人教版高一数学《函数》复习教案(有标准答案)
(人教A版)必修一名师精品：1.2.1《函数的概念》教学设计(含答案)
教学设计1.2.1函数的概念整体设计教学分析函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图象、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．三维目标1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y＝f(x)的含义；通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．2．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学生学习的积极性．重点难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．教学难点：符号“y＝f(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．课时安排2课时教学过程第1课时作者：高建勇导入新课问题：已知函数y＝1,,0,,xx∈⎧⎨∈⎩RQQ请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)给出下列三种对应：(幻灯片)①一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2.时间t的变化范围是数集A＝{t|0≤t≤26}，h的变化范围是数集B＝{h|0≤h≤845}．则有对应f：t→h＝130t－5t2，t∈A，h∈B.②近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106km2)随时间t(单位：年)从1979～2001年的变化情况．图1根据图1中的曲线，可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}，则有对应：f：t→S，t∈A，S∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况范围是数集B＝{y|37.9≤y≤53.8}.则有对应：f：t→y，t∈A，y∈B.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义.(3)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？(4)函数有意义又指什么？(5)函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？活动：让学生认真思考以上三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性．解：(1)共同特点是：集合A，B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f：A→B下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应．(2)一般地，设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．在研究函数时常会用到区间的概念，设a，b是两个实数，且a＜b，如下表所示：(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等．(5)C ⊆B .应用示例例题 题已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2， (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫23的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使x ＋3和1x ＋2有意义的自变量的取值范围.x ＋3有意义，则x＋3≥0，1x ＋2有意义，则x ＋2≠0，转化为解由x ＋3≥0和x ＋2≠0组成的不等式组．(2)让学生回想f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫23表示什么含义？f (－3)表示自变量x ＝－3时对应的函数值，f ⎝⎛⎭⎫23表示自变量x ＝23时对应的函数值．分别将－3，23代入函数的对应法则中得f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫23的值．(3)f (a )表示自变量x ＝a 时对应的函数值，f (a －1)表示自变量x ＝a －1时对应的函数值．分别将a ，a －1代入函数的对应法则中得f (a )，f (a －1)的值．解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0，解得－3≤x ＜－2或x ＞－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．(2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1；f ⎝⎛⎭⎫23＝23＋3＋123＋2＝333＋38. (3)∵a ＞0，∴a ∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f (a )，f (a －1)有意义． 则f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1. 点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f (x )的理解．求使函数有意义的自变量的取值范围，通常转化为解不等式组．f (x )是表示关于变量x 的函数，又可以表示自变量x 对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f (x )没有什么意义．符号f 可以看作是对“x ”施加的某种法则或运算．例如f (x )＝x 2－x ＋5，当x ＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；若x 为某一代数式(或某一个函数记号时)，则左右两边的所有x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＋5，f [g (x )]＝[g (x )]2－g (x )＋5等等．符号y ＝f (x )表示变量y 是变量x 的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y 等于f 与x 的乘积．符号f (x )与f (m )既有区别又有联系：当m 是变量时，函数f (x )与函数f (m )是同一个函数；当m 是常数时，f (m )表示自变量x ＝m 对应的函数值，是一个常量．已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．(3)如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约. 变式训练1．函数y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域为__________．答案：{x |x ≤1，且x ≠－1}．点评：本题容易错解：化简函数的解析式为y ＝x ＋1－1－x ，得函数的定义域为{x |x ≤1}．其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前，不要化简解析式． 2．若f (x )＝1x的定义域为M ，g (x )＝|x |的定义域为N ，令全集U ＝R ，则M ∩N 等于( )A ．MB ．NC ．∁U MD ．∁U N解析：由题意得M ＝{x |x ＞0}，N ＝R ，则M ∩N ＝{x |x ＞0}＝M . 答案：A3．已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，则函数f (2x －1)的定义域是________． 解析：要使函数f (2x －1)有意义，自变量x 的取值需满足－1≤2x －1≤1，1．已知函数f (x )满足：f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，则f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＋f 2(5)＋f (10)f (9)＝________.解析：∵f (p ＋q )＝f (p )f (q )，∴f (x ＋x )＝f (x )f (x )，即f 2(x )＝f (2x )． ∴f (p ＋1)f (p )＝f (1)＝3. ∴原式＝2f (2)f (1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＋2f (10)f (9)＝2(3＋3＋3＋3＋3)＝30.答案：302．若f (x )＝1x 的定义域为A ，g (x )＝f (x ＋1)－f (x )的定义域为B ，那么( )A ．A ∪B ＝B B ．AB C ．A ⊆B D ．A ∩B ＝解析：由题意得A ＝{x |x ≠0}，B ＝{x |x ≠0，且x ≠－1}．则A ∪B ＝A ，则A 错；A ∩B ＝B ，则D 错；由于BA ，则C 错，B 正确．答案：B拓展提升问题：已知函数f (x )＝x 2＋1，x ∈R .(1)分别计算f (1)－f (－1)，f (2)－f (－2)，f (3)－f (－3)的值； (2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．活动：让学生探求f (x )－f (－x )的值．分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用解析式证明．解：(1)f (1)－f (－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0； f (2)－f (－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0； f (3)－f (－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.(2)由(1)可发现结论：对任意x ∈R ，有f (x )＝f (－x )．证明如下： 由题意得f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )． ∴对任意x ∈R ，总有f (x )＝f (－x )．课堂小结本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f (x )的理解．作业课本习题1.2A 组 1,5.设计感想本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要．第2课时作者：刘玉亭复习1．函数的概念． 2．函数的定义域的求法． 导入新课思路1．当实数a ，b 的符号相同，绝对值相等时，实数a ＝b ；当集合A ，B 中元素完全相同时，集合A ＝B ；那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题：函数相等．思路2．我们学习了函数的概念，y ＝x 与y ＝x 2x 是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容，引出课题：函数相等．推进新课新知探究 提出问题①指出函数y＝x＋1的构成要素有几部分？②一个函数的构成要素有几部分？③分别写出函数y＝x＋1和函数y＝t＋1的定义域和对应关系，并比较异同.④函数y＝x＋1和函数y＝t＋1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同，值域相同吗？⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？讨论结果：①函数y＝x＋1的构成要素为：定义域R，对应关系x→x＋1，值域是R.②一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，简称为函数的三要素．其中定义域是函数的灵魂，对应关系是函数的核心．当且仅当两个函数的三要素都相同时，这两个函数才相同．③定义域和对应关系分别相同．④值域相同．⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等．因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．应用示例例题题下列函数中哪个与函数y＝x相等？(1)y＝(x)2；(2)y＝3x3；(3)y＝x2；(4)y＝x2x.活动：让学生思考两个函数相等的条件后，引导学生求出各个函数的定义域，化简函数关系式为最简形式．只要它们的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．解：函数y＝x的定义域是R，对应关系是x→x.(1)∵函数y＝(x)2的定义域是[0，＋∞)，∴函数y＝(x)2与函数y＝x的定义域不相同，∴函数y＝(x)2与函数y＝x不相等．∴函数y＝3x3与函数y＝x的定义域相同．又∵y＝3x3＝x，∴函数y＝3x3与函数y＝x的对应关系也相同．∴函数y＝3x3与函数y＝x相等．(3)∵函数y＝x2的定义域是R，∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 的定义域相同． 又∵y ＝x 2＝|x |，∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 的对应关系不相同． ∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 不相等．(4)∵函数y ＝x 2x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴函数y ＝x 2x 与函数y ＝x 的定义域不相同，∴函数y ＝x 2x与函数y ＝x 不相等．点评：本题主要考查函数相等的含义．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．对于判断两个函数是否是同一个函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同(即对应关系相同)，则是同一个函数，否则不是同一个函数.变式训练判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由． ①y ＝x －1，x ∈R 与y ＝x －1，x ∈N ； ②y ＝x 2－4与y ＝x －2·x ＋2； ③y ＝1＋1x 与u ＝1＋1x ；④y ＝x 2与y ＝x x 2； ⑤y ＝2|x |与y ＝2,0,2,0.x x x x ≥⎧⎨-<⎩是同一个函数的是________．(把是同一个函数的序号填上即可) 解析：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可．①前者的定义域是R ，后者的定义域是N ，由于它们的定义域不同，故不是同一个函数；②前者的定义域是{x |x ≥2，或x ≤－2}，后者的定义域是{x |x ≥2}，它们的定义域不同，故不是同一个函数；③定义域相同均为非零实数，对应法则相同都是自变量取倒数后加1，那么值域必相同，故是同一个函数；④定义域是相同的，但对应法则不同，故不是同一个函数；1．下列给出的四个图形中，是函数图象的是( )图2A ．①B ．①③④C ．①②③D ．③④ 答案：B2．函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是[1,2]，则函数y ＝f (2x －1)的值域是________． 3．下列各组函数是同一个函数的有________． ①f (x )＝x 3，g (x )＝x x ；②f (x )＝x 0，g (x )＝1x0；③f (x )＝－2x ，g (u )＝－2u ；④f (x )＝－x 2＋2x ，g (u )＝－u 2＋2u .答案：②③④拓展提升问题：函数y＝f(x)的图象与直线x＝m有几个交点？探究：设函数y＝f(x)定义域是D，当m∈D时，根据函数的定义知f(m)唯一，则函数y＝f(x)的图象上横坐标为m的点仅有一个(m，f(m))，即此时函数y＝f(x)的图象与直线x＝m仅有一个交点；当m D时，根据函数的定义知f(m)不存在，则函数y＝f(x)的图象上横坐标为m的点不存在，即此时函数y＝f(x)的图象与直线x＝m没有交点．综上所得，函数y＝f(x)的图象与直线x＝m有交点时仅有一个，或没有交点．课堂小结(1)复习了函数的概念，总结了函数的三要素；(2)判断两个函数是否是同一个函数．作业1．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N为值域的函数关系的是()图3答案：B2．某公司生产某种产品的成本为1 000元，以1 100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入________，它们之间是________关系．解析：由题意，多生产一单位产品则多收入100元．生产产品数量看成是自变量，公司收入看成是因变量，容易得出对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，从而判断两者是函数关系．答案：增加函数3．函数y＝x2与S＝t2是同一函数吗？答：函数的确定只与定义域与对应关系有关，而与所表示的字母无关，因此y＝x2与S ＝t2表示的是同一个函数．因此并非字母不同便是不同的函数，这是由函数的本质决定的．设计感想本节教学内容主要是依据高考说明，对课本内容适当拓展，重点对函数的相等问题进行了引申，设计时对拓展的内容采取渐进式，设计时本着逐步提高、拓展，不能急于求成，否则事倍功半．备课资料【备选例题】【例1】已知函数f (x )＝11＋x，则函数f [f (x )]的定义域是________． 解析：∵f (x )＝11＋x ，∴x ≠－1.∴f [f (x )]＝f ⎝⎛⎭⎫11＋x ＝11＋11＋x . ∴1＋11＋x ≠0，即x ＋2x ＋1≠0.∴x ≠－2.∴f [f (x )]的定义域为{x |x ≠－2，且x ≠－1}． 答案：{x |x ≠－2，且x ≠－1}【例2】已知函数f (2x ＋3)的定义域是[－4,5)，求函数f (2x －3)的定义域．解：由函数f (2x ＋3)的定义域得函数f (x )的定义域，从而求得函数f (2x －3)的定义域．设2x ＋3＝t ，当x ∈[－4,5)时，有t ∈[－5,13)，则函数f (t )的定义域是[－5,13)，解不等式－5≤2x －3＜13，得－1≤x ＜8，即函数f (2x －3)的定义域是[－1,8)．【知识拓展】函数的传统定义和近代定义的比较函数的传统定义(初中学过的函数定义)与它的近代定义(用集合定义函数)在实质上是一致的．两个定义中的定义域和值域的意义完全相同；两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同．传统定义是从运动变化的观点出发，其中对应法则是将自变量x 的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来；近代定义则是从集合、对应的观点出发，其中的对应法则是将原象集合中任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来．。
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_《函数》全章复习与巩固_ 提高
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案《函数》全章复习与巩固编稿：审稿：【学习目标】1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用；2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质．【知识网络】【要点梳理】要点一：关于函数的概念1．两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．2．函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3．映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原f x（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集象），在集合B中都有唯一确定的元素()合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．4．函数的定义域函数的定义域是自变量x 的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：（1）已知()f x 得函数表达式，求定义域； （2）已知()f x 的定义域，求[]()f x ϕ的定义域，其实质是由()x ϕ的取值范围，求出x 的取值范围；（3）已知[]()fx ϕ的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()x ϕ的取值范围．5．函数的值域由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如y ax b =+t =，转化成二次函数再求值域（注意0t ≥）；（3）形如(0)ax by c cx d+=≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （4）形如22ax bx cy mx nx p++=++（,a m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域． 6．函数的解析式函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数[]()f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x ．要点二：函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数． 与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．要点三：函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线； （2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换； （3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象． 要点五：一次函数和二次函数 1．一次函数(0)y kx b k =+≠，其中y k x∆=∆． 2．二次函数二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可以得到2(),y a x h k a =-+决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为(),h k ，对称轴方程为x h =．对于二次函数2224()()24b ac b f x ax bx c a x a a-=++=++． 当0a >时，()f x 的图象开口向上；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递减的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增的；当2b x a =-时，函数取得最小值244ac b a-． 当0a <时，()f x 的图象开口向下；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递增的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递减的；当2b x a =-时，函数取得最大值244ac b a-． 要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义． 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数()()y f x x D =∈，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点． （2）确定函数()y f x =的零点，就是求方程()0f x =的实数根．（3）一般地，如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在()0,x a b ∈，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根．（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0f x =与函数()y f x =联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．（5）在实数范围内，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的零点与二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根之间有密切关系．①0∆>，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根，其对应二次函数有两个零点； ②0∆=，方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； ③0∆<，方程20(0)ax bx c a ++=≠无根，其对应二次函数无零点． 【典型例题】类型一：映射例1．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足:(,)(,)f x y xy x y →--． （1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象； （2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识． 【答案】（1）（―1，3）或（―3，1）；（2）b 2－4a ≥0；（3）b 2=4a 【解析】（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象，于是34xy x y -=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩，∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）． （2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ）， 应满足 xy a x y b -=⎧⎨-=⎩①②由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③ 当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象． 【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．举一反三：【变式1】 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2{4,1}M a a =--，2{41,2}N b b =-+-，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 D【解析】 由已知可得M=N ，故222242420411420a a a a b b b b ⎧⎧-=--+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=--+=⎪⎪⎩⎩，a 、b 是方程x 2－4x+2=0的两根，故a+b=4．类型二：函数的概念及性质【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例2．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x -> 【答案】D【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．举一反三：【变式1】（1）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<< （2）定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】（1）D （2）A【解析】（1）由函数()f x 是奇函数且()f x 在[0，2]上是增函数可以推知()f x 在[－2，2]上递增，又(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x -=-⇒-=--=，故函数()f x 以8为周期，(25)(1)f f -=-，(11)(3)(34)(1)f f f f ==--=，(80)(0)f f =，故(25)(80)(11)f f f -<<．故选D ．（2）由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例3．设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定 【答案】 B【解析】 依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），且12()()0f x f x ==，22214(40)b ac x x b ac --=->，2()f x x bx c =++的最大值是224444ac b b aca a --=-．依题意，当s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t 取遍240,4b ac a ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有224404b ac b aca--=>-，4a a -=-．又a ＜0，因此a=－4，选B 项．举一反三：【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1） 【答案】 B【解析】 要使()g x 有意义，则2210x x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．例4．设函数()|24|1f x x =-+． （1）画出函数()y f x =的图象；（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围． 【答案】（1）右图；（2）1(,2)[,)2-∞-+∞． 【解析】 （1）由于25, 2()23, 3x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则函数()y f x =的图象如图所示．（2）由函数()y f x =与函数y=ax 的图象可知，当且仅当12a ≥或a ＜―2时，函数()y f x =与函数y=ax 的图象有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为1(,2)[,)2-∞-+∞．举一反三：【变式1】对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ⎧-⎪=⎨⎪-⎩a ba b≤>,设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.【答案】1316-（,0） 【解析】由定义运算“*”可知 2222112()0(21)(21)(1),21148()=11(1)(21)(1),211()024x x x x x x x f x x x x x x x x ⎧--≤⎪⎧-----≤-⎪⎪=⎨⎨------⎪⎩⎪--+⎪⎩，＞＞,画出该函数图象可知满足条件的取值范围是13-（,0）. 【变式2】设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ） A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+> B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+< C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+< D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+> 【答案】B【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当0<a 时,要想满足条件,则有如图,做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --,由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ,同理当0>a 时,则有0,02121>+<+y y x x ,故答案选B. 例5． 已知函数2()af x x x=+（x ≠0，常数a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x 1＜x 2，则有12()()0f x f x -<恒成立，即可得a 的取值范围．【答案】（1）当a=0时，为偶函数；当a ≠0时，既不是奇函数，也不是偶函数．（2）（－∞，16]．【解析】 （1）当a=0时，2()f x x =，对任意x ∈（－∞，0）∪（0，+∞），22()()()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数．当a ≠0时，2()af x x x=+（a ≠0，x ≠0）， 取x=±1，得(1)(1)20f f -+=≠， ∴(1)(1)f f -≠-，(1)(1)f f -≠，∴函数(1)(1)f f -≠既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设2≤x 1＜x 2，2212121212121212()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+--=⋅+-，要使函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，必须12()()0f x f x -<恒成立．∵x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞4，即a ＜x 1 x 2 (x 1+ x 2)恒成立．又∵x 1+ x 2＞4，∴x 1x2(x 1+ x 2)＞16． ∴a 的取值范围是（－∞，16]．解法二：当a=0时，2()f x x =，显然在[2，+∞）上为增函数． 当a ＜0时，反比例函数ax在[2，+∞）上为增函数， ∴2()af x x x=+在[2，+∞）上为增函数． 当a ＞0时，同解法一．【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．举一反三：【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】 【变式1】已知函数1()f x kx x=-，且f （1）=1． （1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明． 【答案】（1）2 ()(),00,-∞+∞；（2）单调递增 【解析】（1）(1)1,11,2f k k =∴-=∴=，1()2f x x x∴=-，定义域为：()(),00,-∞+∞．（2）在（0，+∞）上任取1212,,x x x x <且，则12121211()()22f x f x x x x x -=--+ =12121()(2)x x x x -+1212121,0,20x x x x x x <∴-<+> 12()()f x f x ∴<所以函数1(2)2f x x=-在()0,+∞上单调递增． 【变式2】函数()f x 在[,]a b 上有定义,若对任意12,[,]x x a b ∈,有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+,则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题: ①()f x 在[1,3]上的图像时连续不断的; ②()f x在上具有性质P ; ③若()f x 在2x =处取得最大值1,则()1,[1,3]f x x =∈; ④对任意1234,,,[1,3]x x x x ∈,有123412341()[()()()()]44x x x x f f x f x f x f x +++≤+++其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】D【解析】正确理解和推断可知①②错误,③④错误例6．请先阅读下列材料，然后回答问题． 对于问题“已知函数21()32f x x x=+-，问函数()f x 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”一个同学给出了如下解答：解：令u=3+2x ―x 2，则u=―(x ―1)2+4，当x=1时，u 有最大值，u max =4，显然u 没有最小值．∴当x=1时，()f x 有最小值14，没有最大值． （1）你认为上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答； （2）对于函数21()(0)f x a ax bx c=>++，试研究其最值情况． 【答案】（1）不正确；（2）当Δ≥0时，()f x 既无最大值，也无最小值；当Δ＜0时，()f x 有最大值244a ac b -，此时2bx a=-，没有最小值．【解析】（1）不正确．没有考虑到u 还可以小于0．正确解答如下：令u=3+2x ―x 2，则u=―(x ―1)2+4≤4，当0＜u ≤4时，114u ≥，即1()4f x ≥；当u ＜0时，10u<，即()0f x <． ∴()0f x <或1()4f x ≥，即()f x 既无最大值，也无最小值．（2）对于函数21()(0)f x a ax bx c=>++，令u=ax2+bx+c （a ＞0）． ①当Δ＞0时，u 有最小值，2min404ac b u a-=<，当2404ac b u a -≤<时，2144a u ac b ≤-，即24()4af x ac b≤-；当u ＞0时，即()0f x >． ∴()0f x >或24()4af x ac b ≤-，即()f x 既无最大值，也无最小值．②当Δ=0时，u 有最小值，2min 404ac b u a-==，此时，u ≥0，∴＜10u>，即()0f x >，()f x 既无最大值，也无最小值． ③当Δ＜0时，u 有最小值，2min404ac b u a-=>，即2404ac b u a-≥>． ∴21404a u ac b <≤-，即240()4af x ac b <≤-． ∴当2b x a =-时，()f x 有最大值244aac b-，没有最小值． 综上，当Δ≥0时，()f x 既无最大值，也无最小值． 当Δ＜0时，()f x 有最大值244a ac b -，此时2bx a=-，没有最小值． 【总结升华】研究性学习是新课标所倡导的教学理念，是培养创新能力的重要途径，因而也是新课标高考的重点考查对象．解决像本例这样的研究性问题，关键是透彻理解题目中所提供的材料，准确地把握题意，灵活地运用所学的基本知识和基本方法分析解决问题．举一反三：【变式1】（1）已知函数y =M ，最小值为m ，则mM的值为（ ）A ．14 B ．12C D 【答案】 C【解析】 函数的定义域为[－3，1]．又22242(1)(3)4223424(1)y x x x x x =+-+=+--+=+-+． 而204(1)2x ≤-+≤，∴4≤y 2≤8．又y ＞0，∴222y ≤≤．∴22M =，m=2．∴2m M =．故选C 项． （2）设2, ||1(), ||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0，+∞），则()g x 的值域是（ ）A ．（－∞，－1]∪[1，+∞）B ．（－∞，－1]∪[0，+∞）C ．[0，+∞）D ．[1，+∞） 【答案】C【解析】要使[()]f g x 的值域是[0，+∞），则()g x 可取（－∞，－1]∪[0，+∞）．又()g x 是二次函数，定义域连续，故()g x 不可能同时取（－∞，－1]和[0，+∞）．结合选项只能选C 项． 【总结升华】 函数的值域问题每年高考必考，而且既有常规题型[如本例（1）]，也有创新题[如本例（2）]．解答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处理．如本例（2）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出[()]f g x 的值域，要求()g x 的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方法、基本知识来分析解决问题．类型三：函数的零点问题例7．若函数2()4f x x kx =-+在区间（1，6）内有零点，求k 的取值范围． 【答案】204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】 二次函数在区间（1x ，2x ）上有零点，分以下四种情况：【解析】（1）(1)(6)0f f ⋅<，解得2053k <<，如图1 （2）0(1)0(6)0162f f k ∆>⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩，解得45k <<，如图2（3）0162k∆=⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得4k =，如图3 （4）(1)07122f k =⎧⎪⎨<<⎪⎩或(6)07622f k=⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得5k =，如图4或5 综上所述k 的取值范围是204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【总结升华】二次函数2()f x ax bx c =++（不妨设0a >）在有限的开区间12(,)x x 内有零点的条件是：（1）12()()0f x f x ⋅<（2）12120()0()02f x f x b x x a ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩（3）1202b x x a ∆=⎧⎪⎨<-<⎪⎩（4）1121()022f x x x b x a =⎧⎪⎨+<-<⎪⎩或2122()022f x x x b x a =⎧⎪⎨+<-<⎪⎩ 举一反三：【变式1】试讨论函数2()2||1()f x x x a a R =---∈的零点个数． 【解析】由2()2||10f x x x a =---=得22||1x x a -=+，令222,0,()()12,0,x x x g x h x a x x x ⎧-≥⎪==+⎨+<⎪⎩ (),()g x h x 的图象如图所示，(2)(0)(2)0,(1)(1)1g g g g g -===-==-．当11,a +<-即2a <-时，()g x 与()h x 无公共点．当11a +=-或10a +>，即2a =-或1a >-时，()g x 与()h x 有两个交点． 当110,a -<+<即21a -<<-时，()g x 与()h x 有四个交点． 当10a +=，即1a =-时，()g x 与()h x 有三个交点． 所以，当2a <-时，函数()f x 无零点． 当2a =-或1a >-时，函数()f x 有两个零点． 当21a -<<-时，函数()f x 有四个零点． 当1a =-时，函数()f x 有三个零点．【总结升华】体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．类型四：函数的综合问题例8．（1）已知函数2()21f x ax ax =++在区间[－1，2]上最大值为4，求实数a 的值； （2）已知函数2()22f x x ax =-+，x ∈[－1，1]，求函数()f x 的最小值．【思路点拨】第（1）小题中应对二次项系数进行全面讨论，即按a=0，a ＞0，a ＜0三种情况分析； 第（2）小题中的抛物线开口方向确定，对称轴不稳定． 【答案】（1）－3或38；（2）略 【解析】（1）2()(1)1f x a x a =++-．①当a=0时，函数()f x 在区间[－1，2]上的值为常数1，不合题意；②当a＞0时，函数()f x在区间[－1，2]上是增函数，最大值为(2)814f a=+=，38a=；③当a＜0时，函数()f x在区间[―1，2]上是减函数，最大值为(1)14f a-=-=，a=―3．综上，a的值为－3或38．（2）222()22()2f x x ax x a a=-+=-+-，对称轴为直线x=a，且抛物线的开口向上，如下图所示：当a≥1时，函数()f x在区间[―1，1]上是减函数，最小值为(1)32f a=-；当―1＜a＜1时，函数()f x在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为2()2f a a=-；当a≤―1时，函数()f x在区间[―1，1]上是增函数，最小值为(1)32f a-=+．【总结升华】求二次函数在闭区间上的最值的方法是：一看抛物线的开口方向；二看对称轴与已知闭区间的相对位置，作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合方法就可得到问题的解．对于“定区间、动对称轴”这一类型，依对称轴在定区间左侧、右侧和在区间内三种情况，运用函数的单调性进行讨论，即可得到函数的最值．举一反三：【变式1】设函数2()22f x x x=-+，x∈[t，t+1]，t∈R，求函数()f x的最小值．【答案】2222,1()1,011,0t t tf x tt t⎧-+>⎪=≤≤⎨⎪+<⎩【解析】二次函数是确定的，但定义域是变化的，依t的大小情况作出对应的图象（抛物线的一段），从中发现规律．22()22(1)1f x x x x=-+=-+，x∈[t，t+1]，t∈R，对称轴为x=1，作出其图象如下图所示：当t+1＜1，即t＜0时，如上图①，函数()f x在区间[t，t+1]上为减函数，所以最小值为2(1)1f t t +=+；当1≤t+1≤2，即0≤t ≤1时，如上图②，最小值为(1)1f =；当t ＞1时，如上图③，函数()f x 在区间[t ，t+1]上为增函数，所以最小值为2()22f t t t =-+．综上有2222,1()1,011,0t t t f x t t t ⎧-+>⎪=≤≤⎨⎪+<⎩【总结升华】这里区间是变化的，但整个区间长度为1个单位长度，用运动观点来看，让区间从左向右沿x 轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰．例9．设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--． （1）若(0)1f ≥，求a 的取值范围； （2）求()f x 的最小值；（3）设函数()()h x f x =，x ∈（a ，+∞），直接写出（不需要给出演算步骤）不等式()1h x ≥的解集．【答案】（1）（―∞，－1]；（2）222, 0()2, 03a a g a a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩；（3）略．【解析】（1）因为(0)||1f a a =--≥，所以－a ＞0，即a ＜0． 由a 2≥1知a ≤―1．因此a 的取值范围为（―∞，－1]． （2）记()f x 的最小值为()g a ，我们有2222223(), ()2()||33()2, a a x x a f x x x a x a x a a x a ⎧-+>⎪=+--=⎨⎪+-≤⎩①② （i ）当a ≥0时，2()2f a a -=-，由①②知2()2f x a ≥-，此时2()2g a a =-．（ii ）当a ＜0时，22()33af a =．若x ＞a ，则由①知22()3f x a ≥；若x ≤a ，则x+a ≤2a ＜0，由②知222()23f x a a ≥>．此时22()3g a a =．综上得222, 0()2, 03a a g a a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩．（3）（i）当2(,[,)22a ∈-∞-+∞时，解集为（a ，+∞）； （ii ）当22a ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭时，解集为3a ⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭； （iii ）当2a⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，解集为3,33a a a ⎛⎡⎫+-+∞ ⎪⎢⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 类型五：函数的实际应用【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例3】例10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x xv x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度x 与车流速度v 之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。
2019-2020学年高一数学人教A版必修第一册教案：3.1.2 函数的表示法 Word版含答案
姓名，年级：时间：第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示3。
1。
2函数的表示法教学设计一、教学目标1.知识与技能明确函数的三种表示方法，通过具体实例，了解简单的分段函数及应用；2.过程与方法通过引导学生回答问题,培养学生的自主学习能力；通过画图像，培养学生的动手操作能力；3.情感态度与价值观通过函数的解析式与图像的结合,渗透数形结合思想方法,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的认识.二、教学重难点1.教学重点函数的三种表示方法,分段函数的概念.2.教学难点分段函数的表示及其图像，根据不同实际情境选择恰当的方法表示函数。
三、教学过程3.下面我们通过例题来体会这三种方法的特点。
识的理解。
2.探索新知例1（课本P67的例4）。
（1)明确函数的定义域。
解：定义域是.（2)用解析法表示函数。
解：，（3）用列表法表示函数.笔记本数x12345钱数y510152025（4）用图象法表示函数.（5）体会三种表示法的特点。
解析法：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。
读题后学生思考,写在本上，叫学生回答.教师强调要写定义域.学生自己在本上画表格和图象，教师检查，强调用尺子.以小组为单位讨论,各组选出代表回答，教师总结.用已掌握的知识来解决新问题，培养学生动手作图的能力.养成规范作图的好习惯。
通过小组讨论，调动学习积极性,列表法：可以直接从表中读出函数值。
图象法：能直观形象地表示出函数的变化情况。
例2 画出函数的图象.解：由绝对值的概念，有故图象为:像这样的函数称为分段函数。
思考:通过例题分析概括分段函数的定义。
分段函数的定义:在函数的定义域内,对于自变量x在不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数叫作分段函数。
教师在黑板画图讲解，学生跟随教师回答问题.学生概括总结，叫学生回答，其他同学补充。
使每个学生都能参与进来.在做题中学习新概念，使学生注意力集中，更容易接受。
高一数学人教A版必修一教案：函数的概念 含答案
函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国2003年4月份非典疫情统计：3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P20例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本P22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P21例2解：（略）说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
人教A版高中数学必修一复习教案第二章函数新人教(3)(1)
第三教时教材：定义域目的：要求学生掌握分式函数、根式函数定义域的求法，同时掌握表示法。
过程：一、复习：1．函数的定义（近代定义） 2．函数的三要素今天研究的课题是函数的定义域—自变量x 取值的集合（或者说：原象的集合A ）叫做函数y =f (x )的定义域。
二、认定：给定函数时要指明函数的定义域。
对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。
例一、（P 54例二）求下列函数的定义域：1．21)(-=x x f 2。
23)(+=x x f 解：要使函数有意义，必须： 解：要使函数有意义，必须： 02≠-x 3x +2≥0即 x ≠ 2 即 x ≥32-∴函数21)(-=x x f 的定义域是： ∴函数23)(+=x x f 的定义域是：{}2|≠x x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥32|x x 3。
xx x f -++=211)( 解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x ∴函数23)(+=x x f 的定义域是： {}21|≠-≥x x x 且例二、求下列函数的定义域：1．14)(2--=x x f 2．2143)(2-+--=x x x x f解：要使函数有意义，必须： 解：要使函数有意义，必须：142≥-x ⎩⎨⎧≠-≠-≤-≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--131********x x x x x x x 且或 即： 33≤≤-x 4133≥-≤<-->⇒x x x 或或 ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： ∴函数2143)(2-+--=x x x x f 的定义域为：{x |33≤≤-x } { x |4133≥-≤<-->x x x 或或} 3．=)(x f x 11111++ 解：要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠xx x ⇒ 2110-≠-≠≠x x x ∴函数的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≠∈21,1,0|x R x x 且 4．x x x x f -+=0)1()(解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x ∴函数x x x x f -+=0)1()(的定义域为：{}011|<<--<x x x 或5。
人教A版高中数学必修一复习教案第二章函数新人教(2)(6)
第二十九教时教材： 函数的应用举例三目的： 结合物理等学科，利用构建数学模型，解决问题。
过程：例一、 （课本 P 91 例三）设海拔 x m 处的大气压强是 y Pa ，y 与 x 之间的函数关系式是kx ce y =，其中 c ，k 为常量，已知某地某天在海平面的大气压为Pa ，1000 m 高空的大气压为51090.0⨯Pa ，求：600 m 高空的大气压强。
（结果保留3个有效数字）解：将 x = 0 , y =51001.1⨯；x = 1000 , y = 代入 kx ce y =得：)2()1(1090.01001.11090.01001.11000551000505⎩⎨⎧=⨯⨯=⇒⎩⎨⎧=⨯=⨯⋅⋅k k k ce c ce ce 将 (1) 代入 (2) 得：01.190.0ln 100011001.11090.0100055⨯=⇒⨯=⨯k e k 由计算器得：41015.1-⨯-=k ∴41015.151001.1-⨯-⨯⨯=e y将 x = 600 代入, 得：6001015.1541001.1⨯⨯--⨯⨯=e y由计算器得：41015.151001.1-⨯-⨯⨯=e y例二、（《课课练》 P 102 “例题推荐” 1）一根均匀的轻质弹簧，已知在 600 N 的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在 100 N 的拉力作用下，长度为 0.55 m ,在 300 N 拉力作用下长度为 0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其 自然长度是多少？解：设拉力是 x N (0≤x ≤600) 时，弹簧的长度为 y m设：y = k x + b 由题设：⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+=50.00005.030065.010055.0b k b k b k ∴所求函数关系是：y = 0.0005 x + 0.50∴当 x = 0时，y = 0.50 , 即不受拉力作用时，弹簧自然长度为 0.50 m 。
人教b版高一数学必修一：2.1.1《函数(1)》学案(含答案)
二、填空题
6．将集合 { x|x＝1 或 2≤ x≤8} 表示成区间为 ____________ ． 7．若 f(2x)＝ x3，则 f(1)＝ ________. 8．函数 y＝ x2－ 2 的定义域为 { － 1,0,1,2} ，则其值域为 ________．
三、解答题 9．求下列函数的定义域：
－x (3)y＝ 2x2－ 3x－2；
(2) y＝
3；
1－ 1－x
(4) y＝
2x＋ 3－
1＋ 2－x
1 x.
规律方法 求函数定义域的原则： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次根式的被开方数 (式 )
为非负数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (3)零指数幂的底数不等于零等．
变式迁移 1 求下列函数的定义域：
(1)
f
(
x)＝
第二章 函 数
§2.1 函 数 2.1.1 函数 (一 )
自主学习
学习目标 1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念 中的作用． 2．通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域． 3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．
自学导引
1．函数的有关概念 设集合 A 是一个 ____________ ，对 A 中的 ____________，按照确定的法则 f，都有
(4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关． 变式迁移 2 试判断下列函数是否为同一函数：
(1)f(x)＝ x· x＋ 1与 g( x)＝ x x＋ 1 ； (2)f(x)＝ x2－ 2x 与 g(t)＝ t2－ 2t； (3)f(x)＝ 1 与 g(x)＝ x0(x≠ 0)．
知识点三 求函数解析式
人教A版高中数学必修一复习教案第二章函数新人教(4)
第五教时教材： 函数的解析式；《教学与测试》第17、18课目的： 要求学生学会利用换元法、定义法、待定系数法等方法求函数解析式。
过程：一、复习：函数的三种常用表示方法。
提问：1、已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x 则：1)]}1([{)0(;0)1(;2)1(+=-==-=ππf f f f f f2、已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )] 解：f [g (x )]=（1+x ）2-1=x +2x 二、提出问题：已知复合函数如何求 例一、（《教学与测试》P 37 例一） 1．若)21(x x x f +=+,求f (x )。
解法一（换元法）：令t =1+x 则x =t 2-1, t ≥1代入原式有1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f ∴1)(2-=x x f （x ≥1） 解法二（定义法）：1)1(22-+=+x x x ∴1)1()1(2-+=+x x f1+x ≥1 ∴f (x )=x 2-1 (x ≥1)2．若xx x f -=1)1( 求f (x )解： 令x t 1= 则t x 1= (t ≠0) 则11111)(-=-=t tt t f∴f (x )=11-x (x ≠0且x ≠1)例二、已知f (x )=ax +b ,且af (x )+b =ax +8 求f (x )解：（待定系数法）∵af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2x +ab +b ∴⎩⎨⎧=+=892b ab a解之⎩⎨⎧==23b a 或⎩⎨⎧-=-=43b a ∴f (x )=3x +2或f (x )=-3x -4 例三、已知f (x )是一次函数, 且f [f (x )]=4x -1, 求f (x )的解析式。
解：（待定系数法）设f (x )=kx +b 则 k (kx +b )+b =4x -1则⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=3121)1(42b k b k k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k ∴312)(-=x x f 或12)(+-=x x f例四、[]221)(,21)(xx x g f x x g -=-= (x ≠0) 求)21(f 解一：令x t 21-= 则 21t x -= ∴222221234)1(4)1(1)(tt t t t t t f +--+=---= ∴1541114113)21(=+--+=f 解二：令 2121=-x 则 41=x ∴15)41()41(1)21(22=-=f 三、应用题：《教学与测试》思考题例五、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A 。
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高一函数复习
一、函数的概念与表示
１、映射
映射：设A 、B 是两个集合,如果按照某种映射法则f ,对于集合A 中的任一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到Ｂ的对应法则ｆ)叫做集合A 到集合B 的映射,记作f ：A →B 。
注意点：(１)对映射定义的理解;
（２）判断一个对应是映射的关键:Ａ中任意，Ｂ中唯一；对应法则f .
给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.
注意:(１）A 中的每一个元素都有象,且唯一;ﻫ(2)B 中的元素未必有原象,即使有,也未必唯一；ﻫ(3)
ａ的象记为f (a ).
【例题1】设集合A =｛x ｜0 ≤ x ≤ ６},B ={ｙ|０ ≤ ｙ ≤ 2｝,从A 到Ｂ的对应法则f 不是映射的是（ ）.
A . ｆ:x →y ＝12x ﻩﻩ
B ． f :x →ｙ=13
x ﻩC . ｆ：x →ｙ=14x ﻩ D . f ：x →ｙ＝16x 【变式练习1】若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 ( ）
(１）A 中的任一元素在Ｂ中必须有像且唯一;
（2)Ａ中的多个元素可以在B 中有相同的像;
(3)B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像；
（4)像的集合就是集合B ．
A 、１个 Ｂ、2个 Ｃ、3个 D 、4个
2、函数
构成函数概念的三要素:①定义域；②对应法则；③值域
两个函数是同一个函数的条件：当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时.
【例题１】下列各对函数中,相同的是（ )
A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2== Ｂ、)1lg()1lg()(,11lg )(--+=-+=x x x g x x x f
C 、 v v v g u u u f -+=-+=11)(,11)(
D 、f （x ）＝x ,2)(x x f =
【例题2】}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合Ｍ到集合
N 的函数关系的有
( ）
A 、 ０个 Ｂ、 １个 C 、 ２个 Ｄ、3个
【变式练习】
1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A . 1,x y y x == Ｂ． 211,1y x x y x =-+=-
C . 33,y x y x == Ｄ． 2||,()y x y x ==
2.集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤,给出下列四个图形,其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ )
３．下列四个图象中,不是函数图象的是（ )
x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1
2 2 2 2
y
y y y 3 O O O O。