二元一次方程组的和差倍分问题的内容本质与研究方法
人教版七年级数学下册《实际问题与二元一次方程组—和差倍分问题》课件
1. 《孙子算经》是中国古代重要的数学巨作，其中有一
段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到
乙所有钱的一半，那么甲共有 48 文；如果乙得到甲所 有钱的 2 ，那么乙也共有钱 48 文，甲、乙原来各有多 少钱？ 3
解：设甲原有 x 文，乙原有 y 文钱.
x
1 2
y
48,
2
3
x
y
48.
y=
5
.
这就是说，每头大牛1天约需饲料 20
kg，每头小牛
1天约需饲料 5 kg.因此，饲养员李大叔对大牛的食量估 计 正确 ，对小牛的食量估计 错误 .
剧情发展：随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请 饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲 种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员 每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲 乙两种饲养员各多少人？
解：设甲数是 x ，乙数是 y.
则
3x 5x
2y 6y
47， 1.
解得
x y
10， 8.5.
答：甲数为 10，乙数为 8.5.
3.工程问题 工作总量=工作效率×工作时间
一批机器零件共840个，若甲先做4天，乙加入合作，那么再 做8天才能完成；若乙先独做4天，甲加入合作，那么再做9 天才能完成。问两人每天各做多少个机器零件？
解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员
y人，则：
8x + 5y = 42, 4x + 2y = 20.
解得：
x =4 y=2
答：李大叔应聘请甲种饲养员4人， 乙种饲养员2人.
总结
列二元一次方程组解决实际问题的步骤：
列
解
专题26 二元一次方程组的应用：和差倍分问题(解析版)
专题26 二元一次方程组的应用：和差倍分问题一、单选题1．小珍用12.4元恰好买了单价为0.8元和1.20元两种贺卡共12张，则其中单价为0.8元的贺卡有（）A．5张B．7张C．6张D．4张【答案】A【分析】设单价为0.8元的贺卡有x张，单价为1.20元的贺卡有y张，根据题意列出方程组，解之即可．【详解】解：设单价为0.8元的贺卡有x张，单价为1.20元的贺卡有y张，由题意可得：120.8 1.212.4 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：57 xy=⎧⎨=⎩，∴单价为0.8元的贺卡有5张，故选A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到题中的两个等量关系．2．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（）A．24622x yy x+=⎧⎨=-⎩B．24622x yx y+=⎧⎨=+⎩C．24622x yy x+=⎧⎨=-⎩D．2462+2x yy x+=⎧⎨=⎩【答案】C【分析】设女生人数为x，男生人数为y，根据共有学生246人，男生人数y比女生人数x的2倍少2人，列方程组即可．【详解】解：设设女生人数为x，男生人数为y，由题意得：24622x yy x+=⎧⎨=-⎩，【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出题目所给的等量关系，列方程组．3．某中学现有学生500人，计划一年后女生在校人数增加3%，男生在校人数增加4%，这样，在校学生总数将增加3.4%．问该校现有女生和男生的人数分别是（ ）A ．女生180和男生320B ．女生320和男生180C ．女生200和男生300D ．女生300和男生200【答案】D【分析】设现有男生x 人，女生y 人，就有x ＋y ＝500，x （1＋4%）＋y （1+3%）＝500（1+3.4%），由这两个方程建立方程组求出其解即可．【详解】设现有男生x 人，女生y 人，由题意，得 ()500(14%)13%500(1 3.4%)x y x y +=⎧⎨+++=+⎩， 解得：200300x y =⎧⎨=⎩，故选D ．【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，设间接未知数的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据条件建立二元一次方程组是关键．4．元宵节又称灯节，我国各地都有挂灯笼的习俗．灯笼又分为宫灯，纱灯等．若购买1个宫灯和1个纱灯共需75元，小田用690元购买了6个同样的宫灯和10个纱灯．若根据题意可得二元一次方程组75610690x y x y +=⎧⎨+=⎩，则方程组中,x y 分别表示为（ ） A ．每个宫灯的价格，每个纱灯的价格B ．每个纱灯的价格，每个宫灯的价格C ．宫灯的数量，纱灯的数量D ．纱灯的数量，宫灯的数量【答案】A设每个宫灯x元，每个纱灯y元，根据“购买1个宫灯和1个纱灯共需75元，购买6个宫灯和10个纱灯共需690元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：设每个宫灯x元，每个纱灯y元，依题意，得：75 610690x yx y+=⎧⎨+=⎩．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．嘉祥县是鲁西黄牛、小尾寒羊的国家育种基地县，全县生年畜牧业产值高达4.2亿元．黄垓镇某养牛场原有50头大牛和20头小牛，1天约用饲料1100kg；3天后又购进10头大牛和60头小牛，这时1天约用饲料1600kg．下列说法中，错误的是（）A．每头大牛1天约用饲料20kg B．1头大牛和1头小牛1天约用饲料25kgC．1头大牛和2头小牛1天约用饲料30kg D．2头大牛和1头小牛1天用饲料60kg【答案】D【分析】设每头大牛1天约需饲料xkg，每头小牛1天约需饲料ykg，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到x 与y的值，即可做出判断．【详解】设每头大牛1天约需饲料xkg，每头小牛1天约需饲料ykg，根据题意得：50201100 60801600x yx y+⎧⎨+⎩＝＝，解得：205xy=⎧⎨=⎩，∴每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg，则A、每头大牛1天约用饲料20kg，说法正确．B、1头大牛和1头小牛1天约用饲料20+5=25kg，说法正确．C 、1头大牛和2头小牛1天约用饲料20+10=30kg ，说法正确．D 、2头大牛和1头小牛1天约用饲料=2×20+5=45（kg ），说法错误；故选：D ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．6．某班分组活动，若每组6人，则余下5人:若每组7人，则少4人．设总人数为x ，组数为y ，则可列方程组（ ）A ．6574x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．6574y x y x =+⎧⎨-=⎩C ．6574y x y x =-⎧⎨+=⎩D ．6574y x y x =-⎧⎨=+⎩【答案】D【分析】关系式为：6×组数=总人数-5；7×组数=总人数+4，把相关数值代入即可求解．【详解】解：每组6人得到的关系式为6y=x -5；每组7人得到的关系式为7y=x+4．可列方程组为：6574y x y x =-⎧⎨=+⎩； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到两种分法所需要的实际人数的等量关系．7．由新型肺炎疫情影响，各类消毒液需求量大增，卫健委积极推动部分消毒液紧急上市，有效缓解消毒液供需矛盾．根据商场调查，某种消毒液的大瓶装(5kg)．和小瓶装(2.5kg)两种产品的销售数量 (按瓶计算)比为3:4．某厂每天生产这种消毒液25t ，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？设这些消毒液应该分装x 大瓶、y 小瓶．根据题意可列方程组（ ）A ．345 2.525x y x y =⎧⎨+=⎩B ．345 2.525000x y x y =⎧⎨+=⎩C ．435 2.525x y x y =⎧⎨+=⎩D ．435 2.525000x y x y =⎧⎨+=⎩【答案】D【分析】设这些消毒液应该分装x 大瓶、y 小瓶，根据两种产品的销售数量 (按瓶计算)比为3：4、某厂每天生产这种消毒液25t 列方程组即可．【详解】解：设这些消毒液应该分装x 大瓶、y 小瓶，根据题意得435 2.525000x y x y =⎧⎨+=⎩． 故选D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键．8．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是（ ）A ．5152x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ B ．5152x y x y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩ C ．525x y x y =+⎧⎨=-⎩ D ．525x y x y =-⎧⎨=+⎩ 【答案】A【分析】 设索长为x 尺，竿子长为y 尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组．【详解】解：设索长为x 尺，竿子长为y 尺， 根据题意得：5152x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩． 故选：A ．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，属于和差倍分问题，只需要找准数量间的关系，难度较小.9．已知甲校原有1016人，乙校原有1028人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转出与转入两种，且转出的人数比为1：3，转入的人数比也为1：3.若寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，问：乙校开学时的人数与原有的人数相差多少?（ ）A ．6B ．9C ．12D ．18 【答案】D【分析】分别设设甲、乙两校转出的人数分别为x 人、3x 人，甲、乙两校转入的人数分别为y 人、3y 人，根据寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，可列方程求解即可解答．【详解】设甲、乙两校转出的人数分别为x 人、3x 人，甲、乙两校转入的人数分别为y 人、3y 人，∴寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，∴1016102833x y x y -+=-+，整理得：6x y -=，开学时乙校的人数为：()102833102831028181010x y x y -+=--=-=(人)，∴乙校开学时的人数与原有的人数相差；1028-1010=18(人)，故选：D ．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程．10．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55cm ，此时木桶中水的深度是（ ）cm ．A ．50B ．40C ．30D ．20【答案】D【分析】 设较长铁棒的长度为xcm ，较短铁棒的长度为ycm ，根据等量关系，列出二元一次方程组，即可求解．【详解】设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm，由题意得：5511(1)(1)35x yx y+=-=-⎧⎪⎨⎪⎩，解得：3025xy==⎧⎨⎩，∴此时木桶中水的深度为：30×（1-13）=20cm．故选D．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出等量关系，列出二元一次方程组，是解题的关键．11．《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组（）A．14822483x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．14822483y xx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．14822483x yy x⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D．14822483y xx y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩【答案】A【分析】根据题意，通过题目的等量关系，结合题目所设未知量列式即可得解.【详解】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意，得：14822483x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故选：A．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，准确设出未知量根据等量关系列式求解是解决本题的关键.12．一天，李明和孙帅两位同学一起到饭店吃早餐，李明买了4个包子、1根油条，共付4.2元；孙帅买了2个包子、3根油条，共付4.6元．设包子每个x 元、油条每根y 元，则适合x 、y 的方程组是（ ） A ．4 4.2{6 4.6xy xy == B ．4x 4.2{23 4.6y x y -=-= C ．4x 4.2{23 4.6y x y +=+= D ．4x 4.2x y){23 4.6()y x y x y +=++=+（【答案】C【分析】设包子每个x 元、油条每根y 元，根据李明买了4个包子、1根油条，共付4.2元；孙帅买了2个包子、3根油条，共付4.6元列方程组即可.【详解】设包子每个x 元、油条每根y 元，由题意得4x 4.2{23 4.6y x y +=+=. 故选C.【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出的二元一次方程组的知识点，解答本题的关键是理解题意，找出题干中的等量关系，列出等式，本题难度一般．13．某农户，养的鸡和兔一共80只，已知鸡和兔的腿数之和为230条，则鸡的只数比兔多多少只( ) A ．14只B ．10只C ．8只D ．以上都不对 【答案】B【分析】设该农户养了x 只鸡、y 只兔，根据“鸡和兔一共80只，鸡和兔的腿数之和为230条”即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出x 、y 的值，二者做差后即可得出结论．【详解】解：设该农户养了x 只鸡、y 只兔，根据题意得：8024230x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：=4535x y ⎧⎨=⎩， ∴x -y=45-35=10．故选：B ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据数量关系腿数=鸡的只数×2+兔的只数×4结合二者共70只列出关于x 、y 的二元一次方程组是解题的关键．14．据国家统计局山西调查总队抽样调查结果，2018年山西省粮食总产量为138.04亿千克，比上年增加2.53亿千克．其中，夏粮产量比上年减产1.65%，秋粮产量比上年增产2.6%，若设2017年山西省夏粮产量为x 亿千克，秋粮产量为y 亿千克，则根据题意列出的方程组为( )A ．()()138.041 1.65%1 2.6%138.04 2.53x y x y +=⎧⎨++-=-⎩B ．138.04138.04 2.531 1.65%1 2.6%x y x y +=⎧⎪⎨+=-⎪-+⎩ C ．()()138.04 2.531 1.65%1 2.6%138.04x y x y +=-⎧⎨-++=⎩D ．138.04 2.532.6% 1.65%138.04 2.53x y x +=-⎧⎨-=-⎩【答案】C【分析】设2017年山西省夏粮产量为x 亿千克，秋粮产量为y 亿千克，根据关键描述语“2018年山西省粮食总产量为138.04亿千克，比上年增加2.53亿千克”、“夏粮产量比上年减产1.65%，秋粮产量比上年增产2.6%”列出方程组．【详解】解：设2017年山西省夏粮产量为x 亿千克，秋粮产量为y 亿千克，由题意知，()()138.04 2.531 1.65%1 2.6%138.04x y x y +=-⎧⎨-++=⎩． 故选：C ．【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．15．用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺，绳长、井深各是多少尺？( ).A ．48 11B ．11 48C ．12 47D ．13 46【答案】A【分析】设绳长x 尺，井深y 尺，分别根据“将绳子折成三等份，一份绳子比井深多5尺”；“将绳子折到四等份，一份绳长比井深多1尺”，列二元一次方程组求解.【详解】解：设绳长x 尺，井深y 尺，根据题意得： 153114x y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩, 解得4811x y =⎧⎨=⎩. ∴绳长48尺，井深11尺.故选A.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可.16．游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x 人，女孩有y 人，则下列方程组正确的是( )A ．12x y x y -=⎧⎨=⎩B ．2(2)x y x y =⎧⎨=-⎩C ．12(1)x y x y -=⎧⎨=-⎩D ．12(1)x y x y +=⎧⎨=-⎩【答案】C【分析】利用每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色游泳帽比红色的多1倍，进而分别得出等式即可．【详解】解：设男孩x 人，女孩有y 人，根据题意得出：12(1)x y x y -=⎧⎨=-⎩ 故选：C ．【点睛】主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意利用已知得出正确等量关系是解题关键．17．某年级学生共有346人，男生人数y 比女生人数x 的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）A ．{x +y =3462y =x −2B ．{x +y =3462x =y +2C ．{x +y =2162y =2x +2D ．{x +y =3462y =x +2【答案】B【解析】【分析】根据题意列出二元一次方程组即可求解.【详解】∴男生人数y 比女生人数x 的2倍少2人，学生共有346人，∴可列方程组{x +y =3462x =y +2， 故选B.【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系.18．某生产车间共90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使1个螺栓配套2个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套，设生产螺栓x 人，生产螺帽y 人，由题意列方程组（ ） A ．901524x y x y +=⎧⎨=⎩B ．9022415x y y x =-⎧⎨⨯=⎩C ．9021524x y x y +=⎧⎨⨯=⎩D ．9015242x y x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩ 【答案】C【分析】等量关系为：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数=90；螺栓总数×2=螺帽总数，把相关数值代入即可．【详解】解：设生产螺栓x 人，生产螺帽y 人，根据总人数可得方程x+y=90；根据生产的零件个数可得方程2×15x=24y ，可得方程组：9021524x y x y +=⎧⎨⨯=⎩． 故选C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺母数量．二、填空题19．已知α∠和β∠互为补角，并且β∠的一半比α∠小30°，则α∠的余角为_____度．【答案】10°【分析】根据互为补角的和等于180︒，然后根据题意列出关于α、β的二元一次方程组，求解即可．【详解】 解：根据题意得1801302αβαβ+=︒⎧⎪⎨-=︒⎪⎩①②， ∴-∴得，31502β=︒，解得100β=︒，把100β=︒代入∴得，100180α+︒=︒，解得80α=︒．∴α∠的余角为10°，故答案为：10°．【点睛】本题考查了互为补角的和等于180︒的性质，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．20．把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币，共有___种方法【答案】6【分析】用二元一次方程解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．由于10元和5元的数量都是未知量，可设出10元和5元的数量．本题中等量关系为：10元的总面值＋5元的总面值＝50元．【详解】设10元的数量为x ，5元的数量为y ．则10x ＋5y ＝50，（x≥0，y≥0），解得：010x y =⎧⎨=⎩，18x y =⎧⎨=⎩，26x y =⎧⎨=⎩，34x y =⎧⎨=⎩，42x y =⎧⎨=⎩，50x y =⎧⎨=⎩， 共有6种换法．故答案为：6．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．本题要找好等量关系，对于两个未知量要找到其取值范围，此外，还应注意两个未知量是整数．21．美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品的数量是国画作品数量的2倍多7幅．设展出的国画作品x 幅，油画作品y 幅，根据题意，可列方程组为____．【答案】10027x y y x+=⎧⎨+=⎩ 【分析】设展出的油画作品的数量是x 幅，展出的国画作品是y 幅，则根据“展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品的数量是国画作品数量的2倍多7幅”列出方程组即可．【详解】解：设展出的油画作品的数量是x 幅，展出的国画作品是y 幅，依题意得 10027x y y x +=⎧⎨+=⎩， 故答案是：10027x y y x +=⎧⎨+=⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．22．如图1，在第一个天平上，物块A 的质量等于物块B 加上物块C 的质量；如图2，在第二个天平上，物块A 加上物块B 的质量等于3个物块C 的质量．已知物块A 的质量为10g ．请你判断：1个物块B 的质量是____________g ．【答案】5【分析】可以分别设物块A 、B 、C 的质量是x ，y ，z ，然后根据两个天平列出方程组，消去z ，得出y 与x 之间的关系即可得出答案.【详解】设物块A 、B 、C 的质量分别是x 克，y 克，z 克，根据题意得，3x y z x y z =+⎧⎨+=⎩①②∴×3-∴，得2x=4y∴x=2y∴x=10∴2y=10，解得，y=5，即，1个物块B 的质量是5g.故答案为：5.【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题列出二元一次方程组是解此题的关键.23．我校团委组织初三年级50名团员和鲁能社区36名社区志愿者共同组织了义务植树活动，为了便于管理分别把50名同学分成了甲、乙两组，36名志愿者分成了丙、丁两组.甲、丙两组到A植树点植树，乙、丁两组到B植树点植树，植树结束后统计植树成果得知：甲组人均植树量比乙组多2棵，丙、丁两组人均植树量相同，且是乙组人均植树量的2.5倍，A、B两个植树点的人均植树量相同，且比甲组人均植树量高25%.已知人均植树量为整数，则我校学生一共植树________棵.【答案】320【解析】【分析】设甲组分得a人，则乙组为（50-a）人，丙组为b人，则丁组为（36-b）人；再设全部人均种树x棵，则甲组人均种x÷（1+25%）=0.8x棵，乙组人均种（0.8x-2）棵，丙、丁两组人均植树2.5（0.8x-2）=（2x-5）棵，根据题意列出方程，整理后可得a=140-13x，再根据a和x的取值范围确定a和x的值，从而得到植树的数量。
二元一次方程组的应用 和差倍分与配套问题 说课
二元一次方程组的应用和差倍分与配套问题说课二元一次方程组是数学中的一种常见问题类型。
它可以用来解决许多实际问题，如两个物品的价格、两个人的年龄等。
在解决二元一次方程组问题时，我们可以使用和差倍分法和配套问题方法。
首先，我们来介绍一下和差倍分法。
这种方法适用于求解形如$x+y=a$和$x-y=b$的二元一次方程组。
我们可以将两个方程相加或相减，得到一个新的方程，然后通过倍分法解出其中一个未知数，再代入原来的方程组中解出另一个未知数。
例如，在下面这个方程组中：$$begin{cases}x+y=15x-y=5end{cases}$$我们可以将两个方程相加，得到：$$2x=20$$然后，我们将$x$解出来，得到$x=10$。
接着，我们代入其中一个方程，例如$x+y=15$，解出$y$，得到$y=5$。
因此，方程组的解为$(10,5)$。
接下来，我们来介绍一下配套问题方法。
这种方法适用于求解形如$x+y=a$和$xy=b$的二元一次方程组。
我们可以通过设法将一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入原方程组，再解出未知数。
例如，在下面这个方程组中：$$begin{cases}x+y=10xy=21end{cases}$$我们可以设$x$和$y$的和为$t$，即$x+y=t$。
然后，我们将$t$代入到$xy=21$中，得到：$$x(t-x)=21$$移项得：$$x^2-tx+21=0$$接着，我们使用求根公式，解出$x$的值。
因为$x$和$y$是对称的，所以我们可以用$t-x$得到$y$的值。
因此，方程组的解为$(3,7)$和$(7,3)$。
通过和差倍分法和配套问题方法，我们可以解决许多二元一次方程组问题，为实际问题的解决提供了重要的数学工具。
《实际问题与二元一次方程组的应用--和差倍分问题》教案
T
方法&策略
改进&反思
一、运用例题得出用二元一次方程组解决和差倍分问题的一般步骤.
①会找和差倍分问题里的等量关系.
②通过读题，培养学生将文字语言转化为数学语言的能力.
③培养学生的归纳概括能力。
10
（10）
1、学生回顾相关知识，完成前测部分
2、问题引入
（一）学生先独立思考例1，老师再和学生一块审题找到等量关系，同时回顾解答应用题的基本步骤。(②)(K-02)
设计者Байду номын сангаас
审定者
编号
课题
实际问题与二元一次方程组的应用--和差倍问题
课型
新授课
（要素组合）
学习
目标
1、使学生会分析和、差、倍、分的量与量之间的关系，寻找相等的关系，列出二元一次方程解应用题.
2、通过应用题的教学使学生会用方程去反映现实生活中的相等关系，体会代数方法的优越性,明确列方程解应用题的一般步骤.
⑧培养学生的口头表达能力。
1 8
（38）
1、由学生自己独立完成例3，进行竞赛。(⑥⑦)(k-07)
2、选取学生自己来讲解题目；（⑧）
学生讲解同桌互批，看学生格式及知识点的掌握情况。
四、课堂小结
⑪培养学生的总结归纳能力。
2
（40）
学生自主归纳
（⑪）（K-10）
板书设计
和差倍分问题
1、应用二元一次方程组解和差倍分问题的步骤：例1例2
2、创造平台：让学生通过小组讨论应该如何设未知数及找等量关系。(④⑤)
3、小组展示讨论结果，老师进行讲解。
4、让学生自主完成解题过程。
5、教师巡视，并请几名书写较规范的学生上黑板板书；
北师大版八年级上册数学第22讲《应用二元一次方程组》知识点梳理
北师大版八年级上册数学第 22 讲《应用二元一次方程组》知识点梳理【学习目标】1.以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；2.熟练掌握用方程组解决鸡兔同笼，增收节支，里程碑上的数等实际问题.【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系1.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.2.增收节支问题：（1）增长（递减）率公式：原来的量×（1+增长率）=后来的量；原来的量×（1-递减率）=后来的量；（2）利润公式：利润=总收入-总支出；利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率；标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)（3）银行利率公式：利息=本金×利率×期数.本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .年利率＝月利率×12.月利率＝年利率×.要点诠释：增收节支问题常常借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系，这种方法清晰明了，能够充分突出解题过程．3.行程问题：速度×时间=路程.顺水速度=静水速度+水流速度.逆水速度=静水速度-水流速度.4.数字问题：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．要点二、实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、鸡兔同笼问题1.（2016•茂名）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了100 片瓦，已知1 匹大马能拉3 片瓦，3 匹小马能拉1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x 匹，小马有y 匹，那么可列方程组为（）A．B．C．D．⎨ y = 2⎩ 【思路点拨】设有 x 匹大马，y 匹小马，根据 100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知一匹大马能拉 3 片瓦， 3 匹小马能拉 1 片瓦，列方程组即可．【答案与解析】解：设有 x 匹大马，y 匹小马，根据题意得，故选 C【总结升华】本题考查了二元一次方程的应用，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出 2 个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．举一反三：【变式】根据图中所给出的信息，求出每个篮球和每个羽毛球的价格.【答案】解：设每个篮球 x 元，每个羽毛球 y 元.根据题意列方程组：⎧2x + 2 y = 44 ⎨x + 3y = 26解得⎧x = 20 ⎩ 答：每个篮球 20 元，每个羽毛球 2 元.类型二、增收节支问题2.（2015•北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为．【思路点拨】由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“假设有5 头牛、2 只羊，值金10 两；2 头牛、5 只羊，值金8 两”，得到等量关系，即可列出方程组．【答案与解析】解：根据题意得：.【总结升华】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的能力，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．举一反三【变式】小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500 元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价. 由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9 折出售，这样专卖店共获利157 元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他吗？【答案】上衣成本＋裤子成本＝500 元上衣利润＋裤子利润＝157 元分析：设上衣的成本价为ｘ元，裤子的成本价为ｙ元：成本（元）实际售价（元）利润（元）上衣x 0.9 ⨯ (1+ 50%)x0.9 ⨯ (1+ 50%)x -x⎨35x + 26y = 15700 ...... ② ⎨ ⎩ ⎨ y = 69000 ⎩裤子y 0.9 ⨯ (1+ 40%) y 0.9 ⨯ (1+ 40%) y - y：设上衣的成本价为 x元，裤子的成本价为y元，则⎧⎪x + y = 500 ⎪⎩0.9⨯ (1+ 50%) x - x + 0.9⨯(1+ 40%) y - y = 157整理得: ⎧x + y = 500 ...... ① ⎩ ②－① ×26,得 9x=2700, ∴x =300. 把其代入①，得 y=500－300=200 ⎧x = 300 ⎨ y = 200答：上衣成本 300 元，裤子成本 200 元.3. 蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共 13 万元，徐先生每年须付利息 6075 元，已知甲种贷款的年利率为 6%，乙种贷款的年利率为 3.5%，则甲， 乙两种贷款分别是多少元？【思路点拨】本题的等量关系：甲种贷款+乙种贷款＝13 万元；甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息＝6075 元.【答案与解析】解：设甲，乙两种贷款分别是 x ，y 元，根据题意得：⎧ x + y = 130000⎨6%x + 3.5% y = 6075解得： ⎧ x = 61000 ⎩ 答：甲，乙两种贷款分别是 61000 元和 69000 元． 【总结升华】利息＝贷款金额×利息率.类型三、里程碑上的数（数字问题）⎨ ⎨ y = 4与原数的和是 143，求这个两位数．【思路点拨】本题中的等量关系：①个位上的数－十位上的数＝5；②原数+新数＝143．【答案与解析】解：设原来的两位数中，个位上的数字为 x ，十位上的数字为 y ．则原数为 10y+x ，把这两个数的位置对换后，所得的新数为 10x+y ，根据题意，得：⎧x - y = 5 ⎩10 y + x +10x + y = 143 ，解方程组，得⎧x = 9 ． ⎩故这个两位数为 10y+x ＝10×4+9＝49． 答：这个两位数为 49．【总结升华】对于两位数、三位数的数字问题，关键是明确它们与各数位上的数字之间的关系：两位数＝十位数字×10+个位数字；三位数＝百位数字×100+十位数字×10+个位数字．【变式】（2015•黑龙江）为推进课改，王老师把班级里 40 名学生分成若干小组，每小组只能是 5 人或 6 人，则有几种分组方案（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】解：设 5 人一组的有 x 个，6 人一组的有 y 个，根据题意可得：5x+6y=40，当 x=1，则 y=（不合题意）；当 x=2，则 y=5；当 x=3，则 y=（不合题意）；当 x=4，则 y=（不合题意）；当 x=5，则 y=（不合题意）；当 x=6，则 y=（不合题意）；当 x=7，则 y=（不合题意）；当 x=8，则 y=0；所以有 2 种分组方案．故选：C ．类型四、行程问题4.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大 5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数⎨ ⎩5. A 、B 两地相距 480 千米，一列慢车从 A 地开出，一列快车从 B 地开出．(1) 如果两车同时开出相向而行，那么 3 小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿 BA 方向)而行，那么快车 12 小时可追上慢车，求快车与慢车的速度各是多少？(2) 如果慢车先开出 l 小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?【思路点拨】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解．(1) “同时开出相向而行”可用下图表示．“同时开出同向而行”可用下图表示．(2) 慢车先开出 1 小时，两车相向而行，仿照（1）用示意图表示出来，并用等式表示出来．【答案与解析】解：(1)设快车和慢车的速度分别为 x 千米/时和 y 千米/时．根据题意，得⎧3x + 3y = 480 ， ⎩12x -12 y = 480⎧x = 100 解得 ⎨ y = 60答：快车和慢车的速度分别为 100 千米/时和 60 千米/时．(2)设快车开出 x 小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，根据题意，得 60(x+1)+100x ＝480．解得 x = 2 5 ． 8答：快车开出2 5小时两车相遇． 8 【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词．。
列二元一次方程组解应用题的步骤
列二元一次方程组解应用题的步骤一、和差倍分问题。
1. 已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数。
- 设甲数为x，乙数为y。
- 根据题意可列方程组：x + y=42 3x = 4y- 由x + y=42可得x = 42 - y，将其代入3x = 4y中，得到3(42 - y)=4y。
- 展开式子得126 - 3y = 4y，移项得126=4y + 3y，即7y = 126，解得y = 18。
- 把y = 18代入x = 42 - y，得x = 42-18 = 24。
2. 两个数的差是5，积是84，求这两个数。
- 设较大的数为x，较小的数为y。
- 则方程组为x - y=5 xy = 84- 由x - y=5可得x = y + 5，将其代入xy = 84中，得到(y + 5)y = 84。
- 展开得y^2+5y - 84 = 0，因式分解得(y + 12)(y - 7)=0，解得y=- 12或y = 7。
- 当y=-12时，x=-12 + 5=-7；当y = 7时，x = 7+5 = 12。
二、行程问题。
3. 甲、乙两人相距30千米，甲速度为x千米/小时，乙速度为y千米/小时，若两人同时出发相向而行，3小时后相遇；若两人同时同向而行，甲6小时可追上乙，求甲、乙两人的速度。
- 根据路程 = 速度×时间。
- 对于相向而行：3x+3y = 30，化简得x + y = 10。
- 对于同向而行：6x-6y = 30，化简得x - y = 5。
- 所以方程组为x + y = 10 x - y = 5- 两式相加得2x = 15，解得x = 7.5。
- 把x = 7.5代入x + y = 10，得y = 10 - 7.5 = 2.5。
4. 一艘轮船顺流航行速度为每小时20千米，逆流航行速度为每小时16千米，求轮船在静水中的速度和水流速度。
- 设轮船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时。
列二元一次方程组解和、差、倍、分问题
设有x人，物品的价格为y元，可列方程(组)为( A )
8x－3＝y A. 7x＋4＝y
8x＋3＝y B. 7x－4＝y
C. x＋3＝ x－4
8
7
D. y－3＝ y＋4
87
返回
8．(中考·济宁)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，
其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，
如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如
风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B
型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为( C )
A.
x＋y＝5300 200x＋150y＝30
C.
x＋y＝30 200x＋150y＝5300
x＋y＝5300
B. 150x＋200y＝30
D.
x＋y＝30
返回
150x＋200y＝5300
7． (中考·十堰)我国古代数学著作《九章算术》卷七有下 列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不 足四.问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共 同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如 果每人出7钱，则差4钱.问有多少人，物品的价格是 多少？
第八章 二元一次方程组
8.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 列二元一次方程组解和、差、 倍、分问题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识点 1 列二元一次方程组解决实际问题的步骤
1．用方程组解应用题的一般步骤： (1)审题：弄清题意和题目中的__数__量__关__系___； (2)设元：用字母表示题目中的未知数，可__直__接____ 设未知数，也可__间__接____设未知数；
七年级数学下册《第八章二元一次方程组》知识点归纳
第八章二元一次方程组是七年级下册数学的章节之一，主要介绍了二元一次方程组的相关知识。
本章内容比较重要，是学习方程组的基础，也是解决实际问题的基础。
以下是对该章节重要知识点的归纳：一、二元一次方程及方程组：1. 二元一次方程：二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，形式一般为ax+by=c。
其中，a、b、c为已知数，a和b不全为零。
2.方程的解：给定一个二元一次方程，如果存在一对数(x,y)，使得将这些数代入方程使等式成立，那么这对数(x,y)就是方程的解。
3.方程组：由两个或多个方程组成的集合称为方程组。
二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的方程组。
二、解二元一次方程组的方法：1.消元法：a.加法消元法：通过给每个方程乘以适当的倍数，使得待消元的未知数的系数相同，然后将两个方程相加，消去这个未知数。
b.减法消元法：通过给其中一个方程乘以适当的倍数，使得待消元的未知数的系数相反，然后将两个方程相减，消去这个未知数。
2.代入法：将一个方程的一元表达式代入到另一个方程中，从而将二元一次方程组转化为一个一元二次方程。
三、方程组的解的情况：1.无解的情况：当方程组中的方程互相矛盾，即无法找到同时满足所有方程的解时，方程组无解。
2.有唯一解的情况：当方程组中的方程相互独立，且无论怎样组合方程，都只能得出一个解时，方程组有唯一解。
3.有无穷多解的情况：当方程组中的方程有冗余的情况，即两个或多个方程实际上是同一个方程的时候，方程组有无穷多解。
四、应用问题：1.运用二元一次方程组解决实际问题，如两个数字之和为一些数，两数之差为一些数等。
2.通过问题中给出的条件建立方程组，然后解方程组找到问题的解。
3.运用代入法解决更复杂的实际问题，如一个数以另一个数的几倍和为一些数等。
五、实战习题：1.练习整理方程组、解方程组的方法；2.挑战实际问题，在解决问题的过程中巩固知识点；3.深入思考不同的解法对于问题的实际意义，触类旁通。
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二元一次方程组的和差倍分问题的内容本质与研究方法
二元一次方程组的和差倍分问题的内容本质是研究如何利用方程组的和、差和倍数关系来解决问题。
这类问题通常涉及两个未知数的值，通过将方程组进行加减或倍数操作，可以得到新的方程组，从而求解出未知数的值。
研究这类问题的方法通常包括以下几个步骤：
1. 建立方程组：根据问题的描述，建立二元一次方程组。
方程组的未知数通常对应问题中需要求解的变量。
2. 进行加减运算：通过将方程组进行加减操作，可以得到新的方程组。
这些新的方程组通常具有简化的形式，可以利用它们来求解未知数的值。
3. 进行倍数运算：通过将方程组的某个方程乘以一个常数倍数，可以得到新的方程组。
这些新的方程组通常与原方程组存在倍数关系，可以通过消元法来求解未知数的值。
4. 求解未知数的值：利用经过加减运算和倍数运算得到的方程组，可以通过代入、消元等方法求解未知数的值。
5. 验证解的有效性：找到未知数的值后，需要将其代入原方程组中，验证是否满足方程关系，以确保求解的答案是有效的。
综上所述，二元一次方程组的和差倍分问题的研究方法通常涉及建立方程组、进行加减运算和倍数运算、求解未知数的值以
及验证解的有效性。
这些方法在解决实际问题中具有广泛的应用。