数学：高三第一轮复习课件——一元二次不等式的解法
（1）如果对一切 x∈R， f ( x ) > 0 恒成立，求实数a的取值范围； （2）如果对x∈[−3,1]，f (x) > 0 恒成立，求实数a的取值范围．
(m − 1)x 2 + (m − 2)x − 1(m ∈ R ) 例4、已知抛物线 y =
（1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点。
高三第一轮复习
一元二次不等式的解法
一、知识点 1、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系 2、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方 程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以 及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。
一元二次不等式的解法： 一元二次不等式的解法： 设a>0,x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根,且x1≦x2,则有
f (x )⋅ g (x ) ≤ 0 f (x ) (4) ≤0⇔ g (x ) g (x ) ≠ 0
5、简单的高次不等式的解法：用数轴标根法解。
例1、解下列不等式
（1）
x − x − 6 < 0；
2
（2）
−x +3x+10<0
2
（3） x ( x + 1 ) ( x − 2 ) ≥ 0
( x + 2 )( x − 1)
x2 − x − 2 (4) ≥1 x −1
例2、已知不等式 ax 2 + bx + c > 0 的解集为
{x 2 < x < 3} ，求不等式 cx 2 + bx + a < 0 的解集。
注意不等 = x + 2( a − 2) x + 4 ，
.
a>0且△<0,恒正，a<0且△<0, 恒负。要注意a=0时检验
3、解一元二次不等式的步骤： （1）将不等式化为标准形式 (a>0)
ax 2 + bx + c > 0(≥ 0 ) ax 2 + bx + c < 0(≤ 0)
(2)解方程 ax 2 + bx + c = 0 (3)据二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象写出二次 不等式的解集。
4、简单分式不等式的解法
f (x ) (1) > 0 ⇔ f (x )⋅ g (x ) > 0 g (x )
f (x ) (2) < 0 ⇔ f (x )⋅ g (x ) < 0 g (x )
f (x ) ⋅ g (x ) ≥ 0 f (x ) (3) ≥0 ⇔ g (x ) ≠ 0 g (x )
小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围。
说明：一般地，设二次方程ax2+bx+c=0的两 个实根一个大于m且另一个小于m,则有 a×f(m)<0(其中：f(x)= ax2+bx+c).
三、课堂小结 1、解一元二次不等式时，应当考虑相应的二次方程， 根据二次项系数的符号确定不等式解集的形式，当然还 要考虑相应的二次方程根的大小。 2、二次不等式的解集有两种特殊情况，即Φ 和R，对其 中的各种情况应理解。 3、当二次项系数含有系数时，不能忽略二次项系数为 零的情形。 4、关于一元两次方程的根的范围问题，可设出对应的 二次函数，用根的分布解决。 5、解简单的分式不等式要注意首先要将不等式一边化 为0，一边分解因式，然后再转化为整式不等式用数轴 标根法求解。
(m − 1)x 2 + (m − 2)x − 1 = 0 （2）若关于x的方程
的两个不等实根的倒数平方和不大于2， 求m的取值范围。 （3）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴 交于C点，且 S ∆ABC 的面积等于2，试确定m的值。
2kx 2 − 2 x − 3k − 2 = 0 的两根一个 例4变式：关于x的方程
△>0 △=0 △<0
图象
ax2+bx+c=0的解 ax2+bx+c>0解集 ax2+bx+c<0解集
x=x1或x=x2
{x︱x<x1或x>x2} {x︱x1<x<x2}
x=x1=x2 {x︱x≠ Φ
− b } 2a
无实数解 R Φ
注意题型： ①一元二次式中有字母的讨论 ②解集已知的一元二次不等式有关问题 ③利用图象解恒成立问题
2025届高中数学一轮复习课件《一元二次不等式的解法》ppt
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第27页
对点练 3 解关于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0.
解：由题意知，Δ＝a2－4.
①当 a2－4＞0，即 a＞2 或 a＜－2 时，方程 x2－ax＋1＝0 的两根为 x＝a± a22－4，∴
原不等式的解集为x a－
2a2－4≤x≤a＋
a2－4 2
.
②若 Δ＝a2－4＝0，则 a＝±2.
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第16页
解：(1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤43，
所以原不等式的解集为x－2≤x≤43
.
(2)原不等式等价于xx22－－xx－－22＞≤04， ⇔xx22－－xx－－26＞≤00， ⇔xx－－23xx＋＋12＞≤00， ⇔
逆向思维，－1,2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
b(x－1)＋c＞2ax 的解集是( )
A．{x|0＜x＜3}
B．{x|x＜0 或 x＞3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|－1＜x＜3}
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解析：由 a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，得 ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)＞0. ①
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第二章 不等式
第3讲 二次函数与一元二次不等式 第2课时 一元二次不等式的解法
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复习要点 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的 联系.2.会解一元二次不等式和分式不等式.3.了解较简单的不等式恒成立问题的解法．
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当 a＞1 时，不等式的解集为x1a＜x＜1
高考数学一轮复习 第7章 不等式 第2节 一元二次不等式及其解法课件 文
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第二十二页，共五十二页。
4．已知函数 f(x)＝x－2＋x22＋x，2xx，≥x0<，0，解不等式 f(x)>3.
解：由题意xx≥ 2＋02，x>3或x－<x02，＋2x>3，解得 x>1. 故原不等式的解集为{x|x>1}．
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三、易错自纠 4．不等式－x2－3x＋4>0 的解集为________．(用区间表示) 解析：由－x2－3x＋4>0 可知，(x＋4)(x－1)<0，解得－4<x<1. 答案：(－4，1)
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第十四页，共五十二页。
5．设二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13，则 ab 的值为________． 解析：由不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13，知 a<0 且 ax2＋bx＋1＝0 的两 根为 x1＝－1，x2＝13，由根与系数的关系知－ －113＋ ＝131a＝ ，－ba， 所以 a＝－3，b＝－2，所以 ab＝6. 答案：6
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2．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx 有两相异实根 x1，
＋c＝0 (a>0)的根
x2(x1<x2)
有两相等实根 x1＝x2 ＝－2ba
Δ<0 没有实数根
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第七章 不等式
第二节 一元(yī yuán)二次不等式及 其解法
高三一轮复习-二次函数与一元二次方程、不等式课件
考点一 二次函数图像性质
例1(1)(202X•泸县校级模拟)设m∈R,则“m≤2”是“函数f(x)
=x2-mx在[1，+∞)上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B也不必要条件
a2－a>0，解得a<0或a>1.
3.(202X·河南郑州联考改编)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集 是(－1，3)，则b＝________；若对于任意x∈[－1，0]，不等式f(x)＋t≤4 恒成立，则实数t的取值范围是________.
2＝b，
b＝4，
由题可知－1和3是方程－2x2＋bx＋c＝0的根，即
˂
sin2θ
˂
3 2
θ∈[-
π 4
,
3π 4
]，
2θ∈[-
π 2
,
3π 2
]，
-
π 6
˂2θ˂
π 3
或
2π 3
˂2θ˂
7π 6
θ∈(-
1π2,
π 6
)∪(
π 3
,
7π 12
)
考点一 一元二次不等式的解法
例2(1)(202X•江西模拟)已知集合A={x|(2a-x)(x-a)˂0},若2∈ A，
则的取值范围为( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞)
B. [1,2)
C.(1,2)
D.[1,2]
因为2∈A，(2a-2)(2-a)0，(2a-2)(a-2)≤0， 1≤ a≤ 2
(2)(202X•岳阳二模)已知关于x的不等式ax2+2bx+4˂0的解集为
2024届新高考一轮复习北师大版 第1章 第4节 一元二次函数与一元二次不等式 课件(56张)
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
__{_x_|_x_<_x_1 _或__x_>_x_2_}__
xx≠－2ba
R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
____{x_|_x_1<_x_<_x_2_}_____
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5.分式不等式与整式不等式
f（x） (1)g（x）
>0(<0)⇔______f(_x_)_g_(x_)_>_0_(_<_0_)___________；
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3．一元二次不等式的概念 一般地，形如 ax2＋bx＋c＞0 或 ax2＋bx＋c<0 或 ax2＋bx＋c≥0 或 ax2 ＋bx＋c≤0(其中，x 为未知数，a，b，c 均为常数，且 a≠0)的不等式叫作 一元二次不等式，使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫 作这个一元二次不等式的解集．
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(3)若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向下，则不等式 ax2＋bx＋c<0
的解集一定不是空集．( )
x－a (4)x－b
≥0 等价于(x－a)(x－b)≥0.(
)
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
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[对点查验]
1．不等式 x2＋2x－3>0 的解集为( )
A．x|－3<x<1
(3)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象
法求解
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[常用结论]
1．不等式 ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决
定．
高考一元二次不等式及其解法 课件(共51张PPT)
(4)根据对应二次函数的图象,写出不等
式的解集.
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第六章
不等式与推理证明
例1
解下列不等式：
(1)2x2＋4x＋3>0; (2)－3x2－2x＋8≥0;
(3)12x2－ax>a2(a∈R).
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第六章
不等式与推理证明
【思路分析】
首先将二次项系数转化
为正数,再看二次三项式能否因式分解, 若能,则可得方程的两根,大于号取两边, 小于号取中间;若不能,则再看“Δ”,利
法二比较简单.
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第六章
不等式与推理证明
【解】
(1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立,
若 m＝0,显然－1<0; 若 m≠0,
m<0 则 ⇒－4<m<0. 2 Δ＝m ＋4m<0
所以－4<m≤0.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
(2)要使 f(x)<－m＋5 在[1,3]上恒成立,就是 12 3 要使 m(x－ ) ＋ m－6<0 在 x∈[1,3]上恒 2 4 成立. 有以下两种方法： 12 3 法一：令 g(x)＝m(x－ ) ＋ m－6,x∈[1,3]. 2 4 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max＝g(3)＝7m－6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7
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第六章
不等式与推理证明
－∞，－1 ∪(1,＋∞). ∴不等式的解集为 2
－∞，－1 ∪(1,＋∞) 答案： 2
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
5.已知(ax－1)(x－1)>0的解集是{x|x<1 或x>2},则实数a的值为________.
高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.2 一元二次不等式及其解法课件
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第十八页，共三十九页。
当2a<－1，即－2<a<0 时，解得2a≤x≤－1. 综上所述，当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当－2<a<0 时，不等式的解集为x2a≤x≤－1
；
当 a＝－2 时，不等式的解集为{－1}；
பைடு நூலகம்
当 a<－2 时，不等式的解集为x－1≤x≤2a
.
1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( × )
(2)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0
的解集为 R.( × )
(3)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－
4ac≤0.( × )
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第二十二页，共三十九页。
2．求不等式 12x2－ax>a2(a∈R)的解集． 解：原不等式可化为 12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得 x1＝－a4，x2＝a3. 当 a>0 时，不等式的解集为 －∞，－a4∪a3，＋∞； 当 a＝0 时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当 a<0 时，不等式的解集为 12/8/202－1 ∞，a3∪－a4，＋∞.
解析：当 k＝0 时，不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 化为 8≥0，其 对任意的 x∈R 恒成立；当 k<0 时，不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 不 能恒成立；当 k>0 时，要使不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 对任意的 x ∈R 恒成立，对于方程 kx2－6kx＋k＋8＝0，需 Δ＝36k2－4(k2＋ 8k)≤0，得 0<k≤1.综上，实数 k 的取值范围是[0,1]，故选 A．
一元二次方程、不等式课件高三数学一轮复习
(2)− 2 + 2 − 3 < 0
2+5
(3)
−2
2+5
(4)
−2
≤0
(5)0< 2 − −2 ≤ 4
≥3
解题技巧
拓展
高次不等式的解法
(1)（x − 2）2 (x − 4) > 0
(3)
x2 −9
x−1
≤0
(2) (-x 2 + 2x + 3)(x + 1)>0
解题技巧
“穿针引线法”：
①最高次系数化为正
②从右上方开始画图，奇穿偶切
考点二 含参数不等式解法
(1)x2+ax+1<0(a∈R);
【解析】(1)Δ=a2-4.
①当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,原不等式无解.
②当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时,方程
2 −4
−+
x2+ax+1=0的两根分别为x1=
,
2
−− 2 −4
若 m＝0，显然－1<0；
m<0，
若 m≠0，则 Δ＝m 2＋4m<0 ⇒－4<m<0.
所以 m 的取值范围为(－4,0]．
(2)要使 f(x)<－m＋5 在[1,3]上恒成立，
2
只需 mx －mx＋m<6 恒成立(x∈[1,3])，
又因为
1
3
x2－x＋1＝x－22＋4>0，
6
所以 m<x2－x＋1.
2 f(x)g(x)>0(<0)
□
高考数学一轮复习第5章《不等式》一元二次不等式及其解法精品课件
{ m2+4m-5＞0 16(m-1)2-12(m2+4m-5)＜0. 解得1＜m＜19. 综上，实数m的取值范围是［1,19）.
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考点三 分式不等式与高次不等式解法
解下列不等式:
(1)2x3-x2-15x＞0;
(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0;
a
由
a a＜0, 解得a＜-2- 3 或-2+ 3 ＜a＜0.
故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围 是（-∞,-2- 3）∪(-2+ 3,0).
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1.一元二次不等式的界定.对于貌似一元二次不等式 的形式要认真鉴别.如：
解不等式（x-a）（ax-1）＞0,如果a=0它实际上是 一个一元一次不等式；
只有当a≠0时它才是一个一元二次不等式.
2.当判别式Δ＜0时，ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集为
R；ax2+bx+c＜0(a＞0)
3x - 5
x2 + 2x - 3 -2≤0.
即为
- 2x2 x2 +
-x 2x
+1 -3
≤0
，即为
2x2 + x - 1 x2 + 2x - 3
≤0
,
即等价变形为
{ (2x-1)(x+1)(x+3)(x-1)≥0, x≠-3且x≠1.可得原不等式的解集为如图所示阴影部分
﹛ x|x<-3或-1≤x≤ 或12 x>1 ﹜.
{x|x1<x<x2}
Δ<0
没有实根 R
2022届高考数学一轮复习第一章第五节 一元二次不等式及其解法(含解析)
1 / 20第五节 一元二次不等式及其解法A 组 基础达标1.(2020江西吉安期末)已知不等式x 2+bx -c <0的解集为{x |3<x <6},则不等式-bx 2+(c +1)x -2>0的解集为 ( ) A.{x|x <19或x >2} B.{x|19<x <2} C.{x|x <-19或x >2}D.{x|-19<x <2}2.已知不等式ax 2-5x +b >0的解集为{x |-3<x <2},则不等式bx 2-5x +a >0的解集是 ( ) A.{x|-13<x <12} B.{x|-12<x <13} C.{x|x <-13或x >12} D.{x|x <-12或x >13} 3.不等式(13)x 2-8>3-2x 的解集是 ( )A.{x |-2<x <4}B.{x |2<x <4}C.{x |x <4}D.{x |x >-2}4.(多选题)若集合A ={x ||3x -1|≥2},B ={x|x -2x -1≤0},则 ( )A.A ∩B =BB.A ∩(∁R B )=(-∞,-13] C.∁R (A ∪B )=(-13,1] D.(∁R A )∪B =(-13,1)∪(1,2]5.(2020安徽宣城期末)关于x 的不等式ax 2-(a +1)x +1>0(a <0)的解集为( ) A.{x|1a <x <1} B.{x|x <1或x >1a } C.{x|x <1a 或x >1} D.{x|1<x <1a }2 / 206.(2020江苏如皋期末)若关于x 的不等式x 2-2(m +1)x +4m ≤0的解集中恰有4个正整数,则实数m 的取值范围是( )A.(52,3) B.[52,3) C.(-1,-12] D.(-1,-12]∪[52,3)7.(2020浙江台州期末)若对任意的x ∈(0,+∞),不等式x 2-ax +2>0恒成立,则实数a 的取值范围为( )A.(-∞,2√2)B.(-2√2,2√2)C.(2√2,+∞)D.(-∞,-2√2)∪(2√2,+∞)8.(2020全国多校模拟)已知关于x 的不等式ax 2-2x +3a <0在(0,2]上有解,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,√33) B.(-∞,47)C.(√33,+∞) D.(47,+∞)9.若不等式x 2+ax +1≥0对任意的x ∈(0,12]恒成立,则a 的最小值为 ( )A.-52 B.0 C.-2 D.-310.(2020新吴校级月考)不等式ax 2+2x +b >0(a >b )的解集为{x|x ≠-1a },则a 2+b 2a -b的最小值为 .B 组 能力拔高11.若不等式x 2+mx +4>0在区间(1,2)上有解,则m 的取值范围是( ) A.(-4,+∞) B.(-∞,-4) C.(-5,+∞) D.(-∞,-5)12.若关于x 的不等式x 2-(a +1)x +a <0的解集中恰有两个整数,则a 的取值范围是 ( )A.(3,4)B.(-2,-1)∪(3,4)C.(3,4]D.[-2,-1)∪(3,4]13.(2020重庆期末)已知关于x的一元二次不等式kx-x+1<0的解集为(a,b),则2a+b的最小值是()A.6B.5+2√6C.3+2√2D.3C组思维拓展14.解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0(a∈R).15.已知函数f(x)=√ax2+2ax+1的定义域为R.(1)求a的取值范围;(2)若函数f(x)的最小值为√22,解关于x的不等式x2-x-a2-a<0.答案解析A组基础达标1.(2020江西吉安期末)已知不等式x2+bx-c<0的解集为{x|3<x<6},则不等式-bx2+(c+1)x-2>0的解集为()A.{x|x<19或x>2}B.{x|19<x<2}C.{x|x<−19或x>2}D.{x|−19<x<2}答案C由题意得x2+bx-c=0的两根为3,6,则{3+6=−b,3×6=−c,解得{b=−9,c=−18,3 / 204 / 20则不等式-bx 2+(c +1)x -2>0可化为9x 2-17x -2>0,解得x <-9或x >2.故选C.2.已知不等式ax 2-5x +b >0的解集为{x |-3<x <2},则不等式bx 2-5x +a >0的解集是 ( ) A.{x|−13<x <12} B.{x|−12<x <13} C.{x|x <−13或x >12} D.{x|x <−12或x >13} 答案 C 由题意得方程ax 2-5x +b =0的两根分别为-3,2,于是{-3+2=--5a ,-3×2=ba⇒{a =−5,b =30.则不等式bx 2-5x +a >0即30x 2-5x -5>0, 即(3x +1)(2x -1)>0, 所以x <-13或x >12.故选C .3.不等式(13)x 2-8>3-2x 的解集是 ( )A.{x |-2<x <4}B.{x |2<x <4}C.{x |x <4}D.{x |x >-2} 答案 A 由(13)x 2-8>3-2x ,得38−x 2>3-2x ,由函数y =3x 的单调性得8-x 2>-2x ,即x 2-2x -8<0,解得-2<x <4. ∴不等式(13)x 2-8>3-2x 的解集是{x |-2<x <4}.故选A .4.(多选题)若集合A ={x ||3x -1|≥2},B ={x|x -2x -1≤0},则 ( )A.A ∩B =BB.A ∩(∁R B )=(-∞,-13] C.∁R (A ∪B )=(-13,1] D.(∁R A )∪B =(-13,1)∪(1,2] 答案 AD5 / 206 / 205.(2020安徽宣城期末)关于x 的不等式ax 2-(a +1)x +1>0(a <0)的解集为( ) A.{x|1a <x <1} B.{x|x <1或x >1a } C.{x|x <1a 或x >1} D.{x|1<x <1a } 答案 A 不等式可化为(ax -1)(x -1)>0, ∵a <0,∴原不等式等价于(x -1a )(x -1)<0,且不等式对应的一元二次方程的根为1a 和1, 又1a <1,∴原不等式的解集为{x|1a <x <1}.故选A .6.(2020江苏如皋期末)若关于x 的不等式x 2-2(m +1)x +4m ≤0的解集中恰有4个正整数,则实数m 的取值范围是( )A.(52,3)B.[52,3) C.(-1,-12] D.(-1,-12]∪[52,3)答案 B 原不等式可化为(x -2)(x -2m )≤0, 若m ≤1,则不等式的解集是[2m ,2], 不等式的解集中不可能有4个正整数, 所以m >1,即不等式的解集是[2,2m ],所以不等式的解集中4个正整数分别是2,3,4,5. 令5≤2m <6,解得52≤m <3,所以m 的取值范围是[52,3).故选B.7.(2020浙江台州期末)若对任意的x ∈(0,+∞),不等式x 2-ax +2>0恒成立,则实数a 的取值范围为( )A.(-∞,2√2)B.(-2√2,2√2)C.(2√2,+∞)D.(-∞,-2√2)∪(2√2,+∞)7 / 20答案 A 对任意的x ∈(0,+∞),不等式x 2-ax +2>0恒成立,则a <x 2+2x,x ∈(0,+∞)恒成立,令g (x )=x 2+2x,当x ∈(0,+∞)时,g (x )=x +2x ≥2√2,当且仅当x =√2时,等号成立,∴a <2√2,故选A .8.(2020全国多校模拟)已知关于x 的不等式ax 2-2x +3a <0在(0,2]上有解,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,√33) B.(-∞,47)C.(√33,+∞) D.(47,+∞)答案 A x ∈(0,2]时,不等式可化为ax +3ax <2. 当a =0时,不等式为0<2,符合题意; 当a >0时,不等式化为x +3x <2a ,则2a >2√x·3x =2√3,当且仅当x =√3时取等号,所以a <√33,即0<a <√33; 当a <0时,x +3x >2a 在(0,2]上恒成立. 综上,实数a 的取值范围是(-∞,√33). 故选A .9.若不等式x 2+ax +1≥0对任意的x ∈(0,12]恒成立,则a 的最小值为 ( )A.-52 B.0 C.-2 D.-3答案 A 不等式x 2+ax +1≥0对任意的x ∈(0,12]恒成立⇒a ≥(-x -1x )max,x ∈(0,12].令f (x )=-x -1x ,x ∈(0,12], 则f '(x )=-1+1x 2=1−x 2x 2>0,∴函数f (x )在(0,12]上单调递增,∴当x =12时,函数f (x )取得最大值,为f (12)=-12-2=-52,∴a 的最小值为-52.故选A .10.(2020新吴校级月考)不等式ax2+2x+b>0(a>b)的解集为{x|x≠−1a },则a2+b2a-b的最小值为.答案2√2解析∵不等式ax2+2x+b>0(a>b)的解集为{x|x≠−1a},∴由不等式对应的方程可得b=1a,即ab=1,∵a>b,∴a 2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)+2a-b≥2√2,当且仅当a-b=√2时取等号,∴a 2+b2a-b的最小值为2√2.B组能力拔高11.若不等式x2+mx+4>0在区间(1,2)上有解,则m的取值范围是()A.(-4,+∞)B.(-∞,-4)C.(-5,+∞)D.(-∞,-5)答案C设f(x)=x2+mx+4,x∈(1,2),先考虑当x∈(1,2)时,x2+mx+4>0无解,即不等式x2+mx+4≤0在x∈(1,2)上恒成立,即{f(1)≤0,f(2)≤0,即{1+m+4≤0,4+2m+4≤0,解得m≤-5,∴不等式在(1,2)上有解时,m的取值范围是(-5,+∞),故选C.12.若关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则a的取值范围是()A.(3,4)B.(-2,-1)∪(3,4)C.(3,4]D.[-2,-1)∪(3,4]答案D由题意得,原不等式可化为(x-1)(x-a)<0.当a>1时,解得1<x<a,此时解集中的整数为2,3,则3<a≤4;当a<1时,解得a<x<1,此时解集中的整数为0,-1,则-2≤a<-1.故a的取值范围是[-2,-1)∪(3,4],故选D.8 / 209 / 2013.(2020重庆期末)已知关于x 的一元二次不等式kx 2-x +1<0的解集为(a ,b ),则2a +b 的最小值是( )A.6B.5+2√6C.3+2√2D.3答案 C 因为(a ,b )是一元二次不等式kx 2-x +1<0的解集, 所以a ,b 是方程kx 2-x +1=0的两个实数根,且k >0, 所以a +b =1k,ab =1k,所以a +b =ab ,且a >0,b >0, 即1a +1b =1,所以2a +b =(2a +b )·(1a +1b ) =3+2a b +ba ≥3+2√2ab ·ba =3+2√2, 当且仅当b =√2a 时,“=”成立, 所以2a +b 的最小值为3+2√2.故选C.C 组 思维拓展14.解关于x 的不等式ax 2-(2a +1)x +2<0(a ∈R). 解析 原不等式可化为(ax -1)(x -2)<0.①当a >0时,原不等式可化为a (x -2)·(x -1a )<0,根据不等式的性质,得不等式等价于(x -2)·(x -1a )<0. 因为方程(x -2)(x -1a )=0的两个根分别是2,1a ,所以当0<a <12时,2<1a ,则原不等式的解集是{x|2<x <1a};当a =12时,原不等式的解集是⌀;当a >12时,1a <2,则原不等式的解集是{x|1a <x <2}.②当a =0时,原不等式为-(x -2)<0,解得x >2,即原不等式的解集是{x |x >2}.10 / 20③当a <0时,原不等式可化为 a (x -2)(x -1a )<0,根据不等式的性质,得不等式等价于 (x -2)(x -1a )>0,由于1a <2,故原不等式的解集是{x|x <1a 或x >2}. 综上所述,当a <0时,不等式的解集为{x|x <1a 或x >2}; 当a =0时,不等式的解集为{x |x >2}; 当0<a <12时,不等式的解集为{x|2<x <1a }; 当a =12时,不等式的解集为⌀;当a >12时,不等式的解集为{x|1a <x <2}. 15.已知函数f (x )=√ax 2+2ax +1的定义域为R . (1)求a 的取值范围;(2)若函数f (x )的最小值为√22,解关于x 的不等式x 2-x -a 2-a <0.解析 (1)因为函数f (x )=2+2ax +1的定义域为R,所以ax 2+2ax +1≥0恒成立, 当a =0时,1≥0恒成立. 当a ≠0时,则{a >0,Δ=(2a)2-4a ≤0,解得0<a ≤1,综上可知,a 的取值范围是[0,1]. (2)因为f (x )=√ax 2+2ax +1 =√a(x +1)2+1−a ,0≤a ≤1, 所以当x =-1时, f (x )min =√1−a .11 / 20由题意得,√1−a =√22,所以a =12,所以不等式x 2-x -a 2-a <0可化为x 2-x -34<0,解得-12<x <32.所以不等式的解集为(-12,32).高中数学各知识点公式定理记忆口诀大全《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。
第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法(六大题型)2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
误．
故选：B
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）已知实数 < ，关于的不等式 2 − + + + 1 < 0的解集为
1 , 2 ，则实数a、b、1 、2 从小到大的排列是（ A ）
A． < 1 < 2 <
A． −1 < < 2
C． ��| < −1 ∪
B． −1 ≤ ≤ 2
> 2
D． | ≤ −1 ∪
| ≥ 2
)
感谢观看
THANK
C． < 1 < < 2
B．1 < < < 2
D．1 < < 2 <
【解题总结】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
题型四：其他不等式解法
−1
【例4】（2023·北京海淀·统考一模）不等式+2 > 0的解集为_________．
2024
高考一轮复习讲练测
第05讲 一元二次不等式与
其他常见不等式解法
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
从近几年高考命题来看，三个 “二次”
（1）会从实际情景中抽象出
的关系是必考内容，单独考查的频率
一元二次不等式．