空间直角坐标系典型例题解析.doc

《空间直角坐标系》典型例题解析

例 1：在空间直角坐标系中，作出点 M(6，

－2, 4)。z

点拨点 M 的位置可按如下步骤作出：先在M（ 6， -2,4）

x 轴上作出横坐标是 6 的点M1，再将M 1沿与 y 4 O

6 y 轴平行的方向向左移动 2 个单位得到点M2，然M 2 2 M 1

x

后将 M 2沿与z轴平行的方向向上移动4 个单位

即得点 M。

解答 M 点的位置如图所示。

总结对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空

间直角坐标系中的坐标这两类题目，要引起足够的重视，它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识，而且有利于进一步培养空间想象能力。

变式题演练

在空间直角坐标系中，作出下列各点：A(-2,3， 3)；B(3，-4,2)；C(4,0，-3)。

答案：略

例 2：已知正四棱锥 P-ABCD的底面边长为 4，侧棱长为 10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。

点拨先由条件求出正四棱锥的高，再根据正

四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系。

解答正四棱锥 P-ABCD的底面边长为 4，侧棱长为 10，

∴正四棱锥的高为 2 23 。

以正四棱锥的底面中心为原点，平行于 AB、BC 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为

z

P

D C

A

O

y

B

x

A(2，-2,0)、B(2,2，0)、C(-2,2，

0)、 D(-2，-2,0)、P(0,0，223 )。

总结在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标。

变式题演练

在长方体 ABCD A1B1 C1 D1中，AB=12，AD=8， AA1=5，试建立适当的空间

直角坐标系，写出各顶点的坐标。

答案：以 A 为原点，射线 AB、 AD、AA1分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)、B(12,0，0)、C(12,8，0)、D(0,8，0)、A1 (0,0，5)、B1 (12,0，5)、C1 (12,8，5)、D1 (0,8， 5)。

例 3：在空间直角坐标系中，求出经过 A(2,3，1)且平行于坐标平面 yOz 的平面的方程。

点拨求与坐标平面 yOz平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足

的条件，可利用与坐标平面yOz 平行的平面内的点的特点来求解。

解答坐标平面 yOz⊥ x 轴，而平面与坐标平面 yOz 平行，

∴平面也与 x 轴垂直，

∴平面内的所有点在 x 轴上的射影都是同一点，即平面与 x 轴的交点，∴平面内的所有点的横坐标都相等。

平面过点 A(2,3，1)，∴平面内的所有点的横坐标都是2，

∴平面的方程为 x=2。

总结对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题

的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题。本题类似于平面直角

坐标系中，求过某一定点且与 x 轴(或 y 轴)平行的直线的方程。

变式题演练

在空间直角坐标系中，求出经过B(2,3， 0)且垂直于坐标平面xOy 的直线方程。

答案：所求直线的方程为x=2,y=3.