2013年 长春二模 数学试题

2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试 2013年长春市高中毕业班第二次调研测试 数 学(文科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分 钟，其中第II 卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡 一并交回.注意事项：1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写淸楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4. 保持卡面淸洁，不耍折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 第I 卷(选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）_ 1.己知集合P={x|x2-x-2≤O},Q= {x|log2(x-1) ≤1},则Q P = A. (-1,3) B. [-1,3) C. (1,2] D. [1,2]2. 设复数Z1=1-i,Z2=3+i,其中i 为虚数单位，则2z z z 的虚部为 A.i431+ B.431+ C. i 413- D.413-3. 在ABC 中，若tanAtanB= tanA+ tanB+ 1，则cos C 的值是A.22-B. 22-C. 21D.－212 24. 执行如图所示的程序框图，则输出的n 为 A.3 B.4C. 5D.65.设平面α丄平面β,直线βα⊄.命题p:“a//β'命题q:“a 丄α”，则命题p 成立是命题q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 右图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情 况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在 [30,35)、[35，40)、[40，45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35，40)的网民出现的频率为 A. 0.04 B. 0.06 C. 0.2 D. 0.37. 如图所示是一个几何体的三视图，其侧视图是一个边长为a 的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的 菱形，则该几何体的体积为A. 43aB. 33aC. 23a D. a38. 若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2: x:(y-mx-m) =0有三个不同的公共点， 则实数m 的取值范围是A. )3,0(B. )3,0()0,3( -C.)33,0( D. )33,0()0,33( -9. 已知等差数列{an}的前n 项和为满足a2()13=S2()13=2013,则a1 =A. -2014B. -2013C. -2012D. -201110. 已知函数f(x)满足f(x)十f(-x) = 0，现将函数f(x)的图像按照a 平移，得到g(x ）=2 + x + sin(x + 1)的图像，则a = A. (-1,-1) B. (-1,1) C (-1，-2) D. (1,2)11.已知F1,F2分别是双曲线12222=-b y a x （a>0,b>0)的左，右焦点，过F1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,B 两点，若ΔABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是A.)221,1(+B. ),221(+∞+C. )21,1(+D. ),21(+∞+12. 已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1)(x x x kx x f ，则当k>0时下列关于函数y=f[f(x)]+1的零点个数为A.1B. 2C. 3D.4 第II 卷 (非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作 答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 己知向量a,b 满足|a|= 2,丨b 丨=1, (6-2a)丄b,则|a +b|=_____.14.已知函数f(x)= (1+ tanx)cos2x 的定义域为（0, 2π)，则函数f(x)的值域为_____15. 向平面区域{(x,y)|x2+y2≤1}内随机投入一点，则该点落在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0012y x y x 内的概率等于______.16.如果一个棱柱的底面是正多边形，并且侧棱与底面垂直,这样的棱柱叫做正棱柱.已 知一个正六棱柱的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱柱的体积的最大值为____三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分12分）数列{an}的前n 项和为Sn,且Sn=23 (an-l),数列{bn}满足nn b b 411=+,且b1 =4. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式.⑵设数列{cn}满足cn = an log2bn,其前n 项和为Tn 求Tn.18. (本小题满分12分）某学校为了增强学生对数学史的了解，提高学生学习数学的积极性，举行了一次数 学史知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4名数学家与他们所著的4本著作一 对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得-2分.某参赛者随机用4条线把 数学家与著作一对一全部连接起来.(1) 求该参赛者恰好连对一条的概率. (2) 求该参赛者得分不低于6分的概率.19. (本小题满分12分） 如图，直四棱柱ABCD －A1B1C1D1底面ABCD 为菱形，AB=1AA1= 26,060=∠ABC .⑴求证:AC 丄BD1(2)求四面体D1AB1C 的体积20. (本小题满分12分）已知定点A(1，0), B 为x 轴负半轴上的动点，以AB 为边作菱形ABCD,使其两对 角线的交点恰好落在y 轴上.(1) 求动点D 的轨迹五的方程.(2) 若四边形MPNQ 的四个顶点都在曲线E 上，M ，N 关于x 轴对称，曲线E 在M 点处的切线为l ，且PQ//l①证明直线PN 与QN 的斜率之和为定值；②当M 的横坐标为43，纵坐标大于O,PQN ∠=60°时，求四边形MPNQ 的面积21. (本小题满分12分）已知函数f(x) =ax3 +bx2 +cx 的导函数为h(x)，f(x)的图像在点(-2，f(-2))处的切线方程为3x-y+8=0，且0)32(=-'h ,又函数g(x) = kxex 与函数y=ln(x +1)的图像在原点处有相同的切线.(1)求函数f(x)的解析式及k 的值.⑵若f(x) ≤g(x)-m+x +1对于任意x ∈[O,+∞]恒成立，求m 的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.如图，过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交B,C 两点，且AB=31AC,作直线AF 与圆E 相切于点F ，连接EF 交BC 于点D,己知圆E 的半径为2，EBC ∠ =30.(1)求AF 的长.⑵求证：AD=3ED.23. (本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为⎩⎨⎧==xy a x sin cos 3（a 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ(1) 求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程.(2) 设P 为曲线C1上的动点，求点P 到C2上点的距离的最小值，并求此时点P 坐标.24. (本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲.设函数R x a x x x x f ∈-+-=|,||5|)(.(1)求证：当21-=a 时，不等式lnf(x)>1成立.⑵关于x 的不等式a x f ≥)(在R 上恒成立，求实数a 的最大值.2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试 2013年长春市高中毕业班第二次调研测试 数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.C2.D3.B4.B5.B6.C7.A8.D9.D 10.B 11.C 12.D 简答与提示：C {|12}P x x =-≤≤，{|13}Q x x =<≤，则(1,2]P Q = . 故选C.D121144ziz===+，虚部为. 故选D.B由tan tan tan tan1A B A B⋅=++，可得tan tan11tan tanA BA B+=--⋅，即tan()1A B+=-，所以34A Bπ+=，则4Cπ=，cos2C=，故选B.B 初始值n s=1,=0，第1次循环后n s=2,=3，第2次循环后n s=3,=12，第3次循环后n s=4,=39，此时30s>，因此不进入第4次循环，输出4n=.故选B.B 由题意可知/p q⇒但q p⇒，则p是q的必要不充分条件. 故选B.C由[20,25)的频率为0.0150.05⨯=，[25,30)的频率为0.0750.35⨯=，又[30,35)，[35,40)，[40,45]的人数成等差，则其频率也成等差，又[30,45]的频率为10.050.350--=，则[35,40)的频率为0.2. 故选C.A32123424aV a a=⨯⨯⨯=. 故选A.D由()0x y mx m--=可知0x=，(1)y m x=+，当直线(1)y m x=+与圆2220x y x+-=相切时，3m=±，当0m=时，只有两个公共点，因此((0,)33m∈-. 故选D.D 2013100720132013S a==，所以10071a=，则2013100721006a ad-==，1201320122011a a d=-=-. 故选D.B 由函数()f x满足()()0f x f x+-=可知()f x以(0,0)点为对称中心，又()2sin(1)1sin(1)1g x x x x x=+++=++++可知()g x以(1,1)-点为对称中心，因此(1,1)a=-. 故选B.C 由题意可知：22b c a <，则22b ac <，因此222c a ac -<，不等式两边同时除以2a 得：212e e -<，即2210e e --<，解得11e <<+又双曲线的离心率1e >，因此(1,1e ∈. 故选C.D结合图像分析： 当0k >时，[()]1f f x =-，则11()(,)f x t k =∈-∞-或2()(0,1)f x t =∈；对于1()f x t =，存在两个零点12,x x ； 对于2()f x t =，存在两个零点34,x x .共计存在4个零点. 故选D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13.14.15. 14π16. 54简答与提示：由题意可知2||20b a b -⋅= ，又||b = ，则21a b ⋅=，所以222||||||24116a b a b a b +=++⋅=++=，因此||a b +=21()(1tan )cos )42f x x x x π=+=++，因为(0,)2x π∈，所以sin(2)(4x π+∈，所以()f x的值域为1(0,2+.如图所示：落在阴影部分内的概率为14π.设棱柱高为2x (03)x <<则底面积26S =，则22362)V Sh x x x ==⋅=-=-+，令2'0V =-+=解得x =则max 54V V ==-=.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)(本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查利用数列性质与递推公式求取数列通项公式以及错位相减求和的应用. 对考生的运算求解能力有较高要求. 【试题解析】解：(1) 对于数列{}n a 有3(1)2n n S a =-①113(1)(2)2n n S a n --=- ≥ ② ①-②得13()2n n n a a a -=-即13n n a a -=， 1n =时，113(1)2S a =-得13a =，则111333n n nn a a q --=⋅=⋅=； (4分)对于数列{}n b 有：114n n b b +=，可得1214()44n n n b --==.(6分)(2) 由(1)可知：242222log 3log 43log 23(42)n n n n n n n n c a b n --==⋅=⋅=- (8分)1232303(2)3(42)3nn T n =⋅+⋅+-⋅++-⋅23132303(62)3(42)3n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅231223(2)3(2)3(2)3(42)3n n n T n +-=⋅+-⋅+-⋅++-⋅--⋅2316(2)(333)(42)3n n n +=+-+++--⋅则119(13)3(2)313n n n T n -+-=-++-⋅-1155()322n n +=-+-⋅.(12分)(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，对于随机事件出现情况的分析与统计等知识的初步应用. 本题主要考查学生对数据处理的能力.【试题解析】解：记4名数学家分别为,,,a b c d ，对应的著作分别为,,,A B C D ，根据题意，不同的连线方法共对应下列24种情况：a b c d A B C D ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d A B D C ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d A C B D ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d A C D B ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d A D B C ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d A D C B ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ a b c d B A C D ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d B A D C ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d B C A D ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d B C D A ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d B D A C ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d B D C A ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ a b c d C A B D ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d C A D B ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d C B A D ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d C B D A ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d C D A B ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d C D B A ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ a b c d D A B C ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d D A C B ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d D B A C ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d D B C A ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d D C A B ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d D C B A ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭(4分) 其中恰好连对一条的情形有如下8种：a b c A C D B ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c A D B C ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c B C A D ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c B D C A ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c C A B D ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c C B D A⎛⎫ ⎪⎝⎭a b c D A C B⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c D B AC⎛⎫⎪⎝⎭恰好连对两条的情形有如下6种：a b c d A B D C ⎛⎫⎪ ⎝⎭a b c d A C B D ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d A D C B ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d B A C D ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d C B A D ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭a b c d D B C A ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭全部连对的情形只有1种：a b c d A B C D ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭(8分)(1) 恰好连对1条的概率为81243=； (10分)(2) 得分不低于6分即全部连对或恰好连对2条的概率为1672424+=. (12分)(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 连结BD 交AC 于O .因为四边形ABCD 为平行四边形，且AB AD =，所以四边形ABCD 为菱形， 则AC BD ⊥ 由直四棱柱1111ABCD A B C D -，所以1BB ⊥平面ABCD ，可知1BB AC⊥，又AC BD ⊥，则AC ⊥平面11BB D D，又1BD ⊂平面11BB D D， 则1AC BD ⊥.(6分)(2)11111111111111D AB C ABCD A B C D B ABC D ACD AA B D CC B D V V V V V V -=----111111443ABCD A B C D B ABC V V -=-=-⋅=. (12分)(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中面积求取知识的综合知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：(1) 设(,)D x y ，则由于菱形ABCD 的中心H 在y 轴上，顶点B 在x 轴上，所以(0,)2y H ，(,0)B x -，而(1,0)A ，所以(1,)2y HA =- ，(,)2yHB x =-- . 又HA HB ⊥，所以2(1,)(,)0224y y y HA HB x x ⋅=-⋅--=-+= ，即24y x =. 而D 不可能在x 轴上，所以顶点D 的轨迹E 的方程为24y x =(0)x ≠. (5分) (2) ①设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)M x y (不妨令00y >)，则00(,)N x y -，则212122212112444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-，同理104PN k y y =-，204QN k y y =-而002|l x x k y y ='===，因为l PQ k k =，所以12042y y y =+，因此1202y y y +=即2001y y y y -=-， 所以1020440PN QN k k y y y y +=+=--，即直线PN 与QN 的斜率之和为定值.(8分)② 因为M 点横坐标为34，且纵坐标大于0，所以3(4M，3(,4N .由于PN QN k k +=，且MN x ⊥轴，所以MN 平分PNQ ∠，而60PNQ ∠=︒，所以PN k =QN k =从而直线3:)4PN y x +=-，即y =；直线3:)4QN y x =-，即y =.由244y xy ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理得2485030x x ++=， 所以133448x =，即1112x =.同理24y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去y 并整理得2482321470x x -+= 所以23147448x =，即24912x =.因此21211||||2=⋅-=-=PMQN S MN x x x x .(12分)(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1) 由32()f x ax bx cx=++，可知2()'()32h x f x ax bx c==++；由()f x在(2,(2))f--处切线方程为340x y-+=可知(2)8422f a b c-=-+-=-①'(2)1243f a b c-=-+=②又由()62h x ax b'=+，可知2()4203h a b'-=-+=③.由①②③解得1,1,12a b c===，即()f x的解析式为321()2f x x x x=++. (5分)由题意，()xg x kxe=与y x=相切可知函数在原点处切线斜率为1.因为()()x xg x k e xe'=+，所以(0)1g k'==. (7分)(2)若()()1f xg x m≤-+对任意[0,)x∈+∞恒成立，即32112xx x x xe m++≤-+恒成立，则32112xm xe x x x-≤---恒成立，设32211()(1)22x xk x xe x x x x e x x =---=---，令21()12xp x e x x=---，()1xp x e x'=--，再令()1xx e xϕ=--，()10xx eϕ'=-=，解得0x=.所以当[0,)x∈+∞时，()0xϕ'≥，所以()xϕ在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0xϕϕ≥=，即()0p x'≥，所以()p x在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0 p x p≥=，所以当[0,)x∈+∞时，()0k x≥恒成立，且(0)0k=，因此，10m -≤即可，则1m ≤.(12分)(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到切割线定理以及三角形 相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解(1) 延长BE 交圆E 于点M ，连结CM ，则90BCM ∠=，又24BM BE ==，30EBC ∠=︒，所以BC =又13AB AC =，可知12AB BC ==所以根据切割线定理29AF AB AC =⋅==，即3AF =. (5分)(2) 过E 作EH BC ⊥于H ，则EDH ∆与ADF ∆相似，从而有13ED EH AD AF ==，因此3AD ED =. (10分)(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用参数方程对曲线上点到直线距离的求取等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】解(1) 对于曲线1C 有cos sin y αα==⎩⇔2222cos sin 1y αα+=+=，即1C 的方程为：2213x y +=；对于曲线2C有sin()(cos sin )42πρθρθθ+=+=⇔cos sin 8ρθρθ+=⇔80x y +-=，所以2C 的方程为80x y +-=.(5分)(2) 显然椭圆1C 与直线2C 无公共点，椭圆上点,sin )P αα到直线80x y +-=的距离为：|2sin()8|d πα+-==，当sin()13πα+=时，d取最小值为P 的坐标为31(,)22. (10分)(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】解(1) 证明：由51()||||22f x x x=-++1222153225222x xxx x⎧-+ <-⎪⎪⎪= -≤≤⎨⎪⎪- >⎪⎩得函数()f x的最小值为3，从而()3f x e≥>，所以ln()1f x>成立. (5分)(2) 由绝对值的性质得555 ()|||||()()|||222f x x x a x x a a=-+-≥---=-，所以()f x最小值为5||2a-，从而5||2a a-≥，解得54a≤，因此a的最大值为54.(10分)。