应用统计课件：第12章 多元线性回归
第12章-多重线性回归分析
6 因变量总变异的分解
P
(X,Y)
Y
（Y Y） （Y Y）
（Y Y）
Y X
Y
Y
9
Y的总变异分解
Y Y Yˆ Y Y Yˆ
Y Y 2 Yˆ Y 2 Y Yˆ 2
总变异 SS总
回归平方和 剩余平方和
SS回
SS剩
10
Y的总变异分解
病程 (X2)
10.0 3.0 15.0 3.0 4.0 6.0 2.9 9.0 5.0 2.0 8.0 20.0
表 12-1 脂联素水平与相关因素的测量数据
空腹
回归模空型腹 ？
瘦素
脂联 BMI 病程 瘦素
脂联
(X3)
血糖 (X4)
素(Y)
(X1)
(X2)
(X3)
血糖 素(Y) (X4)
5.75 13.6 29.36 21.11 9.0 4.90 6.0 17.28
H 0： 1 2 3 4 0 ，即总体中各偏回归系数均为0； H 1：总体中各偏回归系数不为0或不全为0；
= 0.05。
2 计算检验统计量： 3 确定P值，作出推断结论。
拒绝H0，说明从整体上而言，用这四个自变量构成 的回归方程解释糖尿病患者体内脂联素的变化是有统 计学意义的。
的平方和 (Y Yˆ)2为最小。
只有一个自变量
两个自变量
例12-1 为了研究有关糖尿病患者体内脂联素水平的影响因 素，某医师测定30例患者的BMI、病程、瘦素、空腹血糖， 数据如表12-1所示。
BMI (X1)
24.22 24.22 19.03 23.39 19.49 24.38 19.03 21.11 23.32 24.34 23.82 22.86
多元线性回归与相关(共30张PPT)
❖ 根据矩阵行列式性质，矩阵行列式的值等于
其特征根的连乘积。因此，当行列式| X'X|≈0
时，至少有一个特征根为零，反过来，可以
证明矩阵至少有一个特征根近似为零时，X的
列向量必存在多重共线性，同样也可证明 X ' X
有多少个特征根近似为零矩阵X就有多少个多
重共线性。根据条件数 K i
, m
i
其中 m为最
❖ 首先给出引入变量的显著性水平和剔除变量的显著性水平，然后 筛选变量。
回归变量的选择与逐步回归
回归变量的选择与逐步回归
❖ 逐步回归分析的实施过程是每一步都要对已引入回归方程的变量计算其 偏回归平方和（即贡献），然后选一个偏回归平方和最小的变量，在预 先给定的水平下进行显著性检验，如果显著则该变量不必从回归方程中 剔除，这时方程中其它的几个变量也都不需要剔除（因为其它的几个变 量的偏回归平方和都大于最小的一个更不需要剔除）。相反，如果不显 著，则该变量要剔除，然后按偏回归平方和由小到大地依次对方程中其 它变量进行检验。将对影响不显著的变量全部剔除，保留的都是显著的 。接着再对未引人回归方程中的变量分别计算其偏回归平方和，并选其 中偏回归平方和最大的一个变量，同样在给定水平下作显著性检验，如 果显著则将该变量引入回归方程，这一过程一直继续下去，直到在回归 方程中的变量都不能剔除而又无新变量可以引入时为止，这时逐步回归 过程结束。
多重共线性检验
❖ 检查和解决自变量之间的多重共线性，多多 元线性回归分析来说是很必要和重要的一个 步骤，常用的共线性诊断方法包括：
❖ 直观的判断方法 ❖ 方差扩大因子法(VIF) ❖ 特征根判定法
直观的判断方法
❖ 在自变量 的相关系数矩阵中，有某些自变量 的相关系数值比较大。
应用统计课件：第12章多元线性回归
应用统计课件：第12章多元线性回归第12章多元线性回归多元回归模型与回归方程多元回归模型(multiple regression model)1.一个因变量与两个及两个以上自变量的回归2.描述因变量y 如何依赖于自变量x1，x2，…，x k和误差项ε的方程，称为多元回归模型3.涉及k 个自变量的多元回归模型可表示为多元回归模型(基本假定)1.误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=02.对于自变量x1，x2，…，x k的所有值，ε的方差σ2都相同3.误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，即ε~N(0,σ2)，且相互独立多元回归方程(multiple regression equation)1.描述因变量y 的平均值或期望值如何依赖于自变量x1，x2，…，x k的方程2.多元线性回归方程的形式为E( y ) = β0+ β1 x1+ β2 x2+…+ βk x k二元回归方程的直观解释估计的多元回归方程估计的多元回归的方程(estimated multiple regression equation)1.用样本统计量估计回归方程中的参数时得到的方程2.由最小二乘法求得3.一般形式为参数的最小二乘估计参数的最小二乘法参数的最小二乘法(例题分析)多重判定系数多重判定系数(multiple coefficient of determination)1.回归平方和占总平方和的比例2.计算公式为3.因变量取值的变差中，能被估计的多元回归方程所解释的比例修正多重判定系数(adjusted multiple coefficient of determination)1.用样本量n和自变量的个数k去修正R2得到2.计算公式为3.避免增加自变量而高估R24.意义与R2类似5.数值小于R2估计标准误差S y1.对误差项ε的标准差σ的一个估计值2.衡量多元回归方程的拟合优度3.计算公式为线性关系检验线性关系检验1.检验因变量与所有自变量之间的线性关系是否显著2.也被称为总体的显著性检验3.检验方法是将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F 检验来分析二者之间的差别是否显著如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系线性关系检验1.提出假设H0：β1=β2=?=βk=0 线性关系不显著H1：β1，β2，?βk至少有一个不等于0回归系数检验和推断回归系数的检验1.线性关系检验通过后，对各个回归系数有选择地进行一次或多次检验2.究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在建立模型之前作出决定3.对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多的第Ⅰ类错误(弃真错误)4.对每一个自变量都要单独进行检验5.应用t 检验统计量回归系数的检验(步骤)1.提出假设H0：b i = 0 (自变量x i与因变量y 没有线性关系)H1：b i≠ 0 (自变量x i与因变量y有线性关系)1.计算检验的统计量t回归系数的推断(置信区间)回归系数在(1-α)%置信水平下的置信区间为多重共线性及其产生的问题多重共线性(multicollinearity)1.回归模型中两个或两个以上的自变量彼此相关2.多重共线性带来的问题有可能会使回归的结果造成混乱，甚至会把分析引入歧途可能对参数估计值的正负号产生影响，特别是各回归系数的正负号有可能同预期的正负号相反多重共线性的识别多重共线性的识别1.检测多重共线性的最简单的一种办法是计算模型中各对自变量之间的相关系数，并对各相关系数进行显著性检验2.若有一个或多个相关系数显著，就表示模型中所用的自变量之间相关，存在着多重共线性多重共线性的识别如果出现下列情况，暗示存在多重共线性模型中各对自变量之间显著相关当模型的线性关系检验(F检验)显著时，几乎所有回归系数的t检验却不显著回归系数的正负号与预期的相反容忍度(tolerance)与方差扩大因子(variance inflation factor，VIF)。
经典多元线性回归模型PPT课件
此即为多元线性总体回归模型。
称
g(X1, X 2 ,...,X k ) 0 1 X1 2 X 2 ... k X k
为多元线性总体回归函数。
3
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计量经济学模型引入随机扰动项的原因：
反映影响被解释变量的未知因素； 代表数据观测误差； 反映影响被解释变量的个体因素；
• 同时，随着样本容量增加，参数估计量具有一致性。
28
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1、线性性
βˆ (XX)1 XY CY
其中,C=(X’X)-1 X’ 为一仅与X有关的矩阵。
2、无偏性
E(βˆ ) E(( XX)1 XY) E(( XX)1 X(Xβ μ )) β (XX)1 E(Xμ ) β
记残差向量为
可以表示为
^
eY X
e1
e
e2
en
此时，多元线性样本回归模型：
Yi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
可以表示为：
Y Xβˆ e
11
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由上述正规方程组
^^
^
(Yi 0 1 X1i ... k X ki) 0
得多元线性样本回归函数：
^
^
^
^
g(X1, X 2 ,...,X k ) 0 1 X1 ... k X k
^^
^
定义残差： ei Yi (0 1 X1i ... k X ki )
称 Yi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
为多元线性样本回归模型。 5 第5页/共53页
^
j
~
c N( , c ) 2
多元线性回归分析课件优秀课件
根据sy.x1x2…xp大小判断方程优劣时的优点： 一般随着自变量的增加而减少，但当增加 一些无统计学意义的自变量后，剩余标准 差反而增大。
(normality) 4.方差齐性(homogeneity or equal variance)
简称为LINE
PAN.sav数据库是某地29名13岁男童的体重x (kg) 和肺 活量y(L)资料，试建立体重与肺活量的直线回归方程。
SPSS程序：Analyze Regression Linear，打开对 话框，把肺活量y放入应变量栏中，体重x放入自变 量栏中。
2
1.538 15.642
Res idual 2.557
26
.098
T otal 5.634
28
a.Predictors: (Constant), 身 高 , 体 重
b.Dependent Variable: 肺 活 量
Sig. .000a
衡量回归方程的标准
建立回归方程时要求：既要尽可能提高拟合 的精度，又要尽可能使模型简单。 常用的衡量方程“优劣”的标准有：
1、决定系数（R2）； 2、复相关系数R 3、调整决定系数（R2adj）； 4、剩余标准差（sy.x1x2…xp）。 5、赤池信息准则（AIC） 6、Cp统计量
根据R2大小判断方程优劣时的缺点是：变量最多 的方程最好，即使所增加的变量无统计学意义。
根学意据意义R义的2a的 变dj 变 量大量 进小进 入判入方断方程方程，程，优R2劣aRd2j时反adj的而增优减加点少；：。当当无有统统计计学
应用统计学第12章多元线性回归
∴该商品在该市下一年的年需求量的置信度为90% 的预测区间为
( yˆ0 d, yˆ0 d ) = (11.20万台，14.46万台)
15
2. 控制
在多元回归情况下，由于解释变量有多个，若控制
当模型中解释变量很多时，通常会存在较多的不显 著变量，以上步骤就非常繁琐。更为有效的方法是采 用“逐步回归”来求解多元线性回归方程。
9
逐步回归方法简介
逐步回归的基本思想是： 采用一定的评价标准，将解释变量一个一个地逐步 引入回归方程。每引进一个新变量后，都对方程 中的所有变量进行显著性检验，并剔除不显著的 变量，被剔除的变量以后就不再进入回归方程。 采用逐步回归方法最终所得到的回归方程与前述方 法的结果是一样的，但计算量要少得多。 在 SPSS 软件的线性回归功能中就提供了逐步回归 的可选项。
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案例3的控制要求分析
假定下一年度居民家庭的年平均收入估计在 30000-31000元之间，若要以90％概率使该商品在 的年需求量不低于12万台，问应将价格控制在什 么范围内？。 解：此问题仍是单测控制问题，即要控制 X1 的取值
范围，使 P{yˆ d 12} 0.90
其中 d t (N P 1) SE /(N P 1) = t0.1(7)×0.8618 = 1.2194
d t /2(N P 1) SE / (N P 1)
14
案例3的预测分析
预计下一年度该商品的价格水平为1800元，家庭 年平均收入为30000元，求该商品年需求量的置信 度为90%的预测区间。 解：由所得回归方程，可求得
yˆ0 11.167 1.903 1.8 0.1695 30 12.83
《多元线性回归》PPT课件
ˆ 0.7226 0.0003 15674 103 .172 1 ˆ β ˆ 0 . 0003 1 . 35 E 07 39648400 0 . 7770 2
x11 x x 1n x k1 x kn
假设6：回归模型是正确设定的
§3.2
多元线性回归模型的参数估计
一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质 三、样本容量问题
参数估计的任务和方法
1、估计目标：回归系数βj、随机误差项方差б2 2、估计方法：OLS、ML或者MM * OLS：普通最小二乘估计 * ML：最大似然估计
E(X(Y Xβ )0
矩条件
*矩条件和矩估计量*
1、 E(X(Y Xβ ) 0 称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了
原总体回归方程所具有的内在特征。
2、如果随机抽出原总体的一个样本，估计出的样本回归方程：
ˆ 能够近似代表总体回归方程的话，则应成立： ˆ X Y
1 ˆ)0 X (Y Xβ n
第三章
多元线性回归模型
§ 3.1 多元线性回归模型
§ 3.2 多元线性回归模型的参数估计 § 3.3 多元线性回归模型的统计检验 § 3.4 多元线性回归模型的预测 § 3.5 可线性化的多元非线性回归模型 § 3.6 受约束回归
§3.1
多元线性回归模型
一、模型形式 二、基本假定
一、模型形式
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i ... k X ki i 0 j X ji i
#参数估计的实例
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，
计量经济学多元线性回归ppt课件
Beta系数
有时，我们会看见“规范化系数〞或“Beta系数 〞，这些称号有着特殊的意义
运用Beta系数是由于有时我们把y和各个x交换为 规范化版本——也就是，减去均值后除以规范离 差。
系数反映对于一单位x的规范离差的y的规范离差。
Beta系数
样本回归方程的标准形式是
多元回归分析 Multiple Regression Analysis
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
4.进一步的问题
本章大纲
数据的测度单位换算对OLS统计量的影响 对函数方式的进一步讨论 拟合优度和回归元选择的进一步讨论 预测和残差分析
课堂提纲PacksFa NhomakorabeaincIntercept
Observations R-squared SSR SER
Table 6.1
(1) bwght
(2)bwghtlbs
-0.4634 (0.0916) --
0.0927 (0.0292) 116.794 (1.049) 8 0.0298 557,485.51 20.063
定义：
y i y 2 to su to a s m flqu Sa S总 rT es平 y ˆi y 2expslu o am sifq nu e Sa d S r解 E es释
u ˆi2 ressiu d om su fqau S la S r残 R es 差平
SST= SSE + SSR
现 在 ， bˆ j 与 ˆ j的 关 系 如 何 ？
Beta系数
可以看到
yˆi
ˆ y
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第12章多元线性回归
多元回归模型与回归方程
多元回归模型
(multiple regression model)
1.一个因变量与两个及两个以上自变量的回归
2.描述因变量y 如何依赖于自变量x1，x2，…，x k和误差项ε的方程，称为多
元回归模型
3.涉及k 个自变量的多元回归模型可表示为
多元回归模型
(基本假定)
1.误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0
2.对于自变量x1，x2，…，x k的所有值，ε的方差σ2都相同
3.误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，即ε~N(0,σ2)，且相互独立
多元回归方程
(multiple regression equation)
1.描述因变量y 的平均值或期望值如何依赖于自变量x1，x2，…，x k的方程
2.多元线性回归方程的形式为
E( y ) = β0+ β1 x1+ β2 x2+…+ βk x k
二元回归方程的直观解释
估计的多元回归方程
估计的多元回归的方程
(estimated multiple regression equation)
1.用样本统计量估计回归方程中的参数
时得到的方程
2.由最小二乘法求得
3.一般形式为
参数的最小二乘估计
参数的最小二乘法
参数的最小二乘法
(例题分析)
多重判定系数
多重判定系数
(multiple coefficient of determination)
1.回归平方和占总平方和的比例
2.计算公式为
3.因变量取值的变差中，能被估计的多元回归方程所解释的比例
修正多重判定系数
(adjusted multiple coefficient of determination)
1.用样本量n和自变量的个数k去修正R2得到
2.计算公式为
3.避免增加自变量而高估R2
4.意义与R2类似
5.数值小于R2
估计标准误差S y
1.对误差项ε的标准差σ的一个估计值
2.衡量多元回归方程的拟合优度
3.计算公式为
线性关系检验
线性关系检验
1.检验因变量与所有自变量之间的线性关系是否显著
2.也被称为总体的显著性检验
3.检验方法是将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F 检验来分析二者之
间的差别是否显著
如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系
如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系
线性关系检验
1.提出假设
H0：β1=β2=⋯=βk=0 线性关系不显著
H1：β1，β2，⋯βk至少有一个不等于0
回归系数检验和推断
回归系数的检验
1.线性关系检验通过后，对各个回归系数有选择地进行一次或多次检验
2.究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在建立模型之前作出决定
3.对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多的第Ⅰ类错误(弃真错误)
4.对每一个自变量都要单独进行检验
5.应用t 检验统计量
回归系数的检验
(步骤)
1.提出假设
H0：b i = 0 (自变量x i与因变量y 没有线性关系)
H1：b i≠ 0 (自变量x i与因变量y有线性关系)
1.计算检验的统计量t
回归系数的推断
(置信区间)
回归系数在(1-α)%置信水平下的置信区间为
多重共线性及其产生的问题
多重共线性
(multicollinearity)
1.回归模型中两个或两个以上的自变量彼此相关
2.多重共线性带来的问题有
可能会使回归的结果造成混乱，甚至会把分析引入歧途
可能对参数估计值的正负号产生影响，特别是各回归系数的正负号有可能同预期的正负号相反
多重共线性的识别
多重共线性的识别
1.检测多重共线性的最简单的一种办法是计算模型中各对自变量之间的相关系数，并
对各相关系数进行显著性检验
2.若有一个或多个相关系数显著，就表示模型中所用的自变量之间相关，存在着多重
共线性
多重共线性的识别
如果出现下列情况，暗示存在多重共线性
模型中各对自变量之间显著相关
当模型的线性关系检验(F检验)显著时，几乎所有回归系数的t检验却不显著
回归系数的正负号与预期的相反
容忍度(tolerance)与方差扩大因子(variance inflation factor，VIF)。
某个自变量的容忍度等于1减去该自变量为因变量而其他k-1个自变量为预测变量时所得到的线性回归模型的判定系数，即1-R i2。
容忍度越小，多重共线性越严重。
通常认为容忍度小于0.1时，存在严重的多重共线性
方差扩大因子等于容忍度的倒数，即。
显然，VIF越大多重共线性就越严重。
一般认为VIF大于10则认为存在严重的多重共线性。
多重共线性
(例题分析)
【例】判别各自变量之间是否存在多重共线性
多重共线性
(例题分析)
【例】判别各自变量之间是否存在多重共线性
多重共线性
(例题分析)
1.tα/2(25-2)=
2.069，所有统计量t >tα/2(25-2)=2.069，所以均拒绝原假设，说明这4个
自变量两两之间都有显著的相关关系
2.由表Excel输出的结果可知，回归模型的线性关系显著(Significance-F＝
1.03539E-06<α=0.05)。
而回归系数检验时却有3个没有通过t检验(P-Value=0.074935，
0.862853，0.067030>α=0.05) 。
这也暗示了模型中存在多重共线性
3.固定资产投资额的回归系数为负号(-0.029193) ，与预期的不一致
多重共线性问题的处理
多重共线性
(问题的处理)
1.将一个或多个相关的自变量从模型中剔除，使保留的自变量尽可能不相关
2.如果要在模型中保留所有的自变量，则应
避免根据t 统计量对单个参数进行检验
对因变量值的推断(估计或预测)的限定在自变量样本值的范围内
提示
1.在建立多元线性回归模型时，不要试图引入更多的自变量，除非确实有必要
2.在社会科学的研究中，由于所使用的大多数数据都是非试验性质的，因此，在某些
情况下，得到的结果往往并不令人满意，但这不一定是选择的模型不合适，而是数据的质量不好，或者是由于引入的自变量不合适
用SPSS求置信区间和预测区间
置信区间和预测区间
(例题分析)
变量选择过程
1.在建立回归模型时，对自变量进行筛选
2.选择自变量的原则是对统计量进行显著性检验
将一个或一个以上的自变量引入到回归模型中时，是否使得残差平方和(SSE)有显著地减少。
如果增加一个自变量使SSE的减少是显著的，则说明有必要将这个自变量引入回归模型，否则，就没有必要将这个自变量引入回归模型
确定引入自变量是否使SSE有显著减少的方法，就是使用F统计量的值作为一个标准，以此来确定是在模型中增加一个自变量，还是从模型中剔除一个自变量
1.变量选择的方法主要有：向前选择、向后剔除、逐步回归、最优子集等
向前选择
(forward selection)
1.从模型中没有自变量开始
2.对k个自变量分别拟合对因变量的一元线性回归模型，共有k个，然后找出F统计
量的值最高的模型及其自变量，并将其首先引入模型
3.分别拟合引入模型外的k-1个自变量的线性回归模型
4.如此反复进行，直至模型外的自变量均无统计显著性为止
向后剔除
(backward elimination)
1.先对因变量拟合包括所有k个自变量的回归模型。
然后考察p(p<k)个去掉一个自变
量的模型(这些模型中每一个都有的k-1个自变量)，使模型的SSE值减小最少的自变量被挑选出来并从模型中剔除
2.考察p-1个再去掉一个自变量的模型(这些模型中在每一个都有k-2个的自变量)，使
模型的SSE值减小最少的自变量被挑选出来并从模型中剔除
3.如此反复进行，一直将自变量从模型中剔除，直至剔除一个自变量不会使SSE显著
减小为止
逐步回归
(stepwise regression)
1.将向前选择和向后剔除两种方法结合起来筛选自变量
2.在增加了一个自变量后，它会对模型中所有的变量进行考察，看看有没有可能剔除
某个自变量。
如果在增加了一个自变量后，前面增加的某个自变量对模型的贡献变得不显著，这个变量就会被剔除
3.按照方法不停地增加变量并考虑剔除以前增加的变量的可能性，直至增加变量已经
不能导致SSE显著减少
4.在前面步骤中增加的自变量在后面的步骤中有可能被剔除，而在前面步骤中剔除的
自变量在后面的步骤中也可能重新进入到模型中。