人教A版高中数学选择性必修第一册第1章 1.3.1 空间直角坐标系课时练习题

§1.3空间向量及其运算的坐标表示

1．3.1空间直角坐标系

1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()

A．(1,0,0)

B．(1,0,1)

C．(1,1,1)

D．(1,1,0)

答案C

解析点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.

2．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是()

A．在x轴上B．在xOy平面内

C．在yOz平面内D．在xOz平面内

答案C

解析∵点A的横坐标为0，

∴点A(0，－2,3)在yOz平面内．

3．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是()

A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称

C．关于坐标原点对称D．以上都不对

答案C

解析当三个坐标均相反时，两点关于原点对称．

4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q 的坐标为()

A．(0，2，0) B．(0，2，3)

C．(1,0，3) D．(1，2，0)

答案B

解析由于垂足在平面yOz 上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.

5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →

等

于()

A.⎝⎛⎭⎫0，14，－1

B.⎝⎛⎭⎫－1

4，0，1 C.⎝⎛⎭⎫0，－14，1D.⎝⎛⎭⎫1

4，0，－1 答案C

解析BE →＝BB 1—→＋B 1E —→

＝k －14j ＝⎝

⎛⎭⎫0，－14，1. 6．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________. 答案0

解析点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)，∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1， ∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.

7．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________． 答案(4,0，－1)

解析设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，

则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋2

2＝－1，

∴中点坐标为(4,0，－1)．

8．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为________． 答案(5,4,1)

解析设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋1

2＝1，解得x ＝5，y ＝4，z ＝1，

故B 点的坐标为(5,4,1)．

9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC －D ′A ′B ′C ′的棱长为a ，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C ′D ′，D ′A ′，A ′A ，AB ，BC ，CC ′的中点，写出正六边形EFGHIJ 各

顶点的坐标．

解正方体DABC －D ′A ′B ′C ′的棱长为a ，且E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C ′D ′，D ′A ′，A ′A ，AB ，BC ，CC ′的中点，∴正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标为E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a ，F ⎝⎛⎭⎫a 2，0，a ，G ⎝⎛⎭⎫a ，0，a 2，H ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0，I ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，J ⎝

⎛⎭⎫0，a ，a 2. 10.如图所示，过正方形ABCD 的中心O 作OP ⊥平面ABCD ，已知正方形的边长为2，OP ＝

2，连接AP ，BP ，CP ，DP ，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，以O 为原点，⎩

⎨⎧⎭

⎬

⎫OM →，ON →，12OP →为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E ，F 分别为P A ，PB 的中点，求点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．

解由题意知，点B 的坐标为(1,1,0)．

由点A 与点B 关于x 轴对称，得A (1，－1,0)， 由点C 与点B 关于y 轴对称，得C (－1,1,0)， 由点D 与点C 关于x 轴对称，得D (－1，－1,0)． 又P (0,0,2)，E 为AP 的中点，F 为PB 的中点， 所以由中点坐标公式可得E ⎝⎛⎭⎫12，－12，1，F ⎝⎛⎭

⎫12，1

2，1.

11．已知空间中点A (1,3,5)，点A 与点B 关于x 轴对称，则向量点B 的坐标为________． 答案(1，－3，－5)

12．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为点M 1，则点M 1关于原点对称的点的坐标是________． 答案(2,0,3)

解析由题意，知点M 1的坐标为(－2,0, －3)，

所以点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．

13．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为2，则图中的点M 关于y 轴的对称点的坐标为________．

答案(－1，－2，－1)

解析因为D (2，－2,0)，C ′(0，－2,2)，所以线段DC ′的中点M 的坐标为(1，－2,1)， 所以点M 关于y 轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)．

14.如图是一个正方体截下的一角P －ABC ，其中P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________．

答案⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3

解析由题意知A (a ，0,0)，B (0，b ，0)，C (0,0，c )． 由重心坐标公式得点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3.

15．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1，－1)，则p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为________；在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为________． 答案(1,1,1)⎝⎛⎭⎫32，12，－1 解析由题意知p ＝2a ＋b －c ，

则向量p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为(1,1,1)． 设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则 p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ， 又∵p ＝2a ＋b －c ，

∴⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ＝2，x －y ＝1，z ＝－1，

解得x ＝32，y ＝1

2

，z ＝－1，

∴p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为⎝⎛⎭

⎫32，1

2，－1. 16．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．

解过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .

在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD →|＝1，|CD →

|＝3， ∴|DE →|＝|CD →|sin30°＝32，|OE →|＝|OB →|－|BE →|＝|OB →|－|BD →|cos60°＝1－12＝12，

∴点D 的坐标为⎝

⎛⎭⎫0，－12，3

2.