初中阶段证明角相等、线段相等的方法归纳

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人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题

全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。

八年级数学竞赛例题专题讲解17：等腰三角形的判定(含答案)

专题17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠F AE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．BCA D图2B CA D图1O ABCMD EEA BDCFBCAD能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（） A ．300 B ．300或1500 C ．1200或1500 D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）第5题图第8题图第9题图ACDBB ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915BACBCABCADFG E9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B ACDA BDFE C图1A B D FE C图2A ′E ′D ′C ENMBDB 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在五边形ABCDE 中，∠A =∠B =1200，EA =AB =BC =12DC =12DE ，则∠D =（） A ．300B ．450C ．600D ．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN =160，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3，使A 3A 2=A 2A 1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（）A ．A 5B ．A 6C ．A 7D ．A 8 7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且∠APB =∠BPC =∠CP A =1200，则点P 叫作△ABC 的费尔马点，如图1．⑴若点P 为锐角△ABC 的费尔马点，且∠ABC =600，P A =3，PC =4，则PB 的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′，连结BB ′．求证：BB ′过△ABC 的费尔马点P ，且BB ′=P A +PB +PC ．（湖州市中考试题）ABC(第1题)(第2题)ABD E CA BPACBB ′图1图2A BD CEF PQS (第4题)A B CED第5题AA 1NMA 2A 3(第6题)8．如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ +AQ =AB +BP ．（全国初中数学联赛试题）9．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F ，求证：BE =CF =12(AB +AC )．（重庆市竞赛试题）10．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）ABQCABD CFE11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：12y x m=-+与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于y轴的直线交AB于点D，CD=10．⑴求直线l的解析式；⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（宁波市江东区模拟题）12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF-=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3。

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题

三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。

2021初中数学证明三角形全等方法总结

2021初中数学证明三角形全等方法总结在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论.利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等．下面介绍证明三角形全等的几种方法，供同学们参考．一、利用公共角证明全等【例题 1】如图 1，已知 AB ＝ AC, AE ＝ AF，BF 交 CE 于点 O.图 1求证:∠ABF ＝∠ACE.分析：要证明∠ABF＝∠ACE，只需证明△BOE≌△COF 或△ABF≌△ACE. 而由图形可知∠A 是公共角，又由已知条件 AB ＝ AC, AE＝ AF, 所以△ABF≌△ACE（SAS），于是问题获证．证明：略.二、利用对顶角证明全等【例题 2】如图 2，点 B、E、F、D 在同一条直线上，AB ＝ CD，BE ＝DF，AE ＝ CF，连接 AC 交 BD 于点 O．图 2求证：AO ＝ CO．分析：要证明 AO＝CO，只需证明△AOE≌△COF 或△AOB≌△COD 即可．根据现有条件都无法直接证明．而由已知条件 AB ＝CD，BE ＝ DF, AE ＝ CF 可直接证明△ABE≌△CDF，则有∠AEB＝∠CFD，进而有∠AEO＝∠CFO，再利用对顶角相等即可证明△AOE≌△COF（AAS）于是问题获证．证明：略.三、利用公共边证明全等【例题 3】如图 3，已知 AB ＝ CD，AC ＝ BD．图 3求证：∠B ＝∠C．分析：设 AC 与 BD 交于点 O，此时∠B 与∠C 分别在△AOB 和△DOC 中，而用现有的已知条件是不可能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形．此时可以连接 AD，那么 AD 是△ABD 和△DCA 的公共边，这样可以证明△ABD≌△DCA（SSS），从而可证明∠B ＝∠C，于是问题获证．证明：略.四、利用相等线段中的公共部分证明全等【例题 4】如图 4，点 E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF ＝ CE.图 4求证：BE∥DF.分析：要证明BE∥DF, 只需证明∠BEC ＝∠DFA，此时可以转换为证明∠AEB ＝∠CFD, 进而证明△AEB≌△CFD（SAS）. 而 AE = AF - EF , CF = CE - EF , 故 AE = CF .证明：∵ 在平行四边形 ABCD 中，∴ AB∥CD，AB = CD，∴∠BAE = ∠DCF，∵ AE = AF - EF , CF = CE - EF , AF ＝ CE，∴AE = CF，∴ △AEB ≌ △CFD（SAS），∴ ∠AEB ＝∠CFD,∴ ∠BEC ＝180° - ∠AEB = 180° - ∠CFD = ∠DFA，∴ BE∥DF.五、利用等角中的公共部分证明全等【例题 5】如图 5，已知∠E ＝30°，AB ＝ AD，AC ＝ AE，∠BAE＝∠DAC．图 5求：∠C 的度数．分析：已知∠E ＝30°，要求∠C，可考虑证明△ABC≌△ADE , 由∠BAE ＝∠DAC , 结合图形可知∠BAC ＝∠DAE，于是问题获解．证明：∵ ∠BAE＝∠DAC，∴ ∠BAE +∠EAC= ∠DAC +∠EAC，∴ ∠BAC ＝∠DAE，∵ AB ＝ AD，AC ＝ AE，∴ △ABC ≌ △ADE（SAS） ,∴ ∠C = ∠E = 30° .六、利用互余或互补角的性质证明全等【例题 6】如图 6，已知∠DCE ＝90°，∠DAC ＝90°，BE⊥AC 于点 B, 且DC ＝ EC, 能否找出与 AB + AD 相等的线段，并说明理由．图 6分析：由于 AC ＝ AB + BC，可以猜想 AC ＝ AB + AD，或 BE ＝AB + AD，此时只需证明 AD ＝ BC 即可．而事实上，用同角的余角相等可得到∠DCA ＝∠E，从而证明△ADC ≌ △BCE，问题获证．注意考点：同角或等角的余角相等.证明：∵ BE⊥AC，∴ ∠EBC = 90°，∵ ∠DCA +∠ACE= ∠DCE = 90°，∠E +∠ACE= 90°，∴ ∠DCA ＝∠E，∵ ∠DAC = ∠EBC = 90°，DC ＝ EC,∴ △ADC ≌ △BCE（AAS），∴ AC = BE , AD = BC，∴AB + AD= AB + BC = AC= BE.七、利用角平分线的性质构造全等三角形证明全等考点：角平分线上的点到角两边的距离相等【例题 7】如图 7，点 P 是∠ABC 的平分线 BN 上一点，PE 垂直 AB 所在的直线与 E , PF 垂直BC 所在的直线于F, ∠PAB + ∠PCB = 180°.图 7求证：PA = PC.证明：∵ BN 是∠EBC 的角平分线，PE⊥BA，PF⊥BC，∴ ∠PEA = ∠PFC = 90°，PE = PF ,∵ ∠PAB + ∠PAE = ∠PAB + ∠PCB = 180°，∴ ∠PAE = ∠PCF，∴ △PAE ≌ △PCF，∴ PA = PC.八、利用截长补短法构造全等三角形证明全等所谓截长法是指在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段，而补短法是指延长较短的线段等于较长的线段，通过截长补短可以把分散的条件相对集中起来，以便构造全等三角形。

《证明线段相等-角相等-线段垂直》的方法总结

《段相等，角相等，线段垂直》的专题复习一.证明线段相等的方法：1.中点：2.等式的性质3.全等三角形4借助中介线段二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等经典题型：.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。

例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。

4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。

5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。

基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。

例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。

6.利用角平分线的对称性。

例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。

7.角平分线与垂直平分线综合例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．角平分线专题复习（解答部分）一、平分线的应用。

证明线段相等的方法常用的9种方法

证明线段相等的方法常用的9种方法线段相等是几何学中的基本概念之一，它是指两条线段的长度相等。

在几何学中，我们常常需要证明两条线段相等，这时我们可以使用以下9种方法来证明。

1. 利用勾股定理：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么它们的斜边也相等。

因此，如果我们能够证明两条线段是直角三角形的两条直角边，那么它们的长度就相等了。

2. 利用等腰三角形的性质：如果两条线段分别是等腰三角形的两条等边，那么它们的长度也相等。

3. 利用相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边长成比例。

因此，如果我们能够证明两条线段是相似三角形的对应边，那么它们的长度也相等。

4. 利用平移的性质：如果我们能够将一条线段平移至另一条线段上，使得它们的起点和终点重合，那么这两条线段的长度就相等了。

5. 利用旋转的性质：如果我们能够将一条线段绕着一个点旋转，使得它与另一条线段重合，那么这两条线段的长度也相等了。

6. 利用反证法：假设两条线段长度不相等，那么它们之间必然存在一个距离。

我们可以通过构造一个三角形来证明这个距离是不存在的，从而推出两条线段的长度相等。

7. 利用重心的性质：如果两条线段分别是一个三角形的两条边，且这个三角形的重心恰好在这两条线段的中点，那么这两条线段的长度也相等了。

8. 利用垂线的性质：如果两条线段分别是一个直角三角形的两条直角边，且它们的中点连成一条线段与直角边垂直相交，那么这两条线段的长度也相等了。

9. 利用向量的性质：如果我们能够将两条线段表示成向量的形式，那么它们的长度相等当且仅当它们的向量相等。

证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择不同的方法来证明。

在实际应用中，我们需要根据题目的要求和条件来选择最合适的方法，以便更快更准确地得出结论。

证明角相等的方法

添辅助线的规律（一）添辅助线的目的：解证几何问题的基本思路就是要利用已知几何条件求得所求几何关系。

这往往需要将已知条件与所求条件集中到一个或两个几何关系十分明确的简单的几何图形之中。

如一个三角形（特别是直角三角形、等腰三角形），一个平行四边形（特别是矩形、菱形、正方形），一个圆，或两个全等三角形，两个相似三角形之中。

这种思路可称为条件集中法。

为了达到条件集中的目标，我们需要将远离的、分散的已知条件和所求条件，通过连线、作线、平移、翻转、旋转等方法来补全或构造一个三角形、一个平行四边形、一个圆、或两个全等三角形、两个相似三角形。

以便于运用这些图形的几何关系（性质定理）解题，这就需要添加辅助线。

添加什么样的辅助线，总由以下三方面决定：⑴由所求决定：问什么，先要作什么。

⑵由已知决定：已知什么，作出什么，并为充分运用已知条件提供的性质定理添加辅助线。

⑶由条件集中的需要决定：为补全或构造几何关系十分明确的一个三角形、一个平行四边形、一个圆，或两个全等三角形、两个相似三角形而添加辅助线。

（二）添辅助线的规律：（1）三角形中：①等腰Δ：常连底边上的中线或高或顶角的平分线（构造两个全等的直角Δ，或便于运用等腰Δ三线合一的性质。

如图1）②直角Δ斜边上有中点：连中线（构造两个等腰Δ，或便于运用直角Δ斜边上的中线的特殊性质。

如图2）③斜Δ有中点或中线：连中线(构造两个等底同高的等积Δ。

如图3）；或自左右两顶点分别作中线的垂线（构造两个全等直角三角形。

如图4）；或连中位线、或过一中点作另一边的平行线（构造两个相似比为1：2的相似Δ，或便于运用Δ中位线定理。

如图5、6）；或延长中位线或中线的一倍（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。

如图7、8）。

或延长中线的1/3（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。

如图9）。

④有角平分线：过其上某一交点作角两边的垂线（构造两全等的直角Δ。

如图10）或一边或两边的平行线（构造一个或两个等腰Δ或一菱形。

专题14证明线段相等的常用方法

证明线段相等的常用方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

【基本模型】（一）常用轨迹中：①两平行线间的距离处处相等.②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等.③角平分线上任一点到角两边的距离相等.④平行线等分线段定理：若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其它直线上截得的线段也相等. （二）三角形中：①同一三角形中,等角对等边.（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等.③任意三角形的内心到三边的距离相等.④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边.⑤直角三角形中,斜边的中线等于斜边一半.⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形.⑦中位线：过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边.⑧同底或等底的三角形,若面积相等,则高也相等.同高或等高的三角形,若面积相等,则底也相等.（三）特殊四边形中：①平行四边形对边相等,对角线相互平分.②矩形对角线相等,且其的交点到四顶点的距离相等.③菱形中四边相等.④等腰梯形两腰相等、两对角线相等.⑤梯形中位线：过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰.（四）圆中：①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等.②同圆或等圆中,等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等.③任意圆中,任一弦总被与它垂直的半径或直径平分.④自圆外一点所作圆的两切线长相等.⑤两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分.（五）全等形中：全等形中,一切对应线段（对应的边、高、中线、角平分线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等.（六）等量代换或线段运算：①等于同一线段的两条线段相等.②对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等.③对应相等线段乘以相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以相等倍数所得的商相等.【典例分析】［例1］（2019苏州）如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．求证：EF BC =.【点拨】利用全等三角形的性质证明线段相等，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。

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初中阶段证明角相等、线段相等、平行和垂直
常用方法归纳
证明两条线段相等的方法
（1）线段中点（边上的中线）、三等分点
（2）在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
（3）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）（4）线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
（5）夹在两条平行线间的平行线段相等
（6）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半（7）直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
（8）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
（9）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
（10）全等三角形的对应边相等
（11）平行四边形的对边相等，对角线相互平分
（12）菱形和正方形4条边都相等
（13）矩形和正方形的对角线相等
（14）同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弦相等、弦心距相等（圆心角定理）（15）垂直于弦的直径平分这条弦
（16）切线长定理*
（17）等于同一条线段的两条线段相等（等量代换）
（18）平移、旋转、对称、翻折
证明两个角相等的方法
（1）对顶角相等
（2）同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等
（3）角平分线的定义
（4）两直线平行，同位角相等，内错角相等
（5）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
（6）等边三角形的各角都相等，且每一个角都等于60°
（7）两全等三角形的对应角相等
（8）两相似三角形的对应角相等
（9）平行四边形的对角相等
（10）矩形、正方形的4个内角都是90°
（11）同圆（或等圆）中，等弧（或等弦）所对的圆心角相等，圆周角相等
（12）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
（13）圆内接四边形的外角等于它的内对角
（14）切线长定理*
（15）平移、旋转、对称、翻折
（16）等于同一个角的两个角相等（等量代换）
证明两条直线平行的方法
（1）平行线的传递性
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
（3）同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行
（4）三角形的中位线平行于第三边
（5）平行四边形的对边平行
（6）如果一条直线截三角形两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边（平行线分线段成比例定理的逆命题）
证明两条直线垂直的方法
（1）垂直的定义（夹角为90°）
（2）三角形中，两个内角之和为90°，那么另一个内角是直角
（3）互为邻补角的两个角的平分线垂直
（4）平行线的同旁内角的平分线垂直
（5）利用全等或相似，进行等量代换
（6）等腰三角形的性质——“三线合一”（线段的垂直平分线）
（7）勾股定理的逆定理
（8）三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
（9）矩形和正方形的邻边垂直
（10）菱形和正方形的对角线垂直
（11）直径所对的圆周角是90°
（12）圆的切线垂直于过切点的半径
（13）垂径定理的推论
（14）切线长定理的推论*。