数学建模案例分析第8讲 最短路问题
最短路问题(数学建模资料)
Network Optimization
/netopt
清华大学课号：40420213（本），70420133（研）
第5章 最短路问题(Shortest Path Problem)
清华大学数学科学系 谢金星 办公室：理科楼1308# （电话：62787812） Email:jxie@ /faculty/~jxie
u s 0, u min{u w }. i ij j i j
一般情况下直接求解最短路方程是相当困难的.
(5.7) (5.8)
10
最短路树（树形图）
定理5.1 对于只含正有向圈的连通有向网络，从起点s到任一顶 点 j 都存在最短路，它们构成以起点 s 为根的树形图（称为最短 路树（Tree of Shortest Paths）或最短路树形图（Shortest Path Arborescence）），最短路的长度可以由Bellman方程唯一确定.
1
最短路问题的例子和意义
S
T
许多实际问题都可以转化为最短路问题
其有效算法经常在其它网络优化问题中作为子算 法调用
2
最短路问题的例子 - 单产品、无能力限制的批量问题
例5.1 （Single-level Uncapacitated Lotsizing） 某工厂生产某种产品用以满足市场需求,且已知在时段t中的市 场需求为dt . 在某时段t, 如果开工生产, 则生产开工所需的生 产准备费为st , 单件产品的生产费为ct .在某时段t期末, 如果有 产品库存, 单件产品的库存费为ht . 假设初始库存为0, 不考虑 能力限制, 工厂应如何安排生产, 可以保证按时满足生产, 且 使总费用最小? （Wagner – Whitin，1958） 假设在时段t, 产品的生产量为xt , 期末产品的库存为It (I0 =0); 用二进制变量yt表示在时段t工厂是否进行生产准备. T T 假设费用均非负，则在最优解中 I 0 I T 0 ，即 xt d t
最短路问题Dijkstra Floyd 算法PPT学习教案
在所有vj∈X2中， ∵ u2= 6 ，u3+w32=3+2=5， 即 u3+w32< u2
∴ 修改临时标号u2= 5 ，2=3 ，其余标号不变。
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k=2 +1=3 ∵ min{u5，u6，u7，u8，u9} =min{6，11， ，，}
=6= u5
∴ 点v5得永久标号， 5=2 ，
X4={v1，v4 ，v3 ，v2， v5}， X4={v6 ，v7，v8 ，v9}， 在所有vj∈X4中， ∵ u6= 11 ，u5+w56=6+4=10， 即 u5+w56< u6 u7= ，u5+w57=6+3=9， 即 u5+w57< u7 u8= ，u5+w58=6+6=12， 即 u5+w58< u8
1, ∞
v8
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图上标号法:
v2
3,5
1
v1
0,0
6 2
3
1,3
v3
6
1
2
10
v4
1,1
2,6
v5
2
6
3
4 10
4
v6 2 v7
1,∞
4,11
1, ∞
v9
3
1, ∞
v8
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图上标号法:
v2
3,5
1
v1
0,0
6 2
3
1,3
v3
6
1
2
10
最短路径数学建模案例及详解
最短路径数学建模案例及详解最短路径问题是指给定一个有向图，找到其中两个节点之间的最短路径。
这个问题可以通过数学建模来解决。
以下是一个关于最短路径的案例及详解：案例：某个城市有多个地点，这些地点之间有高速公路相连。
现在需要找出两个地点之间的最短路径，以便安排货物的运输。
假设已知这个城市的高速公路网络以及每个道路的长度。
解决方案：1. 定义变量和参数：- 变量：设定一个变量x[i, j]，表示从节点i到节点j的路径长度。
这个变量需要求解。
- 参数：给出每个节点之间的长度，可以用一个矩阵表示。
设长度矩阵为A。
2. 建立数学模型：- 目标函数：最小化总路径长度。
可以定义目标函数为：min x[i, j]。
- 约束条件：- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]必须是非负的：x[i, j] ≥ 0。
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]等于路径长度x[j, i]：x[i, j] = x[j, i]。
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]需要满足下面的约束条件：x[i, j] ≤ x[i, k] + x[k, j]，其中k是任意的节点。
这个约束条件保证了路径长度的传递性。
即，如果从i到j的路径经过节点k，那么整条路径的长度应该不小于x[i, k] + x[k, j]。
3. 求解：- 编写数学建模的代码，并使用求解器（如线性规划求解器）求解最优解。
- 分析优化结果，并得到最短路径的长度以及具体的路径。
总结：通过定义变量和参数，建立数学模型的方式来解决最短路径问题，可以帮助我们找到两个节点之间的最短路径。
数学建模可以提供一个系统化的框架，帮助我们理解问题，并找到最优解。
这种方法在物流、交通规划等领域都有广泛的应用。
终稿-数学建模与数学实验-最短路问题-行遍性问题
M= 1 1 0 1 0 v2
0 0
0 1
1 1
1 0
0 1
v3 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 1
0
若vi
是e
的起点
j
若vi
是e
的终点
j
若vi与e j不关联
返回
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
v1
e1
v2
e4
e5 e2
v4
e3
e6 v3
v5
e7
e8
v7 e9
v6
情形２ G 有２n 个奇次顶点（n ２）
Edmonds 最小对集算法：
基本思想：
先将奇次顶点配对，要求最佳配对，即点对之间距离总和 最小．再沿点对之间的最短路径添加重复边得欧拉图 G*，G*的 欧拉巡回便是原图的最佳巡回．
算法步骤：
C= v1,v2,… ,vi,,vj , vj-1,… , vi+1,vj+1, …,vn,v1 (3)对 C 重复步骤(2)，直到条件不满足为止，最后得到的 C 即 为所求．
例 对以下完备图，用二边逐次修正法求较优H圈．
返回
数学建模与数学实验 最短路问题
实验目的 实验内容
1．了解最短路的算法及其应用 2．会用MATLAB软件求最短路
中．
欧拉图
定义１ 设 G=(V,E)是连通无向图 （１）经过 G 的每边至少一次的闭通路称为巡回． （２）经过 G 的每边正好一次的巡回称为欧拉巡回． （３）存在欧拉巡回的图称为欧拉图． （４）经过 G 的每边正好一次的道路称为欧拉道路．
最短路问题案例(short-path problem)
三、Dijkstra算法演示：
5.选取顶点
U=V\S={A(22), B (13)}
l(B)=13, l(B)=l(C)+W(C,B)
6.选取顶点
U=V\S={A(22)}
l(A)=22, l(A)=l(F)+W(F,A)
三、Dijkstra算法演示：
1. 初始时， S只包含起点s ； U包含除s外的其他顶 点，且U中顶点的距离为“起点s到该顶点的距离”[例. U中顶点v的距离为d(s,v)，然而s与v不相邻，故为inf]。
2. 从U中选出“距离最短的顶点w”，并将顶点w 加入到S 中；同时，从U中移除顶点w 。
3. 更新U中各个顶点到起点s的距离。 由于上一步中 确定了w是求出最短路径的顶点，从而可以利用w来更新 其他顶点的距离。[例. (s,v)的距离大于(s,w) + (w,v)]。
l(E)=4, l(E)<l(C)+W(C,E); l(F)=9, l(F)=l(C)+W(C,F)
三、Dijkstra算法演示：
3.选取顶点 U=V\S={A(inf), B (13), F(6), G (12)}
l( )=6, l(F)=l(E)+W(E,F)
4.选取顶点 U=V\S={A(22), B (13), G(12)}
4. 重复步骤2和3，直到遍历完所有顶点。
三、Dijkstra算法演示：
1.选取顶点 U=V\S={A(inf), B (inf), C (3), E (4), F (inf), G (inf)}
2.选取顶点 U=V\S={A(inf), B (13), E (4), F (9), G (inf)}
最短路问题实际案例
最短路问题实际案例介绍最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是找到两个顶点之间的最短路径。
这个问题在日常生活中有着广泛的应用，例如导航系统、网络路由以及物流配送等场景中都需要解决最短路问题。
本文将通过实际案例来深入探讨最短路问题及其应用。
什么是最短路问题？最短路问题是指在一个给定的图中，找到两个顶点之间的最短路径。
通常情况下，路径的长度可以通过边的权重来衡量。
最短路问题可以分为单源最短路问题和全源最短路问题，前者是指从一个固定的起点出发，求到图中其他所有顶点的最短路径；后者是指求图中任意两个顶点之间的最短路径。
实际案例：导航系统导航系统是最短路问题的一个典型应用。
当我们使用导航系统来规划路线时，系统需要找到最短路径以优化我们的行车时间。
下面以一个具体案例来说明导航系统如何解决最短路问题。
案例场景假设我们身处一座陌生的城市，想要前往城市中心的一个著名景点。
我们打开导航系统，输入起点和终点信息。
导航系统会根据地图数据自动生成最短路径，并提供导航指引。
导航系统的实现导航系统实现最短路径规划的过程可以分为以下几个步骤：1.构建路网图：将城市中的道路以及交叉口等信息转化为图的形式。
图中的节点表示交叉口，边表示道路，边的权重可以表示行驶距离、时间等。
2.选择算法：根据实际需求选择合适的最短路径算法。
常见的算法有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和A*算法等。
3.计算最短路径：根据选定的算法，在路网图上计算起点到终点的最短路径。
算法会考虑边的权重以及路径的方向等因素。
4.导航指引：根据计算得到的最短路径，导航系统会生成具体的导航指引，包括行驶指示、路口转向、距离和预计时间等信息。
优化策略导航系统通过不断的优化，提高了最短路径的计算效率和准确性。
以下是几种常见的优化策略：1.路网数据更新：导航系统会及时更新路网数据，包括道路信息、交通状况等。
这样可以保证计算得到的最短路径更准确。
2.平行算法：为了加快计算速度，导航系统采用并行算法来计算最短路径。
数学建模模最短路
基于最短路问题的研究及应用令狐采学姓名：Fanmeng学号：指导老师：摘要最短路问题是图论中的一大问题，对最短路的研究在数学建模和实际生活中具有很重要的实际意义，介绍最短路问题的定义及这类问题的解决办法Dijkstra算法，并且能够在水渠修建实例运用到此数学建模的方法，为我们解决这类图论问题提供了基本思路与方法。
关键字数学建模最短路问题Dijkstra算法水渠修建。
目录第一章．研究背景1第二章．理论基础22.1 定义22.2 单源最短路问题Dijkstra求解:22.2.1 局限性22.2.2 Dijkstra算法求解步骤22.2.3 时间复杂度22.3 简单样例3第三章．应用实例43.1 题目描述43.2 问题分析43.3符号说明43.4 模型假设53.5模型建立与求解53.5.1模型选用53.5.2模型应用及求解53.6模型评价5第四章. 参考文献5第五章．附录6第一章．研究背景在现实生活中中，我们经常会遇到图类问题，图是一种有顶点和边组成，顶点代表对象，在示意图中我们经常使用点或者原来表示，边表示的是两个对象之间的连接关系，在示意图中，我们使用连接两点G点直接按的下端来表示。
顶点的集合是V，边的集合是E的图记为G[V,E] ,连接两点u和v的边用e(u,v)表示[1]。
最短问题是图论中的基础问题，也是解决图类问题的有效办法之一，在数学建模中会经常遇到，通常会把一个实际问题抽象成一个图，然后来进行求的接任意两点之间的最短距离。
因此掌握最短路问题具有很重要的意义。
第二章．理论基础2.1 定义最短路问题（short-path problem ）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点，（通常是源节点和目标节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管道铺设，线路安装，厂区布局和设备更新等实际问题[2]。
2.2 单源最短路问题Dijkstra 求解: 2.2.1局限性Dijkstra 算法不能够处理带有负边的图，即图中任意两点之间的权值必须非负。
已知起点的最短路问题数学模型
一、概述已知起点的最短路问题是图论中的一个经典问题，它在实际生活中有着广泛的应用，如交通规划、通信网络设计、物流配送等领域。
本文将对已知起点的最短路问题进行数学建模，并探讨其求解方法。
二、问题描述已知起点的最短路问题可以描述为在一个加权有向图中，从给定的起点出发，求得到其他所有顶点的最短路径。
其中，图的顶点表示位置，边的权重表示移动的代价或者距离。
问题的输入包括图的结构和起点的位置，输出包括从起点到所有其他顶点的最短路径。
三、数学建模1. 图的表示为了进行数学建模，我们需要选取恰当的数据结构来表示图。
常用的数据结构包括邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适用于稠密图，适合于求解任意两个顶点之间的最短路径；邻接表适用于稀疏图，适合于求解从一个起点到其他所有顶点的最短路径。
在实际应用中，根据具体问题的规模和特点选择合适的数据结构。
2. 最短路径的定义最短路径可以通过不同的度量标准来定义，比如长度最短、耗费最少等。
在已知起点的最短路问题中，最常见的度量标准是路径的长度。
我们的数学建模将以路径的长度为目标函数。
3. 数学模型我们可以使用图论中的单源最短路径算法来解决已知起点的最短路问题。
常见的算法包括Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
以下是这两种算法的数学模型：（1）Dijkstra算法Dijkstra算法通过维护一个距离集合来逐步求得起点到其他各顶点的最短路径。
具体流程如下：初始化距离集合，将起点到自身的距离设为0，其余顶点的距离设为无穷大。
选择一个顶点加入最短路径集合，更新起点到所有其他顶点的距离。
重复上述步骤，直到所有顶点都加入了最短路径集合。
（2）Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法通过对边进行松弛操作来逐步求得起点到其他各顶点的最短路径。
具体流程如下：初始化距离数组，将起点到自身的距离设为0，其余顶点的距离设为无穷大。
在图的所有边上进行|V|-1次松弛操作，其中|V|表示图的顶点数。
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对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 1 0
2018/3/21
若vi 是e j的起点 若vi 是e j的终点 若vi 与e j 不关联
2018/3/21
数学建模
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2018/3/21 数学建模
顶点的次数
定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数目（环算两次）称 为 v 的次数，记为 d (v) ． （２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度， 记为 d ＋ (v) ，从顶点 v 引入的边的数目称为 v 的入度，记为 d － (v) ，
d (v) = d ＋(v) + d －(v) 称为 v ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次数．
d (v4 ) 4
2018/3/21 数学建模
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
定理１
vV (G )
d (v) 2 (G)
推论１ 任何图中奇次顶点的总数必为偶数．
例 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数.
无向赋权图的邻接矩阵可类似定义．
v1 v 2 0 2 A= 2 0 8 7 3
v3 v 4 7 v1 8 3 v2 0 5 v3 5 0 v4
(e1 ) v1v2 , (e2 ) v1v3 , (e3 ) v1v4 , (e4 ) v1v4 , (e5 ) v4v4 .
G 的图解如图
V={v1 ,v2 , v3 , v4}， E={e1, e2 , e3, e4, e5},
2018/3/21
数学建模
定义 在图 G 中， 与 V 中的有序偶(vi， vj)对应的边 e ， 称为图的有向边
和 分别表示图的顶点数和边数. 规定用记号
2018/3/21 数学建模
常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边． （３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边． （４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n 为顶点的数目． ( 7)若 V=X Y，X Y= ，且 X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶 点不相邻，则称 G 为二元图；若 X 中每一顶点皆与 Y 中一切顶点 相邻，则 G 称为完备二元图，记为 Km,n，其中 m,n 分别为 X 与 Y 的顶 点数目．
数学建模与数学实验 最短路问题
2018/3/21
数学建模
实验目的
1．了解最短路的算法及其应用 2．会用MATLAB软件求最短路
实验内容
1．图 论 的 基 本 概 念
2．最 短 路 问 题 及 其 算 法
3．最 短 路 的 应 用
4．建模案例：最优截断切割问题
5．实验作业
2018/3/21
数学建模
图论的基本概念
2018/3/21
数学建模
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子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 )
(1) 若 V1 V，E1 E,且当 e E1 时， 1 ( e )= ( e ),则称 G1 是 G 的子图． 特别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图．
(2) 设 V1 V，且 V1 ，以 V1 为顶点集、两个端点都在 V1 中的 图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1 导出的子图，记为 G[V1]. (3)设 E1 E,且 E1 ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图, 称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
数学建模
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邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
1 aij 0
若vi 与v j 相邻 若vi 与v j 不相邻
注：假设图为简单图
v4 v1 v2 v 3 v 4
v1 v2 v3 0 1 0 1 A= 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0
一、 图 的 概 念 1．图的定义 2．顶点的次数
3．子图
二、 图 的 矩 阵 表 示
1． 关联矩阵
2． 邻接矩阵
2018/3/21 数学建模
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图的定义
定义 有序三元组G=(V,E, )称为一个图,如果：
[1] V= {v1 , v2 ,, vn } 是有限非空集，V 称为顶点集， 其中的元素叫图 G 的顶点. [2] E 称为边集，其中的元素叫图 G 的边. [3] 是从边集 E 到顶点集 V 中的有序或无序的元素 偶对构成集合的映射，称为关联函数. 例1 设 G=(V,E, )，其中
（或弧） ， 而与 V 中顶点的无序偶 vivj 相对应的边 e ， 称为图的无 向边.每一条边都是无向边的图，叫无向图；每一条边都是有向 边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为混合图.
定义 若将图 G 的每一条边 e 都对应一个实数 w ( e )，则称 w ( e )为边的
权，并称图 G 为赋权图.
G
2018/3/21
G[{v1,v4,v5}]
数学建模
G[{e1,e2,e3}]
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关联矩阵
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 0
若vi与e j 相关联 若vi与e j不关联 e1 e2 1 0 M= 1 1 0 0 0 1
注：假设图为简单图
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ） ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
1 aij 0
2018/3/21
若（vi，v j） E 若（vi，v j） E
数学建模
对有向赋权图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
wij aij 0
若(vi , v j ) E, 且wij为其权 若i j 若(vi , v j ) E