图与网络分析 最大流问题
合集下载
运筹学05_图与网络分析3-最大流
去掉所有点的标号，对新的可行流f ' {fij '}进行标号
min 1 ,2
例6：用标号法求如下图所示的网络最大流
v1
(5,2)
v3
vs
(6,5)
(6,0)
vt
v2
(10,4)
v4
(s,+) v1 *
(5,2)
(1,+) v3 *
vs* (0,+)
(6,5)
(6,0)
vt (4,+)(3,+)
1
(2 )
(3) V3 V5
定理4：在网络D中，对可行流f，若存在增广链， 那么f一定可以改进，以使流值增大。
定理5：可行流f*是最大流，当且仅当不存在关于 f*的增广链
根据定理，对于给定的可行流f，要判断它是不 是最大流只需要判断D中有没有关于f的增广链。
如果有则需要对f进行改进；如果没有增广链， 则已经得到最大流。
f =10
(4,5)
v1 (6,6) (0,3) (2,2) v5 (0,3) (0,4) v2
(4,10)
v0
(0,3)
(4,4)
(6,6) vn (4,10) v4 (0,5)
(2,5)
(0,3) v3
(4,5)
v1 (6,6) (0,3) (2,2) v5 (0,3) (0,4) v4 (0,5) v2
选择标号但是未检查的点，如vi，对于一切未标号的点v j
若在弧(vi , v j )上，f ij cij , 则给v j标号(i, ), 从vi出发的弧 则v j变为标号但是未检查的点, 否则不标号
若在弧(v j , vi )上，f ji 0, 则给v j标号(i, -), 则v j变为标号但是未检查的点, 否则不标号
min 1 ,2
例6：用标号法求如下图所示的网络最大流
v1
(5,2)
v3
vs
(6,5)
(6,0)
vt
v2
(10,4)
v4
(s,+) v1 *
(5,2)
(1,+) v3 *
vs* (0,+)
(6,5)
(6,0)
vt (4,+)(3,+)
1
(2 )
(3) V3 V5
定理4：在网络D中，对可行流f，若存在增广链， 那么f一定可以改进，以使流值增大。
定理5：可行流f*是最大流，当且仅当不存在关于 f*的增广链
根据定理，对于给定的可行流f，要判断它是不 是最大流只需要判断D中有没有关于f的增广链。
如果有则需要对f进行改进；如果没有增广链， 则已经得到最大流。
f =10
(4,5)
v1 (6,6) (0,3) (2,2) v5 (0,3) (0,4) v2
(4,10)
v0
(0,3)
(4,4)
(6,6) vn (4,10) v4 (0,5)
(2,5)
(0,3) v3
(4,5)
v1 (6,6) (0,3) (2,2) v5 (0,3) (0,4) v4 (0,5) v2
选择标号但是未检查的点，如vi，对于一切未标号的点v j
若在弧(vi , v j )上，f ij cij , 则给v j标号(i, ), 从vi出发的弧 则v j变为标号但是未检查的点, 否则不标号
若在弧(v j , vi )上，f ji 0, 则给v j标号(i, -), 则v j变为标号但是未检查的点, 否则不标号
《运筹学》第8章_图与网络分析
V = {v1 ,v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , v 6 }
v1 e1 e2 e5 e8 v5 e6 e7 v3 v2 e3 e v4 4
e 5 = { v1 , v 3 }
e9 = {v 6 , v 6 }
E = {e1 ，2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 } e e1 = {v1 , v 2 } e 2 = { v1 , v 2 } e10 e 3 = {v 2 , v 3 } e = {v , v }
引
C
言
B A
D
图的基本概念与基本定理
在实际的生产和生活中，人们为了 反映事物之间的关系，常常在纸上用点 点 和线来画出各式各样的示意图。 和线 是我国北京、上海、重庆等十四个城 市之间的铁路交通图，这里用点表示城 市，用点与点之间的线表示城市之间的 铁路线。诸如此类还有城市中的市政管 道图，民用航空线图等等。
例
v6
v1 3 6
4 7 3
v2 2 v3 5
3
4 2
权矩阵
v1 0 v 2 4 v 3 0 A= v4 6 v5 4 v6 3 v1
v5
v4
邻接矩阵
v1 0 v 2 1 v 3 0 B= v 4 1 v 5 1 v 6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
4 3 4
e6 = {v 3 , v 5 }
e8 = {v 5 , v 6 } e10 = {v1 , v6 }
v6
e 7 = {v 3 , v 5 }
v1 e1 e2 e5 e8 v5 e6 e7 v3 v2 e3 e v4 4
e 5 = { v1 , v 3 }
e9 = {v 6 , v 6 }
E = {e1 ，2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 } e e1 = {v1 , v 2 } e 2 = { v1 , v 2 } e10 e 3 = {v 2 , v 3 } e = {v , v }
引
C
言
B A
D
图的基本概念与基本定理
在实际的生产和生活中，人们为了 反映事物之间的关系，常常在纸上用点 点 和线来画出各式各样的示意图。 和线 是我国北京、上海、重庆等十四个城 市之间的铁路交通图，这里用点表示城 市，用点与点之间的线表示城市之间的 铁路线。诸如此类还有城市中的市政管 道图，民用航空线图等等。
例
v6
v1 3 6
4 7 3
v2 2 v3 5
3
4 2
权矩阵
v1 0 v 2 4 v 3 0 A= v4 6 v5 4 v6 3 v1
v5
v4
邻接矩阵
v1 0 v 2 1 v 3 0 B= v 4 1 v 5 1 v 6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
4 3 4
e6 = {v 3 , v 5 }
e8 = {v 5 , v 6 } e10 = {v1 , v6 }
v6
e 7 = {v 3 , v 5 }
网络最大流问题-xfj
b.终点得到标号，反向追踪即可找到从起点到终点由标号 点及相应的弧连接而成的一条增广链。
(0, +∞)
s (5, 2)
(S+,3)
v1
(7, 5)
(v1-,5)
t
h
18
3．调整过程：
修改流量，其中流量调整量
， mjinj
指增广链上所有点的流量修正量； j
调整方法：
在增广链的正向弧上增加 ；
反向弧上减少 ；
是，则不加标记； 不是，则加标记为(vs+,j)，其中 j =csj-fsj；
✓对反向弧，检查其是否是零流弧？
是，则不加标记； 不是，则加标记为(vs-, j)，其中 j =fsj；
h
17
重复步骤二，但要注意把vs换成已得到标号的点；可能
出现两种结局：
a.标号过程中断，终点得不到标号。说明该网络中不存在 增广链，现行的可行流就是最大流；
h
13
定理8：
可行流f *是最大流，当且仅当 存不 在
关于f *的增广链。
➢思路：可行流f*是最大流<=>不存在关于f*的增广链.
[证] 必要性→ 用反证法。若 f* 是D中的最大流，假定存在关于f* 的增
广链u，令
。那么，由增广链的定义可
知 m ，现令m iu n (c i{ ijn fi* j)m ,u fii* j} n
令 vsV1*（ ; 起点属V 于 1*）点集 若 vi V1*,且 fi*j cij,则令 vj V1*(正向非饱和弧 都 的 属 起 V1于 *)终 若 vi V1*,且 fj*i 0,则令 vj V（ 1* 反向非零弧 都 的 属 起 V1于 *） 终
因D中不存在关于f*的增广链，故必有
运筹学(第6章 图与网络分析)
a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
图与网络分析 - 最大流问题
其中f(vi ,vj) =fij 叫做弧(vi，
vj)上的流量。
（2）可行流：称满足下列条件的流为可行流： 1）容量约束：对于每一个弧（vi ,vj）∈A有 0 fij cij 。 2）守恒条件：对于所用的中间点 v V {v s , v t )
有
( vi , v j )E
v4
5 (0)
vt
10 (1)
v3
v6
图中 (v 3 , v 6 ) 为零流弧，其余为非饱和弧、非零流弧。
流量v(f ) =8
最大流
• 网络上的流量最大的可行流称作的最大流 •所谓最大流问题就是求给定网络的最大流
（二）最大流的算法
1、由图编写程序
2、由lingo8.0软件求最大流
例8 现需要将城市s 的石油通过管道运送到城市 t,中间有4个中转站v1,v2,v3 和v4，城市与中转站的 连接以及管道的容量如下图所示，求从城市s 到城 市t 的最大流
Global optimal solution found at iteration: 6 Objective value: 14.00000 Variable Value Reduced Cost FLOW 14.00000 0.000000 F( S, 1) 7.000000 0.000000 F( S, 2) 7.000000 0.000000 F( 1, 2) 2.000000 0.000000 F( 1, 3) 5.000000 0.000000 F( 2, 4) 9.000000 -1.000000 F( 3, 2) 0.000000 0.000000 F( 3, T) 5.000000 -1.000000 F( 4, 3) 0.000000 1.000000 F( 4, T) 9.000000 0.000000 v1 (9,5) (2,0) (5,2) (7,7) v2 (9,9) v3 (5,5) (6,0) v4 t (10,9)
图与网络模型_最大流问题
最大流问题在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流问题。
例如铁路运输系统中的车辆流，城市给排水系统的水流问题等等。
网络系统流最大流问题是图与网络流理论中十分重要的最优化问题，它对于解决生产实际问题起着十分重要的作用。
基本概念设一个赋权有向图D=(V , A)，在V 中指定一个发点（源）vs 和一个收点（汇）vt ，且只能有一个发点vs 和一个收点vt 。
（即D 中与vs 相关联的弧只能以 vs 为起点，与vt 相关联的弧只能以 vt 为终点），其他的点叫做中间点。
对于D 中的每一个弧(vi, vj)A ∈，都有一个权cij 叫做弧的容量。
我们把这样的图 D 叫做一个网络系统，简称网络，记做D =(V , A, C)。
VsVt 图1图1是一个网络。
每一个弧旁边的权就是对应的容量。
网络D 上的流，是指定义在弧集合A 上的一个函数f={f(vi, vj)}={fij}，f(vi,vj)=fij 叫做弧在(vi,vj)上的流量。
VsVt 图2图2中，每条弧上都有流量fij ，例如fs1=5，fs2=3，f13=2等。
容量是最大通过能力，流量是单位时间的实际通过量。
显然，0≤fij≤cij 。
网络系统上流的特点：(1)发点的总流出量和收点的总流入量必相等；(2)每一个中间点的流入量与流出量的代数和等于零；(3)每一个弧上的流量不能超过它的最大通过能力（即容量）。
网络上的一个流f={fij}叫做可行流，如果f 满足以下条件： （1）容量条件：对于每一个弧(vi,vj)A ∈，有0≤fij≤cij 。
（2）平衡条件：对于发点vs ，有∑f sj −∑f js =v (f ) 对于收点vt ，有∑f tj −∑f jt =−v (f )对于中间点，有∑f ij −∑f ji =0其中发点的总流量（或收点的总流量）v(f)叫做这个可行流的流量。
网络系统中最大流问题就是，在给定的网络上寻求一个可行流f={fij}，其流量v(f)达到最大值，即从vs 到vt 的通过量最大。
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
第四节 网络系统最大流问题
2 2
5 6
6 0
7
V6
V 8 V 10
V3
6 10
V5
前向弧： 1 min{Cij fij } 2
后向弧：
2
min{ 1 , 2 } 2
V2
8 8
5 5 3 2 5
1
V4
10 19
4
V1
2 2
5 6
6 0
7
V6
V 8 V 10
而对于实际问题来说，通常需要求最大流．
那么，如何求最大流呢？ 最大流可以从任何一个可行流出发来求．
这需要下面的可扩充路的概念．
定义 6.17 设 { fij }是一组可行流，如果存在一 条从起点V1 到终点V 的路P，满足 ①在P的所有前向弧上 0 fij Cij ( fij Cij ) ( fij 0) ②在P的所有后向弧上 0 fij Cij 则称P是一条关于流 { fij }的可扩充路．
对于P的所有后向弧 (0 fij Cij ) (若P无后向弧，则令 2 ) 令 2 min{ fij }
再令 min{ 1 , 2 }
最后，构造新的可行流 { f ij }, 使得
f ij fij fij
f ij
若弧 (Vi ,Vj )不在路P上 若弧 (Vi ,Vj )是路P的前向弧 若弧 (Vi ,Vj ) 是路P的后向弧
V3 V2
8
8
6 10
V5 V4
5
1
2 5
最大流不唯一
7
3 0 6 6
19
4
V1
2 2
6 3
7
V6
5 6
6 0
7
V6
V 8 V 10
V3
6 10
V5
前向弧： 1 min{Cij fij } 2
后向弧：
2
min{ 1 , 2 } 2
V2
8 8
5 5 3 2 5
1
V4
10 19
4
V1
2 2
5 6
6 0
7
V6
V 8 V 10
而对于实际问题来说，通常需要求最大流．
那么，如何求最大流呢？ 最大流可以从任何一个可行流出发来求．
这需要下面的可扩充路的概念．
定义 6.17 设 { fij }是一组可行流，如果存在一 条从起点V1 到终点V 的路P，满足 ①在P的所有前向弧上 0 fij Cij ( fij Cij ) ( fij 0) ②在P的所有后向弧上 0 fij Cij 则称P是一条关于流 { fij }的可扩充路．
对于P的所有后向弧 (0 fij Cij ) (若P无后向弧，则令 2 ) 令 2 min{ fij }
再令 min{ 1 , 2 }
最后，构造新的可行流 { f ij }, 使得
f ij fij fij
f ij
若弧 (Vi ,Vj )不在路P上 若弧 (Vi ,Vj )是路P的前向弧 若弧 (Vi ,Vj ) 是路P的后向弧
V3 V2
8
8
6 10
V5 V4
5
1
2 5
最大流不唯一
7
3 0 6 6
19
4
V1
2 2
6 3
7
V6
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D=（V，A，C，Vs，Vt）。
2、流量、可行流、流出量、流入量 ： （1）流量：是指定义在网络 D上的每一条弧上的一个
? ? 函数 f (a ) ? f (vi , v j ) ? { f i j } 其中f(vi ,vj) =fij 叫做弧(vi，
vj)上的流量。
（2 ）可行流 ：称满足下列条件的流为可行流：
14.00000
Variable
Value Reduced Cost
FLOW 14.00000
0.000000
C( S, 1) 8.000000
0.000000
C( S, 2) 7.000000
0.000000
C( 1, 2) 5.000000
0.000000
C( 1, 3) 9.000000
0.000000
v4
9 (3)
v3
5 (0)
4 (2) 4 (1)
v6
9 (5)
vt
10 (1)
图中 (v3 , v6 ) 为零流弧，其余为非饱和弧、非零流弧。
流量v(f ) =8
最大流
? 网络上的流量最大的可行流称作的最大流 ?所谓最大流问题就是求给定网络的最大流
（二）最大流的算法
1、由图编写程序
2、由lingo8.0 软件求最大流
C( 2, 4) 9.000000
0.000000
C( 3, 2) 2.000000
0.000000
C( 3, T) 5.000000
0.000000
C( 4, 3) 6.000000
0.000000
C( 4, T) 10.00000
0.000000
F( S, 1) 7.000000
0.000000
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
赵芳玲
图论是运筹学的一个重要分支，它是建立 和处理离散类数学模型的一个重要工具。用图 论的方法往往能帮助人们解决一些用其它方法 难于解决的问题。图论的发展可以追溯到 1736 年欧拉所发表的一篇关于解决著名的“哥尼斯 堡七桥问题”的论文。由于这种数学模型和方 法直观形象，富有启发性和趣味性， 深受人们 的青睐。到目前为止，已被广泛地应用于系统 工程、通讯工程、计算机科学及经济领域。传 统的物理、化学、生命科学也越来越广泛地使 用了图论模型方法。
1）容量约束：对于每一个弧（ vi ,vj）∈A有 0 ? fij ? cij 。
2）守恒条件：对于所用的中间点 v ? V ? {vs , vt )
有
?
? f i j ?
f ji
(vi , v j )? E
(v j , vi )? E
顶点vi 的流
顶点vi的流
入量
出量
则称f 为D上的可行流。其流量 v(f )为
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
图的基本知识 树及最小生成树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
四、 最大流问题
（一）、 基本概念
1、网络：设一个 赋权有向图 D=（V, A）,在V中指定一
个发点 vs和一个收点 vt ,其它的点叫做中间点。对于 D中的 每一个弧（ vi , vj）∈A ,都有一个非负数 cij,叫做弧的容量 。我们把这样的图 D叫做一个容量网络，简称网络，记做
s,1 s,2 1,2 1,3 2,4 3,2 3,t 4,3 4,t/:c,f; endsets
s.t
? f ij ?
?
f ji
?
?? ?
v ?
f, vf
,
i? s i?t
j? V (i,j)? A
j? V ( j,i )? A
??0,
i ? s,t
data: c= 8 7 5 9 9 2 5 6 10;
F( 4, 3) 0.000000
1.000000
F( S, 2) 7.000000
0.000000
F( 1, 2) 2.000000
0.000000
F( 1, 3) 5.000000
0.000000
F( 2, 4) 9.000000
-1.000000
F( 3, 2) 0.000000
0.000000
F( 3, T) 5.000000
-1.000000
例8 现需要将城市 s 的石油通过管道运送到城市 t, 中间有4个中转站v1,v2,v3 和v4，城市与中转站的连 接以及管道的容量如下图所示，求从城市 s 到城市t
的最大流
v1
9
v3
8
5
2
s
5
6
t
7
v2
9
10 v4
v1
9
v3
8
5
s
5
2
6
t
7
v2
9
10 v4
附程序
max v f
MODEL: sets: nodes/s,1,2,3,4,t/; arcs(nodes,nodes)/
v( f ) ? ?
? f s j ?
f js
(vs , v j )? E
(v j , vs )? E
v( f ) ? ? f j t ? ? f t j(v j , v Nhomakorabea )? E
(vt , v j )? E
(发点vs )
(收点vt )
（3）饱和弧：可行流中 fij＝cij 的弧叫做饱和弧。
（4）非饱和弧： 可行流中fij＜cij的弧叫做非饱和弧。 （5）零流弧： fij＝0 的弧叫做零流弧。 （6）非零流弧 ： fij＞0 的弧为非零流弧。
0 ? f ij ? cij , (i,j) ? A
enddata
max = flow; @for(nodes(i)|i #ne# 1 #and# i #ne# @size(nodes):
程序结构
@sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=0); @sum(arcs(i,j)|i #eq# 1:f(i,j)) = flow;
1、集合定义部分（sets 到endsets)
@for(arcs:@bnd(0,f,c)); END
2、数据输入部分（data 到enddata) 3、其他部分（优化目标和约束）
Global optimal solution found at iteration: 6
Objective value:
例6 下图给出一个可行流 （容量约束、守恒条件）
5 (3)
v2
v5
13 (5)
6(3) 5 (2)
vs
4 (1) 5 (2)
v4
9 (3)
v3
5 (0)
4 (2) 4 (1)
v6
9 (5)
vt
10 (1)
例7 下图给出一个可行流
5 (3)
v2
v5
13 (5)
6(3)
5 (2)
vs
4 (1) 5 (2)
2、流量、可行流、流出量、流入量 ： （1）流量：是指定义在网络 D上的每一条弧上的一个
? ? 函数 f (a ) ? f (vi , v j ) ? { f i j } 其中f(vi ,vj) =fij 叫做弧(vi，
vj)上的流量。
（2 ）可行流 ：称满足下列条件的流为可行流：
14.00000
Variable
Value Reduced Cost
FLOW 14.00000
0.000000
C( S, 1) 8.000000
0.000000
C( S, 2) 7.000000
0.000000
C( 1, 2) 5.000000
0.000000
C( 1, 3) 9.000000
0.000000
v4
9 (3)
v3
5 (0)
4 (2) 4 (1)
v6
9 (5)
vt
10 (1)
图中 (v3 , v6 ) 为零流弧，其余为非饱和弧、非零流弧。
流量v(f ) =8
最大流
? 网络上的流量最大的可行流称作的最大流 ?所谓最大流问题就是求给定网络的最大流
（二）最大流的算法
1、由图编写程序
2、由lingo8.0 软件求最大流
C( 2, 4) 9.000000
0.000000
C( 3, 2) 2.000000
0.000000
C( 3, T) 5.000000
0.000000
C( 4, 3) 6.000000
0.000000
C( 4, T) 10.00000
0.000000
F( S, 1) 7.000000
0.000000
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
赵芳玲
图论是运筹学的一个重要分支，它是建立 和处理离散类数学模型的一个重要工具。用图 论的方法往往能帮助人们解决一些用其它方法 难于解决的问题。图论的发展可以追溯到 1736 年欧拉所发表的一篇关于解决著名的“哥尼斯 堡七桥问题”的论文。由于这种数学模型和方 法直观形象，富有启发性和趣味性， 深受人们 的青睐。到目前为止，已被广泛地应用于系统 工程、通讯工程、计算机科学及经济领域。传 统的物理、化学、生命科学也越来越广泛地使 用了图论模型方法。
1）容量约束：对于每一个弧（ vi ,vj）∈A有 0 ? fij ? cij 。
2）守恒条件：对于所用的中间点 v ? V ? {vs , vt )
有
?
? f i j ?
f ji
(vi , v j )? E
(v j , vi )? E
顶点vi 的流
顶点vi的流
入量
出量
则称f 为D上的可行流。其流量 v(f )为
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
图的基本知识 树及最小生成树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
四、 最大流问题
（一）、 基本概念
1、网络：设一个 赋权有向图 D=（V, A）,在V中指定一
个发点 vs和一个收点 vt ,其它的点叫做中间点。对于 D中的 每一个弧（ vi , vj）∈A ,都有一个非负数 cij,叫做弧的容量 。我们把这样的图 D叫做一个容量网络，简称网络，记做
s,1 s,2 1,2 1,3 2,4 3,2 3,t 4,3 4,t/:c,f; endsets
s.t
? f ij ?
?
f ji
?
?? ?
v ?
f, vf
,
i? s i?t
j? V (i,j)? A
j? V ( j,i )? A
??0,
i ? s,t
data: c= 8 7 5 9 9 2 5 6 10;
F( 4, 3) 0.000000
1.000000
F( S, 2) 7.000000
0.000000
F( 1, 2) 2.000000
0.000000
F( 1, 3) 5.000000
0.000000
F( 2, 4) 9.000000
-1.000000
F( 3, 2) 0.000000
0.000000
F( 3, T) 5.000000
-1.000000
例8 现需要将城市 s 的石油通过管道运送到城市 t, 中间有4个中转站v1,v2,v3 和v4，城市与中转站的连 接以及管道的容量如下图所示，求从城市 s 到城市t
的最大流
v1
9
v3
8
5
2
s
5
6
t
7
v2
9
10 v4
v1
9
v3
8
5
s
5
2
6
t
7
v2
9
10 v4
附程序
max v f
MODEL: sets: nodes/s,1,2,3,4,t/; arcs(nodes,nodes)/
v( f ) ? ?
? f s j ?
f js
(vs , v j )? E
(v j , vs )? E
v( f ) ? ? f j t ? ? f t j(v j , v Nhomakorabea )? E
(vt , v j )? E
(发点vs )
(收点vt )
（3）饱和弧：可行流中 fij＝cij 的弧叫做饱和弧。
（4）非饱和弧： 可行流中fij＜cij的弧叫做非饱和弧。 （5）零流弧： fij＝0 的弧叫做零流弧。 （6）非零流弧 ： fij＞0 的弧为非零流弧。
0 ? f ij ? cij , (i,j) ? A
enddata
max = flow; @for(nodes(i)|i #ne# 1 #and# i #ne# @size(nodes):
程序结构
@sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=0); @sum(arcs(i,j)|i #eq# 1:f(i,j)) = flow;
1、集合定义部分（sets 到endsets)
@for(arcs:@bnd(0,f,c)); END
2、数据输入部分（data 到enddata) 3、其他部分（优化目标和约束）
Global optimal solution found at iteration: 6
Objective value:
例6 下图给出一个可行流 （容量约束、守恒条件）
5 (3)
v2
v5
13 (5)
6(3) 5 (2)
vs
4 (1) 5 (2)
v4
9 (3)
v3
5 (0)
4 (2) 4 (1)
v6
9 (5)
vt
10 (1)
例7 下图给出一个可行流
5 (3)
v2
v5
13 (5)
6(3)
5 (2)
vs
4 (1) 5 (2)