2021年北京市朝阳区高三一模数学
（A） y 3 y 1 x 2
（6）在△ABC 中，若 a2 b2 c2 ac 0 ，则 B
（A） π 6
（B） π 4
（C） π 3
（D） y 2x
（D） 2π 3
（7）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥最长的棱长为 （A） 2
m 3 2 ．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用 x 应投入________万元． x 1
（15）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经 济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 f (x)
是定义在 R 上的函数，对于 x0 R ，令 xn f (xn1) （ n 1, 2,3,L ），若存在正整数 k 使得 xk x0 ，且 当 0 j k 时， xj x0 ，则称 x0 是 f (x) 的一个周期为 k 的周期点．给出下列四个结论：
BC // AD ， CD AD ， BC CD 1， AD 2 ． （Ⅰ）求证： AB // 平面 POC ； （Ⅱ）求二面角 B AP D 的余弦值．
高三数学试卷 第 3 页（共 5 页）
（18）（本小题 14 分） 我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭
① 若 f (x) ex1 ，则 f (x) 存在唯一一个周期为 1 的周期点；
② 若 f (x) 2(1 x) ，则 f (x) 存在周期为 2 的周期点；
高三数学试卷 第 2 页（共 5 页）
③
若
f
(x)
2x,
x
1 2
,
2(1 x), x
则 1, 2
f (x) 不存在周期为 3 的周期点；
（B） 5
（C） 6
（D） 2 2
高三数学试卷 第 1 页（共 5 页）
（8）在△ABC 中，“ tan Atan B 1”是“△ABC 为钝角三角形”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（9）已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，点 P 是直线 l 上的动点．若点 A 在抛物线 C 上，且
（B） 1
（C） 2
（D） 3
（4）已知圆 x2 y2 4 截直线 y kx 2 所得弦的长度为 2 3 ，则实数 k
（A） 2
（B） 3
（C） ± 2
（D） ± 3
（5）已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1 （ a 0 ， b 0 ）的离心率为 2，则双曲线 C 的渐近线方程为
人均年纯收入情况，某扶贫工作组对 A，B 两个地区 2019 年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取 500 户家 庭作为样本，获得数据如下表：
A 地区 B 地区 2019 年人均年纯收入超过 10000 元 100 户 150 户 2019 年人均年纯收入未超过 10000 元 200 户 50 户 假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过 10000 元相互独立． （Ⅰ）从 A 地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，估计该家庭 2019 年人均年纯收入超过 10000 元的概 率； （Ⅱ）在样本中，分别从 A 地区和 B 地区 2019 年脱贫家庭中各随机抽取 1 户，记 X 为这 2 户家庭中 2019 年人均年纯收入超过 10000 元的户数，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）从样本中 A 地区的 300 户脱贫家庭中随机抽取 4 户，发现这 4 户家庭 2020 年人均年纯收入都超过 10000 元．根据这个结果，能否认为样本中 A 地区 2020 年人均年纯收入超过 10000 元的户数相比 2019 年有变化？请说明理由．
北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一
数学
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
2021．3
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合 A {1,0,1, 2,3}， B {x | x 1 0}，则 A I B
log2 x, x 1,
（13）已知向量 a ( 3,1) ，b (x, y)（ xy 0 ），且 b 1 ，a b 0 ，则向量 b 的坐标可以是________．（写
出一个即可）
（14）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件 A 商品获利 8 元．现计划在“五一”期间对 A 商品进 行广告促销，假设售出 A 商品的件数 m （单位：万件）与广告费用 x （单位：万元）符合函数模型
AF 5 ，则 PA PO （ O 为坐标原点）的最小值为
（A） 8
（B） 2 13
（C） 41
（D） 6
（10）在棱长为1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 是线段 BC1 上的点，过 A1 的平面 与直线 PD 垂直．当
P 在线段 BC1 上运动时，平面 截正方体 ABCD A1B1C1D1 所得的截面面积的最小值是
（A）1
（B） 5 4
（C） 6 2
（D） 2
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）在 (x 1 )8 的展开式中， x4 的系数为________．（用数字作答） x
（12）已知函数
f
(x)
2x ,
x 1, 则 f (0) ________； f (x) 的值域为________．
①最小正周期为 π ；②最大值为 2；③ f ( π ) 0 ；④ f (0) 2 ． 6
（Ⅰ）写出能确定 f (x) 的三个条件，并求 f (x) 的解析式；
（Ⅱ）求 f (x) 的单调递增区间．
（17）（本小题 13 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， O 是 AD 边的中点， PO 底面 ABCD ， PO 1．在底面 ABCD 中，
（A）{0,1, 2,3}
（B）{1, 2,3}
（C） {2, 3}
（D） {3}
（2）如果复数 2 bi （ b R ）的实部与虚部相等，那么 b i
（A） 2
（B）1
（C） 2
（D） 4
（3）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， a3 1， S9 18 ，则 a1
（A） 0
④ 若 f (x) x(1 x) ，则对任意正整数 n ， 1 都不是 f (x) 的周期为 n 的周期点． 2
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
已知函数 f (x) Asin(x ) （ A 0 ， 0 ， 0 π ）由下列四个条件中的三个来确定： 2
2021届北京市朝阳区高三一模数学试题(解析版)
依题意得221,11BC CE EB ===+=
由题意知，直线l 方程为()1,0F 所以，得
24416y =⨯=4y =
则、、、()0,0,0A ()10,0,1A ()1,0,0B 、，
()0,1,0D ()10,1,1D 设点，其中.
()1,,P t t 01t ≤≤①当时，点与点重合，0t =P B BD = 所以，，，则0BD AC ⋅=
10BD AA ⋅= ，平面1AC AA A ⋂=BD ∴⊥11AA C C 截面面积为；
2S AA AC =⋅=
【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：
（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；
（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）
18．我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，。
高2021届朝阳市一模 数学试题(含答案)
分
21.（本小题满分 12 分）
解：（1）设双曲线 C 的焦距为 2c (c 0) ，则 2c=2 5
不妨设双曲线 C 的两条渐近线方程为 l1 : bx ay 0 ， l2：bx ay 0 ，
则由题意得 | bx0
ay0 | | bx0
ay0 |
4b2
，
a2 b2
a2 b2
5
即 | b2x02 a2 y02 | 4b2
− Sn2 ，
Sn 0 ，
所以， Sn+1
= 3Sn ， S1
= 1 ，因此 S10 a10
=
3 2
.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10 分）
解：数列
bn
是等比数列，数列 b1
=
1 2
， b1b2
=
b3
，所以 b2
=
2b3
当 = 2 时，由（1）可知，在△PCD 中， PF = PE = 2 ， EF //CD ，
3
PC PD 3
所以 FE = 2 CD = (2, 2, 0) ， 3
AE = 2 AN = 1 AB + 1 AP = (−4, 2, 2)
3
33
BE = 2 BM = 1 BA + 1 BP = (2, −4, 2) ，..........................................................................................8 分
，
故数列
bn
是公比是 1 2
等比数列，因此 bn
北京市朝阳区2021届高三数学第一次综合练习试题 理（朝阳一模）(1)
（第6题图）北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2021．3一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分． （1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）已知集合1{|()1}2xA x =<，集合{|lg 0}B x x =>，那么A B =（ ）A ．{|0}x x >B ．{|1}x x >C ． {|1}{|0}x x x x ><D ． ∅（3）已知平面向量a ，b 知足2==a b ，(2)()=2⋅--a +b a b ，那么a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ． 3πC ．32πD ．65π （4）如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，那么点落入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为（ ）A ． 14B ． 13 C．25 D ． 27（5）在ABC △中，π4A =，BC AC ”是“π3B =”的（ ）A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件 （6）执行如下图的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-（7）已知函数2sin ()1xf x x =+．以下命题： ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数； ③当2x π=时，函数()f x 取最大值； ④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点， 其中正确命题的序号是（ ）A ． ①③B ．②③C ． ①④D ．②④（8）直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且3MN OM ON ≥+，其中O 是坐标原点，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,22⎡-⎣B．(22,4⎡--⎣C ． [2,2]-D ．[-二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，2312a a +=，那么该数列的前4项和为 ． （10）在极坐标系中，A 为曲线2cos ρθ=上的点，B 为曲线cos 4ρθ=上的点，那么线段AB 长度的最小值是 ．（11）某三棱锥的三视图如下图，那么那个三棱锥的体积为 ；表面积为 ．（12）双曲线2221(0)y x b b-=>的一个核心到其渐近线的距离是2，则b = ；此双曲线的离心率为 ．（13）有标号别离为1，2，3的红色卡片3张，标号别离为1，2，3的蓝色卡片3张，现将全数的6张卡片放在2行3列的格内（如 图）．假设颜色相同的卡片在同一行， 那么不同的放法种数为 ．（用数字作答）（14）如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ，1,3AB AD ==，2CD =．假设点E 是线段AD 上的动点，那么知足90SEC ∠=︒的点E 的个数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解许诺写出文字说明，演算步骤或证明进程． （15）（本小题总分值13分）已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ．（Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间． （16）（本小题总分值13分）俯视图某单位从一所学校招收某类特殊人材．对20位已经选拔入围的学生进行运动和谐能力和逻辑思维能力 的测试，其测试结果如下表：20 位参加测试的学生中随机抽取一名，抽到运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25． （I ）求a ，ξ的值；（II ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一名运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的 学生的概率；（III ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ， 求随机变量ξ的散布列及其数学期望E ξ． （17）（本小题总分值14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形， 且PA AD ⊥． E ，F 别离为底边AB 和侧棱PC 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求二面角EPD C --的余弦值． （18）（本小题总分值13分）已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）假设函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值． （19）（本小题总分值14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>通过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；AE BCDPF（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右极点．直线AM 与直线BM 别离与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是不是过x 轴上的定点？假设是，求出定点坐标；假设不是，说明理由． （20）（本小题总分值13分）从1,2,3,,n 中这n 个数中取m （,m n *∈N ，3m n ≤≤）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为(,)f n m ．（Ⅰ）当5,3n m ==时，写出所有可能的递增等差数列及(5,3)f 的值； （Ⅱ）求(100,10)f ； （Ⅲ）求证：()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学答案（理工类） 一、选择题15． （本小题总分值13分） 解： ()f x =sin2cos2x x -)4x π=-．（Ⅰ）())1224f πππ=⋅-=． 显然，函数()f x 的最小正周期为π． ………………………… 8分 （Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得 37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z ．又因为[]0,πx ∈，因此3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……………………… 13分16． （本小题总分值13分）解：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一名，抽到运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生． 由题意可知，运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人． 则62()205a P A +==． 解得 2a =．因此4b =． ………………………… 4分 （II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一名运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． ………………………… 7分（III ）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．因此21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．因此ξ的散布列为 因此，334814764012959595955E ξ=⨯+⨯+⨯== ………………………… 13分 17． （本小题总分值14分）（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG ．因为F ，G 别离是PC ，PD 的中点，因此FG 是△PCD 的中位线． 因此FG ∥CD ，且12FG CD =．又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形，因此1122AE AB CD ==，且AE ∥CD ． 因此AE ∥FG ，且AE FG =． 因此四边形AEFG 是平行四边形．因此EF ∥AG ． 又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，因此EF平面PAD ． …………………………4分（Ⅱ）证明： 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，且平面PAD 平面ABCD AD =，因此PA ⊥平面ABCD ． 因此PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，因此AB AD ⊥， 因此,,AB AD AP 两两垂直．以点A 为原点，别离以, , AB AD AP 为, , x y z 轴， 成立空间直角坐标系（如图）．由题意易知AB AD AP ==， 设2AB AD AP ===，那么(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(1,0,0)E ，(1,1,1)F ． 因为(0,11)EF =，，(022)PD =-，，，(200)CD =-，，， 且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-=，，(0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=，， 因此EF PD ⊥，EF CD ⊥．又因为PD ，CD 相交于D ，因此EF ⊥平面PCD ． ………………………… 9分 （Ⅲ）易患(102)EP =-，，，(0,22)PD =-,． 设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，那么 0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n nAE BCDPFG因此 20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,.x z y z =⎧⎨=⎩ 令1z =，那么(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =，，因此 cos ,2EF EF EF⋅〈〉===⋅n n n ．由图可知，二面角E PD C --的大小为锐角，因此二面角E PD C --． …………………………14分 18． （本小题总分值13分）解：函数()f x 的概念域是(0,)+∞， 1()f x ax x '=-21ax x-=．（Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（2）当0a <时，()0f x '<恒成立，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =①当x ∈时，()0f x '<，因此函数()f x 在单调递减．②当)x ∈+∞时，()0f x '>，因此函数()f x 在)+∞单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x 的单调减区间是，单调增区间为)+∞．……7分 （Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减，因此()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240ea =>，舍去．（2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增， 因此函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =．②当1e <<，即211e a <<时，函数()f x 在上单调递减，在上单调递增，因此函数()f x的最小值为11ln 122f a =+=，解得e a =，舍去．e ，即210e a <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减，因此函数()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24ea =，舍去．综上所述，2a =． …………………………13分 19． （本小题总分值14分）解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．因此椭圆C 的方程是2214x y +=． ………………………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，那么有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右极点，因此点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 假设以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，那么等价于0PN QN ⋅=恒成立．又因为1012(,)2y PN x x =-，2022(,)2y QN x x =-， 因此221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----恒成立． 又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++22414k k =+，22314k k -=+，因此2222212000212212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x =故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(． ………………………… 14分 20． （本小题总分值13分）解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个．因此(5,3)4f =． ………………………… 3分 （Ⅱ）设知足条件的一个等差数列首项为1a ，公差为d ，d *∈N ． 1019a a d =+，10110011199a a d --==≤，d 的可能取值为1,2,,11． 关于给定的d ，11091009a a d d =--≤， 当1a 别离取1,2,3,,1009d -时，可得递增等差数列1009d -个（如：1d =时，191a ≤，当1a 别离取1,2,3,,91时，可得递增等差数列91个：1,2,3,,11；2,3,4,,12；；91,92,93,,100，其它同理）．因此当d 取1,2,,11时，可得符合要求的等差数列的个数为： (100,10)100119(1211)1100966506f =⋅-⋅+++=-⋅=．………………………… 8分（Ⅲ）设等差数列首项为1a ，公差为d ，1(1)m a a m d =+-，1111m a a n d m m --=--≤， 记11n m --的整数部份是t ，那么11111n n t m m ---<--≤，即111n m n t m m --<--≤．d 的可能取值为1,2,,t ，关于给定的d ，1(1)(1)m a a m d n m d =----≤，当1a 别离取1,2,3,,(1)n m d --时，可得递增等差数列(1)n m d --个． 因此当d 取1,2,,t 时，得符合要求的等差数列的个数易证21112(1)1n m n m n m m m --+-<---≤． 又因为211||12(1)2(1)n m n m m m m m --++-=---，2113||2(1)12(1)n m n m m m m -+---=---， 因此21211||||12(1)2(1)1n m n m n m n m m m m --+-+-->-----． 因此(1)(,)(1)2t t f n m nt m +=--⋅(1)()(1)11(1)122(1)n m n mn m n m n m m n m m m --+--+-->⋅--⋅=--． 即()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-． ………………………… 13分北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学（理工类）选填解析 一、 选择题 1．【答案】B【解析】解：2i(2+i)=2i i 12i z =+=-+对应的点为(1,2)-因此对应的点在第二象限． 应选B ． 2．【答案】A【解析】解：1{|()1}{|0}2xA x x x =<=>，{|lg 0}{|1}B x x x x =>=>因此{|0}A B x x =>． 应选A 3．【答案】B【解析】解：因为(2)()=2⋅--a +b a b ， 因此2222+⋅-=-a a b b因此22cos ,22+<>-=-a a b a b b 又2==a b ，因此44cos ,82+<>-=-a b 因此1cos ,2<>=a b 因此π,3<>=a b ． 应选B 4．【答案】A【解析】解：阴影部份面积为134100111|0444x dx x ==-=⎰；区域D 的面积为111⨯=；由几何概型知识，得概率为114=14．应选A ． 5．【答案】B【解析】解：假设AC π4A =，BC，由正弦定理得sin sin AC A B BC ⋅== 又(0,π)B ∈，那么π3B =或2π3．因此“AC ”推不出“π3B =”； 另一方面，假设π4A =，BC =，π3B =，那么sin sin BC B AC A ⋅==，因此“π3B =”能推出“AC =” ．因此“AC =”是“π3B =”的必要不充分条件． 应选B 6．【答案】D 【解析】解：列表故答案为D ． 7．【答案】C【解析】解：关于①，因为22sin()sin ()()()11x xf x f x x x --==-=--++，因此()f x 为奇函数，图象关于原点对称，①正确；关于②，因为sin y x =是周期函数，211y x =+不是周期函数，因此2sin ()1xf x x =+不是周期函数，故②不正确；关于③，因为()f x 图象持续不断且概念域为R ，因此()f x 的最大值必然是()f x 的极值；而222cos (1)sin 2'()(1)x x x x f x x +-⋅=+，22ππ'()0π2(1)4f -=≠+，因此当2x π=时，函数()f x 不取极值，故③错； 关于④，由于()f x 与1y x =均关于原点对称，因此只需考虑0x >部份，因为22sin 11()11x f x x x x=<<++，故函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，④正确． 故答案选C 8．【答案】D【解析】如图，设圆心(0,0)到直线y x m =+的距离2m d =，因此22222162m MN r d =-=-，如图，22OM ON OA d m +=== 又3MN OM ON ≥+，则221662m m -≥，解得2222m -≤≤．故答案选D ． 二、 填空题 9．【答案】30【解析】解：设{}n a 的公比为q ，因为12a =，2312a a +=，因此21112a q a q +=，即260q q +-=，(3)(2)0q q +-=，因此3q =-（舍），2q =因此34116a a q ==，4123430S a a a a =+++=；故答案为30． 10．【答案】2【解析】解：由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，222x y x +=，22(1)1x y -+=；由cos 4ρθ=，得4x =；圆心(1,0)到4x =的距离的为3． 因此线段AB 长度的最小值为312-=； 故答案为2． 11．【答案】1,233+【解析】由三视图知，几何体为地面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥； 因此体积111211323V =⨯⨯⨯⨯=；表面积221133212122232244S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯=+．故答案为1,233+12．【答案】2,5【解析】解：因为双曲线2221(0)y x b b-=>，因此核心2(1,0)b ±+，准线为y bx =±；又核心到其渐近线的距离是2，因此221+21+b b b=，即2b =．离心率为ca=21+5b = 故答案为2,5 13．【答案】72【解析】解：分步计数原理，33233272A A A ⋅⋅=．故答案为72． 14．【答案】2【解析】解：如图成立空间直角坐标系，设SB a =，(03)AE b b =≤≤ 那么(0,0,)S a ，(3,1,0)C -，(,1,0)E b 因此(,1,)ES b a =--，(3,2,0)EC b =--因为90SEC ∠=︒，2320ES EC b b ⋅=-++=，解得1b =或2． 故答案为2．。
2021年北京市朝阳区高考数学一模试卷【含答案】
2021年北京市朝阳区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{3}【分析】利用集合交集的定义求解即可．【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，所以A∩B＝{1，2，3}．故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2．（4分）如果复数的实部与虚部相等，那么b＝（）A．﹣2B．1C．2D．4【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等求得b值．【解答】解：∵的实部与虚部相等，∴b＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝1，S9＝18，则a1＝（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3【分析】先由题设求得a5，再利用等差数列的性质求得结果．【解答】解：∵S9＝18＝＝9a5，∴a5＝2，又a3＝1，∴由等差数列的性质可得：a1+a5＝a1+2＝2a3＝2，∴a1＝0，故选：A．【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的计算，属于基础题．4．（4分）已知圆x2+y2＝4截直线y＝kx+2所得弦的长度为，则实数k＝（）A．B．C．D．【分析】求出圆的圆心与半径，利用弦长，推出弦心距，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：圆x2+y2＝4截直线y＝kx+2所得弦的长度为，可得弦心距为：＝1，所以：，解得k＝．故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．5．（4分）已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．y＝±2x【分析】根据题意，由双曲线的离心率e＝2可得c＝2a，由双曲线的几何性质可得b＝a，由此求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：根据题意，双曲线的离心率为2，其焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x，又由其离心率e＝＝2，则c＝2a，则b＝＝a，即＝，则其渐近线方程y＝±x；故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，是中档题．6．（4分）在△ABC中，若a2﹣b2+c2+ac＝0，则B＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果．【解答】解：若a2﹣b2+c2+ac＝0，所以，由于B∈（0，π），所以B＝．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（）A．2B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的各个棱长，从而确定结果．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥A﹣BCD；如图所示：所以：AB＝BC＝，CD＝BD＝1，AD＝，AC＝，故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，三棱锥的棱长的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．（4分）在△ABC中，“tan A tan B＜1”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】解法一：对角分类讨论，利用正切和差公式及其三角函数的单调性即可判断出结论．解法二：tan A tan B＜1⇔1﹣＞0⇔cos A cos B cos C＜0⇔△ABC为钝角三角形，即可判断出结论．【解答】解：解法一：（1）若C为钝角，则A，B为锐角，∴tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＜0，解得tan A tan B＜1．若A或B为钝角，则tan A tan B＜1成立．（2）若tan A tan B＜1成立，假设A或B为钝角，则△ABC为钝角三角形．假设A，都B为锐角，tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＜0，解得C为钝角，则△ABC为钝角三角形．综上可得：在△ABC中，“tan A tan B＜1”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．解法二：tan A tan B＜1⇔1﹣＞0⇔＞0⇔cos A cos B cos C＜0⇔△ABC为钝角三角形．∴在△ABC中，“tan A tan B＜1”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了分类讨论、正切和差公式及其三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（4分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且|AF|＝5，则|PA|+|PO|（O为坐标原点）的最小值为（）A．8B．C．D．6【分析】不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b），由抛物线的定义可得|AF|＝a+1＝5，解得A点的坐标，设点A关于直线x＝﹣1的对称点为A′（﹣6，4），由对称性可得|PA|+|PO|＝|PA′|+|PO|≥|A′O|，即可得出答案．【解答】解：不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b）由抛物线的方程可得焦点F（1，0），则|AF|＝a+1＝5，解得a＝4，所以A（4，4），所以点A关于直线x＝﹣1的对称点为A′（﹣6，4），故|PA|+|PO|＝|PA′|+|PO|≥|A′O|＝＝2，当且仅当A′，P，O三点共线时，等号成立，即|PA|+|PO|的最小值为2．故选：B．【点评】本题考查图形的对称性，抛物线的定义，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．10．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BC1上的点，过A1的平面α与直线PD垂直．当P在线段BC1上运动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积的最小值是（）A．1B．C．D．【分析】画出图形，判断截面的位置，结合正方体的特征，转化求解截面面积的最小值即可．【解答】解：当P在B点时，BD⊥平面ACC1A1，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：1×＝是最大值；当P与C1重合时，DC1⊥平面A1D1CB，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：1×＝是最大值当P由B向C1移动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面A1EF，E由A向B移动，当P到BC1的中点时，取得最小值，如图此时E为AB的中点，F为D1C1的中点，（P在底面ABCD上的射影为DH，H是BC的中点，此时EC ⊥DH，可得DP⊥EC，同理可得DP⊥CF，可证明DP⊥平面A1ECF），A1E＝CE＝，AC＝，EF＝，四边形A1ECF是菱形，所以平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：＝．故选：C．【点评】本题考查直线与平面垂直，截面面积的最小值问题，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是难题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）在（x+）8的展开式中，x4的系数为28．（用数字作答）【分析】求出展开式的通项，然后令x的指数为2，求出r的值，由此即可求解．【解答】解：展开式的通项为T，令8﹣2r＝4，解得r＝2，所以x4的系数为C，故答案为：28．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．12．（5分）已知函数则f（0）＝1；f（x）的值域为（﹣∞，2）．【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可求出f（0），利用指数函数和对数函数的性质分别进行求解即可．【解答】解：f（0）＝20＝1，当x＜1时，0＜2x＜2，此时0＜f（x）＜2，当x≥1时，log2x≥0，则﹣log2x≤0，即此时f（x）≤0，综上f（x）＜2，即函数f（x）的值域为（﹣∞，2），故答案为：1，（﹣∞，2）．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．13．（5分）已知向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，•＜0，则向量的坐标可以是（，）．（写出一个即可）【分析】利用已知条件画出图形，判断向量的坐标的位置，即可写出结果．【解答】解：向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，•＜0，如图，可知向量的坐标可以是黑色圆弧上的任意一点，向量的坐标可以是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查向量的数量积的应用，点的坐标的求法，是基础题．14．（5分）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元．现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m（单位：万件）与广告费用x（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入3万元．【分析】由题意知，每售出1万件A商品获利8万元，可得售出m万件A商品的总获利为24﹣，设f（x）＝24﹣（x≥0），利用导数求最值得答案．【解答】解：由题意知，每售出1万件A商品获利8万元，∴售出m万件A商品的总获利为：8m﹣x＝8（3﹣）﹣x＝24﹣，设f（x）＝24﹣（x≥0），则f′（x）＝（x≥0），令f′（x）＞0，即＞0（x≥0），解得0≤x＜3，∴当0≤x＜3时，f′（x）＞0，函数f（x）在[0，3）单调递增，当x＞3时，f′（x）＜0，函数f（x）在（3，+∞）上单调递减，则当x＝3时，函数f（x）取得极大值，即最大值，∴要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入3万元．故答案为3．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f （x）是定义在R上的函数，对于x0∈R，令x n＝f（x n﹣1）（n＝1，2，3，…），若存在正整数k使得x k＝x0，且当0＜j＜k时，x j≠x0，则称x0是f（x）的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论：①若f（x）＝e x﹣1，则f（x）存在唯一一个周期为1的周期点；②若f（x）＝2（1﹣x），则f（x）存在周期为2的周期点；③若f（x）＝则f（x）不存在周期为3的周期点；④若f（x）＝x（1﹣x），则对任意正整数n，都不是f（x）的周期为n的周期点．其中所有正确结论的序号是①④．【分析】由周期点的定义，可得直线y＝x与y＝f（x）存在交点．分别对选项分析，结合函数的最值和函数值的符号，可得结论．【解答】解：对于x0∈R，令x n＝f（x n﹣1）（n＝1，2，3，…），若存在正整数k使得x k＝x0，且当0＜j＜k时，x j≠x0，则称x0是f（x）的一个周期为k的周期点．对于①f（x）＝e x﹣1，当k＝1时，x1＝f（x0）＝e x0﹣1，因为直线y＝x与y＝f（x）只有一个交点（1，1），故①正确；对于②，f（x）＝2（1﹣x），k＝2时，x2＝f（x1）＝2（1﹣x1）＝2[1﹣f（x0）]＝4x0﹣2，由x2＝x0，可得x0＝，x1＝，…，x n＝，不满足当0＜j＜k时，x j≠x0，所以f（x）不存在周期为2的周期点，故②不正确；对于③，当，，，满足题意，故存在周期为3的周期点，故③错误，对于④，f（x）＝x（1﹣x）＝﹣（x﹣）2+，所以f（x）≤，即f（x）＜，所以不是周期点，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查函数的新定义的理解和运用，主要是周期点的定义，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）已知函数由下列四个条件中的三个来确定：①最小正周期为π；②最大值为2；③；④f（0）＝﹣2．（Ⅰ）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）若函数f（x）满足条件④，则由f（0）＝A sinφ＝﹣2，推出与A＞0，0＜φ＜矛盾，可得函数f（x）不能满足条件④，由条件①，利用周期公式可求ω＝2，由条件②，可得A＝2，由条件③，可得f（﹣）＝0，结合范围0＜φ＜，可求φ＝，可得函数解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若函数f（x）满足条件④，则f（0）＝A sinφ＝﹣2，这与A＞0，0＜φ＜矛盾，故函数f（x）不能满足条件④，所以函数f（x）只能满足条件①，②，③，由条件①，可得＝π，又因为ω＞0，可得ω＝2，由条件②，可得A＝2，∴f（x）＝2sin（2x+φ）由条件③，可得f（﹣）＝2sin（﹣+φ）＝0，∴sin（﹣+φ）＝0，∴﹣+φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝+kπ，k∈Z，又因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（Ⅱ）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+kπ≤x≤+kπ，∴f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）．【点评】本题主要考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD 中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2．（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）先证明四边形ABCO是平行四边形，即可得到AB∥OC，由线面平行的判定定理证明即可；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面BAP的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：在四边形ABCD中，因为BC∥AD，，O是AD的中点，则BC∥AO，BC＝AO，所以四边形ABCO是平行四边形，所以AB∥OC，又因为AB⊄平面POC，CO⊂平面POC，所以AB∥平面POC；（Ⅱ）连结OB，因为PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OB，PO⊥OD，又因为点O时AD的中点，且，所以BC＝OD，因为BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD，所以四边形OBCD是正方形，所以BO⊥AD，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，﹣1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），所以，设平面BAP的法向量为，则，即，令y＝1，则x＝z＝﹣1，故，因为OB⊥平面PAD，所以是平面PAD的一个法向量，所以＝，由图可知，二面角B﹣AP﹣D为锐角，所以二面角B﹣AP﹣D的余弦值为．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．18．（14分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如表：A地区B地区100户150户2019年人均年纯收入超过10000元200户50户2019年人均年纯收入未超过10000元假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立．（Ⅰ）从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超过10000元的概率；（Ⅱ）在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元．根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用概率公式求解即可；（Ⅱ）确定X的取值，分别求解其概率，然后列出分布列求出数学期望即可；（Ⅲ）先通过2019年的样本数据可得0.012，然后据此说明理由即可．【解答】解：（Ⅰ）设事件C：从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，从表格数据可知，A地区抽出的300户家庭中2019年人均年收入超过10000元的有100户，因此P（C）可以估计为＝；（Ⅱ）设事件A：从样本中A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，设事件B：从样本中B地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，由题意可知，X的可能取值为0，1，2，＝，＝＝，＝，所以X的分布列为：X012P所以X的数学期望为E（X）＝＝；（Ⅲ）设事件E为“从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元”，假设样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年没有变化，则由2019年的样本数据可得0.012．答案示例1：可以认为有变化，理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．【点评】本题考查了离散型随机变量及其分布列以及离散型随机变量的期望，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．19．（15分）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A（0，1），B（0，﹣1），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点的坐标；（Ⅱ）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直线y＝3交于点P，直线MB与直线y＝3交于点Q，试判断以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意可得b的值，再由离心率及a，b，c之间的关系求出a的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线MA的方程，由题意可得直线OP的方程，与y＝3联立求出P的坐标，将直线AM的方程与椭圆联立求出M的坐标，进而求出直线BM的方程，与y＝3联立求出Q的坐标，设以PQ为直径的圆的方程过T点，可得数量积＝0，求出T的坐标，即圆过的定点的坐标．【解答】解（Ⅰ）由题意可得b＝1，e＝＝，c2＝a2﹣b2，解得a2＝3，所以椭圆的方程为：+y2＝1，且焦点坐标（±，0）；（Ⅱ）设直线MA的方程为：y＝kx+1，（k≠0）则过原点的直线且与直线MA平行的直线为y＝kx，因为P是直线y＝kx，y＝3的交点，所以P（，3），因为直线AM的方程与椭圆方程+y2＝1联立：，整理可得：（1+3k2）x2+6kx＝0，可得x M＝﹣，y M＝+1＝，即M（﹣，），因为B（0，﹣1），直线MB的方程为：y＝﹣﹣1，联立，解得：y＝3，x＝﹣12k，由题意可得Q（﹣12k，3），设T（x0，y0），所以＝（x0﹣，y0﹣3），＝（x0+12k，y0﹣3），由题意可得以线段PQ为直径的圆过T点，所以＝0，所以（x0﹣，y0﹣3）•（x0+12k，y0﹣3）＝0，可得x02+12kx0﹣x0﹣36+y02﹣6y0+9＝0，①，要使①成立，，解得：x0＝0，y0＝﹣3，或x0＝0，y0＝9，所以T的坐标（0，﹣3）或（0，9）．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，以线段为直径的圆的方程恒过定点可得数量积为0的性质，属于中档题．20．（15分）已知函数f（x）＝（ax﹣1）e x（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线y＝ax+a与曲线y＝f（x）相切，求证：a∈（﹣1，）．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据直线和f（x）相切，得到a＝，结合y＝的单调性证明结论成立即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（ax+a﹣1）e x，令f′（x）＝0，得ax＝1﹣a，当a＝0时，f′（x）＝﹣e x＜0，y＝f（x）在R单调递减，当a＞0时，x，f′（x），f（x）的变化如下：x（﹣∞，）（，+∞）f′（x）﹣0+f（x）递减极小值递增当a＜0时，x，f′（x），f（x）的变化如下：x（﹣∞，）（，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增极大值递减综上：当a＝0时，y＝f（x）在R单调递减，当a＞0时，y＝f（x）的单调递增区间是（﹣∞，），单调递减区间是（，+∞），当a＜0时，y＝f（x）的单调递增区间是（﹣∞，），单调递减区间是（，+∞）；（Ⅱ）证明：由题意得f′（x）＝（ax+a﹣1）e x，设直线y＝ax+a与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则，由①﹣②得﹣a＝ax0，即a（+x0）＝0，若a＝0，则f（x）＝﹣e x，ax+a＝0，直线y＝0与曲线y＝f（x）不相切，不符合题意，所以a≠0，所以+x0＝0，③，令φ（x）＝e x+x，则φ′（x）＝e x+1＞0，故φ（x）单调递增，∵φ（﹣）＝﹣＞0，φ（﹣1）＝e﹣1﹣1＜0，故存在唯一x0∈（﹣1，﹣）使得+x0＝0，将③代入①得a+ax0﹣x0+a＝0，故a＝＝，易知在（﹣1，﹣）内y＝x++1单调递减，且x++1＜0，故y＝在（﹣1，﹣）内单调递增，∵x0∈（﹣1，﹣），∴﹣1＜a＜﹣，故a∈（﹣1，﹣）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．21．（15分）设数列A m：a1，a2，…，a m（m≥2），若存在公比为q的等比数列B m+1：b1，b2，…，b m+1，使得b k＜a k＜b k+1，其中k＝1，2，…，m，则称数列B m+1为数列A m的“等比分割数列”．（Ⅰ）写出数列A4：3，6，12，24的一个“等比分割数列”B5；（Ⅱ）若数列A10的通项公式为a n＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割数列”B11的首项为1，求数列B11的公比q的取值范围；（Ⅲ）若数列A m的通项公式为a n＝n2（n＝1，2，…，m），且数列A m存在“等比分割数列”，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）根据“等比分割数列”的定义即可求解；（Ⅱ）根据定义可得q n﹣1＜2n＜q n（n＝1，2，3，…，10），从而求得q＞2，且q n﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10），n＝1时显然成立，当n＝2，3，…，10时，将q n﹣1＜2n转化为q＜，利用指数函数的单调性即可求得q的取值范围；（Ⅲ）设B m+1是数列A m的“等比分割数列”，首项为b1，公比为q，由定义可得b1q n﹣1＜n2＜b1q n（n ＝1，2，…，m），设m≥6，解不等式可推出矛盾，可得m≤5，当m＝5时，取b1＝0.99，q＝2.09，满足定义，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）根据定义可得数列A4：3，6，12，24的一个“等比分割数列”B5：2，4，8，16，32．（答案不唯一）（Ⅱ）由题意可得，q n﹣1＜2n＜q n（n＝1，2，3，…，10），所以q＞2，且q n﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10），当n＝1时，1＜2成立；当n＝2，3，…，10时，应有q＜成立，因为y＝2x在R上单调递增，所以＝随着n的增大而减小，故q＜，综上，q的取值范围是（2，）．（Ⅲ）设B m+1是数列A m的“等比分割数列”，首项为b1，公比为q，由题意，应有b1q n﹣1＜n2＜b1q n（n＝1，2，…，m），显然b1＞0，q＞0，设m≥6，此时有b1＜1＜b1q＜4＜b1q2＜9＜b1q3＜16＜b1q4＜25＜b1q5＜36＜b1q6＜…．所以＞，可得q3＞9，所以q＞＞2，又b1q3＞9，所以b1q5＞9×22＝36，与b1q5＜36＜b1q6矛盾，故m≤5，又当m＝5时，取b1＝0.99，q＝2.09，可得0.99＜1＜0.99×2.09＜4＜0.99×2.092＜9＜0.99×2.093＜16＜0.99×2.094＜25＜0.99×2.095，所以m＝5时成立，综上，m的最大值为5．【点评】本题主要考查新定义，数列的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。
2021年朝阳高三数学一模答案
高三数学参考答案 第 2页（共 7页）
学习是一件很有意思的事
（18）（共 14 分）
解：（Ⅰ）设事件 C ：从 A 地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，该家庭 2019 年人均年纯收入超过
10000 元．
从表格数据可知，A 地区抽出的 300 户家庭中 2019 年人均年收入超过 10000 元的有 100 户，
（Ⅱ）方法 1：
设点
M
的坐标为 (x0 ,
y0 )
（
x0
0,
y0
1 ），则
x02 3
y02
1．
过原点且与直线 MA 平行的直线方程为 y y0 1 x ． x0
令 y 3 ，得 P( 3x0 ,3) ． y0 1
直线 MB 的方程为 y y0 1 x 1 ， x0
令 y 3 ，得 Q( 4x0 ,3) ． y0 +1
a
f (x)
f (x)
1 a a 0
极大值
(1 a , ) a
综上，当 a 0 时， y f (x) 在 (, ) 上单调递减，
当 a 0 时， y f (x) 的单调递减区间为 (,1 a ) ，单调递增区间为 (1 a , ) ，
a
a
当 a 0 时， y f (x) 的单调递增区间为 (,1 a ) ，单调递减区间为 (1 a , ) ．
假设以线段 PQ 为直径的圆过定点，由椭圆的对称性可设定点为 N (0, m) ．
则 NP NQ 0 ．
因为 NP (
3x0
,3 m), NQ (
4 x0
,3 m) ，
y0 1
y0 1
所以
12 x02 y02 1
北京市朝阳区2021 — 2022学年高三数学第一学期期末试卷及答案
高三数学试卷 第1页（共14页）北京市朝阳区2020~2021学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷 2021．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集{1,0,1,2,3,4}U =-，集合{0,1,2}A =，则UA =（A ）{3,4}（B ）{1,3,4}-（C ）{0,1,2}（D ）{1,4}-（2）已知向量(1,2)=-a ，(,4)x =b ，且⊥a b ，则||=b（A ）25（B ）43（C ）45（D ）8（3）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（A ）43（B ）83（C ）3 （D ）4（4）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且39a =，则3132333435log log log log log a a a a a ++++=（A ）52 （B ）53（C ）10 （D ）15（5）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，P 是C 上一点．若||4PF =，则||PM =（A ）21 （B ）5 （C ）27（D ）42高三数学试卷 第2页（共14页）（6）已知函数()cos(2)6f x x π=-，给出下列四个结论：①函数()f x 是周期为π的偶函数；②函数()f x 在区间[,]1212π7π上单调递减；③函数()f x 在区间[0,]2π上的最小值为1-；④将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与()sin 2g x x =的图象重合． 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①③ （B ）②③ （C ）①④（D ）②④（7）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且(1)0f =，当(0,1)x ∈时，()2x f x x =+．设(5)a f =，1()3b f =，5()2c f =-，则,,a b c 的大小关系为（A ）b a c >>（B ）a c b >>（C ）c a b >>（D ）b c a >>（8）已知圆22: 4C x y +=，直线: 0l x y t ++=，则“l 与C 相交”是“||2t <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为 （A）（B ）2（C（D（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y mx =（0m >）与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线l ：30kx y -+=（k ∈R ）上存在点P 满足2PA PC +=，则实数k 的取值范围是 （A ）(2,2)- （B）[-（C ）(,2)(2,)-∞-+∞（D ）(,2][22,)2-∞-+∞高三数学试卷 第3页（共14页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
数学汇编：高三一模2020~2021立体几何
2021北京高三一模数学汇编：立体几何一．选择题（共9小题）1．（2021•延庆区一模）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是直角三角形，俯视图是直角梯形，则该四棱锥的体积是（）A．1B．2C．3D．42．（2021•西城区一模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A．12B．C．16D．3．（2021•东城区一模）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（）A．B．9C．D．274．（2021•怀柔区一模）某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．2B．4C．6D．85．（2021•石景山区一模）一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．6．（2021•房山区一模）祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．4πh2C．π（2﹣h2）D．π（4﹣h2）7．（2021•朝阳区一模）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（）A．2B．C．D．8．（2021•门头沟区一模）某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥最长的棱长为（）A．2B．C．4D．9．（2021•丰台区一模）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为（）A．2B．C．D．4二．填空题（共1小题）10．（2021•丰台区一模）如图，从长、宽、高分别为a，b，c的长方体AEBF﹣GCHD中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥A﹣BCD．下列四个结论中，所有正确结论的序号是．①三棱锥A﹣BCD的体积为；②三棱锥A﹣BCD的每个面都是锐角三角形；③三棱锥A﹣BCD中，二面角A﹣CD﹣B不会是直二面角；④三棱锥A﹣BCD中，三条侧棱与底面所成的角分别记为α，β，γ，则sin2α+sin2β+sin2γ≤2．三．解答题（共11小题）11．（2021•延庆区一模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面ADD1A1为矩形，且侧面ADD1A1⊥底面ABCD，AA1＝4，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面C1DE；（Ⅰ）求二面角D﹣C1E﹣B1的余弦值．12．（2021•西城区一模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面ACE；（Ⅰ）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．13．（2021•东城区一模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形BCC1B1是边长为1的正方形，AB＝2，M，N分别为AD，A1B1的中点．（Ⅰ）求证：MA1∥平面ANC；（Ⅰ）求直线CN与平面D1AC所成角的正弦值．14．（2021•海淀区一模）在如图所示的多面体中，AB∥CD，四边形ACFE为矩形，AB＝AE＝1，AD＝CD＝2．（Ⅰ）求证：平面ABE∥平面CDF；（Ⅰ）设平面BEF∩平面CDF＝l，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角B﹣l﹣C的大小确定，并求此二面角的余弦值．条件①：AB⊥AD；条件②：AE⊥平面ABCD；条件③：平面AED⊥平面ABCD．15．（2021•丰台区一模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，M是棱PB上的点，O 是AD中点，且PO⊥底面ABCD，．（Ⅰ）求证：BC⊥OM；（Ⅰ）若，求二面角B﹣OM﹣C的余弦值．16．（2021•怀柔区一模）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB1⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A＝2．（Ⅰ）求证：C1D∥平面ABB1A1；（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅰ）求二面角C1﹣BD﹣D1的余弦值．17．（2021•房山区一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝BC＝1，AC＝，BB1＝2，E为CC1上一点，且EC＝．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅰ）求直线A1C与平面ABE所成角的正弦值．18．（2021•石景山区一模）如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，面ABFE∩面CDEF＝EF，AD⊥ED，CD⊥EA．（Ⅰ）求证：CD∥平面ABFE；（Ⅰ）若EF＝ED，CD＝2EF＝2，求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的大小．19．（2021•朝阳区一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2．（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅰ）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值．20．（2021•门头沟区一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，AB＝P A，P A⊥底面ABCD，∠ABC ＝，E是PC上任一点，AC∩BD＝O．（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面P AC；（Ⅰ）若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值．21．（2021•平谷区一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△P AB为正三角形，且侧面P AB⊥底面ABCD，PM＝MD．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；（Ⅰ）求二面角M﹣BC﹣D的余弦值．2021北京高三一模数学汇编：立体几何参考答案一．选择题（共9小题）1．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝2，AB＝BC＝1，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝2，则该几何体的体积为V＝．故选：A．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．2．【分析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的表面积．【解答】解：由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的表面积为：S＝S正方形ABCD+S△P AB+S△P AD+S△PBC+S△PCD＝22+×2×3+×2×3．故选：D．【点评】本题考查了利用三视图求几何体表面积，是基础题．3．【分析】由三视图知该四棱锥底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，结合图中数据求出四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的体积为V＝S正方形ABCD•P A＝×36×3＝9．故选：B．【点评】本题考查了利用三视图求几何体的体积，是基础题．4．【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为2的直四棱柱；如图所示：故：V＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5．【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，所以C；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确．故选：B．【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征，属于基础题．6．【分析】根据三视图知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，根据圆环面积公式计算即可．【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2，截面为圆环，设小圆半径为r，则＝，所以r＝h，所以截面圆环的面积为4π﹣πh2＝π（3﹣h2）；故选：D．【点评】本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的计算问题，也考查了空间几何体的结构特征，是基础题．7．【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的个各棱长，从而确定结果．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥A﹣BCD；如图所示：所以：AB＝BC＝，CD＝BD＝7，AC＝，故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，三棱锥的棱长的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．【分析】画出直观图，利用三视图的数据转化求解即可．【解答】解：根据直观图不难得出，PC是最长的棱长，长度为：．故选：D．【点评】本题考查三视图求解几何体的相关数据，最长棱长的求法，是基础题．9．【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出最大棱长．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体；如图所示：最长的棱长为AB＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的棱长的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．二．填空题（共1小题）10．【分析】求出三棱锥A﹣BCD的体积判断①；由余弦定理的推论判断②；利用空间向量判断③；直接证明sin2α+sin2β+sin2γ≤2判断④．【解答】解：对于①，长方体的体积为abc，三棱锥A﹣BCD的体积为abc﹣4×＝，故①正确；对于②，三棱锥A﹣BCD的每一个面的三边长都可以用过一个顶点的三条侧棱表示，不妨以△ACD为例，AD2＝a2+c2，AC2＝b8+c2，CD2＝a6+b2，∵AD2+AC5＞CD2，AD2+CD3＞AC2，AC2+CD3＞AD2，∴△ACD一定是锐角三角形，同理可得△ABC，△BCD为锐角三角形，则三棱锥A﹣BCD的每个面都是锐角三角形，故②正确；对于③，如图，分别以F A、FD所在直线为x、y，则A（a，0，4），b，0），b，0），5，0），0，c），C（a，b，c），2，c），，，，设平面ACD的一个法向量为，由，取y＝7，则，同理可得平面BCD的一个法向量为，，取a＝b＝，，可得二面角A﹣CD﹣B是直二面角；对于④，不妨设AB与底面所成角为α，AD与底面所成角为γ，由③可知，平面BCD的一个法向量为，，sinβ＝，＝＝．同理可得，，，则sin6α+sin2β+sin2γ，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查空间角与多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．三．解答题（共11小题）11．【分析】（Ⅰ）连结B1C，ME，利用中位线定理可证明四边形MNDE为平行四边形，从而得到MN∥ED，由线面平行的判定定理证明即可；（Ⅰ）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，然后由向量的夹角公式求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：连结B1C，ME，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B5C，且，又因为N为A1D的中点，所以，由题设知A1B7∥DC且A1B1＝DC，可得B3C∥A1D且B1C＝A8D，故ME∥ND且ME＝ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED，又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C8DE；（Ⅰ）因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，又因为侧面ADD1A1⊥底面ABCD，且侧面ADD2A1∩底面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面ADD1A2，又DD1⊂平面ADD1A6，所以CD⊥DD1，又因为侧面ADD1A2为矩形，所以AD⊥DD1，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示，其中D（0，2，0），C1（7，2，4），4，0），2，3），所以，，因为CD⊥平面ADD1A4，所以DC⊥平面BCC1B1，故为平面C7EB1的一个法向量，设为平面DC1E面的法向量，则，即，令y＝﹣2，可得，所以，因为二面角A﹣DE﹣B4的平面角是钝角，所以二面角A﹣DE﹣B1的余弦值．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．12．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连接OE，证明OE∥BD1.然后证明BD1∥平面ACE．（Ⅰ）不妨设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系A﹣xyz．求出平面ACE的法向量，利用空间向量的数量积求解直线AD与平面ACE所成角的正弦值即可．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，在正方形ABCD中，OB＝OD．因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.………………（7分）因为BD1⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE． ………………（8分）（Ⅰ）解：不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，5，0），2，7），2，0），6，1），所以，，． ………………（8分）设平面ACE的法向量为＝（x，y，所以所以即令y＝﹣1，则x＝7，于是＝（1，2）设直线AD与平面ACE所成角为θ，则．………………（13分）所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．13．【分析】（Ⅰ）取AC的中点O，连结OM，ON，先证明OM∥CD，OM＝CD，再证明NA1∥CD，NA1＝CD，从而证明MA1∥ON，利用线面平行的判定定理证明即可；（Ⅰ）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面D1AC的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连结OM，因为M是AD的中点，所以OM∥CD CD，在长方体ABCD﹣A6B1C1D5中，因为N是A1B1的中点，所以NA3∥CD，NA1＝CD，所以NA1∥OM且NA1＝OM，所以四边形NOMA3是平行四边形，所以MA1∥ON，又因为MA1⊄平面ANC，ON⊂平面ANC，所以MA8∥平面ANC；（Ⅰ）解：在长方体ABCD﹣A1B1C5D1中，以点B为坐标原点，则C（1，6，0），2，2），D1（1，7，1），1，6），所以，设平面D1AC的法向量为，则有，即，令y＝1，则x＝2，故，所以＝，故直线CN与平面D1AC所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面平行的证明以及线面角的求解，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．14．【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理分别证明CF∥平面ABE，CD∥平面ABE，再利用面面垂直的判定定理，即可证明面面平行；（Ⅰ）若选①②：建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面BEF和平面CDF 的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解即可．若选①②③：建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面BEF和平面CDF的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解即可．若选①③：建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面BEF和平面CDF的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为四边形ACFE为矩形，所以CF∥AE，又AE⊂平面ABE，CF⊄平面ABE，又因为AB∥CD，又AB⊂平面ABE，所以CD∥平面ABE，又CD∩CF＝C，CD，所以平面ABE∥平面CDF；（Ⅰ）选择①②：因为AE⊥平面ABCD，AB，所以AE⊥AB，AE⊥AD，所以AB，AE，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则B（1，0，6），0，1），4，1），所以，设平面BEF的法向量为，则，即，令x＝1，则y＝﹣1，故，因为AD⊥平面ABE，又平面ABE∥平面CDF，所以AD⊥平面CDF，取平面CDF的一个法向量为，所以，故二面角B﹣l﹣C的余弦值为．选择①②③：因为AE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，因为平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面ADE，又AE⊂平面ADE，所以AB⊥AE，又因为AB⊥AD，所以AB，AE，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则B（1，0，3），0，1），7，1），所以，设平面BEF的法向量为，则，即，令x＝1，则y＝﹣1，故，因为AD⊥平面ABE，又平面ABE∥平面CDF，所以AD⊥平面CDF，取平面CDF的一个法向量为，所以，故二面角B﹣l﹣C的余弦值为．选择①③：因为平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面ADE，又AE⊂平面ADE，所以AB⊥AE，在矩形ACFE中，AE⊥AC，又AC，AB⊂平面ABCD，所以AE⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，所以AE⊥AD，所以AB，AE，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则B（1，0，5），0，1），4，1），所以，设平面BEF的法向量为，则，即，令x＝1，则y＝﹣1，故，因为AD⊥平面ABE，又平面ABE∥平面CDF，所以AD⊥平面CDF，取平面CDF的一个法向量为，所以，故二面角B﹣l﹣C的余弦值为．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了面面平行的判定定理，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．15．【分析】（Ⅰ）推导出OB⊥AD，由AD∥BC，得OB⊥BC，由PO⊥底面ABCD，得OP⊥BC，从而BC⊥平面POB，由此能证明BC⊥OM．（Ⅰ）由PO⊥底面ABCD，OB⊥AD，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣OM﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，，△ABD为等边三角形，∵O为AD的中点，∴OB⊥AD，∵AD∥BC，∴OB⊥BC，∵PO⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴OP⊥BC，∵OP∩OB＝O，OP，∴BC⊥平面POB，∵M是棱PB上的点，∴OM⊂平面POB，∴BC⊥OM．（Ⅰ）∵PO⊥底面ABCD，OB⊥AD，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，设OA＝1，则OP＝OB＝，O（0，0，6），0，0），，0），，2），0，），∴＝（﹣7，，由PM＝，得＝＝（6，，），设＝（x，y，由，令y＝2，得），∵平面POB的法向量为＝（1，5，∴cos＜＞＝＝．由题知二面角B﹣OM﹣C为锐二面角，∴二面角B﹣OM﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．【分析】（Ⅰ）证明C1D平行于平面ABB1A1内的直线AB1即可；（Ⅰ）证明AC垂直于平面C1BD内两条相交直线，得到AC⊥平面C1BD，从而得到AC⊥BC1；（Ⅰ）先求二面角两面的法向量，再用夹角公式计算二面角的余弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为B1C1∥BC、B6C1＝BC，AD∥BC，所以B1C2∥AD、B1C1＝AD，所以四边形B5C1DA为平行四边形，所以C1D∥AB4，AB1⊂平面ABB1A7，C1D⊄平面ABB1A4，所以C1D∥平面ABB1A2；（Ⅰ）证明：因为AB1⊥平面ABCD，由（Ⅰ）知C1D∥AB8，所以C1D⊥平面ABCD，又因为AC⊂平面ABCD，所以AC⊥C1D，因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又因为C6D∩BD＝D，所以AC⊥平面C1BD，因为C1B⊂平面C6BD，所以AC⊥BC1；（Ⅰ）因为AB1⊥平面ABCD，所以AB5⊥AD，AB1⊥AB，又因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，于是AD、AB1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，平面C4BD的法向量为＝＝（1，1，＝（﹣4，1，0），，﹣1，），设平面BDD6的法向量为＝（x，y，则，令y＝，则，，1），所以二面角C2﹣BD﹣D1的余弦值为＝＝．【点评】本题考查了直线与平面位置关系，线面垂直的判定定理和性质，考查了二面角的计算问题，属于中档题．17．【分析】（Ⅰ）由BB1⊥平面ABC，知BB1⊥AB，由勾股定理的逆定理证AB⊥BC，再结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，即可证明平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅰ）以B为原点建立空间直角坐标系，求得平面ABE的法向量，设直线A1C与平面ABE所成角为θ，由sinθ＝|cos＜，＞|，求出直线A1C与平面ABE所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由直三棱柱的性质知，BB1⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴BB1⊥AB，∵AB＝BC＝4，AC＝，∴AB⊥BC，又BB1∩BC＝B，BB2、BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B4BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC6．（Ⅰ）以B为原点，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，则A（1，3，0），0，3），1，0），8，），A7（1，0，4），∴＝（﹣1，6，＝（1，0，＝（5，1，），设平面ABE的法向量为＝（x，y，则，即，令z＝2，则x＝0，∴＝（3，2），设直线A1C与平面ABE所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝，故直线A1C与平面ABE所成角的正弦值为．【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）证明CD∥AB，然后证明CD∥平面ABFE．（Ⅰ）以点D为坐标原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．求出平面ADE的法向量，平面BCF的法向量，利用空间向量的数量积求解平面ADE与平面BCF所成锐二面角的大小即可．【解答】（Ⅰ）证明：在五面体ABCDEF中，因为面ABCD是正方形，所以CD∥AB．又因为AB⊂平面ABFE，CD⊄平面ABFE，所以CD∥平面ABFE．（Ⅰ）解：因为面ABCD是正方形，所以CD⊥AD．又因为CD⊥AE．又AD∩AE＝A，所以CD⊥平面ADE又因为DE⊂平面ADE，所以CD⊥DE．因为面ABCD是正方形，所以CD⊥AD．又因为AD⊥DE，所以以点D为坐标原点，DA，DE分别为x，y，如图建立空间直角坐标系．因为CD＝2EF＝2，EF＝ED，7，0），0，7），2，0），4，0），0，5）．由（Ⅰ）CD∥平面ABFE，CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面ABFE＝EF，所以CD∥EF．所以．可得F（2，1，1）．由题意知平面ADE的法向量为设平面BCF的法向量为．由得令y＝1，得z＝3，所以设平面ADE与平面BCF所成锐二面角为θ．cosθ＝．所以平面ADE与平面BCF所成锐二面角为【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．19．【分析】（Ⅰ）先证明四边形ABCO是平行四边形，即可得到AB∥OC，由线面平行的判定定理证明即可；（Ⅰ）建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面BAP的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：在四边形ABCD中，因为BC∥AD，，O是AD的中点，则BC∥AO，所以四边形ABCO是平行四边形，所以AB∥OC，又因为AB⊄平面POC，CO⊂平面POC，所以AB∥平面POC；（Ⅰ）连结OB，因为PO⊥平面ABCD，PO⊥OD，又因为点O时AD的中点，且，所以BC＝OD，因为BC∥AD，CD⊥AD，所以四边形OBCD是正方形，所以BO⊥AD，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，﹣2，B（1，0，C（3，1，D（0，3，P（0，0，所以，设平面BAP的法向量为，则，即，令y＝1，故，因为OB⊥平面P AD，所以是平面P AD的一个法向量，所以＝，由图可知，二面角B﹣AP﹣D为锐角，所以二面角B﹣AP﹣D的余弦值为．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）证明P A⊥BD，BD⊥AC，推出BD⊥平面P AC，即可证明平面EBD⊥平面P AC．（Ⅰ）E是PC的中点，连结OE，OB，OC，OE两两垂直，建立如图所示的坐标系，求出平面EBC的法向量，直线DE的方向向量，利用空间向量的数量积求解ED与平面EBC所成角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）P A⊥平面ABCD⇒P A⊥BD，…………………………………（1分）底面ABCD菱形，可得BD⊥AC又P A∩AC＝A，又P A⊥BD，BD⊥AC，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，…………………………………………（2分）BD⊂平面EBD，平面EBD⊥平面P AC（Ⅰ）若E是PC的中点，连结OE，……（6分）所以，OB，OE两两垂直，………（1分）不妨设AB＝2，则…（6分）设平面EBC的法向量为＝（x，y，，取x＝1，则y＝z＝，＝（1，，），直线DE的方向向量为＝（，0，cos＝＝．ED与平面EBC所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题．21．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于H点，连接MH，推导出MH∥BP，从而PB∥平面ACM；（Ⅰ）取AB中点O，连接PO，证明PO⊥平面ABCD，以O为原点，分别以OB，OH，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面MBC与平面ABCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角M﹣BC﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD交AC于H点，连接MH，∵四边形ABCD是菱形，∴点H为BD的中点．又∵M为PD的中点，∴MH∥BP，又∵BP⊄平面ACM，MH⊂平面ACM，∴PB∥平面ACM；解：（Ⅰ）取AB中点O，连接PO，∵△P AB为正三角形，且侧面P AB⊥底面ABCD，以O为原点，分别以OB，OP所在直线为x，y，则B（1，0，6），2，0），1，），＝（0，2，0），，1，），设平面MBC的一个法向量为，由，取z＝，得，平面ABCD的一个法向量为，∴cos＜＞＝＝．由图可知，二面角M﹣BC﹣D为锐角．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．第31页共31页。
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北京市朝阳区2021届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}13,5A =,，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则A B =（ ）A. {}3B. {}1,3C. {}1,2,3,5D.{}1,2,3,4,5【答案】C 【解析】 【分析】化简集合B ，再根据并集定义进行计算即可得到. 【详解】因为{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z {2,3}=， 所以A B ={1,2,3,5}.故选：C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的并集运算，属于基础题. 2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. 21y x =-+C. 2log y x =D. ||2x y =【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案. 【详解】函数3y x =是奇函数，不符合；函数21y x =-+是偶函数，但是在(0,)+∞上单调递减，不符合；函数2log y x =不是偶函数，不符合；函数||2x y =既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增，符合. 故选：D【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3.在等比数列{}n a 中，11a =，48a =-，则{}n a 的前6项和为（ ） A. 21- B. 11C. 31D. 63【答案】A 【解析】 【分析】利用11a =，48a =-求出公比2q =-，再根据等比数列的前n 项和公式计算可得. 【详解】因为11a =，48a =-，设公比为q ，则341a qa =881-==-，所以2q =-， 所以6616(1)1[1(2)]2111(2)a q S q -⨯--===----， 故选：A【点睛】本题考查了等比数列通项公式的基本量的计算，考查了等比数列的前n 项和公式，属于基础题.4.如图，在ABC 中，点D ，E 满足2BC BD =，3CA CE =.若DE x AB y AC =+(,)x y R ∈，则x y +=（ ）A. 12- B. 13- C.12 D.13【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量的线性运算可得DE 1126AB AC =-+，再根据平面向量基本定理可得11,26x y =-=，从而可得答案.【详解】因为DE AE AD =-23AC AB BD =--2132AC AB BC =--21()32AC AB AC AB =--- 1126AB AC =-+，又DE x AB y AC =+，所以11,26x y =-=， 所以111263x y +=-+=-.故选：B【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理，属于基础题. 5.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（ ） A. 28y x = B. 24y x =C. 22y x =D. 2y x =【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求得4=AD ，然后在直角三角形中利用60DAF ∠=︒可求得2p =，从而可得答案.【详解】根据抛物线的定义可得4AD AF ==， 又60DAF ∠=︒，所以12AD p AF -=， 所以42p -=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =. 故选：B【点睛】本题考查了抛物线的定义，利用定义得4AD AF ==是解题关键，属于基础题.6.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（ ） A.23B.25C.35D.910【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式计算出所求事件的对立事件的概率，再用对立事件的概率公式即可求出结果.【详解】甲、乙、丙至多有2种被选取的对立事件为：甲、乙、丙都被选取，记此事件为A ， 依题意所有基本事件为：（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，其中事件A 所包含的事件数为1， 所以根据古典概型的概率公式可得1()10P A =， 再根据对立事件的概率公式可得所求事件的概率为191()11010P A -=-=. 故选：D【点睛】本题考查了对立事件的概率公式，考查了古典概型的概率公式，属于基础题. 7.在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒.若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ）B.2C.12【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为,a c ，根据双曲线的定义可得2AC BC a -=，根据余弦定理可得AC =，再根据离心率公式即可求得结果. 【详解】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为,a c ， 因为120ABC ∠=︒，所以AC BC >， 因为以A ，B 为焦点的双曲线经过点C所以2AC BC a -=，2AB BC c ==，在三角形ABC 中由余弦定理得222cos1202AB BC AC AB BC +-=⨯⨯，所以222214428c c AC c+--=，解得2212AC c =，所以AC =，所以22c a -=，所以12c a =， 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了余弦定理，考查了双曲线的离心率，属于基础题.8.已知函数()=)(>0)f x ωxφω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6π=ϕ”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据相邻两个最高点的距离为π求出2ω=，可得())f x x ϕ=-，再根据正弦函数的对称轴的性质以及充分不必要条件的概念可得答案. 【详解】依题意得T π=，所以2ππω=，所以2ω=，所以())f x x ϕ=-，当3x π=，6π=ϕ时，())36f x ππ=⨯-2π==，所以()f x 的图象关于直线3x π=对称；当3x π=，76ϕπ=时，7()))362f x πππ=⨯-=-=，此时()f x 的图象也关于直线3x π=对称，所以“6π=ϕ”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的充分不必要条件， 故选：A【点睛】本题考查了三角函数的周期性，对称性，考查了充分不必要条件的概念，属于中档题.9.已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. (-∞B. 3[0,]2C. [0,2]D.【答案】C 【解析】 【分析】对x 进行分类讨论，使得x 与a 分离，再转化为关于x 的函数的最值，进而求出a 的范围. 【详解】（1）当1x ≤时，由()2a f x ≥得23(2)2x a x ≥-， 当314x <≤时，2322x a x ≤-232()4x x =-恒成立，因为222333933()()()42416443332()2()2()444x x x x x x x -+-+-+==---913316()32442()4x x =-++- 令34t x =-，则104t <≤，令193()2164y t t =++，则219(1)216y t'=-0<， 所以193()2164y t t =++在1(0,]4上递减，所以11938()212444164y ≥++==⨯， 即913316()32442()4x x -++-的最小值为2， 所以此时2a ≤，当34x ≤时，2322x a x ≥-913316()32442()4x x =-++-1393[()]324416()4x x =--++-恒成立， 因为1393[()]324416()4x x --++-1324≤-⨯0=，当且仅当0x =时所以0a ≥，（2）当1x >时，由()2a f x ≥得21ln 2xa x ≤+恒成立，令21ln 2xy x =+(1)x >，则22ln 11(ln )2x y x -'=+，由0y '>得12x e >，由0y '<得121x e <<， 所以函数21ln 2x y x =+12(1,)e 上递减，在12(,)e +∞上递增， 所以x e =时，min 221122ey e==+，所以2a e ≤， 综上所述：02a ≤≤. 故选：C【点睛】本题考查了分离参数法，等价转化思想，分类讨论思想，构造法，考查了由导数研究函数的单调性，求函数的最值，考查了基本不用等式，属于中档题.10.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动.当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A. 线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB. 线段1CA 的中点C. 线段1CA 的三等分点，且靠近点CD. 线段1CA 的四等分点，且靠近点C【答案】B 【解析】将问题转化为动点P 到直线MN 的距离最小时，确定点P 的位置，建立空间直角坐标系，取MN 的中点Q ，通过坐标运算可知PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，再由空间两点间的距离公式求出||PQ 后，利用二次函数配方可解决问题.【详解】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-， 设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为2221||(1)(10)(0)2PM z z z =--+--+-25334z z =-+2221||(11)(10)()2PN z z z =--+--+-25334z z =-+所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离， 由空间两点间的距离公式可得22231||(1)(10)()44PQ z z z =--+--+-29338z z =-+2133()28z =-+，所以当12c =时，||PQ 取得最小值64，此时P 为线段1CA 的中点， 由于2||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点. 故选：B【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11.若复数21iz =+，则||z =________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据||||z z =以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.【详解】因为21i z =+，所以2||||||1z z i==+22|1|11i ===++. 故答案为：2【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为________.【答案】 (1). 5 (2). 4 【解析】 【分析】根据三视图画出直观图，根据三视图中的数据得到直观图中的数据，再计算可得答案. 【详解】如图所示是三棱锥的直观图：其中AF ⊥平面BCD ，垂足为F ，根据三视图可知，2BE ED ==，2CE EF ==，3AF =，所以22BF DF BC CD ====22(22)317AB AD ==+=，2222345AC AF CF =+=+=，比较可知该三棱锥的最长棱的长为5AC =， 它的体积为1113424332BCD AF S ∆⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 故答案为：（1）5 （2）4【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了三棱锥的体积公式，属于基础题. 13.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动. 【答案】15 【解析】 【分析】先求出需要增加中签率为0.71，再用0.71除以0.05得14.2，取15即可得到答案. 【详解】因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加中签率0.90.190.71-=，因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05， 所以至少需要邀请0.714.20.05=，所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动. 故答案为：15【点睛】本题考查了阅读理解能力，解题关键是求出需要增加的中签率，属于基础题. 14.已知函数()cos 2xf x x π=.数列{}n a 满足()(1)n a f n f n =++（*n N ∈），则数列{}n a 的前100项和是________. 【答案】100 【解析】 【分析】根据三角函数知识，利用n 为奇数时，()0f n =，2n 为奇数时时，()f n n =-，2n为偶数时，()f n n =，可求出1234100,,,,,a a a a a ，再相加即可得到答案.【详解】因为()cos2xf x x π=，所以(1)(3)(5)(101)0f f f f =====，(2)2,(6)6,(10)10,,(98)98f f f f =-=-=-=-，(4)4,(8)8,(12)12,,(100)100f f f f ====，所以12(2)2a a f ===-，34(4)4a a f ===，56(6)6a a f ===-，78(8)8a a f ===，，99100(100)100a a f ===， 所以1234567899100a a a a a a a a a a +++++++++2[(2)(4)(6)(8)(100)]f f f f f =+++++2(24681012100)=-+-+-+-+2252100=⨯⨯=.故答案为： 100【点睛】本题考查了特殊角的余弦函数值和诱导公式，考查了数列的前n 项和，考查了分组求和，属于基础题.15.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；2的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________. 【答案】①② 【解析】 【分析】将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=也成立得①正确；221x y +≤，故②正确；联立22322()4y xx y x y=±⎧⎨+=⎩得四个交点，满足条件的最小正方形是以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故③不正确.【详解】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x =对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44x y x y x y ++=≤，所以221x y +≤221x y +≤， 所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4y x x y x y =±⎧⎨+=⎩得2212x y ==，从而可得四个交点22(A ，(B ，(C ，D ， 依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确. 故答案为：①②【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.在△ABC 中，sin cos()6b A a B π=-. （1）求B ；（2）若5c =，.求a . 从①7b =，②4Cπ这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】（1）3π（2）7b =时，8a =；4C π时，5352a【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角得sin cos()6B Bπ，再根据两角和与差的正弦、余弦公式变形可得sin()03Bπ，再根据角的范围可得结果；（2）若选①7b =，根据余弦定理可得结果；若选②4C π，先求出sin A ，再根据正弦定理可得结果.【详解】（1）因为sin cos()6b A a B π=-，sin sin a b A B=， 所以sin sin sin cos()6B A A Bπ. 又因为sin 0A ≠，所以sin cos()6BBπ，即31sin cos sin 22B B B . 所以sin()03Bπ.又因为2333Bπππ-<-<，所以03Bπ，所以3Bπ=.（2）若选①7b=，则在△ABC中，由余弦定理2222cosb ac ac B=+-，得25240a a--=，解得8a=或3a=-（舍）.所以8a=.若选②4Cπ，则62sin sin()sin cos cos sin34344A B Cππππ，由正弦定理sin sina cA C=，得622，解得5352a.所以535a.【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式，考查了正弦定理、余弦定理，属于基础题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，平面11ACC A⊥平面ABC，四边形11ACC A是正方形，点D，E分别是棱BC，1BB的中点，4AB=，12AA=，25BC=.（1）求证：1AB CC⊥；（2）求二面角1D AC C--的余弦值；（3）若点F在棱11B C上，且1114B C B F，判断平面1AC D与平面1A EF是否平行，并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）13（3）平面1AC D 与平面1A EF 不平行；详见解析 【解析】 【分析】（1）根据平面ABC ⊥平面11ACC A 和1CC AC ⊥得1CC ⊥平面ABC .，得1AB CC ⊥； （2）以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，根据两个半平面的法向量可求得结果； （3）根据平面1AC D 的法向量与向量1A E 不垂直可得结论.【详解】（1）证明：因为四边形11ACC A 是正方形，所以1CC AC ⊥. 又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC平面11ACC A AC =，所以1CC ⊥平面ABC 又因为AB平面ABC ，所以1AB CC ⊥.（2）由（1）知，1CC AB ⊥，11//AA CC ，所以1AA AB ⊥. 又4AB =，12AC AA ==，25BC = 所以222AB AC BC +=.所以AC AB ⊥. 如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -. 所以(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,0,2)C ，1(0,2,0)A .则有(2,0,1)D ，1(0,2,2)C ，(4,1,0)E ， 平面1ACC 的一个法向量为(1,0,0)u =. 设平面1AC D 的一个法向量为(,,)v x y z =， 又(2,0,1)AD，1(0,2,2)AC ，由10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则2z =-，2y =.所以(1,2,2)v.设二面角1D AC C --的平面角为θ，则||11|cos |||||133u v u v . 由题知，二面角1D AC C --为锐角，所以其余弦值为13. （3）平面1AC D 与平面1A EF 不平行.理由如下： 由（2）知，平面1AC D 的一个法向量为(1,2,2)v ，1(4,1,0)A E，所以120A E v，所以1A E 与平面1AC D 不平行.又因为1A E ⊂平面1A EF ，所以平面1AC D 与平面1A EF 不平行.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，考查了线面垂直的性质，考查了二面角的向量求法，考查了用法向量判断面面平行，属于中档题.18.某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率； （2）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（1）中所得概率，求X 的分布列和数学期望； （3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由. 【答案】（1）1920（2）详见解析（3）此人患该疾病的概率未超过0.5，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接用古典概型的概率公式计算可得答案；（2）可知随机变量X 服从二项分布，即~(,)X B n p ，其中3n =，1920p =，根据二项分布的概率公式可得分布列和数学期望；（3）根据患病率为0.01可知10万人中由99000人没患病，1000人患病，没患病检测呈阳性的有990人，患病的检测呈阳性的950人，共有990+950=1450人呈阳性，所其中只有950人患病，所以患病率为9500.51450<，由此可得答案. 【详解】（1）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性. 所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为76198020=. （2）由题意可知~(,)X B n p ，其中3n =，1920p =. X 的所有可能的取值为0，1，2，3.0331911(0)()()20208000P X C ==⨯=， 112319157(1)()()20208000P X C ==⨯=，22131911083(2)()()20208000P X C ==⨯=，33031916859(3)()()20208000P X C ==⨯=. 所以X 的分布列为故X 的数学期望1957()32020E X np ==⨯=. （3）此人患该疾病的概率未超过0.5.理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为119990001000990950194010020⨯+⨯=+=，其中患者人数为950. 若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为9509700.519401940<=. 所以此人患该疾病的概率未超过0.5.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了二项分布的概率公式、分布列、数学期望，属于中档题.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）.过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-. （1）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（2）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）2214x y +=；225x y +=（2）直线2l 与椭圆C 相切，详见解析【解析】 【分析】（1）根据圆O 过点(1,2)可得圆O 的方程为：225x y +=，根据过点(0,)b 且斜率为1的直线过点(1,2)，可得1b =，可得直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83(,)55--，将其代入椭圆方程可得椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）设圆O 上的动点000(,)(2)P x y x ≠±，所以22005x y +=，设直线1l ：00()y y k x x -=-，将其代入2214x y +=，得2220000(14)8()4()40k x k y kx x y kx ++-+--=，利用判别式为0，可得2220000(1)2(1)0y k x y k y -++-=，设直线2l ：001()y y x x k-=--，将其代入2214x y +=，利用判别式为0可证直线2l 与椭圆C 相切. 【详解】（1）因为圆O 过点(1,2)，所以圆O 的方程为：225x y +=. 因为过点(0,)b 且斜率为1的直线方程为y x b =+， 又因为过点(1,2)，所以1b =.因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83(,)55--，所以22283()()5511a --+=，解得24a =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）直线2l 与椭圆C 相切.理由如下：设圆O 上的动点000(,)(2)P x y x ≠±，所以22005x y +=. 依题意，设直线1l ：00()y y k x x -=-.由220044,()x y y kx y kx ⎧+=⎨=+-⎩得2220000(14)8()4()40k x k y kx x y kx ++-+--=. 因为直线1l 与椭圆C 相切，所以2220000[8()]4(14)[4()4]0k y kx k y kx ∆=--+--=.所以220014()k y kx +=-.所以2220000(4)2(1)0x k x y k y -++-=.因为22005x y +=，所以220041x y -=-.所以2220000(1)2(1)0y k x y k y -++-=.设直线2l ：001()y y x x k-=--， 由220044,1()x y y y x x k ⎧+=⎪⎨-=--⎪⎩得220000248(1)()4()40x x x y x y k k k k +-+++-=. 则222100001116[(4)()2()(1)]x x y y k k ∆=--+-+-2220000216[(4)2(1)]x kx y y k k =--+- 2220000216[(1)2(1)]y kx y y k k =--+- 2220000216[(1)2(1)]0y k kx y y k =--++-=.所以直线2l 与椭圆C 相切.【点睛】本题考查了由椭圆上点的坐标求椭圆方程，考查了由圆上的点的坐标求圆的方差，考查了直线与椭圆相切的位置关系，考查了运算求解能力，利用判别式为0是解题关键，属于中档题.20.已知函数()11xx f x e x +=--. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（3）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线也是曲线ln y x =的切线.【答案】（1）320x y -+=（2）()f x 有且仅有两个零点，详见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求得结果；（2）根据单调性和零点存在性定理可得()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上各有唯一一个零点，由此可得答案；（3）根据导数的几何意义求出曲线xy e =在点00(,)xx e 处的切线为0000e e e x x x y x x =-+，设曲线ln y x =在点33(,)x y 处的切线斜率为0e x ，根据导数的几何意义求出切线方程为00e 1x y x x =--，根据0x 是()f x 的一个零点，可证两条切线重合.【详解】（1）因为()11xx f x e x +=--， 所以001010)2(e f -=+=-，()2(1)2e xx f x -'=+，02(01)203e ()f -'==+.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=. （2）函数()f x 有且仅有两个零点.理由如下： ()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠.因为22()e 0(1)xf 'x x =+>-， 所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增.因为(0)20f =>，21(2)3e 0f --=-<，所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x .因为2e (2)30f =->，545()e 904f =-<，所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x . 综上，()f x 有且仅有两个零点.（3）曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线方程为00()-=-x x y e e x x ，即0000e e e x x x y x x =-+.设曲线ln y x =在点33(,)x y 处的切线斜率为0e x ，则031e x x =，031e x x =，30y x =-，即切点为001(,)ex x -. 所以曲线ln y x =在点001(,)e x x -处的切线方程为 0001e ()e x x y x x +=-，即0e 1x y x x =--.因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x ex +=-. 所以00000000011e e e (1)(1)1x x x x x x x x x -+-+=-=-=--.所以这两条切线重合 所以结论成立.【点睛】本题考查了根据导数的几何意义求切线的斜率，考查了用导数研究函数的单调性，考查了利用零点存在性判断零点个数，属于中档题. 21.设数列12:,,,n A a a a （3n ≥）的各项均为正整数，且12n a a a ≤≤≤.若对任意{3,4,,}k n ∈，存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，则称数列A 具有性质T .（1）判断数列1:1,2,4,7A 与数列2:1,2,3,6A 是否具有性质T ；（只需写出结论） （2）若数列A 具有性质T ，且11a =，22a =，200n a =，求n 的最小值； （3）若集合123456{1,2,3,,2019,2020}S S S S S S S ==，且i j S S =∅（任意,{1,2,,6}i j ∈，i j ≠）.求证：存在i S ，使得从i S 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质T 的数列.【答案】（1）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T （2）n 的最小值为10（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）47a =不满足存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，故数列1A 不具有性质T ；根据定义可知数列2A 具有性质T ；（2）由题可知22a =，3224a a ≤=，4328a a ≤≤，，872128a a ≤≤，所以9n ≥，再验证可知9n =时，数列A 不具有性质T ，10n =时，数列A 具有性质T ，从而可知n 的最小值为10；（3）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =都有：若正整数,,i a b S a b ∈<，则i b a S -∉，再根据定义推出矛盾，从而可证结论正确.【详解】（1）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T . （2）由题可知22a =，3224a a ≤=，4328a a ≤≤，，872128a a ≤≤，所以9n ≥.若9n =，因为9200a =且982a a ≤，所以8128100a ≥≥.同理，765436450,3225,1612.5,8 6.25,4 3.125.a a a a a ≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥ 因为数列各项均为正整数，所以34a =.所以数列前三项为1,2,4.因为数列A 具有性质T ，4a 只可能为4,5,6,8之一，而又因为48 6.25a ≥≥， 所以48a =.同理，有567816,32,64,128a a a a ====. 此时数列为1,2,4,8,16,32,64,128,200.但数列中不存在19i j ≤≤<使得200i j a a =+，所以该数列不具有性质T . 所以10n ≥.当10n =时，取:1,2,4,8,16,32,36,64,100,200A .（构造数列不唯一） 经验证，此数列具有性质T . 所以，n 的最小值为10.（3）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =都有：若正整数,,i a b S a b ∈<，则i b a S -∉.否则，存在i S 满足：存在,i a b S ∈，a b <使得i b a S -∈，此时，从i S 中取出,,a b b a -： 当a b a <-时，,,a b a b -是一个具有性质T 的数列； 当a b a >-时，,,b a a b -是一个具有性质T 的数列； 当a b a =-时，,,a a b 是一个具有性质T 的数列.（i ）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个， 不妨设此集合为1S ，从1S 中取出337个数，记为12337,,,a a a ，且12337a a a <<<.令集合1337{|1,2,,336}i N a a i S =-=⊆.由假设，对任意1,2,,336i =，3371i a a S -∉，所以234516N S S S S S ⊆.（ii ）在23456,,,,S S S S S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素，不妨设这个集合为2S ， 从21S N 中取出68个数，记为1268,,,b b b ，且1268b b b <<<.令集合628{|1,2,,67}i N b i b S ==-⊆.由假设682i b b S -∉.对任意1,2,,68k =，存{1,2,,336}k s ∈使得337k k s b a a =-.所以对任意1,2,,67i =，686868337337()()i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-，由假设681i s s a a S -∉，所以681i b b S -∉，所以6812i b b S S -∉，所以23456N S S S S ⊆.（iii ）在3456,,,S S S S 中至少有一个集合包含2N 中的至少17个元素，不妨设这个集合为3S ， 从23S N 中取出17个数，记为1217,,,c c c ，且1217c c c <<<.令集合137{|1,2,,16}i N c c i S -==⊆.由假设173i c c S -∉.对任意1,2,,17k =，存在{1,2,,67}k t ∈使得68k t k c b b =-.所以对任意1,2,,16i =，1717176868()()i i i t t t t c c b b b b b b -=---=-，同样，由假设可得1712i t t b b S S -∉，所以17123i c c S S S -∉，所以3456N S S S ⊆.（iv ）类似地，在456,,S S S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素，不妨设这个集合为4S ，从34S N 中取出6个数，记为126,,,d d d ，且126d d d <<<，则6456{|1,2,,5}i d d i S S N -⊆==.（v ）同样，在56,S S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素，不妨设这个集合为5S ， 从45S N 中取出3个数，记为123,,e e e ，且123e e e <<，同理可得153326{,}e e e e S N --=⊆.（vi ）由假设可得2131326()()e e e e e e S -=---∈/. 同上可知，1245123S S S e e S S -∈/，而又因为21e e S -∈，所以216e e S -∈，矛盾.所以假设不成立. 所以原命题得证.【点睛】本题考查了对新定义的理解和运用能力，考查了反证法，考查了集合的并集运算，准确理解定义和运用定义解题是解题关键，属于难题.。
2021年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析版)
2021年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷参考公式：锥体的体积公式13VSh =，其中S 为锥体的表面积，h 为锥体的高。
第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}{}1,0,2,0,1,2A B =-=，则A B =（A ）{}1,0,2-（B ）{}0,1,2（C ）{}1,0,1-（D ）{}1,0,1,2-【答案】D .【考点】集合运算。
【解析】∵A B 是集合A 与集合B 的所有元素构成的集合，故A B = {}1,0,1,2-。
（2）已知复数1234,23z i z i =-=-+，则12z z +=（A ）1i -（B ）5i -（C ）17i -（D ）5i+【答案】A .【考点】复数的四则运算。
【解析】由已知可得12z z +=()()()342332431i i i i -+-+=-+-+=-。
（3）函数()2log f x x =的定义域是（A ）()1,-+∞（B ）()0,+∞（C ）()1,+∞（D ）()2,+∞【答案】B .【考点】对数函数的定义域。
【解析】由对数函数的真数部分大于0可得()2log f x x =的定义域是()0,+∞.（4）下列函数中，在区间()0,+∞上单调递减的是（A ）2y x=（B ）y =（C ）2xy =（D ）12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D .【考点】函数的单调性。
【解析】幂函数y x α=在0α>时为增函数，由此易知2y x =和y =在()0,+∞单调递增。
指数函数x y a =，当1a >时为定义域上的增函数，当01a <<时为定义域上的减函数，由此可知2xy =在()0,+∞单调递增，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减。
（5）下列给点中，在函数()21x f x =-的图象上的点是（A ）()0,0（B ）()0,1（C ）()1,0（D ）()1,2【答案】A .【考点】函数图象与函数方程的关系。
北京市朝阳区2021届高考数学质检试卷(一)(含答案解析)
北京市朝阳区2021届高考数学质检试卷(一)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）≥0,x∈R}，B={y|y=2x+1,x∈R}，则A∩B=()1.已知集合A={x|xx−1A. (1,+∞)B. (−∞,0)C. (0,1]D. [0,1]=()2.设i是虚数单位，复数7+4i1+2iA. 3+2iB. 3−2iC. 2+3iD. 2−3i3.在−9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为−21的等差数列，则n=()A. 4B. 5C. 6D. 74.为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为()A. 相离B. 相交C. 相切D. 相切或相离5.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A. B. C. 2 D. 36.在△ABC中，AB+AC=8，BC=4，D为BC的中点，当AD长度最小时，△ABC的面积为()A. 2√2B. 4C. 4√2D. 4√37.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的侧面积为()A.B.C.D.8.给出下列四个命题：①命题“若X2=1，则x=1”的否命题为：“若：x2=1，则x≠0”；②命题“∃x∈R，x2+x−1<0”的否定是“∀x∈R，x2+x−1>0”；③命题“若：x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；④“x =−1”是“x 2−5x −6=0的必要不充分条件． 其中真命题的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于点B 、C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且|AF|=6，AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BC|=( ) A. 92B. 6C. 132D. 810. 点P(4,−2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A. (x −2)2+(y +1)2=1B. (x −2)2+(y +1)2=4C. (x +4)2+(y −2)2=4D. (x +2)2+(y −1)2=1二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11. (文)若(1−2x)2009=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2009x 2009(x ∈R)，则(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+⋯+(a 0+a 2009)=______．12. 设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f(x +1)=f(x −1)，已知当x ∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x ，则其中所有正确命题的序号是______ ．①2是函数f(x)的周期； ②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f(x)的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈[3,4]时，f(x)=(12)x−3． 13. 已知向量a ⃗ =(1,1)，|b ⃗ |=√3，(2a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =2，则|a ⃗ −b⃗ |=______． 14. 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)的函数关系如图，下列结论：①a =8，②b =92，③c =123中，正确的是 .(填序号)15. 命题“若x 2<2，则|x|<√2”的逆否命题是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知曲线f(x)=Asin(ωx+ϕ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)上的一个最高点的坐标为(π8,2)，此点相邻的一个对称中心坐标为(3π8,12 )，(1)求函数f(x)的表达式．(2)用“五点作图法”画出此函数f(x)在[−π8,7π8]上图象．(3)如何由函数f(x)的图象通过适当的变换得到函数y=sinx的图象，写出变换过程．17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=1，M为线段AB的中点，N为线段A1B1的点，且A1N=2B1N.(1)求三棱锥A−CMN的体积；(2)求直线CN与底面ABC所成角的大小(结果用反三角表示)．18.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它对空气质量和能见度等有重要的影响．我国从PM2.5的含量对空气质量评定的标准如表1所示．某市环保部门从2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图所示．(Ⅰ)从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数ξ，求ξ的分布列和数学期望；(Ⅱ)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算)中大约有多少天的空气质量达到一级．我国空气质量表PM2.5均值范围(微克/立方米)空气质量级别(1,35]Ⅰ(35,75]Ⅱ大于75超标19. 椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，短轴一个端点到右焦点的距离为√3．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线y=x+1与椭圆C交于A，B两点，求A，B两点间的距离．20. 已知函数f(x)=e x−x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．(1)求a和b的值；(2)当x∈R时，求证：f(x)≥−x2+x(3)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立，求实数k的取值范围．21. 已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n+2n(n∈N∗)．(Ⅰ)证明：{a n−2}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)令b n=log2(2−a n)，若1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯1b n−1b n+1b n b n+1>25，求正整数n的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由A中不等式变形得：x(x−1)≥0，且x−1≠0，解得：x≤0或x>1，即A=(−∞,0]∪(1，+∞)，由B中y=2x+1>1，得到B=(1,+∞)，则A∩B=(1,+∞)．故选：A．求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：复数7+4i1+2i =(7+4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=15−10i5=3−2i．故选：B．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3.答案：B解析：本题考查等差数列的项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的前n项和公式的灵活运用．解：由题意知S n+2=n+22(−9+3)=−21，解得n+2=7，∴n=5．故选：B．4.答案：A解析：试题分析：点M在圆内，故，圆心到直线的距离.故直线与圆相离．考点：直线与圆的位置关系5.答案：B解析：设双曲线的两焦点分别为F 1、F 2，由题意可知|F 1F 2|=2c，|AB|=2|AF 1|=4a，在Rt△AF 1F 2中，∵|AF 1|=2a，|F 1F 2|=2c，，∴，即3a 2=c 2，∴．6.答案：D解析：解：在△ABC中，设AB=x，AC=y，AD=m，∠ADB=θ，则∠ADC=π−θ，在△ABD中，由余弦定理得：m2+4−4mcosθ=x2(1)，在△ACD中，由余弦定理得：m2+4−4mcos(π−θ)=y2，即m2+4+4mcosθ=y2(2)，由(1)(2)得：2m2+8=x2+y2，又x+y=8，所以2m2+8=(8−y)2+y2=2y2−16y+64，所以m2=y2−8y+28，所以当y=4时，m的最小值为2√3，即AD长度的最小值为2√3，此时AB=AC=BC=4，△ABC是等边三角形，易得其面积为4√3．故选D．另解：由BC=4，AB+AC=8，则点A在以B，C为焦点，焦距2c=4，长轴长2a=8的椭圆上运动，易知当点A运动到短轴端点时，AD最短为b=2√3，此时AD⊥BC，S△ABC=12×BC×AD=12×4×2√3=4√3．故选：D．法一：由已知结合余弦定理及二次函数的性质可求面积的最小值；法二：由已知结合椭圆的定义及椭圆的性质可求面积的最小值．本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，要注意解法二中椭圆定义的灵活应用．7.答案：C解析：本题主要考查的是几何体的三视图和侧面积的求解．由三视图知几何体是圆柱体，且母线长为3，底面半径为2，∴弧长为×2=，∴几何体的侧面积S=(+2×2)×3=12+2π．故选C．8.答案：A解析：解：①若x2=1，则x=1”的否命题：若为x=1则x2=1；故①错误；②命题“∃x∈R，x2+x−1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x−1≥0”，故②错误；③∵x=y⇒sinx=siny，反之如果sinx=siny，例如sinπ6=sin5π6=12，但π6≠5π6，所以sinx=siny，推不出x=y，∴原命题是真命题，∴原命题的逆否命题为真命题，故③正确；④∵x2−5x−6=0，∴(x+1)(x−6)=0，解得x=−1或6，∴x=−1⇒x=−1或6，反之则不能，∴“x=−1”是“x2−5x−6=0的充分不必要条件，故④错误．∴真命题的个数是1，故选：A．①根据否命题的定义：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题，把题中条件与结论互换；②根据否命题的定义把小于改为大于等于；③利用三角函数的知识看x=y与sinx=siny是否能够互相，判断原命题的真假，从而得出其逆否命题的真假；④解出方程x2−5x−6=0的根，再判断其与x=−1的逻辑关系；此题考查的知识面比较广，主要考查四种逻辑关系，解题的关键是将各个命题的内容具体化使之成为简单的命题，然后再求解．9.答案：A解析：解：∵|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|BF|=3， 设|CF|=x ，则 由抛物线的定义可得x3=6−x 9，∴x =32，∴|BC|=|CF|+|BF|=92． 故选：A ．求出|BF|=3，设|CF|=x ，则由抛物线的定义可得x3=6−x 9，即可得出结论．本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，比较基础．10.答案：A解析：设圆上任一点为Q(x 0,y 0)，PQ 的中点为M(x,y)，则解得又因为点Q在圆x 2+y 2=4上，所以+=4，即(2x −4)2+(2y +2)2=4，即(x −2)2+(y +1)2=1．11.答案：2007解析：解：令x =0，得a 0=1；令x =1，得−1=a 0+a 1+a 2+⋯+a 2009， 故(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+⋯+(a 0+a 2009)=2008−1=2007． 故答案为：2007通过对等式中的x 分别赋0，1求出常数项和各项系数和得到要求的值． 本题考查通过赋值法求二项展开式的各项系数和．12.答案：①②④解析：解：∵对任意的x ∈R 恒有f(x +1)=f(x −1)， ∴f(x +2)=f(x)则f(x)的周期为2，故①正确；∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x ，∴函数f(x)在(0,1)上是增函数，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确； ∴函数f(x)的最大值是f(1)=1，最小值为f(0)=12，故③不正确；设x ∈[3,4]，则4−x ∈[0,1]，f(4−x)=(12)x−3=f(−x)=f(x)，故④正确； 故答案为：①②④根据条件求出函数的周期，即可判定①的真假，根据函数f(x)是定义在R上的偶函数，以及在(0,1)上的单调性，可判定②的真假，根据单调性和周期性可求出函数的最值，可判定③的真假，最后求出函数在x∈[3,4]时的解析式即可判定④的真假．本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性以及函数的最值，同时考查了分析问题的能力，是中档题．13.答案：3解析：解：由题意可得|a⃗|=√2,(2a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗⋅b⃗ +2a⃗2=a⃗⋅b⃗ +4，∴a⃗⋅b⃗ +4=2，解得a⃗⋅b⃗ =−2，∴|a⃗−b⃗ |=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=3．故答案为：3．依题意，可求得a⃗⋅b⃗ =−2，再根据模长公式求解即可．本题主要考查向量的数量积运算及向量模的求法，属于基础题．14.答案：①②③解析：试题分析：由图象可知，甲跑8m用了2s，速度为m/s，乙跑500m用了100s，速度为m/s，乙追上甲用了s，甲用s跑到终点，，m.考点：本小题主要考查函数在实际问题中的应用．点评：解决此类问题，要结合实际情况，利用函数观点解决问题．15.答案：“若|x|≥√2，则x2≥2”解析：解：命题“若x2<2，则|x|<√2”的逆否命题是“若|x|≥√2，则x2≥2”．故答案为：“若|x|≥√2，则x2≥2”．根据命题“若p则q”的逆否命题是“若￢q则￢p”，写出即可．本题考查了命题与它的逆否命题的应用问题，是基础题目．)上的一个最高点的坐标为16.答案：解：(1)∵曲线f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2,2)，(π8∴A+B=2，∵此点相邻的一个对称中心坐标为(3π8,12)， ∴T =4×(3π8−π8)=π，所以ω=2，∵对称中心坐标为(3π8,12)， ∴B =12，φ=kπ−3π4，k ∈Z∵|φ|<π2，∴φ=π4．∴函数f(x)的表达式为y =32sin(2x +π4)+12． (2)列表： x−π8 π8 3π8 5π8 7π82x +π4 0 π2 π 3π2 2πy12 2 12 −1 12描点、连线如图所示．(3)y =32sin(2x +π4)+12向下平移12个单位得到y =32sin(2x +π4)的图象，横坐标不变，纵坐标变为原来的23倍得到y =sin(2x +π4)的图象，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到y =sin(x +π4)的图象，向右平移π4即可得到y =sinx 的图象． 解析：(1)利用函数图象经过的最高点可得A =2，求出函数的周期，即可求出ω，利用函数经过的特殊点求出φ，B ，即可求出解析式；(2)根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象． (3)利用平移规律及图象变换规律即可得到结果．本题主要考察了五点法作函数y =Asin(ωx +φ)的图象，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换，属于基本知识的考察．17.答案：解：(1)利用等积法知V A−CMN =V N−ACM =13×12×12×1×1=112．(2)建立如图的空间直角坐标系，则平面ABC 的法向量为 n ⃗⃗⃗ =(0,0，1)，C(0,0，0)，A 1(1,0，1)，B 1(0,1，1)，设N(x,y ，z)，∵A 1N =2B 1N.∴ A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y ，z −1)，NB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,1−y,1−z)， 则(x −1,y ，z −1)=2(−x ，1−y ，1−z)，则{x −1=−2xy =2−2y z −1=2−2z ，得x =13，y =23，z =1，即N(13,23,1)， 则CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,23,1)， 设直线CN 与底面ABC 所成角的大小为α，则sinα=|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |n ⃗⃗ ||CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√1414， 即α=arcsin3√1414． 解析：(1)利用等积法知V A−CMN =V N−ACM ，然后进行计算即可． (2)建立坐标系求出向量坐标，利用向量法进行求解．本题主要考查空间几何体的体积的计算以及空间线面角的求解，建立坐标系求出向量坐标，利用向量法是解决本题的关键，是中档题．18.答案：解：(I)依据条件，设“达到I 级”为事件A ，这15天中的有5天达到I 级，因此P(A)=515=13，ξ的可能值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C 103C 153=2491；当ξ=1时，P(ξ=1)=C 51C 102C 153=4591；P(ξ=2)=C 52C 101C 153=2091；P(ξ=3)=C 53C 153=291．所以其分布列为： ξ 0 1 2 3 P(ξ)249145912091291数学期望为：Eξ=1×4591+2×2091+3×291=1．(Ⅱ)依(I)可知，一年中每天空气质量达到一级的概率P =13， 一年中空气质量达到一级的天数为360×13=120， 所以一年中平均有120天的空气质量达到一级．解析：(I)依据条件，设“达到I 级”为事件A ，这15天中的有5天达到I 级，因此P(A)=515=13，ξ的可能值为0，1，2，3.利用“超几何分布”即可得出分布列，再利用数学期望计算公式即可得出； (II)利用(I)可得一年中每天空气质量达到一级的概率P =13，进而得到一年中达到I 级的天数． 本题考查了“超几何分布”的分布列及其数学期望、用概率估计一件事情等基础知识与基本技能，属于基础题．19.答案：解：(1)因为短轴一个端点到右焦点的距离为√3，则a =√3，由e =c a=√63得c =√2，则b 2=a 2−c 2=1，所以椭圆的方程为x 23+y 2=1；(2)由{x 23+y 2=1y =x +1消去y 得，2x 2+3x =0，解得x 1=0或x 2=−32，所以y 1=1、y 2=−12， 所以两个交点为：A(0,1)、B(−32,−12)， 则 |AB|=√(−32−0)2+(−12−1)2=32√2．解析：(1)根据题意先求出a ，由离心率求出c 、b ，代入椭圆方程即可；(2)联立直线方程和椭圆方程消去y 求出交点A 、B 的横坐标，代入直线方程求出对应的纵坐标，代入两点间的距离公式求出|AB|．本题考查椭圆的简单几何性质、标准方程，两点间的距离公式，以及直线与椭圆相交问题，属于中档题．20.答案：解：(1)f(x)=e x −x 2+a ，f′(x)=e x −2x ．由已知得{f(0)=1+a =0f′(0)=1=b , ∴{a =−1b =1．(2)证明：由(1)知∴f(x)=e x −x 2−1．令φ(x)=f(x)+x2−x=e x−x−1，φ′(x)=e x−1，由φ′(x)=0，得x=0，当x∈(−∞,0)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减；当x∈(0,+∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增．∴φ(x)min=φ(0)=0，即φ(x)≥0，从而f(x)≥−x2+x．(3)f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立⇔f(x)x>k对任意的x∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=f(x)x ，g′(x)=xf′(x)−f(x)x2 =(x−1)(e x−x−1)x2．由(2)可知当x∈(0,+∞)时，e x−x−1>0恒成立，令g′(x)>0，得x>1；g′(x)<0，得0<x<1．∴g(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)．所以g(x)min=g(1)=0．∴k<g(x)min=g(1)=e−2，∴实数k的取值范围为(−∞,e−2)．解析：此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了函数的单调性，属于中档题．(1)利用图象在点x=0处的切线为y=bx，求出a，b，即可求函数f(x)的解析式；(2)令φ(x)=f(x)+x2−x=e x−x−1，确定函数的单调性，可得φ(x)min=φ(0)=0，即可证明：f(x)≥−x2+x；(3)f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立⇔f(x)x >k对任意的x∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=f(x)x，则k<g(x)min=g(1)=0，即可求实数k的取值范围．21.答案：(I)证明：S n=2a n+2n(n∈N∗).当n≥2时，S n−1=2a n−1+2(n−1)，∴a n=S n−S n−1= 2a n+2n−[2a n−1+2(n−1)]，化为：a n=2a n−1−2，∴a n−2=2(a n−1−2)，n=1时，a1=S1=2a1+2，解得a1=−2，∴a1−2=−4，∴{a n−2}为等比数列，首项为−4，公比为2．∴a n−2=−4×2n−1，可得：a n=−2n+1+2．(II)解：b n=log2(2−a n)=n+1，∴1b n b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2．∴1b1b2+1b2b3+⋯…+1b n b n+1=12−13+13−14+⋯…+1n+1−1n+2=12−1n+2>25，解得：n+2>10，即n>8．∴满足1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯1b n−1b n+1b n b n+1>25的正整数n的最小值为9．解析：(I)S n=2a n+2n(n∈N∗).当n≥2时，a n=S n−S n−1，可得a n=2a n−1−2，变形为a n−2= 2(a n−1−2)，即可证明结论．利用通项公式可得a n．(II)b n=log2(2−a n)=n+1，1b n b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2.利用裂项求和可得1b1b2+1b2b3+⋯…+1b n b n+1，解不等式1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯1b n−1b n+1b n b n+1>25，可得满足条件的正整数n的最小值．本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、裂项求和方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。