11.1.2直线的方程(2)

y
Q ( x, y )
法向量坐标
定点坐标 O x 思考:坐标平面上过 P ( x0 , y0 )的任意直线是否都可以用 点法式方程(3)来表示? 坐标平面上过P ( x0 , y0 ) 的任意直线都可以用点法式方程 来表示.
r n = ( a, b )
P ( x0 , y0 )
r 过点 P ( x0 , y0 )与非零向量 n = (a, b)垂直的直线l上的点Q( x, y ) 的坐标都满足关系式:
法向量
a ( x - x0 ) + b( y - y0 ) = 0LLLL (3)
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
Q ( x, y )
法向量坐标 l的法向量是否唯一?
O
r n = ( a, b )
P ( x0 , y0 )
l的法向量可以是 (2a,2b), ( a, b), (ka, kb)L ( k ≠ 0) 直线的法向量不是唯一的. 所有与直线垂直的非零向量都可以作为直线的法向量. 直线的法向量必须是非零的.
y
l
Q ( x, y )
r n = ( a, b )
P ( x0 , y0 )
x
过点 P ( x0 , y0 )与非零向量 n = (a, b)垂直的直线l上的点Q( x, y ) 的坐标都满足关系式:
直线的点法向式方程 r
a ( x - x0 ) + b( y - y0 ) = 0LLLL (3) l
【典型例题】 典型例题】
例2.已知直线l0的方程为 2 x y + 3 = 0 (1)求过原点, 且与l0平行的直线l1的方程;
l0
y
uu r d0
l0 的方程可以化为 2 x = y 3 x y 3 = 1 2
l0 的一个方向向量是(1,2)
l1
O
x
l1 的一个方向向量是(1,2) x0 y0 l1 的方程为 = 1 2
【第11章 坐标平面上的直线】 章 坐标平面上的直线】
直线的方程
探索
点方向式的依据: 公理.过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行. 平面几何中是否还有类似的公理或定理? 定理. 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直. l y l 转化 过一点有且仅有一条直线与 已知向量垂直.
O
l0
r n
x
r l过点P ( x0 , y0 )与非零向量 n = (a, b) 垂直, 试推倒的直线l上的 点 Q( x, y ) 的坐标所满足关系式.
课内小结
a ( x - x0 ) + b( y - y0 ) = 0LLLL (3)
y
l
Q ( x, y )
法向量坐标 定点坐标
O
r n = ( a, b )
P ( x0 , y0 )
x
坐标平面上过P ( x0 , y0 ) 的任意直线都可以用点法式方程 来表示.
�
x
【典型例题】 典型例题】
例1.已知点 A(1,2)和点 B(3,4) , 求AB中垂线l方程. 1 + 3 2 + 4 (1,3) , ) 解: AB的中点为( 2 2 uuu r 由题意 l ⊥ AB uuu r 即AB = (4,2)是l的一个法向量; 所以l的方程为: 4( x 1) + 2( y 3) = 0 法向量坐标 定点坐标
P ( x0 , y0 )
O
x
过点 P ( x0 , y0 )与非零向量 n = (a, b)垂直的直线l上的点Q( x, y ) 的坐标都满足关系式:
直线的点法向式方程 r
a ( x - x0 ) + b( y - y0 ) = 0LLLL (3)
①直线上的点的坐标都满足方程. ②以方程的解为坐标的点都在直线上. 称方程(3)为直线l的点法向式方程; O r 并称非零向量 n 为直线l的一个法向量.
l1 // l0
【典型例题】 典型例题】
例2.已知直线l0的方程为 2 x y + 3 = 0 (2)求过原点, 且与l0垂直的直线l2的方程;
l0
y
uu r d0
l0 的方程可以化为 2 x = y 3 x y 3 = 1 2
l0的一个方向向量是(1,2)
l2 ⊥l0
O
x
l2的一个法向量是 (1,2)
Q点具有怎样的几何性质? PQ具有怎样的几何性质? uuu r r uuu r r PQ ⊥ n PQ n = 0 l Q ( x, y ) y ( x x0 , y y0 ) (a, b) = 0
推导
a ( x - x 0 ) + b ( y - y0 ) = 0
r n = ( a, b)
试在下表中填入各向量间的位置关系: ur uu r ur uu r ur uu r d1 & d 2 n1 & n2 d1 & n2
uu ur r d 2 & n1
l1 // l2
l1 ⊥ l2
r 过点 P ( x0 , y0 )与非零向量 n = (a, b)垂直的直线l上的点Q( x, y ) 的坐标都满足关系式:
【课内练习】 课内练习】
1.口答下列直线方程所表示直线所过的一点及法向量.
x 1 y +1 (1) = 3 4
(3) x = 5
(2) 5( x 4) = 5( y 2) (4) y = 0
2.化下列直线方程为点法向式方程.
(1) 3 x + 4 y + 7 = 0
(2) 3 x 4 y + 5 = 0
l2
l2 的方程为1 ( x 0) + 2 ( y 0) = 0
问题拓展
1. 已知直线的点法式方程为
a ( x - x 0 ) + b ( y - y0 ) = 0
试将上述方程化为点方向式方程.
ur uu ur uu r r 2. 记直线l1,l2的方向向量及法向量分别为 d1 , d 2和 n1 , n2