人教A版高中数学选择性必修第一册第1章 1.3.1 空间直角坐标系课时练习题
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第一章 空间直角坐标系
∴ ൞ 2 + ( − 2)2 + 2 = 8, 解得൞ = 2,
= 2 2,
2 + 2 + 2 = 12,
∴ (0,2,2 2).（不同的建系,坐标当然不同,这里主要介绍待定系数法求点坐标）
C级 学科素养创新练
11.如图,在长方体 − 1 1 1 1 中,,分别为1 1 ,1 1 的中点,若以{,,1 }
= (2,2,1), = (0,1,0).
B级 关键能力提升练
7.已知向量在基底{,,}下的坐标为(2,1, −1),则在基底{2,,−}下的坐标为
31
(
, ,−1)
(1,1,1)
________,在基底{
+ , − ,}下的坐标为________.
22
[解析]由题意知 = + − ,
2 (−2,1, −4).
（3）求点关于点(2, −1, −4)对称的点3 的坐标.
解设3 (, , ),则点为线段3 的中点,由中点坐标公式,可得 = 2 × 2 − (−2) = 6,
= 2 × (−1) − 1 = −3, = 2 × (−4) − 4 = −12,所以3 的坐标为(6, −3, −12).
∴ (−1, −1,0),(1, −1,0).又 = 2, = 2,
∴在Rt △ 中, = 2,∴ (0,0, 2).
（答案不唯一,也可选择其他的点建系）
6.已知正方体 − 1 1 1 1 的棱长为2,,分别为棱1 ,
的中点,如图所示建立空间直角坐标系.
正六边形各顶点的坐标.
解正方体 − ′′′′的棱长为,且,,,,,分别是棱
′′,′′,′,,,′的中点,∴正六边形各顶点的坐
人教A版高中数学选择性必修第一册第1章 1.3.2 空间向量运算的坐标表示课时练习题
1．3.2空间向量运算的坐标表示1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b 等于() A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3) 答案A解析b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 2．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是()A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85D.⎝⎛⎭⎫65，45，85 答案A解析设点C 的坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )，又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，所以x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85，所以C ⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85. 3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k ，1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是() A ．－6B ．－23C.23D ．14答案C解析由题意得a ＋2b ＝(2＋2k ，5)，且a －b ＝(2－k ，2)， 又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝23.4．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案C解析a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，所以〈a ，c 〉＝120°.5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线 |AC 1—→|的长为()A ．9B.29C ．5D ．2 6 答案B解析由已知，可得C 1(0,2,3)，所以|AC 1—→|＝(0－4)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝29.6．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n ＝________. 答案0解析因为AB →＝(m －1,1，m －2n －3)，AC →＝(2，－2,6)， 由题意得AB →∥AC →，则m －12＝1－2＝m －2n －36，所以m ＝0，n ＝0，m ＋n ＝0.7．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则a ＝________. 答案⎝⎛⎭⎫313，413，1213或⎝⎛⎭⎫－313，－413，－1213 解析设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，|a |＝1，代入坐标可解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝313，y ＝413，z ＝1213，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213.8．已知点A (－1,3,1)，B (－1,3,4)，若AP →＝2PB →，则点P 的坐标是________．答案(－1,3,3)解析设点P (x ，y ，z )，则由AP →＝2PB →，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1,3,3)．9．已知A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，求|AB →|取最小值时，A ，B 两点的坐标，并求此时的|AB →|.解由空间两点间的距离公式得 |AB →|＝(1－x )2＋[(x ＋2)－(5－x )]2＋[(2－x )－(2x －1)]2＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57， 当x ＝87时，|AB →|有最小值为357.此时A ⎝⎛⎭⎫87，277，97，B ⎝⎛⎭⎫1，227，67. 10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，P A ＝2，E 为PD 的中点．(1)求AC 与PB 所成角的余弦值；(2)在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥平面P AC ，求N 点的坐标． 解(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (3，0,0)，C (3，1,0)，D (0,1,0)，P (0,0,2)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，1，从而AC →＝(3，1,0)，PB →＝(3，0，－2)． 设AC →与PB →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝327＝3714.∴AC 与PB 所成角的余弦值为3714.(2)由于N 点在侧面P AB 内，故可设N 点坐标为(x ，0，z )，则NE →＝⎝⎛⎭⎫－x ，12，1－z ， 由NE ⊥平面P AC 可得，⎩⎪⎨⎪⎧NE →·AP →＝0，NE →·AC →＝0，即⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫－x ，12，1－z ·(0，0，2)＝0，⎝⎛⎭⎫－x ，12，1－z ·(3，1，0)＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧z －1＝0，－3x ＋12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36，z ＝1，即N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫36，0，1时，NE ⊥平面P AC .11．一束光线自点P (1,1,1)出发，被xOy 平面反射到达点Q (3,3,6)被吸收，那么光线所经过的距离是()A.37B.33C.47D.57 答案D解析P 关于xOy 平面对称的点为P ′(1,1，－1)，则光线所经过的距离为 |P ′Q |＝(3－1)2＋(3－1)2＋(6＋1)2＝57.12．已知O 为坐标原点，OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为() A.⎝⎛⎭⎫12，34，13B.⎝⎛⎭⎫12，23，34 C.⎝⎛⎭⎫43，43，83D.⎝⎛⎭⎫43，43，73 答案C解析设OQ →＝λOP →，则QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝OB →－OQ →＝OB →－λOP →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫λ－432－13. 所以当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值，此时OQ →＝43OP →＝⎝⎛⎭⎫43，43，83，即点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，43，83. 13．若a ＝(x ，2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________． 答案(－∞，－2)解析由题意，得a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ， 因为θ为钝角，所以cos θ＝a ·b|a||b|<0. 又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0， 所以x <－2. 又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)．14．三棱锥P －ABC 各顶点的坐标分别为A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,3)，则三棱锥P －ABC 的体积为________． 答案1解析由A ，B ，C ，P 四点的坐标，知△ABC 为直角三角形，AB ⊥AC ，P A ⊥底面ABC .由空间两点间的距离公式，得AB ＝1，AC ＝2，P A ＝3， 所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13×12×1×2×3＝1.15．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP →＝________. 答案⎝⎛⎭⎫337，－157，－3 解析因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0， 即1×3＋5×1＋(－2)×z ＝0，所以z ＝4. 因为BP ⊥平面ABC ，所以BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，即⎩⎪⎨⎪⎧1×(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，3(x －1)＋y ＋(－3)×4＝0， 解得x ＝407，y ＝－157，于是BP →＝⎝⎛⎭⎫337，－157，－3. 16．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC 和平面A 1B 1C 1为正三角形，所有的棱长都是2，M 是BC 边的中点，则在棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°？ 解以A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .由题意知A (0,0,0)，C (0,2,0)，B (3，1,0)，B 1(3，1,2)，M ⎝⎛⎭⎫32，32，0.又点N 在CC 1上，可设N (0,2，m )(0≤m ≤2)， 则AB 1→＝(3，1,2)，MN →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，m ，所以|AB 1—→|＝22，|MN →|＝m 2＋1，AB 1—→·MN →＝2m －1.如果异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°，那么向量AB 1—→和MN →的夹角等于45°或135°. 又cos 〈AB 1—→，MN →〉＝AB 1—→·MN →|AB 1—→||MN →|＝2m －122×m 2＋1.所以2m －122×m 2＋1＝±22，解得m ＝－34，这与0≤m ≤2矛盾．所以在CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°.。
2023年高中数学人教A版选择性必修第一册1.3空间向量及其运算的坐标表示 课时分层练习题含答案解析
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系 ................................................................................................................ 1 1.3.2空间向量运算的坐标表示 (7)1.3.1空间直角坐标系基础练习一、单选题1．已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,1,4)--- B ．(3,1,4)-- C ．(3,1,4)- D ．(3,1,4)【答案】D【分析】利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答. 【详解】依题意，点(3,1,4)P --关于y 轴对称的点的坐标为(3,1,4).2．（2022·广东·高二阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，且2PB A B ==，若3PC P Q =，则点Q 的空间直角坐标为（ ）A ．()3,2,1B ．44,2,33⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2,3D ．()1,2,1【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算.【详解】由题意得()0,2,0C ，()2,2,2P ，所以()2,0,23PC PQ =--=， 所以()22,0,33PQ =--，所以Q 的坐标为()()()2244,0,2,2,2,2,3333--+=．3．点()3,4,5A -关于坐标平面Oxy 对称的点的坐标是（ ） A ．()3,4,5B ．()3,4,5--C ．()3,4,5--D ．()3,4,5---【答案】C【分析】本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可. 【详解】因为点(,,)x y z 关于Oxy 平面对称的点的坐标是(,,)x y z -， 所以点()3,4,5A -关于xOz 平面对称的点的坐标是()3,4,5--， 二、多选题4．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 的边长为2，三棱柱的高为111,,BC B C 的中点分别为1,D D ，以D 为原点，分别以1,,DC DA DD 的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）A ．()1A B ．()11,0,1CC ．()10,AD = D ．()13,1B A =-【答案】ABC【分析】求出等边三角形的高AD 的长，根据三棱柱的棱长可得各点坐标，然后求得向量的坐标即可判断．【详解】在等边ABC 中，2,1AB BD ==，所以AD =，则()()()111,,1,0,1,)(0,0,1A A C D ，()11,0,1B -，则()()110,3,1,1,3,1AD B A =-=-. 三、填空题5．在空间直角坐标系中，点()3,1,4-A 关于xOy 平面对称的点B 的坐标为______． 【答案】(3,1,4)--【分析】空间直角坐标系中任一点(,,)P a b c 关于坐标平面xOy 的对称点(,,)P a b c - ，写出结果即可【详解】由题意可得：点(3,1,4)A -关于xOy 平面的对称点的坐标是(3,1,4)B -- ， 6．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z ，下列叙述中，正确的序号是_______.①点P 关于x 轴的对称点是1(,,)P x y z - ②点P 关于yOz 平面的对称点是2(,,)P x y z -- ③点P 关于y 轴的对称点是3(,,)P x y z -④点P 关于原点的对称点是4(,,)P x y z --- 【答案】④【分析】根据空间坐标的对称性进行判断即可．【详解】解：①点P 关于x 轴的对称点的坐标是(x ，y -，)z -，故①错误； ②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是(x -，y ，)z ，则②错误； ③点P 关于y 轴的对称点的坐标是(x -，y ，)z -，则③错误； ④点P 关于原点的对称点的坐标是(x -，y -，)z -，故④正确， 故正确的序号是④. 三、解答题7．在正方体1111ABCD A B C D -中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求AB ，1DC ，1B D 的坐标．【分析】利用正方体的几何特征建立空间直角坐标系，求出点的坐标，由此即可求出向量坐标.【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()11,1,1C ，()11,0,1B ， ∴()1,0,0AB =，()11,0,1DC =，()11,1,1B D =--.8．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，分别求点(2,1,4)P -关于x 轴、xOy 平面、坐标原点对称的点的坐标．【答案】关于x 轴对称()2,1,4---，关于xOy 平面对称()2,1,4--，关于坐标原点对称()2,1,4-- 【分析】根据空间直角坐标系中点关于x 轴、xOy 平面、坐标原点对称的点的特征即可得出答案.【详解】解：点(2,1,4)P -关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---， 关于xOy 平面对称的点的坐标为()2,1,4--， 关于坐标原点对称的点的坐标为()2,1,4--.提升训练一、单选题1．点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（ ） A ．1[1,]4--B ．11[,]24--C ．[1,0]-D ．1[,0]2-【答案】D【分析】以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点P 的坐标为(,,)x y z ，其中01,01,1x y z ≤≤≤≤=，用坐标运算计算出1PA PC ⋅，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．【详解】以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点1(1,0,0),(0,1,1)A C 设点P 的坐标为(,,)x y z ，由题意可得 01,01,1x y z ≤≤≤≤=， 1(1,,1),(,1,0)PA x y PC x y ∴=---=--22221111(1)(1)0222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----+=-+-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由二次函数的性质可得，当12x y ==时1PA PC ⋅取得最小值为12-；当0x =或1，且0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值为0，则1PA PC ⋅的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段AB 上一点,且23AC AB = ,则点C 的坐标为( ) A ． 715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 7(,1,1)3--D ． 573(,,)222-【答案】C【分析】设出C 点的坐标，根据A ，B ，C 三个点的坐标，写出两个向量的坐标，根据两个向量之间的关系，得到关于x ，y ，z 的关系式，在每一个关系式中解出变量的结果，得到要求的点的坐标．【详解】设C 的坐标是（x ，y ，z ） ∵A(3,3,-5),B(2,-3,1)，∴166,335AB AC x y z =--=--+（，，）（，，） ∵23AC AB =， ∴2335166,3x y z --+=--（，，）（，，） 由此解得7,1,1,3x y z ==-=- ，3．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则1BE 等于A ．10,,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,0,14⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,,14⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,0,14⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据空面向量运算法则，利用 BE OE OB =- ，即可得出．【详解】由题，在空间直角坐标系中，正方体1111ABCD A B C D －的棱长为1，111B E A B ＝， 则3110(11)4B E （，，），，，，31(11)110(01)44BE OE OB ∴=-=-=-，，（，，），，，二、填空题4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{}1,,AB AD AA 为基底，则向量AE 的坐标为___，向量AF 的坐标为___，向量1AC 的坐标为___.【答案】 1,1,12⎛⎫⎪⎝⎭1112⎛⎫⎪⎝⎭,, (1,1,1) 【分析】利用向量的运算用1,,AB AD AA 表示向量AE ，AF ，1AC ，即可得出答案.【详解】因为11112AE AD DD D E AB AD AA =++=++，所以向量AE 的坐标为1,1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为11112AF AB BB B F AB AD AA =++=++， 所以向量AF 的坐标为1112⎛⎫⎪⎝⎭,,. 因为11AC AB AD AA =++，所以向量1AC 的坐标为(1,1,1). 三、解答题5．已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2). (1)若DB AC,DC AB ,求点D 的坐标;(2)问是否存在实数α,β,使得AC =αAB +βBC 成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由. 【答案】（1）()1,1,2D -；（2）1αβ==【分析】（1）设D(x,y,z )，由向量平行的坐标运算可求得D 点坐标．（2）假设存在，由待定系数法求解．【详解】(1)设D(x,y,z ),则DB =(-x,1-y,-z),AC =(-1,0,2),DC =(-x,-y,2-z),AB =(-1,1,0). 因为DB AC,DC AB ,所以(-,1-,-)(-1,0,2),(-,-,2-)(-1,1,0),x y z m x y z n =⎧⎨=⎩解得-1,1,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即D(-1,1,2).(2)依题意AB =(-1,1,0),AC =(-1,0,2),BC =(0,-1,2).假设存在实数α,β,使得AC =αAB +βBC 成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),所以1,-0,22,ααββ=⎧⎪=⎨⎪=⎩故存在α=β=1,使得AC =αAB +βBC 成立.1.3.2空间向量运算的坐标表示基础练习一、单选题1．已知()()1,2,5,1,,1a b x =-=-，且2a b ⋅=，则x 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【分析】由向量数量积的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设，1252a b x ⋅=-+-=，可得4x =. 2．已知向量()3,2,1a =，()2,4,0b =，则42a b -=（ ） A ．()16,0,4 B ．()8,16,4 C ．()8,16,4- D ．()8,0,4【答案】D【分析】根据向量的数乘以及减法运算，即可求得答案.【详解】()()()()()4243,2,122,4,012,8,44,8,08,0,4a b -=-=-=,3．已知直线2,l l l 的方向向量分别为()()1,4,2,2,1,a b m =-=-，若12l l ⊥，则m 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】根据12l l ⊥列方程，化简求得m 的值.【详解】由于12l l ⊥，所以()()124120,1m m ⨯-+⨯+-⨯==.4．已知()1,4,4a =--，(),2,21b m m =-+，若a b ∥，则m 的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12-D ．12【详解】因为a b ∥，所以m 5．（2022·福建龙岩·高二期中）已知直线l 的一个方向向量为，平面的一个法向量为()3,1,2n =-r，若l α∥，则x =（ ）A ．6-B ．6C ．4-D ．4【答案】D【分析】若//l α，则m n ⊥，从而0m n ⋅=r r即可求解【详解】若//l α，则m n ⊥，从而0m n ⋅=r r即32100x --=,解之得：4x =6．（2022·全国·高二）设,x y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则||x y +=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【详解】02a c a c x ⊥⇒⋅=⇒b ∥1224yc y ⇒=⇒=--， ∴1x y +=.7．已知()2,3,1a =-，()2,0,3b =，()0,0,2c =，则()a b c ⋅+=（ ） A ．5 B ．4 C ．7 D ．9【答案】D【分析】根据空间向量的坐标运算，即可求解.【详解】()=2,0,5b c +,()2,3,1a =-,()()220351=9a b c ∴⋅+=⨯+⨯-+⨯ 8．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成3π夹角的是（ ） A ．()1,1,0- B ．()1,1,0- C ．()0,1,1- D ．()1,0,1--【分析】利用空间向量夹角公式进行逐一判断即可：因为向量(1,0,1a =-12=-，所以向量(1,0,1a =-：因为向量(1,0,1a =-所以向量()1,0,1a =-与向量：因为向量(1,0,1a =-所以向量()1,0,1a =-与向量：因为向量(1,0,1a =-，所以向量(1,0,1a =-9．在正三棱柱111-ABC A B C 中，12=，E 为棱AB 的中点，F 为线段1上的一点，且1AC EF ⊥，则1B FFB=（ ） A ．10 B ．12 C ．15 D ．20且与1AA 同向的方向分别为⎫⎪⎭，设F ⎛ ⎝132AC EF ⎛⋅= ⎝10．（2022·全国·高二专题练习）给出下列命题：①若空间向量a b ，满足a b =则a b = ②空间任意两个单位向量必相等③若空间向量a b c ，，满足a c b c ⋅=⋅，则a b = ④在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，必有11BD B D =⑤向量a =（1，1，0 其中假命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4若空间向量a b ，满足a b =，向量a 与b 方向不一定相同，在②中，空间任意两个单位向量的模必相等，但方向不一定相同，故②是假命题；在③中，若空间向量a b c ，，满足a c b c ⋅=⋅，，则向量a 与b 不一定相等，故③是假命题；ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，由向量相等的定义得必有11BD B D =，故④是真命在⑤中，由模的定义得向量a =（1，1，故⑤是真命题． 11．（多选）已知向量()1,0,1a =-r，则下列向量中与a 的夹角为60°的是（ ）A ．()1,1,0-B ．()1,1,0-C ．()0,1,1--D ．()1,0,1-【分析】设向量(),,b x y z =1,=2ba b a a b >⋅<=，再结合选项逐一判断即可【详解】解：不妨设向量(),,b x y z =， 若(1,1,0b =-111,=22a b a b a b -⨯=>-⋅<≠=若(1,1,0b =-1,=2ba b a b a ⋅=>⨯若(0,1,b =--1,2a a b a b b⋅==<>⨯若(1,0,1b =-2,22a b a a b b=-⨯⋅=<>12．（2022·全国·高二）已知空间向量(2,1,1a =--，()3,4,5b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2//a b a + B ．53a b =。
高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第一章1.3节《空间向量及其运算的坐标表示》课后练习
人教A 版（2019）选择性必修第一册1.3节空间向量及其运算的坐标表示 课后练习一、单选题1．已知()()2,1,3,1,2,1a b =-=-，若()a ab λ⊥-，则实数λ的值为 （ ） A ．-2 B ．145 C ．143- D ．22．已知点()1,1,0A ，向量12AB →()4,1,2=，则点B 的坐标为（ ） A ．()7,1,4- B ．()9,3,4 C ．()3,1,1 D ．()1,1,1-3．如果三点()1,5,2A -，()2,4,1B ，(),3,2C a b +在同一条直线上，则()A ．3,2a b ==B ．6,1a b ==-C ．3,3a b ==-D ．2,1a b =-=4．已知向量()()()231203002a b c =-==，，，，，，，，，则()a b c ⋅+=（ ） A ．6 B ．7 C ．9 D ．135．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9 B ．7 C ．5 D ．36．已知空间直角坐标系O xyz -中，)2,1,1(),2,1,2(),3,2,1(===，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭7．若直线的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则满足α的向量a 与n 可能为（ ） A ．(),,a =135，()1,0,1n =B ．()1,0,0a =，()2,0,0n =-C ．()1,1,3a =-，()0,3,1n =D ．()0,2,1a =，()1,0,1n =--8．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3BC =，12AA =，空间中存在一动点P 满足11B P =，记1I AB AP =⋅，2I AD AP =⋅，31I AC AP =⋅，则（ ）.A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意的点P ，有12I I >D ．对任意的点P ，有23I I > 二、填空题9．若向量()()2,3,6,1,0,3a b =-=--，则2a b -=_____10．已知向量a =（4，﹣5，12），b =（3，t ，23），若a 与b 的夹角为锐角，则实数t 的取值范围为_____． 11．已知()12a y =-，，，()12b x =，，，且()2a b +//()2a b -，则xy =_________ 12．已知向量()2,1,3a =-，()4,,2b y =-，且()a ab ⊥+，则y 的值为__________．三、解答题13.已知正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 棱长为2， E,F,G 分别为 AA 1,DD 1,BC 的中点，若线段 DG 上一点 M 满足 FM ⊥C 1E ．（1）确定M的位置；（2）求C1E与平面C1FM所成角的正弦值．14.已知向量a→，b→，c→分别平行于x轴，y轴，z轴，他们的坐标各有什么特点？15.已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE .（1）若P是BC的中点，求证：DP//平面EAB；（2）求平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角θ的余弦值.16.如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．参考答案1．D2．B3．A4．C5．D6．C7．C8．C9．1310．（﹣∞，4）11．2 12．1213.【答案】 （1）解：正方体中有 DA,DB,DD 1 两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系则有 C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =C 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−1) ， F(0,0,1)设 DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FD⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−1)+λ(1,2,0) =(λ,2λ,−1) 因为 FM ⊥C 1E ，所以 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即 (λ,2λ,−1)⋅(2,−2,−1)=02λ−4λ+1=0 ， λ=12故 M 为 DG 中点．（2）解：由（1）得 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,−1) ，另外 FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1) 设平面 C 1FM 的一个法向量 n⃗ =(x,y,z) 则 {n ⋅FM =0n ⋅FC 1=0 ，即 {12x +y −z =02y +z =0，取 y =−1 ，有 z =2 ， x =6 ， 此时 n⃗ =(6,−1,2) cos〈n ⃗ ,C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=n ⃗ ⋅C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗ |⋅|C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √36+1+4⋅√4+4+1=√414√4141 ∴ C 1E 与平面 C 1FM 所成角的正弦值为 4√4141【解析】（1）建立空间直角坐标系，表示出 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及 C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据 FM ⊥C 1E 则 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 求出参数的值，即可确定 M 的位置；（2）求出平面 C 1FM 的法向量，和直线 C 1E 的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线C1E与平面C1FM所成角的正弦值；14.【答案】解：向量a→，b→，c→分别平行于x轴，y轴，z轴，所以向量a→的横坐标不为0，横坐标为0，竖坐标为0；向量b→的横坐标为0，横坐标不为0，竖坐标为0；向量c→的横坐标为0，横坐标为0，竖坐标不为0；【解析】直接利用向量与坐标轴的关系，写出结果即可．15.【答案】（1）证明：设AB＝a，取AC的中点O，连接EO，OP.∵AE＝AC，又∠EAC＝60°，∴EO⊥AC.又平面ABC⊥平面ACDE，∴EO⊥平面ABC，∴EO⊥OP，又OP∥AB，AB⊥AC，所以OP⊥AC.以射线OP，OC，OE分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则C（0，a2，0），A（0，－a2，0），E（0，0，√32a），D（0，a2，√32a），B（a，－a2，0）.则P（a2，0，0），设平面EAB 的法向量为 n ⃗ ＝（x0 ， y0 ， z0）. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（a ，0，0）， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（0， a 2 ， √32a ）， ∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ n ⃗ ＝0， AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ n ⃗ ＝0， 即 {a 2y 0+√32az 0=0x 0a =0，令z0＝1，得y0＝－ √3 ，又x0＝0， ∴ n⃗ ＝（0，－ √3 ，1）. ∴ n ⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√3,1)⋅(a 2,−a 2,−√32a)=0 ， ∴DP∥平面EAB （另法：取AB 中点F ，然后证DP∥EF 或证平面ODP∥平面EAB ）（2）解：设平面EBD 的法向量为 n 1⃗⃗⃗⃗ ＝（x1 ， y1 ， z1），易知平面ACDE 的一个法向量为 n 2⃗⃗⃗⃗ ＝（1，0，0）.∵ {n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即 {ax 1−a 2y 1−√32az 1=0a 2y 1=0 ， 令z1＝1，则x1＝ √32 ，y1＝0， n 1⃗⃗⃗⃗ ＝（ √32 ，0，1）. ∴ cos θ=|n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗ |=√217. 【解析】（1）以射线OP ，OC ，OE 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和直线的方向向量平行证得线面平行；（2）由题意利用空间向量的夹角与距离求解公式解出即可．16.【答案】 （1）证明：取AC 中点O ，连结DO 、BO ，∵△ABC 是正三角形，AD=CD ，∴DO⊥AC ，BO⊥AC，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO ，∵BD ⊂平面BDO ，∴AC⊥BD．（2）解：设AD=CD= √2 ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，∴BO= √4−1 = √3 ，∴BO2+DO2=BD2 ， ∴BO⊥DO，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则C （﹣1，0，0），D （0，0，1），B （0， √3 ，0），A （1，0，0），设E （a ，b ，c ）， DE⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，（0≤λ≤1），则（a ，b ，c ﹣1）=λ（0， √3 ，﹣1），解得E （0， √3λ ，1﹣λ），∴ CE ⃗⃗⃗⃗ =（1， √3λ，1−λ ）， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣1， √3λ，1−λ ），∵AE⊥EC，∴ AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗ =﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0， 由λ∈[0，1]，解得 λ=12 ，∴DE=BE，∵四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点A 到平面BCD 的高h ，∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE ，∴四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1．【解析】（1.）取AC 中点O ，连结DO 、BO ，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO ，由此能证明AC⊥BD．（2.）设AD=CD= √2 ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO= √3 ，推导出BO⊥DO，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE ，由此能求出四面体ABCE 与四面体ACDE的体积比．。
人教A版高中数学选择性必修第一册1.3空间向量及其运算的坐标表示 经典例题及配套练习题
C1D1 上，
B1E1
1 4
A1B1 ，
D1F1
1 4
C1D1 ．
图 1.3-9
（1）求 AM 长．
的 （2）求BE1与 DF1所成角的余弦值．
分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点 A，M 的坐标，利用空间两点间的距离公式
求出 AM 的长．（2）BE1 与 DF1 所成的角就是 BE1 ，DF1 所成的角或它的补角．因此，可以通过 BE1 ，
（2）写出点 P 2,3, 4 在三个坐标平面内的射影的坐标． （3）写出点 P 1,3,5 关于原点成中心对称的点的坐标． 【答案】（1）平面 yoz 与 x 轴垂直,平面 xoz 与 y 轴垂直,平面 xoy 与 z 轴垂直；（2）点 P 2,3, 4 在平面 yoz 的射影的坐标 P0,3, 4 ,点 P 2,3, 4 在平面 xoy 的射影的坐标 P2,3,0 ；点 P 2, 3, 4 在平面 xoz 的射影的坐标 P2, 0, 4 ；（3）点 P 1, 3, 5 关于原点对称点的坐标是 P1, 3, 5 ．
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系 例 1 如图 1.3-6，在长方体 OABC DABC 中， OA 3， OC 4 ， OD 2 ，以
1 3
OA,
1 4
OC,
1 2
OD
为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
Oxyz
．
图 1.3-6
（1）写出 D¢，C， A ， B 四点的坐标； （2）写出向量 AB ， BB ， AC ， AC 坐标．
图 1.3-8
分析：要证明 EF DA1 ，只要证明 EF DA1 ，即证 EF DA1 0 ．我们只要用坐标表示 EF ，DA1 ，
1.3.1 空间直角坐标系(同步练习)(附答案)—高二上学期数学选择性必修第一册
1.3.1 空间直角坐标系（同步练习）一、选择题1．点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在()A．y轴上B．Oxy面上C．Ozx面上D．Oyz面上2.在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于Ozx平面对称的点的坐标为()A．(3，－1,5) B．(－3，－1,5)C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)3.已知点A(－3，1，4)，则点A关于x轴对称的点的坐标为()A.(－3，－1，－4)B.(－3，－1，4)C.(3，1，4)D.(3，－1，－4)4.在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)到平面Ozx的距离是()A．1 B．2C．3 D．145.已知点A(1，－1，2)关于y轴的对称点为B，则|AB|＝()A.2 5B.2 6C.2D.3 26.在空间直角坐标系中，点A(2，－2，4)与点B(－2，－2，－4)关于()A.原点对称B.x轴对称C.y轴对称D.z轴对称7.(多选)已知点M(x，y，z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则()A.与点M关于x轴对称的点是(x，－y，－z)B.与点M关于原点对称的点是(－x，－y，－z)C.与点M关于xOy平面对称的点是(x，y，－z)D.与点M关于yOz平面对称的点是(x，－y，z)二、填空题8.在空间直角坐标系中，点A(1，－1，1)关于原点对称的点的坐标为________．9.点P(－3,2，－1)关于平面Ozx的对称点是______________，关于z轴的对称点是________，关于M(1,2,1)的对称点是________．10.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则向量AC 1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是__________11.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB→的坐标为__________，1DC 的坐标为_________12.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面Oyz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为___________三、解答题 13.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(底面为正方形的直棱柱)中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上且C 1E ＝3EC ．试建立适当的空间直角坐标系，写出点B ，C ，E ，A 1的坐标．14.如图，点A(0，0，a)，在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°， ∠ADB ＝30°，E ，F 分别是AC ，AD 的中点，求点D ，C ，E ，F 的坐标．15.如图，在底面是菱形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面的边长为a，且∠A1B1C1＝120°，侧棱长为2a，在空间直角坐标系中确定点A1，D，C的坐标．参考答案：一、选择题1.C2.A3.A4.B5.A6.C7.ABC二、填空题8.答案：(－1，1，－1) 9.答案：(－3,－2,－1)，(3,－2,－1)，(5,2,3)10.答案：(3,2,5) 11.答案：(1,0,0)，(1,0,1) 12.答案：(2，－3，1)三、解答题13.解：以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ．依题设可得B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A 1(2，0，4)．14.解：如题图空间直角坐标系所示，因为∠ADB ＝30°，所以AB BD＝tan 30°．所以BD ＝3a ． 所以D(0，3a ，0)．又因为BC ＝CD 且∠BCD ＝90°，所以△BCD 是等腰直角三角形，则C 在y 轴的投影点为BD 中点， 所以C ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0． 又因为E 是AC 中点，且A(0，0，a)，C ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，由中点坐标公式可知E ⎝⎛⎭⎫34a ，34a ，a 2． 又因为F 是AD 中点，且A(0，0，a)，D(0，3a ，0)，由中点坐标公式可知F ⎝⎛⎭⎫0，32a ，a 2．15.解：因为点A 1在坐标平面Oxy 内，所以点A 1的竖坐标为0．又由平面几何知识得x 轴是A 1D 1的垂直平分线，所以A 1H ＝a 2，OH ＝32a ，所以A 1⎝⎛⎭⎫32a ，－a 2，0． 同理可得D ⎝⎛⎭⎫32a ，a 2，2a ，C(0，a ，2a)．。
1.3.1空间直角坐标系(分层作业 解析版 高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第一册)
1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】题型1空间向量的坐标表示题型2空间向量线性运算的坐标表示5.已知(1,2,1)a =，(2,4,1)b =-，则2a b +等于（）A ．(4,2,0)-B ．(4,0,3)C ．(4,0,3)-D ．(4,0,3)-【答案】B【分析】根据向量坐标运算即可.【详解】22(1,2,1)(2,4,1)(4,0,3)a b +=+-=.故选：B.6.已知向量()3,4,2a =-，()2,3,1b =-，则2a b -=（）A ．()7,10,4-B ．()5,7,3-C ．()1,1,1-D ．()1,2,0-【答案】D【分析】根据向量线性运算的坐标表示得出答案.【详解】()()()2322,423,2211,2,0a b -=-⨯--⨯--⨯=-，故选：D.题型3空间向量数量积的坐标表示7.已知(2,1,3)AB =-，(4,1,1)BC =-，则AB BC ⋅=（）A ．7-B ．6-C ．5-D ．4-【答案】BA．点1C的坐标为（2，0，2）BD的中点坐标为（1，1，C．1【答案】BCD【分析】根据空间直角坐标系，可求点BD的中点坐标，可判断利用中点坐标公式求得1【详解】根据题意可知点1C的坐标为A由空间直角坐标系可知：(2,0,0),B由空间直角坐标系可知：(2,点1B坐标为(2,2,2)，关于于y故选：BCD【答案】B【分析】利用向量空间向量坐标运算法则求解．【详解】()1,3,2a =--，()1,2,0b =，∴1607a b ⋅=--+=-．故选：B【能力提升】一、单选题A ．(2,2,1)B ．(2,2,2)【答案】D【分析】根据已知条件求得OE .【详解】依题意，12EB EB =，所以所以OE =42,2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.二、多选题因为230OA OB OC ++=，所以所以,,,O A B C 四点共面，如图，取AC 中点为D ，取则2,OA OC OD OB OC +=+【详解】如图，建立空间直角坐标系，则(,0,0)A a ，，∴11(0,,0)A B a =，(,,0)AC a a =-，，1,,222a a a A O ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．∴11A B AC ⋅2，对．ACD.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中根据几何体的结构特征建【详解】由题意，得：(),,OB x y z =，且()=3,,4OB OA λλλλ=--，其中0λ<，则3x λ=-，y λ=-，4z λ=，则：0x y z ++=，即选项A 正确；3x y =，即选项B 正确；0x z λ+=<，即选项C 错误；4440y z λλ+=-+=，即选项D 正确.故选：ABD.三、填空题四、解答题【答案】坐标系如图，E ⎛ ⎝【分析】以D为坐标原点，以中点的坐标的概念求解.【详解】以D为坐标原点，以点E在xDy平面上的投影为点B点F在xDy平面上的投影为BD的中点【答案】答案见解析【分析】根据空间直角坐标系的定义和空间坐标的表示方法求解【详解】取BC 中点为E ，连接因为AB AC =，所以AE BC ⊥，且AD BC ∥，所以AE AD ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AE AD 建立如图所示的空间直角坐标系19.如图，在空间直角坐标系O xyz -(1)写出点B '的坐标，并将OB '用标准正交基{},,i j k 表示；(2)求OC '的坐标．【答案】(1)点B '的坐标为(6,8,5)，685OB i j k '=++．(2)(0,8,5)OC '=【分析】（1）直接利用空间向量的坐标表示即可得到B '点坐标，由向量加法的坐标表示即可将OB '用标准正交基{},,i j k 表示；（2）直接利用空间向量的坐标表示即可得到OC '坐标.（1）因为6OA =，8OC =，5OO '=，所以点B '的坐标为(6,8,5)，从而(6,8,5)685OB i j k '==++．（2）同理因为6OA =，8OC =，5OO '=，易得点C '的坐标为(0,8,5)，所以(0,8,5)OC '=．【答案】答案见解析【分析】方法一：利用余弦定理可求得,,x y z 轴可建立空间直角坐标系，根据长度关系可得各点坐标；方法二：作CM AB ⊥，利用余弦定理可求得轴可建立空间直角坐标系，根据长度关系可得各点坐标【详解】方法一：连接AC则()0,0,0C ，()0,1,0B ，(A 方法二：过C 作CM AB ⊥，垂足为//AB CD Q ，60ABC ∠=，AD 在ADC △中，22AC AD =+由3AC =，1BC =，ABC ∠1CB =，60ABC ∠=，CM ∴则33,,022A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，13,22B ⎛- ⎝。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第一章 1.3.1 空间直角坐标系
有序实数组(, , )；反之,给定一个有序实数组(, , ),空间也
有唯一的点与之对应.
2.［苏教版教材习题］已知正方体 − ′′′′的棱长为2,建立如图所示的空间直
角坐标系,写出正方体各顶点的坐标.
解由正方体的性质,可得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),′(0,0,2),′(2,0,2),
= + + .在单位正交基底{, , }下与向量对应的有序实数组(, , ),叫做
点在空间直角坐标系中的坐标,记作(, , ).其中叫做点的横坐标,叫做点的纵
坐标,叫做点的竖坐标.
3.向量的坐标
在空间直角坐标系中,给定向量,作 = .由空间向量基本定理,存在唯一的
有序实数组(, , ),使 = + + .
有序实数组(, , )叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作 =
(, , ).（当向量的始点为坐标原点时,向量的坐标与向量终点坐标是一致的）
名师点睛
1.画空间直角坐标系时,一般使∠ = 135∘ （或45∘ ）,∠ = 90∘ .三个坐
标系.
（1）1 ,1 ,,1 ；
解 1 (2, −2,0),1 (2,2,0)，(2,0,2 3)，1 (0, −2,0).
（2）；
解 ∵ 是△ 1 1 的重心,∴ =
（3）.
2+2+0 2+0−2 0+2 3+0
(
,
,
)
3
3
3
解 由题知(0,0,2 3),则1 = (0,2,2 3).
坐标表示.通过空间直角坐标系的建立及空间向量的坐标表示,培养学生的数学抽象、
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§1.3空间向量及其运算的坐标表示
1．3.1空间直角坐标系
1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()
A．(1,0,0)
B．(1,0,1)
C．(1,1,1)
D．(1,1,0)
答案C
解析点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.
2．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是()
A．在x轴上B．在xOy平面内
C．在yOz平面内D．在xOz平面内
答案C
解析∵点A的横坐标为0，
∴点A(0，－2,3)在yOz平面内．
3．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是()
A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称D．以上都不对
答案C
解析当三个坐标均相反时，两点关于原点对称．
4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q 的坐标为()
A．(0，2，0) B．(0，2，3)
C．(1,0，3) D．(1，2，0)
答案B
解析由于垂足在平面yOz 上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.
5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →
等
于()
A.⎝⎛⎭⎫0，14，－1
B.⎝⎛⎭⎫－1
4，0，1 C.⎝⎛⎭⎫0，－14，1D.⎝⎛⎭⎫1
4，0，－1 答案C
解析BE →＝BB 1—→＋B 1E —→
＝k －14j ＝⎝
⎛⎭⎫0，－14，1. 6．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________. 答案0
解析点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)，∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1， ∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.
7．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________． 答案(4,0，－1)
解析设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，
则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋2
2＝－1，
∴中点坐标为(4,0，－1)．
8．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为________． 答案(5,4,1)
解析设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋1
2＝1，解得x ＝5，y ＝4，z ＝1，
故B 点的坐标为(5,4,1)．
9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC －D ′A ′B ′C ′的棱长为a ，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C ′D ′，D ′A ′，A ′A ，AB ，BC ，CC ′的中点，写出正六边形EFGHIJ 各
顶点的坐标．
解正方体DABC －D ′A ′B ′C ′的棱长为a ，且E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C ′D ′，D ′A ′，A ′A ，AB ，BC ，CC ′的中点，∴正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标为E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a ，F ⎝⎛⎭⎫a 2，0，a ，G ⎝⎛⎭⎫a ，0，a 2，H ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0，I ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，J ⎝
⎛⎭⎫0，a ，a 2. 10.如图所示，过正方形ABCD 的中心O 作OP ⊥平面ABCD ，已知正方形的边长为2，OP ＝
2，连接AP ，BP ，CP ，DP ，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，以O 为原点，⎩
⎨⎧⎭
⎬
⎫OM →，ON →，12OP →为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E ，F 分别为P A ，PB 的中点，求点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．
解由题意知，点B 的坐标为(1,1,0)．
由点A 与点B 关于x 轴对称，得A (1，－1,0)， 由点C 与点B 关于y 轴对称，得C (－1,1,0)， 由点D 与点C 关于x 轴对称，得D (－1，－1,0)． 又P (0,0,2)，E 为AP 的中点，F 为PB 的中点， 所以由中点坐标公式可得E ⎝⎛⎭⎫12，－12，1，F ⎝⎛⎭
⎫12，1
2，1.
11．已知空间中点A (1,3,5)，点A 与点B 关于x 轴对称，则向量点B 的坐标为________． 答案(1，－3，－5)
12．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为点M 1，则点M 1关于原点对称的点的坐标是________． 答案(2,0,3)
解析由题意，知点M 1的坐标为(－2,0, －3)，
所以点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．
13．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为2，则图中的点M 关于y 轴的对称点的坐标为________．
答案(－1，－2，－1)
解析因为D (2，－2,0)，C ′(0，－2,2)，所以线段DC ′的中点M 的坐标为(1，－2,1)， 所以点M 关于y 轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)．
14.如图是一个正方体截下的一角P －ABC ，其中P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________．
答案⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3
解析由题意知A (a ，0,0)，B (0，b ，0)，C (0,0，c )． 由重心坐标公式得点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3.
15．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1，－1)，则p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为________；在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为________． 答案(1,1,1)⎝⎛⎭⎫32，12，－1 解析由题意知p ＝2a ＋b －c ，
则向量p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为(1,1,1)． 设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则 p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ， 又∵p ＝2a ＋b －c ，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ＝2，x －y ＝1，z ＝－1，
解得x ＝32，y ＝1
2
，z ＝－1，
∴p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为⎝⎛⎭
⎫32，1
2，－1. 16．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．
解过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .
在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD →|＝1，|CD →
|＝3， ∴|DE →|＝|CD →|sin30°＝32，|OE →|＝|OB →|－|BE →|＝|OB →|－|BD →|cos60°＝1－12＝12，
∴点D 的坐标为⎝
⎛⎭⎫0，－12，3
2.。