当AB是30°角所对的边AC的2倍时，△ABC是直角三角形；（2）当AB是30°角相邻的边AC的2倍时，△ABC是钝角三角形．所以三角形的形状不能确定．故选D．【点评】解答本题关键在于已知30°的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角形的形状不能确定．二．填空题（共5小题）9．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC 的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△AB C=6，则S1﹣S2的值为1．【分析】根据等底等高的三角形的面积相等求出△AEC的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△ACD的面积，然后根据S1﹣S2=S△AC D﹣S△AC E计算即可得解．【解答】解：∵BE=CE，∴S△AC E=S△AB C=×6=3，∵AD=2BD，∴S△AC D=S△AB C=×6=4，∴S1﹣S2=S△AC D﹣S△AC E=4﹣3=1．故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，等高的三角形的面积的比等于底边的比，需熟记．10．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积7．【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．【解答】解：如图，连接AB1，BC1，CA1，∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，∴S△AB B1=S△AB C=1，S△A1AB1=S△AB B1=1，∴S△A1B B1=S△A1AB1+S△AB B1=1+1=2，同理：S△B1C C1=2，S△A1AC1=2，∴△A1B1C1的面积=S△A1B B1+S△B1C C1+S△A1AC1+S△AB C=2+2+2+1=7．故答案为：7．【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．11．在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是1＜AD＜4．【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．【解答】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB，∵AB=5，AC=3，∴5﹣3＜AE＜5+3，即2＜AE＜8，1＜AD＜4．故答案为：1＜AD＜4．【点评】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．12．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为85度．【分析】先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．【解答】解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°，∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°．故答案为：85．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．13．如图，某村有一块三角形的空地（即△ABC），其中A点处靠近水源，现村长准备将它分给甲、乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有1人，乙农户有3人，请你把它分出来．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．答案如图．【分析】因为按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有1人，乙农户有3人，所以需要把三角形的面积平均分为4份，甲占1份，其余的是乙的，由此把BC四等分即可．【解答】解：如图所示：【点评】本题需仔细分析题意，结合图形利用等分点即可解决问题．三．解答题（共11小题）14．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF 的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．15．已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．【分析】首先证明出∠ABD=∠ACE，再有条件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，进而得到∠F=∠BAQ，然后再根据∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，进而证出AF⊥AQ．【解答】证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，∴∠ABD=∠ACE，在△ABQ和△ACF中，∴△ABQ≌△ACF（SAS），∴∠F=∠BAQ，∵∠F+∠FAE=90°，∴∠BAQ+∠FAE═90°，∴AF⊥AQ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质定理．16．问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F 分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【分析】问题背景：根据全等三角形对应边相等解答；探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EOF=∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可．【解答】解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点．17．将两块大小不一的透明的等腰直角三角板ABC和DCE如图所示摆放，直角顶点C重合，三角板DCE的一个顶点D在三角板ABC的斜边BA的延长线上，连结BE．（1）求证：BE=AD；（2）求证：BE⊥AD．【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出DC=CE，AC=CB，∠DCE=∠ACB=90°，求出∠5=∠6，根据SAS证△DAC≌△EBC，根据全等三角形的性质推出即可；（2）根据∠1=∠2，根据∠3=∠4，∠1+∠3=90°推出∠2+∠4=90°，求出∠EBD=90°即可．【解答】证明：（1）∵△DCE和△ACB是等腰直角三角形，∴DC=CE，AC=CB，∠DCE=∠ACB=90°，∴∠DCE﹣∠7=∠ACB﹣∠7，∴∠5=∠6，在△DAC和△EBC中，，∴△DAC≌△EBC（SAS），∴BE=AD；（2）∵△DAC≌△EBC，∴∠1=∠2，∴∠DCE=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠3=∠4，∴∠2+∠4=90°，∴∠EBD=180°﹣90°=90°，即BE⊥AD．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，判定两三角形全等的方法有SAS，ASA，SSS，AAS．18．如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）求∠AEO的度数．【分析】（1）由已知可以利用AAS来判定其全等；（2）再根据等腰三角形三线合一的性质即可求得其为直角．【解答】（1）证明：在△AOB和△DOC中∵∴△AOB≌△DOC（AAS）（2）解：∵△AOB≌△DOC，∴AO=DO∵E是AD的中点∴OE⊥AD∴∠AEO=90°【点评】此题考查了学生对全等三角形的判定及等腰三角形的性质的掌握，要熟练掌握这些性质并能灵活运用．19（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？【分析】（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G，使BG=DF，连接AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE，那么这样EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件（SAS），那么就能得出EF=GE了．（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF全等中，证明∠ABG=∠ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．20．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，【分析】判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，在△AEC和△CGB中，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG，（2）解：BE=CM．证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，又∵∠ACM=∠CBE=45°，在△BCE和△CAM中，，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中．21．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD 是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【分析】（1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为∠BPD=∠B+∠D；（2）作射线QP，根据三角形的外角性质可得；（3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解．【解答】解：（1）不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D延长BP交CD于点E，∵AB∥CD∴∠B=∠BED又∵∠BPD=∠BED+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D．（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．（3）连接EG并延长，根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E，又∵∠AGB=∠CGF，在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．【点评】本题是信息给予题，利用平行线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．。

七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结

七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第一篇：七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第五章《三角形》知识点总结（北师大版七年级下）一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

（2）三角形的任意两边之差小于第三边。

（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

6、三角形的分类：(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质：三角形的三条角平分线交于一点。

交点在三角形的内部。

（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。

（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

七年级下册数学第五章三角形期末总复习题(2)

第1页共2页第五章三角形期末总复习（总复习 08）知识点1、全等图形①全等图形的和都相等。

②全等三角形的对应边，对应角。

③判定三角形全等的方法有（用字母表示）：。

堂上练习★挖掘“隐含条件”判全等1、如图，若OB=OD ， OA=OC ，则△ABO ≌△CDO 吗?2、如图，若∠B=∠ C ， BA=CA.则△ABE ≌△ACD 吗?3、如图，AB=CD ，AC=BD ，则△ABC ≌△DCB 吗? O △ABO ≌△DCO 吗?★常见“间接”的边角关系4、如图，AE=CF ， DF=BE ， ∠1=∠2，则△AFD ≌△ CEB ？5、已知：如图，∠1=∠2，∠B=∠D ，AC=AE ，求证：∠E=∠C.★添条件判全等6、如图，已知∠B=∠C=90°，请你补充一个条件，使得△ABD ≌△ACD 你补充的条件为：，理由是： .7、若将1中的条件改为∠B=∠C ，使得△ABD ≌△ACD 你补充的条件为：，理由是： .★技能提升——开放性问题8、如图，点B 、D 、C 、F 在一条直线上，给出下面四个条件： ①AB ∥EF ② AB =EF ③ BD =CF ④∠A=∠E 。

问题1：请将其中三个作为条件，一个作为结论，你能构造出新的问题吗？如组合1：条件：结论：（填序号）。

还有其它的组合方式吗？问题2：任选其中两种组合，要求说明其正确性。

★ 实际应用类9.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。

第2页共2页晚间训练1、如图，∠1＝∠2，要证△ACB ≌△ADB ，再加上一个条件（只需写一个）2、如图2是一个正方形，沿AM 折叠，使D 点落在BC 上的N 点处，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=300，则AN= cm ， NM= cm ，∠NMA= ；3．如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，且PD ＝PE ，则△APD 与△APE 全等的理由是（）A ．SASB ．记分SC ．SSSD ．HL4.如图，能用记分S 来判断△ACD ≌△ABE 需要添加的条件是( ) A 、∠AED=∠ABC ，∠C=∠B B 、∠AEB=∠ADC ，CD=BE C 、AC=AB ，AD=AE D 、AC=AB ，∠C=∠B5、已知：A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB ＝CD ，DE ∥AF ，且DE ＝AF 。

2024年人教版七年级数学下册第五章单元复习题及答案

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第五章适应性评估卷
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19.(8分)如图,∠1+∠2=180°,证明AB∥CD.
证明:∵∠2+∠3=180°( 邻补角的定义
),
∠1+∠2=180°( 已知
),
∴∠3=∠1( 同角的补角相等
).
∴AB∥CD( 同位角相等,两直线平行
).
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第五章适应性评估卷
第五章适应性评估卷
第五章适应性评估卷
1 选择题
题型
导航
2
填空题
3
解答题
第五章适应性评估卷
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一、选择题(共14题.1~10题每题3分，11~14题每题2分，共38分)
1.如图,在所标识的角中,互为对顶角的两个角是 ( A )
A.∠2和∠3
B.∠1和∠3
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C.∠1和∠4
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D.∠1和∠2
题的有 ③④ (填序号).
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第五章适应性评估卷
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16.如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE.
(1)若∠AOC=76°,∠BOF=
33
°;
(2)若∠BOF=36°,∠AOC=
72
°.
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第五章适应性评估卷
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17.如图,在直角三角形ABC的斜边AB上有五个小直角三角形,已知大直角
23.(12分)如图,AB∥CD,点C在点D的右侧,∠ABC,∠ADC的平分线交于

北师大版七年级下册数学[《三角形》全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.2. 理解并会应用三角形三边关系定理；3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图.4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.5. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的分类【与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点三、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．2.三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.要点四、全等三角形的性质与判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）全等三角形判定4——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点五、用尺规作三角形1.基本作图利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.【典型例题】类型一、三角形的内角和【与三角形有关的角练习（3）】1.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵ BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．举一反三【变式】已知：如图，在ΔABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于H，则∠BHC的度数为 .【答案】135°.类型二、三角形的三边关系及分类2.（2016春?故城县期末）已知：a、b、c为三角形的三边长，化简：|b+c﹣a|+|b﹣c ﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|.【思路点拨】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，合并同类项即可．【答案与解析】解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，∴原式=|（b+c）﹣a|+|b﹣（c+a）|﹣|c﹣（a+b）|﹣|（a+c）﹣b|=b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c+b﹣a﹣c=2c﹣2a．【总结升华】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．举一反三【变式】（2015?朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为．【答案】8．解：设第三边长为x，∵两边长分别是2和3，∴3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，∵第三边长为奇数，∴x=3，∴这个三角形的周长为2+3+3=8.3.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．4. 有一个等腰三角形，它的两个角的度数比是1：2，这个三角形按角分类可能是什么三角形？【思路点拨】因为该等腰三角形的两个角的度数比是1：2，则这个三角形三个角度数的比为1：2：2或1：1：2，进而根据按比例分配知识，分别求出三角形的最大角的度数，进而根据三角形的分类进行判断即可．【答案与解析】解：（1）1+1+2=4，180×24=90°∴该三角形是直角三角形；（2）又1+2+2=5，180×25=72°∵最大角为72度，是锐角，∴该三角形的三个角都是锐角，即该三角形是锐角三角形；综上所述：该三角形是直角三角形或锐角三角形．【总结升华】解答此题用到的在知识点：（1）三角形的内角和180度；（2）按比例分配知识；（3）三角形的分类；举一反三【变式】一个三角形的三个角的度数比是1：2：3，这个三角形中最小的一个角是度，按角分类，这个三角形是三角形．【答案】30；直角.类型三、三角形的重要线段5. 如图13，△ABC中，∠A = 40°，∠ B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD的度数.【思路点拨】由图可知∠CDF是Rt△CDF的一个内角，求∠CDF可先求出∠FCD，△CDB为直角三角形，所以可以求出∠BCD，而∠FCD=∠BCE－∠BCD.【答案与解析】在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，由三角形的内角和定理得：∠BCA=180°-72°-40°=68°又CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠BCA=34°，在中，CD⊥AB于D，∠B = 72°∴∠BCD= 90°- 72°= 18°∴∠FCD=∠BCE－∠BCD=34°-18°=16°．即∠FCD =16°．【总结升华】这是三角形内角和定理在直角三角形中的应用，直角三角形两个锐角互余，所以在直角三角形中，已知一个锐角的大小，就可以求出另一个锐角的度数.举一反三【变式】如图14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的平分线，求∠DAE的度数．【答案】∠D AE=35°类型四、全等三角形的性质和判定6. （2015?通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．【思路点拨】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．【答案与解析】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．【总结升华】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．【答案】证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵ EC为中线，∴ AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEF CE EF∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴ AB＝BF．又∵ BC为△ADC的中线，∴ AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBC BC BC∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴ CF＝CD．即CD＝2CE．类型五、全等三角形判定的实际应用7. 为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，有以下两种方法：（1）如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP 并延长到C，使PC=PB．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；（2）如图所示，也可先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C，D?两点，?使BC=CD．接着过点D作BD的垂线DE交AC的延线长于E，则测出DE的长即为A，B的距离．?你认为这种方案是否切实可行，请说出你的理由．作BD⊥AB，ED⊥BF的目的是什么？若满足∠ABD=∠BDE≠90°，此方案是否仍然可行？为什么？【思路点拨】本题两种测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，从而得知AB的距离．【答案】（1）由△APB≌△DPC，所以CD=AB．（2）由△ACB≌△ECD得DE=AB．目的是使DE∥AB，可行．【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决．类型六、用尺规作三角形8.已知：线段a，b求作：△ABC，使AB=a，BC=b，AC=2a．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【思路点拨】首先画线段AC=2a，再以A为圆心，a长为半径画弧，再以C为圆心，b长为半径画弧，两弧交于点B，连接AB、BC即可．【答案与解析】解：如图所示：，△ABC即为所求．【总结升华】此题主要考查了作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的方法；利用三角形全等判定定理”边边边”解决本题．举一反三【变式】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=2∠α+∠β．【答案】解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．。

北师大版七年级下第五章三角形练习

初中数学试卷灿若寒星整理制作北师大版七年级下第五章三角形练习【巩固基础训练】题型发散1，选择题，把正确答案的代号填入题中括号内． (1)下列各条件中，不能作出惟一三角形的是( ) (A)已知两角和夹边 (B)已知两边和夹角(C)已知两边和其中一边的对角 (D)已知三边(2)已知一个三角形的周长为15cm ，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为( )(A)1cm (B)2cm (C)3cm (D)4cm(3)如果角形的一个内角等于其余两个内角的和，那么这个三角形是 (A)锐角三角形 (B)直角三角形(C)钝角三角形 (D)锐角三角形或钝角三角形(4)已知线段AB ，用规尺作AB 的垂直平分线CD ，垂足为E ，在CD 上取—点F ，使EF=21AB ，连结AF ，BF ，那么∠AFB 的度数是 ( )(A)︒60 (B)︒75 (C)︒90 (D)︒120(5)在Rt △ABC 中，∠ACB=︒90，CD ⊥AB ，E 为AB 的中点，AC=3cm ，AB=6cm ，那么∠DCE 的度数是 ( )(A)︒15 (B)︒30 (C)︒45 (D)︒60 2．填空题．(1)若两个三角形全等，则它们对应高、对应中线、对应的角平分线分别______________.(2)在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥AC ，交BC 于D ，若AB=a ，则CD=______________. (3)在△ABC 中，∠A 是∠B 的2倍，∠C 比∠A+∠B 还大︒12，则这个三角形是__________角三角形．(4)在△ABC 中，∠ACB=︒90，CD ⊥AB ，垂足是D ，E 是AB 的中点，如果AB=10，BC=5，那么CE=___________，∠A=___________，∠B=_______，∠DCE______，DE=___________(5)在△ABC 中，若∠A=︒60，∠B<∠C ，则三边的大小关系________ 解法发散1．如图5—61，已知在直角三角形ABC 中，∠C=︒90，AD=AC ，BE=BC ．求∠DCE 的度数．(用四种解法)2．如图5—62，已知D、E在BC上，∠BAD=∠CAE，∠B=∠C．求证：AD=AE．(用两种方法证明)3．如图5—63，已知AB=AC，DE=DF，求证：BE=CF．(用两种方法证明)变更命题发散1．在△ABC中，AB>AC，AM是BC边上的中线．求证：∠CAM>∠BAM．2．如图5-64，已知AB>AC，延长BC到E，使CE=CA，延长CB到D，使BD=AB．求证：AD>AE.3．如图5-65，已知在△ABC中，AB>AC，且∠BAC>90，AB、AC边上垂直平分线分别交BC边于D、E两点，求证：AD>AE．变换发散1．如图5—66，已知在△ABC中，∠1=∠2，AB+BP=AC．求证：∠B=2∠C.2．如图5-67，已知△ABC为正三角形，P是任意一点．求证：PA≤PB+PC．逆向发散1．如图5—68，已知AD∥EC，CE>CB．求证：∠B>∠A．2．如图5—69，在△ABC中，AB=AC，D为AC上一点．求证：∠ADB>∠ABD．构造发散1．如图5—70，在△ABC 中，AB=AC ．E 是AB 上任意一点，延长AC 到F ，使BE=CF ．连接EF 交BC 于M ，求证：EM=FM ．2．如图5—71，已知AE ∥BC ，AD 、BD 分别平分∠EAB 、∠CBA ，EC 过点D ．求证：AB=AE+BC ．纵横发散 1．如图5—72，△ABC 为等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 上的一点，且BD=EC ，AD 和BE 相交于F ，BG ⊥AD 于G ．求FGBF的值．2．已知斜边和一锐角，作直角三角形．已知：线段c 及锐角α．求作Rt △ABC ，使斜边等于c ，其中—个锐角等于α．综合发散1．如图5—73所示，△ABC 中，AB=AC ，EF ∥BC ，分别交AB 、AC 于E 、F ，分别以AE 、AF 为边在△ABC 的外部作等边△AEG 和△AFH ，连结BH 与CG 交于O ．求证：(1)BH=CG ；(2)AO 平分∠BAC ．2．设AD 是△ABC 中∠A 的平分线，过A 引直线MN ⊥AD ，过B 作BE ⊥MN 于E ．求证：△EBC 的周长大于△ABC 的周长．3．如图5—74，△ABC 是等边三角形．∠ABE=∠BCF=∠CAD ，求证：△DEF 是等边三角形．4．AD 是△ABC 中BC 边上的中线，F 是DC 上—点，DE=EC ，AC=21BC ，求证：AD 平分∠BAE ．5．在△ABC 中，AD 是∠A 的平分线且AB=AC+CD ．求证：∠C=2∠B【提高能力测试】题型发散1．选择题，把正确答案的代号填入题中括号内．(1)下列各条件中，不能作出惟一直角三角形的是 ( ) (A)已知两直角边 (B)已知两锐角(C)已知一直角边和一锐角 (D)已知斜边和一直角边(2)已知AM 、AH 、AD 分别是△ABC 的BC 边上的中线、高线和∠A 的平分线，AB ≠AC ，那么AM 、AH 、AD 的位置关系为 ( )(A)AD 在AM 和AH 之间 (B)AM 在AD 和AH 之间 (C)AH 在AD 和AM 之间 (D)不能确定(3)已知三角形的两边长为2和7，第三边的数值是奇数，那么这个三角形的周长是 ( )(A)14 (B)15 (C)16 (D)17(4)在△ABC 中，若∠A=21∠B=31∠C ，那么这个三角形是 ( )(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上都不对(5)已知线段m ，n(m>n)，用直尺和圆规作等腰△ABC ，使AB=AC=m ，BC=n ，再分别以AB 、AC 为边向三角形外作等边△ABD 和等边△ACE ，连结BE 、CD ，那么 ( )(A)BE>CD (U)BE=CD (C)BE<CD (D)BE ≤CD(6)在△ABC 中，AB>AC ，AD 为BC 边上的中线，则∠DAB 与∠DAC 的大小关系是 ( )(A)∠DAB>∠DAC (B)∠DAB<∠DAC (C)∠DAB=∠DAC (D)不能确定 2．填空题． (1)在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，则∠C=______________(2)在锐角△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH=AC ，则∠ABC=________度． (3)已知△ABC ，D 在AC 上，∠A=︒36，∠DBC=︒36，∠C=︒72，那么∠BDC=_________度，∠ABD=_________度，其中等腰三角形有__________(4)边长为2，x-4，5的三根木条首尾相接组成三角形，则x 的取值范围是______________.(5)在△ABC 中，如果()242>-=n n a ，b=4n ，则c=_______时，∠C=︒90． (6)在Rt △ABC 中，AB=2AC ，CD 、CE 分别是斜边上的中线和高，则∠DCE=____________.解法发散1．如图5—75，已知在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使 BD=AB ，E 为AB的中点，求证：CD=2CE．(按原图与如下四个图(见图5-76(a)～(d))所作辅助线用五种方法证明)2．如图5—77，已知在△ABC中，∠A=90，∠C的平分线交对边AB于点E，交斜边上的高AD于O，过点O作OF∥CB交AB于F，求证：AE=BF．(用两种方法证明)3．如图5—78，已知△ABC中，∠B是锐角，且∠B=2∠C，AD是BC边上的高．求证：AB+BD=DC(用两种方法证明)变换发散1．如图5—79，已知在△ABC中，AB=AC，P是三角形内一点且有∠APB>∠APC．求证：PB<PC．2. 如图5—80，△ABC 按逆时针旋转至△C B A ''的位置，使AC 平分B B '．求证：B A '也平分C C '．逆向发散发散题如图5—81，在△ABC 中，已知AB=AC ，BD=DC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ．求证：DE=DF ．构造发散1．如图5—82，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，E 为BC 的中点，过E 作EF ∥AD 交AB 于G ，交CA 的延长线于F ，求证：BG=CF ．2．如图5—83，已知在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠C的平分线．求证：BC=AC+AD．3．如图5—84，在等边三角形ABC中，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连CE、DE．求证：CE=DE．变更命题发散1．如图5—85，已知在△ABC中，CF是AB边上的高，BE是AC边上的高，若AB>AC．求证：BE>CF．2．如图5—86，AB=AE，∠B=∠E．BC=ED．F是CD的中点．求证：AF⊥CD．3．如图5—87，AB=AE ，BC=ED ，∠B=∠E ，求证：∠C=∠D.迁移发散1．已知△ABC 的周长是12cm ，若c+a=2b,c-a=2cm ，求a 、b 、c 的长度． 2．如图5—88，已知△ABC 中，AB=2CA ，且CA 为最小边．求证：61(AB+BC+CA)<CA<41(AB+BC+CA).综合发散1．如图5—89，已知自Rt △ABC 的直角顶点A 作BC 上的高AD ．求证：AD+BC>AB+AC2．如图5—90，C 是线段AB 上一点，分别以AC 、CB 为一边作等边三角形ACD 和CBE ，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ．求证：(1)△CMN 是等边三角形； (2)MN ∥AB ．3．已知D 是△ABC 中∠BAC 平分线AE 上一点，AB>AC ．求证：AB-AC>BD-DC ． 4．在△ABC 中，∠C=︒90，AC=BC ，过C 在△ABC 外作直线MN ，使AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N ．(1)求证：MN=AM+BN ；(2)若过C 在△ABC 内作直线MN ，当MN 位于何位置时，AM 、BN 和MN 之间满足关系式AM-BN=MN ．并证明之．5．如图5—91，已知：O 是△ABC 内一点．求证：(1)∠BOC>∠A ；(2)21(BC+CA+AB)<OA+OB+OC ．6．如图5—92，在等腰直角三角形ABC 中，P 为斜边BC 的中点，D 为BC 上任一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ．求证：PE=PF ，PE ⊥PF ．错误！不能识别的开关参数。

最新人教版七年级数学下册第五章专题复习试题及答案全套

最新人教版七年级数学下册第五章专题复习试题及答案全套专训1应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法名师点金：在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能与题目中原有的条件联系在一起．加截线（连接两点或延长线段相交）1．【中考·河北】如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝（）A．120°B．130°C．140° D．150°（第1题）过“拐点”作平行线a．“”形图2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．（第2题）b．“”形图3．（1）如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°.求∠BCD的度数；（2）如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由；（3）如图②，AB∥EF，根据（2）中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．（第3题）c．“”形图4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？（第4题）d．“”形图5．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数．（第5题）e．“”形图6．（1）如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；（2）如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．（第6题）平行线间多折点角度问题探究7．（1）在图①中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？（2）在图②中，若AB∥CD，又能得到什么结论？（第7题）答案1．C2．解：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①.∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝28°.∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.又∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°.∴∠1＝30°.方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②.∵PM∥AB，AB∥CD，∴PM∥CD.∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.∵∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，∴∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°.∵AB∥PM，∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.(第2题)3．解：(1)过点C向左作CF∥AB，则∠B＋∠BCF＝180°.又∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＋∠D ＝180°，∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°，∴∠BCD＝360°－∠B －∠D＝360°－135°－145°＝80°.(2)∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.理由如下：过点C向左作CF∥AB，则∠B＋∠BCF＝180°.又∵AB∥DE，＝360°.(3)∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.4．解：∠BCD＝∠B－∠D.理由如下：如图，过点C作CF∥AB.∵CF∥AB，∴∠B＝∠BCF(两直线平行，内错角相等)．∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE(平行于同一条直线的两条直线互相平行)．∴∠DCF ＝∠D(两直线平行，内错角相等)．∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，∴∠BCD ＝∠B－∠D.点拨：已知图形中有平行线和折线时，常过折点作平行线，构造出同位角、内错角或同旁内角，这样就可利用角之间的关系求解了．(第4题)(第5题)5．解：如图，过点C作CF∥AB.∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF.∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°.∴∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.又∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF＝72°.6．解：(1)过E点向左侧作EF∥AB，则∠B＋∠BEF＝180°，∴∠BEF＝180°－∠B＝50°，又∵AB∥CD，且EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠C＝30°，∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.(2)∠B＋∠BEC－∠C＝180°.理由如下：过E点向左侧作EF∥AB，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC ＝∠C，又∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC，∴∠BEF＝∠BEC－∠C.∵AB∥EF，∴∠B＋∠BEF＝180°，即∠B＋∠BEC－∠C＝180°.(第7题)7．解：(1)∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D.理由：过折点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，如图所示，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD，这样∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.因此∠BEF＋∠FGD＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.(2)∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠E n＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠F n－1＋∠D.专训2与相交线、平行线相关的四类角的计算名师点金：与相交线、平行线有关的角的计算大致有两类呈现形式，一类是利用余角、补角、对顶角、角平分线等进行相关的计算，另一类是利用平行线的性质和判定进行相关的计算．利用余角、平角、对顶角转换求角1．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC∶∠EOD＝2∶3，求∠BOD的度数．设∠EOC ＝2x °，则∠EOD ＝3x °.因为∠EOC ＋∠ ＝180°（），（第1题）所以2x ＋3x ＝180，解得x ＝36. 所以∠EOC ＝72°.因为OA 平分∠EOC （已知），所以∠AOC ＝12∠EOC ＝36°.因为∠BOD ＝∠AOC （），所以∠BOD ＝Ｗ．利用垂线求角2．如图，已知FE ⊥AB 于点E ，CD 是过点E 的直线，且∠AEC ＝120°，则∠DEF ＝ °.（第2题）3．如图，MO ⊥NO 于点O ，OG 平分∠MOP ，∠PON ＝3∠MOG ，则∠GOP 的度数为 .（第3题）4．如图，两直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，∠AOC ∶∠AOD ＝7∶11. （1）求∠COE 的度数；（2）若OF ⊥OE ，求∠COF 的度数．（第4题）直接利用平行线的性质求角5．如图，已知AB∥CD，∠AMP＝150°，∠PND＝60°.试说明：MP⊥PN.（第5题）综合应用平行线的性质与判定求角6．如图，∠1与∠2互补，∠3＝135°，则∠4的度数是（）（第6题）A．45° B．55° C．65° D．75°7．如图，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度数．（第7题）答案1．EOD；平角的定义(邻补角的性质)；对顶角相等；36°2．303．54°点拨：设∠GOP＝x°，则∠MOG＝x°，∠PON＝3x°，由题意得x＋x＋3x＝360－90，解得x ＝54.∴∠GOP＝54°.4．解：(1)∵∠AOC∶∠AOD＝7∶11，∠AOC＋∠AOD＝180°，∴∠AOC＝70°，∠AOD＝110°.又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝12∠DOB＝12∠AOC＝12×70°＝35°.∴∠COE＝180°－∠DOE＝180°－35°＝145°.(2)∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°.又∵∠DOE＝35°，∴∠FOD＝90°－∠DOE＝90°－35°＝55°.∴∠COF＝180°－∠FOD＝180°－55°＝125°.(第5题)5．解：如图，过点P作PE∥AB.∵PE∥AB，∴∠AMP＋∠MPE＝180°.∴∠MPE＝180°－∠AMP＝180°－150°＝30°.∵AB∥CD，PE∥AB，∴PE∥CD，∴∠EPN＝∠PND＝60°.∴∠MPN＝∠MPE＋∠EPN＝30°＋60°＝90°，即MP⊥PN.6．A7．解：∵∠1＝72°，∠2＝72°，∴∠1＝∠2.∴a∥b.∴∠3＋∠4＝180°.又∵∠3＝60°，∴∠4＝120°.专训3相交线与平行线中的思想方法名师点金：1.本章体现的主要方法有：基本图形（添加辅助线）法、分离图形法、平移法．2．几种主要的数学思想：方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等．基本图形（添加辅助线）法1．已知AB∥CD，探讨图中∠APC与∠P AB、∠PCD的数量关系，并请你说明成立的理由．（第1题）分离图形法2．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得出同旁内角多少对？（第2题）平移法3．如图，在水平地面上有几级高度和宽度不均匀的台阶，它们的总宽度是3米，总高度是2米，图中所成角度均为直角，现要在从A到B的台阶上铺上地毯，求地毯的总长度．（第3题）4．如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，小路的宽为2 m，则绿化的面积为多少？（第4题）方程思想5．如图，由点O引出六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，且AO⊥OB，OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，若∠EOF＝170°，求∠COD的度数．（第5题）转化思想6．如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE.（第6题）数形结合思想7．如图，直线AB，CD被EF所截，∠1＝∠2，∠CNF＋∠BMN＝180°.试说明：AB∥CD，MP∥NQ.（第7题）分类讨论思想8．如图，已知直线l1∥l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD上的一个动点，当P在线段CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．（第8题）答案1．解析：要探究三个角的数量关系，可找出联系这三个角的平行线，因此联想到作平行线．(第1题)解：∠APC＝∠P AB＋∠PCD.理由如下：如图，过点P作PE∥AB.∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD.∴∠P AB＝∠APE，∠PCD＝∠CPE(两直线平行，内错角相等)．∵∠APC＝∠APE＋∠CPE，∴∠APC＝∠P AB＋∠PCD(等量代换)．2．解：如图，将给出的图形分离为8个“三线八角”的基本图形，由每个基本图形都有2对同旁内角，知共有16对同旁内角．(第2题)3．解：由平移的性质可知，地毯的总长度为3＋2＝5(米)．方法规律：此题运用了平移法，这些台阶不均匀，无法具体计算每级台阶的宽度和高度，但若把所有台阶的宽平移至BC上，发现总和恰好与BC相等，若把所有台阶的高平移到AC上，发现总和恰好与AC 相等．4．解：如图，把两条小路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFCG是长方形．∵CF＝32－2＝30(m)，CG＝20－2＝18(m)，∴长方形EFCG的面积＝30×18＝540(m2)．即绿化的面积为540 m2.(第4题)(第6题)5．解：设∠COD ＝x .因为OF 平分∠BOC ，OE 平分∠AOD ，所以∠COF ＝12∠BOC ，∠EOD ＝12∠AOD .因为∠EOF ＝x ＋∠COF ＋∠EOD ＝170°，所以∠COF ＋∠EOD ＝170°－x .又因为x ＋2∠COF ＋2∠EOD ＋90°＝360°，所以x ＋2(170°－x )＋90°＝360°，所以x ＝70°，即∠COD ＝70°.方法规律：有些复杂的求角度的问题用方程思想求解非常简单，注意方程思想的应用． 6．解：如图，过点E 作EF ∥AB . ∵EF ∥AB ，AB ∥CD ，∴EF ∥CD .∴∠DEF ＝∠D (两直线平行，内错角相等)．又∵∠D ＝∠2，∴∠DEF ＝∠2(等量代换)．同理：由EF ∥AB ，∠1＝∠B ，可得∠BEF ＝∠1. 又∵∠1＋∠2＋∠BEF ＋∠DEF ＝180°(平角的定义)， ∴∠1＋∠2＝∠BEF ＋∠DEF ＝∠BED ＝90°.∴BE ⊥DE .方法规律：解该类问题需转化为比较简单、熟悉的几何问题，通过在“拐点”处作平行线为辅助线，把一个大角分成两个小角，分别与已知角建立联系，这种转化思想在解题时经常用到．7．解：由对顶角相等，得∠CNF ＝∠END . 又∠CNF ＋∠BMN ＝180°，所以∠END ＋∠BMN ＝180°.所以AB ∥CD . 所以∠EMB ＝∠END .又因为∠1＝∠2，所以∠END ＋∠2＝∠EMB ＋∠1，即∠ENQ ＝∠EMP .所以MP ∥NQ .点拨：平行线的判定是由角与角的数量关系到“形”的判定，而性质则是由“形”到“数”的说理，研究两条直线的垂直或平行的共同点是把研究它们的位置关系转化为研究角和角之间的数量关系．8．解：当点P 在C ，D 之间时，过P 点作PE ∥AC ，则PE ∥BD ，如图①. ∵PE ∥AC , ∴∠APE ＝∠1(两直线平行，内错角相等)． ∵PE ∥BD ，∴∠BPE ＝∠3(两直线平行，内错角相等)． ∵∠2＝∠APE ＋∠BPE ，∴∠2＝∠1＋∠3. 当点P 与点C 重合时，∠1＝0°，如图②.∵l 1∥l 2(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)． ∵∠1＝0°， ∴∠2＝∠1＋∠3.当点P 与点D 重合时，∠3＝0°，如图③.∵l 1∥l 2(已知)，∴∠2＝∠1(两直线平行，内错角相等)． ∵∠3＝0°，∴∠2＝∠1＋∠3.综上所述，当点P 在线段CD 上运动时，∠1，∠2，∠3之间的关系为∠2＝∠1＋∠3.(第8题)专训4识别相交线中的几种角名师点金：我们已经学习了对顶角、邻补角和“三线八角”，能够准确地识别这几种角，对我们以后的学习起着铺垫作用．识别“三线八角”中的两个角属于何种类别时可联想英文大写字母，即“F”形的为同位角，“Z”形的为内错角，“U”形的为同旁内角，每类角都有一个共同点，即：有两条边在截线上，另外两条边在被截直线上．识别对顶角1．下列选项中，∠1与∠2互为对顶角的是()2．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE，OF是过点O的射线，其中构成对顶角的是()(第2题)A．∠AOF和∠DOE B．∠EOF和∠BOEC．∠BOC和∠AOD D．∠COF和∠BOD识别邻补角3．下列图形中：(第3题)其中∠α与∠β互为邻补角的是________(填序号)．4．下列选项中，∠1与∠2互为邻补角的是()5．下列说法中错误的是()A．互为邻补角的两个角一定是互补的角B．互补的两个角不一定是邻补角C．相邻的两个角一定是邻补角D．两条直线相交形成的四个角中，一个角有两个邻补角6．如图，∠1的邻补角是()(第6题)A．∠BOFB．∠AOC和∠BODC．∠BODD．∠BOF和∠BOD识别同位角、内错角、同旁内角7．如图，试判断∠1与∠2，∠1与∠7，∠1与∠BAD，∠2与∠9，∠2与∠6，∠5与∠8各对角的位置关系．(第7题)8．如图，请结合图形找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角．(第8题)答案1．D 2.C 3.② 4.D5．C点拨：同时满足“相邻”和“互补”这两个条件的两个角才是邻补角，故选项C是错误的．6．B点拨：根据邻补角的定义，与∠1有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的角为∠BOD与∠AOC，故选项B正确．7．解：∠1与∠2是同旁内角，∠1与∠7是同位角，∠1与∠BAD是同旁内角，∠2与∠9没有特殊的位置关系，∠2与∠6是内错角，∠5与∠8是对顶角．8．解：当直线AB，BE被AC所截时，所得到的内错角有：∠BAC与∠ACE，∠BCA与∠F AC；同旁内角有：∠BAC与∠BCA，∠F AC与∠ACE.当直线AD，BE被AC所截时，内错角有：∠ACB与∠CAD；同旁内角有：∠DAC与∠ACE.当直线AD，BE被BF所截时，同位角有：∠F AD与∠B；同旁内角有：∠DAB与∠B.当直线AC，BE被AB所截时，同位角有：∠B与∠F AC；同旁内角有：∠B与∠BAC.当直线AB，AC被BE所截时，同位角有：∠B与∠ACE；同旁内角有：∠B与∠ACB.专训5活用判定两直线平行的六种方法名师点金：1.直线平行的判定方法很多，我们要根据图形的特征和已知条件灵活选择方法．2．直线平行的判定常结合角平分线、对顶角、邻补角、垂直等知识．3．直线平行的判定可解决有关角度的计算或说明角相等等问题．利用平行线的定义1．下面几种说法中，正确的是()A．同一平面内不相交的两条线段平行B．同一平面内不相交的两条射线平行C．同一平面内不相交的两条直线平行D．以上三种说法都不正确利用“同平行于第三条直线的两直线平行”2．如图，已知∠B＝∠CDF，∠E＋∠ECD＝180°.试说明AB∥EF.(第2题)利用“同垂直于第三条直线的两直线平行(在同一平面内)”3．如图，AB⊥EF于B，CD⊥EF于D，∠1＝∠2.(1)请说明AB∥CD的理由；(2)试问BM与DN是否平行？为什么？(第3题)利用“同位角相等，两直线平行”4．如图，已知∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，∠3＝∠F，试判断EC与DF是否平行，并说明理由．(第4题)利用“内错角相等，两直线平行”5．如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，试说明BE∥CF.(第5题)利用“同旁内角互补，两直线平行”6．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则AB与CD平行吗？请说明理由．(第6题)答案1．C点拨：根据定义判定两直线平行，一定要注意前提条件：“同一平面内”，同时要注意在同一平面内，不相交的两条线段或两条射线不一定平行．2．解：因为∠B＝∠CDF，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．因为∠E＋∠ECD＝180°，所以CD∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．所以AB∥EF(平行于同一条直线的两直线平行)．3．解：(1)∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴AB∥CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行)．(2)BM∥DN.理由如下：∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴∠ABE＝∠CDE＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2(等式的性质)．即∠MBE＝∠NDE，∴BM∥DN(同位角相等，两直线平行)．点拨：∠1和∠2不是同位角，不能误认为∠1和∠2是同位角，直接得出BM∥DN，要得到BM∥DN，可说明∠MBE＝∠NDE.4．解：EC∥DF，理由如下：∵∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，∴∠3＝∠ECB.又∵∠3＝∠F，∴∠ECB＝∠F.∴EC∥DF(同位角相等，两直线平行)．5．解：因为∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，所以∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2，即∠EBC＝∠FCB，所以BE∥CF(内错角相等，两直线平行)．6．解：AB∥CD，理由如下：如图，延长BE，交CD于点F，则直线CD，AB被直线BF所截．因为∠BEC＝95°，所以∠CEF＝180°－95°＝85°.又因为∠DCE＝35°，(第6题)所以∠BFC＝180°－∠DCE－∠CEF＝180°－35°－85°＝60°.又因为∠ABE＝120°(已知)，所以∠ABE＋∠BFC＝180°.所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．点拨：本题利用现有条件无法直接判断AB与CD是否平行，我们可考虑作一条辅助线，架起AB与CD之间的桥梁．专训6几何计数的四种常用方法名师点金：1.对于几何中的计数问题，掌握一定的方法能够让我们准确、高效地得出结果，常见的计数方法有：按顺序计数、按画图计数、按基本图形计数、按从特殊到一般的思想方法计数．2．计数的原则是不重复、不遗漏．按顺序计数问题1．(1)如图①，直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线，有1条线段；(第1题)(2)如图②，直线l上有3个点，则图中有________条可用图中字母表示的射线，有________条线段；(3)如图③，直线l上有n个点，则图中有________条可用图中字母表示的射线，有__________条线段；(4)应用(3)中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛(即每两队之间赛一场)，预计全部赛完共需________场比赛．按画图计数问题2．请你画图说明同一平面内的4条直线的位置关系，它们分别有几个交点？3．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图．按基本图形计数问题4．如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？(第4题)按从特殊到一般的思想方法计数问题5．观察如图所示的图形，寻找对顶角(不含平角)．(第5题)(1)两条直线相交于一点，如图①，共有________对对顶角；(2)三条直线相交于一点，如图②，共有________对对顶角；(3)四条直线相交于一点，如图③，共有________对对顶角；(4)根据以上结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角有____________对；(5)根据探究结果，求2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．6．平面内n条直线最多将平面分成多少个部分？答案1．解：(2)4；3(3)2n－2；n2(n－1)(4)152．解：图①有0个交点，图②有1个交点，图③、图④有3个交点，图⑤、图⑥有4个交点，图⑦有5个交点，图⑧有6个交点．(第2题)3．解：如图所示．(第3题)4．解：以一个“#”形为基本图形的有5个，以两个“#”形为基本图形的有4个，以三个“#”形为基本图形的有3个，以四个“#”形为基本图形的有2个，以五个“#”形为基本图形的有1个，所以共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．5．解：(1)2 (2)6 (3)12 (4)n (n －1)(5)当2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数为2 016×(2 016－1)＝2 016×2 015＝4 062 240.方法规律：本题运用了从特殊到一般的思想，前三题可以直接数出对顶角的对数．根据前三题中的结果，探究出一般规律，再运用规律来解决最后一个问题．6．解：首先画图如下，列表如下：(第6题)当n ＝1时，平面被分成2个部分；当n ＝2时，增加2个，最多将平面分成2＋2＝4(个)部分；当n ＝3时，增加3个，最多将平面分成2＋2＋3＝7(个)部分；当n ＝4时，增加4个，最多将平面分成2＋2＋3＋4＝11(个)部分；…；所以当有n 条直线时，最多将平面分成2＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋n （n ＋1）2＝n 2＋n ＋22(个)部分．全章热门考点整合应用名师点金：本章知识是中考的必考内容，也是后面学习有关几何中计算和证明的基础．其常见的题目涉及角度的计算、垂线段及其应用、平行线的判定和性质，命题形式有填空题、选择题、解答与说理题，题目难度不大．其热门考点可概括为：五个概念，两个判定，两个性质，两种方法，两种思想．五个概念概念1相交线1．图中的对顶角共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对（第1题）（第2题）2．如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥AB，则∠1与∠2（）A．是对顶角B．相等C．互余D．互补3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠COF＝35°，∠BOD＝60°，求∠EOF的度数．（第3题）概念2三线八角4．如图，点E在AB的延长线上，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？（第4题）（1）∠A和∠D；（2）∠A和∠CBA；（3）∠C和∠CBE.概念3平行线5．在同一平面内，直线a与b满足下列条件，写出其对应的位置关系．（1）a与b没有公共点，则a与b；（2）a与b有且只有一个公共点，则a与bＷ．（第6题）6．如图，在方格纸中，有两条线段AB，BC.利用方格纸完成以下操作：（1）过点A作BC的平行线；（2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D；（3）过点B作AB的垂线BE.概念4平移7．如图，将三角形ABC平移到三角形A′B′C′的位置（点B′在AC边上），若∠B＝55°，∠C＝100°，求∠AB′A′的度数．（第7题）概念5命题8．已知命题“如果两条射线是两条平行线被第三条直线所截得到的一对内错角的平分线，那么这两条射线互相平行”．（1）写出命题的题设和结论；（2）根据图形用数学符号叙述这个命题；（3）用推理证明的方法说明这个命题是真命题．两个判定判定1 垂线9．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OM ⊥AB .（1）若∠1＝20°，∠2＝20°，则∠DON ＝度；（2）若∠1＝∠2，判断ON 与CD 的位置关系，并说明理由；（第9题）（3）若∠1＝14∠BOC ，求∠AOC 和∠MOD 的度数．判定2 平行线10．如图，已知BE ∥DF ，∠B ＝∠D ，那么AD 与BC 有何位置关系？请说明理由．（第10题）11．如图，已知CF ⊥AB 于点F ，ED ⊥AB 于点D ，∠1＝∠2，猜想FG 和BC 的位置关系，并说明理由．（第11题）两个性质性质1 垂线段的性质12．如图，AB 是一条河流，要铺设管道将河水引到C ，D 两个用水点，现有两种铺设管道的方案：方案一：分别过点C ，D 作AB 的垂线，垂足分别为点E ，F ，沿CE ，DF 铺设管道；方案二：连接CD 交AB 于点P ，沿PC ，PD 铺设管道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？（忽略河流的宽度）（第12题）性质2平行线的性质13．【中考·雅安】如图，已知AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，且EG平分∠FEB，∠1＝50°，则∠2等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°（第13题）（第14题）14．【中考·抚顺】如图，分别过等边三角形ABC的顶点A，B作直线a，b，使a∥b.若∠1＝40°，则∠2的度数为Ｗ．15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，那么∠A与∠C，∠B与∠D的大小关系如何？请说明理由．（第15题）两种方法方法1作辅助线构造“三线八角”16．如图，∠E＝∠B＋∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由．（第16题）方法2作辅助线构造“三线平行”17．如图，已知AB∥CD，试说明∠B＋∠D＋∠BED＝360°.（第17题）两种思想思想1方程思想18．如图，AB∥CD，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，判断BA是否平分∠EBF，并说明理由．（第18题）思想2转化思想19．如图，在五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝107°，∠ABC＝121°，求∠C的度数．（第19题）答案1．B 2.C3．解：根据对顶角的性质，得∠AOC ＝∠BOD ＝60°. ∵OE 平分∠AOC ，∴∠COE ＝12∠AOC ＝12×60°＝30°，∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠COF ＝30°＋35°＝65°.4．解：(1)∠A 和∠D 是由直线AE ，CD 被直线AD 所截形成的，它们是同旁内角． (2)∠A 和∠CBA 是由直线AD ，BC 被直线AE 所截形成的，它们是同旁内角． (3)∠C 和∠CBE 是由直线CD ，AE 被直线BC 所截形成的，它们是内错角． 5．(1)平行 (2)相交 6．解：如图．(第6题)(第8题)7．解：∵∠B ＝55°，∠C ＝100°，∴∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－55°－100°＝25°.∵三角形ABC 平移得到三角形A ′B ′C ′，∴AB ∥A ′B ′，∴∠AB ′A ′＝∠A ＝25°.8．解：(1)题设：两条射线是两条平行线被第三条直线所截得到的一对内错角的平分线；结论：这两条射线互相平行(2)如图，如果AB ∥CD ，直线AB ，CD 被直线EF 所截，EG 平分∠AEF ，FH 平分∠EFD ，那么EG ∥FH .(3)∵EG 平分∠AEF ，FH 平分∠EFD ，∴∠GEF ＝12∠AEF ，∠EFH ＝12∠EFD .∵AB ∥CD ，∴∠AEF＝∠EFD ，∴∠GEF ＝∠EFH ，∴EG ∥FH .9．解：(1)90(2)ON ⊥CD .理由：∵OM ⊥AB ，∴∠1＋∠AOC ＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠AOC ＝90°，∴∠CON ＝90°，∴ON ⊥CD .(3)∵∠1＝14∠BOC ，∴∠BOC ＝4∠1，即∠BOM ＝3∠1.∵∠BOM ＝90°，∴∠1＝30°，∴∠AOC ＝90°－∠1＝60°，∠MOD ＝180°－∠1＝150°.10．解：AD ∥BC .理由：因为BE ∥DF (已知)，所以∠EAG ＝∠D (两直线平行，内错角相等)．又因为∠B ＝∠D (已知)，所以∠EAG ＝∠B (等量代换)，所以AD ∥BC (同位角相等，两直线平行)． 11．解：FG ∥BC .理由如下：∵CF ⊥AB ，ED ⊥AB ，∴CF ∥DE ，∴∠1＝∠BCF . 又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCF .∴FG ∥BC .12．解：按方案一铺设管道更节省材料．理由如下：因为CE⊥AB，DF⊥AB，CD不垂直于AB，根据“垂线段最短”可知，CE＜PC，DF＜PD，所以CE＋DF＜PC＋PD.所以按方案一铺设管道更节省材料．13．D14.80°15．解：∠A＝∠C，∠B＝∠D.理由如下：∵AB∥CD，BC∥AD，∴∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠A＝∠C(同角的补角相等)．同理得∠B＝∠D.(第16题)16．解：AB∥CD.理由如下：过点E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF.又∵∠BED＝∠B＋∠D，∴∠BED＝∠BEF＋∠D，即∠BEF＋∠DEF＝∠BEF＋∠D，∴∠DEF＝∠D，∴EF∥CD，∴AB∥CD.17．解：方法1：如图①，过点E作EF∥AB.∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠2＋∠D＝180°.∵EF∥AB，∴∠1＋∠B＝180°.∴∠1＋∠B＋∠2＋∠D＝360°.∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°.(第17题)方法2：如图②，过点E作EF∥AB.∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠2＝∠D.∵EF∥AB，∴∠1＝∠B.∵∠1＋∠2＋∠BED＝360°，∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°.点拨：本题还有其他解法，如连接BD、延长DE交AB的延长线于点F等．18．解：BA平分∠EBF.理由如下：因为∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，所以可设∠1＝k，则∠2＝2k，∠3＝3k.因为AB∥CD，所以∠2＋∠3＝180°，即2k＋3k＝180°，解得k＝36°.所以∠1＝36°，∠2＝72°，则∠ABE＝180°－∠2－∠1＝72°.所以∠2＝∠ABE，即BA平分∠EBF.点拨：当问题中角的数量关系出现倍数、比例时，可根据其数量关系建立方程，通过方程解决问题．(第19题)19．解：如图，过点B作BF∥AE交ED于点F.∵BF∥AE，∠A＝107°，∴∠ABF＝180°－107°＝73°.又∵∠ABC＝121°，∴∠FBC＝121°－73°＝48°.∵AE∥CD，BF∥AE，∴BF∥CD.∴∠C＝180°－∠FBC＝132°.点拨：本题通过作辅助线构造基本图形，把问题转化为平行线的性质和判定的问题，从而建立起角之间的关系．。

七年级数学下册第5章三角形复习北师大版

第五章三角形复习一、复习目标1、进一步认识三角形的有关概念，了解三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性．2、经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题．能够用尺规作出三角形．3、在复习过程中，通过观察、操作（折、拼、画、图案、设计）想象、推理、交流等活动，4、发展空间观念，进一步积累数学活动的经验，在探索图形性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力．二、重点难点重点：三角形的性质，包括等腰三角形、直角三角形的一些性质、全等三角形的性质和判定．难点：运用三角形全等解决问题以及它的说理过程．基本概念1.三角形的三种重要线段：三角形的三种重要线段包括：三条________线、三条________线、三条________线. 温馨提示：（1）三角形的角平分线不同于一个角的平分线，前者是一条_________，后者是一条_________.三角形的高线是_________，而线段的垂线是_________.（填“线段”或“射线”或“直线”）（2）三角形的三条角平分线相较于_________一点，三条中线相较于_________一点，三角形的三条高线也相较于一点，但锐角三角形的交点在三角形的_________，直角三角形的交点在三角形的_________，钝角三角形的交点在三角形的_________.（填“形内”或“形外”）2.三角形的性质：（1）边的性质：三角形的任意两边之和_________第三边，三角形的任意两边之差_________第三边.（2）角的性质：三角形的三个内角之和等于_________°；一个外角_________与它不相邻的两个内角的和，一个外角__________任何一个与它不相邻的内角，_________三角形的两个锐角互余.（3）稳定性：即三边的长度确定后，三角形的形状保持不变. 3.三角形的分类：（1）按边分：_________三角形和_________三角形.（2）按角分：_________三角形和_________三角形和_________三角形. 基本性质与判定1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边_________，对应角_________.2.全等三角形的判定（1）一般三角形有：_________、_________、_________、_________共4种.（2）直角三角形有：_________、_________、_________、_________、_________共5种.温馨提示：判定两个三角形全等，必须满足三个条件对应相等，其中不能缺少边的条件，如“AAA ”不能判定两个三角形全等；三角形全等没有“SSA ”的判定方法，而“HL ”是不同于“SSA ”的.基本思路、基本技能1.判定三角形全等的基本思路根据全等三角形的判定方法，要判定两个三角形全等，需结合题目中的已知边（或角），要迅速地确定还需要补充什么（边或角）条件，一般有以下几种思路供同学们参考.已知两边⎪⎩⎪⎨⎧→→→”运用“找另一边””或“运用“找直角”运用“找夹角SSS SAS HL SAS已知一边一角⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→→→→”运用“找该角的另一边”运用“找这条边的对角”运用“找这条边上的另一个角边是角的一条边”运用“找任意角边与角相对SAS AAS ASA AAS 已知两角⎩⎨⎧→→”运用“找其中一角的对边”运用“找两角的夹边AAS ASA2.尺规作三角形（1）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形.（2）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.（3）已知三角形的三边，求作这个三角形.（4）已知三角形两角和其中一角的对边，求作这个三角形.温馨提示：对于尺规作图应注意：①作图的痕迹要保留，不能去掉；②能够运用五种基本作图完成已知条件的三角形；③叙述作法时，语言要准确、简捷、规范.基本图形1.平移型.如图1-1、1-2中，可以把一个三角形看成是另一个三角形按一定方向、平移一定距离得到的.2.对称型.如图2-1、图2-2、图2-3、图2-4按某一条直线对折后，直线两旁的部分完全重合.3.旋转型.如图3-1、图3-2、图3-3可以看成是其中一个三角形绕某点旋转一定的角度后与另一个图形完全重合.三、须注意的一些问题1、①三角形的角平分线不同于一个角的平分线，前者是一条线段，后者是一条射线．三角形的高线是线段，而线段的垂线是直线；②锐角三角形的三夺高线都在三角形的内部，直角三角形中，有两条高线恰好是它的两条边，钝角三角形的三条高线中，有两条高线在三角形的外部，它们的垂足落在边的延长线上③三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点．2、注意：不能把“边边角”和“角角角”作为判定两个三角形全等的依据．3、注意：①在作三角形等几何作图中，作图痕迹务必保留，不能将作图痕迹抹掉②在作符合某些条件的三角形时，它的作法可能不惟一，只要作法合理，都是正确的．四、典例剖析例1、（08·太原市）如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（）A．15 B．16 C．8 D．7例2、（08·赤峰市）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这块三角形木板另外一个角是度．例3、（南宁市）如图，在ABC△中，DE AB⊥，DF AC⊥，垂足分别是E F，，BE CF=．（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；（2）选择一对你认为全等的三角形进行说明．图1-1 图1-2图2-1 图2-2 图2-3 图2-4图3-1 图3-2 图3-3BA DCE 图A CB D图例4、（08·西宁市）如图，一块三角形模具的阴影部分已破损．（1）只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC 的形状和大小完全相同的模具A B C '''？请简要说明理由．例5-1、如图，A ，B 两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B 出发沿河岸画一条射线BF ，在BF 上截取BC=CD ，过D 作DE ∥AB ，使E ，C ，A 在同一条直线上，则DE 的长就是A ，B 之间的距离.请你说明理由.例5-2、如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD ，其中AB ∥CD ，在AB ，BC ，CD 三段道路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，M 恰为BC 的中点，且E ，F ，M 在同一直线上，在BE 道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B ，E 之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.解决梯子摆放的角度问题例6、如图所示，ACED 是某儿童乐园一座建筑，现要在它两旁安放长度相等的两个滑滑梯(即BC=EF)，且要求左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的底端F 离墙根D 点的距离相等，试问两边滑梯与地面(AD)所成的角之间有什么关系？测量河宽问题例7、在一次野吹活动中，站在河边的小明和小华看着滔滔不绝河水，下面是他们之间的一段对话：小明：你能不能不用任何测量工具，利用我们刚刚学习的全等三角形知识测出河的宽度吗？小华：好象不太容易，你能解决这个问题吗？小明：只要把你的帽子借给我，我就能测出河的宽度．小华：不可能吧！小明：我先站在河边的C 点（如图2所示），压低帽檐使目光正好落在河对岸边一棵树的树根点A 处，然后我再姿势不变向后转，正好看见我们所在岸边的一个小石头B ，你量一下我到小石头B 点的距离，它就应该是这条河的宽度．根据上面的对话，你能说说小明的测量是否正确？找出全等三角形的隐含条件一、利用公共边（或公共角）相等图2图3 例1、如图1，AB DC=，AC DB=，△ABC≌△DCB全等吗？为什么？二、利用对顶角相等例2、如图2，已知AC与BD交于点O，∠A=∠C，且AD＝CB，你能说明BO=DO吗？三、利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等例3、如图3，AB=DC，BF=CE，AE=DF，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由．四、利用平行线的性质得出同位角、内错角相等例4、如图4，AB∥CD，∠A＝∠D，BF＝CE，∠AEB＝110°，求∠DFC的度数．掌握一些特殊的辅助线的添加方法例5、如图AB//CD，AD//BC，则AB=DC，AD=BC说理理由。