《二次函数的图象和性质》课件
（1）y=-3(x+2)2的图象：由y=-3x2的图象 向左平移2个单位得到；
它是轴对称图形； 开口方向：向下；
对称轴：直线x=-2； 顶点坐标：（0,-2）. (2) x＜-2时，y随x的增大而增大， x ＞-2时，y随x的增大而减小.
由二次函数y=2x2的图象，你能得到二次函
数y=2x2-
1 2
x＜0时，y随x的增大而减小 最值：
y=x2: x=0时，y最小值=0
y=- x2: x= 0时，y最大值=0
在图2-4中画出二次函数y=3x2 的图象，并思考下列问题：
（1）图象：_抛__物__线______ 开口方向：_向_上__对称轴：_y_轴_ 顶点坐标：__（__0_，__0_）_
（2）它与y=x2的图象的 相同点：形__状__、__开__口_方__向__、__对__称_轴__、__顶__点__坐__标_；
y=2x2+1 y=2x2
二次函数y=2x2+1的图象的开口方向、
对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函
数y=2x2的图象有什么关系？ y=2x2+1的图象：
y=2x2+1 y=2x2
由y=2x2的图象向上平 移1个单位得到
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0，1）
二次函数y=2x2-1的图象的开口方向、 对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函 数y=2x2的图象有什么关系？
合作学习，探究四 学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图
象和性质之后，现在你能研究二次函 数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？
化成y=a(x-h)2+k的形式！
求二次函数y=2x2-8x+7的图象的对称轴和顶 点坐标.
解 y=2x2-8x+7
=2(x2-4x)+7
=2(x2-4x+4)-8+7
线x=- b ,顶点坐标为（-
2a
b 2a
， 4ac - b2 4a
）.
二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线.
开口 方向 对称轴 顶点坐标
向上
y=ax2+bx+c
（a＞0） 向下
直线 x=- b
（- b ， ） 4ac b2 2a 4a
2a
（a＜0）
增减性：
a＞0时，x＞-
b 2a
它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
二次函数y=-x2 的图象也是一条抛 物线，
它与二次函数y=x2 的图象关于x轴对称
图象 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x2
抛 物
y=-x2 线
向上 向下
ห้องสมุดไป่ตู้
y轴 （0，0）
增减性： y=x2 : x＞ 0时，y随x的增大而减小 x＜0时，y随x的增大而增大
y=- x2: x＞ 0时，y随x的增大而增大
=2(x- 5 )2- 9
4
8
对称轴：
直线x= 5 4
顶点坐标：
( 5 ,- 9) 48
=-6(x- 3 )2+ 75 48
对称轴：
直线 x= 3
4
顶点坐标：
( 3 ,75) 48
课堂小结 回顾本课学习了哪些知识？
（3）y=2(x-
1 2
)(x-2)；
（4）y=3(2x+1)(2-x).
解（1）y=2x2-12x+3 （2）y=-5x2+80x-319
=2(x-3)2-15
=-5(x-8)2+1
对称轴：直线x=3
对称轴：直线x=8
顶点坐标：（3，-15） 顶点坐标：（8，1）
（3）y=2(x- 1 )(x-2) （4）y=3(2x+1)(2-x) 2
（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的 对称轴是什么？请你找出几对对称点.
（5）是轴对称图形，对称轴是y轴 （直线x=0），如（1，1）和（-1，1）等.
二次函数y=x2的图象是 一条抛物线，
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点：对称轴与抛物 线的交点，它是图象的 最低点.坐标为（0,0）
二次函数y=-x2的图象是什么形状？
观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有 什么关系？
对于同一个y值，这两个函数对应 的x值相差1（在对称轴同侧）
（2）画函数出y=2(x-1)2的图象
y=2x2
y=2(x-1)2
二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数 y=2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对 称轴、顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时， y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时， y的值随x值的增大而减小？
随堂练习：
1.已知函数y=-3(x-2)2+4，当x=___2时，函 数取最大值为_4___.
2.已知抛物线y=-(x+1)2-3，当x__＞__-_1__时，
y随x的增大而减小.
3.怎样平移抛物线y=3x2，便可得到抛物线 y=3(x-2)2+2？
由抛物线y=3x2先向上平移2个单位， 再向右平移3个单位或先向右平移3个单位， 再向上平移2个单位得到.
y=2x2
y=2(x+1)2的图象：由y=2x2的图象向左 平移1个单位得到.
随堂练习：
对于二次函数y=-3(x+2)2：
（1）它的图象与二次函数y=-3x2的 图象有什么关系？它是轴对称图形吗？ 它的开口方向、对称轴、顶点坐标分 别是什么？
（2）当x取哪些值时，y的随x值的增 大而增大？当x取哪些值时，y的值随 x值的增大而减小？
1 2
个单位得到
开口方向：向上
对称轴：y轴 顶点坐标：（0，- 1 ）
2
y=3x2
1
y=3x2- 2
2. y=-2x2- 1 的图象：
2
由y=-2x2+
1 2
的图象向下平移1个
单位得到
y=-2x2+
1 2
y=-2x2- 1
2
合作学习，探究三
画出二次函数y=2(x-1)2的图象 （1）完成下表：
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2x2 32 18 8 2 0 2 8 18 32 2(x-1)2 50 32 18 8 2 0 2 8 18
最值： 当x=0时，y取得最小值 y最小值=c
函数y=ax2+c（a＜0）的性质 平移： 由y=ax2向上或向下 平移︱c︱个单位得到 开口方向： 向下 对称轴： y轴 顶点坐标：（0，c）
增减性： x＜0时，y随x的增大而增大 x＞0时，y随x的增大而减小
最值： 当x=0时，y取得最大值 y最大值=c
随堂练习
1.二次函数y=3x2- 1 的图象与二次函数
2
y=3x2的图象有什么关系？它是轴对
称图形吗？它的开口方向、对称轴、
顶点坐标分别是什么？画图看一看.
2.二次函数y=-2x2-
1 2
的图象与二次函
数y=-2x2+
1 2
的图象有什么关系?
1.y=3x2- 1 的图象：
2
由y=3x2的图象向下平移
对称轴： 直线x=3
顶点坐标： （3，-10）
求二次函数y=ax2+bx+c图象的
对称轴和顶点坐标
解 y=ax2+bx+c
=a(x2+ b x)+c
a
=a[x2+2·b
x+( b
)2-(
b )2]+c
=a(x+
b 2a
2a
)2+
2a 4ac - b2
4a
2a
∴二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直
y=2x2-1的图象：
y=2x2
由y=2x2的图象向下平移 1个单位得到
y=2x2-1
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0,-1）
函数y=ax2+c（a＞0）的图象性质 平移： 由y=ax2向上或向下 平移︱c︱个单位得到 开口方向： 向上 对称轴： y轴 顶点坐标：（0，c）
增减性： x＜0时，y随x的增大而减小 x＞0时，y随x的增大而增大
（1）这个函数的图象形状是怎样的？ （1）图象是一条抛物线；
（2）图象与x轴的交点坐标是什么？ （2）有交点，坐标为（0,0）；
（3）y随x的变化而怎样变化？ （3）当x＜0时，y随x的增大而减小， 当x＞0时，y随x的增大而增大；
（4）x取何值时，y的值最小？是多少？
（4）当x=0时，y的值最大，y最大值=0；
，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2-
1 2
的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交
流. y=2(x+3)2
1 y=2(x+3)2- 2
y=2x2 y=2x2- 1
2
y=2x2- 1 的图象：由y=2x2的图象向下平
2
移 1 个单位得到.
2
y=2(x+3)2的图象：由y=2x2的图象向左平 移3个单位得到.
，y随x的增大而减小
x＜-
b 2a
，y随x的增大而增大
a＜0时，x＞-
b 2a
，y随x的增大而增大
x＜ - 2ba，y随x的增大而减小
最值：
a＞0时，x=-
b 2a
，y最小值=
4ac - b2 4a
a＜0时，x=- 2ba，y最大值=
4ac - b2 4a
随堂练习：
（1）y=2x2-12x+3；（2）y=-5x2+80x-319；
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《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
5.二次函数的图像和性质课件
大
-1
当x=0时，y取最____值____。
02
知识精讲
平移口诀1
函数y=x2+1的图像可以由函数y=x2的图像向上平移一个单位长度得到；
函数y=x2-1的图像可以由函数y=x2的图像向下平移一个单位长度得到；
函数y=-x2+1的图像可以由函数y=-x2的图像向上平移一个单位长度得到；
函数y=-x2-1的图像可以由函数y=-x2的图像向下平移一个单位长度得到。
的图像和性质
01
情境引入
Q1：用描点法画出y=(x+3)2的图像，并与y=x2作对照
x
…
y=(x+3)2 …
x
y=x2
-6 -5
9 4
…
…
-4
1
-3
9
-3
0
-2
4
-2
1
-1
1
-1
4
0
0
0
9
1
1
…
…
2
4
当自变量偏移3个单位长
将点(1,1)向左平移3个
度时，两个函数的值相同
单位长度得(-2,1)……
3
【平移口诀1】上加下减
02
知识精讲
练一练1：根据平移口诀1，完成下列填空：
下
4
向_____平移_____个单位得到
上
8
向_____平移_____个单位得到
下
3
向_____平移_____个单位得到
上
6
向_____平移_____个单位得到
02
知识精讲
练一练2：根据练一练1平移后的图像，完成下列填空：
5
y=-2x2+3
-1
当x=0时，y取最____值____。
02
知识精讲
平移口诀1
函数y=x2+1的图像可以由函数y=x2的图像向上平移一个单位长度得到；
函数y=x2-1的图像可以由函数y=x2的图像向下平移一个单位长度得到；
函数y=-x2+1的图像可以由函数y=-x2的图像向上平移一个单位长度得到；
函数y=-x2-1的图像可以由函数y=-x2的图像向下平移一个单位长度得到。
的图像和性质
01
情境引入
Q1：用描点法画出y=(x+3)2的图像，并与y=x2作对照
x
…
y=(x+3)2 …
x
y=x2
-6 -5
9 4
…
…
-4
1
-3
9
-3
0
-2
4
-2
1
-1
1
-1
4
0
0
0
9
1
1
…
…
2
4
当自变量偏移3个单位长
将点(1,1)向左平移3个
度时，两个函数的值相同
单位长度得(-2,1)……
3
【平移口诀1】上加下减
02
知识精讲
练一练1：根据平移口诀1，完成下列填空：
下
4
向_____平移_____个单位得到
上
8
向_____平移_____个单位得到
下
3
向_____平移_____个单位得到
上
6
向_____平移_____个单位得到
02
知识精讲
练一练2：根据练一练1平移后的图像，完成下列填空：
5
y=-2x2+3
二次函数y=ax2的图象和性质ppt课件
例4 如图， 四个二次函数的图象分别对应 ① y=ax2 ；② y=bx2；
③ y=cx2；④ y=dx2，且①与③，②与④分别关于x 轴对称.
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a 与c，b 与d 的数量关系.
解：(1)由抛物线的开口方向，知 a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0，
由抛物线的开口大小，知 |a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d. ∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. (2)∵①与③，②与④分别关于x 轴对称，
∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
课堂练习
1、下列函数中，y总随x增大而减小的是( B )
归纳总结
位置开 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
口方向
a的绝对值越大，开口越小
对称性 顶点最值
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
1、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象, 则k的取值范围是 k>1 .
复习引入
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
①
②
③
④
⑤
3.一次函数的图象是一条 直线.
4.通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们 来学习最简单的二次函数y=ax2的图像
不同点： a的值越大，开口越小.
二次函数的图像和性质初中数学经典课件
________________，对称轴是过顶点且平行于_____的一条直线． (2) 若a＞0，则当x＝______时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最_____值,为
________ ； 若 a ＜ 0 ， 则 当 x ＝ _____ 时 ， 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 有 最 _____值，为________． 2. 用 配方 法 可 将二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 转 化 为 y＝ a(x ＋ ____)2 ＋ _______．
5.2 二次函数的图像和性质
1.理解二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x+h)2+k之间的关系 2.掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
3.体会二次函数y=ax2+bx+c的图像与a，b，c之间的关
系
思考（一） 请说出抛物线y=ax²+k， y=a（x+h）²，y=a（x+h）²+k 的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)若该函数的图像不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函
数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
∴最大值与最小值之差是 25(不合题意，舍去)． 当 b＞0 时，c＞0，若函数的图像不经过第三象限，则 b2 －4×2b≤0，∴0＜b≤8.∴－4≤－b2＜0. 当－5≤x≤1 时，函数有最小值－b42＋2b， 当－b2≤－2，即 b≥4 时，函数有最大值 1＋3b； 当－b2＞－2，即 b＜4 时，函数有最大值 25－3b.
1. “提”：提出 二次项系数；
方
y＝ - (x+2)2-1.
y＝ － (x2+4x＋4－4)-5 y＝ － (x+2) 2－5+4 y＝ － (x+2) 2－1
________ ； 若 a ＜ 0 ， 则 当 x ＝ _____ 时 ， 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 有 最 _____值，为________． 2. 用 配方 法 可 将二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 转 化 为 y＝ a(x ＋ ____)2 ＋ _______．
5.2 二次函数的图像和性质
1.理解二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x+h)2+k之间的关系 2.掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
3.体会二次函数y=ax2+bx+c的图像与a，b，c之间的关
系
思考（一） 请说出抛物线y=ax²+k， y=a（x+h）²，y=a（x+h）²+k 的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)若该函数的图像不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函
数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
∴最大值与最小值之差是 25(不合题意，舍去)． 当 b＞0 时，c＞0，若函数的图像不经过第三象限，则 b2 －4×2b≤0，∴0＜b≤8.∴－4≤－b2＜0. 当－5≤x≤1 时，函数有最小值－b42＋2b， 当－b2≤－2，即 b≥4 时，函数有最大值 1＋3b； 当－b2＞－2，即 b＜4 时，函数有最大值 25－3b.
1. “提”：提出 二次项系数；
方
y＝ - (x+2)2-1.
y＝ － (x2+4x＋4－4)-5 y＝ － (x+2) 2－5+4 y＝ － (x+2) 2－1
二次函数 的图象和性质--PPT课件
点（h，k）坐标 Nhomakorabea对
称
x=h
轴
最 值
最小值为k
最大值为k
新知应用-----基础知识
新知应用-----拓展提高
这节课你学到了什么
图像及性质 合作、分享 类比、化归
知识 方法 思想
作业布置
• 课后习题 • 练习册
送给大家
函数是纲 纲举目张 数形结合 相得益彰
形如y=a（x-h）2+k二次函数图像性质探索
文件名
抛物 线
开口 方向
顶点 坐标
对称 轴
y=ax2(a>0) y=ax2(a<0)
向上
向下
（0，0） y轴
最值 最小值为0 最大值为0
温馨提示：鼠标拖动点A
文件名
抛物 线
开口 方向
顶点 坐标
对称 轴
y=ax2+k y=ax2+k （a>0) （a<0)
向上
向下
（0，K）
y轴
最值 最小值为k 最大值为k
文件名
抛物 线
开口 方向
顶点 坐标
对称 轴
最值
y=a（x-h）2 y=a（x-h）2
（a>0)
（a<0)
向上
向下
（h，0）
x=h
最小值为0
最大值为0
文件名
抛
物 y=a（x-h）2+k
线
（a>0)
y=a（x-h）2+k （a<0)
开
口
向上
方
向
向下
顶
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
二次函数图像和性质复习课件精选全文
例4 已知抛物线 y x2 k 4 x k 7,
①k取何值时，抛物线经过原点； ②k取何值时，抛物线顶点在y轴上； ③k取何值时，抛物线顶点在x轴上； ④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y
＝0，所以 0 02 k 4 0 k 7，所以k＝
－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；
在对称轴右侧，y随x的增大而减小
y x
y x
4．二次函数 y ax2 bx c 的性质：
（1）顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当 x
b 2a
②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，
即
b
k 4
0
，所以k＝－4，所
2a
21
以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。
③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即 4ac b2 4 1 k 7 k 42 0 ，整理得
4a
4 1
k2 4k 12 0 ，解得：k1 2, k2 6 ，所 以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴 上。 ④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6 时，抛物线的顶点在坐标轴上。
2a
①若b＝0对称轴为y轴，
②若a，b同号对称轴在y轴左侧，
③若a，b异号对称轴在y轴右侧。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴 交点的位置。 当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c 与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0抛物线经过原点； ②c＞0与y轴交于正半轴； ③c＜0与y轴交于负半轴。
人教版九年级上册22.二次函数的图像与性质课件(共129张)
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
二次函数的图像与性质ppt课件
二次函数y=-2x2+1的 图象形状与y=-2x2 一样,仍是抛物线.
y
位置不同; 最小值不同: 分别是1和0.
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).
二次项系数为-2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是
y轴;增减性与也相同.
y=-2x2+1
y=-2x2
你能描述二次函数
y=ax2+c和y=ax2的图象和
抛物线
y=ax2 +c(a>0)
y=ax2 +c(a<0)
顶点坐标
（0，c）
（0，c）
对称轴
y轴
当c>0时,在x轴的上方 图像位置 当c<0时,与x轴相交.
开口方向
向上
y轴
当c<0时,在x轴的下方 当c>0时,与x轴相交
向下
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x<0时,y随着x的增大而减小. x<0时,y随着x的增大而增大.
增减性 x>0时,y随着x的增大而增大. x>0时,y随着x的增大而减小.
最值 当x=0时,最小值为c. 当x=0时,最大值为c6.
例3、如图，函数y ax2与y ax a在同一坐标系中的图像大致是
7
二次函数y=ax²+c与y=ax²的关系
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平 移|c|个单位得到的. (c>0时向上平移;c<0时,向下平移).
1
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.图像位置与开口方向 ３.增减性与最值
二次函数的图像和性质ppt课件
二次函数与其他数学知识的综合应用
与三角函数的结合
在解决一些复杂的数学问题时，二次函数与三角函数经常需要结合使用，如振 动和波动的问题。
与解析几何的结合
二次函数图像与直线、圆等几何图形结合时，可以形成一些有趣的几何问题， 如切线、相交弦等。
05
习题与解答
基础习题
01
02
03
题目1
请画出二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图像。
题目6
已知二次函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$(1,3)$上有零 点，求该零点的近似值。
答案与解析
题目1答案与解析：答案略，
解析略。
01
题目2答案与解析：答案略，
解析略。
02
题目3答案与解析：答案略，
解析略。
03
题目4答案与解析：答案略，
解析略。
04
题目5答案与解析：答案略，
解析略。
详细描述
对于开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处，可以通过公式x=-b/2a求得顶点的 横坐标，进而求得最小值；对于开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处，同样可
以通过公式x=-b/2a求得顶点的横坐标，进而求得最大值。
二次函数的增减性
总结词
由二次函数的开口方向和对称轴决定，对称轴左边函数值随x增大而减小，对称轴右边函数值随x增大而增大。
05
题目6答案与解析：答案略，
解析略。
06
THANK YOU
感谢聆听
二次函数的图像和性质ppt课 件
目
CONTENCT
录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 习题与解答