高 中 数 学 空 间 直 角 坐 标 系 试 题
(压轴题)初中数学八年级数学上册第三单元《位置与坐标》检测(有答案解析)(2)
一、选择题1．在平面直角坐标系中，点（－1，3）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．点(3, 2)P t t ++在直角坐标系的x 轴上，则P 点坐标为（ ） A ．()0,2- B ．()2,0- C ．()1,2 D ．()1,0 3．若点P （x, y ）在第二象限，且2,3x y ==，则x + y =（ ）A ．－1B ．1C ．5D ．－54．在平面直角坐标系中，点()3,4-在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．若点P （﹣m ，﹣3）在第四象限，则m 满足（ ） A ．m ＞3 B ．0＜m≤3 C ．m ＜0 D ．m ＜0或m ＞3 6．如图，将点A 0（-2，1）作如下变换：作A 0关于x 轴对称点，再往右平移1个单位得到点A 1，作A 1关于x 轴对称点，再往右平移2个单位得到点A 2，…，作A n －1关于x 轴对称点，再往右平移n 个单位得到点A n （n 为正整数），则点A 64的坐标为（ ）A ．（2078，-1）B ．（2014 ，-1）C ．（2078 ，1）D ．（2014 ，1） 7．已知P(2-x ，3x-4)到两坐标轴的距离相等，则x 的值为( )A ．32B ．1-C ．32或1-D ．32或1 8．在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（ ）A ．()1,2B ．()2,1-C ．()2,1-D ．()1,2-- 9．如图，平面直角坐标系中，一蚂蚁从A 点出发，沿着···A B C D A →→→→循环爬行，其中A 点的坐标为()2,2-，B 点的坐标为()2,2--，C 点的坐标为()2,6-，D 点的坐标为()2,6，当蚂蚁爬了2020个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（ ）A ．()2,2--B ．()2,2-C ．()2,6-D ．()0,2- 10．在平面直角坐标系中，点()1,2A -关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ．()1,2B ．()1,2-C ．()2,1D ．()1,2-- 11．平面直角坐标系中，点()2,3A -，()2,1B -，经过点A 的直线//a x 轴，点C 是直线a 上的一个动点，当线段BC 的长度最短时，点C 的坐标为（ ）A ．()0,1-B ．()1,2--C ．()2,1--D ．()2,312．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点(1,1)P y x '-++叫做点P 伴随点．已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，，n A ，．若点1A 的坐标为（2，4），点2020A 的坐标为（ ） A ．（-3，3）B ．（-2，-2）C ．（3，-1）D ．（2，4）二、填空题 13．已知点(),3M a ，点()2,N b 关于y 轴对称，则()2021a b +=__________．14．小华在小明南偏西75°方向，则小明在小华______方向．（填写方位角）15．在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应该是________．16．长方形共有_________________条对称轴．17．若点M （a －3，a ＋4）在y 轴上，则a ＝___________．18．点M 在第四象限，距离x 轴5个单位长度，距离y 轴3个单位长度，则M 点的坐标为_____．19．已知点(,4)M a -与点(6,)N b 关于直线2x =对称，那么-a b 等于______． 20．如图，，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其排列顺序为图中“→”所指方向，如（1，0），（2，0）,（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）···，根据这个规律，第2020个点的横坐标为______．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为A （1,3），B （2,1），C （5,1）．（1）直接写出点B 关于x 轴对称的对称点1B 的坐标为______，直接写出点B 关于y 轴对称的对称点2B 的坐标为_____，直接写出12AB B 的面积为_______；（2）在y 轴上找一点P 使1PA PB +最小，则点P 坐标为_______；说明理由． 22．（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使得A ，B 两点的坐标分别为()4,1，()1,2-；（2）在（1）的条件下，过点B 作x 轴的垂线，垂足为点M ，在BM 的延长线上取一点C ，使MC BM =．①写出点C 的坐标；②平移线段AB 使点A 移动到点C ，画出平移后的线段CD ，并写出点D 的坐标．23．在平面直角坐标系中，()0,A a ，()5,B b ，且a ，b 满足130a b ++=，将线段AB 平移至CD ，其中A ，B 的对应点分别为C ，D ．（1）a =______，b =______；（2）若点C 的坐标为()2,4-，如图1，连接OC ，求三角形COD 的面积；（3）设点E 是射线OD （E 不与点D 重合）上一点，①如图2，若点E 在线段OD 上，25DCE ∠=︒，70EAB ∠=︒，求AEC ∠的度数并说明理由；②如图3，点E 在射线OD 上，试探究DCE ∠与EAB ∠和AEC ∠的关系并直接写结论．24．如图，在平面直角坐标系中，AC CD =，已知()3,0A ，()0,3B ，()0,5C ，点D 在第一象限内，90DCA ∠=︒，AB 的延长线与DC 的延长线交于点M ，AC 与BD 交于点N ．（1）OBA ∠的度数为________．（2）求点D 的坐标．（3）求证：AM DN =．25．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知AOC △的顶点坐标分别是(2,2)A -，(3,3)C ．（1）作出AOC △关于x 轴对称的DOE △，其中点A 的对应点是D ，点C 的对应点是E ，并直接写出D 和E 的坐标；（2）若点P 为x 轴上的一点，若OP OA =，求点P 的坐标．26．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC 的三个顶点都在格点上．（1）AB =______；AC =______；BC =______．（2）画出ABC 关于EF 成轴对称的111A B C △；（3）在直线MN 上找一点P ，使PAB △的周长最小，请用画图的方法确定点P 的位置，并直接写出PAB △周长的最小值为______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据点的横纵坐标的符号可确定所在象限．【详解】解：∵该点的横坐标为负数，纵坐标为正数，∴所在象限为第二象限，故选：B ．【点睛】本题考查了象限内点的坐标特征；用到的知识点为：第二象限点的符号特点为（−，＋）． 2．D解析：D【分析】x 轴上点的纵坐标是0，由此列得t+2=0，求出t 代回即可得到点P 的坐标．【详解】∵点(3, 2)P t t ++在直角坐标系的x 轴上，∴t+2=0，解得t=-2，∴点P 的坐标为（1,0），故选：D ．【点睛】此题考查坐标轴上点的坐标特点：x 轴上点的纵坐标是0，y 轴上点的横坐标是0． 3．B解析：B【分析】先根据第二象限点坐标符号特点可得0,0x y <>，再化简绝对值可得x 、y 的值，然后代入即可得．【详解】点(,)P x y 在第二象限，0,0x y ∴<>， 又2,3x y ==，2,3x y ∴=-=，231x y ∴+=-+=，故选：B ．【点睛】本题考查了第二象限点坐标符号特点、化简绝对值，熟练掌握第二象限点坐标符号特点是解题关键．4．B解析：B【分析】根据直角坐标系中点的坐标的特点解答即可.∵点()3,4-，∴点()3,4-在第二象限，故选：B.【点睛】此题考查直角坐标系中点的坐标的符号特点，第一象限为（+，+），第二象限为（-，+），第三象限为（-，-），第四象限为（+，-）.5．C解析：C【分析】根据第四象限内点的特点，横坐标是正数，列出不等式求解即可．【详解】解：根据第四象限的点的横坐标是正数，可得﹣m ＞0，解得m ＜0．故选：C ．【点睛】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号，关键是掌握四个象限内点的坐标符号．6．C解析：C【分析】观察不难发现，角码为奇数时点的纵坐标为-1，为偶数时点的纵坐标为1，然后再根据向右平移的规律列式求出点的横坐标即可．【详解】解：由题意得：()()()()()123451,1,1,1,4,1,8,1,13,1A A A A A ----……由此可得角码为奇数时点的纵坐标为-1，为偶数时点的纵坐标为1，故64A 的纵坐标为1，则点64A 的横坐标为()16464212345 (64220782)+⨯-+++++++=-+=，所以()642078,1A ． 故选C ．【点睛】 本题主要考查平面直角坐标系点的坐标规律，关键是根据题目所给的方式得到点的坐标规律，然后求解即可．7．D解析：D【分析】根据到两坐标轴的距离相等，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】2-x=3x-4或2-x+(3x-4)=0，解2-x=3x-4得x=32，解2-x+(3x-4)=0得x=1，x的值为32或1，故选D．【点睛】本题考查了点的坐标，利用到两坐标轴的距离相等得出方程是解题关键．8．D解析：D【分析】根据各象限内点的坐标特征解答对各选项分析判断后利用排除法求解即可．【详解】解：A、（1，2）在第一象限，故本选项不符合题意；B、（-2，1）在第二象限，故本选项不符合题意；C、（2，-1）在第四象限，故本选项不符合题意；D、（-1，-2）在第三象限，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．9．A解析：A【分析】根据蚂蚁的爬行规律找到蚂蚁爬行一循环的长度是24，∵2020＝84×24+4，∴当蚂蚁爬了2020个单位时，它所处位置在点A左边4个单位长度处，即可解题．【详解】解：∵A点坐标为（2，﹣2），B点坐标为（﹣2，﹣2），C点坐标为（﹣2，6），∴AB＝2﹣（﹣2）＝4，BC＝6﹣（﹣2）＝8，∴从A→B→C→D→A一圈的长度为2（AB+BC）＝24．∵2020＝84×24+4，∴当蚂蚁爬了2020个单位时，它所处位置在点A左边4个单位长度处，即（-2，﹣2）．故选：A本题考查了点的运动规律问题，属于简单题，确定蚂蚁爬行的循环规律是解题关键．10．A解析：A【分析】根据关于x轴对称的点，其横坐标相等，纵坐标互为相反数进而得出答案．【详解】解：点A（1，-2）关于x轴对称的点的坐标为：（1，2）．故选：A．【点睛】本题考查关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．11．D解析：D【分析】由经过点A的直线a∥x轴，可知点C的纵坐标与点A的纵坐标相等，可设点C的坐标（x，3），根据点到直线垂线段最短，当BC⊥a时，点C的横坐标与点B的横坐标相等，即可得出答案．【详解】解：如右图所示，∵a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，点A（-2，3），∴设点C（x，3），∵当BC⊥a时，BC的长度最短，点B（2，-1），∴x=2，∴点C的坐标为（2，3）．故选：D．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征和点到直线垂线段最短，解答时注意应用数形结合思想．12．C解析：C【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2020除以4，根据商和余数的情况确定点A 2020的坐标即可．【详解】∵A 1的坐标为（2，4），∴A 2（-3，3），A 3（-2，-2），A 4（3，-1），A 5（2，4），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2020÷4=505，∴点A 2020的坐标与A 4的坐标相同，为（3，-1）．故选：C【点睛】本题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据两点关于y 轴对称纵坐标不变横坐标互为相反数确定ab 的值后代入计算即可【详解】∵点点关于y 轴对称∴a=-2b=3∴a+b=1∴1【点睛】本题考查了点的对称问题熟记点对称的规律指数的奇偶性与解析：【分析】根据两点关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，确定a,b 的值，后代入计算即可.【详解】∵点(),3M a ，点()2,N b 关于y 轴对称，∴a= -2，b=3，∴a+b=1，∴()2021a b +=1.【点睛】本题考查了点的对称问题，熟记点对称的规律，指数的奇偶性与符号的关系是解题的关键. 14．北偏东75°【分析】依据物体位置利用平行线的性质解答【详解】如图有题意得∠CAB=∵AC ∥BD ∴∠DBA=∠CAB=∴小明在小华北偏东75°方向故答案为：北偏东75°【点睛】此题考查了两个物体的位置解析：北偏东75°【分析】依据物体位置，利用平行线的性质解答．【详解】如图，有题意得∠CAB=75︒，∵AC ∥BD ，∴∠DBA=∠CAB=75︒，∴小明在小华北偏东75°方向，故答案为：北偏东75°．．【点睛】此题考查了两个物体的位置的相对性，两直线平行内错角相等，分别以小明和小华的位置为观测点利用平行线的性质解决问题是解题的关键．15．21:05【分析】根据镜子中的成像与实际物体是相反的原理可利用轴对称性质作出图像向左或向右的对称【详解】因为镜子中的成像与实际物体是相反的利用轴对称性质作出图像向右的对称图故填：21:05【点睛】本解析：21:05【分析】根据镜子中的成像与实际物体是相反的原理，可利用轴对称性质作出图像向左或向右的对称.【详解】因为镜子中的成像与实际物体是相反的，利用轴对称性质作出图像向右的对称图故填：21:05.【点睛】本题主要考查轴对称图形在实际生活中的问题，解题的关键是要知道：在镜子中的像与现实中的像恰好是左右颠倒.16．【分析】依据轴对称图形的概念即在平面内如果一个图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够完全重合这样的图形叫做轴对称图形据此即可进行判断【详解】如下图长方形有2条对称轴故答案为2【点睛】解答此题的主要依据解析：2【分析】依据轴对称图形的概念,即在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,据此即可进行判断．【详解】如下图长方形有2条对称轴,故答案为2．【点睛】解答此题的主要依据是:轴对称图形的概念及特征和对称轴的条数．17．3【分析】在y轴上的点横坐标为零即a-3=0即可解答【详解】解：∵点M （a－3a＋4）在y轴上∴a-3=0∴a=3故答案为:3【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征第一象限内点的坐标特征为（解析：3【分析】在y轴上的点横坐标为零，即a-3=0，即可解答【详解】解：∵点M（a－3，a＋4）在y轴上∴a-3=0∴a=3故答案为:3【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征.第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．18．（3﹣5）【分析】首先根据点到xy轴的距离求出M点的横纵坐标然后根据第四象限内点的坐标的特点可确定M点的坐标【详解】∵点M在第四象限距离x轴5个单位长度距离y轴3个单位长度∴点M的纵坐标为﹣5横坐解析：（3，﹣5）．【分析】首先根据点到x,y轴的距离求出M点的横纵坐标，然后根据第四象限内点的坐标的特点可确定M点的坐标．【详解】∵点M在第四象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，∴点M的纵坐标为﹣5，横坐标为3，即点P的坐标为（3，﹣5），故答案为：（3，﹣5）．【点睛】本题主要考查点到x,y轴的距离及每个象限内点的坐标的特点，掌握每个象限内点的坐标的特点是解题的关键．19．2【分析】轴对称图形的性质是对称轴垂直平分对应点的连线且在坐标系内关于x 对称则y 相等所以【详解】点与点关于直线对称∴解得∴故答案为2【点睛】本题考察了坐标和轴对称变换轴对称图形的性质是对称轴垂直平分 解析：2【分析】轴对称图形的性质是对称轴垂直平分对应点的连线，且在坐标系内关于x 对称，则y 相等，所以622a +=，4b -=． 【详解】点(,4)M a -与点(6,)N b 关于直线2x =对称 ∴622a +=，4b -= 解得2a =-，∴2(4)2-=---=a b故答案为2．【点睛】本题考察了坐标和轴对称变换，轴对称图形的性质是对称轴垂直平分对应点的连线，此类题是轴对称相关考点中重要的题型之一，掌握对轴对称图形的性质是解决本题的关键． 20．45【分析】观察图形可知以最外边的矩形边长上的点为准点的总个数等于x 轴上右下角的点的横坐标的平方并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数纵坐标为0结束当右下角的点横坐标是偶数时以横坐标为1纵 解析：45【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x 轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x 轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，…右下角的点的横坐标为n 时，共有n 2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），则第2020个(45，5)．∴第2020个点的横坐标为45，故答案为：45．【点睛】本题考查了点的坐标的规律变化，观察出点的个数按照平方数的规律变化是解题的关键．三、解答题21．（1）(2,1)-，(2,1)-，7；（2）50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；理由见解析．【分析】（1）根据关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特征即可得到B 1、B 2坐标，利用分割法即可求得△AB 1B 2面积；（2）根据轴对称的性质得到B 3（﹣2，﹣1），求得直线B 3A 解析式继而令0x =时即可求解．【详解】（1）(2,1)B 关于x 轴对称点B ， 1B ∴坐标为(2,1)-(2,1)B 关于y 轴对称点2B2B ∴坐标为(2,1)-∴S △AB 1B 2面积＝11144231424222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 16324=---7=故12AB B 的面积为7，（2）点P 坐标为50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，理由如下：∵B 1（2，﹣1）关于y 轴对称点B 3（﹣2，﹣1），连接B 3A 交于y 轴于P 则P 为所求，设直线B 3A 表达式为(0)y kx b k =+≠，把B 3（﹣2，﹣1），A （1，3）代入得123k b k b -=-+⎧⎨=+⎩解得4353k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 4533y x ∴=+ 当0x =时53y =50,3P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查轴对称有关知识，解题的关键是熟练掌握关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特征及轴对称的性质．22．（1）见解析；（2）①(1,2)C ；②图见解析，(2,1)D --【分析】（1）根据点A 、B 坐标即可建立坐标系；（2）①由（1）中所作图形即可得；②根据平移的定义作图可得．【详解】（1）建立平面直角坐标系如图所示：（2）①所画图形如图所示，点C 的坐标为（1，2）；②如图所示，线段CD 即为所求，点D 的坐标为（-2，-1）．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质及平移变换作图，解题关键是根据题意建立直角坐标系，然后根据平移规律找出平移后的对应点．23．（1）﹣1，﹣3；（2）8；（3）①∠AEC=95°，理由见解析；②当点E 在线段OD 上时，DCE ∠+EAB ∠=AEC ∠；当点E 在OD 的延长线上时，∠BAE=∠DCE+∠AEC ．【分析】（1）根据非负数的性质解答即可；（2）先根据平移的性质求出点D 的坐标，然后过点C 、D 作CM ⊥x 轴于M ，DN ⊥x 轴于N ，如图1，再根据S △COD =S 梯形CMND －S △COM －S △DON 代入数据计算即可；（3）①根据平移的性质可得AB ∥CD ，过点E 作EG ∥AB ，如图2，则AB ∥CD ∥EG ，然后根据平行线的性质可得∠DCE=∠CEG ，∠BAE=∠GEA ，再根据角的和差即可求出结果； ②分两种情况：当点E 在线段OD 上时，如图2，此时由①的推导可直接得出结论；当点E 在OD 的延长线DH 上时，如图3，设CD 的延长线DQ 交AE 于点P ，根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．【详解】解：（1）∵130a b +++=，∴a+1=0，b+3=0，解得：a=﹣1，b=﹣3，故答案为：﹣1，﹣3；（2）∵a=﹣1，b=﹣3，∴A （0，﹣1），B （5，﹣3），∵将线段AB 平移至CD ，A ，B 的对应点分别为C （﹣2，4），D ，∴点D （3，2）如图1，过点C 、D 作CM ⊥x 轴于M ，DN ⊥x 轴于N ，则CM=4，DN=2，MN=2+3=5，∴S △COD =S 梯形CMND －S △COM －S △DON =()11124524328222⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=；（3）①根据平移的性质可得AB ∥CD ，过点E 作EG ∥AB ，如图2，则AB ∥CD ∥EG ， ∴∠DCE=∠CEG ，∠BAE=∠GEA ，∵25DCE ∠=︒，70EAB ∠=︒，∴∠AEC=∠CEG+∠AEG=∠DCE+∠BAE=25°+70°=95°；②当点E 在线段OD 上时，如图2，此时由①的结论可得：DCE ∠+EAB ∠=AEC ∠； 当点E 在OD 的延长线DH 上时，如图3，设CD 的延长线DQ 交AE 于点P ，∵AB ∥CD ，∴∠EPQ=∠EAB ，∵∠EPQ=∠DCE+∠AEC ，∴∠BAE=∠DCE+∠AEC ；综上，当点E 在线段OD 上时，DCE ∠+EAB ∠=AEC ∠；当点E 在OD 的延长线上时，∠BAE=∠DCE+∠AEC ．【点睛】本题考查了非负数的性质、平移的性质、坐标系中三角形面积的计算、平行线的性质、平行公理的推论以及三角形的外角性质等知识，涉及的知识点多，但难度不大，熟练掌握上述知识是解题的关键．24．（1）45°；（2）()5,8D ；（3）见解析.【分析】(1)根据点A,点B 的坐标,得OA=OB,从而得到等腰直角三角形OAB 依此计算即可；(2) 过点D 作DE y ⊥轴，垂足为E ，证明DEC COA △△≌即可；(3)通过证明CDB CAB ∠=∠，实现DCN ACM △△≌的目标，问题得证.【详解】（1）∵()3,0A ，()0,3B ，∴OA=OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠OBA=45°，故填45°．（2）∵()0,5C ，∴5OC =．如图，过点D 作DE y ⊥轴，垂足为E ，∴90DEC AOC ∠=∠=︒．∵90DCA ∠=︒，AC CD =，∴90ECD BCA ECD EDC ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCA EDC ∠=∠，∴()AAS DEC COA ≌△△， ∴5DE OC ==，3EC OA ==，∴8OE OC EC =+=，∴()5,8D ．（3）证明：∵835BE OE OB =-=-=，∴BE DE =，∴DBE 是等腰直角三角形，∴45DBE ∠=︒． ∵45OBA ∠=︒，∴90DBA ∠=︒，∴90BAN ANB ∠+∠=︒．∵90DCA ∠=︒，∴90CDN DNC ∠+∠=︒．∵DNC ANB ∠=∠，∴CDB CAB ∠=∠．∵90DCA ∠=︒，∴90ACM DCN ∠=∠=︒．∵AC CD =，∴()ASA DCN ACM ≌△△， ∴AM DN =．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，一线三直角全等模型，坐标与线段的关系，三角形的全等，解答时，能准确找到合适的全等三角形是解题的关键.25．（1）作图见解析，D ()2,2--，E ()3,3-；（2） ()()1222,022,0P P -，．【分析】（1）根据已知三角形AOC △，得到点A 和点C 关于x 轴的对称点分别为点D 和点E ，再首位顺次连接，即可作出DOE ；（2）先根据点A 和点O 的坐标，求出OA 的长度，因为OP OA =，即可求出P 点坐标．【详解】（1）如图所示：∵AOC △和DOE △关于 x 轴对称，()2,2A -，()3,3C -，∴D ()2,2--，E ()3,3-，连接OD ，DE ，EO ，即为所作DOE ．（2）∵()2,2A -，()0,0O ，∴[]220(2)(02)22OA =--+-=∵P 在x 轴上，OP OA =， ∴()122,0P -，()222,0P ．【点睛】本题考查作图-轴对称，点的坐标，线段长度等知识，熟练掌握轴对称图形的性质以及作法是解题的关键．26．（1）21317；（2）见解析；（3）图见解析，2225【分析】(1) 根据勾股定理结合每一格点都是1个单位分别计算即可；(2) 根据根据轴对称的意义找到对称轴作图即可；△(3)作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B与MN交于点P，此时A′B的长即为PAB 周长的最小值．【详解】（1）根据勾股定理可得：22AB=+=，222222AC=+=，231322BC=+=；1417故答案为：22，13，17；（2）如图：（3）如图：作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B与MN交于点P，△APB的周长为AP+BP+AB，∵A′P=AP，∴△APB的周长为AP+BP+AB= A′P+BP+AB=A′B+AB，由勾股定理得：22A B'=+=2425∴△APB的周长为2225【点睛】此题考查坐标系中关于轴对称的坐标点的变化，最小值作对称图形根据关于轴对称的线段相等的性质解题即可．。
中考数学平面直角坐标系专题训练题
中考复习数学专题训练：《平面直角坐标系》解答题专项培优（三）1．已知平面直角坐标系中有一点P（2m+1，m﹣3）．（1）若点P在第四象限，求m的取值范围；（2）若点P到y轴的距离为3，求点P的坐标．2．已知：点P（2﹣a，3），且点P到x轴、y轴的距离相等．求：点P的坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级关联点”的坐标为；（2）若点P的“5级关联点”的坐标为（9，﹣3），求点P的坐标；（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”P′位于坐标轴上．求点P′的坐标．4．已知点P（8﹣2m，m﹣1）．（1）若点P在x轴上，求m的值．（2）若点P到两坐标轴的距离相等，求P点的坐标．5．在平面直角坐标系中，已知点M（m﹣1，2m+3）（1）若点M在y轴上，求m的值．（2）若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值．6．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右……的方向依次不断移动，每次移动一个单位长度，其行走路线如图．（1）填写下列各点的坐标：A1（，），A3（，），A12（，）；（2）写出点A n的坐标（n是4的倍数）；（3）写出A 2016和点A 2017的坐标，并指出蚂蚁从点A 2016到点A 2017的移动方向．7．综合与实践问题背景：（1）已知A （1，2），B （3，2），C （1，﹣1），D （﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB 和CD 中点P 1、P 2，然后写出它们的坐标，则P 1 ，P 2 ．探究发现：（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则线段的中点坐标为 ．拓展应用：（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E （﹣1，2），F （3，1），G （1，4），第四个点H （x ，y ）与点E 、点F 、点G 中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H 的坐标．8．如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则A 1的坐标为（2，2）、A 2的坐标为（5，2）（1）A 3的坐标为 ，A n 的坐标（用n 的代数式表示）为 ．（2）2020米长的护栏，需要两种正方形各多少个？9．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：A 4 ，A 8 ；（2）写出点A 4n 的坐标（n 为正整数） ；（3）蚂蚁从点A 2014到点A 2017的移动方向 ．10．如图，在直角坐标系的坐标轴上按如下规律取点：A 1在x 轴正半轴上，A 2在y 轴正半轴上，A 3在x 轴负半轴上，A 4在y 轴负半轴上，A 5在x 轴正半轴上，…，且OA 1+1＝OA 2，OA 2+1＝OA 3，OA 3+1＝OA 4…，设A 1，A 2，A 3，A 4…，有坐标分别为（a 1，0），（0，a 2），（a 3，0），（0，a 4）…，s n ＝a 1+a 2+a 3+…+a n ．（1）当a 1＝1时，求a 5的值；（2）若s 7＝1，求a 1的值；（3）当a 1＝1时，直接写出用含k （k 为正整数）的式子表示x 轴负半轴上所取点坐标．11．如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A （1，2），解答以下问题：（1）请在图中建立适当的直角坐标系，并写出图书馆（B ）位置的坐标；（2）若体育馆位置坐标为C （﹣3，3），请在坐标系中标出体育馆的位置，并顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到△ABC ，求△ABC 的面积．12．国庆假期期间，笑笑所在的学习小组组织了到方特梦幻王国的游园活动，笑笑和乐乐对着景区示意图（如图所示）讨论景点位置：（图中小正方形边长代表100m）笑笑说：“西游传说坐标（300，300）．”乐乐说：“华夏五千年坐标（﹣100，﹣400）．”若他们二人所说的位置都正确（1）在图中建立适当的平面直角坐标系xOy；（2）用坐标描述其他地点的位置．13．如图所示的是某市市政府周边的一些建筑，以市政府为坐标原点，建立平面直角坐标系（每个小方格的边长为1）．（1）请写出商会大厦和医院的坐标；（2）王老师在市政府办完事情后，沿（2，0）→（2，﹣1）→（2，﹣3）→（0，﹣3）→（0，﹣1）→（﹣2，﹣1）的路线逛了一下，然后到汽车站坐车回家，写出他路上经过的地方．14．如图（小方格的边长为1），这是某市部分简图．（1）请你根据下列条件建立平面直角坐标系（在图中直接画出）：①火车站为原点；②宾馆的坐标为（2，2）．（2）市场、超市的坐标分别为、；（3）请将体育场、宾馆和火车站看作三点，用线段连起来，得△ABC，然后将此三角形向下平移4个单位长度，再画出平移后的△A′B′C′（在图中直接画出）；（4）根据坐标情况，求△ABC的面积．15．如图，这是某市部分简图，为了确定各建筑物的位置：（图中小正方形的边长代表100m 长）（1）请你以火车站为原点建立平面直角坐标系．（2）写出市场、超市、医院的坐标．16．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是；②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为；（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．17．在平面直角坐标系xOy中，对任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如果|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝d，则称P1与P2互为“d﹣距点”．例如：点P1（3，6），p2（1，7），由d＝|3﹣1|+|6﹣7|＝3，可得P1与P2互为“3﹣距点”．（1）在点D（﹣2，﹣2），E（5，﹣1），F（0，4）中，原点O的“4﹣距点”是（填字母）；（2）已知点A（2，1），点B（0，b），过点B平行于x轴的直线l．①当b＝3时，直线l上的点A的“2﹣距点”的坐标为；②若直线l上存在点A的“2﹣距点”，在坐标系中画出这些A的“2﹣距点”组成的图形，并写出b的取值范围．18．已知M（3|a|﹣9，4﹣2a）在y轴负半轴上，直线MN∥x轴，且线段MN长度为4．（1）求点M的坐标；（2）求（2﹣a）2020+1的值；（3）求N点坐标．19．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D均在坐标轴上，AB∥CD．（1）求证：∠ABO+∠CDO＝90°；（2）如图2，BM平分∠ABO交x轴于点M，DN平分∠CDO交y轴于点N，求∠BMO+∠OND 的值．20．在平面直角坐标系中，已知点M （m ﹣1，2m +3）．（1）若点M 在y 轴上，求m 的值．（2）若点N （﹣3，2），且直线MN ∥y 轴，求线段MN 的长．21．阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则该两点间距离公式为P 1P 2＝，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x 轴、平行于y 轴时，两点间的距离公式可化简成|x 1﹣x 2|和|y 1﹣y 2|（1）若已知两点A （3，3），B （﹣2，﹣1），试求A ，B 两点间的距离；（2）已知点M ，N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为7，点N 的纵坐标为﹣2，试求M ，N 两点间的距离；（3）已知一个三角形各顶点的坐标为A （﹣1，），B （，），C （，），你能判定这三点是否共线？若共线请说明理由，若不共线请求出图形的面积．22．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），其两点间的距离P 1P 2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x 2﹣x 1|或|y 2﹣y |．（1）已知A （1，3），B （﹣3，﹣5），试求A ，B 两点间的距离；（2）已知线段MN ∥y 轴，MN ＝4，若点M 的坐标为（2，﹣1），试求点N 的坐标；（3）已知一个三角形各顶点坐标为D （0，6），E （﹣3，2），F （3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．23．在平面直角坐标系中，有A （﹣2，a +1），B （a ﹣1，4），C （b ﹣2，b ）三点．（1）当AB ∥x 轴时，求A 、B 两点间的距离；（2）当CD ⊥x 轴于点D ，且CD ＝1时，求点C 的坐标．24．在平面直角坐标系中，有A （﹣2，a +2），B （a ﹣3，4）C （b ﹣4，b ）三点．（1）当AB ∥x 轴时，求A 、B 两点间的距离；（2）当CD ⊥x 轴于点D ，且CD ＝3时，求点C 的坐标．25．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB 或DE 的长度，显然是转化为求Rt △ABC 或Rt △DEF 的斜边长．下面：以求DE 为例来说明如何解决：从坐标系中发现：D （﹣7，5），E （4，﹣3）．所以DF ＝|5﹣（﹣3）|＝8，EF ＝|4﹣（﹣7）|＝11，所以由勾股定理可得：DE ＝＝． 下面请你参与：（1）在图①中：AC ＝ ，BC ＝ ，AB ＝ ．（2）在图②中：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），试用x 1，x 2，y 1，y 2表示AC ＝ ，BC ＝ ，AB ＝ ．（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：已知：A （2，1），B （4，3），C 为坐标轴上的点，且使得△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形．请求出C 点的坐标．参考答案1．解：（1）由题知，解得：﹣＜m ＜3；（2）由题知|2m +1|＝3，解得m ＝1或m ＝﹣2．当m ＝1时，得P （3，﹣2）；当m ＝﹣2时，得P （﹣3，﹣5）．综上，点P 的坐标为（3，﹣2）或（﹣3，﹣5）．2．解：∵点P（2﹣a，3）到x轴、y轴的距离相等．∴|2﹣a|＝3，∴2﹣a＝±3，∴a＝5或a＝﹣1，∴点P的坐标（﹣3，3）或（3，3）．3．解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，∴若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级关联点”的坐标为（2，14）．故答案为：（2，14）；（2）设点P的坐标为（a，b），由题意可知，解得：，∴点P的坐标为（2，﹣1）；（3）∵点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”为P′（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m），①P′位于x轴上，∴m﹣1+（﹣3）×2m＝0，解得：m＝，∴﹣3（m﹣1）+2m＝4，∴P′（4，0）．②P′位于y轴上，∴﹣3（m﹣1）+2m＝0，解得：m＝3∴m﹣1+（﹣3）×2m＝﹣16，∴P′（0，﹣16）．综上所述，点P′的坐标为（4，0）或（0，﹣16）．4．解：（1）∵点P（8﹣2m，m﹣1）在x轴上，∴m﹣1＝0，解得：m＝1；（2）∵点P 到两坐标轴的距离相等，∴|8﹣2m |＝|m ﹣1|，∴8﹣2m ＝m ﹣1或8﹣2m ＝1﹣m ，解得：m ＝3或m ＝7，∴P （2，2）或（﹣6，6）．5．解：（1）由题意得：m ﹣1＝0，解得：m ＝1；（2）由题意得：m ﹣1＝2m +3，解得：m ＝﹣4．6．解：（1）∵蚂蚁每次移动1个单位，∴OA 1＝1，OA 3＝1，OA 12＝6，∴A 1（0，1），A 3（1，0），A 12（6，0）；故答案为：0，1；1，0，6，0；（2）根据（1）OA n ＝n ÷2＝，∴点A 4n 的坐标（，0）；（3）∵2016÷4＝504，∴从点A 2016到点A 2018的移动方向：点A 2016在x 轴上，向上移动一个到A 2017，∴A 2016（1008，0），A 2017（1008，1）．7．解：（1）如图：A （1，2），B （3，2），C （1，﹣1），D （﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出它们如下：线段AB 和CD 中点P 1、P 2的坐标分别为（2，2）、（﹣1，﹣2）故答案为：（2，2）、（﹣1，﹣2）．（2）若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为．故答案为：．（3）∵E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），∴EF、FG、EG的中点分别为：（1，）、（2，）、（0，3）∴①HG过EF中点（1，）时，＝1，＝解得：x＝1，y＝﹣1，故H（1，﹣1）；②EH过FG中点（2，）时，＝2，＝解得：x＝5，y＝3，故H（5，3）；③FH过EG的中点（0，3）时，＝0，＝3解得：x＝﹣3，y＝5，故H（﹣3，5）．∴点H的坐标为：（1，﹣1），（5，3），（﹣3，5）．8．解：（1）∵A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2），∴A1，A2，A3，…，A n各点的纵坐标均为2，∵小正方形的边长为1，∴A1，A2，A3，…，A n各点的横坐标依次大3，∴A3（5+3，2），A n（，2），即A3（8，2），A n（3n﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n﹣1，2）；（2）∵2020÷3＝673…1，∴需要小正方形674个，大正方形673个．9．解：（1）由图可知，A4，A8，A12都在x轴上，∵小蚂蚁每次移动1个单位，∴OA4＝2，OA8＝4，∴A 4（2，0），A 8（4，0），故答案为：（2，0）；（4，0）；（2）根据（1）OA 4n ＝4n ÷2＝2n ，∴点A 4n 的坐标（2n ，0）；故答案为：（2n ，0）；（3）∵2014÷4＝503…2，∴2014除以4余数为2，∴从点A 2014到点A 2017的移动方向与从点A 2到A 5的方向一致为：向下，向右，再向上． 故答案为：向下，向右，再向上．10．解：（1）当a 1＝1时，a 2＝1+1＝2，a 3＝﹣（2+1）＝﹣3，a 4＝﹣（3+1）＝﹣4，a 5＝4+1＝5；（2）∵a 2＝a 1+1，a 3＝﹣（a 1+2），a 4＝﹣（a 1+3），a 5＝a 1+4，a 6＝a 1+5，a 7＝﹣（a 1+6）， ∴s 7＝a 1+a 2+…+a 7＝a 1﹣1，当s 7＝1时，则a 1﹣1＝1，∴a 1＝2；（3）∵当a 1＝1时，则a 3＝﹣3，a 7＝﹣7，a 11＝﹣11，…∴a 4k ﹣1＝﹣（4k ﹣1）＝﹣4k +1∴A 4k ﹣1（﹣4k +1，0）．11．解：（1）建立直角坐标系如图所示：图书馆（B）位置的坐标为（﹣3，﹣2）；（2）标出体育馆位置C如图所示，观察可得，△ABC中BC边长为5，BC边上的高为4，所以△ABC的面积为＝＝10．12．解：（1）如图所示：（2）太空飞梭（0，0），秦岭历险（0，400），魔幻城堡（400，﹣200），南门（0，﹣500），丛林飞龙（﹣200，﹣100）．13．解：（1）由图可得：商会大厦的坐标为（﹣1，2），医院的坐标为（3，1）．（2）路上经过的地方为：大剧院，体育公园，购物广场．14．解：（1）如图，（2）市场的坐标为（4，3），超市的坐标为（2，﹣3）；（3）如图；（4）△ABC面积＝3×6﹣×2×2﹣×4×3﹣×1×6＝18﹣2﹣6﹣3＝7．故答案为（4，3），（2，﹣3）．15．解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；（2）市场（400，300），医院（﹣200，﹣200），超市（200，﹣300）．16．解：（1）①∵点A （﹣3，1）到x 、y 轴的距离中最大值为3，∴与A 点是“等距点”的点是E 、F ．②当点B 坐标中到x 、y 轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），这些点中与A 符合“等距点”的是（﹣3，3）．故答案为①E 、F ；②（﹣3，3）；（2）T 1（﹣1，﹣k ﹣3），T 2（4，4k ﹣3）两点为“等距点”，①若|4k ﹣3|≤4时，则4＝﹣k ﹣3或﹣4＝﹣k ﹣3解得k ＝﹣7（舍去）或k ＝1．②若|4k ﹣3|＞4时，则|4k ﹣3|＝|﹣k ﹣3|解得k ＝2或k ＝0（舍去）．根据“等距点”的定义知，k ＝1或k ＝2符合题意．即k 的值是1或2．17．解：（1）∵|﹣2﹣0|+|﹣2﹣0|＝4，|5﹣0|+|﹣1﹣0|＝6，|0﹣0|+|4﹣0|＝4， ∴原点O 的“4﹣距点”是点D 、点F ．故答案为：D 、F ；（2）①∵点B （0，b ），l 为过点B 平行于x 轴的直线，∴当b ＝3时，l 为直线y ＝3，设直线l 上的点A （2，1）的“2﹣距点”的坐标为（x ，3），则有：|2﹣x |+|1﹣3|＝2，解得：x ＝2，∴直线l 上的点A （2，1）的“2﹣距点”的坐标为（2，3）；故答案为：（2，3）；②由①知当直线l经过点（2，3）时，b＝3；∵A（2，1），l为过点B平行于x轴的直线，∴当直线l经过点（2，﹣1）时，b＝﹣1，∴若直线l上存在点A的“2﹣距点”，则b的取值范围是﹣1≤b≤3．如图所示：18．解：（1）∵M在y轴负半轴上，∴3|a|﹣9＝0，且4﹣2a＜0，∴a＝±3，且a＞2，∴a＝3．∴4﹣2a＝﹣2，M（0，﹣2）；（2）∵a＝3，∴（2﹣a）2020+1＝（2﹣3）2020+1＝1+1＝2；（3）∵直线MN∥x轴，M（0，﹣2），∴设N（x，﹣2），又∵线段MN长度为4，∴MN＝|x﹣0|＝|x|＝4，∴x＝±4，∴N（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）．19．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠DCO，∵∠DCO+∠CDO＝90°；∴∠ABO+∠CDO＝90°；（2）∵BM平分∠ABO，DN平分∠CDO，∴∠MBO＝∠ABO，∠NDO＝∠CDO，∴∠MBO+∠NDO＝（∠ABO+∠CDO）＝45°，∴∠BMO+∠OND＝135°．20．解：（1）由题意得：m﹣1＝0，解得：m＝1；（2）∵点N（﹣3，2），且直线MN∥y轴，∴m﹣1＝﹣3，解得m＝﹣2．∴M（﹣3，﹣1），∴MN＝2﹣（﹣1）＝3．21．解：（1）∵点A（3，3），B（﹣2，﹣1），∴AB＝＝，即A，B两点间的距离是；（2）∵点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为﹣2，∴MN＝|﹣2﹣7|＝9，即M，N两点间的距离是9；（3）这三点不共线，该三角形为直角三角形．理由：∵一个三角形各顶点的坐标为A（﹣1，），B（，），C（，），∴AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，∵AB2+AC2＝（）2+（）2＝（）2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，＝AB•AC＝××＝．∴S△ABC22．解：（1）A，B两点间的距离＝＝4；（2）∵线段MN∥y轴，∴M、N的横坐标相同，设N（2，t），∴|t+1|＝4，解得t＝3或﹣5，∴N点坐标为（2，3）或（2，﹣5）；（3）△DEF为等腰三角形．理由如下：∵D（0，6），E（﹣3，2），F（3，2），∴DE＝＝5，DF＝＝5，EF＝＝6，∴DE＝DF，∴△DEF为等腰三角形．23．解：（1）∵AB∥x轴，∴A、B两点的纵坐标相同．∴a+1＝4，解得a＝3．∴A、B两点间的距离是|（a﹣1）+2|＝|3﹣1+2|＝4．（2）∵CD⊥x轴，∴C、D两点的横坐标相同．∴D（b﹣2，0）．∵CD＝1，∴|b|＝1，解得b＝±1．当b＝1时，点C的坐标是（﹣1，1）．当b＝﹣1时，点C的坐标是（﹣3，﹣1）．24．解：（1）∵AB∥x轴，∴A点和B的纵坐标相等，即a+2＝4，解得a＝2，∴A（﹣2，4），B（﹣1，4），∴A、B两点间的距离为﹣1﹣（﹣2）＝1；（2）∵当CD⊥x轴于点D，CD＝3，∴|b|＝3，解得b＝3或b＝﹣3，∴当b＝3时，b﹣4＝﹣1；当b＝﹣3时，b﹣4＝﹣7，∴C点坐标为（﹣1，3）或（﹣7，﹣3）．25．解：（1）AC＝4，BC＝3，AB＝＝5；（2）结合图形可得：AC＝y1﹣y2，BC＝x1﹣x2，AB＝．（3）若点C在x轴上，设点C的坐标为（x，0），则AC＝BC，即＝，解得：x＝5，即点C的坐标为（5，0）；若点C在y轴上，设点C的坐标为（0，y），则AC＝BC，即＝，解得：y＝5，即点C的坐标为（0，5）．综上可得点C的坐标为（5，0）或（0，5）．故答案为：4，3，5；y1﹣y2，x1﹣x2，A．。
新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册全册各章节课后练习题 含解析
选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章 空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0， 即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →， 即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)， 即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线． 又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上， 即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →， 从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1， 由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心， 则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14， 所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]， 所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， 所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)， 则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )， 又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )， 所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线， 所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )， 则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )， 因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0， 所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)， 所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )。
高考数学空间向量例题
1(2010辽宁理19））已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=12AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.证明：CM ⊥SN ； 审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法. 证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图，则P （0,0,1），C（0,1,0），B （2,0,0），M （1,0,12），N （12,0,0），S （1,12,0） 111(1,1,),(,,0)222CM SN =-=--,因为110022CM SN ∙=-++=， 所以CM ⊥SN .【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.例2(2010天津理19) 在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，CF =AB =2CE , 1::AB AD AA =1:2:4.证明AF ⊥平面1A ED审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得(0,2D ,(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭已知(1,2,1)AF =,131,,42EA ⎛⎫=--⎪⎝⎭,11,,02ED ⎛⎫=- ⎪⎝⎭于是AF ·1EA =0，AF ·ED =0.因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂= 所以AF ⊥平面1A ED【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可.例 3 （2010年山东文）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.求证：平面EFG ⊥平面PDC .审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.解析：以A 为原点，向量DA ,AB ,AM 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，如图建立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C(－2,2,0),D(－2,0,0),P(－2,0,2), M(0,0,1),则E(0,1,12),G(－1,1,1),F(－2,1,1)， ∴EG =(-1,0,12),GF =(－1,0,0),设平面EFG 的法向量m =（x ，y ，z ），则 EG ∙m =12x z -+=0且GF ∙m =x -=0，取y =1，则x =z =0，∴m =（0，1,0）, 易证面PDC 的法向量为DA =(2,0,0), ∵DA ∙m =200100⨯+⨯+⨯=0,∴m ⊥DA , ∴平面EFG ⊥平面PDC【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直. 考点2.利用空间向量处理空间平行关系空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题的一个小题，题目的难度一般不大，是高考中的得分点之一.例4（2010 湖南理18）在正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱1DD 的中点。
高中数学必修课件第二章空间直角坐标系
台体是由两个平行且小于大底面的截面所截得的几何体，在空间直角坐标系中可以通过上 下底面的方程和高度来描述。
几何体顶点、棱长等参数求解
要点一
顶点坐标
对于给定的几何体方程，可以通过解 方程求得顶点的坐标。例如，对于圆 锥方程$z = sqrt{x^2 + y^2} tan(theta)$，当$x=y=0$时， $z=0$，即顶点在原点。
质。
06
空间直角坐标系在实际问 题中应用
地球经纬度系统简介及转换方法
要点一
地球经纬度系统概述
要点二
经纬度与空间直角坐标系的转换
地球经纬度系统是一种以经度和纬度来表示地球上任意位 置的方法，广泛应用于地理、导航、气象等领域。
在实际应用中，经常需要将经纬度坐标转换为空间直角坐 标系中的坐标，或者将空间直角坐标系中的坐标转换为经 纬度坐标。这种转换可以通过一定的数学公式和算法来实 现。
点与坐标对应关系
空间中的每一个点都唯一对应一个三元组坐标，反之每一个三元组坐标也唯一对 应空间中的一个点。
空间向量及其运算规则
01
空间向量定义
既有大小又有方向的量称为空间向量，其大小称为向量的模，方向由起
点指向终点。
02
向量表示
在空间直角坐标系中，向量可以用一个有序三元组来表示，即向量的坐
标表示。
03
向量运算
空间向量的运算包括加法、减法、数乘和点积等，其中加法和减法遵循
平行四边形法则和三角形法则，数乘是将向量与标量相乘得到新的向量
，点积则是两个向量的数量积运算。
02
空间直角坐标系中点与线 关系
点到直线距离公式推导及应用
公式推导
通过向量投影的概念，推 导出点到直线的距离公式 。
2022年最新人教版初中数学七年级下册第七章平面直角坐标系单元测试试题(含答案解析)
初中数学七年级下册第七章平面直角坐标系单元测试（2021-2022学年 考试时间：90分钟，总分100分）班级：__________ 姓名：__________ 总分：__________一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图所示，已知棋子“车”的坐标为(2-，1-)，棋子“马”的坐标为（1，1-），则棋子“炮”的坐标为（ ）A ．(3，2)B ．(3-，2)C ．(3，2-)D ．(3-，2-)2、根据下列表述，能确定位置的是（ ）A ．红星电影院2排B ．北京市四环路C ．北偏东30D ．东经118︒，北纬40︒3、根据下列表述，不能确定具体位置的是（ ）A ．电影院一层的3排4座B ．太原市解放路85号C ．南偏西30D ．东经108︒，北纬53︒4、若点M 在第四象限，且M 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为2，则点M 的坐标为（ ）A ．(1，－2)B ．(2，1)C ．(－2，1)D ．(2，－1)5、点()2021,2022A --在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6、如图，将一把直尺斜放在平面直角坐标系中，下列四点中，一定不会被直尺盖住的点的坐标是（ ）A ．()2,1B ．()2,1-C ．()2,1--D ．()2,1-7、点P (3+a ，a +1)在x 轴上，则点P 坐标为（ ）A ．(2，0)B ．(0，﹣2)C ．(0，2)D ．(﹣2，0)8、点P (−2，−3)向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得到的点的坐标为（ ）A ．()1,0-B ．()1,6-C ．()3,6--D ．()3,0-9、若点(),5A a a +在x 轴上，则点A 到原点的距离为（ ）A ．5B ．C ．0D ．5-10、将点()4,3-先向右平移7个单位，再向下平移5个单位，得到的点的坐标是（ ）A ．()3,2-B ．()3,2-C ．()10,2--D ．()3,8二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知线段 AB =4，AB ∥x 轴，若点A 坐标为（-1，2），且点B 在第一象限，则B 点坐标为______．2、已知点()2,1P m m -在第二、四象限的角平分线上，则m 的值为______．3、已知点A 在x 轴上，且3OA =，则点A 的坐标为______．4、如图，动点P 从()0,3出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2020次碰到长方形OABC 的边时，点P 的坐标为________．5、在平面直角坐标系中，将点P （-3，4）先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得到的坐标为__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在直角坐标系中描出各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来．①()2,5，()0,3，()4,3，()2,5；②()1,3，()2,0-，()6,0，()3,3；③()1,0，()1,6-，()3,6-，()3,0．（1）观察得到的图形，你觉得它像什么？（2）找出图象上位于坐标轴上的点，与同伴进行交流；（3）上面三组点分别位于哪个象限，你是如何判断的？（4）图形上一些点之间具有特殊的位置关系，找出几对，它们的坐标有何特点？说说你的发现．2、已知点A （3a +2，2a ﹣4），试分别根据下列条件，求出a 的值．（1）点A 在y 轴上；（2）经过点A （3a +2，2a ﹣4），B （3，4）的直线，与x 轴平行；（3）点A 到两坐标轴的距离相等．3、在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（2x -，1y +）2(2)0y -=．求点A 的坐标．4、如图，把△ABC 向上平移4个单位，再向右平移2个单位长度得△A 1B 1C 1，解答下列各题：（1）在图上画出△A 1B 1C 1；（2）写出点A 1、B 1、C 1的坐标；（3）△A 1B 1C 1的面积是______．5、如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A （-1，-1），B （-3，3），C （-4，1）．画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1， 并写出点B 的对应点B 1的坐标．---------参考答案-----------一、单选题1、C【分析】先根据棋子“车”的坐标画出直角坐标系，然后写出棋子“炮”的坐标．【详解】解：如图，棋子“炮”的坐标为（3，−2）．故选：C．本题考查了坐标确定位置：平面坐标系中的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．2、D【分析】根据位置的确定需要两个条件对各选项分析判断即可．【详解】解：A、红星电影院2排，具体位置不能确定，不符合题意；B、北京市四环路，具体位置不能确定，不符合题意；C、北偏东30，具体位置不能确定，不符合题意；D、东经118︒，北纬40︒，很明确能确定具体位置，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个条件是解题的关键．3、C【分析】根据有序实数对表示位置，逐项分析即可【详解】解：A. 电影院一层的3排4座，能确定具体位置，故该选项不符合题意；B. 太原市解放路85号，能确定具体位置，故该选项不符合题意；C. 南偏西30，不能确定具体位置，故该选项符合题意；D. 东经108︒，北纬53︒，能确定具体位置，故该选项不符合题意；【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，理解有序实数对表示位置是解题的关键．4、D【分析】先判断出点M 的横、纵坐标的符号，再根据点M 到x 轴、y 轴的距离即可得．【详解】 解：点M 在第四象限，∴点M 的横坐标为正数，纵坐标为负数，点M 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为2，∴点M 的纵坐标为1-，横坐标为2，即(2,1)M -，故选：D ．【点睛】本题考查了点坐标，熟练掌握各象限内的点坐标的符号规律是解题关键．5、C【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：点()2021,2022A --的横坐标小于0，纵坐标小于0，点()2021,2022A --所在的象限是第三象限． 故选：C ．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．6、D【分析】根据点的坐标，判断出点所在的象限，进而即可求解．【详解】解：∵直尺没有经过第四象限，而()2,1-在第四象限，∴一定不会被直尺盖住的点的坐标是()2,1-，故选D ．【点睛】本题主要考查点的坐标特征，掌握点所在象限和点的坐标特征，是解题的关键．7、A【分析】根据x 轴上点的纵坐标为0列式计算求出a 的值，然后求解即可．【详解】解：∵点P （3+a ，a +1）在x 轴上，∴a +1=0，∴a =-1，3+a =3-1=2，∴点P 的坐标为（2，0）．故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标，主要利用了x轴上点的纵坐标为0的特点．8、D【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．【详解】解：将点P（-2，-3）向上平移3个单位，再向左平移1个单位，所得到的点的坐标为（-2-1，-3+3），即（-3，0），故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形变化－平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．9、A【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列式求出a，从而得到点A的坐标，然后解答即可．【详解】解：∵点A（a，a+5）在x轴上，∴a+5=0，解得a=-5，所以，点A的坐标为（-5，0），所以，点A到原点的距离为5．故选：A．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．10、A【分析】让点A 的横坐标加7，纵坐标减5即可得到平移后点的坐标．【详解】解：点()4,3A -先向右平移7个单位，再向下平移5个单位，得到的点坐标是(47,35)-+-，即(3,2)-， 故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．二、填空题1、（3，2）【解析】【分析】线段AB ∥x 轴，A 、B 两点纵坐标相等，又AB =4，B 点可能在A 点左边或者右边，根据距离确定B 点坐标．【详解】解：∵AB ∥x 轴，∴A 、B 两点纵坐标都为2，又∵AB =4，∴当B 点在A 点左边时，B （-5，2），B （-5，2）在第二象限，与点B 在第一象限，不相符，舍去；当B 点在A 点右边时，B （3，2）；故答案为：（3，2）．【点睛】本题考查了平行于x 轴的直线上的点纵坐标相等，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标．2、-1【解析】【分析】根据第二、四象限的角平分线上点的特点即可得到关于a 的方程，进行求解即可．【详解】解：点()2,1P m m -在第二、四象限的角平分线上，∴210m m +-=，解得：1m =-，故答案为：1-．【点睛】题目主要考查了二、四象限角平分线上点的特点，掌握象限角平分线上点的特点是解题的关键．3、（3，0）或（-3，0）##（-3，0）或（3，0）【解析】【分析】根据题意可得点A 在x 轴上，且到原点的距离为3，这样的点有两个，分别在x 轴的正半轴和负半轴，即可得出答案．【详解】解：根据题意可得：点A 在x 轴上，且到原点的距离为3，这样的点有两个，分别在x 轴的正半轴和负半轴，∴点A 的坐标为（3，0）或（-3，0），故答案为：（3，0）或（-3，0）．【点睛】题目主要考查点在坐标系中的位置，理解点在坐标系中的距离分两种情况是解题关键．5,04、()【解析】【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【详解】解：如图，根据题意得：P0（0，3），P1（3，0），P2（7，4），P3（8，3），P4（5，0），P5（1，4），P6（0，3），P7（3，0），…，∴点P n的坐标6次一循环．经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2020÷6＝336…4，∴当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故答案为：（5，0）．【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．5、()2,2-【解析】【分析】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减，计算即可得解．【详解】解：将点P （-3，4）先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得到的坐标为()2,2-． 故答案为：()2,2-【点睛】本题考查了坐标与图形的变化—平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．三、解答题1、（1）像一棵树；（2）x 轴上的点有：()2,0-，()1,0，()3,0，()6,0；y 轴上的点有：()0,3；（3）点()2,5，()4,3，()1,3，()3,3在第一象限内，因为它们的横坐标与纵坐标都是正实数；点()1,6-，()3,6-在第四象限内，因为它们的横坐标是正实数，纵坐标是负实数；（4）点()0,3与()3,3的纵坐标相同，它们的连线段与x 轴平行；点()1,3，()1,0，()1,6-的横坐标相同，它们的连线段与y 轴平行．【解析】【分析】（1）依此描出各组点的坐标，然后依此连接，由图象可进行求解；（2）根据图象可直接进行求解；（3）根据平面直角坐标系中象限的符号特点可直接进行求解；（4）根据图象可直接进行求解．解：（1）描出各组点的坐标并依此连接，如图所示：由图象可知：像一棵树；（2）x 轴上的点有：()2,0-，()1,0，()3,0，()6,0；y 轴上的点有：()0,3；（3）点()2,5，()4,3，()1,3，()3,3在第一象限内，因为它们的横坐标与纵坐标都是正实数；点()1,6-，()3,6-在第四象限内，因为它们的横坐标是正实数，纵坐标是负实数；（4）学生的发现可以多样．例如，点()0,3与()3,3的纵坐标相同，它们的连线段与x 轴平行；点()1,3，()1,0，()1,6-的横坐标相同，它们的连线段与y 轴平行．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，解题的关键是在平面直角坐标系中描出各点的坐标．2、（1）（0，163-）（2）（14，4）（3）（−16，−16）或（3.2，−3.2） 【解析】（1）根据y轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案；（2）根据平行于x轴直线上的点纵坐标相等，可得方程，解方程可得答案；（3）根据点A到两坐标轴的距离相等，可得关于a的方程，解方程可得答案．【详解】解：（1）依题意有3a+2＝0，解得a＝23 -，2a﹣4＝2×（23-）﹣4＝163-．故点A的坐标为（0，163 -）；（2）依题意有2a−4＝4，解得a＝4，3a＋2＝3×4＋2＝14，故点A的坐标为（14，4）；（3）依题意有|3a＋2|＝|2a−4|，则3a＋2＝2a−4或3a＋2＋2a−4＝0，解得a＝−6或a＝0.4，当a＝−6时，3a＋2＝3×（−6）＋2＝−16，当a＝0.4时，3a＋2＝3×0.4＋2＝3.2，2a−4＝−3.2．故点A的坐标为（−16，−16）或（3.2，−3.2）．【点睛】本题考查了点的坐标，x轴上的点的纵坐标等于零；平行于x轴直线上的点纵坐标相等．【解析】【分析】2(2)0y -=得出30x +=，20y -=，解出x ，y 即可得出点A 的坐标．【详解】30x +≥，2(2)0y -≥2(2)0y -=，30x ∴+=，20y -=，解得：3x =-，2y =，2325x ∴-=--=-，1213y +=+=，(5,3)A ∴-．【点睛】本题考查非负数的性质，几个非负数之和等于零，则每一个非负数都为0．4、（1）见解析；（2）A 1、B 1、C 1的坐标分别为（0，6），（-1，2），（5，2）；（3）12．【解析】【分析】（1）把△ABC 的各顶点向上平移4个单位，再向右平移2个单位，顺次连接各顶点即为△A 1B 1C 1；（2）利用各象限点的坐标特征写出点A 1、B 1、C 1的坐标；（3）根据三角形面积公式求解．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；（2）点A 1、B 1、C 1的坐标分别为（0，6），（-1，2），（5，2）；×6×4=12，（3）△A1B1C1的面积=12故答案为：12．【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．5、见解析，点B的对应点B1的坐标为（3，3）【解析】【分析】根据轴对称的性质画出图形并写出坐标即可．【详解】如图所示，B1的坐标为(3，3)．【点睛】本题考查了作图−轴对称，属于基础题．关键是确定对称点的位置．。
直角坐标系中的几何问题 (含解析)
直角坐标系中的几何问题1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b 满足a＝+ ﹣1，现同时将点A，B 分别向上平移2 个单位，再向右平移 1 个单位，分别得到点A，B 的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）求点C，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC．（2）在y 轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S 四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．（3）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC，PO，当点P 在BD 上移动时（不与B，D 重合）的值是否发生变化，并说明理由．2．如图，点A（a，b）在第二象限，其中a，b 满足等+|a+b+n|＝0，点B 在第一象限内，射线BC∥OA，与y 轴交于点C（0，5）．（1）当n＝1 时，求 A 点的坐标；（2）点P 在y 轴上从（0，﹣3）出发以每秒1 个单位长度的速度向点C 运动（到达C 点后停止运动），求当时间为t 秒时（不考虑点P 与点O，C 重合的情况），∠AOP，∠OPB，∠PBC 的大小关系；（3）如图，若∠AOF＝30°，点D 是射线BC 上一动点，∠FOD，∠ODC 的平分线交于点E．∠E 的大小是否随点D 的位置变化发生改变，若不变，请求出∠E 的度数；若改变，说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B 分别在x 轴正半轴和y 轴负半轴上，且P A＝PB．（1）求证：PA⊥PB；（2）若点A（9，0），则点B 的坐标为；（3）当点B 在y 轴负半轴上运动时，求OA﹣OB 的值；（4）如图2，若点B 在y 轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB 的值．4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b 满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m 的式子表示△ABM 的面积；（3）在（2）条件下，当时，在y 轴上有一点P，使得△BMP 的面积与△ABM 的面积相等，请求出点P 的坐标．5．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABO 的面积为8，OA＝OB，BC＝12，点P 的坐标是（a，6）．（1）求△ABC 三个顶点A，B，C 的坐标；（2）若点P 坐标为（1，6），连接P A，PB，则△P AB 的面积；（3）是否存在点P，使△PAB 的面积等于△ABC 的面积？如果存在，请求出点P 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b 满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．（1）求a，b 的值；（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m 的式子表示四边形ABOM 的面积；（3）在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM 的面积与△ABN 的面积相等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点，（1）求三角形ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c 满足关系式|a ﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣5）2≤0．（1）求a、b、c 的值．（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m 的式子表示四边形APOB 的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形AOBC 的面积是四边形APOB 的面积的2 倍？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，平面直角坐标系中，已知A（﹣7，1），B（﹣1，1），C（﹣1，5），且点D 的坐标（x，y），满足2x+5y＝22，四边形ABCD 的面积为37，求x，y 的值．10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过点A（8，6）分别作x 轴、y 轴的平行线，交y 轴于点B，交x 轴于点C，点P 是从点B 出发，沿B→A→C 以2 个单位长度/秒的速度向终点C 运动的一个动点，运动时间为t（秒）．（1）直接写出点B 和点C 的坐标B（，）、C（，）；（2）当点P 运动时，用含t 的式子表示线段AP 的长，并写出t 的取值范围；（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t 值，使S△APD＝S ABOC，若存在，请求出t 值，若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b 满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．（1）a＝，b＝；（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m 的式子表示四边形ABOM 的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上求点N（的坐标），使得△ABN 的面积与四边形ABOM 的面积相等．（直接写出答案）12．如图，在平面直角坐标系中，点A 在X 轴正半轴上，B 在Y 轴的负半轴，过点B 画MN∥x 轴；C 是Y 轴上一点，连接AC，作CD⊥CA．（1）如图（1），请直接写出∠CA0 与∠CDB 的数量关系．（2）如图（2），在题（1）的条件下，∠CAO 的角平分线与∠CDB 的角平分线相交于点P，求∠APD 的度数．（3）如图（2），在题（1）、（2）的条件下，∠CAX 的角平分线与∠CDN 的角平分线相交于点Q，请直接写出∠APD 与∠AQD 数量关系．（4）如图（3），点C 在Y 轴的正半轴上运动时，∠CAO 的角平分线所在的直线与∠CDB 的角平分线相交于点P，∠APD 的大小是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，说明理由．13．在平面直角坐标系xOy 中，对于P，Q 两点给出如下定义：若点P 到x、y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x、y 轴的距离中的最大值，则称P，Q 两点为“等距点”．下图中的P，Q 两点即为“等距点”．（1）已知点A 的坐标为（﹣3，1），①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A 的“等距点”的是；②若点B 的坐标为B（m，m+6），且A，B 两点为“等距点”，则点B 的坐标为；（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k 的值．14．如图，已知平面直角坐标系内A（2a﹣1，4），B（﹣3，3b+1），A、B；两点关于y 轴对称（1）求A、B 的坐标；（2）动点P、Q 分别从A 点、B 点同时出发，沿直线AB 向右运动，同向而行，P 点的速度是每秒2 个单位长度，Q 点的速度是每秒4 个单位长度，设P、Q 的运动时间为t 秒，用含t 的代数式表示三角形OPQ 的面积S，并写出t 的取值范围；（3）在平面直角坐标系中存在一点M，点M 的横纵坐标相等，且满足S△PQM：S△OPQ＝3：2，求出点M 的坐标，并求出当S△AQM＝15 时，三角形OPQ 的面积．15．已知两种不同的数对处理器f、g．当数对（x，y）输入处理器f 时，输出数对（x+2y，2x﹣y），记作f （x，y）＝（x+2y，2x﹣y）；但数对（x，y）输入处理器g 时，输出数对（y，﹣x+4），记作g（x，y）＝（y，﹣x+4）．（1）f（3，2）＝（，），g（3，2）＝（，）．（2）当f（x，y）＝g（1，﹣1）时，求x，y；（3）对于数对（x，y），f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]一定成立吗？若成立，说明理由；若不成立，举例说明．16．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD＝3，AO＝8，OC＝5．（1）若点P 在y 轴上且S△PAD＝S△poc，求点P 的坐标；（2）若点P 在梯形内且S△PAD＝S△POC，S△PAO＝S△PCD，求点P 的坐标．17．在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y 轴于B，且B（0，b）是y 轴负半轴上一点，b2＝16，S△AOB＝12．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）如图1，点D 为线段OA（端点除外）上某一点，过点D 作AO 垂线交x 轴于E，交直线AB 于F，∠EOD、∠AFD 的平分线相交于N，求∠ONF 的度数．（3）如图2，点D 为线段OA（端点除外）上某一点，当点D 在线段上运动时，过点D 作直线EF 交x 轴正半轴于E，交直线AB 于F，∠EOD，∠AFD 的平分线相交于点N．若记∠ODF＝α，请用α 的式子表示∠ONF 的大小，并说明理由．18．如图，在平面直角坐标系，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2＝0．（1）求a，b 的值；（2）①在x 轴的正半轴上存在一点M，使△ABC 的面积，求出点M 的坐标；②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使△COM 的面积△ABC 的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M 的坐标为．19．如图，在长方形OABC 中，OA＝BC＝10，AB＝OC＝6，以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，建立平面直角坐标系．动点P 从点A 出发，沿A→O→C→B 路线运动到点B 停止，速度为4 个单位长度/ 秒；动点Q 从点O 出发，沿O→C→B 路线运动到点B 停止，速度为2 个单位长度/秒；当点P 到达点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为t．（1）写出A、B、C 三个点的坐标；（2）当点P 恰好追上点Q 时，求此时点P 的坐标；（3）当点P 运动到线段BC 上时，连接AP、AQ，若△APQ 的面积为3，求t 的值．20．已知：如图三角形ABC 的三个顶点位置分别是A（1，0），B（﹣4，0），C（﹣2，5）（1）求三角形ABC 的面积；（2）若点P（0，m）在y 轴上，试用含m 的代数式表示三角形ABP 的面积；（3）若点P 在y 轴上什么位置时，三角形ABP 的面积等于三角形ABC 的一半？21．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，3），且| |+（4a﹣b+11）2＝0．（1）求a、b 的值；（2）①在y 轴上的负半轴上存在一点M，使△COM 的面积△ABC 的面积，求出点M 的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使结论“△COM 的面积＝△ABC 的面积”仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A 在射线OP 上，点B 在射线OQ 上（A、B 不与O 点重合），点C 在射线ON 上且OC＝2，过点C 作直线l∥PQ，点D 在点C 的左边且CD＝3．（1）直接写出△BCD 的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA 的平分线交OC 于E，交AC 于F，求证：∠CEF＝∠CFE．（3）如图③，若∠ADC＝∠DAC，点B 在射线OQ 上运动，∠ACB 的平分线交DA 的延长线于点H，在点B 运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．23．如图所示，A（﹣，0）、B（0，1）分别为x 轴、y 轴上的点，△ABC 为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP＝S△ABC，求a 的值．直角坐标系中的几何问题答案1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b 满足a＝+ ﹣1，现同时将点A，B 分别向上平移2 个单位，再向右平移 1 个单位，分别得到点A，B 的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）求点C，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC．（2）在y 轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S 四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．（3）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC，PO，当点P 在BD 上移动时（不与B，D 重合）的值是否发生变化，并说明理由．【解答】解：（1）由题意得，3﹣b≥0 且b﹣3≥0，解得b≤3 且b≥3，∴b＝3，a＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵点A，B 分别向上平移2 个单位，再向右平移1 个单位，∴点C（0，2），D（4，2）；∵AB＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，∴S 四边形ABDC＝4×2＝8；（2）∵S△PAB＝S 四边形ABDC，∴×4•OP＝8，解得OP＝4，∴点P 的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；（3）＝1，比值不变．理由如下：由平移的性质可得AB∥CD，如图，过点P 作PE∥AB，则PE∥CD，∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，∴＝1，比值不变．2．如图，点A（a，b）在第二象限，其中a，b 满足等+|a+b+n|＝0，点B 在第一象限内，射线BC∥OA，与y 轴交于点C（0，5）．（1）当n＝1 时，求 A 点的坐标；（2）点P 在y 轴上从（0，﹣3）出发以每秒1 个单位长度的速度向点C 运动（到达C 点后停止运动），求当时间为t 秒时（不考虑点P 与点O，C 重合的情况），∠AOP，∠OPB，∠PBC 的大小关系；（3）如图，若∠AOF＝30°，点D 是射线BC 上一动点，∠FOD，∠ODC 的平分线交于点E．∠E 的大小是否随点D 的位置变化发生改变，若不变，请求出∠E 的度数；若改变，说明理由．【解答】解：（1）∵a，b 满足等式+|a+b+n|＝0，n＝1，∴解得：a＝﹣3，b，＝2，∴A（﹣3，2）答：当n＝1 时，A 点的坐标为（﹣3，2）．（2）①当0＜t＜3 时，即点P 在y 轴的负半轴移动时，如图2﹣1，此时∠AOP＝∠OPB+∠PBC；∵OA∥BC，∴∠AOP＝∠OCQ，又∵∠OCQ＝∠OPB+∠PBC，∴∠AOP＝∠OPB+∠PBC，②当3＜t＜8 时，即点P 在OC 上移动时，如图2﹣2，此时∠OPB＝∠AOP+∠PBC；∵OA∥BC，∴∠AOP＝∠PCB，又∵∠OPB═∠PBC+∠BCP，∴∠OPB＝∠AOP+∠PBC．（3）∠E 的大小不会随点D 的位置变化发生改变，∠E＝75°，作∠AOD 的平分线交DE 于点F，如图3 所示∵OE 平分∠FOD，OF 平分∠AOD，DE 平分∠ODC，∵∠AOE＝∠EOD＝∠FOD，∠AOF＝∠FOD ＝∠AOD，∠ODE＝∠EDC＝∠ODC，∵OA∥BC，∴∠AOD+∠ODC＝180°，∴∠ODE+∠FOD＝90°，即∠OFD＝90°，∴∠EOF＝∠FOD﹣∠AOD＝∠FOA＝15°，∴∠E＝90°﹣15°＝75°，即∠E 的大小不变，∠E＝75°．答：∠E 的大小不会随点D 的位置变化发生改变，∠E＝75°．3．如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B 分别在x 轴正半轴和y 轴负半轴上，且P A＝PB．（1）求证：PA⊥PB；（2）若点A（9，0），则点B 的坐标为；（3）当点B 在y 轴负半轴上运动时，求OA﹣OB 的值；（4）如图2，若点B 在y 轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB 的值．【解答】（1）证明：如图1，过点P 作PE⊥x 轴于E，作PF⊥y 轴于F，∵P（3，3），∴PE＝PF＝3，在Rt△APE 和Rt△BPF 中，∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），∴∠APE＝∠BPF，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，∴PA⊥PB；（2）解：由（1）证得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴PF＝PE，∴四边形OEPF 是正方形，∴OE＝OF＝4，∵A（9，0），∴OA＝9，∴AE＝OA﹣OE＝9﹣3＝6，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF＝6，∴OB＝BF﹣OF＝6﹣3＝3，∴点B 的坐标为（0，﹣3），故答案为：（0，﹣3）；（3）解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OB+OF＝OB+3，∴OA﹣3＝OB+3，∴OA﹣OB＝6；（4）解：如图2，过点P 作PE⊥x 轴于E，作PF⊥y 轴于F，同（1）可得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OF﹣OB＝3﹣OB，∴OA﹣3＝3﹣OB，∴OA+OB＝6．4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b 满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a ＝，b＝；（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m 的式子表示△ABM 的面积；（3）在（2）条件下，当时，在y 轴上有一点P，使得△BMP 的面积与△ABM 的面积相等，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣3）2＝0，∴a+1＝0 且b﹣3＝0，解得：a＝﹣1，b＝3，故答案为：﹣1，3；（2）过点M 作MN⊥x 轴于点N，∵A（﹣1，0）B（3，0）∴AB＝1+3＝4，又∵点M（﹣2，m）在第三象限∴MN＝|m|＝﹣m∴S△ABM＝AB•MN＝×4×（﹣m）＝﹣2m；（3）当时）∴S△ABM＝﹣2×（﹣）＝3，点P 有两种情况：①当点P 在y 轴正半轴上时，设点p（0，k）S△BMP＝5×（+k）﹣+k）﹣×5×﹣×3×k＝k+ ，∵S△BMP＝S△ABM，∴k+ ＝3，解得：k＝0.3，∴点P 坐标为（0，0.3）；②当点P 在y 轴负半轴上时，设点p（0，n），S△BMP＝﹣5n﹣）﹣×5×﹣×3×（﹣n）＝﹣n﹣，∵S△BMP＝S△ABM，∴﹣n﹣＝3，解得：n＝﹣2.1∴点P 坐标为（0，﹣2.1），故点P 的坐标为（0，0.3）或（0，﹣2.1）．5．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABO 的面积为8，OA＝OB，BC＝12，点P 的坐标是（a，6）．（1）求△ABC 三个顶点A，B，C 的坐标；（2）若点P 坐标为（1，6），连接P A，PB，则△P AB的面积；（3）是否存在点P，使△PAB 的面积等于△ABC 的面积？如果存在，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵S ＝•OA•OB，解得a＝﹣10．∵OA＝OB，△ABO此时P 点坐标为（﹣10，6）．综上所述，点P 的坐标为（﹣10，6）或（14，∴OA2＝8，解得OA＝4，∴OB＝OA＝4，∴OC＝BC﹣OB＝12﹣4＝8，∴A（0，4），B（﹣4，0），C（8，0）；（2）作PH⊥x 轴于H，如图1，S△PAB＝S△PBH﹣S△AOB﹣S 梯形AOHP＝×（4+1）×6﹣8﹣×（4+6）×1＝15﹣8﹣5＝2．（3）S△ABC＝•4•12＝24，当点P 在第一象限，即a＞0，作PH⊥x 轴于H，如图2，S△PAB＝S△AOB+S 梯形AOHP﹣S△PBH＝8+ •a﹣•6•（a+4）＝2a﹣4；则2a﹣4＝24，解得a＝14．此时P 点坐标为（14，6）；当点P 在第二象限，即a＜0，作PH⊥y 轴于H，如图3，S△PAB＝S 梯形•6﹣•（6﹣4）•（﹣a）﹣8＝4﹣2a；则4﹣2a＝24，6）．6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b 满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．（1）求a，b 的值；（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m 的式子表示四边形ABOM 的面积；（3）在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM 的面积与△ABN 的面积相等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵a，b 满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3．故 a 的值是2，b 的值是3；（2）过点M 作MN 丄y 轴于点N．四边形AMOB 面积＝S△AMO+S△AOB＝MN•OA+OA•OB＝×（﹣m）×2+ ×2×3＝﹣m+3；（3）当m＝﹣时，四边形ABOM 的面积＝4.5．∴S△ABN＝4.5，①当N 在x 轴负半轴上时，设N（x，0），则S△ABN＝AO•NB＝×2×（3﹣x）＝4.5，解得x＝﹣1.5；②当N 在y 轴负半轴上时，设N（0，y），则S△ABN＝BO•AN＝×3×（2﹣y）＝4.5，解得y＝﹣1．∴N（0，﹣1）或N（﹣1.5，0）．7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点，（1）求三角形ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）已知点A（0，2），B（3，0），C（3，4），过A 点作BC 边上的高，交BC 于点H，则三角形ABC 的面积为：S＝BC•AH＝×4×3＝6；（2）四边形ABOP 的面积可以看作是△APO 和△AOB 的面积和，∵P 在第二象限，∴m＜0，S APOB＝S△AOB+S APO＝+ ×（﹣m）×2＝3﹣m．故四边形ABOP 的面积为3﹣m；（3）当四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等时，即3﹣m＝6，得m＝﹣3，此时P 点坐标为：（﹣3，），存在P 点，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等．8．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c 满足关系式|a ﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣5）2≤0．（1）求a、b、c 的值．（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m 的式子表示四边形APOB 的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形AOBC 的面积是四边形APOB 的面积的2 倍？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣5）2≤0 可得：a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣5＝0，解得：a＝2，b＝3，c＝5；（2）∵a＝2，b＝3，c＝5，∴A（0，2），B（3，0），C（3，5），∴OA＝2，OB＝3，∵S△ABO＝×2×3＝3，S△APO＝×2×（﹣m）＝﹣m，∴S 四边形ABOP＝S△ABO+S△APO＝3+（﹣m）＝3﹣m（3）存在，∵S 四边形AOBC＝S△AOB+S△ABC＝3+＝10.5，若S 四边形AOBC＝2S 四边形APOB＝2（3﹣m）＝10.5，则m＝﹣，∴存在点P（﹣，），使四边形AOBC 的面积是四边形APOB 的面积的2 倍．9．如图，平面直角坐标系中，已知A（﹣7，1），B（﹣1，1），C（﹣1，5），且点D 的坐标（x，y），满足2x+5y＝22，四边形ABCD 的面积为37，求x，y 的值．【解答】解：如图，作DE⊥y 轴于点E，延长BC 交DE 于点F，则BF⊥DE，由A（﹣7，1），B（﹣1，1），C（﹣1，5），且点D 的坐标（x，y），∴AB＝6、DF＝﹣x﹣1、BF＝y﹣1，CF＝y﹣5，由四边形ABCD 的面积为37 知×（6﹣x﹣1）（y﹣1）﹣×（﹣x﹣1）（y﹣5）＝37，整理，得：2x﹣3y＝﹣42，由2x+5y＝22 可得，解得：．10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过点A（8，6）分别作x 轴、y 轴的平行线，交y 轴于点B，交x 轴于点C，点P 是从点B 出发，沿B→A→C 以2 个单位长度/秒的速度向终点C 运动的一个动点，运动时间为t（秒）．（1）直接写出点B 和点C 的坐标B（，）、C（，）；（2）当点P 运动时，用含t 的式子表示线段AP 的长，并写出t 的取值范围；（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t 值，使S△APD＝S ABOC，若存在，请求出t 值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）B（0，6），C（8，0），故答案为：0、6，8、0；∵S△APD＝AP•AC S ABOC ＝AB•AC（2）当点P 在线段BA 上时，由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t，∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）；当点P 在线段AC 上时，∵AP＝点P 走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）．（3）存在两个符合条件的t 值，当点P 在线段BA 上时∴（8﹣2t）×6＝×8×6，解得：t＝3＜4，当点P 在线段AC 上时，∵S△APD＝AP•CD CD＝8﹣2＝6∴（2t﹣8）×6＝×8×6，解得：t＝5＜7，综上所述：当t 为 3 秒和5 秒时S△APD＝S ABOC，11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b 满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．（1）a＝，b＝；（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m 的式子表示四边形ABOM 的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上求点N（的坐标），使得△ABN 的面积与四边形ABOM 的面积相等．（直接写出答案）【解答】解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得：a＝2，b＝3，故答案为：2，3；（2）∵在第二象限内有一点M（m，1），∴S△AMO＝×AO×（﹣m）＝﹣m，S△AOB＝×AO×OB＝3，∴四边形ABOM 的面积为：3﹣m；（3）∵当m＝﹣时，△ABN 的面积与四边形ABOM 的面积相等，当N 在x 轴的负半轴时，设N 点坐标为：（c，0），则×2（3﹣c）＝3﹣（﹣），解得：c＝﹣1.5，故N（﹣1.5，0），当N 在y 轴的负半轴时，设N 点坐标为：（0，d），则×3（2﹣d）＝3﹣（﹣），解得：d＝﹣1，故N（0，﹣1），综上所述：N 点坐标为：（﹣1.5，0），（0，﹣1）．12．如图，在平面直角坐标系中，点A 在X 轴正半轴上，B 在Y 轴的负半轴，过点B 画MN∥x 轴；C 是Y 轴上一点，连接AC，作CD⊥CA．（1）如图（1），请直接写出∠CA0 与∠CDB 的数量关系．（2）如图（2），在题（1）的条件下，∠CAO 的角平分线与∠CDB 的角平分线相交于点P，求∠APD 的度数．（3）如图（2），在题（1）、（2）的条件下，∠CAX 的角平分线与∠CDN 的角平分线相交于点Q，请直接写出∠APD 与∠AQD 数量关系．（4）如图（3），点C 在Y 轴的正半轴上运动时，∠CAO 的角平分线所在的直线与∠CDB 的角平分线相交于点P，∠APD 的大小是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，说明理由．【解答】解：（1）如图，∵CD⊥CA，∴∠ACO+∠DCB＝90°，∵∠AOC＝90°，∴∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠DCB＝∠OAC，又∵∠CBD＝90°，∴∠DCB+∠CDB＝90°，∴∠CAO+∠CDB＝90°；（2）如图2，延长AP 交MN 于点E，∵AP 平分∠CAO、DP 平分∠CDB，∴∠1＝∠CAO、∠CDB，∵∠CAO+∠CDB＝90°，∴∠1+∠2＝45°，∵MN∥OA，∴∠1＝∠3，∴∠APD＝∠2+∠3＝∠1+∠3＝45°；（3）∵AP 平分∠OAC、AQ 平分∠CAx，∴∠PAC＝∠OAC、∠QAC＝∠CAx，∵∠OAC+∠CAx＝180°，∴∠PAQ＝∠PAC+∠CAQ＝（∠OAC+∠CAx）＝90°，同理得∠PDQ＝90°，∴∠APD+∠AQD＝360°﹣（∠PAQ+∠PDQ）＝180°；（4）∠APD 的大小不变，为45°；设∠CAQ＝2α，∠CQA＝2β，∵∠ACD＝90°，∴∠CAQ+∠CQA＝90°，即2α+2β＝90，α+β＝45，∵AO∥MN，∴∠CQA＝∠CDB＝2β，∵AQ 平分∠CAQ、DB 平分∠CDB，∴∠QDP＝∠CDB＝β，∠CAQ＝α，则∠CQA＝90°﹣∠CAQ＝90°﹣α，∴∠APD ＝∠C QA ﹣∠C DB ＝90 °﹣α﹣β ＝45°．13．在平面直角坐标系xOy 中，对于P，Q 两点给出如下定义：若点P 到x、y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x、y 轴的距离中的最大值，则称P，Q 两点为“等距点”．下图中的P，Q 两点即为“等距点”．（1）已知点A 的坐标为（﹣3，1），①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A 的“等距点”的是E、F；②若点B 的坐标为B（m，m+6），且A，B 两点为“等距点”，则点B 的坐标为；（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k 的值．【解答】解：（1）①∵点A（﹣3，1）到x、y 轴的距离中最大值为3，∴与A 点是“等距点”的点是E、F．②当点B 坐标中到x、y 轴距离其中至少有一个为3 的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），这些点中与A 符合“等距点”的是（﹣3，3）．故答案为①E、F；②（﹣3，3）；（2）T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，①若|4k﹣3|≤4 时，则4＝﹣k﹣3 或﹣4＝﹣k﹣3解得k＝﹣7（舍去）或k＝1．②若|4k﹣3|＞4 时，则|4k﹣3|＝|﹣k﹣3|解得k＝2．根据“等距点”的定义知，k＝1 或k＝2 符合题意．即k 的值是1 或2．14．如图，已知平面直角坐标系内A（2a﹣1，4），B（﹣3，3b+1），A、B；两点关于y 轴对称（1）求A、B 的坐标；（2）动点P、Q 分别从A 点、B 点同时出发，沿直线AB 向右运动，同向而行，P 点的速度是每秒2 个单位长度，Q 点的速度是每秒4 个单位长度，设P、Q 的运动时间为t 秒，用含t 的代数式表示三角形OPQ 的面积S，并写出t 的取值范围；（3）在平面直角坐标系中存在一点M，点M 的横纵坐标相等，且满足S△PQM：S△OPQ＝3：2，求出点M 的坐标，并求出当S△AQM＝15 时，三角形OPQ 的面积．【解答】解：（1）∵A（2a﹣1，4），B（﹣3，3b+1），A、B 两点关于y 轴对称，∴2a﹣1＝3，3b+1＝4．解得a＝2，b＝1．∴点A 的坐标为（3，4），点B 的坐标为（﹣3，4）．（2）∵AP＝2t，BQ＝4t，AB＝6，∴当0＜t＜3 时，PQ＝6+2t﹣4t＝6﹣2t；当t＞3 时，PQ＝4t﹣6﹣2t＝2t﹣6．解得，x＝﹣2 或x＝10∴点M 的坐标为（﹣2，﹣2）或（10，10）当t＞3 时，∵S △ PQM ：S △ OPQ ＝ 3 ： 2 ，＝（t﹣3）×|4﹣x|，S△OPQ＝4t﹣12∴∴当0＜t＜3 时，S＝PQ•4＝×（6﹣2t）×解得，x＝﹣2 或x＝10．∴点M 的坐标为（﹣2，﹣2）或（10，10）．4＝12﹣4t；当t ＞ 3 时，S ＝∵S△AQM＝15，．（0＜t＜3）或（t＞3），即．∴t＝或t＝，（3）设点M 的坐标为（x，x）．当0＜t＜3 时，∴当t＝时，，∵ S △ PQM ：S △ OPQ ＝3 ： 2 ，当t＝时，S ＝12﹣4×△OPQ＝1；＝（3﹣t）×|4﹣x|，S△OPQ＝12﹣4t．∴．由上可得，点M 的坐标为（﹣2，﹣2）或（10，10），当S△AQM＝15 时，三角形OPQ 的面积是11 或1．15．已知两种不同的数对处理器f、g．当数对（x，y）输入处理器f 时，输出数对（x+2y，2x﹣y），记作f （x，y）＝（x+2y，2x﹣y）；但数对（x，y）输入处理器g 时，输出数对（y，﹣x+4），记作g（x，y）＝（y，﹣x+4）．（1）f（3，2）＝（，），g（3，2）＝（，）．（2）当f（x，y）＝g（1，﹣1）时，求x，y；（3）对于数对（x，y），f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]一定成立吗？若成立，说明理由；若不成立，举例说明．【解答】解：（1）∵x＝3，y＝2，∴x+2y＝7，2x﹣y＝4，由f（x，y）＝（x+2y，2x﹣y），得到f（3，2）＝（7，4）；同理把x＝3，y＝2，代入g（x，y）＝（y，﹣x+4）中，可得g（3，2）＝（2，1）．故答案为（7，4），（2，1）．（2）∵g（x，y）＝（y，﹣x+4），∴g（1，﹣1）＝（﹣1，3）．当f（x，y）＝g（1，﹣1）＝（﹣1，3）时，根据f（x，y）＝（x+2y，2x﹣y），可得解得x＝1，y＝1；（3）对于数对（x，y），f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]一定成立，理由如下：∵g（x，y）＝（y，﹣x+4），∴f[g（x，y）]＝f（y，﹣x+4）．又∵f（x，y）＝（x+2y，2x﹣y），所以f（y，﹣x+4）＝（3y，3x﹣4）．∵f（x，y）＝（x+2y，2x﹣y），∴g[f（x，y）]＝g（x+2y，2x﹣y）．又∵g（x，y）＝（y，﹣x+4），∴g（x+2y，2x﹣y）＝（3y，3x﹣4）．所以f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]＝（3y，3x﹣4）．所以对于数对（x，y），f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]一定成立．16．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD＝3，AO＝8，OC＝5．（1）若点P 在y 轴上且S△PAD＝S△poc，求点P 的坐标；（2）若点P 在梯形内且S△PAD＝S△POC，S△PAO＝S△PCD，求点P 的坐标．【解答】解：（1）①点P 在AO 上时，S△P AD＝AD•PA，S△POC＝OC•PO，∵S△PAD＝S△POC，∴AD•P A＝OC•PO，∴3（8﹣PO）＝5PO，解得PO＝3，此时点P 的坐标为（0，3），②点P 在AO 的延长线上时，S△P AD＝AD•PA，S△POC＝OC•PO，∵S△PAD＝S△POC，∴AD•P A＝OC•PO，∴3（8+PO）＝5PO，解得PO＝12，此时点P 的坐标为（0，﹣12），综上所述，点P 的坐标为（0，3）或（0，﹣12）；（2）如图，过点P 作PE⊥y 轴于E，S 梯形（3+5）×8＝32，∵S△PAD＝S△POC，∴AD•AE＝OC•OE，∴3AE＝5OE，即3（8﹣OE）＝5OE，解得OE＝3，∴S△PAO＝S△PCD＝×5×3）＝，∴ AO•PE＝，即×8•PE＝，解得PE＝，∴点P 的坐标是（，3）．17．在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y 轴于B，且B（0，b）是y 轴负半轴上一点，b2＝16，S△AOB＝12．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）如图1，点D 为线段OA（端点除外）上某一点，过点D 作AO 垂线交x 轴于E，交直线AB 于F，∠EOD、∠AFD 的平分线相交于N，求∠ONF 的度数．（3）如图2，点D 为线段OA（端点除外）上某一点，当点D 在线段上运动时，过点D 作直线EF 交x 轴正半轴于E，交直线AB 于F，∠EOD，∠AFD 的平分线相交于点N．若记∠ODF＝α，请用α 的式子表示∠ONF 的大小，并说明理由．【解答】解：（1）∵b2＝16，∴b＝±4，∵B（0，b）是y 轴负半轴上一点，∴B（0，﹣4），∵AB⊥y 轴，S△AOB＝12．∴AB•BO＝12，即AB×4＝12，解得AB＝6，∴A 的坐标为（6，﹣4），（2）如图1，过点N 作NM∥x 轴，∵NM∥x，∴∠MNO＝∠NOC，∵ON 是∠EOD 的角平分线，∴∠MNO＝∠NOC＝∠EOD，又∵MN∥AB∴∠MNF＝∠NFA，∵FN 是∠AFD 的角平分线，∴∠MNF＝∠NFA＝∠AFD，∵AB∥x 轴，∴∠OED＝∠AFD，∵ED⊥OA，∴∠EOD+∠AFD＝90°，∴∠ONF＝∠MNO+∠MNF （∠E OD+∠AFD）＝×90°＝45°．（3）如图2，过点N 作NM∥x 轴，∵NM∥x，∴∠MNO＝∠NOC，∵ON 是∠EOD 的角平分线，∴∠MNO＝∠NOC＝∠EOD，又∵MN∥AB∴∠MNF＝∠NFA，∵FN 是∠AFD 的角平分线，∴∠MNF＝∠NFA＝∠AFD，∵AB∥x 轴，∴∠OED＝∠AFD，∵∠ODF＝∠EOD+∠AFD＝α，∴∠ONF＝∠MNO+∠MNF （∠E OD+∠AFD）＝α．18．如图，在平面直角坐标系，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2＝0．（1）求a，b 的值；（2）①在x 轴的正半轴上存在一点M，使S△COM＝△ABC 的面积，求出点M 的坐标；②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使△COM 的面积＝△ABC 的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M 的坐标为．【解答】解（1）∵|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2＝0，又∵|2a+b+1|和（a+2b﹣4）2 都是非负数，所以得，解方程组得，，∴a＝﹣2，b＝3．（2）①由（1）得A，B 点的坐标为A（﹣2，0），B（3，0），|AB|＝5．∵C（﹣1，2），∴△ABC 的AB 边上的高是2，∴．要使△COM 的面积是△ABC 面积，而C 点不变，即三角形的高不变，M 点在x 轴的正半轴上，只需使．此时．∴M 点的坐标为②由①中的对称点，当M 在y 轴上时，△COM 的高为1，∵△COM 的面积△ABC 的面积，∴|OM|×1＝∴OM＝±5（负值舍去），∴M2（0，5），M3（0，﹣5）．故答案为：（﹣，0），（0，5），（0，﹣5）．19．如图，在长方形OABC 中，OA＝BC＝10，AB＝OC＝6，以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，建立平面直角坐标系．动点P 从点A 出发，沿A→O→C→B 路线运动到点B 停止，速度为4 个单位长度/ 秒；动点Q 从点O 出发，沿O→C→B 路线运动到点B 停止，速度为2 个单位长度/秒；当点P 到达点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为t．（1）写出A、B、C 三个点的坐标；（2）当点P 恰好追上点Q 时，求此时点P 的坐标；（3）当点P 运动到线段BC 上时，连接AP、AQ，若△APQ 的面积为3，求t 的值．【解答】解：（1）点A（10，0），B（10，6），C（0，6）；（2）设时间为t，由题意得，4t﹣2t＝10，解得t＝5，此时，点P 运动的路程为4×5＝20，所以，点P 在BC 上，CP＝20﹣10﹣6＝4，所以，点P 的坐标为（4，6）；（3）点Q 在点P 的前面时，PQ＝2t﹣（4t﹣10）＝10﹣2t，△APQ 的面积＝（10﹣2t）×6＝3，解得t＝4.5，点P 在点Q 的前面时，PQ＝（4t﹣10）﹣2t＝2t﹣10，△APQ 的面积＝（2t﹣10）×6＝3，解得t＝5.5，综上所述，△APQ 的面积为 3 时，t＝4.5 秒或 5.5 秒．20．已知：如图三角形ABC 的三个顶点位置分别是A（1，0），B（﹣4，0），C（﹣2，5）（1）求三角形ABC 的面积；（2）若点P（0，m）在y 轴上，试用含m 的代数式表示三角形ABP 的面积；（3）若点P 在y 轴上什么位置时，三角形ABP 的面积等于三角形ABC 的一半？【解答】解：（1）∵A（1，0），B（﹣4，0），C（﹣2，5），∴AB＝1﹣（﹣4）＝1+4＝5，点 C 到AB 的距离为5，∴△ABC 的面积＝×5×5＝12.5；（2）点P 在y 轴正半轴时，m＞0，面积＝×5•m＝m，点P 在y 轴负半轴时，m＜0，面积＝×5•（﹣m）＝﹣m；（3）设点P 到x 轴的距离为h，则×5h＝×12.5，解得，所以，点P 坐标为（0，）或（0，﹣）．21．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，3），且| |+（4a﹣b+11）2＝0．（1）求a、b 的值；（2）①在y 轴上的负半轴上存在一点M，使△COM 的面积△ABC 的面积，求出点M 的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使结论“△COM 的面积＝△ABC 的面积”仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵| |+（4a﹣b+11）2＝0，∴解∴a 的值是﹣2，b 的值是3．（2）如图1，过点C 作CG⊥x 轴，CH⊥y 轴，垂足分别为G、H，∵A（﹣2，0），B（3，0），∴AB＝3﹣（﹣2）＝5，∵点C 的坐标是（﹣1，3），∴CG＝3，CH＝1，∴，∴，即，∴OM＝，∴点M 的坐标是（0，﹣7.5）．（3）∵点M 的坐标是（0，﹣7.5）时，△COM的面积＝△ABC 的面积，∴点M 的坐标是（0，7.5）时，△COM 的面积＝△ABC 的面积；∵三角形的高一定时，面积和底成正比，∴点M 的坐标是（2.5，0）或（﹣2.5，0）时，△COM 的面积＝△ABC 的面积．综上，可得在坐标轴的其它位置存在点M，使结论“△COM的面积＝△ABC 的面积”仍然成立，符合条件的点M 的坐标有3 个：（0，7.5）、（2.5，0）或（﹣2.5，0）．22．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A 在射线OP 上，点B 在射线OQ 上（A、B 不与O 点重合），点C 在射线ON 上且OC＝2，过点C 作直线l∥PQ，点D 在点C 的左边且CD＝3．（1）直接写出△BCD 的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA 的平分线交OC 于E，交AC 于F，求证：∠CEF＝∠CFE．（3）如图③，若∠ADC＝∠DAC，点B 在射线OQ 上运动，∠ACB 的平分线交DA 的延长线于点H，在点B 运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．【解答】解：（1）S△BCD＝CD•OC＝×3×2＝3．（2）如图②，∵AC⊥BC，∴∠BCF＝90°，∴∠CFE+∠CBF＝90°，∵直线MN⊥直线PQ，∴∠BOC＝∠OBE+∠OEB＝90°，∵BF 是∠CBA 的平分线，∴∠CBF＝∠OBE，∵∠CEF＝∠OBE，∴∠CFE+∠CBF＝∠CEF+∠OBE，∴∠CEF＝∠CFE．（3）如图③，∵直线l∥PQ，∴∠ADC＝∠PAD，∵∠ADC＝∠DAC∴∠CAP＝2∠DAC，∵∠ABC+∠ACB＝∠CAP，∴∠ABC+∠ACB＝2∠DAC，∵∠H+∠HCA＝∠DAC，∴∠ABC+∠ACB＝2∠H+2∠HCA∵CH 是，∠ACB 的平分线，∴∠ACB＝2∠HCA，∴∠ABC＝2∠H，∴＝．23．如图所示，A（﹣，0）、B（0，1）分别为x 轴、y 轴上的点，△ABC 为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP＝S△ABC，求a 的值．【解答】解：如图1，过P 点作PD⊥x 轴，垂足为D．由A（﹣，0）、B（0，1），得OA＝，OB ＝1，∵△ABC 为等边三角形，由勾股定理，得AB＝＝2，∴S△ABC＝×2×＝，又∵S△ABP＝S△AOB+S 梯形BODP﹣S△ADP＝××1+ ×（1+a）×3﹣×（+3）×a＝，由2S△ABP＝S△ABC，得＝，∴a＝．如图2，过P 点作PD⊥x 轴，垂足为D．由A（﹣，0）、B（0，1），得OA＝，OB ＝1，∵△ABC 为等边三角形，由勾股定理，得AB＝＝2，∴S△ABC＝×2×＝，又∵S△ABP＝S△ADP﹣S△AOB﹣S 梯形BODP ＝×（××（1+a）×3＝，由2S△ABP＝S△ABC，得﹣3＝，∴a＝2+ ．故a 的值是或2+ ．。
测量学试题
测量学考试试题（1）班级 土木1203班姓名张庆达学号20123417437成绩 100分一、简答题（30分）1．地形图精度的高低主要取决于什么？如果测绘比例尺为1：500的地形图要求图上的精度为0.4mm 时，则碎部测量时的取舍长度为多少？ 2．微倾式水准仪有哪些轴线？轴线之间应满足那些几何条件？ 3．用公式ABABAB x y R ∆∆=arctan计算出的象限角AB R ，如何将其换算为坐标方位角AB α？ 4．水准测量时为什么要求前后视距相等？5．路线中线测量的任务是什么？其主要工作内容有哪些？ 6．相位法测距原理和脉冲法测距原理有何不同？二、计算题（60）1、设A 点高程为15.023m ，欲测设设计高程为16.000m 的B 点，水准仪安置在A 、B 两点中间，读得A 尺读数a=2.340m ，B 尺读数b 为多少时，才能使尺底高程为B 点高程。
(10分)2、 如下图，已知AB 边的坐标方位角αAB ==137°48′,各观测角标在图中，请推算CD 、DE 边的方位角。
(103、在一个直角三角形中，独立丈量了两条直角边a ，b ，其中误差均为m ，试推导由a ，b 边计算所得斜边c 的中误差c m 的公式？(10分)4、已知=AB α89°12′01″，=B x 3065.347m ，=B y 2135.265m ，坐标推算路线为B →1→2，测得坐标推算路线的右角分别为=B β32°30′12″，=1β261°06′16″，水平距离分别为=1B D 123.704m ，=12D 98.506m ，试计算1，2点的平面坐标。
(12分) 5、已知圆曲线交点里程为K3+182.76，转角=∆R 25°48′，半径=R 300m ，试计算圆曲线测设元素与主点里程。
(8分)6、闭合水准路线高差观测如图，已知A 点高程H A = 41.20m ，观测数据如图所示（环内单位为m 的为两点高差，环外单位为km 为两点距离），计算B 、C 、D 、E 点的高程。
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高 中 数 学 空 间 直 角 坐 标 系 试 题一、选择题（每小题5分，共60分） 1．以棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA 1B 1B 对角线交点的坐标为（ ）A ．（0，0.5，0.5）B ．（0.5，0，0.5）C ．（0.5，0.5，0）D ．（0.5，0.5，0.5）【解答】解：由题意如图，平面AA 1B 1B 对角线交点是横坐标为AB 的中点值，竖坐标为AA 1的中点值，纵坐标为0，所以平面AA 1B 1B 对角线交点的坐标为（0.5，0，0.5）．故选B ．2．设点B 是点A （2，-3，5）关于xOy 面的对称点，则A 、B 两点距离为（ ）A ．10B ．10C ．38D ．38【解答】解：点B 是A （2，-3，5）关于xoy 平面对称的点，∴B 点的横标和纵标与A 点相同，竖标相反，∴B （2，-3，-5）∴AB 的长度是5-（-5）=10，故选A ．3．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO-A′B′C′D′，A′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为（ ）A ．a 2B ．a 22C ．aD ．a21 【解答】解：如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO-A′B′C′D′，∵A （a ，0，0），B （a ，a ，0），C （0，a ，0），A′（a ，0，a ），A′C 的中点E 与AB 的中点F ，∴F （a ，2a ，0），E （2a ，2a ，2a ）， |EF|=222)0()2()(aa a a a a a -+-+-=22a ．4．一束光线自点P （1，1，1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q （3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（ ）A ．37B ．47C ．33D ．57【解答】解：点P （1，1，1）平面xoy 的对称点的M 坐标（1，1，-1），一束光线自点P （1，1，1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q （3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是：222)16()13()13(++-+-=57．故选D ．5．点P （x ，y ，z ）满足222)1()1()1(++-+-z y x =2，则点P 在（ ）A ．以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上B ．以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上C ．以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定【解答】解：式子222)1()1()1(++-+-z y x =2的几何意义是动点P （x ，y ，z ）到定点（1，1，-1）的距离为2的点的集合．故选C ．6．若A 、B 两点的坐标是A （3cosα，3sinα），B （2cosθ，2sinθ），则|AB|的取值范围是（ ）A ．[0，5]B ．[1，5] C.（1，5） D ．[1，25]【解答】解：由题意可得|AB|=22)sin 2sin 3()cos 2cos 3(βαβα-+-=βαβαsin sin cos cos 1249+-+ =)cos(1213βα--．∵-1≤cos （α-β）≤1，∴1≤13-12cos （α-β）≤25，∴1≤)cos(1213βα--≤5，故选B ． 7．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是（ ）C ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，﹣y ，z ）；②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，﹣y ，﹣z ）；③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，﹣y ，z ）；④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（﹣x ，﹣y ，﹣z ）．A ． 3B ． 2C ． 1D ． 08．设A （3,3,1）、B （1,0,5）、C （0,1,0），则AB 中点M 到C 点的距离为（ ）CA ．B ．C ．D ．9．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的正投影，则|OB|等于（ ）BA ．B ．C ．D ．10．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，﹣5，1），C （3，7，﹣5），则点D 的坐标为（ ）DA ． （3.5，4，﹣1）B ． （2，3，1）C ． （﹣3，1，5）D ． （5，13，﹣3）11．已知点A （1，﹣2，11），B （4，2，3），C （x ，y ，15）三点共线，那么x ，y 的值分别是（ ）CA ． 0.5，4B ． 1，8C ． -0.5，﹣4D ． ﹣1，﹣812．在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是（ A ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．点P （1，2，3）关于y 轴的对称点为P 1，P 关于坐标平面xOz 的对称点为P 2，则|P 1P 2|= ____214【解答】解：∵点P （1，2，3）关于y 轴的对称点为P 1，所以P 1（-1，2，-3），P 关于坐标平面xOz 的对称点为P 2，所以P 2（1，-2，3），∴|P 1P 2|=222)33()22()11(--+++--=214．故答案为：21414．已知三角形的三个顶点为A （2，-1，4），B （3，2，-6），C （5，0，2），则BC 边上的中线长为 _____________211【解答】解：∵B （3，2，-6），C （5，0，2），∴BC 边上的中点坐标是D （4，1，-2）∴BC 边上的中线长为222)42()11()24(--+++-=22，故答案为：21115．已知x ，y ，z 满足（x-3）2+（y-4）2+z 2=2，那么x 2+y 2+z 2的最小值是 ____________27-102．【解答】解：由题意可得P （x ，y ，z ），在以M （3，4，0）为球心，2为半径的球面上， x 2+y 2+z 2表示原点与点P 的距离的平方，显然当O ，P ，M 共线且P 在O ，M 之间时，|OP|最小，此时|OP|=|OM|-2=432+-2=52，所以|OP|2=27-102．故答案为：27-102．16. 已知点A （﹣3，1，4），则点A 关于原点的对称点B 的坐标为 ；AB 的长为 ．（3，-1，-4）2三、解答题（共70分）17．如图所示，过正方形ABCD 的中心O 作OP ⊥平面ABCD ，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP 、BP 、CP 、DP ，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，以O 为原点，射线OM 、ON 、OP 分别为Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴的正方向建立空间直角坐标系．若E 、F 分别为PA 、PB 的中点，求A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标．解：【解答】解：如图所示，B 点的坐标为（1，1，0），因为A 点关于x 轴对称，得A （1，-1，0），C 点与B 点关于y 轴对称，得C （-1，1，0）， D 与C 关于x 轴对称，的D （-1，-1，0），又P （0，0，2），E 为AP 的中点，F 为PB 的中点，由中点坐标公式可得E （0.5，-0.5，1），F （0.5，0.5，1）．18．在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在x 轴上求一点P ，使它与点P 0（4，1，2）的距离为30；（2）在xOy 平面内的直线x+y=1上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小．解：【解答】解：（1）设点P 的坐标是（x ，0，0），由题意|P0P|=30，即22221)4(++-x =30，∴（x-4）2=25．解得x=9或x=-1．∴点P 坐标为（9，0，0）或（-1，0，0）．先设点M （x ，1-x ，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．（2）设点M （x ，1-x ，0）则|MN|=51)1(22+-x ∴当x=1时，|MN|min=51．∴点M 的坐标为（1，0，0）时到点N （6，5，1）的距离最小．19．已知空间直角坐标系O-xyz 中点A （1，1，1），平面α过点A 且与直线OA 垂直，动点P （x ，y ，z ）是平面α内的任一点．（1）求点P 的坐标满足的条件；（2）求平面α与坐标平面围成的几何体的体积．解：【解答】解：（1）因为OA ⊥α，所以OA ⊥AP ，由勾股定理可得：|OA|2+|AP|2=|OP|2，即3+（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2=x 2+y 2+z 2，化简得：x+y+z=3．（2）设平面α与x 轴、y 轴、z 轴的点分别为M 、N 、H ，则M （3，0，0）、N （0，3，0）、H （0，0，3）．所以|MN|=|NH|=|MH|=32， 所以等边三角形MNH 的面积为：3/4×(32)2=93/2．又|OA|=3，故三棱锥0-MNH 的体积为：31×93/2×3=4.5．20．如图，已知正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为a ，M 为BD′的中点，点N 在A′C′上，且 |A′N|=3|NC′|，试求MN 的长．【解答】解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），C'（0，a ，a ），D'（0，0，a ）．由于M 为BD'的中点，取A'C'中点O',所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a ，a ）．因为|A'N|=3|NC'|，所以N 为A'C'的四等分,从而N 为O'C'的中点，故N （4a ，43a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得|MN |＝222)2()432()42(a a a a a a -+-+-＝46a21．在空间直角坐标系中，已知A （3，0，1）和B （1，0，﹣3），试问（1）在y轴上是否存在点M，满足|MA|=|MB|？。