四年级奥数第一讲_图形的计数问题
四年级奥数思维训练专题-数数图形
四年级奥数思维训练专题-数数图形专题简析：当线段、角、三角形、长方形等图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形.要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，必须注意以下几点：1，弄清被数图形的特征和变化规律.2，要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏.例1：数一数下图中共有多少个三角形.分析：以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个；以EF上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个.所以图中共有6×2=12个三角形.试一试1：数一数下面各图中各有多少个三角形.（）个三角形（）个三角形例2：数一数下图中有多少个长方形.·分析：数长方形与数线段的方法类似.可以这样思考，图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段，AB边上的线段条数是1+2+3=6条，所以图中有6个长方形.试一试2：数一数下面各图中分别有多少个长方形.（）个长方形数数图形（二）专题简析：“数图形”时，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来.例1：数一数下图中有多少个长方形？分析：AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形.即：长边线段数×宽边线段数=长方形的个数试一试1：数一数，下图中有( )个长方形.例2：数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）分析：图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个.所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个.经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n.试一试2：数一数下图中有（）个正方形.（每个小方格为边长是1的小正方形）例3：数一数右图中有多少个正方形？(其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形)分析：边长是1个长度单位的正方形有6×4=24个；边长是2个长度单位的正方形有（6－1）×（4－1）=15个；边长是3个长度单位的正方形有（6－2）×（4－2）=8个；边长是4个长度单位的正方形有（6－3）×（4－3）=3个；共有：24＋15＋8＋3=50个.如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m －2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)·1试一试3：数一数下图中有( )个正方形.。
北师大版四年级上册数学课件-《图形计数》 (共 24 张ppt)(最新版)
创新思维（数正方形）：
1234 123
5678
数正方形方法：
拓展训练（数正方形）：
数图形方法大荟萃
数基础线段、角、三角形、长方形常用方法：
数较复杂三角形、长方形方法：
数正方形方法：
“
感谢观看
作业
”
“ 数图形 ”“ 01授课内容数基础线段、角、三角形
02 数三角形
03 数长方形
”
04 数正方形
数线段
4 + 3 + 2 + 1 = 10（条）
数角
3 + 2 + 1 = 6（个）
数三角形
4 + 3 + 2 + 1 = 10（个）
数长方形
4 + 3 + 2 + 1 = 10（个）
数基础线段、角、三角形、长方形常用方法：
举一反三（数线段）：
5+4+3+2+1=15（条） 2+1=3（条）
举一反三（数三角形）：
5+4+3+2+1=15（个）
举一反三（数三角形）：
+4
举一反三（数长方形）：
举一反三（数长方形）：
数较复杂三角形、长方形方法：
拓展训练（数长方形）：
创新思维（数正方形）：
创新思维（数正方形）：
小学四年级奥数全册精品讲义
7.把一条长 15cm 的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线 段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等 时，我们称这两个三角形是相同的.）
如果 M 位上放置标有数码“3”的纸片，一共有_____种不同的放置方法.
M
4.如下图,在 2×2 方格中,画一条直线最多可穿过 3 个方格,在 3×3 方格中, 画一条直线最多可穿过 5 个方格.那么 10×10 方格中,画一条直线最多可穿过 _____个方格.
5. 有一批长度分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 和 11 厘米的细木条,它们的 数量都足够多,从中适当选取 3 根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定 底边是 11 厘米长,你能围成多少个不同的三角形?
第一讲 加乘原理
加法原理：完成一件工作共有 N 类方法。在第一类方法中有 m1种不同的方法，在第二 类方法中有 m2种不同的方法，……，在第 N 类方法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件工 作共有 N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn 种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以 独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任 何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不 同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
这两个基本原理是排列和组合的基础，教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、 行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。
奥数知识点 图形计数精编版
巧数图形例1、数出下图中共有多少条线段。
分析与解：对于基础图形，用最小线段为单位，按序递增。
单拼：3（段），双拼：2（段），三拼：1（段）通过以上的计数方法可以发现：开小火车的方式解决。
最小线段（基础线段）的数量为火车头火车头为基础线段数3段：3+2+1=6（段）或者，线段个数=基础线段数×端点÷2（高阶）基础线段要求：手拉手，肩并肩对于相交的线段，分别计算各个方向，然后加总例2、数出下页左上图中锐角的个数。
分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决。
最小线段的数量为火车头。
或者，角的个数=最小角个数×（最小角个数+1）÷2又，角的个数=射线的个数×（射线个数-1）÷2例3、下列各图形中，三角形的个数各是多少？分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决，最小线段的数量为火车头。
所以，三角形个数=底边线段个数(每个底边基础线段构成一个基础三角形)或者，三角形的个数=最小三角形个数×（最小三角形个数+1）÷2（高阶）以上的内容基本是单层规整图形：数线段（数角，数三角形），解决方法：开小火车！对于多层规整的图形，应该以单层规整图形为基础，运用技术，算出多层规整图形的数量。
例4、下列图形中各有多少个三角形？分析与解：方法（1）使用分层计数法：方法（2）公式法：第一层三角形的总数×层数例5、下列图形中各有多少个三角形？分层法：上下上下层：总小TIPS ：吹泡泡法例6、右图中有多少个三角形？例7、右图中有多少个三角形？分析与解：对于不规则的图形，数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单拼三角形1、4、3号，共3个。
再数两个图形合成的（双拼）三角形，1+2号，2+3号，3+4号，4+1号，按顺序两个两个合并，共4个三角形。
最后数由1+2+3+4号组成的（四拼）大三角形，有1个。
所以3+4+1=8，共8个三角形。
2022年奥数知识点图形计数
巧数图形例1、数出下图中共有多少条线段。
分析与解：对于基本图形，用最小线段为单位，按序递增。
单拼：3（段），双拼：2（段），三拼：1（段）通过以上旳计数措施可以发现：开小火车旳方式解决。
最小线段（基本线段）旳数量为火车头火车头为基本线段数3段：3+2+1=6（段）或者，线段个数=基本线段数×端点÷2（高阶）基本线段规定：手拉手，肩并肩对于相交旳线段，分别计算各个方向，然后加总例2、数出下页左上图中锐角旳个数。
分析与解：对于基本图形，可以使用开小火车旳方式解决。
最小线段旳数量为火车头。
或者，角旳个数=最小角个数×（最小角个数+1）÷2又，角旳个数=射线旳个数×（射线个数-1）÷2例3、下列各图形中，三角形旳个数各是多少？分析与解：对于基本图形，可以使用开小火车旳方式解决，最小线段旳数量为火车头。
因此，三角形个数=底边线段个数(每个底边基本线段构成一种基本三角形)或者，三角形旳个数=最小三角形个数×（最小三角形个数+1）÷2（高阶）以上旳内容基本是单层规整图形：数线段（数角，数三角形），解决措施：开小火车！对于多层规整旳图形，应当以单层规整图形为基本，运用技术，算出多层规整图形旳数量。
例4、下图形中各有多少个三角形？分析与解：措施（1）使用分层计数法：图（1）图（2）上层：4+3+2+1=10（个）上层：4+3+2+1=10（个）下层： 0（个）中层： 0（个）上下层：4+3+2+1=10（个）下层： 0（个）上中层：4+3+2+1=10（个）中下层： 0（个）上中下层：4+3+2+1=10总数：10+0+10=20（个）总数：10+10+10=30（个）措施（2）公式法：第一层三角形旳总数×层数公式法：第一层三角形旳总数×层数图（1）图（2）第一层：4+3+2+1=10（个）第一层：4+3+2+1=10（个）层数： 2（层）层数： 3（层）总数：10×2=20（个）总数：10×3=30（个）例5、下图形中各有多少个三角形？分层法：上层：4+3+2+1=10（个）下层： 4（个）（吹泡泡法）上下层：4+3+2+1=10（个）总数：10+4+10=24（个）小TIPS：吹泡泡法例6、右图中有多少个三角形？例7、右图中有多少个三角形？分析与解：对于不规则旳图形，数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单拼三角形1、4、3号，共3个。
石头老师四年级奥数竞赛班计数专题
航创四年级竞赛班计数专题1.10块巧克力每天至少吃1块吃完为止，有几种不同的吃法？2.有十级台阶，每次可以走1级或者2级，有几种不同的走法？3.有十级台阶，每次可以走1级或者2级或者3级，有几种不同的走法？4.有十级台阶，每次可以走1级或者3级，有几种不同的走法？5.4*5的网格，每次只能往上或者往右走一格，从左下角走到右上角有几种不同的走法？6.4*5的网格，每次只能往上或者往下或者往右走一格（不能走回头路），从左下角走到右上角有几种不同的走法？7.有100个1分的硬币，50个2分的硬币，20个5分的硬币，凑出1元钱，有几种不同的凑法？8.1,2,3,4,5,6,7,8这8个数字分成和相同的2组，有几种不同的分法？9.有个三位数，各个数位上的数字和是24，这样的三位数有几个？10.5条直线最多把一个平面分成几份？（5个圆呢？）。
5个平面最多把空间分成几份？11.把六个人分成3组，每组两人，一组扫地，一组擦卓，一组搬桌子，共有几种不同的分法？12.把六个人分成3组，每组两人，共有几种不同的分法？13.有一批规格相同的均匀圆棒,每根划分成相同的5节,每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂.问可以得到多少种着色方式不同的圆棒?14.667三张数字卡片可以组成几个不同的三位数？15.从1～9这九个数中,取出2个数,他们的和必须大于10,有几种不同的取法？16.用0、1、2、3、8、7六个数字可以组成（）个能被9整除而又没有重复数字的四位数。
17.小明为了练习加法,做了分别写着1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数的卡片放在右边的抽屉里,又做了同样的十张放在左边的抽屉里,然后每次从两个抽屉各取一张卡片做加法,这样一共可以组成几个不同的算式？其中和为偶数的情况有几种？(1+2和2+1算作同一种算式)18.有一批长度分别为1、2、3、4、5、6厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取3根木条作为三条边,可能围成几个不同的三角形？19.八张相同的卡片分给五名学生（每人至少分一张）有几种不同的分法？20.八张相同的卡片分给五名学生有几种不同的分法？21.有四颗不同的棋子，放到4*4的正方形网格里，每行每列只能放一颗，有几种不同的放法？。
四年级奥数思维第 17 18 周 图形问题
(1)
(2)
(3)
例 3：数一数图中共有多少个三角形。
分析：
0
疯狂操练 3： 数一数下面图中各有多少个三角形。
(1)
(2)
例 4：数一数下图中共有多少个三角形。 分析：
疯狂操练 4： 数一数下面各图中各有多少个三角形。
AB
CD
(3)
O
A'
D'
AB C
D
例 5：数一数下图中有多少个三角形。
分析：
A
2、弄清被数图形的特征和变化规律。 3、要按一定的顺序数，做到不重不漏。 二、教学过程： 例 1：数出下图有多少条线段。 分析：
A
B
C
D
疯狂操练 1： 数出下列图形中有多少条线段。
（1）
A
B
C
(2)
（3）
例 2：数一数下图有多少个锐角。 分析：
DE
O
疯狂操练 2： 下列各图分别有多少个锐角三角形
E D C B
数数图形拓展练习
1、数出下列图中有多少条线段。
(1)
(2)
2、数出下图中有多少个锐角。
3、数一数下图中各有多少个三角形。
(1)
(2)
A1 A2
A3 A11
A12
(3)
4、数一数下图中各有多少个长方形。
(1)
(2)
(3)
5、数一数下面的图形中有多少个正方形。
(1)
(2)
6、下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形。
分析：
疯狂操练：9
（1）、从上海到武汉的航运线上，有 9 个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少
种不同的船票？
（2）、从上海到青岛的某次直快列车，中途要停靠 6 个大站，这次列车有几种不同票价？
四年级奥数
第一讲：培养你的探究能力——数串规律1.计算出下面数列从左往右数的第10个数是什么？1 7 13 19 25 …2.1＋1，2＋3，3＋5，1＋7，2＋9，3＋11，1＋13，2＋15，3＋17，…，第20个算式是多少？3.观察下面各题中的排列规律，然后填上所缺的数。
①②③4.找出下面各数的排列规律，然后填上适当的数。
5.①如果5123变成2153，那么“汪相”应变成（）②如右上图，按规律填出空格中的字母。
6.下面三个正方形内的数有相同的规律，请你找出它们的规律，并填出B、C，然后确定A,那么A是。
7. 四盏灯组成舞台彩灯，每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色……这样一直进行下去，开灯1小时后，四盏灯的颜色排列是。
8.1＋2,2＋4,3＋6,4＋8,1＋10,2＋12,3＋14,4＋16,1＋18,…，问第21个算式是（）＋（）。
9.有一张写着1至100的自然数表。
在表中的相邻两行中各取连续的3个数，如图用方框围起来，这6个数的和是108，如果在这张数表上，照上面的方法围出6个数的和是480，那么方框里最大的数应该是多少？10.计算123＋234＋345＋456＋567＋678＋789.第二讲：培养你的探究能力——数阵规律1.观察下面数列的排列规律，并填上合适的数。
11×11＝121111×111＝123211111×1111＝1234321……11111111×11111111＝（ ）2.根据数列中的规律填空。
3×4＝12 33×34＝1122 333×334＝1112223333×3334＝（ ）=⨯4333333100（）个个 （ ） 3.观察下列算式：2＋4＝6＝2×32＋4＋6＝12＝3×42＋4＋6＋8＝20＝4×5……2＋4＋6＋…＋100＝？4.根据规律填数。
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第一讲图形的计数问题
一、知识点：
几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．
二、典例剖析：
例（1）数出右图中总共有多少个角
分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：
4＋3＋2＋1＝10（个）
解：4＋3＋2＋1＝10（个）
答：图中总共有10个角。
方法2：用公式计算：边数×（边数—1）÷2
5×（5-1）÷2=10
练一练：
数一数右图中总共有多少个角？
例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？
分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC纵向线段，再看BC、MN、GH 这3条横向线段：
（4×3÷2）×5+（5×4÷2）×3=60（条）
②要数有多少个三角形，先看在△ABC中，被GH和MN分成了三层，每一层的
三角形一样多，所以只要算出一层三角形个数就可以了。
(5×4÷2) ×3=30(个)
答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。
练一练：
图中共有多少个三角形？
例（3）数一数图中长方形的个数
分析：长边线段有：6×5÷2=15
宽边线段有： 4×3÷2=6
共有长方形：15×6 = 90（个）
答：共有长方形90个。
练一练： 数一数图中长方形的个数
例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方
形）
.
分析： 数正方形比较简单的方法是包围计数法。
解： 正方形总数为：
6×5+5×4+4×3+3×2+2×1
=30+20+12+6+2=70（个）
练一练：
下图共有几个正方形?
例（5）数一数图中三角形的个数
分析： 这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线
段的最小三角形开始.
Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：
W ①上=1+2+3+4=10（个）.
C
D A B
a
②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：
W ①下=1+2+3=6（个）.
Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：
W ②上=1+2+3=6（个）.
②尖朝下的三角形只有一个，记为W ②下=1（个）. Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：
W ③上=1+2=3（个）.
②尖朝下的三角形零个，记为W ③下=0（个）.
Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为： W ④上=1（个）.
解： 所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.
答：三角形的总数是个27个。
练习二：
1、.下列图形各有几条线段
( )条 ( )条
( )条
2、一条直线上共有50个点,可以数出( )条线段.
3、数一数下图有（ ）个长方形.
B C
D
4、下图共有( )个平行四边形.
5、下图共有几个正方形?。