四年级奥数第13讲数数图形(教师版)

四年级奥数第13讲数数图形（教师版）xλ①认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形；λ②学会数基本图形的个数；λ③掌握数图形的规律。

一、学会数图形同学们,你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数,从中发现规律,以便得到正确的结果。

要正确数出图形的个数,关键是要从基本图形入手。

首先要弄清图形中包含的基本图形是什么,有多少个,然后再数出由基本图形组成的新的图形,并求出它们的和。

当我们识了线段、角、三角形、长方形等基本图形后,这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。

要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数,就需要仔细地观察,灵活地运用有关的知识和思考方法,掌握数图形的规律,才能获得正确的结果。

二、解题策略要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1.弄清被数图形的特征和变化规律。

2.要按一定的顺序数,做到不重复,不遗漏。

考点一：基本图形例1、数出下图中有多少条线段？【解析】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。

以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的线段有：CD 1条。

所以,图中共有线段3+2+1=6（条）。

方法二：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数,那么,由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。

所以,图中一共有3+2+1=6（条）线段。

例2、数出图中有几个角？【解析】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。

方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD 3个；以OB为一边的角还有：∠BOC、∠BOD 2个；以OC为一边的角还有：∠COD 1个。

所以,图中共有角3+2+1=6（个）。

方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角来数,那么,由1个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC、∠BOD 2个；由3个基本角构成的角有：∠AOD 1个。

所以,图中一共有3+2+1=6（个）角。

例3、数出右图中共有多少个三角形？【解析】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。

以PA为边的三角形有：△PAB、△PAC、△PAD、3个；以PB为边的三角形还有：△PBC、△PBD 2个；以PC为边的三角形还有：△PCD 1个。

所以,图中共有三角形3+2+1=6（个）。

方法二：把图中三角形△PAB、△PBC、△PCD看做基本三角形来数,那么,由1个基本三角形构成的三角形有：△PAB、△PBC、△PCD 3个；由2个基本三角形构成的三角形有: △PAC、△PBD 2个；由3个基本三角形构成的三角形有：△PAD 1个。

所以,图中一共有3+2+1=6（个）三角形。

方法三：我们发现,要数出图中三角形的个数,只需数出线段AD中包含几条线段就可以了,即3+2+1=6（个）。

所以图中共有6个三角形。

例4、数出下图中有多少个长方形？【解析】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样,长方形是由长、宽两对线段围成,线段CD上有3+2+1=6（条）线段,其中每一条与AC中一条线段对应,分别作为长方形的长和宽,这里共有6×1=6（个）长方形,而AC上共有2+1=3（条）线段也就有6×3=18（个）长方形。

它的计算公式为：长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数：（3+2+1）×（2+1）=18（个）例5、数一数,下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）【解析】图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个,边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个,边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。

所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。

经进一步分析可以发现,由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。

考点二：较复杂的问题例1、有5个同学,每两个人握手一次,一共要握手多少次？【解析】这道题可以用数线段的方法来解答。

根据题意,画出线段图,每一个端点代表一个同学。

从图上可以看出,第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次；第2个同学还要与其余3个同学握手共握手3次,第3个同学要与其余2个同学握手共握手2次；第4个同学还要与最后1个同学握手共握手1次。

所以,一共要握手4+3+2+1=10（次）例2、从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站,铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？【解析】这道题是数线段的方法在实际生活中的应用,连同广州、北京在内,这条铁路上共有10个站,共有1+2+3+…+9=45条线段,因此要准备45种不同的车票。

由于这些车站之间的距离各不相等,因此,有多少种不同的车票,就有多少种不同的票价,所以共有45种不同的票价。

例3、求下列图中线段长度的总和。

（单位：厘米）【解析】要求图中的线段长度总和,可以这样计算：AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE=1+（1+4）+（1+4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352厘米从上面的计算中可以发现这样一个规律,算式中长1厘米的基本线段（我们把不能再划分的线段称为基本线段）出现了4次,长4厘米的线段出现了（3×2）次,长2厘米的线段出现了（2×3）次,长3厘米的线段出现了（1×4）次,所以,各线段长度的总和还可以这样算：1×4+4×（3×2）+2×（2×3）+3×（1×4）=1×（5－1）+4×（5－2）×2+2×（5－3）×3+3×（5－4）×4=52厘米上式中的5是线段上的5个点,如果设线段上的点数为n,基本线段分别为a1、a2、…a(n－1)。

以上各线段长度的总和为L,那么L= a1×(n－1)×1+ a2×(n－2)×2+ a3×(n－3)×3+…+ a(n－1)×1×(n－1)例4、下图中共有多少个三角形？【解析】为了保证不漏数又不重复,我们可以分类来数三角形,然后再把数出的各类三角形的个数相加。

（1）图中共有6个小三角形；（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。

所以共有6＋3＋4＋1=14个三角形。

例5、数出下图中所有三角形的个数。

【解析】和三角形AFG一样形状的三角形有5个；和三角形ABF一样形状的三角形有10个；和三角形ABG一样形状的三角形有5个；和三角形ABE一样形的三角形有5个；和三角形AMD一样形状的三角形有5个,共35个三角形。

例6、如下图,平面上有12个点,可任意取其中四个点围成一个正方形,这样的正方形有多少个？【解析】把相邻的两点连接起来可以得到下面图形,从图中可以看出：（1）最小的正方形有6个；（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个；（3）中间还可围成2个正方形。

所以共有6＋2＋2=10个。

例7、数一数,下图中共有多少个三角形？我们可以分类来数：1、单一的小三角形有16个；2、两个小三角形组合的有10个；3、四个小三角形组合的有8个；4、八个小三角形组合的有2个。

所以,图中一共有16＋10＋8＋2=36个三角形。

➢课堂狙击1、数出下图中有多少条线段？【解析】我们可以采用以线段左端点分类数的方法。

以A点为左端点的线段有4条；以B点为左端点的线段有3条；以C点为左端点的线段有2条, 以D点为左端点的线段有1条。

所以图中共有线段4+3+2+1=10（条）。

2、数出图中有几个角？【解析】以OA为一边的角有2个；以OB为一边的角还有1个；以OC为一边的角还有：∠COD 1个。

所以,图中共有角2+1=3（个）。

3、数出图中共有多少个三角形？【解析】我们可以采用按边分类数的方法。

以BA为边的三角形有4个；以AC 为边的三角形还有3个；以AD为边的三角形还有2个,以AE为边的三角形还有1个。

所以,图中共有三角形4+3+2+1=10（个）。

4、数出下图中有多少个长方形？【解析】长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）5、银海学校三年级有9个班,每两个班要比赛拔河一次,这样一共要拔河几次？【解析】第一个班要和其余8个班比赛一次,第二个班又要和剩下7个班比赛一次,依次下去,总数是：8+7+6+5+4+3+2+1=36场。

6、从上海到武汉的航运线途中,有9个停靠码头,航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？【解析】算上上海、武汉一共有11个码头,一共有10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55条线段,那么算上往返的船票,一共是110种。

7、数一数,图中共有多少个三角形。

【解析】一共有22+10=32个。

8、下图中共有8个点,连接任意四点围成一个长方形,一共能围成多少个长方形？【解析】一共3+2+1=6个。

➢课后反击1、数出下图中有几个长方形？【解析】一共5+4+3+2+1=15个。

2、数出图中有几个角？【解析】一共4+3+2+1=10个。

3、数出图中共有多少个三角形？【解析】一共有（4+3+2+1）+（4+3+2+1）=20个。

4、数出下图中有多少个长方形？【解析】一共有：4+1+1+1=7个。

5、有1,2,3,4,5,6,7,8等8个数字各用一次,能组成多少个不同的两位数？【解析】个位为8,十位可以有7种；个位为7,十位也可以有7种；依次推,最后一共有：56种。

6、从上海至青岛的某次直快列车,中途要停靠6个大站,这次列车有几种不同票价？【解析】一共有8个站,那么一共有：7+6+5+4+3+2+1=28条线段,那么一共有28种票价。

7、下面图中共有多少个三角形？【解析】一共有：5+6+2+1=14个。

8、下图中共有多少个正方形,多少个三角形？【解析】正方形一共有：4+4+1+1=10个；三角形一共有：16+16+8+4=44个。

9、下图中共有6个点,连接其中的三点围成一个三角形,一共能围成多少个三角形？【解析】一共有5个。

1、下边三个图中都有一些三角形,在图A中,有个；在图B中,有___个；在图C 中,有______个。

（第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试）【解析】5；8；52、数一数,图中有_________个三角形。