八年级数学下册《4.1多边形(2)》同步练习(含答案)
4.1 多边形(2)
A 练就好基础 基础达标
1．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是( A )
A．四边形B．五边形
C．六边形D．八边形
2．十边形的内角和为( B )
A．1260°B．1440°
C．1620°D．1800°
3．下面哪一个度数是某个多边形的内角和( C )
A．270°B．630°
C．720°D．1920°
4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为( C )
A．6 B．7
C．8 D．9
5．过某个多边形一顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是( C )
A．五边形B．六边形
C．七边形D．八边形
6．从多边形一个顶点出发共可画3条对角线，这个多边形是__六__边形．
7．若两个多边形的边数之比是1∶2，内角和度数之比为1∶3，则这两个多边形的边数分别是 4，8 ．
8．如图所示，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分
∠EDC，∠BCD，则∠P＝__60°__．
9．如图所示，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝65°，则
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝__425°__．
10．如图所示，在五边形ABCDE中，AE⊥DE，垂足为点E，∠D＝150°，
∠A＝∠B，∠B－∠C＝60°，求∠A的度数．
【答案】∠A是120°.
B 更上一层楼 能力提升
11．将图1中五边形纸片ABCDE的A点以BE为折线往下折，A点恰好落在CD上，如图2所示，再分别以图2的AB，AE为折线，将C，D两点往上折，使得A，B，C，D，E五点均在同一平面上，如图3所示，若图1中∠A＝124°，则图3中∠CAD的度数为( D )
A．56° B．60° C．62° D．68°
12．2018·南京如图，五边形ABCDE各个内角的度数相等．若l1∥l2，则∠1－∠2＝__72°__．
13．已知n边形木板的一个外角与其内角和的和为660°，当木工师傅锯掉该木板的一个角后，所得的多边形的内角和为__360°或540°或720°__．
14．如图所示，一块较为精密的模板中，AB，CD的延长线应该相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，测得∠BAE＝124°，∠DCF＝155°，AE⊥EF，CF⊥EF，此时AB，CD的延长线相交成的角是否符合规定？为什么？
14题图
14题答图
解：设AB与CD的延长线交于点G，如图．则∠A＋∠E＋∠F＋∠C＋∠G＝540°.
∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°.
∵∠BAE＝124°，∠DCF＝155°，
∴∠G＝540°－(124°＋155°＋90°×2)＝540°－459°＝81°.
∵81°≠80°，∴不符合规定．
15．已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由．
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
解：(1)∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3……90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对．
360°÷180°＋2＝2＋2＝4.
∴甲同学说的边数n是4.
(2)依题意，有
(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，
解得x＝2.故x的值是2.
C 开拓新思路 拓展创新
16．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数
4 5 6 7…n 从一个顶点出发的对角线的条数
1
2 3 4 …①
多边形对角线的
总条数 2
5 9 14 …②
(1)【观察探究】 请自己观察上面的图形和表格，并用含n 的代数式将上面的表格填写完整，其中：①____________；②________；
(2)【实际应用】 数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，大年初一数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
(3)【类比归纳】 乐乐认为(1)、(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．
解：(1)由题可得，当多边形的顶点数为n 时，从一个顶点出发的对角线的条数为n －3，多
边形对角线的总条数为n (n －3)；
1
2答案：n －3，n (n －3)；
1
2(2)∵3×6＝18，∴大年初一数学社团的同学们一共将拨打电话×18×(18－3)＝135(个)；
1
2(3)每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n 个顶点；
每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n －3)个电话；
两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为n (n －3)；
1
2数学社团有18名同学，当n ＝18时，×18×(18－3)＝135.1
2。
4.1多边形(2) 浙教版2014
∵∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE=
∴∠FAB＋∠BCD＋∠DEF= 1／2 ×720°=360°
练一练
1、已知六边形的各内角相等，问各内角、外角分别 是多少度？
2、一个内角和为1620°的多边形有多少条对角 线?
练一练
例2 一个六边形如图，已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，
求∠A＋∠C＋∠E的度数。 解：如图所示，连结AD， ∵AB∥DE， CD∥AF（已知） F ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4 （两直线平行，内错角相等）
4
E
1
D
2
C
3
A 即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F ∵∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F E =（6－2）×180°= 720° F° ∴∠FAB＋∠C＋∠E= 1／2 ×720°=360 思考：有没有其它的解法？
（n－2）×180°
多边形的外角和
多边形 三角形
2
图形
1 3
多边形的外角和
3×180 -1×180 =360 4×180 -2×180 =360 5×180 -3×180 =360 6×180 -4×180 =360
o o o o o o o o
o
o
o
四边形 五边形 六边形 n边形
1 2 3 4
o
角的度数。
D E
2
1
H
C G
3
A
F
B
Байду номын сангаас
①设计一个六边形ABCDEF，使它的各内角都相等。 ②校园里准备建造一个各边长为4米，各内角相等的六 边形花坛，请画出平面图.(比例尺1：200) P D C R A B
2017年春浙教版八年级下4.1多边形同步练习含答案(pdf版)
∠DAO + ∠DCO 的度数是 ( )
A. 70◦
B. 110◦
C. 140◦
D. 150◦
4. 若一个多边形的每个外角都等于 45◦，则它是 (
A. 六边形
B. 八边形
) C. 九边形
D. 十二边形
5. 一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为 1 : 4，那么这个多边形的边数为( )
A. 8
B. 9
a 为图形内的格点数，b 为图形边界上的格点数．
∵ a = 9，b = 4，
()
∴ 四边形 ABCD 的面积为 9 × 2 + 4 − 2 = 20 cm2 ．
25. 设它的边数为 n，根据题意，得 (n − 2) × 180◦ = 3 × 360◦ + 180◦， 解得 n = 9，
即这个多边形的边数为 9 .
4.1 多边形
一、选择题
1. 一个多边形的每个内角均为 120◦，则这个多边形是( )
A. 四边形
B. 五边形
C. 六边形
D. 七边形
2. 已知从一个多边形的一个顶点出发只可以引出 4 条对角线，那么它是 (
A. 五边形
B. 六边形
C. 七边形
) D. 八边形
3. 如图，已知 O 是四边形 ABCD 内一点，OA = OB = OC，∠ABC = ∠ADC = 70◦，则
边形．
三、解答题
21. 计算探究题：探究多边形的边数与内角和的关系．
(1) 我们可以把多边形转化成几个三角形来求它的内角和，如图中的
虚线把四边形分成了两个三角形，把五边形分成了三个三角形．
通过这种方法，若把边数看做 n，则 n 边形的内角和用含 n 的
专题 多边形(知识要点+专项练习)-2022-2023学年八年级数学下册同步精品课堂(浙教版)
专题4.1 多边形【学习目标】1.理解多边形及有关概念，理解正多边形的概念．掌握多边形的几大特点．2.了解凸多边形与凹多边形的联系与区别．3.掌握多边形内角和与边数的关系，能正确计算多边形的内角和．4.探究多边形对角线的数量与边数的关系．【知识要点】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角．外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：特别说明：（1）正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；（2）过n 边形的一个顶点可以引（n -3）条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；（3）过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成（n -2）个三角形．知识点二、多边形内角和n 边形的内角和为（n -2）·180°（n ≥3）．特别说明：（1）内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；（2）正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n - °；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．特别说明：（1）在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；（2）正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n ︒；（3）多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念1. 如图，在六边形ABCDEF 中，从顶点A 出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF 分成哪几个三角形?举一反三：【变式】2. 过正十二边形的一个顶点有______条对角线，一个正十二边形共有______条对角线类型二、多边形内角和定理3. 证明：n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．4. 如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，求原多边形的边数．类型三、多边形的外角和5. 如图所示，小华从A 点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走的路程是_____举一反三：【变式1】6. 如图，一辆小汽车从P 市出发，先到B 市，再到C 市，再到A 市，最后返回P 市，这辆小汽车共转了多少度角？一、单选题7. 小明同学用一些完全相同的ABC 纸片，已知六个ABC 纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形图案，若用n 个ABC 纸片按图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是（ ）A. 正十二边形B. 正十边形C. 正九边形D. 正八边形8. 如图，在探究过多边形的一个顶点引出的对角线把多边形分成三角形的个数时，画出的图形如下：根据图形可知，过n 边形的一个顶点引出的对角线，把n 边形分成的三角形的个数是（ ）A. ()3n -个B. ()2n -个C. ()1n -个D. ()1n +个9. 一个正多边形的每个内角都等于135︒，那么它是（ ）A. 正六边形B. 正八边形C. 正十边形D. 正十二边形10. 一个正多边形的一个外角为30︒，则这个正多边形的边数为（ ）A. 9B. 10C. 12D. 1411. 在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（ ）A. 正六边形，正八边形B. 正方形，正七边形C. 正五边形，正六边形D. 正三角形，正方形12. 如图，五边形ABCDE 是正五边形，若12l l ，则12∠-∠的值为（ ）A. 180°B. 108°C. 90°D. 72°13. 一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是（ ）A. 3B. 5C. 8D. 1214. 如图，在正五边形ABCDE 中，点F 是CD 的中点，点G 在线段AF 上运动，连接EG ，DG ，当DEG △的周长最小时，则EGD ∠=（ ）A. 36°B. 60°C. 72°D. 108°15. 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）A. 10或11B. 11或12或13C. 11或12D. 10或11或1216. 小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果得 1000°，则这个多边形是( )A. 六边形B. 七边形C. 八边形D. 十边形17. 将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2880°．则原多边形的边数为（ ）．A. 15或16B. 15或16或17C. 16或17或18D. 17或18或1918. 一张正方形的纸片，如图进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是（ ）度．A. 1080︒B. 360︒C. 180︒D. 900︒二、填空题19. 边数为2017的多边形的外角和为_____．20. 如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O ，且正六边形的边AB 与正五边形的边DE 在同一条直线上，则∠COF 的度数为______．21. 如图，在等边△ABC 中，点D 为BC 边上的点，DE ⊥BC 交AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则∠EDF 的度数为______．22. 八边形的内角和是_________，若一个凸多边形的内角和是4320°，那么这个多边形的边数是________．23. 如图，点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______．24. 点P ，P '分别为在正六边形ABCDEF 内，外一点，且PA =4PB P B ='=，2P A '=，P BA ∠'=PBC ∠，则BPC ∠的度数为____________．25. 如图，A 、B 、C 均为一个正十边形的顶点，则∠ACB=_____°．26. 若n 边形内角和为1260°，则这个n 边形的对角线共有__________．三、解答题27. 已知n 边形的对角线共有(3)2n n - 条（n 是不小于3的整数）；（1）五边形的对角线共有 条；（2）若n 边形的对角线共有35条，求边数n ；（3）若n 边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n ．28. 按要求回答下列各小题．（1）若一个n 边形的内角和的13比一个四边形的内角和多360°，求n 的值；（2）一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数．29. 探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过一个顶点（如点A ）可以作___________条对角线，它把四边形ABCD 分为___________个三角形；（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；（3）探索归纳：对于n 边形()3n >，过一个顶点的所有对角线把这个n 边形分为___________个三角形．（用含n 的式子表示）（4）特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形．30. 已知n 边形的内角和θ=（n-2）×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；（2）若n 边形变为（n+x ）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x ．31. （1）若多边形的内角和为2340°，求此多边形的边数．（2）一个多边形的每个外角都相等，如果它的内角与外角的度数之比为13：2，求这个多边形的边数．32. 在△ABC 中，A α∠=（60α<︒），点E ，F 分别为AC 和AB 上的动点，BE 与CF 相交于G 点，且BE ＋EF ＋CF 的值最小．如图1，若AB ＝AC ，40α=︒，则∠ABE 的大小是______；如图2，∠BGC 的大小是______（用含α的式子表示）．33. 请按照研究问题的步骤依次完成任务．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）【问题探究】（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度数为；【拓展延伸】（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为（用x、y表示∠P）；（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、D的关系，直接写出结论．专题4.1 多边形【学习目标】1.理解多边形及有关概念，理解正多边形的概念．掌握多边形的几大特点．2.了解凸多边形与凹多边形的联系与区别．3.掌握多边形内角和与边数的关系，能正确计算多边形的内角和．4.探究多边形对角线的数量与边数的关系．【知识要点】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角．外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：特别说明：（1）正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；的的（2）过n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，n边形对角线的条数为(3)2n n-；（3）过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成（n-2）个三角形．知识点二、多边形内角和n边形的内角和为（n-2）·180°（n≥3）．特别说明：（1）内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；（2）正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn- °；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．特别说明：（1）在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；（2）正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n︒；（3）多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念【1题答案】【答案】三条，分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF【解析】【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n−3，分成的三角形数是n−2．【详解】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF 分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF．【点睛】此题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n−3，分成的三角形数是n−2．举一反三：【变式】【2题答案】【答案】①. 9 ②. 54【解析】【分析】从正十二边形的一个顶点与不相邻的顶点的连线得出一个顶点的对角线，由n边形的对角线条数公式：(3)2n n-，即可得出答案．【详解】 正十二边形的一个顶点有9个不相邻的顶点，∴过正十二边形的一个顶点有9条对角线，一个正十二边形的对角线共有：12(123)542⨯-=（条）．故答案为：9，54．【点睛】本题考查正多边形的对角线，掌握对角线的概念及公式是解决本题的关键．类型二、多边形内角和定理【3题答案】【答案】见解析【解析】【分析】在n边形内任取一点O，连接O与各顶点的线段把n边形分成了n个三角形，然后利用n个三角形的面积减去以O为公共顶点的n个角的和，即可求证．【详解】已知：n边形A1A2……A n，求证：()21123112180n n n A A A A A A A A A n -∠+∠++∠=-⋅︒ ，证明：如图，在n 边形内任取一点O ，连接O 与各顶点的线段把n 边形分成了n 个三角形，∵n 个三角形内角和为n ·180°，以O 为公共顶点的n 个角的和360°(即一个周角)，∴n 边形内角和为()18036018021802180n n n ⋅︒-︒=⋅︒-⨯︒=-⋅︒ ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，做适当辅助线，得到n 边形的内角和等于n 个三角形的面积减去以O 为公共顶点的n 个角的和是解题的关键．【4题答案】【答案】15【解析】【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．【详解】设新多边形是n 边形，由多边形内角和公式得：180(2)2520n ︒⨯-=︒，解得：16n =，则原多边形的边数是：16115-=．∴原多边形的边数是15．【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是要熟练掌握多边形的内角和公式．类型三、多边形的外角和【5题答案】【答案】150米##150m 【解析】【分析】由题意可知小华所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．【详解】解：∵360°÷24°=15，∴他需要走15次才会回到原来的起点，即一共走了15×10=150（米）．故答案为150米．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理的应用,，熟练掌握任何一个多边形的外角和都是360°是解答本题的关键．举一反三：【变式1】【6题答案】【答案】360°【解析】【分析】分别记,,B C A ∠∠∠的外角为,,αβγ，用αβγ++即可得出答案．【详解】如图，当小汽车从P 出发行驶到B 市，由B 市向C 市行驶时转的角是α，由C 市向A 市行驶时转的角是β，由A 市向P 市行驶时转的角是γ．∴小汽车从P 市出发，经B 市、C 市、A 市，又回到P 市，共转360αβγ++=︒．【点睛】本题考查外角和定理的应用，掌握多边形的外角和为360︒是解题的关键．一、单选题【7题答案】【答案】C【解析】【分析】根据第一个图外轮廓是正六边形图案可求得ABC 纸片的ACB ∠为40︒，则60CAB ∠=︒，新多边形的一个内角为140︒，因为是正多边形，利用正多边形的内角和公式即可求解．【详解】解：正六边形的每个内角为：()1621801206⨯-⨯︒=︒，80ABC ∠=︒ ，1208040ACB ∴∠=︒-︒=︒，18060CAB ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒，由题意可知，新的图案是一个正多边形，∴新多边形的一个内角为140ABC CAB ∠+∠=︒，设新多边形的边数为n ，()2180140n n -⨯︒=︒，解得9n =．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形内角和为180︒，正多边形的内角公式，多边形内角和公式，理解题意求出正多边形的一个内角是解题的关键．【8题答案】【答案】B【解析】【分析】观察图形，找出规律，列出代数式即可．【详解】解：观察图形可得：第1个图，过四边形的一个顶点引出1条对角线，把四边形分成了2个三角形；第2个图，过五边形的一个顶点引出2条对角线，把四边形分成了3个三角形；第3个图，过六边形的一个顶点引出3条对角线，把四边形分成了4个三角形；……第()3n -个图，过n 边形的一个顶点引出()3n -条对角线，把n 边形分成()2n -个三角形；故选：B ．【点睛】本题考查了找规律-图形变化类，仔细观察图形，找到变化规律是解题的关键．【9题答案】【答案】B【解析】【分析】由条件可求得多边形的外角，由外角和为360°可求得其边数．【详解】解：∵一个正多边形的每个内角都等于135°，∴多边形的每个外角都等于45°，∴多边形的边数=36045︒︒=8，故选：B．【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，由条件求得外角的度数是解题的关键，注意多边形的外角和为360°．【10题答案】【答案】C【解析】【分析】根据多边形的外角和为360°，即可求解．【详解】解：∵多边形的外角和为360°，∴该多边形的边数为3603012÷=，故选：C．【点睛】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和为360°是解题的关键．【11题答案】【答案】D【解析】【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【详解】解：∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角是90°，正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，正七边形的每个内角是180590077︒⨯⎛⎫=︒⎪⎝⎭正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，∴能够组合是正三角形，正方形，故选：D ．【点睛】本题考查平面镶嵌，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．【12题答案】【答案】D【解析】【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质可得2ABF ∠=∠，1180CBF ∠+∠=︒，再根据角的和差可得12180ABC ∠-∠=︒∠-，然后根据正五边形的性质求出ABC ∠的度数即可得．【详解】如图，过点B 作1//BF l 2ABF ∴∠=∠12//l l 2//BF l ∴1180CBF ∴∠+∠=︒，即1180CBF∠=︒-∠12180180()180CBF A ABC BF CBF ABF ∴∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠︒-∠+∠= 五边形ABCDE 是正五边形180(52)1085ABC ︒⨯-=∴∠=︒1218010872180ABC ∴∠-∠=∠=︒︒-=︒-︒故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质、正五边形的内角和等知识点，通过作辅助线，利用到平行线的性质是解题关键．【13题答案】【答案】D【解析】【分析】找到一个顶点处三种图形的内角度数加起来是360°的正多边形即可．【详解】解：正方形的一个内角度数为360°÷4=90°，正六边形的一个内角度数为180°−360°÷6=120°，∴一个顶点处取一个角度数为90°+120°=210°，∴需要的多边形的一个内角度数为360°−210°=150°，∴需要的多边形的一个外角度数为180°−150°=30°，∴第三个正多边形的边数为360°÷30°=12．故选D ．【点睛】此题考查了平面镶嵌，多边形内角和与外角和的计算，熟练掌握多边形内角和计算公式及外角和定义是解题的关键．【14题答案】【答案】C【解析】【分析】如图，连接EC ，GC ，设EC 交AF 于点G ′，连接DG ′．证明当点G 与G ′重合时， EG +DG 的值最小，DEG △的周长最小，即求出EGD 可得结论．【详解】解：如图，连接EC ，GC ，设EC 交AF 于点G ′，连接DG ′．∵正五边形ABCDE 中，点F 是DC 的中点，AF ⊥D C ，∴D ，C 关于AF 对称，∴GD =GC ，∵EG +GD =EG +GC ≥EC ，∴当点G 与G ′重合时，EG +DG 的值最小，△DEG 的周长最小，∵ABCDE是正五边形，∴ED=DC，∠EDC=108°，∴∠DEC=∠DCE=36°，∵G′D=G′C，∴∠G′DC=∠DCG′=36°，∴∠D G′C=108°，∴∠EG′D=180°-∠DG′C=180°-108°=72°．故选：C．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．【15题答案】【答案】D【解析】【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再根据切去的位置求原来的多边形边数．【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，如图1，从角两边的线段中间部分切去一个角后，在原边数基础上增加一条边，为12边形；如图2，从角的一边中间部分，另一边与另一顶点连结点处截取一个角，边数不增也不减，是11边形；；如图3，从另外两个顶点处切去一个角，边数减少1为10边形∴可得原来多边形的边数为10或11或12：故选D．【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．【16题答案】【答案】C【解析】【分析】根据n边形的内角和是（n-2）•180°，少计算了一个内角，结果得1000度．则内角和是（n-2）•180°与1000°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n-2）•180°>1000°，多边形的边数n一定是最小的整数值即可，【详解】解：设多边形的边数是n．依题意有（n-2）•180°>1000°，解得：n>759，则多边形的边数n=8；故选C.【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键．【17题答案】【答案】D【解析】【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．【详解】解：多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据题意得（n-2）•180°=2880°，解得：n=18，则多边形的边数是17，18，19．故选：D．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．【答案】A【解析】【分析】根据题意可得展开图的这个图形是八边形，进而求出内角和．【详解】解：展开图的这个图形是八边形，故内角和为：()821801080-⨯= ．故选：A ．【点睛】此题主要考查了剪纸问题以及多边形的内角和的知识，正确判断出展开图是八边形是解题关键．二、填空题【19题答案】【答案】360°【解析】【分析】根据多边形的外角和为360°即可得出答案.【详解】多边形的外角和为360°，所以边数为2017的多边形的外角和为360°.故答案为360°.【点睛】本题考查的知识点是多边形内角和与外角和，解题的关键是熟练的掌握多边形内角和与外角和.【20题答案】【答案】84°【解析】【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF ，∠BOC ，∠BOE 即可解决问题．【详解】解：由题意得：∠EOF ＝108°，∠BOC ＝120°，∠OEB ＝72°，∠OBE ＝60°，∴∠BOE ＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠COF ＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，故答案为：84°．【点睛】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．【答案】60°##60度【解析】【分析】先根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝60°，再由DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F得出∠BDE＝∠AFD＝90°，根据三角形外角的性质求出∠AED 的度数，由四边形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°．∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，∴∠BDE＝∠AFD＝90°．∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED＝∠B+∠BDE＝60°+90°＝150°，∴∠EDF＝360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD＝360°﹣60°﹣150°﹣90°＝60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的是等边三角形，三角形内角和定理及直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．【22题答案】【答案】①. 1080°；②. 26；【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°进行计算即可得解；根据多边形的内角和公式易求解．【详解】（8-2）•180°=6×180°=1080°．根据多边形的内角和公式（n-2）•180°=4320°，解得n=26．故答案为：1080°；26；【点睛】此题考查多边形内角和公式，多边形的内角和，解题关键在于掌握运算公式.【23题答案】【答案】360°【解析】【分析】利用三角形的内角和外角的关系，将∠2、∠3和∠1、∠6转化到四边形AGHE内，再利用四边形的内角定理解答．【详解】∵∠7=∠2+∠3，∠8=∠1+∠6，又∵∠4+∠5+∠7+∠8=360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．故答案为：360︒【点睛】解答此题的关键是通过三角形内角和外角的关系将各角转化到四边形内解决．【24题答案】【答案】120︒【解析】【分析】首先连接'P P ，过点B 作'BH P P ⊥于点H ，由正六边形的性质，可知每个内角为120︒，每条边相等，进而得出结论．【详解】如图，连接'P P ，过点B 作'BH P P ⊥于点H ，∵六边形ABCDEF 为正六边行，∴()18062120ABC ∠=︒⨯-÷=︒，BA BC =，∵'P BA PBC ∠=∠，∴''120P BP P BA ABP PBC ABP ABC =∠+∠=∠+∠=∠=︒，∵'PB P B =，∴'P BP 为顶角为120︒的等腰三角形，∴()1''180'302BP P BPP P BP ∠=∠=⨯︒-∠=︒，∵'BH P P ⊥，∴'HP HP =，在Rt BHP 中，90,'30BHP BPP ∠=︒∠=︒，则122BH PB ==，PH ===∴'HP HP ==，∴''P P HP HP =+=，在'AP P中，有(2222''252P A P P +=+=，(2252PA ==，222''P A P P PA +=，则'AP P 为直角三角形，且'90AP P ∠=︒，∴'''120AP B AP P BP P ∠=∠+∠=︒，在BPC 与'BP A 中，''PB P B PBC P BA BC BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴'BPC BP A ≅ （SAS ），∴'120BPC BP A ∠=∠=︒，故答案为：120︒．【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，正确掌握做题的方法是解题的关键．【25题答案】【答案】18【解析】【分析】根据正多边形外角和和内角和的性质，得DAE ∠、144BAE E F ∠=∠=∠=︒；根据四边形内角和的性质，计算得EAC ∠；根据五边形内角和的性质，计算得ABC ∠，再根据三角形外角的性质计算，即可得到答案．【详解】如图，延长BA∵正十边形∴3603610DAE ︒∠==︒，正十边形内角()102180=14410-⨯︒=︒，即144BAE E F ∠=∠=∠=︒根据题意，得四边形ACFE 内角和为：360︒，且EAC FCA ∠=∠∴360362E F EAC FCA ︒-∠-∠∠=∠==︒∴72DAC DAE EAC ∠=∠+∠=︒根据题意，得五边形ABCFE 内角和为：()52180540=-⨯︒=︒，且ABC FCB∠=∠∴540542BAE E F ABC FCB ︒-∠-∠-∠∠=∠==︒∴725418ACB DAC ABC ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：18．【点睛】本题考查了正多边形、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和、正多边形内角和的性质，从而完成求解．【26题答案】【答案】27条【解析】【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．【详解】由题意得：（n-2）×180=1260，解得：n=9，从这个多边形的对角线条数：962⨯=27，故答案为27条．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180（n-2）．三、解答题【27题答案】【答案】（1）5；（2）10； （3）10.【解析】【详解】试题分析：（1）把n =5代入32n n -（）即可求得五边形的对角线的条数；（2）根据题意得32n n -（）=35求得n 值即可；（3）1132n n ++-（）（）﹣32n n -（）=9，求得n 的值即可．试题解析：解：（1）当n =5时，32n n -（）=522⨯=5．故答案为5．（2）32n n -（）=35，整理得：n 2﹣3n ﹣70=0，解得：n =10或n =﹣7（舍去），所以边数n =10．（3）根据题意得：1132n n ++-（）（）﹣32n n -（）=9，解得：n =10．所以边数n =10．【28题答案】【答案】（1）14（2）该正多边形的边数为9，一个外角的度数是40︒【解析】【分析】（1）n 边形的内角和为()2180n -⋅︒，结合已知条件，列出关于n 的一元一次方程，即可求解；（2）正n 边形的内角和为()2180n -⋅︒，外角和为360︒，则()21803601620n -⋅︒+︒=︒，解方程即可．【小问1详解】解：n 边形内角和为()2180n -⋅︒，四边形的内角和为360°，由题意得，()121803603603n -⋅︒-︒=︒，解得14n =，即n 的值为14；【小问2详解】解：正n 边形的内角和为()2180n -⋅︒，所有外角都相等且外角和为360︒，由题意得，()21803601620n -⋅︒+︒=︒，解得9n =，360940︒÷=︒，即该正多边形的边数为9，一个外角的度数是40︒．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是掌握n 边形内角和为()2180n -⋅︒，外角和为360︒．【29题答案】【答案】（1）1，2；（2）3，4；（3）2n -（4）8【解析】【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；（2）n 边形中过一个顶点的所有对角线有(3)n -条，把这个多边形分成(2)n -个三角形，根据这一点即可解答；（3）n 边形中过一个顶点的所有对角线有(3)n -条，把这个多边形分成(2)n -个三角形，根据这一点即可解答；（4）n 边形中过一个顶点的所有对角线有(3)n -条，把这个多边形分成(2)n -个三角形，根据这一点即可解答．【小问1详解】解：如下图：经过A 点可以做1条对角线，它把四边形ABCD 分为2个三角形，。
浙教版本初中八年级的数学下册的4.1多边形同步练习包括答案.docx
A 练就好基础4.1多边形 (2)基础达标1．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是(A)A ．四边形B．五边形C．六边形 D ．八边形2．十边形的内角和为 ( B)A ．1260°B． 1440°C． 1620° D ． 1800°3．下面哪一个度数是某个多边形的内角和( C)A ．270°B ． 630°C． 720° D ． 1920°4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为( C )A ．6 B． 7C． 8 D． 95．过某个多边形一顶点的所有对角线，将这个多边形分成了 5 个三角形，则这个多边形是 ( C )A ．五边形B．六边形C．七边形 D ．八边形6．从多边形一个顶点出发共可画3 条对角线，这个多边形是__六 __边形．7．若两个多边形的边数之比是1∶2，内角和度数之比为1∶ 3，则这两个多边形的边数分别是4， 8 ．8．如图所示，在五边形 ABCDE 中，∠ A＋∠ B＋∠ E＝ 300°， DP， CP 分别平分∠ EDC，∠ BCD ，则∠ P＝__60°__．9．如图所示，∠ 1 是五边形ABCDE 的一个外角，若∠1＝65°，则∠ A＋∠ B＋∠ C＋∠ D ＝ __425° __．10．如图所示，在五边形 ABCDE 中， AE⊥ DE，垂足为点 E，∠ D＝ 150°，∠ A＝∠ B，∠ B－∠ C＝ 60°，求∠A 的度数．【答案】∠ A 是 120° .B更上一层楼能力提升11．将图 1 中五边形纸片 ABCDE 的 A 点以 BE 为折线往下折， A 点恰好落在 CD 上，如图 2 所示，再分别以图 2 的AB，AE 为折线，将 C，D 两点往上折，使得 A， B，C，D，E 五点均在同一平面上，如图 3 所示，若图 1 中∠ A＝124°，则图 3 中∠ CAD 的度数为 ( D )A ．56° B． 60° C．62° D ．68°12． 2018 ·南京如图，五边形 ABCDE 各个内角的度数相等．若l 1∥ l2，则∠ 1－∠ 2＝ __72° __．13．已知 n 形木板的一个外角与其内角和的和 660°，当木工傅掉木板的一个角后，所得的多形的内角和__360°或 540°或 720° __．14．如所示，一精密的模板中， AB， CD 的延相交成 80°的角，因交点不在模板上，不便量，得∠ BAE＝124°，∠ DCF ＝ 155°， AE⊥ EF ， CF⊥ EF ，此 AB， CD 的延相交成的角是否符合定？什么？第 14第 14 答解： AB 与 CD 的延交于点G，如．∠ A＋∠ E＋∠ F＋∠ C＋∠ G＝ 540° .∵AE⊥ EF， CF ⊥ EF，∴∠ E＝∠ F＝ 90° .∵∠ BAE＝124°，∠ DCF ＝ 155°，∴∠ G＝ 540°－ (124°＋ 155°＋ 90°× 2)＝ 540°－ 459°＝ 81° .∵ 81°≠ 80°，∴不符合定．15．已知 n 形的内角和θ＝(n－2)× 180° .(1)甲同学，θ能取 360°；而乙同学，θ也能取630° .甲、乙的法？若，求出数n；若不，明理由．(2)若 n 形 (n＋ x)形，内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.解： (1) ∵ 360°÷ 180°＝ 2， 630°÷ 180°＝ 3⋯⋯ 90°，∴甲的法，乙的法不．360°÷ 180°＋ 2＝ 2＋ 2＝4.∴甲同学的数n 是 4.(2)依意，有(n＋ x－ 2)× 180°－ (n－ 2)× 180°＝ 360°，解得 x＝2.故 x 的是 2.C开拓新思路拓展新16．和数学小的同学研究多形角的相关，邀你也加入其中．仔察下面的形和表格，并回答下列：多形的点数4567⋯n从一个点出的1234⋯①角的条数多形角的25914⋯②条数(1) 【察探究】自己察上面的形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中：①____________；② ________；(2)【实际应用】 数学社团共分为 6 个小组，每组有 3 名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学 之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，大年初一数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？(3)【类比归纳】 乐乐认为 (1) 、 (2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你 的发现． 解： (1) 由题可得，当多边形的顶点数为 n 时，从一个顶点出发的对角线的条数为n － 3，多边形对角线的总条数为 1n( n －3) ；21答案： n － 3， n(n －3) ；2(2)∵ 3× 6＝ 18，1× 18× (18－ 3) ＝135(个 )；∴大年初一数学社团的同学们一共将拨打电话2(3)每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有 n 个顶点；每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n － 3)个电话；两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为12n(n － 3) ；数学社团有 18 名同学，当 n ＝ 18 时， 1× 18× (18－ 3)＝ 135.2。
4.1.2 多边形的性质 浙教版数学八年级下册同步练习(含解析)
第4章平行四边形4.1多边形第2课时多边形的性质基础过关全练知识点1多边形的内角和1.【新素材·警示牌】(2022山东临沂中考)某一水塘边的警示牌的牌面是五边形,则这个五边形的内角和是()A.900°B.720°C.540°D.360°2.(2022浙江湖州长兴、安吉期末)如果一个多边形的内角和为1 800°,则这个多边形的边数是()A.6B.8C.10D.123.已知一个多边形的内角和是四边形的内角和的3倍,则这个多边形是边形.知识点2多边形的外角和4.一个多边形的其中一个外角为36°,若这个多边形的各个内角相等,则这个多边形的边数是()A.8B.9C.10D.115.(2022浙江杭州西湖期末)一个六边形的外角和为.能力提升全练6.【新考法】(2022河北中考,5,)如图,将三角形纸片剪掉一角得四边形,设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α,β,则正确的是()A.α-β=0B.α-β<0C.α-β>0D.无法比较α与β的大小7.(2022浙江宁波北仑期末,13,)若n边形的外角和等于内角和,则边数n=.8.一个多边形的内角和是四边形的内角和的2倍,并且这个多边形的各个内角都相等,这个多边形每个外角的度数是.9.一个多边形的内角和比它的外角和多540°,这个多边形可连多少条对角线?10.如图所示,在四边形ABCD中,∠A=80°,∠C=75°,∠ADE为四边形ABCD的一个外角,且∠ADE=125°,试求出∠B的度数.素养探究全练11.【运算能力】【新独家原创】定义:各边相等,各内角相等的多边形为正多边形,边数为3的是正三角形,边数为4的是正方形,边数为5的是正五边形,边数为6的是正六边形,……,边数为n的是正n边形.如图,淇淇从点A出发,前进10米后向右转20°,再前进10米后又向右转20°,这样一直下去,直到她第一次回到出发点A为止,她所走的路径构成了一个多边形.(1)淇淇一共走了多少米?说明理由.(2)求这个多边形的内角和.答案全解全析基础过关全练1.C180°×(5-2)=540°.2.D设这个多边形的边数是n,则(n-2)×180°=1 800°,解得n=12.3.8解析因为四边形的内角和为360°,一个多边形的内角和是四边形的内角和的3倍,所以这个多边形的内角和为1 080°,设这个多边形的边数为n,则180(n-2)=1 080,解得n=8.4.C因为多边形的外角和是360°,这个多边形的其中一个外角为36°,所以这个多边形的边数是360÷36=10.5.360°解析根据任何多边形的外角和都是360°,可知六边形的外角和是360°.能力提升全练6.A因为多边形的外角和为360°,所以△ABC与四边形BCDE的外角和的度数都为360°,即α=β,所以α-β=0.7.4解析因为多边形的外角和为360°,n边形的外角和等于内角和,所以180(n-2)=360,解得n=4.8.60°解析设这个多边形的边数为n,则有(n-2)·180°=360°×2,解得n=6.∵这个多边形的每个内角都相等,∴它的每个外角也都相等,∴它的每个外角的度数为360°÷6=60°.9.解析设这个多边形的边数为n,根据题意,得(n-2)×180°=360°+540°,=14条对角线.解得n=7,则7边形可连7×(7−3)210.解析∵∠ADE=125°,∴∠ADC=55°,∵∠A=80°,∠C=75°,∴∠B=360°-∠A-∠C-∠ADC=360°-80°-75°-55°=150°.素养探究全练11.解析(1)∵所经过的路线正好构成一个外角是20°的正多边形, ∴360÷20=18,18×10=180(米).答:淇淇一共走了180米.(2)根据题意,得(18-2)×180°=2 880°.答:这个多边形的内角和是2 880°.。
2020—2021年北师大版初中数学八年级下册探索多边形的内角和与外角和同步练习含答案试题(精品试卷).doc
6.4探索多边形的内角和与外角和一、选择题1．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是( )A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形2．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是( ) A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形3．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是( )A．5 B．6 C．7 D．84．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是________边形（）A．8 B．7 C．6 D．55．一个多边形的外角和是内角和的一半，则它的边数为（）A．7 B．6 C．5 D．46．一个多边形的内角和与外角和共为540°，则它的边数为（）A．5 B．4 C．3 D．不确定7．若等角n边形的一个外角不大于40°，则n的值为（）A．n＝8 B．n＝9 C．n＞9 D．n≥98．中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（）A．50°B．100°C．180°D．200°9．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（）A．4 B．5 C．6 D．810．如果只用正三角形作平面镶嵌（要求镶嵌的正三角形的边与另一正三角形有边重合），则在它的每一个顶点周围的正三角形的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题11．在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，则∠A＝．12．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，它的边数是，顶点的个数是，对角线的条数是．13．若四边形ABCD的相对的两个内角互补，且满足∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A＝________°，∠B＝________°，∠C＝________°，∠D＝________°．14．若一个n边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3∶1，那么，这个多边形的边数为________．15．若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为________°，每个内角的度数为________°．16．如果一个多边形的每个内角都等于108°，那么这个多边形是_____边形．17.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于____ ___°．18．若一个多边形的各边都相等，它的周长是63，且它的内角和为900°，则它的边长是_____．19．多边形的内角中，最多有________个直角．20．已知一个多边形的内角和与外角和共2160°，则这个多边形的边数是21．用正三角形和正方形能够铺满地面，每个顶点周围有_____个正三角形和_____个正方形三、解答题22．如图4－124所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．23．一个凸多边形的内角的度数从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，其中最小角是100°，最大角是140°，求这个多边形的边数．24．已知多边形内角和与外角和的和为2160°，求多边形对角线的条数．25．在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B与∠D的度数比是3：2，求∠B，∠D的度数．26．已知和多边形一个内角相邻的外角与其余各内角度数总和为600°，求该多边形的边数．27．过n边形的一个顶点有7条对角线，m边形有m 条对角线，p边形没有对角线，q边形的内角和与外角和相等，求q(n－m)p的值．28．如图4－125所示，已知六边形ABCDEF中，∠A＝∠B=∠C ＝∠D＝∠E＝∠F＝120°．试说明AB＋BC=EF＋ED．29．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行进和旋转，某一指令规定：机器人先向前方行走2 m，然后左转60°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了多少米?30．我们知道过n边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线把三角形分割成（n－2）个三角形，想一想这是为什么？如图1．图1如图2，在n边形的边上任意取一点，连结这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形？图2想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理．参考答案1．B2．B3．C4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 9．A 10．D 11．120°12．10 10 35 13．60，90，120，90 14．八15．36，144 16．五16．120 17．9 18．四19．12 20．3，221．提示：延长BC交EF于M，所以∠A＋∠B＋∠BMF＋∠F＝360°，又因为∠DCB＋∠D＋∠E=∠BMF，所以∠A＋∠B＋∠DCB ＋∠D＋∠E＋∠F＝360°．n︒︒＝(n－22．解：设这个多边形的边数为n，由题意知(100+140)22)·180°，解得n=6．答：这个多边形的边数是6．23．解：设这个多边形的边数为n，由题意，得(n－2)·180°＋360°＝2160°，解得n＝12．∴多边形对角线的条数为12n(n－3)＝12×12×(12－3)=54．即这个多边形对角线的条数为54．24．解：∵∠A＋∠C＝90°＋90°＝180°，∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°．设∠B＝(3x)°，则∠D＝(2x)°，∴(3x)°＋(2x)°＝180°，解得x＝36，∴3x＝108，2x＝72．即∠B＝108°，∠D＝72°．25．解：设边数为n，这个内角为α，依题意有(n－2)·180°－α＋180°－α＝600°，∴α＝90°n－390°，又∵0°＜α＜180°，°0°＜90°n－390°＜180°，∴4 13＜n＜613，∵n为正整数，∴n＝5或n＝6．答：边数为5或6．26．解：由已知可得37(3)2(3)2(2)180360nm mmp pq-=⎧⎪-⎪=⎪⎨-⎪=⎪⎪-︒=︒⎩g，，，，所以n＝10，m＝5，p＝3，q＝4，所以q(n－m)p=4×(10－5)3＝500．27．解：如图4－126所示，向两方分别延长AB，CD，EF，得△PQR．∵∠PAF＝180°－∠BAF＝180°－120°＝60°，同理∠AFP ＝60°，∴∠P＝60°，∴△PAF为等边三角形．同理△BCQ，△DER均为等边三角形．∴△PQR也为等边三角形，∴PQ＝PR，AP＝PF，BC＝BQ，DE＝RE，∴PQ－PA＝RP－PF，即AQ＝FR，∴AB＋BQ＝FE＋RE，∴AB＋BC＝EF＋ED．29．解：如图4－127所示，由题意可知机器人从出发到第一次回到原处的行走路线是一个正多边形，设边数为n，则60°·n＝360°，解得n＝6．又2×6＝12(m)，∴机器人共走了12 m.30．略。
人教版2023-2024学年八年级上册数学《多边形及其内角》同步练习(含答案)
人教版2023-2024学年八年级上册数学《多边形及其内角》同步练习一、单选题1．一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是（ ）边形A ．四B ．五C ．六D ．八2．若一个多边形的每个内角都是，那么它的边数是（ ）140︒A ．5B ．7C ．9D ．113．中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（ ）A ．B ．C ．D ．1080︒900︒720︒540︒4．如图，一束平行太阳光照射到正五边形上，若∠1=46°，则∠2的度数为（ ）A ．46°B ．108°C ．26°D ．134°5．如图1是一个2×5长方形方格，用图2所示的1×2的黑色长方形(允许只用一种)去填满，共有( )种不同的方法．A ．7B ．8C ．9D ．106．如图，四边形中，与相邻的两外角平分线交ABCD 90,ADC ABC ∠=∠=︒ADC ABC ∠∠、于点若则的度数为（ ）,E 60,A ∠=︒E ∠A ．B ．C ．D ．60 50 40 307．如图，要使一个七边形木架不变形，至少要再钉上木条的根数是（ ）A ．1根B ．2根C ．3根D ．4根8．七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的ABCDEFG AB ED O 1∠2∠3∠4∠外角的角度和为，则的度数为（ ）220︒BOD ∠A ．B ．C ．D ．30︒35︒40︒45︒9．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是( )A ．B ．C ．D ．240︒220︒180︒330︒10．如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E 在AB CD ∥60︒EGF 上，边、分别交于点H 、K ，若，则等于（ ）．AB GF EF CD 64BEF ∠=︒GHC ∠三、解答题21．若一个多边形的内角和等于它的外角和的24．已知一个正n边形的内角和是正三角形内角和的4倍．(1)求n；(2)用边长相等的正n 边形和正三角形两种地板镶嵌地面，则一个公共顶点处需要正n边形和正三角形的个数分别为x、y，求x和y的关系式．25．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形．(1)求小明一共走了多少米；(2)求这个正多边形的内角和．答案：1．A2．C3．A4．C5．B6．D7．D8．C9．A10．B11．512．③④13．50°或130°14． 15 60°15．18/十八16． 2 817．/36度36︒18．/度 144︒1443519． 144 10 144020．/度180︒18021．这个多边形是十边形22．（1）15；（2）1523．(1)8(2)360︒24．(1)6n =(2)26x y +=25．(1)小明一共走了120米1800 (2)这个多边形的内角和是．。
八年级数学下册《4.1多边形(1)》同步练习(含答案)
第4章平行四边形4.1多边形(1)A练就好基础基础达标)1．已知一个多边形有两条对角线，那么这个多边形是(A)A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形2．在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶4∶5，则∠C等于(C) A．60°B．100°C．120°D．150°3．在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝160°，∠B比∠D大60°，则∠B为(D) A．70°B．80°C．120°D．130°4．在四边形的内角中，直角最多可以有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个5．以线段a＝7，b＝8，c＝9，d＝11为边作四边形，可作(D)A．1个B．2个C．3个D．无数个6．2017·宜昌如图所示，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相(B)A．①②B．①③C．②④D．③④7．已知∠1＝48°，∠2的两边分别与∠1的两边垂直，则∠2＝(D)A．48°B．132°C．42°D．48°或132°8．一副三角板如图放置，若∠1__80°__．9．在四边形ABCD中，∠D＝60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．【答案】∠A＝70°，∠B＝90°，∠C＝140°.10．如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，∠C＝∠ADC.(1)求证：AB∥CD.(2)若∠ADC－∠A＝60°，过点D作DE∥BC交AB于点E.请判断△ADE是哪种特殊三角形，并说明理由．解：(1)证明：∵∠A＝∠B，∠C且∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝360°，∴2∠B＋2∠C＝360°，∴∠B ＋∠C ＝180°，∴AB ∥CD .(2)△ADE 是正三角形．理由如下：由∠ADC ＋∠A ＝180°和∠ADC －∠A ＝60°，得∠A ＝60°.∴∠B ＝∠A ＝60°.∵DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠B ＝∠A ＝60°，即△ADE 是正三角形．B 更上一层楼 能力提升11．在四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D ＝1∶2∶3∶4，则相邻的外角之比为( D )A ．1∶2∶3∶4B ．2∶1∶3∶4C ．3∶4∶2∶1D ．4∶3∶2∶112．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ，点E 在边AB 上，∠AED ＝60°，则一定有( D )A ．∠ADE ＝20°B ．∠ADE ＝30°C ．∠ADE ＝12∠ADC D ．∠ADE ＝13∠ADC 13．如图所示，在四边形ABCD 中，O 点在AD 上，且OB 平分∠ABC ，OC 平分∠BCD .若∠BOC ＝120°，则∠A ＋∠D14．如图所示，在四边形ABCD ，∠ADC 的平分线分别与AD ，BC 相交于E ，F 两点，FG ⊥BE解：∠1＝∠2，理由：∵∠A ＝∠C ＝90°，根据四边形的内角和，得∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，∴∠EBC ＝12∠ABC ，∠2＝12∠ADC ， ∴∠EBC ＋∠2＝12(∠ABC ＋∠ADC )＝90°. ∵FG ⊥BE ，∴∠FGB ＝90°，∴∠1＋∠EBC ＝90°，∴∠1＝∠2.C 开拓新思路 拓展创新15．在四边形ABCD 中，∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ，∠ADC 的角平分线交直线AE 于点O .(1)若点O 在四边形ABCD 的内部：①如图1，若AD ∥BC ，∠B ＝40°，∠C ＝70°，则∠DOE ＝__125°__；②如图2，试探索∠B，∠C，∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．(2)如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B，∠C，∠DOE之间的数量关系．解：(1)①∵AD∥BC C＝∴∠BAD＝140°，∠ADC＝110°.∵AE，DO分别平分∠BAD，∠CDA，∴∠OAD＝70°，∠ODA＝55°，∴∠DOE＝∠OAD＋∠ODA＝125°；故答案为125.②∠B＋∠C＋2∠DOE＝360°.理由：∵∠DOE＝∠OAD＋∠ADO，∵AE，DO分别平分∠BAD，∠CDA，∴2∠DOE＝∠BAD＋∠ADC.∵∠B＋∠C＋∠BAD＋∠ADC＝360°，∴∠B＋∠C＋2∠DOE＝360°.(2)∠B＋∠C＝2∠DOE，理由：∵∠BAD＋∠ADC＝360°－∠B－∠C，∠EAD＋∠ADO＝180°－∠DOE，∵AE，DO分别平分∠BAD，∠CDA，∴∠BAD＝2∠EAD，∠ADC＝2∠ADO，∴∠BAD＋∠ADC＝2(∠EAD＋∠ADO)，∴360°－∠B－∠C＝2(180°－∠DOE)，∴∠B＋∠C＝2∠DOE.。
浙教版数学八年级下册 第四章 平行四边形 4.1 多边形 同步练习试题
浙教版八年级下册第四章平行四边形同步练习4．1 四边形的内角和第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，3*10=30）1．一个长方形木块，截去一个三角形后不可能得到的多边形是( ) A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形 D ．六边形2．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．113．四边形四个内角度数的比为2∶3∶4∶3，则最大角的度数为( ) A ．90° B ．100° C ．120° D ．135°4．在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ，点E 在边AB 上，∠AED ＝60°，则一定有( ) A ．∠ADE ＝20° B ．∠ADE ＝30°C ．∠ADE ＝12∠ADCD ．∠ADE ＝13∠ADC5．在四边形ABCD 中，∠A+∠C=160°，∠B 比∠D 大60°，则∠B 为（ ） A ．70° B ．80° C ．120° D ．130° 6．在四边形的内角中，直角最多可以有（d ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．在四边形ABCD 中，∠A+∠C=180°，∠B 比∠D 大60°，则与∠B 相邻的外角为（ ） A. 60° B. 80° C. 120° D. 130°8．如图所示，一块钉板上水平方向和垂直方向相邻两钉的距离都是一个单位，•用橡皮筋构成如图的一个四边形，那么这个四边形的面积为（ ） A ．2.5 B ．5 C ．7.5 D ．99. 如图背景中的点均为大小相同的小正方形的顶点，其中画有两个四边形，下列叙述中正确的是（）A. 这两个四边形面积和周长都不相同B. 这两个四边形面积和周长都相同C. 这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长大于Ⅱ的周长D. 这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长10. 如图所示，在四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=43，AD=4，则四边形ABCD 的面积是（）A. 16 2B. 16 3C. 16D. 24第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题，3*8=24）11. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数是________．12．在四边形ABCD中，∠A=90°，∠B=75°，∠D=108°，则∠C=_____°．13. 在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B=85°，则∠D=_____°．15. 如图，在四边形ABCD中，AO是∠BAO的平分线，BO是∠ABC的平分线，AO与BO•交于点O，若∠C+∠D=120°，则∠AOB的=_______．16．在四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，∠C：∠D=3：2，则∠C的度数为_______．17．如图，四边形ABCD中，∠A=95°，∠D=100°，外角∠ABE=70°，则∠ABC=________°，∠C=________°．18．如图，在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别为2、2、23、2，且AB⊥BC，则∠BAD的度数等于________.三．解答题（共7小题，46分）19. （6分）已知如图，四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，求证：∠A＝∠C.20. （6分）四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：4：1：5.(1)求四边形ABCD的四个内角的度数.(2)四边形ABCD中是否有互相平行的边？若有，请找出来，并说明理由.21．（6分）如图①是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°.如果将其右下角向内折出△PCR，如图②所示，恰使CP∥AB，CR∥AD，求∠C的度数．.22．（6分）在四边形ABCD中，∠A=∠B，∠C=∠ADC.(1)求证：AB∥CD.(2)若∠ADC-∠A=60°，过点D作DE∥BC交AB于点E. 请判断△ADE是哪种特殊三角形，并说明理由.23. （6分）(1)经过凸n边形(n＞3)其中一个顶点的对角线有条；(2)一个凸边形共有20条对角线，它是几边形？(3)是否存在有18条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．24．（6分）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DBA=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=3AC.小敏反复探索，不得其解. 她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题.(1)特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=3AC. （请你完成此证明）(2)解决原来问题受到(1)的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F. （请你补全证明）.25. （8分）如图，∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角，若∠BAD＝α，∠BCD＝β.(1)如图1，①若α＝50°，β＝100°，则∠MBC＋∠NDC＝______度；②若α＋β＝200°，则∠MBC＋∠NDC＝____度；(2)BE是∠MBC的平分线，DF是∠NDC的平分线．①如图2，若BE与DF交于点G，求∠EBC＋∠CDF的度数(用含α，β的代数式表示)；②如图3，若BE∥DF，请探求α与β之间的大小关系．参考答案：1-5 DCCDD 6-10 DACDC 11. 540° 12. 105 13. 9514. 36°，72°，108°，144° 15. 60° 16. 108° 17. 110，55 18. 135°19. 解一：连结AC.∵AB=BC ，∴∠BAC=∠BCA.又∵AD=CD ，∴∠DAC=∠DCA. ∴∠BAD=∠BCD.解二：连结BD.∵AB=BC ，AD=CD ，BD=BD ，∴△ABD ≌△CBD(SSS)，∴∠BAD=∠BCD.20. 解：(1) ∵∠A:∠B:∠C:∠D=2:4:1:5，∴设∠C=x°，则∠A=2x°，∠B=4x°，∠D=5x°. ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴2x+4x+x+5x=360，解得x=30. ∴∠A=60°，∠B=120°，∠C=30°，∠D=150°. (2)∵∠A+∠B ＝180，∴AD ∥BC.21. 解：记两条虚线的交点为E ，∵CR ∥AD ，∠D ＝50°，∴∠D ＝∠CRE ，∵CP ∥AB ，∠B ＝120°，∴∠B ＝∠CPE ，由折叠可知，∠CPR ＝∠RPE ＝60°，∠CRP ＝∠PRE ＝25°，∴∠C ＝95° 22. 解：(1)∵∠A=∠B ，∠C=∠ADC ，∴∠B+∠C=12 (∠A+∠B+∠C+∠ADC)=180°，∴AB ∥CD.(2)△ADE 是正三角形.∵AB ∥CD ，∴∠ADC+∠A=180°.又∵∠ADC-∠A=60°，∴解得∠A=60°. 23. 解：（1）(n －3)(2)由题意得n （n －3）2＝20，解得n ＝8或n ＝－5(舍去)，∴它是八边形(3)不存在，理由：由题意得n （n －3）2＝18，解得n ＝3±3172，∵n 为正整数，∴不存在 24. 解：(1)∵∠A 与∠D 互补，且∠A=∠D ，∴∠B=∠D=90°.∵AC 平分∠DAB ，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC=30°.∴CB=CD=12AC ，AB=AD=32AC ，即AB+AD=3AC..(2)同(1)可证AF+AE=3AC.∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBE=180°，∴∠D=∠CBE. 又∵∠CFD=∠CEB=90°，CF=CE ，∴△CDF ≌△CBE(AAS).∴DF=BE ，∴AB+AD=3AC.. 25. 解：(2)①在图2中，连结BD ，由(1)有，∠MBC ＋∠NDC ＝α＋β，∵BE ，DF 分别平分四边形的外角∠MBC 和∠NDC ，∴∠CBE ＝12∠MBC ，∠CDF ＝12∠NDC ，∴∠CBE ＋∠CDF ＝12∠MBC ＋12∠NDC ＝12(∠MBC ＋∠NDC)＝12(α＋β)，②在图3中，延长BC 交DF 于H ，由(1)有，∠MBC ＋∠NDC ＝α＋β，∵BE ，DF 分别平分四边形的外角∠MBC 和∠NDC ，∴∠CBE ＝12∠MBC ，∠CDH ＝12∠NDC ，∴∠CBE ＋∠CDH ＝12(∠MBC ＋∠NDC)＝12(α＋β)，∵BE ∥DF ，∴∠DHC ＝∠EBC ，∵∠BCD ＝∠CDH ＋∠DHB ，∴β＝12(α＋β)，∴12β＝12α，∴α＝β。
浙教版八年级数学下册《4.1多边形(2)》同步练习(含答案)
4.1多边形(2)A练就好基础基础达标1．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是(A)A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形2．十边形的内角和为(B)A．1260°B．1440°C．1620°D．1800°3．下面哪一个度数是某个多边形的内角和(C)A．270°B．630°C．720°D．1920°4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为(C)A．6 B．7C．8 D．95．过某个多边形一顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是(C)A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形6．从多边形一个顶点出发共可画3条对角线，这个多边形是__六__边形．7．若两个多边形的边数之比是1∶2，内角和度数之比为1∶3，则这两个多边形的边数分别是4，8．8．如图所示，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P＝__60°__．9．如图所示，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝65°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝__425°__．10．如图所示，在五边形ABCDE中，AE⊥DE，垂足为点E，∠D＝150°，∠A＝∠B，∠B－∠C＝60°，求∠A的度数．【答案】∠A是120°.B更上一层楼能力提升11．将图1中五边形纸片ABCDE的A点以BE为折线往下折，A点恰好落在CD上，如图2所示，再分别以图2的AB，AE为折线，将C，D两点往上折，使得A，B，C，D，E五点均在同一平面上，如图3所示，若图1中∠A＝124°，则图3中∠CAD的度数为(D)A．56°B．60°C．62°D．68°12．2018·南京如图，五边形ABCDE各个内角的度数相等．若l1∥l2，则∠1－∠2＝__72°__．13．已知n边形木板的一个外角与其内角和的和为660°，当木工师傅锯掉该木板的一个角后，所得的多边形的内角和为__360°或540°或720°__．14．如图所示，一块较为精密的模板中，AB，CD的延长线应该相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，测得∠BAE＝124°，∠DCF＝155°，AE⊥EF，CF⊥EF，此时AB，CD的延长线相交成的角是否符合规定？为什么？14题图14题答图解：设AB与CD的延长线交于点G，如图．则∠A＋∠E＋∠F＋∠C＋∠G＝540°.∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°.∵∠BAE＝124°，∠DCF＝155°，∴∠G＝540°－(124°＋155°＋90°×2)＝540°－459°＝81°.∵81°≠80°，∴不符合规定．15．已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由．(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.解：(1)∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3……90°，∴甲的说法对，乙的说法不对．360°÷180°＋2＝2＋2＝4.∴甲同学说的边数n是4.(2)依题意，有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，解得x＝2.故x的值是2.C开拓新思路拓展创新16．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：(1)①____________；②________；(2)【实际应用】 数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，大年初一数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？(3)【类比归纳】 乐乐认为(1)、(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．解：(1)由题可得，当多边形的顶点数为n 时，从一个顶点出发的对角线的条数为n －3，多边形对角线的总条数为12n (n －3)；答案：n －3，12n (n －3)；(2)∵3×6＝18，∴大年初一数学社团的同学们一共将拨打电话12×18×(18－3)＝135(个)；(3)每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n 个顶点；每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n －3)个电话；两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为12n (n －3)；数学社团有18名同学，当n ＝18时，12×18×(18－3)＝135.。