高中数学(人教版必修2)配套练习 第四章4.3空间直角坐标系试题解析
最新人教版高中数学必修2第四章《空间直角坐标系》优化训练2
4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z)，那么下列说法正确的是( )A.点P 关于x 轴对称的坐标是P 1(x,-y,z)B.点P 关于yOz 平面对称的坐标是P 2(x,-y,-z)C.点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3(x,-y,z)D.点P 关于原点对称点的坐标是P 4(-x,-y,-z) 解析:P(x,y,z)关于x 轴对称的坐标是 P 1(x,-y,-z)，A 错；点P 关于yOz 平面对称的坐标是P 2(-x,y,z)，B 错；点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3(-x,y,-z)，C 错；点P 关于原点对称点的坐标是P 4(-x,-y,-z)，D 正确.答案：D2.已知A(x ，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，则x 的值为______________.解析:利用空间两点间的距离公式，得222)73()42()5(-+-+-x =6，即(x-5)2=16，解得x=1或x=9.答案：x=1或x=93.如图4-3-1所示，在单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则(1)A 1、C 、C 1三点的坐标分别为____________、____________、_______________,图4-3-1(2)A 1C 和A 1C 1的长度分别为_____________、_____________.解析:A 1（1，0，1）、C （0，1，0）、C 1（0，1，1），根据两点间的距离公式得｜A 1C ｜=3，｜A 1C 1｜=2.答案：（1）（1，0，1） （0，1，0） （0，1，1） （2） 2310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.设A （1，2，3），B （3，2，1），则线段AB 中点M 的坐标为_______________. 解析:根据中点坐标公式得M 的坐标为(213,222,231+++)，即(2,2,2). 答案：(2,2,2)2.在空间直角坐标系中，经过A(2,3，1)且平行于坐标平面yOz 的平面α的方程为________________.解析:求与坐标平面yOz 平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz 平行的平面内的点的特点来求解.∵坐标平面yOz ⊥x 轴，而平面α与坐标平面yOz 平行，∴平面α也与x 轴垂直. ∴平面α内的所有点在x 轴上的射影都是同一点，即平面α与x 轴的交点.∴平面α内的所有点的横坐标都相等.∵平面α过点A(2,3，1)，∴平面α内的所有点的横坐标都是2.∴平面α的方程为x=2.答案：x=23.在空间直角坐标系中作出点M(6，-2,4).解：点M 的位置可按如下步骤作出：先在 x 轴上作出横坐标是6的点M 1，再将M 1沿与y 轴平行的方向向左移动2个单位得到点M 2，然后将M 2沿与z 轴平行的方向向上移动 4个单位即得点M.M 点的位置如图所示.4.在四面体P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，求点P 到平面ABC 的距离.解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P —xyz ，则P(0,0，0)，A （a,0,0），B （0,a,0），C （0,0,a ）.过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离.∵PA=PB=PC,∴H 为△ABC 的外心.又∵△ABC 为正三角形，∴H 为△ABC 的重心.由重心公式，可得H 点的坐标为(3,3,3a a a ). ∴|PH|=a aaa33)30()30()30(222=-+-+-. ∴点P 到平面ABC 的距离为a 33. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列叙述：①在空间直角坐标系中,在x 轴上的点的坐标一定是(0,b,c)；②在空间直角坐标系中,在yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0,b,c)；③在空间直角坐标系中,在z 轴上的点的坐标一定可写成(0,0,c)；④在空间直角坐标系中,在xOz 平面上的点的坐标是(a,0,c).其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析:在空间直角坐标系中,在x 轴上的点的坐标一定是(a,0,0)，①错；在空间直角坐标系中,在yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0,b,c)，②对；在空间直角坐标系中,在z 轴上的点的坐标一定可写成(0,0,c)，③对；在空间直角坐标系中,在xOz 平面上的点的坐标是(a,0,c)，④对，故正确命题的个数为3.答案：C2.空间直角坐标系O —xyz 中，已知点A(2,3,-1),B(4,1,-1),C(4,3,-3)，则△ABC 的形状是…( )A.直角三角形B.正三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形解析:根据两点间的距离公式,得｜AB ｜=2202222=++，｜AC ｜2220222=++，｜BC ｜=2222022=++，即△ABC 为等边三角形. 答案：B3.已知A(2,5，-6)，B 为y 轴上一点，且|AB|=7，则点B 的坐标为_________________.解析:设点B （0，b ，0），根据两点间的距离公式,得｜AB ｜=⇒=+-+76)5(2222b b=2或8.答案：(0,2，0)或B(0,8，0)4.点P(1,2，3)关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为___________________.解析:设点P 关于坐标平面xOy 的对称点为P′，连结PP′交坐标平面xOy 于Q ，则PP′⊥坐标平面xOy ，且|PQ|=|P′Q|，∴P′在x 轴、y 轴上的射影分别与P 在x 轴、y 轴上的射影重合，P′在z 轴上的射影与P 在z 轴上的射影关于原点对称.∴P′与P 的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数.∴点P(1,2，3)关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为(1,2，-3).答案：(1,2，-3)5.点P(5,-2，3)关于点A(2,0，-1)的对称点的坐标为___________________.解析:空间中，两点A 、B 关于点M 对称时，点M 也为线段AB 的中点.即根据中点坐标公式,得对称点坐标为(-1,2，-5).答案：(-1,2，-5)6.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求异面直线BD 1与CC 1间的距离.解：以D 为坐标原点，从D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设P 、Q 分别是直线BD 1和CC 1上的动点，其坐标分别为(x,y,z)、(0，a,z 1)，则由正方体的对称性，显然有x=y.要求异面直线BD 1与CC 1间的距离，即求P 、Q 两点间的最短距离.设P 在平面AC 上的射影是H ，由在△BDD 1中，BDBH D D PH =1，∴a x a a z -=. ∴x=a-z.∴P 的坐标为(a-z,a-z,z).∴|PQ|=2)2(2)()()(22212122a a z z z z z z z a +-+-=-++-. ∴当z=z 1=2a 时，|PQ|取得最小值，最小值为a 22.∴异面直线BD 1与CC 1间的距离为a 22. 7.点P 在坐标平面xOy 内，A 点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹是什么？ 解：设点P 的坐标为(x,y,z).∵点P 在坐标平面xOy 内，∴z=0.∵|PA|=5， ∴222)4()2()1(-+-++z y x =5，即(x+1)2+(y-2)2+(z-4)2=25.∴点P 在以点A 为球心，半径为5的球面上.∴点P 的轨迸是坐标平面xOy 与以点A 为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy 内的圆，且此圆的圆心即为A 点在坐标平面xOy 上的射影A′(-1,2，0).∵点A 到坐标平面xOy 的距离为4，球面半径为5，∴在坐标平面xOy 内的圆A′的半径为3.∴点P 的轨迹是圆(x+1)2+(y-2)2=9，z=0.8.（经典回放）如图4-3-2，正方形ABCD ﹑ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直.点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a （0＜a ＜2）.图4-3-2（1）求MN 的长；（2）当a 为何值时，MN 的长最小.解：（1）以B 为坐标原点，分别以BA ﹑BE ﹑BC 为x ﹑y ﹑z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B —xyz ，由CM=BN=a ，M(22a ，0，1-22a), N （22a ，22a ，0）,则根据两点间的距离公式，得｜MN ｜=21)22()22()122(222+-=+-a a a (0＜a ＜2).（2）由（1）｜MN ｜=21)22(2+-a ，所以当 a=22时，｜MN ｜min =22，即M 、N 分别移动到AC ﹑BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22.。
高中数学 必修二 同步练习 专题4.3 空间直角坐标系(解析版)
一、选择题1．在空间直角坐标系中，M（–2，1，0）关于原点的对称点M′的坐标是A．（2，–1，0）B．（–2，–1，0）C．（2，1，0）D．（0，–2，1）【答案】A【解析】∵点M′与点M（–2，1，0）关于原点对称，∴M′（2，–1，0）．故选A．2．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射影，则OB等于A．13B．14C．23D．13【答案】A3．点B30，0）是点A（m，2，5）在x轴上的射影，则点A到原点的距离为A．2B．2C．3D．5【答案】A【解析】点B30，0）是点A（m，2，5）在x轴上的射影，可得m3A到原点的距离222++2．故选A．(3)254．在空间直角坐标系中，点A（5，4，3），则A关于平面yOz的对称点坐标为A．（5，4，–3）B．（5，–4，–3）C．（–5，–4，–3）D．（–5，4，3）【答案】D【解析】根据关于坐标平面yOz 的对称点的坐标的特点，可得点A （5，4，3），关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为（–5，4，3）．故选D ．5．空间中两点A （1，–1，2）、B （–1，1，22+2）之间的距离是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】∵A （1，–1，2）、B （–1，1，22+2），∴A 、B 两点之间的距离d =222(11)(11)(2222)++--+--=4，故选B ．6．在空间直角坐标系中，P （2，3，4）、Q （–2，–3，–4）两点的位置关系是A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对【答案】C7．点P （1，1，1）关于xOy 平面的对称点为P 1，则点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标是A ．（1，1，–1）B ．（–1，–1，–1）C ．（–1，–1，1）D ．（1，–1，1）【答案】B【解析】∵点P （1，1，1）关于xOy 平面的对称点为P 1，∴P 1（1，1，–1），∴点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标是（–1，–1，–1）．故选B ．8．已知点A （2，–1，–3），点A 关于x 轴的对称点为B ，则|AB |的值为A ．4B ．6C 14D ．10【答案】D【解析】点A （2，–1，–3）关于平面x 轴的对称点的坐标（2，1，3），由空间两点的距离公式可知：AB ()()()222221133-++++10，故选D ．9．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M （1，2，3）关于x 轴对称的点N 的坐标是A．N（–1，2，3）B．N（1，–2，3）C．N（1，2，–3）D．N（1，–2，–3）【答案】D【解析】∵点M（1，2，3），一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，∴点M（1，2，3）关于x轴对称的点的坐标为（1，–2，–3），故选D．10．空间点M（1，2，3）关于点N（4，6，7）的对称点P是A．（7，10，11）B．（–2，–1，0）C．579222⎛⎫⎪⎝⎭，，D．（7，8，9）【答案】A11．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，–4，0），点M是A，B的中点，则点M的坐标是A．（1，–1，0）B．（1，–2，1）C．（2，–4，2）D．（1，–4，1）【答案】B【解析】∵点M是A，B的中点，∴M110420222+-+⎛⎫⎪⎝⎭，，，即M（1，–2，1）．故选B．二、填空题12．空间中，点（2，0，1）位于___________平面上（填“xOy”“yOz”或“xOz”）【答案】xOz【解析】空间中，点（2，0，1）位于xOz平面上．故答案为：xOz．13．在正方体ABCD–A1B1C1D1中，若D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），A1（4，0，3），则对角线AC1的长为___________．29【解析】∵在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，D （0，0，0），A （4，0，0），B （4，2，0），A 1（4，0，3），∴C 1（0，2，3），∴对角线AC 1的长为|AC 1|=222(04)2329-++=．故答案为：29．14．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为（1，2，3），过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为___________． 【答案】（1，2，0）【解析】空间直角坐标系中，点P （1，2，3），过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，垂足为Q ，则点Q 的坐标为（1，2，0），如图所示．故答案为：（1，2，0）．15．若A （1，3，–2）、B （–2，3，2），则A 、B 两点间的距离为___________．【答案】5【解析】由题意，A 、B 两点间的距离为222(12)(33)(22)++-+--=5．故答案为：5． 16．已知A （1，a ，–5），B （2a ，–7，–2）（a ∈R ），则|AB |的最小值为___________．【答案】3617．点A （–1，3，5）关于点B （2，–3，1）的对称点的坐标为___________．【答案】（5，–9，–3）【解析】设点A（–1，3，5）关于点B（2，–3，1）的对称点的坐标为（a，b，c），则12 2332512abc-+⎧=⎪⎪+⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得a=5，b=–9，c=–3，∴点A（–1，3，5）关于点B（2，–3，1）的对称点的坐标为（5，–9，–3）．故答案为：（5，–9，–3）．三、解答题18．若点P（–4，–2，3）关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是A和B．求线段AB的长．19．在Z轴上求一点M，使点M到点A（1，0，2）与点B（1，–3，1）的距离相等．【解析】设M（0，0，z），∵Z轴上一点M到点A（1，0，2）与B（1，–3，1）的距离相等，∴()222221021(03)(1)z z++-=+++-，解得z=–3，∴M的坐标为（0，0，–3）．20．如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为2，（1）求正方体各顶点的坐标；（2）求A1C的长度．【解析】（1）∵正方体的棱长为2，∴A （0，0，2），B （0，2，2），C （2，2，2），D （2，0，2）， A 1（0，0，0），B 1（0，2，0），C 1（2，2，0），D 1（2，0，0）． （2）由（1）可知，A 1（0，0，0），C （2，2，2），A 1C 的长度|A 1C |=222222++=23．21．求证：以A （4，1，9），B （10，–1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．。
4.3.1 空间直角坐标系题组训练- 高一上学期数学人教A版必修2第四章(Word版,含解析)
4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系基础过关练题组一空间直角坐标系1.点M(a,b,0),N(0,a,b),P(a,0,b)分别在平面( )A.xOy,yOz,xOz上B.yOz,xOy,xOz上C.xOz,yOz,xOy上D.xOy,xOz,yOz上2.点A(-1,2,1)在x轴上的射影和在xOy平面上的射影的坐标分别为( )A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)3.以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则四边形AA1B1B对角线的交点坐标为( )A.(0,12,12) B.(12,0,12)C.(12,12,0) D.(12,12,12)4.(湖北荆州高一期末)设A(1,-1,1),B(3,1,5),则线段AB的中点在空间直角坐标系中的位置是( )A.在y轴上B.在xOy平面内C.在xOz平面内D.在yOz平面内5.设z是任意实数,相应的点P(2,2,z)运动的轨迹是( )A.一个平面B.一条直线C.一个圆D.一个球6.(河南禹州高一期中)如图,棱长为√2的正四面体ABCD的三个顶点A,B,C分别在空间直角坐标系的x轴,y轴,z轴上,则顶点D的坐标为( )A.(1,1,1)B.(√2,√2,√2)C.(√3,√3,√3)D.(2,2,2)题组二空间中点的对称问题7.空间两点A,B的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则A,B两点的位置关系是( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于z轴对称D.关于原点对称8.在空间直角坐标系中,已知点M(a,b,c).给出下列命题:①点M关于x轴对称的点M1的坐标为(a,-b,c);②点M关于yOz平面对称的点M2的坐标为(a,-b,-c);③点M关于y轴对称的点M3的坐标为(a,-b,c);④点M关于原点对称的点M4的坐标为(-a,b,-c).其中真命题的个数是( )A.3B.2C.1D.09.(安徽天长关塘中学高一期末)在空间直角坐标系Oxyz中,点(-1,2,-4)关于原点O对称的点的坐标为.10.(四川阆中中学高二期中)点P(-3,2,1)关于点Q(1,2,-3)对称的点M的坐标为.11.(江苏高二期末)在空间中,点(3,4,5)关于x轴对称的点的坐标为.12.(四川雅安中学高二月考)直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则顶点B1关于平面xAz对称的点的坐标是.能力提升练一、选择题1.(陕西高一期末,★★☆)点P(a,b,c)到坐标平面yOz的距离是( )A.49B.|a| C.|b| D.|c|2.(★★☆)在空间直角坐标系中,点P(2,3,4)和点Q(-2,-3,-4)的位置关系是( )A.关于x轴对称B.关于yOz平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对3.(★★☆)设x,y为任意实数,则相应的所有点P(x,y,3)的集合是( )A.z轴上的两个点B.过z轴上的(0,0,3)点且与z轴垂直的直线C.过z轴上的(0,0,3)点且与z轴垂直的平面D.以上答案都有可能4.(★★☆)设y∈R,则点P(1,y,2)构成的集合为( )A.垂直于xOz平面的一条直线B.平行于xOz平面的一条直线C.垂直于y轴的一个平面D.平行于y轴的一个平面5.(★★☆)点A(2,3-μ,-1+v)关于x轴对称的点为A'(λ,7,-6),则( )A.λ=-2,μ=-1,v=-5B.λ=2,μ=-4,v=-5C.λ=2,μ=10,v=8D.λ=2,μ=10,v=76.(2018四川成都外国语学校高一上期中,★★☆)已知线段AB的两个端点的坐标分别为A(9,-3,4)、B(9,2,1),则线段AB与坐标平面( )A.xOy平行B.xOz平行C.yOz平行D.xOz或yOz平行7.(★★☆)在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )A.(4,0,6)B.(-4,7,-6)C.(-4,0,-6)D.(-4,7,0)二、填空题8.(★★☆)已知平行四边形ABCD中,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为.9.(★★☆)已知三角形ABC的三个顶点A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,4),则三角形的重心的坐标为.10.(★★☆)若点P(a,b,c)既在平面xOy内,又在平面yOz内,则a+c= .11.(云南高一期末,★★☆)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AD=4,AB=6,如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则该长方体的中心M的坐标为.三、解答题12.(★★☆)四面体PABC中,PA、PB、PC两两垂直,PA=PB=2,PC=1,E为线段AB的中点,建立适当的空间直角坐标系,并写出P、A、B、C、E的坐标.13.(★★☆)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为5√2,侧棱长为13,试建立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.14.(★★☆)在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的空间直角坐标系,并写出各点的坐标.答案全解全析基础过关练1.A 根据xOy平面上的点,竖坐标为0,yOz平面上的点的横坐标为0,xOz平面上的点的纵坐标为0,知M(a,b,0)在xOy平面上,N(0,a,b)在yOz平面上,P(a,0,b)在xOz平面上.故选A.2.B 在空间直角坐标系中,点在某坐标轴或坐标平面上的射影满足下列条件:与坐标轴或坐标平面对应的坐标不变,其他的坐标为0.故选B.3.B 如图,四边形AA1B1B对角线的交点的横坐标为线段AB的中点的横坐标,竖坐标为线段AA1的中点的竖坐标,纵坐标为0,所以四边形AA1B1B对角线的交点坐标为(12,0,12).故选B.4.C ∵A(1,-1,1),B(3,1,5),∴线段AB的中点为(2,0,3).∵线段AB中点的纵坐标为0,∴此点是xOz平面内的点.故选C.5.B 轨迹是过点(2,2,0)且与z轴平行的一条直线.6.A 因为AB=BC=AC=√2,所以OA=OB=OC=1,将正四面体ABCD 放入正方体中,如图所示,所以点D 的坐标为(1,1,1).故选A.7.B 由A,B 两点的横坐标、竖坐标均互为相反数,纵坐标相同可知A,B 关于y 轴对称. 8.D ①点M 关于x 轴对称的点M 1的坐标为(a,-b,-c),故命题①错误; ②点M 关于yOz 平面对称的点M 2的坐标为(-a,b,c),故命题②错误; ③点M 关于y 轴对称的点M 3的坐标为(-a,b,-c),故命题③错误;④点M 关于原点对称的点M 4的坐标为(-a,-b,-c),故命题④错误.故选D. 9.答案 (1,-2,4) 10.答案 (5,2,-7)解析 设M(x,y,z),因为点P 关于点Q 对称的点为M,所以Q 是线段MP 的中点,所以{ x -32=1,y+22=2,z+12=-3,解得{x =5,y =2,z =-7,所以M(5,2,-7).11.答案 (3,-4,-5)解析 在空间中,点关于x 轴对称的点:横坐标不变,纵坐标、竖坐标取相反数. 点(3,4,5)关于x 轴对称的点的坐标为(3,-4,-5). 12.答案 (√3,-1,2)解析 ∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都是2,∴B(√3,1,0),∴顶点B 1的坐标是(√3,1,2),则其关于xAz 对称的点的坐标为(√3,-1,2).能力提升练一、选择题1.B 由题意可知点P(a,b,c)到坐标平面yOz 的距离是|a|,故选B.2.C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均互为相反数,故它们关于坐标原点对称.3.C 由于点P 的竖坐标为定值3,故当x,y∈R 时,点P 组成的集合为过点(0,0,3)且与z 轴垂直的平面.4.A 由空间直角坐标系的定义,易知点P(1,y,2)(y∈R)构成的集合为垂直于xOz 平面的一条直线.5.D 由对称性知{λ=2,3-μ=-7,-1+v =6,解得{λ=2,μ=10,v =7.6.C ∵线段AB 的两个端点的横坐标相等,纵坐标和竖坐标不等,故线段AB 与坐标平面yOz 平行.7.C 点M 关于y 轴对称的点是M'(-4,7,-6),点M'在xOz 平面上的射影的坐标为(-4,0,-6).二、填空题8.答案 (5,13,-3)解析 设平行四边形ABCD 的两条对角线的交点为P,则点P 为AC,BD 的中点.由A(4,1,3),C(3,7,-5),得点P 的坐标为(72,4,-1).又点B(2,-5,1),所以点D 的坐标为(5,13,-3).9.答案 (23,1,43)解析 设重心坐标为(x,y,z).由题意得x=2+0+03=23,y=0+3+03=1,z=0+0+43=43. 10.答案 0解析 点P 在平面xOy 和平面yOz 的交线上,即y 轴上,由y 轴上点的坐标特征知a=0,c=0,b∈R,所以a+c=0. 11.答案 (2,3,1)解析 由题意得B(4,6,0),D 1(0,0,2),因为M 点是线段BD 1的中点,所以点M 的坐标为(2,3,1).三、解答题12.解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,1),又因为点E 是线段AB 的中点,所以点E 的坐标是(1,1,0).13.解析 若建立如图(1)所示的空间直角坐标系,则各点的坐标为P(0,0,12),A (5√22,-5√22,0),B (5√22,5√22,0),C (-5√22,5√22,0),D (-5√22,-5√22,0).若建立如图(2)所示的空间直角坐标系,则各点的坐标为P(0,0,12),A(5,0,0),B(0,5,0),C(-5,0,0),D(0,-5,0).14.解析 如图所示,取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1,连接BO 、OO 1,可得BO⊥AC,BO⊥OO 1,分别以OB,OC, OO 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.因为各棱长均为1,所以|OA|=|OC|=|O 1C 1|=|O 1A 1|=12,|OB|=√32,因为A,B,C 均在坐标轴上,所以A (0,-12,0),B (√32,0,0),C (0,12,0).因为点A 1,B 1,C 1在xOy 平面内的正投影分别为点A,B,C,且BB 1=1,所以A 1(0,-12,1),B 1(√32,0,1),C 1(0,12,1).。
最新人教A版高中数学必修二4.3《空间直角坐标系》同步测试
4. 3空间直角坐标系第1题. 在空间直角坐标系中，点(123)P，，，过点P作平面xOy地垂线PQ，则Q地坐标为（）Ａ．(020)，，Ｄ．(120)，，，，Ｃ．(103)，，Ｂ．(023)答案：Ｄ．第2题. 已知点(314)A-，，，则点A关于原点地对称点地坐标为（）Ａ．(134)----，，，，Ｂ．(413)Ｃ．(314)-，，，，Ｄ．(413)--答案：Ｃ．第3题. 在xOy平面内地直线1+=上确定一点M，使Mx y到点(651)N，，地距离最小．答案：解：由已知，可设(10)M x x-，，，则222(6)(15)(01)MN x x=-+--+-22(1)51x=-+．min 51MN=∴．第4题. 求到两定点(230)A，，，(510)B，，距离相等地点地坐标()x y z，，满足地条件．答案：解：设()P x y z，，为满足条件地任一点，则由题意，得222(2)(3)(0)PA x y z=-+-+-222(5)(1)(0)PB x y z=-+-+-PA PB=∵，64130x y--=∴即为所求点所满足地条件．第5题. 在z轴上与点(417)A-，，和点(352)B-，，等距离地点C 地坐标为．答案：14(00)9，，第6题. 已知(11)A t t t--，，，(2)B t t，，，则AB地最小值为（ ） Ａ．55 Ｂ．555 Ｃ．355 Ｄ．115答案：Ｃ．第7题. 已知三角形地三个顶点(214)A -，，，(326)B -，，，(502)C ，，．则（1）过A 点地中线长为 ；（2）过B 点地中线长为 ；（3）过C 点地中线长为 ．答案：211；5142；62第8题. 已知(121)A ，，，(134)B -，，，(111)C ，，，2AP PB =，则PC 长为 ．答案：773．第9题. 给定空间直角坐标系，在x 轴上找一点P ，使它与点0(412)P ，，地距离为30． 答案：解：设点P 地坐标是(00)x ，，，由题意，030P P =，即222(4)1230x -++=，2(4)25x -=∴．解得9x =或1x =-．∴点P 坐标为(900)，，或(100)-，，．第10题. 下列各点不在曲线22212x y z ++=上地是（ ）Ａ．(222)-，， Ｂ．(0222)，， Ｃ．(222)-，， Ｄ．(134)，，答案：Ｄ．第11题. 坐标原点到下列各点地距离最小地是（ ）Ａ．(111)，， Ｂ．(122)，， Ｃ．(235)-，， Ｄ．(304)，， 答案：Ａ．第12题. 已知A点坐标为(111)，，，(333)B，，，点P在x轴上，且PA PB=，则P点坐标为（）Ａ．(600)，，Ｄ．(060)，，，，Ｂ．(601)，，Ｃ．(006)答案：Ａ．第13题. 在空间直角坐标系O xyz-中，1z=地所有点构成地图形是．答案：过点(001)，，且与z轴垂直地平面第14题. 点(235)P，，到平面xOy地距离为．答案：5第15题. 求证：以(419)C---，，为顶，，，(243)B--，，，(1016)A---点地三角形是等腰直角三角形．答案：证明：d A B==，，()7，，()7d A C==222()(102)(14)(63)72d B C =-++++-+=，，∵222()()()d A B d A C d B C +=，，，且()()d A B d A C =，，．ABC ∴△为等腰直角三角形．第16题. 已知(1,2,1)A ，(1,3,4)B -，(1,1,1)C ，2AP PB =，则 PC 长为 ．答案：773．第17题. 如图，长方体OABC DABC -''''中，3OA =，4OC =，3OD ='，AC ''于BD ''相交于点P ．分别写出C ，B '，P 地坐标． 答案：C ，B '，P 各点地坐标分别是(0,4,0)，(3,4,3)，3(,2,3)2． 第18题. 在xOy 平面内地直线1x y +=上确定一点M ；使M 到点(6,5,1)N 地距离最小．答案：解：设点(,1,0)M x x -则222(6)(15)(10)MN x x =-+--+-=min MN =∴第19题. 试解释方程222(12)(3)(5)36x y z -+++-=地几何意义． 答案：该方程几何意义是：在空间中以点(12,3,5)-为球心，球半径长为６地球面．第20题. 点(203)，，在空间直角坐标系中地位置是在（ ）Ａ．y 轴上 Ｂ．xOy 平面上 Ｃ．xOz 平面上 Ｄ．第一卦限内答案：Ｃ．第21题. 点(321)P --，，关于平面xOy 地对称点是 ，关于平面yOz地对称点是，关于平面zOx地对称点是，关于x轴地对称点是，关于y轴地对称点是，关于z轴地对称点是．答案：(321)-，，，(321)-，，，(321)---，，，(321)-，，，(321)，，，(321)--，，．第22题. 点(435)M-，，到原点地距离d=，到z轴地距离d=．答案：525．第23题. 已知两点1(102)M-，，，2(031)M-，，，此两点间地距离为（）1911Ｃ．19Ｄ．11答案：Ａ．第24题. 若向量a在y轴上地坐标为0，其他坐标不为0，那么与向量a平行地坐标平面是（）Ａ．xOy平面Ｂ．xOz平面Ｃ．yOz平面Ｄ．以上都有可能答案：Ｂ．第25题. 在空间直角坐标系中，在Ox轴上地点1P地坐标特点为，在Oy轴上地点2P地坐标特点为，在Oz轴上地点3P地坐标特点为，在xOy平面上地点4P地坐标特点为，在yOz平面上地点5P地坐标特点为，在xOz平面上地点6P地坐标特点为．答案：1(00)P x，，，2(00)P y，，，3(00)P z，，，4(0)P x y，，，5(0)P y z，，，6(0)P x z ，，．第26题. 已知空间三点地坐标为(152)B，，，，，，(241)A-，，三点共线，则p=，，，，若A B CC p q+(32)q=．答案：3，2第27题. 已知点P地坐标为(345)，，，试在空间直角坐标系中作出点P．答案：解：由(345)A，，，P，，可知点P在Ox轴上地射影为(300)在Oy轴上射影为(040)，为邻边地矩形OACB地顶B，，，以OA OB点C是点P在xOy坐标平面上地射影，(340)C，，．过C作直线垂直于xOy坐标平面，并在此直线地xOy平面上方截取5个单位，得到地就是点P．。
人教A版高中数学必修2《4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》_10
4.3.2 空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式： 222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值. 解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=mm AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.设计感想本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.。
2019-2020学年人教版数学必修二课时检测：第四章 4.3 空间直角坐标系
A级基础巩固一、选择题1.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()A．(1，0，0)B．(1，0，1)C．(1，1，1) D．(1，1，0)解析：点B1到三个坐标平面的距离都为1，从而易知其坐标为(1，1，1)．答案：C2．在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于xOy平面对称的点的坐标是()A．(－1，3，－5) B．(1，－3，5)C．(1，3，5) D．(－1，－3，5)解析：因为关于xOy平面对称的两点竖坐标互为相反数，所以点P(1，3，－5)关于xOy平面对称的点是(1，3，5)．答案：C3．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为()A．2 B．3C．4 D．5解析：由B(4，－3，7)，C(0，5，1)，得BC中点M(2，1，4)，故BC边上的中线|AM|＝（3－2）2＋（3－1）2＋（2－4）2＝3.答案：B4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为()A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1，0，3) D．(1，2，0)解析：点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)．答案：D5．已知△ABC的顶点为A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC为()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形解析：由空间两点间的距离公式得|AB|＝89，|BC|＝14，|CA|＝53，所以|AB|2＝|BC|2＋|CA|2.所以△ABC为直角三角形．答案：C二、填空题6.如图所示，点P′在x轴的正半轴上，且|OP′|＝2，点P在xOz 平面内，且垂直于x轴，|PP′|＝1，则点P的坐标是________________．解析：由于点P 在xOz 平面内，故其纵坐标为0，结合图形可知点P 的坐标是(2，0，1)．答案：(2，0，1)7．在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1，2)，其中心M 的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长为________．解析：由A (3，－1，2)，中心M (0，1，2)，所以C 1(－3，3，2)． 正方体对角线长为 |AC 1|＝[3－（－3）]2＋（－1－3）2＋（2－2）2＝213，所以正方体的棱长为2133＝2393.答案：23938．在空间直角坐标系中，已知点A (1，0，2)，B (1，－3，1)，点M 在y 轴上，且M 到点A 与点B 的距离相等，则点M 的坐标是________．解析：设点M 的坐标为(0，y ，0)，则由|MA |＝|MB |，得1＋y 2＋4＝1＋（y ＋3）2＋1，解得y ＝－1，即点M 的坐标是(0，－1，0)． 答案：(0，－1，0) 三、解答题9．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以正方体的三条棱所在的直线为轴建立空间直角坐标系O -xyz .在线段C 1D 上找一点M ，使点M 到点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13的距离最小，求点M 的坐标．解：设线段C 1D 上一点M 的坐标为(0，m ，m )，则有 |MP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －232＋⎝⎛⎭⎪⎫m －132＝2m 2－2m ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋12.当m ＝12时，|MP |取得最小值22，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，12. 10．如图所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解：以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，所以|DE|＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5，|EF|＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.B级能力提升1．一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)，则第五个顶点的坐标为()A．(1，1，1) B．(1，1，2)C．(1，1，3) D．(2，2，3)解析：由三视图可知，该几何体为底面边长为2，高为3的正四棱锥V-ABCD，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示．故第五个顶点V 的坐标为(1，1，3)． 答案：C2.如图所示，在长方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，M 是OB 1与BO 1的交点，则点M 的坐标是________．解析：因为|OA |＝2，|AB |＝3， |AA 1|＝2，所以O (0，0，0)，B 1(2，3，2)． 因为M 是OB 1与BD 1的交点， 所以M 为OB 1的中点，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0＋22，0＋32，0＋22，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1 3．已知正方形ABCD 、正方形ABEF 的边长都为1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若|CM |＝|BN |＝a (0<a <2)．(1)求MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最短？解：(1)因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，所以BE ⊥平面ABC ，所以AB ，BC ，BE 两两垂直．以B 为原点，BA ，BE ，BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，所以|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12.(2)因为|MN |＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12，所以当a ＝22时，|MN |min ＝22.。
高一数学人教A版必修2课后练习4.3.1空间直角坐标系及解析
课后导练基础达标1点A(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置( )A.在y 轴上B.在xOy 平面上C.在xOz 平面上D.在第一象限内解析：由于点A 的纵坐标为y=0,横坐标与竖坐标分别为2,3,所以点A 应在xOz 平面上. 答案：C2点M(3,-3,1)关于xOy 平面的对称点是…( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：一点关于xOy 平面的对称点,它们的横,纵坐标不变,而竖坐标互为相反数,∴对称点为(3,-3,-1).答案：C3点M(3,-3,1)关于xOz 平面的对称点是…( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(3,3,1)解析：M 点关于xOz 平面的对称点与M 的横,竖坐标相同,纵坐标互为相反数.答案：D4点M(3,-3,1)关于yOz 平面的对称点是…( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：M 关于yOz 平面的对称点与M 的纵,竖坐标相同,而横坐标互为相反数.答案：B5点M(3,-3,1)关于x 轴的对称点是( )A.(3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：M 关于x 轴的对称点与M 的横坐标相同,纵,竖坐标都互为相反数.答案：A6点M(3,-3,1)关于y 轴的对称点是( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：M 关于y 轴的对称点与M 的纵坐标相同,而横、竖坐标都互为相反数.答案：B7点M(3,-3,1)关于z 轴的对称点是( )A.(-3,3,1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：M 关于z 轴的对称点与M 的竖坐标相同,而横,纵坐标分别互为相反数.答案：D8点A(-3,1,5)与B(4,3,1)的中点的坐标是( ) A.(27,1,-2) B.(21,2,3) C.(-12,3,5) D.(31,34,2)解析：设中点坐标为(x,y,z),由中点坐标公式得x=21243=+-,z=215+=3,y=231+=2. 答案：B综合运用 9在空间直角坐标系中,点P(1,2,3),过点P 作平面yOz 的垂线,垂足为Q,则Q 的坐标为( ) A.(0,2,0) B.(0,2,3) C.(1,0,3) D.(1,2,0)解析：由于PQ ⊥平面yOz,且Q 在yOz 内,所以点Q 的横坐标x 为0,而Q 与P 的纵,竖坐标分别相同.∴Q(0,2,3).答案：B10点A(a,b,c)在x 轴上投影点的坐标为_____________解析：设投影点为A′(x,y,z),因为A′在x 轴上,∴y=0,z=0,又AA′⊥x 轴,∴A′与A 的横坐标相同,即x=a.答案：(a,0,0)11设z 为任意实数,相应的所有点P(1,2,z)的集合是什么图形？解：由于z ∈R ,所以P(1,2,z)对应的所有点的横,纵坐标分别相等,竖坐标任意,因此这些点都在一条与xOy 平面垂直的直线上.故点P(1,2,z)的集合是过平面xOy 内一点(1,2,0)且与xOy 面垂直的一条直线.拓展探究12已知一长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O,交于同一顶点的三个平面分别平行于三个坐标平面,顶点A 的坐标为(-2,-3,-1).求其他7个顶点的坐标.解：如图,∵A 与C 1点关于原点对称,∴C 1(2,3,1),又∵A 与D 点关于平面yOz 对称,∴D(2,-3,-1),又D 与B 1关于原点对称,∴B 1(-2,3,1),又A 与A 1关于平面xOy 对称,∴A 1(-2,-3,1),又A 1与C 关于原点对称,∴C(2,3,-1).又∵A 1与D 1关于yOz 对称,∴D 1(2,-3,1),又D 1与B 关于原点对称,∴B(-2,3,-1).故其他7个顶点的坐标分别为B(-2,3,-1)、C(2,3,-1)、D(2,-3,-1)、A 1(-2,-3,1)、B 1(-2,3,1)、C 1(2,3,1)、D 1(2,-3,1).。
人教版高中数学必修二第四章圆与方程4.3空间直角坐标系(教师版)【个性化辅导含答案】
空间直角坐标系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法； 通过空间中两点的距离解决问题．一、空间直角坐标系1. 从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了 空间直角坐标系.如右图所示.点O 叫做坐标原点，x 、y 和z 三轴分别叫做横、纵轴和竖轴，通过每 两个轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向， 食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向. 2．空间特殊平面与特殊直线：每两条坐标轴分别确定的平面yOz 、xOz 、xOy ，叫做坐标平面．xOy 平面(通过x 轴和y 轴的平面)是坐标形如(x ，y,0)的点构成的点集，其中x ，y 为任意的实数； xOz 平面(通过x 轴和z 轴的平面)是坐标形如(x,0，z )的点构成的点集，其中x ，z 为任意的实数； yOz 平面(通过y 轴和z 轴的平面)是坐标形如(0，y ，z )的点构成的点集，其中y ，z 为任意的实数； x 轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集，其中x 为任意实数； y 轴是坐标形如(0，y,0)的点构成的点集，其中y 为任意实数； z 轴是坐标形如(0,0，z )的点构成的点集，其中z 为任意实数．3．空间结构：三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限．在坐标平面xOy 上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ、第Ⅶ、第Ⅷ卦限．二、关于一些对称点的坐标求法 1.关于坐标平面对称()()1,, ,,P x y z xOy P x y z -关于坐标平面对称()()1,, ,,P x y z yOz P x y z -关于坐标平面对称()()1,, ,,P x y z xOz P x y z -关于坐标平面对称2.关于坐标轴对称()()1,, ,,P x y z x P x y z --关于轴对称 ()()1,, ,,y P x y z P x y z --关于轴对称 ()()1,, ,,P x y z z P x y z --关于轴对称 三、空间两点间的距离公式一般地，空间中任意两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z 间的距离为12PP =特殊地，任一点(),,P x y z 到原点O 的距离为PO =类型一 空间点的坐标例1：已知棱长为2的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．解析：由空间直角坐标系定义求解答案：①对于图一，因为D 是坐标原点，A 、C 、D ′分别在x 轴、y 轴、z 轴的正半轴上，又正方体的棱长为2，所以D (0,0,0)、A (2,0,0)、C (0,2,0)、D ′(0,0,2)．因为B 点在xDy 平面上，它在x 轴、y 轴上的射影分别为A 、C ，所以B (2,2,0)． 同理，A ′(2,0,2)、C ′(0,2,2)．因为B ′在xDy 平面上的射影是B ，在z 轴上的射影是D ′，所以B ′(2,2,2)．②对于图二，A 、B 、C 、D 都在xD ′y 平面的下方，所以其z 坐标都是负的，A ′、B ′、C ′、D ′都在xD ′y 平面上，所以其z 坐标都是零．因为D ′是坐标原点，A ′，C ′分别在x 轴、y 轴的正半轴上，D 在z 轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D ′(0,0,0)、A ′(2,0,0)、C ′(0,2,0)、D (0,0，－2)．同①得B ′(2,2,0)、A (2,0，－2)、C (0,2，－2)、B (2,2，－2)．练习1：如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，求E 、F 点的坐标．答案：建立如图所示的空间直角坐标系．E 点在xOy 面上的射影为B (1,1,0)，且z 坐标为12，∴E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12. F 点在xOy 面上的射影为BD 的中点G ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，且z 坐标为1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.练习2：点(2,0,3)位于( )A ．y 轴上B ．x 轴上C ．xOz 平面内D ．yOz 平面内 答案：C例2：已知V －ABCD 为正四棱锥，O 为底面中心，AB ＝2，VO ＝3，试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标．解析：本题中由于所给几何体是正四棱锥，故建系方法比较灵活，除答案所给方案外，也可以正方形ABCD 的任一顶点为原点，以交于这一顶点的两条边所在直线分别为x 轴、y 轴建系．如以A 为顶点AB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建系，等等．答案：因为所给几何体为正四棱锥，其底面为正方形，对角线相互垂直，故以O 为原点，互相垂直的对角线AC 、BD 所在直线为x 轴、y 轴，OV 为z 轴建立如图所示坐标系．∵正方形ABCD 边长AB ＝2，∴AO ＝OC ＝OB ＝OD ＝2，又VO ＝3，∴A (0，－2，0)，B (2，0,0)，C (0，2，0)，D (－2，0,0)，V (0,0,3)．练习1：如图所示，棱长为a 的正方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，对角线OB ′与BD ′相交于点Q ，顶点O 为坐标原点，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，试写出点Q 的坐标．答案：∵OB ′与BD ′相交于Q 点，∴Q 点在xOy 平面内的投影应为OB 与AC 的交点，∴Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，z .同理可知Q 点在xOz 平面内的投影也应为AD ′与OA ′的并点，∴Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，12a . 练习2：在如图所示的空间直角坐标系O －xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为( )A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和② 答案：D例3：在平面直角坐标系中，点P (x ，y )的几种特殊的对称点的坐标如下： (1)关于原点的对称点是P ′(－x ，－y )， (2)关于x 轴的对称点是P ″(x ，－y )， (3)关于y 轴的对称点是P (－x ，y )，那么，在空间直角坐标系内，点P (x ，y ，z )的几种特殊的对称点坐标： (1)关于原点的对称点是P 1________；(2)关于横轴(x 轴)的对称点是P 2________； (3)关于纵轴(y 轴)的对称点是P 3________； (4)关于竖轴(z 轴)的对称点是P 4________； (5)关于xOy 坐标平面的对称点是P 5________； (6)关于yOz 坐标平面的对称点是P 6________； (7)关于zOx 坐标平面的对称点是P 7________.解析：由空间直角坐标系定义，类比平面直角坐标系得出结论 答案：(1)(－x ，－y ，－z )．(2)(x ，－y ，－z )． (3)(－x ，y ，－z )．(4)(－x ，－y ，z )． (5)(x ，y ，－z )．(6)(－x ，y ，z )． (7)(x ，－y ，z )．练习1：求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴对称的点的坐标．答案：如图所示，过A 作AM ⊥xOy 交平面于M ，并延长到C ，使AM ＝CM ，则A 与C 关于坐标平面xOy 对称，且C (1,2,1)．过A 作AN ⊥x 轴于N 并延长到点B ，使AN ＝NB ， 则A 与B 关于x 轴对称，且B (1，－2,1)．∴A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点C (1,2,1)； A (1,2，－1)关于x 轴对称的点B (1，－2,1)．练习2：点()1,2,3P -关于坐标平面xOz 对称点的坐标是（ ）A.()1,2,3B.()1,2,3--C.()1,2,3--D.()1,2,3-- 答案：B类型二 空间两点间距离公式例4：证明以A (4,3,1)、B (7,1,2)、C (5,2,3)为顶点的△ABC 是等腰三角形． 解析：运用两点间距离公式 答案：由两点间距离公式：|AB |＝(7－4)2＋(1－3)2＋(2－1)2＝14， |BC |＝(5－7)2＋(2－1)2＋(3－2)2＝6， |AC |＝(5－4)2＋(2－3)2＋(3－1)2＝6，∵|BC |＝|AC |，∴△ABC 为等腰三角形．练习1：求下列两点间的距离．(1)A (－1，－2,3)、B (3,0,1)； (2)M (0，－1,0)、N (－3,0,4)．答案：(1)d (A ，B )＝(3＋1)2＋(0＋2)2＋(1－3)2＝2 6.(2)d (M ，N )＝(0＋3)2＋(－1－0)2＋(0－4)2＝26. 练习2：2．点P (a ，b ，c )到坐标平面xOy 的距离是( )A ．|a |B ．|b |C ．|c |D ．以上都不对 答案：C例5：如图所示，在河的一侧有一塔CD ＝5m ，河宽BC ＝3m ，另一侧有点A ，AB ＝4m ，求点A 与塔顶D 的距离AD .解析：建立合适的空间直角坐标系解决问题答案：以塔底C 为坐标原点建立如下图所示的坐标系．则D (0,0,5)，A (3，－4,0)，∴d (A ，D )＝32＋(－4)2＋52＝52，即点A 与塔顶D 的距离为52m.练习1：已知空间三点A (1,2,4)、B (2,4,8)、C (3,6,12)，求证A 、B 、C 三点在同一条直线上．答案：d (A ，B )＝(2－1)2＋(4－2)2＋(8－4)2＝21，d (B ，C )＝(3－2)2＋(6－4)2＋(12－8)2＝21， d (A ，C )＝(3－1)2＋(6－2)2＋(12－4)2＝221，∴AB ＋BC ＝AC ，故A 、B 、C 三点共线．练习2：以()()()10,1,6,4,1,9,2,4,3A B C -三点为顶点的三角形是（ C ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形 答案：C例6：求到两点A (2,3,0)、B (5,1,0)距离相等的点P 的坐标满足的条件． 解析：运用两点间距离公式. 答案：设P (x ，y ，z )，则P A ＝(x －2)2＋(y －3)2＋z 2， PB ＝(x －5)2＋(y －1)2＋z 2. ∵P A ＝PB ，∴(x －2)2＋(y －3)2＋z 2＝(x －5)2＋(y －1)2＋z 2. 化简得6x －4y －13＝0.∴点P 的坐标满足的条件为6x －4y －13＝0.练习1：若点P (x ，y ，z )到A (1,0,1)、B (2,1,0)两点的距离相等，则x ，y ，z 满足的关系式是____________；答案：2x ＋2y －2z －3＝0练习2：若点A (2,1,4)与点P (x ，y ，z )的距离为5，则x 、y 、z 满足的关系式是____________； 答案：(x －2)2＋(y －1)2＋(z －4)2＝25练习3：已知空间两点A (－3，－1,1)、B (－2,2,3)在Oz 轴上有一点C ，它与A 、B 两点的距离相等，则C 点的坐标是____________．答案：⎝⎛⎭⎫0，0，321．下列说法：①在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定可记为(0，b ，c )；②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可记为(0，b ，c )； ③在空间直角坐标系中，在z 轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c )；④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c )． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C2．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3,4，－5)关于z 轴对称的点的坐标是( )A ．(－3，－4,5)B ．(－3，－4，－5)C ．(－3,4,5)D ．(3,4,5) 答案： B3．设点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 坐标平面的对称点，则|AB |等于( )A ．10B.10C.38 D ．38 答案：A4．已知三点A (－1,0,1)、B (2,4,3)、C (5,8,5)，则( )A ．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形答案：D5．点(1,1，－2)关于yOz平面的对称点的坐标是________．答案：(－1,1，－2)6．空间直角坐标系中的点A(2,3,5)与B(3,1,4)之间的距离是________．答案：67.在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称点的坐标是________．答案：(2,0,3)__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．点P(－1,2,0)位于()A．y轴上B．z轴上C．xOy平面上D．xOz平面上答案：C2．点P(－1,2,3)关于xOy坐标平面对称点的坐标是()A．(1,2,3) B．(－1，－2,3)C．(－1,2，－3) D．(1，－2，－3)答案：C3．已知A(1,0,2)、B(1，－3,1)，点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为() A．(－3,0,0) B．(0，－3,0)C．(0,0，－3) D．(0,0,3)答案：C4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A(－6，－6，－6)、B(8,8,8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为()A．14 3 B．314C．542 D．42 5答案：A5.已知一长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A1、B1、C1、D1分别位于第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，且棱长AA1＝2，AB＝6，AD＝4.求长方体各顶点的坐标．答案：由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，∴A 1(3,2,1)、B 1(－3,2,1)、C 1(－3，－2,1)、D 1(3，－2,1)，A (3,2，－1)、B (－3,2，－1)、 C (－3，－2，－1)、D (3，－2，－1).能力提升6．点A (－3,1,5)、B (4,3,1)的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫72，1，－2B.⎝⎛⎭⎫12，2，3 C.()－12，3，5 D.⎝⎛⎭⎫13，43，2答案 B7. 以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1的中点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1，1B.⎝⎛⎭⎫1，12，1 C.⎝⎛⎭⎫1，1，12 D.⎝⎛⎭⎫12，12，1 答案：C8. 点M (2，－3,5)到x 轴的距离d 等于( )A.38B.34C.13D.29 答案：B9. 如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上且C 1E ＝3EC .试建立适当的坐标系，写出点B 、C 、E 、A 1的坐标．答案：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标Dxyz .依题设，B (2,2,0)、C (0,2,0)、E (0,2,1)、A 1(2,0,4)．10. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．答案：建立如图所示空间直角坐标系，据题设条件有：|A 1C 1|＝22， ∵|MC 1|＝2|A 1M |，∴|A 1M |＝232，∴M (23，23，4)．又C (2,2,0)，D 1(0,2,4)，N 为CD 1中点∴N (1,2,2)，∴|MN |＝(1－23)2＋(2－23)2＋(2－4)2＝533.课程顾问签字： 教学主管签字：。
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§4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系一、基础过关1．点P (5,0，－2)在空间直角坐标系中的位置是( )A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．x 轴上 2．设y ∈R ，则点P (1，y,2)的集合为( )A ．垂直于xOz 平面的一条直线B ．平行于xOz 平面的一条直线C ．垂直于y 轴的一个平面D ．平行于y 轴的一个平面3．已知空间直角坐标系中有一点M (x ，y ，z )满足x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，则M 点的位置是( )A ．一定在xOy 平面上B ．一定在yOz 平面上C ．一定在xOz 平面上D ．可能在xOz 平面上4．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面的对称点的坐标为( )A ．(－3,4,5)B ．(－3，－4,5)C ．(3，－4，－5)D ．(－3,4，－5)5．在空间直角坐标系中，点A (1,2，－3)关于x 轴的对称点为________． 6．点P (－3,2,1)关于Q (1,2，－3)的对称点M 的坐标是________．7．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 分别是DD 1、BD 、BB 1的中点，且正方体棱长为1.请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E 、F 、G 的坐标． 8. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心为坐标原点O ，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3， －1)，求其它7个顶点的坐标． 二、能力提升9．在空间直角坐标系中，P (2,3,4)、Q (－2，－3，－4)两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对10．如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP |＝13|BD ′|，则P 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫13，13，13B.⎝⎛⎭⎫23，23，23C.⎝⎛⎭⎫13，23，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，13 11．连接平面上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么，已知空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为_________． 12. 如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标． 三、探究与拓展13. 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标．答案1．C 2．A 3．D 4．A 5.(1，－2,3) 6.(5,2，－7)7．解 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，G ⎝⎛⎭⎫1，1，12. 8．解 长方体的对称中心为坐标原点O ，因为顶点坐标A (－2，－3，－1)，所以A 关于原点的对称点C 1的坐标为(2,3,1)．又因为C 与C 1关于坐标平面xOy 对称， 所以C (2,3，－1)．而A 1与C 关于原点对称，所以A 1(－2，－3,1)．又因为C 与D 关于坐标平面xOz 对称，所以D (2，－3，－1)． 因为B 与C 关于坐标平面yOz 对称，所以B (－2,3，－1)． B 1与B 关于坐标平面xOy 对称，所以B 1(－2,3,1)． 同理D 1(2，－3,1)．综上可知长方体的其它7个顶点坐标分别为：C 1(2,3,1)，C (2,3，－1)，A 1(－2，－3,1)，B (－2,3，－1)，B 1(－2,3,1)，D (2，－3，－1)，D 1(2，－3,1)． 9．C 10．D11.⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 2212．解 因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB ＝AC ＝6，BC 是圆O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ，BC ＝6 2.以O 为原点，OB 、OF 、OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O 及A 、B 、C 、D 、E 、F 各个点的坐标分别为O (0,0,0)、A (0，－32，0)、B (32，0,0)、C (－32，0,0)、D (0，－32，8)、E (0,0,8)、F (0,32，0)．13．解 如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为z 轴，过点A 与xAz 平面垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)， C (32，32，0)，D (12，32，0)，P (0,0,2)，E (1，32，0)． 4.3.2 空间两点间的距离公式一、基础过关1．若A (1,3，－2)、B (－2,3,2)，则A 、B 两点间的距离为( )A.61B ．25C ．5 D.57 2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4，0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9B.29C ．5D ．2 63．已知点A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于 ( )A.534B.532C.532D.1324．到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足 ( )A ．x ＋y ＋z ＝－1B ．x ＋y ＋z ＝0C ．x ＋y ＋z ＝1D ．x ＋y ＋z ＝45．若点P (x ，y ，z )到平面xOz 与到y 轴距离相等，则P 点坐标满足的关系式为____________． 6．已知P ⎝⎛⎭⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________. 7．在yOz 平面上求与三个已知点A (3,1,2)，B (4，－2，－2)，C (0,5,1)等距离的点的坐标．8. 如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(32，12，0)，点D 在平面yOz上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求AD 的长度．二、能力提升9．已知A (2,1,1)，B (1,1,2)，C (2,0,1)，则下列说法中正确的是( )A ．A 、B 、C 三点可以构成直角三角形 B ．A 、B 、C 三点可以构成锐角三角形 C ．A 、B 、C 三点可以构成钝角三角形D ．A 、B 、C 三点不能构成任何三角形10．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87 C.87 D.191411．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B的距离相等，则M 的坐标是________．12. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M 、N 两点间的距离．三、探究与拓展13．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．答案1．C 2.B 3.B 4．B 5．x 2＋z 2－y 2＝0 6.0或－47．解 设P (0，y ，z )，由题意⎩⎪⎨⎪⎧|P A |＝|PC ||PB |＝|PC |所以⎩⎨⎧(0－3)2＋(y －1)2＋(z －2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2(0－4)2＋(y ＋2)2＋(z ＋2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2即⎩⎪⎨⎪⎧ 4y －z －6＝07y ＋3z －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1z ＝－2， 所以点P 的坐标是(0,1，－2)． 8．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)，设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°， ∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，y ＝－1.∴D (0，－1，3)．又∵A (32，12，0)，∴|AD | ＝(32)2＋(12＋1)2＋(－3)2＝ 6. 9．A 10．C 11．(0，－1,0)12．解 如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)， D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三等分点且靠近A 1点， ∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN | ＝⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212.13．解 ∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上，∴可设M (x,1－x,0)．∴|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2 ＝2(x －1)2＋51≥51， 当且仅当x ＝1时取等号，∴当点M的坐标为(1,0,0)时，|MN|min＝51.。