直线与平面平行的性质定理完整PPT课件
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2025届高中数学一轮复习课件《直线、平面平行的判定及性质》ppt
本题的核心条件，特殊的位置关系，必有点 F 特殊的数量关系．
(1)求证：EF∥平面 ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥 P-ABC 的体积．此条件暗示 △POF 的特殊性，即平面 POF⊥平面 ABC.
高考一轮总复习•数学
第18页
(1)证明：如图，连接 DE.设 AF＝tAC，t∈[0,1]，则B→F＝B→A＋A→F＝(1－t)B→A＋tB→C，A→O＝ －B→A＋12B→C.由 BF⊥AO，AB⊥BC，
第25页
高考一轮总复习•数学
∵∠DAB＝120°，AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD＝30°，∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝60°＋30°＝90°， ∴AD⊥CD，∴MB∥AD. 又 MB⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， ∴MB∥平面 PAD. ∵EM∩MB＝M，EM，MB⊂平面 EMB， ∴平面 EMB∥平面 PAD，∵EB⊂平面 EMB，∴EB∥平面 PAD.
高考一轮总复习•数学
第28页
题型
面面平行的判定与性质
典例 2(2024·四川绵阳中学月考)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点．求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 思考判定定理，即需要两组平行线的关系．
高考一轮总复习•数学
第32页
对点练 2(2024·四川达州一诊)如图所示，设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，P 是 棱 AD 上一点，且 AP＝a3，过 B1，D1，P 的平面交平面 ABCD 于 PQ，Q 在直线 CD 上，则 PQ＝( )
A.2 3 2a B. 3 2a C. 2 2a D.2 3 3a
(1)求证：EF∥平面 ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥 P-ABC 的体积．此条件暗示 △POF 的特殊性，即平面 POF⊥平面 ABC.
高考一轮总复习•数学
第18页
(1)证明：如图，连接 DE.设 AF＝tAC，t∈[0,1]，则B→F＝B→A＋A→F＝(1－t)B→A＋tB→C，A→O＝ －B→A＋12B→C.由 BF⊥AO，AB⊥BC，
第25页
高考一轮总复习•数学
∵∠DAB＝120°，AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD＝30°，∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝60°＋30°＝90°， ∴AD⊥CD，∴MB∥AD. 又 MB⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， ∴MB∥平面 PAD. ∵EM∩MB＝M，EM，MB⊂平面 EMB， ∴平面 EMB∥平面 PAD，∵EB⊂平面 EMB，∴EB∥平面 PAD.
高考一轮总复习•数学
第28页
题型
面面平行的判定与性质
典例 2(2024·四川绵阳中学月考)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点．求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 思考判定定理，即需要两组平行线的关系．
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第32页
对点练 2(2024·四川达州一诊)如图所示，设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，P 是 棱 AD 上一点，且 AP＝a3，过 B1，D1，P 的平面交平面 ABCD 于 PQ，Q 在直线 CD 上，则 PQ＝( )
A.2 3 2a B. 3 2a C. 2 2a D.2 3 3a
《直线与平面平行》课件
的稳定性和美观性。
02
建筑测量
在建筑测量中，直线与平面平行的概念对于确定建筑物是否垂直和水平
非常重要。测量师使用铅锤和水平仪等工具来确保建筑物的基础、柱子
和横梁等结构与地面平行。
03
建筑结构分析
在建筑结构分析中，直线与平面平行的概念对于评估结构的稳定性和安
全性至关重要。工程师使用这些概念来分析建筑物的支撑结构和受力情
电子设备制造
在电子设备制造中，直线与平面平行的概念对于确保电子设备的精确度和质量非常重要。制造商使用这些概念来控制 装配和焊接过程，以确保电子元件的放置和连接正确。
电子设备维修
在电子设备维修中，直线与平面平行的概念对于检查和调整电子元件的位置非常重要。维修人员使用这 些概念来检查设备的平行度和垂直度，以确保设备的正常运行和性能。
文字描述
如果一条直线与一个平面平行， 那么这条直线与此平面内的任何 直线都平行。
解释
这个定理说明了直线与平面平行 的条件，即直线必须与平面内的 所有直线都平行，才能判定该直 线与该平面平行。
直线与平面平行判定定理的数学公式
数学公式
若直线$l$与平面$alpha$平行，则对于任意直线$m$在平面$alpha$上，都有 $l parallel m$。
02
若直线$l$与平面$alpha$平行， 则对于任意点$P$在平面$alpha$ 上，有$l cap P = emptyset$。
直线与平面平行性质定理的图形解释
当直线与平面平行时，该直线与平面 内的所有直线都保持平行关系，没有 交点。
在图形中，可以标出一些具体的点来 解释该性质定理，例如选择平面上的 一些点并观察它们是否与直线有交点 。
可以通过作一条与已知直线平行的直 线来验证该性质定理，观察新作的直 线是否与平面内的其他直线平行且无 交点。
直线与平面平行判定定理课件
A
平面CC’D’D 答：1）平面 ）平面A’B’C’D’, 平面 答：2）平面 ）平面A’B’C’D’，平面 ，平面ADD’A’
答：3）平面 ）平面ADD’A’
问问1 问问2 问问3
D' B'
M D N
C'
若 M， N分 分 ， 分 为 D'A，D'B的 ， 的 中 中 ， 则 MN 与 平 平_____ 平 平？
如何判断直线与平面平行？ 如何判断直线与平面平行？
• 思考1：请大家利用手中的模型， 思考1 请大家利用手中的模型， 看看有哪些直线与平面是平行的， 看看有哪些直线与平面是平行的， 理由又是什么？ 理由又是什么？
如何判断直线与平面平行？ 如何判断直线与平面平行？
• 思考2：观察门扇转动，或者翻动 思考2 观察门扇转动， 书的封面这一运动变化过程中， 书的封面这一运动变化过程中，有 没有某些直线与某些平面平行？ 没有某些直线与某些平面平行？为 什么？ 什么？ • 观察演示，想想在转动过程中，橡 观察演示，想想在转动过程中， 皮筋所在的直线与底面是否平行？ 皮筋所在的直线与底面是否平行？ 如何摆就能使它们平行？ 如何摆就能使它们平行？
• 例1、求证：空间四边形相邻两 、求证： 边中点的连线平行于经过另外 两边所在的平面。 两边所在的平面。
A E B C F D
例2：P是平行四边形ABCD所在平面外 是平行四边形ABCD所在平面外 ABCD 一点， PA的中点 求证：PC//平 的中点， 一点，Q是PA的中点，求证：PC//平 面BDQ.
如何判断直线与平面平行？ 如何判断直线与平面平行？
a
• 思考4： 思考4 如果平面外 b α 的一条直线a 的一条直线a与 平面内的直线b 平面内的直线b 平行，那么a 平行，那么a平行于平面α吗？
直线和平面平行的判定定理ppt课件
判定定理二：向量
03
共线法
向量共线法原理
定义
若两向量方向相同或相反，则称这两 向量共线。
性质
应用
在直线与平面平行判定中，通过判断 直线的方向向量与平面上两不共线向 量的关系，确定直线与平面的位置关 系。
共线的向量可以表示为同一基向量的 倍数。
向量运算规则
加法运算
向量加法满足平行四边形 法则或三角形法则。
$l parallel alpha$。
实例二
若直线$l$的方向向量$vec{a}$ 与平面$alpha$的法向量
$vec{n}$满足$vec{a} cdot vec{n} = 0$，则$l parallel
alpha$。
讨论
通过实例分析，我们可以发现向 量共线法在直线与平面平行判定 中的重要作用。同时，需要注意 判定条件的充分性和必要性，以
及特殊情况的处理。
判定定理三：距离
04
相等法
距离相等法原理
直线与平面平行时，直线上任意一点 到平面的距离都相等。
利用这一性质，可以通过比较直线上 不同点到平面的距离是否相等来判断 直线与平面是否平行。
点到直线距离公式
点$P(x_0, y_0, z_0)$到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$的距 离公式为
直线与平面的距离为零
当直线上的任意一点到平面的距离都为零时，直线与平面平行。可 以通过计算点到平面的距离公式来判断。
复杂问题简化策略
转化为基本问题
将复杂问题转化为判断直线与平面是否平行的基本问题，以便运 用上述方法进行求解。
利用已知条件
充分利用题目中给出$d = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
直线与平面平行的判定定理(公开课)ppt课件
（2）直线 a与平面 相交吗？
a
不可能相交
b
.
直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该 直线与此平面平行．
a
b
a
b
a
/
/b
a / /
证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能得 到线面平行的结论．
直线与平面平行关系
空间问题
.
直线间平行关系 平面问题
典型例题
例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线
∴MN // DE
2
BC.
A
M
N
C
B
∴四边形DMNE为平行四边形.
∴EN//DM
∵DM 平面PDC,EN 平面PDC
∴EN//平面PDC
.
变式：如图，在正方体ABCD——
A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC与C1D1的
中点。
求证：EDF1 //平F面BDD1B1. C1
A1
A1
B1
D1
F
C1
பைடு நூலகம்
M
B1
ND M
A
C E B
D A
.
C E B
反思-顿悟
1.要证明直线与平面平行可以运用线面平行的判定定
理；
线线平行
线面平行
2.能够运用定理的条件要满足三个条件： “一线面内、
a
一线面外、
b
a //
两线平行”
b // a
3.运用定理的关键找平行线；找平行线又经常会用到
三角形中位线、梯形的中位线、平行四边形、平行线 的判定定理,平行公理.(一般题中有中点再找中点,有 分点再找分点得平行关系.)
直线与平面平行的性质ppt课件
举例 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
例4. 设平面α、β、γ两两相交,且 a ， b , c 若a∥b，求证：b∥c .
a
c
b
α
β
γ
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
证明：因为 b,所以 b 因 为 a // b 所 以 a // ， 又因为 a，所以 a 又因为 c 所 以 a // c， 因 为 a // b 所 以 b // c
小结
1. 复习直线与平面的位置关系 2. 复习直线与平面平行的判定 3. 学习并掌握直线与平面平行的性质
b （√）
a
举例 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
例2.在四面体ABCD中,E、F分别是 AB、AC的中点,过直线EF作平面α,分别 交BD、CD于M、N,求证：EF∥MN.
A
E
F
BM
D
N C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行,经 过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线和交线平行.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
第八章 第三节 直线、平面平行的判定与性质 课件(共58张PPT)
第八章 立体几何初步
第三节 直线、平面平行的判定与性质
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.以立体几何的定义、公理和定理为
出发，借助长方体，通过直观感知， 考情分析： 直线与平面以及平面与
了解空间中线面平行的有关性质与 平面平行的判定和性质仍会是高考
所以 A1G 綊 EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，
所以 A1E∥GB. 因为 A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG. 又因为 A1E∩EF＝E，所以平面 EFA1∥平面 BCHG.
1．如图，平面 α∥平面 β，△PAB 所在的平面与 α，β分别交于 CD，AB，
平行命题的判断 (1)解决与平行相关命题的判断问题，以与平行相关的判定定理和性质定 理为依据，注意定理中相关条件的检验，必须进行严密的逻辑推理． (2)如果判断某个命题错误，则往往利用正方体或其他几何体作为模型构 造反例说明．
直线与平面平行的判定与性质 角度一 直线与平面平行的判定
如图所示，斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC，A1C1 的中点．求证：
BC∥平面ADF
BC⊂平面BCPQ
⇒BC∥PQ.
平面BCPQ∩平面ADF＝PQ
PQ∥BC
PQ⊄平面ABCD PQ∥平面 ABCD.
BC⊂平面ABCD
应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时 需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．该定理的作用是由线面平行转化 为线线平行．
1．(2020·深圳市统一测试)如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 M，
第三节 直线、平面平行的判定与性质
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.以立体几何的定义、公理和定理为
出发，借助长方体，通过直观感知， 考情分析： 直线与平面以及平面与
了解空间中线面平行的有关性质与 平面平行的判定和性质仍会是高考
所以 A1G 綊 EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，
所以 A1E∥GB. 因为 A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG. 又因为 A1E∩EF＝E，所以平面 EFA1∥平面 BCHG.
1．如图，平面 α∥平面 β，△PAB 所在的平面与 α，β分别交于 CD，AB，
平行命题的判断 (1)解决与平行相关命题的判断问题，以与平行相关的判定定理和性质定 理为依据，注意定理中相关条件的检验，必须进行严密的逻辑推理． (2)如果判断某个命题错误，则往往利用正方体或其他几何体作为模型构 造反例说明．
直线与平面平行的判定与性质 角度一 直线与平面平行的判定
如图所示，斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC，A1C1 的中点．求证：
BC∥平面ADF
BC⊂平面BCPQ
⇒BC∥PQ.
平面BCPQ∩平面ADF＝PQ
PQ∥BC
PQ⊄平面ABCD PQ∥平面 ABCD.
BC⊂平面ABCD
应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时 需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．该定理的作用是由线面平行转化 为线线平行．
1．(2020·深圳市统一测试)如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 M，
直线与平面平行的判定定理(公开课)ppt课件
若两向量的点积为零，则 它们垂直。
应用
通过计算直线方向向量与 平面法向量的点积，可以 判断直线与平面是否平行 。
判定定理三：法向量垂直
定义
若一直线与一平面平行， 则该直线的法向量与该平 面的法向量平行。
推论
若两向量平行，则它们的 分量成比例。
应用
通过比较直线法向量与平 面法向量的分量比例，可 以判断直线与平面是否平 行。
直线与平面平行的定义
阐述直线与平面平行的基本概念，为后续判定定理 的引入做铺垫。
判定定理的重要性
说明直线与平面平行判定定理在几何学中的地位和 作用，以及在实际应用中的价值。
教学目标
80%
知识与技能
掌握直线与平面平行的判定定理 及其证明方法，理解相关概念， 能够运用所学知识解决相关问题 。
100%
过程与方法
应用举例二：判断两平面是否平行
方法一
利用平行平面的性质，通过证明一个 平面内有两条相交直线分别与另一个 平面平行，从而判定两个平面平行。
方法二
利用向量法，通过计算两个平面的法 向量是否共线，从而判定两个平面是 否平行。
应用举例三：解决实际问题中的平行问题
1 2
实例一
在建筑设计中，利用直线与平面平行的性质，确 保建筑物的立面、地面等各部分保持平行，以达 到美观和稳定的效果。
定义
应用
若一直线与一平面平行，则该直线与 该平面内任意一条直线的斜率相等。
通过比较直线与平面内某一直线的斜 率，可以判断直线与平面是否平行。
推论
若两直线的斜率相等，则它们或者平 行或者重合。
判定定理二：方向向量平行
01
02
03
定义
若一直线与一平面平行， 则该直线的方向向量与该 平面的法向量垂直。
应用
通过计算直线方向向量与 平面法向量的点积，可以 判断直线与平面是否平行 。
判定定理三：法向量垂直
定义
若一直线与一平面平行， 则该直线的法向量与该平 面的法向量平行。
推论
若两向量平行，则它们的 分量成比例。
应用
通过比较直线法向量与平 面法向量的分量比例，可 以判断直线与平面是否平 行。
直线与平面平行的定义
阐述直线与平面平行的基本概念，为后续判定定理 的引入做铺垫。
判定定理的重要性
说明直线与平面平行判定定理在几何学中的地位和 作用，以及在实际应用中的价值。
教学目标
80%
知识与技能
掌握直线与平面平行的判定定理 及其证明方法，理解相关概念， 能够运用所学知识解决相关问题 。
100%
过程与方法
应用举例二：判断两平面是否平行
方法一
利用平行平面的性质，通过证明一个 平面内有两条相交直线分别与另一个 平面平行，从而判定两个平面平行。
方法二
利用向量法，通过计算两个平面的法 向量是否共线，从而判定两个平面是 否平行。
应用举例三：解决实际问题中的平行问题
1 2
实例一
在建筑设计中，利用直线与平面平行的性质，确 保建筑物的立面、地面等各部分保持平行，以达 到美观和稳定的效果。
定义
应用
若一直线与一平面平行，则该直线与 该平面内任意一条直线的斜率相等。
通过比较直线与平面内某一直线的斜 率，可以判断直线与平面是否平行。
推论
若两直线的斜率相等，则它们或者平 行或者重合。
判定定理二：方向向量平行
01
02
03
定义
若一直线与一平面平行， 则该直线的方向向量与该 平面的法向量垂直。
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.
14
（3）已知直线a、b，平面,下列说法： ①若a∥b, b, 则a∥ ②若a∥, b∥，则a∥b ③若a∥b, b∥, 则a∥ ④若a∥,b,则a∥b 其中说法正确的个数是（ ）
A0 B1 C2 D3
.
15
2、求证：如果两个相交平面分别经过两平行 直线中的一条，那么它们的交线和这条直线 平行a /源自 aa//
b
b
βa αb
.
7
应用
例1:教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何 在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？
.
8
应用
例2 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面 A′C′.（1）要经过面A′C′ 内一点P和棱BC将 木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线与平面AC 是什么位置关系？
思想 （线线）
.
12
练习题
1、选择题
（1）若直线a不平行于平面，则下列结论成 立的是（ ） A 内的所有直线都与直线a异面 B 内不存在与a平行的直线 C 内的直线都与a相交 D 直线a 与平面有公共点
.
13
（2）已知直线a∥平面，P∈，那么过点P且 平行于直线a的直线（ ） A 只有一条，不在平面内 B 有无数条，不一定在内， C 只有一条，且在平面内 D有无数条，一定在内
天书才成就功山少是=勤有艰百小分苦路奋不之的、勤一劳守学为的动灵径习纪+感正，、，确学老自百的海分来强方之无、法徒九自崖+十少伤九苦律谈的悲！作空汗话水舟！
27.05.2020
27.05.2020
1
.
1
复习旧知识 提出新问题
1.直线与平面平行的判定定理是什么？
2. 反之，如果直线与平面平行，又可以得到 什么结论呢？
.
2
知识探究(一):直线与平面平行的性质探究
问题1:如果直线a与平面α平行，那么直线a与平 面α内的直线有哪些位置关系？
a
α
问题2:若直线a与平面α平行，那么在平面α内与 直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置关系 如何？
.
3
问题3：已知直线 a∥平面α，如何在平面α内 找出一条和直线 a 平行的直线？
.
16
.
4
探究3.1:如果直线a与平面α平行，那么经过直 线a的平面与平面α有几种位置关系？
a
a
α
.
5
探究3.2:如果直线a与平面α平行，过直线a的 平面与平面α相交于直线b，那么直线a、b的位 置关系如何？
β
a
α
.
6
知识探究(二):直线与平面平行的性质定理
定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条 直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
D′
A′
P
D
A
.
C′ B′
C
B
9
应用
例3 已知平面外的两条平行直线中的一条平行 于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.
a c
α
.
b
10
应用
练习：一条直线和两个相交平面平行，求证： 它和这两个相交平面的交线平行。
.
11
小结
一、
线面平行的判定
线线平行
线面平行的性质
线面平行
二、 空间
（线面）
转化 平面