医学统计学 多元线性回归 多因素统计分析方法
医学统计学多元线性回归(研)
33名8岁正常男童生长发育指标的实测值
自变量
序
号
X1
X2
X3
（kg） （cm） （cm）
1 20.50 2 27.50 3 21.00 4 23.00 5 20.00 6 18.50 7 25.50 8 20.00 9 19.50 10 20.00 11 24.00 12 20.50 13 25.50 14 22.00 15 21.50 16 23.50 17 30.00
8.80 10.30
9.70 10.40
8.30 10.00 10.40 10.40
7.90 9.60 10.00 9.20 9.10 9.30 9.40 10.10 10.20
18.40 21.60 19.80 21.30 18.90 19.30 20.60 21.50 18.60 20.20 21.00 20.50 20.70 18.50 19.70 20.40 21.90
我们介绍了直线回归与相关分析。在那里，我们作 了这样的假定：对于自变量的每一个值，有
y x ~ N (0, 2 )
其中，x为非随机变量，ε是随机误差，并称
yˆ a bx
为y关于x的回归直线方程，a、b分别是α、β的最小二
乘估计量。
当考虑一个应变量受多个因素影响时，则需将 直线回归分析方法推广到多个自变量的情形。下面， 我们来考虑一个应变量Y 与多个自变量X1，X2 ，…… ， Xm 之间的线性回归问题——多元线性回归。
在医学、生物学中，许多现象的发生、发展和
变化是多种因素在一定条件下相互影响、相互制 约产生的共同结果。例如，影响高血压的因素很 多，如年龄、性别、精神紧张、劳动强度、吸烟 状况、家族史等。在影响血压高低的众多因素中 ，哪些是主要因素，各因素的作用大小等，是我 们关心的问题。回归分析就是研究各变量间在数 量上相互关系的一种统计方法。
统计学中的回归分析方法
统计学中的回归分析方法回归分析是统计学中经常被使用的一种方法，它用于研究两个或多个变量之间的关系。
通过回归分析，我们可以预测一个变量如何随着其他变量的变化而变化，或者确定变量之间的因果关系。
在本文中，我将介绍几种常见的回归分析方法，帮助读者更好地理解和应用这一统计学方法。
一、简单线性回归分析简单线性回归分析是回归分析的最基本形式。
它适用于只涉及两个变量的场景，并且假设变量之间的关系可以用一条直线来描述。
在进行简单线性回归分析时，我们需要收集一组观测数据，并使用最小二乘法来拟合直线模型，从而得到最优的回归方程。
通过该方程，我们可以根据自变量的取值预测因变量的值，或者评估自变量对因变量的影响程度。
二、多元线性回归分析多元线性回归分析扩展了简单线性回归模型，允许多个自变量同时对因变量进行解释和预测。
当我们要考察一个因变量与多个自变量之间的复杂关系时，多元线性回归分析是一种有力的工具。
在进行多元线性回归分析时，我们需收集多组观测数据，并建立一个包含多个自变量的回归模型。
通过拟合最优的回归方程，我们可以分析每个自变量对因变量的影响，进一步理解变量之间的关系。
三、逻辑回归分析逻辑回归分析是回归分析的一种特殊形式，用于处理因变量为二元变量（如真与假）时的回归问题。
逻辑回归分析的目标是根据自变量的取值，对因变量的分类进行概率预测。
逻辑回归模型是通过将线性回归模型的输出映射到一个概率区间（通常为0到1）来实现的。
逻辑回归在实际应用中非常广泛，如市场预测、医学诊断等领域。
四、岭回归分析岭回归是一种用于解决多重共线性问题的回归分析方法。
多重共线性指多个自变量之间存在高度相关性的情况，这会导致回归分析结果不稳定。
岭回归通过在最小二乘法的基础上加入一个惩罚项，使得回归系数的估计更加稳定。
岭回归分析的目标是获得一个优化的回归方程，从而在存在多重共线性的情况下提高预测准确度。
五、非线性回归分析在某些情况下，变量之间的关系不是线性的，而是呈现出曲线或其他非线性形态。
医学统计学第十五章多元线性回归分析
预测和解释性分析
预测
利用多元线性回归模型对新的自变量值进行预测，得到因变量的预测值。
解释
通过系数估计值，解释自变量对因变量的影响大小和方向。
4 正态分布
观测值和误差项服从正态分布。
参数估计方法
1
最小二乘法
找到使得预测值和实际观测值之间残差平方和最小的回归系数。
2
变量选择
通过逐步回归或变量筛选方法选择最重要的自变量。
3
解释系数
计算变量对因变量的影响的幅度和方向。
显著性检验
回归系数 自变量1 自变量2
标准误差 0 .2 3 4 0 .3 2 1
医学统计学第十五章多元 线性回归分析
多元线性回归分析是一种强大的统计方法，用于探究多个自变量对因变量的 影响。通过在统计模型中引入多个自变量，我们可以更全面地解释现象和预 测结果。
概念和原理
概念
多元线性回归分析是一种统计方法，用于 建立多个自变量和一个因变量之间的关系 模型。
原理
通过最小二乘法估计回归系数，我们可以 量化自变量对因变量的影响，并进行统计 推断。
建立方法
数据收集
收集包括自变量和因变量的 数据，确保数据质量和有效 性。
模型建立
模型验证
选择适当的自变量和建模方 法来构建多元线性回归模型。
利用合适的统计检验和拟合 优度指标来评估模型的质量。
假设条件
1 线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系。
3 等方差性
模型的残差具有相同的方差。
2 独立性
自变量之间相互独立，没有明显的多重 共线性。
t值 2 .3 4 5 3 .4 5 6
根据p值和显著性水平，判断自变量的影响是否具有统计意义。
《医学统计学》之多元(重)线性回归
多元(重)线性回归模型的假设
1 线性关系
假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以用自变量的线性组合来表示。
2 独立性
假设误差项之间相互独立，即每个观测值的误差项不受其他观测值的影响。
3 常数方差
假设误差项具有常数方差，即各个观测值的误差方差相同。
多元(重)线性回归模型的估计方法
最小二乘法
多元(重)线性回归模型的模型选择方法
前向选择法
从不包含自变量的空模型开 始，逐步添加自变量，选择 最佳的组合。
后向消除法
从包含所有自变量的全模型 开始，逐步删除自变量，选 择最简单且最有效的模型。
逐步回归法
结合前向选择法和后向消除 法，逐步调整自变量，找到 最优的模型。
多元(重)线性回归模型的实际应用
医学研究
用于分析多个影响因素对疾病发生、病程进展和治 疗效果的影响。
市场分析
用于预测市场需求和销售量，并确定最佳的市场推 广策略。
财务预测
社会科学
用于预测企业的财务状况，并制定相应的经营决策。
用于研究社会现象和群体行为，解释和预测社会现 象的变化。
通过方差膨胀因子等指标，判断自变量之间是否存在高度相关性，以避免估计结果的不 准确性。
多元(重)线性回归模型的模型检验
1
残差分析
通过观察残差的分布和模式，检验回归模型是否符合基本假设。
2
拟合优度检验
通过比较拟合优度指标（如决定系数R²）和假设分布，评估回归模型的拟合程度。
3
异常值检验
通过检测异常值对回归分析结果的影响，判断数据中是否存在异常观测值。
《医学统计学》之多元 (重)线性回归
在医学统计学中，多元(重)线性回归是一种强大的数据分析方法，可用于探索 和建立多个自变量与因变量之间的关系。
多元回归分析方法
多元回归分析方法一、简介多元回归分析是一种经济学和统计学中常用的分析方法，它可以用来研究多个自变量对一个因变量的影响关系。
在实际问题中，我们往往需要考虑多个因素对某个现象的影响，多元回归分析可以帮助我们揭示这种复杂关系。
二、回归模型回归分析基于回归模型，常见的多元回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε，其中Y是因变量，Xi是自变量，βi是对应的回归系数，ε是随机误差项。
回归系数反映了自变量对因变量的影响程度，通过对样本数据进行估计，我们可以得到回归系数的估计值。
三、数据收集与准备在进行多元回归分析之前，我们需要收集和准备相关的数据。
这包括确定因变量和自变量的测量指标，选择合适的样本规模，保证数据的有效性和可靠性。
同时，对于因变量和自变量之间可能存在的非线性关系，我们需要进行适当的变量转换或添加高阶项，以确保模型的拟合程度。
四、回归模型的选择在进行多元回归分析时，我们需要选择合适的回归模型。
这可以通过观察数据的分布情况、变量之间的关系以及领域知识来进行判断。
常见的回归模型包括线性回归、多项式回归和逻辑回归等。
选择合适的模型能够提高分析的准确性和可解释性。
五、模型拟合与评估在得到回归模型的估计值后，我们需要评估模型的拟合程度和预测能力。
常见的评估指标包括均方误差(MSE)、决定系数(R-squared)和F统计量等。
通过这些指标，我们可以判断模型的拟合优度和自变量的显著性，进而确定模型是否可靠以及变量是否具有统计显著性。
六、多重共线性检验多元回归分析中存在一个重要的问题，即多重共线性。
当自变量之间存在强相关关系时，容易导致模型估计结果的不稳定和不可靠。
因此，在进行多元回归分析之前，必须对自变量进行多重共线性的检验。
常用的方法包括方差膨胀因子(VIF)和特征值分解等。
七、模型解释与应用通过对多元回归模型的估计和评估，我们可以得到自变量对因变量的影响程度和方向，并进行合理的解释。
医学统计学 多元线性回归 多因素统计分析方法
病型 男 女
B药物治疗高血压疗效的男女比较
治疗例数
有效例数
有效率/%
50
36
72.0
50
44
88.0
X2=4.000, P=0.046
两种药物治疗高血压的疗效比较
药物 A药 B药
治疗例数 100（轻70，重30） 100（轻35，重65）
有效例数 95 80
有效率/% 95.0 86.0
⑴拆分两两比较（轻重分别比较）
b2
-.088 -.088
The independent variable is x1.
回归方程为： yˆ 18.662 1.633x
b3 .000
直线回归分析步骤小结
1、分析是否符合LINE条件： ⑴绘制散点图；⑵学生化残差图；⑶P-P图。 2、求回归方程：全模型（所有的回归方程都求） 3、回归效果判断：（哪种回归方程最好？确定 系数最大、最熟悉、最简单的模型） 4、结论：有无回归关系，列出回归方程。
1、直线性：x和y必需呈直线趋势(Linear)，且Y必 须是随机变量，X可以是计量、计数、等级资料。
2、独立性：各观测点相互独立，即任意两个观测 点的残差的协方差为0。(Independent) 3、正态性：残差服从正态分布。（Normality） 4、方差齐性：残差的大小不随变量取值水平的改 变而改变。(Equal variance, or homogeneity)
要解决上述问题，必须采用多因素分析的方法。
医学统计学的发展
空间：单因素 多因素 时间：随机过程（时间序列）
常用的多因素分析方法：多元方差分析、 多重线性回归、协方差分析、判别分析、 聚类分析、主成分分析、因子分析、典型 相关分析、logistic回归分析、Cox回归分 析等。
《医学统计学》之多元(重)线性回归
在本课程中，我们将深入研究医学统计学中的多元(重)线性回归分析。掌握回 归模型的基础知识，并学习如何评估模型、诊断回归方程以及拟合策略。
模块一：回归分析基础知识
了解回归分析的基本原理和应用场景，掌握回归方程的建立和参数估计的方 法。
模块二：多元线性回归模型
学习多元线性回归模型的概念、假设条件和模型参数的估计方法。
模块七：应用案例与实战经验
通过真实的医学案例和实战经验，加深对多元(重)线性回归的理解，并了解统计概念，包括方差膨胀因子、共线性检验和异常值检测。
模块四：模型评估与解释
学习如何评估回归模型的拟合优度和预测精度，并解释模型中的系数含义。
模块五：回归诊断
掌握回归诊断的基本方法，包括残差分析、离群值检测和共线性诊断。
模块六：回归模型拟合策略
学习选择合适的自变量、建立最佳模型和验证模型的方法，以及防止过拟合和欠拟合。
第六讲-常用多因素回归分析方法简介
一氧化氮 车流量 气温 气湿 风速 (Y ) ( X1 ) ( X 2 ) ( X 3 ) ( X 4 ) 0.005 0.011 0.003 0.140 0.039 0.059 0.087 0.039 0.222 0.145 0.029 0.099 0.948 1.440 1.084 1.844 1.116 1.656 1.536 0.960 1.784 1.496 1.060 1.436 22.5 21.5 28.5 26.0 35.0 20.0 23.0 24.8 23.3 27.0 26.0 28.0 69 79 59 73 92 83 57 67 83 65 58 68 2.00 2.40 3.00 1.00 2.80 1.45 1.50 1.50 0.90 0.65 1.83 2.00
筛选的统计学标准
• 残差平方和（SS残差）缩小或确定系数（R2）增大
• 残差的均方（MS残差）缩小或调整确定系数（Rad2） 增大 • Cp统计量缩小 • 赤池信息准则（Akaike’s information criterion, AIC）
• 贝叶斯信息量（Bayesian information criterion, BIC）
• 量纲不同的两个自变量的偏回归系数可否直接比较？
• 不能！需计算标准化偏回归系数b’i（standardized
partial regression coefficient） 自变量标准化变换（P195，公式11-3）
2013/9/4 常用多因素回归分析方法 - 多重线性回归 11
1.3回归系数的估计
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优点：方程中增加对因变量贡献很小或没贡献的自 变量时，调整的确定系数不会增大，还可能变小。 R2=0.79 Rad2=0.74
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药物
治疗例数
有效例数
有效率/%
A药
100
95
95.0
B药
100
80
86.0
X2=10.286, P=0.001
同病型不同药物比较：
每张表都 只比较一
个因素
药物 A药 B药
轻型两种药物治疗高血压的疗效比较
治疗例数
有效例数
有效率/%
50
48
96.0
50
36
72.0
X2=10.714, P=0.001
药物 A药 B药
（降维，指标化多为少）
5、多个Y与多个X的相关关系：典型相关分析
多因素分析的定义：
①是研究多个相依因素（变量）之间的 关系的统计分析方法（黄正南《医用多因素 分析》）。
②是一种用于制定不同原因对某一事件 或结果相对作用大小的统计学工具（姚晨译 《多变量分析—临床使用指南》）。
与单因素、双因素分析比较 多因素分析的优点
X称自变量(independent variable) Y称因变量(dependent variable)
直线回归复习
由X推算Y的直线回归方程一般表达式
yˆ a bx 或 yˆ b0 b1x
a(或b0)称为截距,
pronounced ‘Y hat’
1、取得原始资料容易：
单因素分析必须要有严格的实验设计来 排除非实验因素对结果的影响（控制干扰因 素），达到组间均衡可比。（累，伤财）
多因素分析可同时分析几个或几十个因 素，把干扰因素当作研究因素。（化敌为友）
2、可从整体分析结果：既可以分析单独作 用，又可以分析各因素的交互作用。
X因素
A因素
X因素
要解决上述问题，必须采用多因素分析的方法。
医学统计学的发展
空间：单因素 多因素 时间：随机过程（时间序列）
常用的多因素分析方法：多元方差分析、 多重线性回归、协方差分析、判别分析、 聚类分析、主成分分析、因子分析、典型 相关分析、logistic回归分析、Cox回归分 析等。
多元方差分析：包括第十章：析因设计、 交叉设计的方差分析等。
多因素分析方法的选择
（取决于结果变量的类型）
结果变量的类型 结果变量的举例 多变量分析的类型
连续 二分类 二分类事件 结果出现时间
血压、体重、体温 是否死亡、是否患病
多元线性回归 多元logistic回归
死亡时间、疾病复发时间 Cox模型
（摘自：姚晨译《多变量分析—临床使用指南》）
按应用来分类
1、因素筛选：多重线性回归、logistic回归、 Cox模型 2、预测预报：多重线性回归、logistic回归、 Cox模型、判别分析 3、分类：聚类分析（样本聚类、指标聚类） 4、多指标综合：主成分分析、因子分析
第一节 多重线性回归分析
(Multiple Linear Regression)
★多元线性回归是简单线性回归的直接推广，其包 含一个因变量和二个或二个以上的自变量。
★简单线性回归是研究一个因变量（Y）和一个自变 量（X）之间数量上相互依存的线性关系。而多元线 性回归是研究一个因变量（Y）和多个自变量（Xi） 之间数量上相互依存的线性关系。
★简单线性回归的大部分内容可直接引用于多元回 归，因其基本概念得意义是一样的。
直线回归复习
直线回归分析：分析两个变量间的数量关系，目的 是用一个变量推算另一个变量 (建立回归方程)
研究两个变量间的线性关系,称直线回归 (linear regression)。这是回归分析中，最简单 的一种。 如由x推算y，则：
如何处理？方法有三 ⑵标准化
⑶多因素分析
如果同时分析病情、药 物与疗效的关系，或病 情与药物之间、药物与 药物之间有无交互作用？
Y-有效=1 无效=0 A药-用=1 不用=0 B药-用=1 不用=0 病情-轻=1 重=2
AB两药的交互作用
单因素分析：t检验、卡方检验等 ——睁只眼闭多只眼！！ ——累人的方法！！（严格的设计）
结果
B因素
X因素 (未知因素)
D因素
C因素 (已知因素)
第十四章 多重线性回归 (Multiple Linear Regression)
分析一个因变量(dependent variable) 与多个自变量(independent variable)的数 量关系的方法，称多重线性回归（多元回 归分析）。
两种药物治疗高血压的疗效比较
药物 治疗例数 有效例数 有效率/%
A药
100
B药
100
95
95.0
86
86.0
单独分析药物之间的效果有无差别:单因 素分析（必须假设其他影响因素相同）
比较病情、两种药物对治疗高血压的疗效： （两个因素）
可按单因素分析,也可按多因素分析!
该表只 比较一 个因素
两种药物治疗高血压的疗效比较(轻型重型合计）
重型两种药物治疗高血压的疗效比较
治疗例数
有效例数
有效率/%
50
49
98.0
50
44
88.0
X2=3.840, P=0.05
同药物不同性别比较：
说明性别对 疗效也有影
响！
A药物治疗高血压疗效的男女比较
病型
治疗例数
有效例数
有效率/%
男
50
48
96.0
女
50
49
98.0
X2=0.344, P=0.558
病型 男 女
B药物治疗高血压疗效的男女比较
治疗例数
有效例数
有效率/%
50
36
72.0
50
44
疗效比较
药物 A药 B药
治疗例数 100（轻70，重30） 100（轻35，重65）
有效例数 95 80
有效率/% 95.0 86.0
⑴拆分两两比较（轻重分别比较）
药物
疗效
举
心
例
理 因
素
病情
其他因 素
临床药物疗效研究
混杂因素 患者的状况（性别、年龄
X2
X1
药物
Y
疗效
病情 X3
举 例
心
X5
理 因
素
X4
其他因 素
何为单因素分析? 分析时只涉及一个研究因素（指 标）的分析方法。
例：治疗高血压病。疗效指标：舒张压。
比较两种药物对治疗高血压的疗效：药物 （一个因素）
多因素统计分析方法
多因素分析概述
在医学、生物学中，许多现象的发生、 发展和变化是多种因素在一定条件下相互影 响、相互制约而产生的共同结果。
疾病的发生：致病源、环境条件、机体状况 疾病的诊断：症状、体症、检验结果 疾病的预后：病情、病程、治疗、机体状况
药物临床疗效研究
混杂因
患者的状况（性别、年龄 素