医学统计学多元线性回归分析
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医学统计学 多重线性回归分析
SS回归
检验统计量： F
MS回归 MS残差
回归 残差
SS残差
SS回归 SS残差 n2
查F界值表（P468），确定单侧临界值Fa(v回归, v残差)，
求概率值 P，下结论
检验过程：
1. 建立假设，确定检验水准 H0 ： β1=β2=β3=…=βi=0 ； H1 ：至少有一个 βi ≠ 0。
之间的线性相关程度，即Y 和该组自变量的密切程度。
SS回归 SS总
本题：R
1773 .343 0.8551 2425 .301
3. 调整确定系数（adjust coefficient of determination, Rad2）
R
2 ad
p 1 R R n p 1
2 2
数模： Y X ， X ，...，X 0 1 X 1 2 X 2 ... p X p
1 2 n
β0：截距参数，是常数项。 βi：变量Xj的总体偏回归系数(partial regression coefficient)
表示在其它自变量固定不变的情况下，Xj每增加或减少 一个计量单位，反应变量Y的平均变化 βi 个单位，或说所 引起应变量Y的平均改变量为βi个单位。
由表13-3可以看出，BMI、病程和空腹血糖对脂联素的 影响无统计学意义，P ＞ 0.05，而瘦素的影响有统计学意 义P＜ 0.05。
回归方程的解释： ——这四个因素对糖尿病患者体内脂联素水平的 影响有多大？
1. 确定系数/决定系数
（coefficient of determination ，R2 ）
ˆ2 SS残差： Y Y
总变异中无法用X1、 反应自变量X以外因素对Y X2…等和Y的回归关 的变异的影响。表示考虑 （残差平方和） 系解释的那部分变异 回归之后，Y的随机误差。
检验统计量： F
MS回归 MS残差
回归 残差
SS残差
SS回归 SS残差 n2
查F界值表（P468），确定单侧临界值Fa(v回归, v残差)，
求概率值 P，下结论
检验过程：
1. 建立假设，确定检验水准 H0 ： β1=β2=β3=…=βi=0 ； H1 ：至少有一个 βi ≠ 0。
之间的线性相关程度，即Y 和该组自变量的密切程度。
SS回归 SS总
本题：R
1773 .343 0.8551 2425 .301
3. 调整确定系数（adjust coefficient of determination, Rad2）
R
2 ad
p 1 R R n p 1
2 2
数模： Y X ， X ，...，X 0 1 X 1 2 X 2 ... p X p
1 2 n
β0：截距参数，是常数项。 βi：变量Xj的总体偏回归系数(partial regression coefficient)
表示在其它自变量固定不变的情况下，Xj每增加或减少 一个计量单位，反应变量Y的平均变化 βi 个单位，或说所 引起应变量Y的平均改变量为βi个单位。
由表13-3可以看出，BMI、病程和空腹血糖对脂联素的 影响无统计学意义，P ＞ 0.05，而瘦素的影响有统计学意 义P＜ 0.05。
回归方程的解释： ——这四个因素对糖尿病患者体内脂联素水平的 影响有多大？
1. 确定系数/决定系数
（coefficient of determination ，R2 ）
ˆ2 SS残差： Y Y
总变异中无法用X1、 反应自变量X以外因素对Y X2…等和Y的回归关 的变异的影响。表示考虑 （残差平方和） 系解释的那部分变异 回归之后，Y的随机误差。
医学统计学第十五章多元线性回归分析
预测和解释性分析
预测
利用多元线性回归模型对新的自变量值进行预测，得到因变量的预测值。
解释
通过系数估计值，解释自变量对因变量的影响大小和方向。
4 正态分布
观测值和误差项服从正态分布。
参数估计方法
1
最小二乘法
找到使得预测值和实际观测值之间残差平方和最小的回归系数。
2
变量选择
通过逐步回归或变量筛选方法选择最重要的自变量。
3
解释系数
计算变量对因变量的影响的幅度和方向。
显著性检验
回归系数 自变量1 自变量2
标准误差 0 .2 3 4 0 .3 2 1
医学统计学第十五章多元 线性回归分析
多元线性回归分析是一种强大的统计方法，用于探究多个自变量对因变量的 影响。通过在统计模型中引入多个自变量，我们可以更全面地解释现象和预 测结果。
概念和原理
概念
多元线性回归分析是一种统计方法，用于 建立多个自变量和一个因变量之间的关系 模型。
原理
通过最小二乘法估计回归系数，我们可以 量化自变量对因变量的影响，并进行统计 推断。
建立方法
数据收集
收集包括自变量和因变量的 数据，确保数据质量和有效 性。
模型建立
模型验证
选择适当的自变量和建模方 法来构建多元线性回归模型。
利用合适的统计检验和拟合 优度指标来评估模型的质量。
假设条件
1 线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系。
3 等方差性
模型的残差具有相同的方差。
2 独立性
自变量之间相互独立，没有明显的多重 共线性。
t值 2 .3 4 5 3 .4 5 6
根据p值和显著性水平，判断自变量的影响是否具有统计意义。
《医学统计学》之多元(重)线性回归
多元(重)线性回归模型的假设
1 线性关系
假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以用自变量的线性组合来表示。
2 独立性
假设误差项之间相互独立，即每个观测值的误差项不受其他观测值的影响。
3 常数方差
假设误差项具有常数方差，即各个观测值的误差方差相同。
多元(重)线性回归模型的估计方法
最小二乘法
多元(重)线性回归模型的模型选择方法
前向选择法
从不包含自变量的空模型开 始，逐步添加自变量，选择 最佳的组合。
后向消除法
从包含所有自变量的全模型 开始，逐步删除自变量，选 择最简单且最有效的模型。
逐步回归法
结合前向选择法和后向消除 法，逐步调整自变量，找到 最优的模型。
多元(重)线性回归模型的实际应用
医学研究
用于分析多个影响因素对疾病发生、病程进展和治 疗效果的影响。
市场分析
用于预测市场需求和销售量，并确定最佳的市场推 广策略。
财务预测
社会科学
用于预测企业的财务状况，并制定相应的经营决策。
用于研究社会现象和群体行为，解释和预测社会现 象的变化。
通过方差膨胀因子等指标，判断自变量之间是否存在高度相关性，以避免估计结果的不 准确性。
多元(重)线性回归模型的模型检验
1
残差分析
通过观察残差的分布和模式，检验回归模型是否符合基本假设。
2
拟合优度检验
通过比较拟合优度指标（如决定系数R²）和假设分布，评估回归模型的拟合程度。
3
异常值检验
通过检测异常值对回归分析结果的影响，判断数据中是否存在异常观测值。
《医学统计学》之多元 (重)线性回归
在医学统计学中，多元(重)线性回归是一种强大的数据分析方法，可用于探索 和建立多个自变量与因变量之间的关系。
医学统计学：多元线性回归
12.60
糖化血 血糖
红蛋白(%) (mmol/L)
X4
Y
8.2
11.2
6.9
8.8
10.8
12.3
8.3
11.6
7.5
13.4
13.6
18.3
8.5
11.1
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
y
11.926
2.9257
27
x1
5.8126
1.59338
x 量
j
偏回归平方和用SS回(Xj)表示，其值愈大说明相应的自变 量愈重要。需要注意的是：一般情况下，m-1个自变量对 y的回归平方和由重新建立的新方程得到，而不是简单地 把bjxj从有优个自变量的方程中剔出后算得。
x j 的偏回归平方和检验
Fj
ss回（X j ) /1 ss残 （/ n m 1)
一、全局择优法
➢ 全局择优法是对自变量各种不同的组合所 建立的回归方程进行比较，进而从全部组 合中挑出一个“最优”的回归方程。下面 给出两种具体的选择方法。
Model
1
(Constant)
B
Std. Error
5.943
2.829
x1
.142
.366
x2
.351
.204
x3
-.271
.121
x4
.638
.243
a. Dependent Variable: y
Standardized C oeffi ci ents
Beta
.078 .309 -.339 .398
Chang e Statistics
糖化血 血糖
红蛋白(%) (mmol/L)
X4
Y
8.2
11.2
6.9
8.8
10.8
12.3
8.3
11.6
7.5
13.4
13.6
18.3
8.5
11.1
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
y
11.926
2.9257
27
x1
5.8126
1.59338
x 量
j
偏回归平方和用SS回(Xj)表示，其值愈大说明相应的自变 量愈重要。需要注意的是：一般情况下，m-1个自变量对 y的回归平方和由重新建立的新方程得到，而不是简单地 把bjxj从有优个自变量的方程中剔出后算得。
x j 的偏回归平方和检验
Fj
ss回（X j ) /1 ss残 （/ n m 1)
一、全局择优法
➢ 全局择优法是对自变量各种不同的组合所 建立的回归方程进行比较，进而从全部组 合中挑出一个“最优”的回归方程。下面 给出两种具体的选择方法。
Model
1
(Constant)
B
Std. Error
5.943
2.829
x1
.142
.366
x2
.351
.204
x3
-.271
.121
x4
.638
.243
a. Dependent Variable: y
Standardized C oeffi ci ents
Beta
.078 .309 -.339 .398
Chang e Statistics
医学统计学第十五章多元线性回归分析精品文档
8.2 6.9 10.8 8.3 7.5 13.6 8.5 11.5 7.9 7.1 8.7 7.8 9.9 6.9 10.5 8.0 10.3 7.1 8.9 9.9 8.0 11.3 12.3 9.8 10.5 6.4 9.6
血糖
(mmol/L)
Y
11.2 8.8 12.3 11.6 13.4 18.3 11.1 12.1 9.6 8.4 9.3 10.6 8.4 9.6 10.9 10.1 14.8 9.1 10.8 10.2 13.6 14.9 16.0 13.2 20.0 13.3 10.4
2. 决定系数R 2：
R2 SS回 1 SS残
SS总
SS总
0 R 2 1 ， 说 明 自 变 量 X 1, X 2 , , X m 能 够 解 释 Y 变 化 的 百 分 比 ， 其 值 愈 接 近 于 1， 说 明
模型对数据的拟合程度愈好。本例
R 2 133 .7107 0 .6008 222 Nhomakorabea5519
Xn2
… … … … …
Xm
X1m X2m ┇
Xnm
条件
Y
Y1 Y2 ┇
Yn
(1)Y 与X1,X2,,Xm之间具有线性关系。 (2)各例观测值Yi(i1,2,,n)相互独立。 (3)残差e服从均数为0、 方差为2的正态分布， 它等价于对任意
一组自变量X1,X2,,Xm值，应变量Y具有相同方差，并且服从正态
一个应变量的变化可能受到其它多个自变量 的影响，如糖尿病人的血糖变化可能受胰岛 素、糖化血红蛋白、血清总胆固醇、甘油三 2019/10/13 脂等多种生化指医标学统的计学影响。
第一节 多元线性回归
2019/10/13
血糖
(mmol/L)
Y
11.2 8.8 12.3 11.6 13.4 18.3 11.1 12.1 9.6 8.4 9.3 10.6 8.4 9.6 10.9 10.1 14.8 9.1 10.8 10.2 13.6 14.9 16.0 13.2 20.0 13.3 10.4
2. 决定系数R 2：
R2 SS回 1 SS残
SS总
SS总
0 R 2 1 ， 说 明 自 变 量 X 1, X 2 , , X m 能 够 解 释 Y 变 化 的 百 分 比 ， 其 值 愈 接 近 于 1， 说 明
模型对数据的拟合程度愈好。本例
R 2 133 .7107 0 .6008 222 Nhomakorabea5519
Xn2
… … … … …
Xm
X1m X2m ┇
Xnm
条件
Y
Y1 Y2 ┇
Yn
(1)Y 与X1,X2,,Xm之间具有线性关系。 (2)各例观测值Yi(i1,2,,n)相互独立。 (3)残差e服从均数为0、 方差为2的正态分布， 它等价于对任意
一组自变量X1,X2,,Xm值，应变量Y具有相同方差，并且服从正态
一个应变量的变化可能受到其它多个自变量 的影响，如糖尿病人的血糖变化可能受胰岛 素、糖化血红蛋白、血清总胆固醇、甘油三 2019/10/13 脂等多种生化指医标学统的计学影响。
第一节 多元线性回归
2019/10/13
《医学统计学》之多元(重)线性回归
《医学统计学》之多元 (重)线性回归
在本课程中，我们将深入研究医学统计学中的多元(重)线性回归分析。掌握回 归模型的基础知识，并学习如何评估模型、诊断回归方程以及拟合策略。
模块一：回归分析基础知识
了解回归分析的基本原理和应用场景，掌握回归方程的建立和参数估计的方 法。
模块二：多元线性回归模型
学习多元线性回归模型的概念、假设条件和模型参数的估计方法。
模块七：应用案例与实战经验
通过真实的医学案例和实战经验，加深对多元(重)线性回归的理解，并了解统计概念，包括方差膨胀因子、共线性检验和异常值检测。
模块四：模型评估与解释
学习如何评估回归模型的拟合优度和预测精度，并解释模型中的系数含义。
模块五：回归诊断
掌握回归诊断的基本方法，包括残差分析、离群值检测和共线性诊断。
模块六：回归模型拟合策略
学习选择合适的自变量、建立最佳模型和验证模型的方法，以及防止过拟合和欠拟合。
在本课程中，我们将深入研究医学统计学中的多元(重)线性回归分析。掌握回 归模型的基础知识，并学习如何评估模型、诊断回归方程以及拟合策略。
模块一：回归分析基础知识
了解回归分析的基本原理和应用场景，掌握回归方程的建立和参数估计的方 法。
模块二：多元线性回归模型
学习多元线性回归模型的概念、假设条件和模型参数的估计方法。
模块七：应用案例与实战经验
通过真实的医学案例和实战经验，加深对多元(重)线性回归的理解，并了解统计概念，包括方差膨胀因子、共线性检验和异常值检测。
模块四：模型评估与解释
学习如何评估回归模型的拟合优度和预测精度，并解释模型中的系数含义。
模块五：回归诊断
掌握回归诊断的基本方法，包括残差分析、离群值检测和共线性诊断。
模块六：回归模型拟合策略
学习选择合适的自变量、建立最佳模型和验证模型的方法，以及防止过拟合和欠拟合。
医学统计学第十五章 多元线性回归分析
2019/2/4
第一节
多元线性回归
2019/2/4
医学统计学
一、多元线性回归模型
• • • • 变量：应变量 1 个，自变量m 个，共 m+1 个。 样本含量：n 数据格式见表15-1 回归模型一般形式：
Y X X X e 0 1 1 2 2 m m
Éɱ í ÉÉÉÉɱ ÉÉ Y ÉÉÉ 医学统计学
表15-1 多元回归分析数据格式
例 号 1 2 ┇ n X 1 X 1 1 X 2 1 ┇ X n 1 X 2 X 1 2 X 2 2 ┇ X n 2 … … … … … X m X 1 m X 2 m ┇ X n m Y Y 1 Y 2 ┇ Y n
条件
X ,X , ,X Y与 ( 1 ) 间 具 有 线 性 关 系 。 1 2 m之
糖化血 红蛋白(%) X4
8.2 6.9 10.8 8.3 7.5 13.6 8.5 11.5 7.9 7.1 8.7 7.8 9.9 6.9 10.5 8.0 10.3 7.1 8.9 9.9 8.0 11.3 12.3 9.8 10.5 6.4 9.6
血糖 (mmol/L) Y
11.2 8.8 12.3 11.6 13.4 18.3 11.1 12.1 9.6 8.4 9.3 10.6 8.4 9.6 10.9 10.1 14.8 9.1 10.8 10.2 13.6 14.9 16.0 13.2 20.0 13.3 10.4
X X , i,j = 1 , 2 , , m
i j
l ( X X ) ( X X ) X i j i i j j iX j
第十五章 多元线性回归分析
(Multiple Linear Regression)
多重回归分析-医学统计学
29
3）Pe和Ps的确定
1 Pe, Ps 需要多次选取。 2 常取0.5, 0.4,0.3, 0.2, 0.1, 0.05. 3 剔除变量的界值Ps要大于选进变量的 界值Pe
30
四、衡量回归方程的标准
采用不同的剔除变量方法，选入不同剔 除变量的标准,会得到不同的回归方程.我们 要根据实际情况，对每个变量的单独作用、 变量间的交互作用作出恰当的评价。一般 来说，当回归方程中自变量个数增加，或 多或少总能减少剩余误差，提高模型的拟 合精度，但势必导致模型的复杂性。
25
逐步回归法（stepwise selection)
将前进和后退两种方法结合起来,既 考虑引入变量又考虑剔除变量。
有两个界值，SLE，SLS 调试法：SLE,SLE常取0.5，0.1， 0.05。一般实际用时，应多次选取 调整。
注意SLE和S想
事先给定挑选自变量进入方程的P界值 （缺省值 P=0.1 ），开始方程中没有自变 量，然后，按自变量对 y 的贡献大小由大 到小依次挑选进入方程，每选入一个变量， 都要对已在模型中的变量进行检验，对大 于剔除标准的变量要逐一剔除。
8
2）多重回归方程的建立
1) 求回归系数 常用最小二乘估计的方法求解待定系数 b0 和偏回归系数b1、b2……bp。
9
最小二乘原理
2 ˆ Q ( y i yi ) i 1 n
最小
则：
1 ˆ b j j ( ) Y
2）回归方程的检验 由样本计算得到的回归方程是总体回归 的估计。多重回归方程有没有意义需要作 假设检验。 采用的是方差分析。
试分析汽车流量，气温，空气湿度，风速 与大气污染物一氧化氮NO浓度关系。
3）Pe和Ps的确定
1 Pe, Ps 需要多次选取。 2 常取0.5, 0.4,0.3, 0.2, 0.1, 0.05. 3 剔除变量的界值Ps要大于选进变量的 界值Pe
30
四、衡量回归方程的标准
采用不同的剔除变量方法，选入不同剔 除变量的标准,会得到不同的回归方程.我们 要根据实际情况，对每个变量的单独作用、 变量间的交互作用作出恰当的评价。一般 来说，当回归方程中自变量个数增加，或 多或少总能减少剩余误差，提高模型的拟 合精度，但势必导致模型的复杂性。
25
逐步回归法（stepwise selection)
将前进和后退两种方法结合起来,既 考虑引入变量又考虑剔除变量。
有两个界值，SLE，SLS 调试法：SLE,SLE常取0.5，0.1， 0.05。一般实际用时，应多次选取 调整。
注意SLE和S想
事先给定挑选自变量进入方程的P界值 （缺省值 P=0.1 ），开始方程中没有自变 量，然后，按自变量对 y 的贡献大小由大 到小依次挑选进入方程，每选入一个变量， 都要对已在模型中的变量进行检验，对大 于剔除标准的变量要逐一剔除。
8
2）多重回归方程的建立
1) 求回归系数 常用最小二乘估计的方法求解待定系数 b0 和偏回归系数b1、b2……bp。
9
最小二乘原理
2 ˆ Q ( y i yi ) i 1 n
最小
则：
1 ˆ b j j ( ) Y
2）回归方程的检验 由样本计算得到的回归方程是总体回归 的估计。多重回归方程有没有意义需要作 假设检验。 采用的是方差分析。
试分析汽车流量，气温，空气湿度，风速 与大气污染物一氧化氮NO浓度关系。
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2分020布/3/2。9
医学统计学
(1)求偏回归系数b0 ,b1,b2 , ,bm
建立回归方程一Fra bibliotek般 步Yˆ b0 b1X 1b2 X 2 bm X m
骤
2020/3/29
(2)检验并评价回归方程 及各自变量的作用大小
医学统计学
二、多元线性回归方程的建立
例15-1 27名糖尿病人的血清总胆固
2020/3/29 26
27
总胆固醇
（mmol/L）
X1
5.68 3.79 6.02 4.85 4.60 6.05 4.90 7.08 3.85 4.65 4.59 4.29 7.97 6.19 6.13 5.71 6.40 6.06 5.09 6.13 5.78 5.43 6.50 7.98 11.54 5.84 3.84
甘油三脂
(mmol/L)
X2
1.90 1.64 3.56 1.07 2.32 0.64 8.50 3.00 2.11 0.63 1.97 1.97 1.93 1.18 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 10.89
0医.92学统计学
1.20
0.2706X3
0.6382X 4
三、假设检验及其评价
（一）对回归方程
1. 方差分析法：
H0 : 1 2 m 0 ， H1 : 各（j j=1,2,,m)不全为 0，
0.05
SS总 SS回 SS残
F
SS回 / m SS残 （/ n m
1)
MS回 MS 残
2020/3/29
F ~ F(m,n m 1)
Q (Y Yˆ)2 [Y (b0 b1 X 1b2 X 2 bm X m )]2
求偏导数
原理
最小二乘法
l11b1 l12b2 l1mbm l1Y l21b1 l22b2 l2mbm l2Y lm1b1 lm2b2 lmmbm lmY
b0 Y (b1X 1b2 X 2 bm X m )
糖化血
红蛋白(%)
X4
8.2 6.9 10.8 8.3 7.5 13.6 8.5 11.5 7.9 7.1 8.7 7.8 9.9 6.9 10.5 8.0 10.3 7.1 8.9 9.9 8.0 11.3 12.3 9.8 10.5 6.4 9.6
血糖
(mmol/L)
Y
11.2 8.8 12.3 11.6 13.4 18.3 11.1 12.1 9.6 8.4 9.3 10.6 8.4 9.6 10.9 10.1 14.8 9.1 10.8 10.2 13.6 14.9 16.0 13.2 20.0 13.3 10.4
醇、甘油三脂、空腹胰岛素、糖化血红 蛋白、空腹血糖的测量值列于表15-2中， 试建立血糖与其它几项指标关系的多元 线性回归方程。
2020/3/29
医学统计学
表15-2 27名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果
序号 i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
第一节 多元线性回归
2020/3/29
医学统计学
一、多元线性回归模型
• 变量：应变量 1 个，自变量m 个，共 m+1 个。 • 样本含量：n • 数据格式见表15-1 • 回归模型一般形式：
Y 0 1 X 12 X 2 m X m e
上式表示数据中应变量 Y 可以近似地表示为自变量
X1, X 2, , X m 的线性函数。
Y1
X22
…
X2m
Y2
┇
…
┇
┇
Xn2
…
Xnm
Yn
条件
(1)Y 与 X1, X 2 , , X m 之间具有线性关系。 (2)各例观测值Yi (i 1,2, , n) 相互独立。 (3)残差 e 服从均数为 0、方差为 2 的正态分布，它等价于对任意
一组自变量 X1, X 2 , , X m 值，应变量 Y 具有相同方差，并且服从正态
0 为常数项， 1 ,2 , ,m 为偏回归系数，表示在其它自
变量保持不变时，
X
增加或减少一个单位时
j
Y
的平均变
化量，e 是去除 m 个自变量对 Y 影响后的随机误差（残差）。
2020/3/29
医学统计学
表15-1 多元回归分析数据格式
例号
X1
1
X11
2
X21
┇
┇
n
Xn1
X2
…
Xm
Y
X12
…
X1m
胰岛素
(μU/ml)
X3
4.53 7.32 6.95 5.88 4.05 1.42 12.60 6.75 16.28 6.59 3.61 6.61 7.57 1.42 10.35 8.53 4.53 12.79 2.53 5.28 2.96 4.31 3.47 3.37 1.20 8.61 6.45
▪ 目的：作出以多个自变量估计应变量的多元
线性回归方程。
▪ 资料：应变量为定量指标；自变量全部或大
部分为定量指标，若有少量定性或等级指标 需作转换。
▪ 用途：解释和预报。 ▪ 意义：由于事物间的联系常常是多方面的，
一个应变量的变化可能受到其它多个自变量 的影响，如糖尿病人的血糖变化可能受胰岛 素、糖化血红蛋白、血清总胆固醇、甘油三 2020/3/29 脂等多种生化指医标学统的计学影响。
• Multiple linear regression • Choice of independent variable • Application
2020/3/29
医学统计学
讲述内容
第一节 多元线性回归 第二节 自变量选择方法 第三节 多元线性回归的应用
及其注意事项
2020/3/29
医学统计学
医学统计学
表15-3 多元线性回归方差分析表 ( 0.05)
变异来源 自由度 SS
MS
F
P
总变异
n-1
SS 总
回归
m
SS 回
SS 回 /m
MS 回/MS 残
残差
n-m-1 SS 残 SS 残 /(n-m-1)
表15-4 例15-1的方差分析表 ( 0.05)
lij
( Xi Xi )( X j X j )
XiX j
Xi X j , i , j=1,2, ,m n
ljY
( X j X j )(Y Y )
X jY
Xj
Y , j 1, 2L , m
n
Yˆ
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5.9433
0.1424X医1 学统0计.3学515X 2